Nando 5 D basisvorming - Leerboek B - inkijk methode

Nando 5

D-finaliteit Basis

Auteurs

Tanja Bex, Björn Carreyn, Sarah Eeckhaudt, Kim Houben en Dries Vrijsen

AAN DE SLAG MET NANDO

Nando bestaat uit verschillende hoofdstukken. Naast de gewone hoofdstukken is er een consolidatiehoofdstuk. Dit bevat herhalingsoefeningen in de verschillende pepercategorieën over de voorgaande hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd volgens dezelfde principes.

De cover

Aan het begin van een hoofdstuk vind je aan de rechterkant welke leerstof je al moet kennen vanuit de voorbije hoofdstukken/jaren en welke leerstof je in het hoofdstuk zult leren. Er onder staat een vaardigheid uit het hoofdstuk in de kijker en de wiskundetaal die aan bod komt in het hoofdstuk.

De leerinhoud

Elk hoofdstuk begint met een instap

Deze opdrachten zijn een opstap naar de nieuwe leerstof die aan bod zal komen.

Na de instap wordt de nieuwe leerstof behandeld in verschillende onderdelen.

Elk stuk nieuwe leerstof eindigt met een aantal verwerkingsopdrachten.

Deze opdrachten zijn bedoeld om de leerstof in te oefenen en te verwerken. Bij het begin van de verwerkingsopdrachten staat in de rechterbovenhoek een verwijzing naar de bijhorende signaaloefeningen.

Na alle leerstofonderdelen volgen de signaaloefeningen.

Deze oefeningen toetsen een doelstelling en zijn een maatstaf om te zien of je de leerstof onder de knie hebt. Bij elke signaaloefening staat een verwijzing naar de bijhorende differentiatieoefeningen.

In het differentiatietraject staan oefeningen per onderdeel in verschillende pepercategorieën.

Je stippelt een individueel oefentraject uit, afhankelijk van je resultaat bij de signaaloefeningen.

Deze oefeningen zijn een aanzet om de leerstof beter te verwerven.

( ) Deze oefeningen zijn ideaal om de leerstof verder in te oefenen.

( ) Deze oefeningen dagen je extra uit om je in de leerstof te verdiepen.

De studiewijzer

De studiewijzer helpt je om een eigen oefentraject uit te stippelen. Gebruik de tabel om de oefeningen aan te duiden die jij zal maken. Onder de tabel vind je bij elke doelstelling een handige studeertip en een verwijzing naar de bijhorende oefeningen.

Handig om te weten

Dit logo verwijst naar STEM-oefeningen.

Dit logo verwijst naar opdrachten waarbij computationeel denken aan bod komt.

Dit logo verwijst naar een statistische onderzoeksvraag.

Dit logo verwijst naar het gebruik van Python.

Wat je al kunt

– een lineair verband tussen twee grootheden omzetten in formulevorm

– vergelijkingen van de eerste graad oplossen

– rekenen met machten

Wat je leert in dit hoofdstuk

– van een gegeven rij vaststellen of het een rekenkundige of meetkundige rij is

– bij een rekenkundige of meetkundige rij de formule voor de algemene term afleiden

– bij een rekenkundige of meetkundige rij de formule voor de som van de eerste n termen toepassen

– problemen oplossen in verband met rekenkundige of meetkundige rijen

– visueel de limiet van een rij bepalen

In de kijker

Je stelt rijen grafisch voor en bepaalt de limiet ervan

Wiskundetaal

– rij

– term van een rij

– rekenkundige rij

– meetkundige rij

– limiet

Instap

Opdracht 1

Lukas zou graag de marathon van Antwerpen lopen. Hij heeft voor zichzelf een trainingsschema opgesteld. Deze week (de eerste week) loopt hij gedurende drie avonden 3 kilometer, de week daarop (de tweede week) gedurende drie avonden 5 kilometer, de week daarop gedurende drie avonden 7 kilometer, enzovoort tot hij 43 kilometer (iets meer dan een marathon) kan lopen.

a) Vul volgende tabel aan.

weeknummer 1 2 3 4 5

aantal kilometer 3 km

b) Hoeveel kilometer loopt hij op een avond na 8 weken?

c) Stel een letterformule op die het verband tussen het aantal te lopen kilometers en het weeknummer weergeeft.

Opdracht 2

Lyssa wil als voorzitster van de leerlingenraad “complimentjesdag” invoeren op school. Zij start (fase 1) met het geven van een complimentje aan drie leerlingen via Facebook. Deze leerlingen moeten op hun beurt aan drie leerlingen een complimentje geven (fase 2), enzovoort.

a) Vul volgende tabel aan.

b) Hoeveel complimentjes worden er gegeven bij fase 6?

c) Stel een letterformule op die het verband tussen het aantal complimentjes en de fase van "complimentjesdag" weergeeft.

1 Rijen

definitie Een rij is een opeenvolging van reële getallen in een bepaalde volgorde gegeven.

