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caderno do

ensino fundamental

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6 - SÉRiE volume 2 – 2009

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matEmática

PROFESSOR

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Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNiCA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOiO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 6ª- série, volume 2 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-293-9 1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.3:51


Prezado(a) professor(a), Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças nesta área a partir da ação do poder público. Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção. O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas para cada disciplina. Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educação.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

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SuMário São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

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orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

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Situação de Aprendizagem 1 – A geometria dos ângulos

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Situação de Aprendizagem 2 – Refletindo e girando com simetria Situação de Aprendizagem 3 – Polígonos e ladrilhamento do plano

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Situação de Aprendizagem 4 – Classificação, montagem e desenho de poliedros Orientações para Recuperação

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Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 47 Considerações finais

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Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental

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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as dez metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

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FiCHA do CAdErno Ângulos, polígonos e poliedros

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Fundamental 6ª2º- bimestre de 2009 Definição e medida de ângulos Simetria axial (reflexão) e rotacional Translações Definição de polígonos Ângulos internos, externos, soma dos ângulos Definição, desenho, construção e classificação de poliedros Relação de Euler

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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de abordagem dos mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento, ou seja, escolherá uma escala adequada para o tratamento do mesmo. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades

contribui para a compreensão das outras. Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes, e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

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Conteúdos básicos do bimestre Os conteúdos básicos do 2º- bimestre da 6ª- série são ângulos, polígonos e poliedros. As Situações de Aprendizagem 1, 2, 3 e 4 apresentadas nesta proposta relacionam os três conteúdos de forma que se configure um arranjo único e coerente. Como muitas das atividades propostas envolvem construções geométricas, recomenda-se que o professor oriente seus alunos para que disponibilizem régua, compasso, esquadros e transferidor. Na Situação de Aprendizagem 1 – A geometria dos ângulos, será introduzida a ideia da medida de um ângulo. Ângulos que na 5ª- série 1 1 3 volta, de volta, de são indicados por 2 4 4 volta passam a assumir a medida de um raso, um reto e três retos, ou ainda 180o, 90o e 270o. Faz parte do desenvolvimento dessa atividade criar um ambiente que favoreça a construção de referenciais para a estimativa visual da medida dos ângulos, bem como a manipulação do transferidor para medir e construir ângulos. Outra ideia que também será explorada é a do uso dos ângulos como referência de localização. Definido um ângulo, o sentido de giro e a distância a ser percorrida em certa direção, podemos nos orientar e locomover com precisão, como fazem os aviões e as embarcações. Em conexão com essa ideia, também será apresentada nesta Situação de Aprendizagem uma proposta de construção de polígonos por meio de comandos, como se estivéssemos programando um computador. A lógica utilizada em tais construções possibilita o desenvolvimento de habilidades diretamente relacionadas à lógica de programação de computadores.

Tanto na natureza como nos objetos criados pelo homem, a presença das simetrias se faz de forma marcante. Na Situação de Aprendizagem 2 – refletindo e girando com simetria, será apresentada uma proposta de trabalho que explora as ideias de simetria axial (reflexão), rotacional e as translações. As atividades apresentam possibilidades para o estudo de ângulos e simetrias explorando objetos do dia-a-dia, malhas quadriculadas e malhas de pontos. Uma vez estabelecida familiaridade com as medidas e as construções dos ângulos, na Situação de Aprendizagem 3 – Polígonos e ladrilhamento do plano, apresentamos uma atividade para trabalhar relações entre os ângulos de um polígono. Inicialmente discutimos a fórmula da soma dos ângulos de um polígono e, na sequência, por meio de construções de mosaicos com polígonos, exploramos algumas relações geométricas entre ângulos. Nessa atividade, também será trabalhada a habilidade de observação e generalização de regularidades e padrões, bem como expressões numéricas em caráter contextualizado. A Situação de Aprendizagem 4 – Classificação, montagem e desenho de poliedros, mantém uma forte relação com as demais porque a geometria dos poliedros será tratada como uma ampliação das ideias trabalhadas com os polígonos para o espaço tridimensional. A ideia de que o ladrilhamento do plano com polígonos regulares só é possível se, em torno de um ponto, conseguirmos agrupar ângulos que totalizem 360o será agora ampliada para os ângulos poliédricos. Para formar um ângulo poliédrico, necessitamos de pelo menos três

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polígonos agrupados em seu vértice, e a soma dos ângulos desses polígonos tem de ser menor que 360o, caso contrário não seria possível formar a curvatura necessária para um ângulo no espaço.

