24
X < q < Y , por lo tanto existe al menos un número racional q entre dos números reales "X" y "Y" positivos. 2º-) Ahora, haremos la demostración para el caso en que ambos números "X" y "Y" sean negativos, con X < Y < 0 . entonces tenemos que - X > - Y > 0 ; entonces ( - X ) - ( -Y ) > 0 o sea , ( - X ) - ( -Y ) es positivo , es decir Y - X > 0 luego, como para cualquier a > 0 ! ( 1 / a ) > 0 , entonces existe un entero a∈N tal que 0 < (1 / a) < ( Y- X ) y siguiendo el mismo proceso anterior, para el caso Positivo, se llega también a X < q < Y , por lo tanto existe al menos un número racional q entre dos números reales "X" y "Y" positivos. ___________________________________________________________________________ Ejercicio 1- 14 ) Demuestre que la Suma de un número racional q= a / b , con b≠ 0 , y de un número irracional X es siempre un número irracional. Demostración: Sea q un número racional con representación decimal fínita : q = ao + a1 /10 + a2 / 102 + a3 / 103 + . . . + an / 10n , en donde ao es entero > 0 , y a1 a2 a3
. . . an
son enteros que satisfacen 0 ≤ ai ≤ q .
y sea X un número irracional ( no tiene representación decimal fínita ) entonces, q + X = ( ao + a1 /10 + a2 / 102 + a3 / 103 + . . . + an / 10n ) + X = ( ao + X ) + a1 /10 + a2 / 102 + a3 / 103 + . . . + an / 10n ( usando la propiedad asociativa) Pero ( ao + X ) seria un irracional dado que ( ao ) es entero > 0 , y X es Irracional ; por lo cual el número (q + X ) no cumple con la propiedad de tener representación decimal fínita , de la forma : q + X = ( bo + a1 /10 + a2 / 102 + . . . + an / 10n ) dado que bo + X no seria entero.