In symbolen noteren we een rij (un) meestal als volgt: u1, u2, u3, ..., un, ... . De getallen in de rij noemen we de elementen of de termen van de rij. Het volgnummer van de term in de rij noteren we rechtsonder als een index. Dit volgnummer begint meestal met 1 (of 0).

Voorbeelden

• 7, 14, 21, 28, 35, ... : rij van veelvouden van 7 (zonder 0) met un = 7n

• 2, 3, 5, 7, 11, ... : rij van de priemgetallen

• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...: rij van Fibonacci

• 1, 4, 9, 16, 25, ... : rij van de kwadraten met un = n2

1.1 Expliciet voorschrift

Bij sommige rijen kan je een formule vinden die je in staat stelt om un te vinden voor een willekeurige n door enkel gebruik te maken van de index van het element. De rij wordt dan bepaald door een expliciet voorschrift .

Bij instapopdracht 1 over de loper is het expliciet voorschrift:

un = 2n + 1 (met n het aantal weken)

en voor instapopdracht 2 over complimentjesdag:

un = 3n (met n de fase)

1.2 Recursief voorschrift

Soms kan je een term van een rij ook bepalen op basis van de vorige term (of termen). Een formule die toelaat om de term van een rij te bepalen uit de vorige term(en) noemen we een recursief voorschrift . Hiervoor heb je telkens een startwaarde (de eerste term van de rij) nodig.

Bij instapopdracht 1 over de loper is het recursief voorschrift:

un+1 = un + 2 met u1 = 3

en voor instapopdracht 2 over complimentjesdag:

un+1 = 3 ∙ un met u1 = 3

Bereken de eerste vijf termen van volgende rijen bepaald door onderstaande expliciete voorschriften, startend met n = 1.

a) un = 2n + 1

b) un = n2 + 1

c) un = n2 n + 1

d) un = n2 n + 1

Bereken de eerste vijf termen van volgende rijen bepaald door onderstaande recursieve voorschriften.

a) un+1 = 2un + 1met u1 = 5

b) un+1 = 2un 2met u1 = 5

c) un+1 = 5 un met u1 = 4

d) un+1 = un2 + 1met u1 = 0

Bepaal een recursief voorschrift voor de volgende rijen.

a) 3, 7, 11, 15, …

b) 7, 5, 3, 1, -1, …

c) 128, 64, 32, 16, 8, …

Bepaal een expliciet voorschrift voor de volgende rijen.

a)3,7,11,15,…

b)7,5,3,1, 1,…

c)0, 1 3 , 1 2 , 3 5 , 2 3 ,…

2 Rekenkundige rijen

We kijken nog eens terug naar de rij uit instapopdracht 1 over de loper (3, 5, 7, 9, …). Hier kan je telkens het aantal te lopen kilometers in een bepaalde week bepalen door 2 (km) op te tellen bij de afstand van de vorige week.

Dat is een voorbeeld van een rekenkundige rij met verschil v = 2 (km).

definitie Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de som van de vorige term met eenzelfde getal (het verschil v).

Voorbeelden

• 3, 10, 17, 24, 31, ... u1 = 3 en v = 7

• 8, 7, 6, 5, 4, ... u1 = 8 en v = -1

• -7, -5, -3, -1, 1, … u1 = -7 en v = 2

2.1 Recursief voorschrift

Uit de definitie volgt onmiddellijk het recursief voorschrift van een rekenkundige rij:

formule un+1 = un + v

2.2 Expliciet voorschrift

Laten we kijken naar de rij met recursief voorschrift un+1 = un + 3 met u1 = 5:

n kort uitgebreid

1

Daaruit kunnen we het expliciet voorschrift afleiden:

un = 5 + ( n - 1) ∙ 3 waarbij het verschil v = 3

In het algemeen is het expliciet voorschrift van een rekenkundige rij:

formule un = u1 + ( n - 1) ∙ v

Voorbeeld

We bepalen het recursief en expliciet voorschrift van de onderstaande rij en berekenen de twintigste term.

3, 10, 17, 24, 31, …

Recursief: un+1 = un + 7 met u1 = 3

Expliciet: un = 3 + ( n - 1) ∙ 7 u20 = 3 + 19 ∙ 7 = 136

2.3 Som van de eerste n termen van een rekenkundige rij

Vik traint ook voor de marathon, maar met een ander trainingsschema dan dat van Lukas. Hij loopt elke week 5 km extra en start in de eerste week met een totaal van 10 km. Hoeveel kilometer zal hij in totaal gelopen hebben in de 20 weken voor de wedstrijd?

De laatste term is u20 = u1 + 19 ∙ v

= 10 + 19 ∙ 5

= 105

Schrijven we de rij tweemaal op, een keer gewoon en een keer achterstevoren om de som van de eerste 20 termen, s20 te vinden.

