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Ejercicio 1- 12 ) Demuestre que el conjunto de los números Racionales Q, es "Denso en si mismo", en el sentido de que entre dos números racionales siempre hay otro. Demostración: Sean a , b∈Q ; Q = { x / x = p / q ; p, q∈Z , con q ≠ 0 } , tales que a ≠ b . Si consideramos primero que a < b , entonces existirá un número racional q1 = ( a + b ) / 2 , tal que a < q1 < b , dado que a < b ! a + a < a + b ! 2 a < a + b , de donde a < ( a + b) / 2 . Si consideramos ahora, que b < a , entonces existirá un número racional q2 = ( a + b ) / 2 , tal que b < q2 < a , dado que si b < a ! a + b < a + a ! a + b < 2a , de donde (a +b)/2
< a .
Por lo cual podemos concluir que entre todo par de números racionales a y b ; con a ≠ b siempre existe otro racional. _________________________________________________________________________ Ejercicio 1- 13 ) Demuestre que el conjunto de los números Racionales Q, es un "Conjunto Denso en el Sistema de los Números Reales". Es decir si "X" y "Y" son números reales arbitrarios, con X < Y , pruebe que existe al menos un número racional q, tal que X < q < Y , y por lo tanto un número infinito de dichos números. Demostración: Como uno de los números reales es menor que el otro X < Y , entonces si "X" es negativo y Y es positivo, entonces el número racional 0 está entre ellos dos, es decir X < 0 < Y . 1º-) Haremos la demostración para el caso en que ambos números "X" positivos como X < Y significa que Y - X es positivo ( Y - X > 0 ) .
y "Y" sean
Luego, de los números naturales tenemos que existe a∈N tal que 0 < (1 / a) < (Y- X) Nota: recordemos que si a > 0 ! ( 1 / a ) > 0 . o sea, X + (1 / a ) < Y , pero 0 < X < X + (1/a) ; luego entonces, X < ( ( a X + 1 ) / a ) < Y , considerando que para alguna X > 0 ! a X + 1 es entero, y haciendo q = ( a X + 1 ) / a
(número racional) , tendremos que: