Volume 2, n◦ 1
Compêndio do Blog Fatos Matemáticos
Este limite surge no Cálculo quando estudamos a derivada das funções trigonométricas. Historicamente, Galileu Galilei (1564 − 1642) deduziu erroneamente que este limite seria nulo, mas uma análise no ciclo trigonométrico abaixo mostra que
sin θ ≤ θ ≤ tan θ Dividindo por sin θ, aplicando o limite nas desigualdades e usando o teorema do sanduiche,
obtemos (2.5). Com este resultado, podemos calcular facilmente a derivada das funções sin x e cos x,mas isto pode ser visto em qualquer livro de Cálculo. Como as funções trigonométricas estão intimimamente relacionadas com a circunferência, vem a pergunta:
Será que o LTF está relacionado diretamente com o círculo? A resposta é positiva, pois é através do LTF que provamos diretamente que área do círculo é dada por S = πr2 . De fato, considere a gura abaixo:
Designaremos por s(n) e S(n) as áreas dos polígonos inscritos e circunscritos e por S . Do triângulo ON B , ON = r cos θ e BN = r sin θ de modo que a área do triângulo é
ON × BN r2 = sin θ cos θ 2 2 19
⇒
s(n) = nr2 sin θ cos θ