10 + 15 + 20 + … 95 + 100 + 105

105 + 100 + 95 + 20 + 15 + 10

115 + 115 + 115 + 115 + 115 + 115

Dan is 2 · s20 = 20 · ( 10 + 105) en dus s20 = 20 (10 + 105) 2 = 1150

Hij zal in totaal dus 1150 km gelopen hebben. In het algemeen is de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij:

formule sn = n ⋅ u1 + un 2

Verwerkingsopdrachten

5

Gegeven: de rekenkundige rij 4, 9, 14, 19, ...

Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij en bereken de tiende term.

2, 3

6 7 8 9

Gegeven: de rij 12, 2, -8, -18, ...

Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij en bereken de twintigste term.

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = 3 en v = 5

Bereken u10 en s10

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = -5 en v = 8

Bereken u12 en s12

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = 6 en u7 = 60

Bereken v en s6.

3 Meetkundige rijen

In de rij uit instapopdracht 2 die ontstond door het tellen van het aantal complimentjes (3, 9, 27, …) kan je steeds het aantal gegeven complimenten in een fase bepalen door het aantal complimenten uit de voorgaande fase te vermenigvuldigen met 3. Dat is een voorbeeld van een meetkundige rij met quotiënt of reden q = 3.

definitie Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan het product van de vorige term met een constant getal (het quotiënt of de reden q).

Voorbeelden

• 5, 10, 20, 40, 80, ... u1 = 5 en q = 2

• 1, 10, 100, 1000, ... u1 = 1 en q = 10

• 7, -7, 7, -7, 7, ... u1 = 7 en q = -1

3.1 Recursief voorschrift

Uit de definitie volgt onmiddellijk het recursief voorschrift van een meetkundige rij:

formule un+1 = un · q

Voor het aantal complimenten geeft dit:

un+1 = un ∙ 3 met u1 = 3

3.2 Expliciet voorschrift

Laten we kijken naar de rij met recursief voorschrift un+1 = un · 2 met u1 = 5: 5, 10, 20, 40, …

Daaruit kunnen we het expliciet voorschrift afleiden:

un = u1 · 2n–1 waarbij q = 2

In het algemeen is het expliciet voorschrift van een meetkundige rij:

formule un = u1 · qn–1

Voorbeeld

Geef het recursief en expliciet voorschrift van de onderstaande rij en bereken de achtste term. 2, 6, 18, 54, ...

Recursief: un+1 = un ∙ 3 met u1 = 2

Expliciet: un = 2 ∙ 3n–1

u8 = 2 ∙ 37 = 4374

3.3 Som van de eerste n termen van een meetkundige rij

Een dochter stelt aan haar vader voor om haar zakgeld te veranderen en om haar een maand lang elke dag wat centjes te geven. Ze vraagt 1 eurocent op dag 1, 2 eurocent op dag 2, 4 eurocent op dag 3 enz. Hoeveel eurocent hoopt ze zo na 30 dagen te krijgen?

Herinner: 20 = 1 dus we kunnen de rij 1, 2, 4, 8, ... schrijven als 20, 21, 22, 23, …

We schrijven de rij tweemaal op, een keer gewoon en de tweede keer vermenigvuldigd met q = 2 en dan nemen we het verschil.

s 20 + 21 + 22 + 227 + 228 + 229

2s 21 + 22 + … 227 + 228 + 229 + 230

s - 2s 20 + 0 + 0 + … 0 + 0 + 0 - 230

Dan is s - 2s = 20 - 230 en dus

s = 2s - s = 230 - 20 = 2 · 229 - 1 = 1 073 741 823 cent

Ze hoopt dus € 10 737 418,23 te krijgen. Hopelijk heeft haar vader het berekend vooraleer akkoord te gaan!

In het algemeen is de som van de eerste n termen van een meetkundige rij:

formule sn = u1 1 qn 1 q

Merk op

Deze formule is niet geldig als q = 1 (dan is de noemer 0). Als q = 1 dan zijn alle termen hetzelfde en geldt sn = n · u1

Deze constante rij kan je bekijken als een rekenkundige rij met verschil v = 0.

Verwerkingsopdrachten

10 11 12 13

Gegeven: de rij 1, 10, 100, 1000, ... Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij en bereken de tiende term.

4, 5

Gegeven: de rij 5, 25, 125, 625, … Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij en bereken de tiende term.

Gegeven: een meetkundige rij met u1 = 4 en q = 3.

Bereken u7 en s7

Gegeven: een meetkundige rij met u6 = 9375 en q = 5.

Bereken u1 en s8

4 Toepassingen van rijen

4.1 u 0 in plaats van u 1

Tot hiertoe hebben we altijd als eerste term u1 genomen bij rijen ( n = 1) . In vele toepassingen is het echter aangewezen om met u0 te beginnen ( n = 0).

