República Bolivariana de Venezuela UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO” VICERECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRICA
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Contenido Teorico ✓ Sistemas en tiempo discreto ✓ Establilidad de sistemas discretos ✓ Pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto ✓ Tiempo de levatamiento ✓ Sobrepaso maximo
Ejercicios 1. Dado el sistema representado en la figur, determine el valor de k y examine su establilidad a traves del criterio de juri
LOS SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO TRABAJAN CON SEÑALES QUE SÓLO PUEDEN CAMBIAR DE VALOR EN INSTANTES DE TIEMPO DISCRETOS (CONTRASTAR CON SISTEMAS ANALÓGICOS /CONTINUOS)
Sistemas en tiempo discreto ✓ La computadora digital implementa el controlador discreto. ✓ La interfaz con el mundo analógico se hace a través de conversores (A/D para las entradas y D/A para las salidas). ✓ Se trabaja con sistemas donde el tiempo no se representa por una variable en R, sino en Z.Las señales serán sucesiones de reales ✓ Si suponemos que reemplazamos un controlador PI analógico, cuya salida, en función de la señal de error a su entrada, es: ✓ Con la comp. digital podemos sumar, multiplicar e integrar numéricamente, por lo cual podemos implementar la ecuación del controlador, aproximando la integral (por ej.) por el área del rectángulo: ✓ Así obtenemos la ecuación en diferencias, lineal y de primer orden: ✓ La forma general de una ec. en diferencias lineal y de orden n: con T omitida por conveniencia. Esto describe a un filtro digital (filtr
hk h0 , h1, v(t ) K P .e(t ) K I .0 e( ).d t
x(k.T ) x(k 1).T T .e(k.T ) donde T es el tiempo entre muestras sucesivas, o sea, el período de muestreo.
v(k.T ) K P .e(k.T ) K I .x(k.T ) v(k ) n .e(k ) n1.e(k 1) 0 .e(k n) n1.v(k 1) 0 .v(k n) discreto lineal e invariante en el tiempo).
sistemas de control en Tiempo Discreto ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS
La estabilidad se puede determinar a partir de la localización de los polos de lazo cerrado en el plano Z o por las raíces de la ecuación característica.
De la siguiente forma: 1. El sistema es estable, si los polos de lazo cerrado las raíces de la ecuación característica quedan localizados dentro del círculo unitario en el plano Z. 1 -1 Región Inestable 2. Si un polo simple está ubicado en Z=1 o en Z=-1, el sistema es marginalmente estable, lo mismo sucede si un par de polos conjugados complejos está sobre el círculo unitario. Polos múltiples localizados sobre el círculo unitario dan como resultado un sistema inestable 3. Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema y pueden estar ubicados en cualquier parte del plano Z
¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto? Los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores. Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables durante los periodos transitorios y también pueden producir errores en estado estable. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como fricción estática, juego o bamboleo, deriva térmica, envejecimiento o deterioro pueden provocar errores en el estado estacionario En los sistemas de control en tiempo discreto si en la etapa en estado estable la salida es diferente al valor deseado, se dice que existe un error en estado estacionario, este error depende del tipo de sistema de control (en forma específica de la función de transferencia de lazo abierto) y de la señal de entrada Los sistemas de control también clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir a entradas escalos, rampas, parábolas y otras. Las entradas reales se suelen considerar como una combinación de ellas. Los valores de los errores estacionarios debido a esas entradas individuales son indicativos del desempeño del sistema. ✓ ✓ ✓ ✓
La secuencia muestra o impulso unitario La señal escalón unitario La señal rampa unitario La señal exponencial
Una característica importante asociada con la respuesta transitoria es el error em estado estacionario permanente. El desempeño en estado permanente de un sistema de control estable se juzga en general por el error en estado permanente debido a las entradas escalón, rampa y aceleración Existe tipos de error en estado permanente atribuidos a causas como imperfecciones en los componentes del sistema por fricción, estática, zonas muerta, deterioro o edad de los componentes. Los sistemas de control en tiempo discreto pueden clasificarse según el número de polos en lazo abierto en Z=1 Las constantes se estudian aplicando a la función que define el error del teorema de muestreo. De esta forma se determina ✓ La constante de error de posición estática (Ka) que genera la respuesta a una entrada escalón ✓ La constante de error de velocidad estática (Kv) que genera la respuesta a una entrada rampa unitaria ✓ La constante de error de aceleración estática que genera la respuesta a una entrada de aceleración unitaria
1. para los sistemas que vengan dado por una funciรณn de transferencia G(z) cuya entrada es R(z) y la salida Y(z), el error vendrรก dado por la siguiente ecuaciรณn
2. por lo que se necesita que, para hallar el error en estado permanente, se le aplica el th. Del valor final quedando
Siendo uno de los caos de mayor frecuencia de la entrada escalรณn unitario, expresรกndose:
Nota: considerando tambien, que un sistema de primer orden tien erp ante escalon nulo si (a+b)=1 3. El error en estado permanente de un sistema con funcion de transferncia en G(s) en lazo cerrado, se encuentra expresado
4. Por lo que el error en estado permanete sera
4.1 teniemdo e cuenta que si R(z) es un escalon unitario, se tendra:
Donde
es la ganancia estatica de bucle abierto de la planta
4.1.1 para que el erroe sea cero Kp debe ser infinta $ polo en z=1, siste,a de tipo 1 4.2 en el caso de que la entrada ahora sea una ramoa, se da la siguiete expresion Donde
Tomando en cuenta: ✓ Un sistema tipo 0 tinene K.,=0 error infinito ✓ Un sistema tipo 1 tiene K., distinta de cero y finita ✓ Un sistema tipo 2 tiene K., infinita error cero
error finito
4.3 Si se presenta el caso en el que R(z) es una parabola, se tiene
4.3.1 los sistemas sean de tipo 0 y 1 tiene Ka=0, por lo que el erros es infinito. Los de tipo 2 tienen Ka infinita y error finito, y los de tipo 3 y superior tiene Ka infinita y error creo En resumen
Tiempo de levantamiento y sobrepaso maximo
Sobrepaso máximo Tiempo de levantamiento Cuando hablamos de tiempo de levantamiento, estamos hablando sobre una de las especificaciones, de la respuesta transitoria El cual se puede definir como el tiempo para pasar de un 10% hasta un 90%, de 5% a 95%, o de 0% a 100% de su valor final, según la situación que se presente Para los sistemas de segundo orden sub amortiguados, por lo regular se utilizan en el tiempo de levantamiento de 0 a 100%Para sistemas sobre amortiguados y sistemas con atraso se transporte, comúnmente se utiliza el tiempo de levantamiento de 10% a 90%
Cuando hablamos del sobrepaso máximo nos encontramos hablando nuevamente sobre una de las especificaciones, de la respuesta transitoria. Este se puede considerar como el valor máximo de la curva de respuesta medido a partir de la unidad Si el valor final en el estado permanece de la respuesta difiere de la unidad, entonces es común utilizar el sobrepaso porcentual máximo. Quedando definido por la relación: La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica en forma directa la estabilidad relativa del sistema
Sobrepaso mรกximo
¿Qué diferencia (s) existe entre el cálculo y dibujo de las trazas del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto?
Ejercicios
2 ceros finitos
De la ecuacion caracteristica
3. Determinar el valor de Îąen el diagrama de bloques de la figura, de forma que tenga
un error de velocidad de ev= T/2(3pts)
Como
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Autor Diana Rivera CI 261209478