4.1.1 Rekenkundige rij met u0

Een loodgieter vraagt voor elke opdracht standaard een kost van € 50 en daarbovenop € 30 per gewerkt uur.

gewerkte uren 0 1 2 3 4

totale kostprijs (in €) 50 80 110 140 170

Hier heb je initieel een kostprijs van 50 (€) zonder dat de loodgieter werk gedaan heeft, dus bij 0 uren werk ( u0 = 50) en een verschil v = 30 (€) voor elk gewerkt uur.

Het recursief voorschrift is:

un+1 = un + 30 met u0 = 50

En het expliciet voorschrift: un = u0 + n ∙ 30

Of in het algemeen: formule un = u0 + n ∙ v

4.1.2 Meetkundige rij met u0

Je werpt een basketbal 10 m op en dan meet je telkens de hoogte van de bots zonder de bal nog aan te raken. Elke keer botst de bal half zo hoog terug als de vorige keer.

Bij aanvang gooi je de bal 10 m omhoog, dit is voor een bots en wordt aangeduid met u0 = 10 (m).

Het recursief voorschrift is:

un+1 = un 2 met u0 = 10

En het expliciet voorschrift:

un = 10 1 2 n

Of in het algemeen:

formule un = u0 · qn

4.2 Intrest

4.2.1 Enkelvoudige intrest

Bij enkelvoudige intrest wordt de intrest enkel berekend op het originele bedrag.

Ella opent een basisrekening met een enkelvoudige intrest van 2% (ook rentevoet genoemd) en zet er € 3000 op bij de start van haar middelbaar. Ze wil weten wat haar kapitaal zal zijn als ze aan haar universitaire studies begint na 6 jaar.

startkapitaal: 3000 e

kapitaalna1jaar: (3000 + 3000 0,02) e =(3000 + 60) e

= 3060 e

kapitaalna2jaar: (3060 + 3000 0,02) e =(3060 + 60) e

= 3120 e

Debalansvormteenrekenkundigerijmet u0 = 3000en v = 60.

kapitaalna6jaar: u6 = u0 + 6 v

= 3000 + 6 ⋅ 60

= 3360 e

(Merkopdatdezerijbegintmet u0 ennietmet u1 .)

4.2.2 Samengestelde intrest

Bij samengestelde intrest wordt de intrest berekend op het volledige saldo.

De oma van Jef opent een speciale spaarrekening voor de twaalfde verjaardag van haar kleinzoon en zet er € 3000 op met een samengestelde intrest van 2%. Hij zal er pas de dag na zijn achttiende aankunnen en vraagt zich af welk bedrag er dan op zal staan.

startkapitaal: 3000 e

kapitaalna1jaar: (3000 + 3000 0,02) e =(3000 1,02) e

= 3060 e

kapitaalna2jaar: (3060 ⋅ 1,02) e = 3121,20 e

Ditiseenmeetkundigerijmet u0 = 3000en q = 1,02.

kapitaalna6jaar: u6 = 3000 ⋅ q6

= 3000 1,026

= 3378,49 e

4.3 Bevolkingsaangroei

In een klein stadje in Indië groeit de populatie vrij snel aan. Momenteel telt het stadje 14 260 inwoners. Elk jaar komen hier 7 % meer inwoners bij.

Als deze trend zich voortzet, geef dan de evolutie van het bewonersaantal voor de komende vijf jaar.

Oplossing

We hebben hier te maken met een meetkundige rij met u0 = 14 260 en q = 1,07

Evolutie gedurende de komende vijf jaar:

u0 = 14260

u1 = u0 q = 14260 1,07 ≈ 15258

u2 = u0 ⋅ q2 = 14260 ⋅ 1,072 ≈ 16326

u3 = u0 q3 = 14260 1,073 ≈ 17469

u

u

Verwerkingsopdrachten

14 15

6, 7

Een kind krijgt een spaarrekening van zijn ouders bij de geboorte met een bedrag van € 5000. Bereken het verschil in kapitaal juist na zijn achttiende verjaardag tussen een rekening met enkelvoudige en een rekening met samengestelde intrest als het intrestpercentage in beide gevallen 3% is.

Een bubbelbad is gevuld met 1100 liter water. Door de hoge temperatuur verdampt er 9% van het water per uur. Hoeveel water zal er nog over zijn na 4 uur?

5 Grafische voorstelling en

limieten van rijen

5.1 Grafische voorstelling van rijen

We kijken nog eens terug naar de kostprijs van een loodgieter en stellen dit grafisch voor.

Dit is een rekenkundige rij met expliciet voorschrift un = u0 + n ∙ 30.

Als we dit herschrijven als un = 30 ∙ n + 50 kunnen we hier de link zien met de vergelijking van een rechte y = ax + b of y = 30x + 50 waarbij 30 de richtingscoëfficient is en 50 het snijpunt met de y-as.

In het algemeen zullen de elementen van een rekenkundige rij als discrete punten op een rechte liggen met richtingscoëfficient v en u0 het snijpunt met de y-as.

We kunnen ook de botshoogte van de bal uit het vorige hoofdstuk grafisch voorstellen.

Dit is een meetkundige rij met q = 1 2 , in de grafiek herkennen we een exponentieel verval.

Tijdens de coronapandemie werd er regelmatig over het reproductiegetal R gesproken. Dit was het gemiddeld aantal mensen dat besmet werd door 1 besmet persoon. Stel dat elk besmet persoon gemiddeld 2 personen besmette, dan ziet de verspreiding eruit als volgt:

R = 2

Dat betekent dat na 3 overdrachten reeds 8 personen besmet zijn. Dit proces vormt een meetkundige rij: 1, 2, 4, 8 ,... met u0 = 1 en q = 2.

Hier is sprake van exponentiële groei: na 10 overdrachten heeft 1 originele besmetting al voor meer dan 1000 besmette personen gezorgd als elke persoon gemiddeld 2 anderen besmet.

5.2 Limieten van rijen

Wat gebeurt er nu in het voorbeeld van de bal als we meer en meer botsen, dus als n toeneemt?

We kijken naar de grafiek:

Convergentie van de rij betekent dat de waarden un dichter en dichter bij een vaste waarde gaan liggen, in dit geval 0, als n groter wordt.

We zien dat voor een groter aantal botsen (grotere n) de botshoogte dichter en dichter bij 0 gaat, de rij convergeert naar 0. Formeel kunnen we zeggen: de limiet voor un als n naar +∞ gaat is 0. We noteren dit als volgt:

formule lim n → +∞ un = 0

We kunnen dit ook bekijken voor iets minder eenvoudige rijen.

Stel we hebben een bos met initieel 20 egels. Elk jaar krimpt het aantal egels met 10% (er blijft dus 90% over) maar er worden uit een asiel ook jaarlijks 4 egels terug in het bos uitgezet.

Het aantal egels kan beschreven worden met de rij:

un+1 = 0,90 ∙ un + 4 met u0 = 20

Egels

Hieruit kunnen we afleiden dat het aantal egels na een aantal jaren stabiel gaat blijven rond 40 of formeel: lim n → +∞ un = 40

Merk op

• Niet alle rijen convergeren. Neem de rij un = n2. De termen van deze rij worden telkens groter als n groter wordt. Deze rij divergeert en de limiet van deze rij is +∞.

un =+∞

• De rij un = ( -1) n ( -1, 1, -1, …) heeft geen eindige of oneindige limiet maar blijft schommelen. Deze rij is ook divergent.

Verwerkingsopdrachten

16

Beschouw de rij met voorschrift:

un = 2 + 1 n

a) Stel de eerste twintig termen grafisch voor.

b) Bepaal lim n → +∞ un aan de hand van de grafiek.

17

8, 9

18

Een taxirit kost € 3 plus 10 cent per kilometer. Vul de tabel aan en stel deze rij grafisch voor. Op welke rechte liggen deze punten?

aantal kilometer 0 1 2 3 kost rit (in €)

Een nieuwe school start met 100 leerlingen en groeit elk jaar met 25%. Geef het voorschrift van deze rij en stel grafisch het aantal leerlingen in de eerste 10 jaren van de school voor. Welk verloop kunnen we hierin herkennen?

Wanneer er zich in een zoetwatermeer meer dan 550 kg zout bevindt, wordt de lokale vispopulatie bedreigd. Door de uitstroom naar zee kan de zouthoeveelheid maandelijks met 40% verminderd worden. Nu wil de lokale vispekelarij elke maand 200 kg zout in het meer storten bij het reinigen van hun machines. Zou de gemeente dit mogen toelaten?

TIP

Neem als startwaarde u1 = 200

Bij de corona-epidemie was het reproductiegetal R op een bepaald moment 1,25, dus elk persoon besmette op zijn beurt gemiddeld 1 en een kwart persoon. Toon grafisch hoeveel besmette personen er dan zouden zijn na elke overdracht (tot 10 overdrachten), beginnende met 100 besmette personen. Wat als R = 0,75 was?

Signaaloefeningen

Verbind de volgende rijen met het juiste voorschrift.

1, 7 3 , 25 9 , 79 27 , 241 81 ,… •

5 2 ,5, 15 2 ,10, 25 2 ,… •

1,2,5,14,41,… •

1 2 ,0, 1 2 ,0, 1 2 ,… •

2,4,8,16,32,… •

6,9,12,15,18,… •

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = 9 en u5 = 65

Bereken v en s7

• un+1 = 3un 1met u1 = 1

• un = 5 2 n

• un+1 = un 3 + 2met u1 = 1

• un = 3(n + 1)

• un+1 = un + 1 2 met u1 = 1 2

• un = 2n

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D7

>>> Verder oefenen : D8 t.e.m. D20

3

Gegeven: een rekenkundige rij met v = 3, n = 14 en sn = 343

Bereken u1 en un

4

Gegeven: een meetkundige rij met u1 = 5 en q = 7.

Bereken u5 en s8.

5

Gegeven: een meetkundige rij met q = 3 en s5 = 605.

Bereken u1 en s7.

6

>>> Verder oefenen : D8 t.e.m. D20

>>> Verder oefenen : D21 t.e.m. D29

>>> Verder oefenen : D21 t.e.m. D29

Livia opent een bankrekening met een samengestelde intrest van 4,5% per jaar. Ze zet er aan de start van haar studietijd € 2500 op en dan laat ze het 5 jaar staan. Bereken haar saldo aan het einde van haar studies.

>>> Verder oefenen : D30 t.e.m. D38

7

In een labo worden twee bacteriën onderzocht die zich vermenigvuldigen. Elke minuut verdubbelt het aantal bacteriën zich. Hoeveel bacteriën zijn er na een kwartier?

>>> Verder oefenen : D30 t.e.m. D38

2

9

Een gezin gaat op kampeervakantie en wil een tent huren. De basisprijs voor 1 dag bedraagt € 100, daarna betaal je € 20 per dag. Geef het recursief voorschrift van deze rij en stel deze grafisch voor. Welk verloop kunnen we hierin herkennen?

>>> Verder oefenen : D39 t.e.m. D45

Een ballon bevat 1000 ml lucht. Bij het bijblazen door een klein meisje komt er telkens 200 ml meer lucht in, maar ontsnapt er ook 40% van de lucht. Welk volume zal de ballon uiteindelijk aannemen?

>>> Verder oefenen : D39 t.e.m. D45

Differentiatietraject

Bereken de volgende drie termen van de gegeven rijen.

a) 2, 6, 18, 54, 162, ...

b) 1, 4, 9, 25, ...

c) 2a - b, 4a - 2b, 6a - 3b, ...

d) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Bereken de eerste vijf termen van de volgende rijen bepaald door een recursief voorschrift.

a) un+1 = 3un 1met u1 = 1

b) un+1 = 1 + 3un met u1 = 5

c) un+1 = 1 un met u1 = 1 2

d) un+1 = un 4n met u1 = 3

Bereken de eerste vijf termen van de volgende rijen bepaald door een expliciet voorschrift.

a) un = 3n + 12

b) un = 12 3n

c) un = 3 n + 1

d) un = 5n2 6

e) un = 2n 1

Bepaal telkens het recursief voorschrift van een rij die als eerste term 4 heeft en waarvan de volgende term kan gevonden worden door …

a) de vorige term te vermenigvuldigen met 3 en er dan 5 bij op te tellen.

b) de vorige term met 2 te verhogen en dan te vermenigvuldigen met 4.

c) de vorige term te kwadrateren en dan te verminderen met 1.

De beroemde rij van Fibonacci begint als volgt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Bereken de volgende drie termen en schrijf het recursief voorschrift (neem u1 = u2 = 1).

De rij 3, 10, 38, 150, ... heeft als recursief voorschrift un+1 = a · un + b.

Bepaal de waarden van a en b

Stel voor de volgende rijen een expliciet of recursief voorschrift op.

a) 3 2 ,1, 1 2 ,0, 1 2 ,…

b)10,5, 5 2 , 5 4 , 5 8 ,…

c) 4 9 , 8 27 , 16 81 , 32 243 ,…

8 9

Bereken de volgende drie termen in de onderstaande rekenkundige rijen.

a)2,7,12,17,…

b)9,5,1, 3,…

c)0,5;0,7;0,9;…

d) 1 2 , 3 4 ,1, 5 4 ,…

Bepaal het recursief voorschrift van de onderstaande rekenkundige rijen.

a)2,7,12,17,…

b)9,5,1, 3,…

c)0,5;0,7;0,9;…

d) 1 2 , 3 4 ,1, 5 4 ,…

Bepaal het expliciet voorschrift van de onderstaande rekenkundige rijen.

a)2,7,12,17,…

b)9,5,1, 3,…

c)0,5;0,7;0,9;…

d) 1 2 , 3 4 ,1, 5 4 ,…

Bepaal de gevraagde term voor de volgende rekenkundige rijen, gebruik makend van het expliciet voorschrift.

a) u1 = 6en v = 3 20steterm

b) u1 = 6en v = 3 10determ

c) u1 = 6en v = 2 15determ

d) u1 = 0,5en v = 0,1 12determ

e) u1 = 2 3 en v = 1 3 22steterm

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = 50 en v = -5

Bereken u6 en s6

Gegeven: een rekenkundige rij met v = 5 en u4 = 24

Bereken u2 + u9

14

Bepaal de som van de eerste 100 natuurlijke getallen.

15

Een rekenkundige rij heeft als eerste term 2 en als vijfde term 18. Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij.

16

Bepaal het aantal termen in de volgende rij: 5, 7, 9, ... , 75

17

Gegeven: een rekenkundige rij met v = 9, n = 8 en u8 = 53

Bereken u1 en s8.

18

Gegeven: een rekenkundige rij met u8 = 33 en v = 3

Bereken u1 en s20.

19 20

Max wil sparen voor een computerspel. Hij heeft € 4 en plant elke week € 2,50 te sparen.

a) Hoeveel heeft hij gespaard na 12 weken?

b) Het spel kost € 100. Hoelang zal Max moeten sparen?

De zitjes in een aula zijn V-vormig opgesteld. De onderste rij telt 28 zitjes en elke volgende rij telt 3 zitjes meer. Rij twee telt dus 31 zitjes, rij drie 34 enzovoort. In totaal zijn er 1309 plaatsen. Hoeveel rijen telt deze aula?

Bereken de volgende drie termen in de onderstaande meetkundige rijen.

a)1,6,36,216,…

b)768,192,48,12,…

c)1000,100,10,1,…

d) 27 5 ,9,15,…

22

Bepaal het recursief voorschrift van de onderstaande meetkundige rijen.

a)1,6,36,216,…

b)768,192,48,12,…

c)1000,100,10,1,…

d) 27 5 ,9,15,…

Bepaal het expliciet voorschrift van de onderstaande meetkundige rijen.

a)1,6,36,216,…

b)768,192,48,12,…

c)1000,100,10,1,…

d) 27 5 ,9,15,…

Een populatie boomkevers telt momenteel 200 kevers. Elke week groeit de populatie met 8% aan. Hoeveel kevers zijn er (ongeveer) na 5 weken?

31

Een figuur wordt als volgt opgebouwd, waarbij we vertrekken van een witte gelijkzijdige driehoek met oppervlakte 1 en die vervolgens opvullen met zwarte gelijkzijdige driehoeken waarvan de zijde telkens gehalveerd wordt.

a) Vervolledig de tabel, te beginnen met de grootste zwarte driehoek:

zwarte driehoek 1 2 3 4 5

b) Bepaal het expliciete voorschrift van de verkregen rij. Pas de gepaste formule toe om de totale oppervlakte van de eerste vier driehoeken te bepalen.

Gegeven: een meetkundige rij met u1 = 3, un = 729 en sn = 1092.

Bereken q en n

De aandelen van een bedrijf zijn uitgegeven voor een initiële prijs van € 20. De waarde van de aandelen groeit jaarlijks met 20%.

Bereken de waarde van de aandelen 10 jaar na de initiële uitgave.

Een cultuur van bacteriën verdubbelt elke 3 uur. Als er aan het begin 100 bacteriën zijn, hoeveel bacteriën zijn er dan na 24 uur?

Een kapitaal van € 3000 op een rekening met samengestelde intrest is na 4 jaar gegroeid tot € 3152,84. Bereken de rentevoet (intrest percentage).

Ilona erft een bedrag van haar grootmoeder en laat het 10 jaar op een spaarrekening staan met een samengestelde intrest van 3%. Na tien jaar staat er € 7391,54 op de rekening. Hoeveel had Ilona geërfd?

Rayan is samen met zijn vriend een dagje aan zee op het strand. Omdat het nogal fel waait besluit hij om het windscherm open te zetten. Zo een windscherm bestaat uit houten palen van 1m60 lang met daar tussenin een zeil. De palen worden in het zand geklopt met een houten hamer. Bij de eerste slag gaat de paal 7 cm diep het zand in. Bij elke volgende slag gaat de paal 1,5 cm dieper het zand in. Hoe diep slaat Rayan de palen het zand in als hij twaalf maal slaat op elke paal?

37

Walid wil graag deelnemen aan de marathon van Parijs. Hiervoor heeft hij een trainingsschema opgesteld. Deze week (de eerste week) loopt hij 5 kilometer, de week daarop (de tweede week) 9 kilometer, de week daarop 13 kilometer, enzovoort. Ook Sofian wil de marathon lopen. Hij loopt de eerste week 11 kilometer, de tweede week 14 kilometer, de week daarop 17 kilometer, enzovoort. Is er een week waarin ze allebei evenveel kilometer lopen zodat ze samen kunnen lopen?

Yuna haar blokkendoos telt 197 blokjes. Yuna wil een toren bouwen zoals op de figuur.

a) Hoe hoog (hoeveel rijen hoog) kan Yuna haar toren maken?

b) Hoeveel blokjes heeft Yuna dan nog over?

c) Yuna is erin geslaagd om de rijen met een even aantal blokjes te bouwen met rode blokjes en de rijen met een oneven aantal blokjes in het geel. Hoeveel rode blokjes zijn er meer gebruikt dan gele?

In een dorpszaaltje dat gebruikt wordt voor toneelvoorstellingen zijn de stoelen als volgt gezet. Op de eerste rij staan 16 stoelen, op de tweede rij 20, op de derde 24, enzovoort. In totaal zijn er 15 rijen stoelen.

a) Hoeveel stoelen staan er in dit zaaltje?

b) De stoelen worden van beneden naar boven genummerd. Op welke rij bevindt zich stoel 400?

38

Nonkel Roger doet volgend voorstel aan zijn petekind met nieuwjaarsdag:

- ofwel krijgt hij vandaag op 1 januari 850 euro

- ofwel krijgt hij vandaag op 1 januari 20 euro, op 1 februari 30 euro, op 1 maart 40 euro, op 1 april 50 euro, enzovoort elke maand 10 euro extra en dit tot en met 1 december

- ofwel krijgt hij vandaag op 1 januari 4 euro, op 1 februari 6 euro, op 1 maart 9 euro, op 1 april 13,5 euro, enzovoort elke maand anderhalve keer het bedrag van de vorige maand en dit tot en met 1 december Welk voorstel zou jij nemen?

41

Stel de rij met voorschrift un = 2n + 1 grafisch voor. Welke functie herken je?

42

Een gsm-abonnement heeft een maandelijkse kost van € 10 plus € 2 per GB aan dataverbruik.

Vul de tabel aan en stel grafisch de maandelijkse kost ten opzichte van het dataverbruik voor.

dataverbruik (in GB) 0 1 2 3 4

maandelijkse kost (in €) 10

Neem een rekening met € 1000 als startbedrag en een intrestpercentage van 5%. Bereken voor zowel enkelvoudige als samengestelde intrest het kapitaal over 10 jaar en stel deze grafisch voor. Welk verloop kunnen we hierin herkennen?

43

Een ballon wordt opgeblazen met 1000 ml lucht. Elke dag ontsnapt er 10% van die lucht. Stel dit grafisch voor en bepaal de limiet lim n →

Een bubbelbad wordt gevuld met 1100 liter water. Er verdampt 9% per uur van het water maar er wordt ook elk uur 90 liter water terug bijgevoegd. Hoeveel water zal er na vele uren in het bubbelbad zitten?

44

Een school plant een nieuw gebouw omdat er meer ruimte nodig is. Bij de start van het jaar zijn er 750 leerlingen. Op het einde van elk schooljaar verlaten ongeveer 16% van de leerlingen de school. Bij het begin van het schooljaar komen er 150 nieuwe leerlingen bij.

Het nieuwe schoolgebouw wordt voorzien op 900 leerlingen. Zal dit op lange termijn voldoende zijn?

Eén zomerse duik in een meer en je zwemt ze vast en zeker tegen het lijf: algen

De meeste algen nemen in aantal toe door celdeling. Groei van algen betekent niet zozeer dat cellen groter worden, maar dat het aantal cellen toeneemt.

In een meer is momenteel 5 m2 van een algensoort aanwezig. Door celdeling verdrievoudigt deze oppervlakte wekelijks.

a) Hoeveel m2 algen telt dit meer na 4 weken?

b) Hoeveel m2 algen komen er gedurende de vijfde week bij?

Studiewijzer

Differentiatietraject

Doelen

Ik kan bij een rij de formule voor een algemene term afleiden.

Ik kan bij een rekenkundige rij de formule voor een algemene term en de som van de eerste n termen afleiden en toepassen.

Ik kan bij een meetkundige rij de formule voor een algemene term en de som van de eerste n termen afleiden en toepassen.

Ik kan problemen oplossen in verband met rekenkundige of meetkundige rijen.

Ik kan rijen grafisch voorstellen en hieruit de limiet afleiden.

Doelstellingen

Ik kan bij een rij de formule voor een algemene term afleiden.

Een rij kan beschreven worden aan de hand van een expliciet of een recursief voorschrift. Leg in eigen woorden uit wat het verschil is tussen beide voorschriften.

verwerking : 1, 2, 3, 4

: 1

: 1 t.e.m. 7

Ik kan bij een rekenkundige rij de formule voor een algemene term en de som van de eerste n termen afleiden en toepassen.

Daag je klasgenoten uit: stel zelf een rij op en laat ze op zoek gaan naar de volgende termen in de rij.

verwerking : 5, 6, 7, 8, 9

signaal : 2, 3 differentiatie : 8 t.e.m. 20

Ik kan bij een meetkundige rij de formule voor een algemene term en de som van de eerste n termen afleiden en toepassen.

Bestaan er nog andere soorten rijen buiten rekenkundige en meetkundige rijen?

verwerking : 10, 11, 12, 13 signaal : 4, 5 differentiatie : 21 t.e.m. 29

Ik kan problemen oplossen in verband met rekenkundige of meetkundige rijen.

Waarom is het in sommige gevallen handiger om rijen te laten starten bij u0 in plaats van bij u1?

verwerking : 14, 15 signaal : 6, 7

Ik kan rijen grafisch voorstellen en hieruit de limiet afleiden.

differentiatie : 30 t.e.m. 38

Keer na het zien van het volgende hoofdstuk over exponentiële groei eens terug naar dit onderdeel. Zie je het verband tussen meetkundige rijen en exponentiële curves? Welk soort functies link je aan rekenkundige rijen?

verwerking : 16, 17, 18, 19, 20 signaal : 8, 9

differentiatie : 39 t.e.m. 45