Além da investigação experimental sobre a montagem de poliedros, a Situação de Aprendizagem também enfatiza a importância do tema para o desenvolvimento da habilidade de classificação.

Quadro geral de conteúdos do 2º- bimestre da 6ª- série do Ensino Fundamental unidade 1 – Definição da medida de um ângulo, estimativas e uso dos instrumentos geométricos em problemas com ângulos. unidade 2 – Polígonos: definição e medida dos ângulos com transferidor; uso de ângulos para localização. unidade 3 – Simetria de reflexão e de rotação. unidade 4 – Ângulos internos e externos de um polígono; ângulos suplementares e complementares. unidade 5 – Somas dos ângulos de um polígono; generalização de regularidades. unidade 6 – Ladrilhamento/mosaico do plano. unidade 7 – Formas planas e espaciais; poliedros e não-poliedros. unidade 8 – Construção e classificação dos poliedros.

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SituAçõES dE APrEndizAGEM SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A GEOMETRIA DOS ÂNGULOS tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: estimativa, construção e medição de ângulos; desenho geométrico (paralelas, bissetriz, polígonos, ângulos); extensão do vocabulário geométrico. Competências e habilidades: reconhecer e estimar medidas angulares em contextos e formas de linguagem diversificadas; estabelecer comparações e classificações como processo para a aquisição de vocabulário geométrico; utilizar a lógica de pensamento estruturado para resolver problemas de natureza geométrica; desenvolver a motricidade fina por meio de instrumentos geométricos de desenho, bem como o pensamento antecipatório nos processos de resolução de problemas. Estratégias: resolução de situações-problema com instrumentos geométricos e com o raciocínio dedutivo; proposição de jogos.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1 Formalmente chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas com mesma origem. Existem muitas maneiras distintas de representar um ângulo, e a introdução ao seu estudo não deve se preocupar, no primeiro momento, essencialmente com a formalização matemática de seu conceito, mas sim com a construção do seu significado. A ideia de ângulo associada a um giro pode ser o ponto de partida do trabalho, nesse caso, falaríamos em 1 giro, 1 de giro, 3 de giro, etc. 2 4 4 A apresentação do transferidor como instrumento para medir e construir ângulos deve ser feita de forma cuidadosa, especialmente pelo fato de que o aluno costuma encontrar dificuldades em fazer corretamente as medições nele marcadas. Parte das dificuldades

dos alunos está relacionada ao fato de que a unidade grau é bem pequena, o que impede de manipulá-la fisicamente. Uma sugestão para início de trabalho seria a construção de um transferidor, o que permitiria uma familiarização gradativa do aluno com as novas informações. Apresentamos a seguir os procedimentos para a construção de um transferidor com unidade de 1 da circunferência. medida igual a 16

Passo 1

Recorte um quadrado em uma folha de papel vegetal.

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Passo 2 Dobre o quadrado ao meio por lados opostos e pelas diagonais de forma a fazer vincos visíveis.

Passo 3 Considere os pontos de A até H, conforme a figura abaixo. A seguir, dobre OA sobre OB, depois OB sobre OC, depois OC sobre OD, e assim sucessivamente até OH sobre AO, conforme indicado a seguir. D

C

B

D

C

B

E

O

A

E

O

A

F

G

H

F

G

H

Passo 4 Marque com caneta ou lápis a linha dos ângulos, inscreva uma circunferência dentro do quadrado e recorte-a. O transferidor com unidade de 1 da circunferência está pronto. medida igual a 16

A atividade de construção do transferidor deve ser seguida do uso do instrumento. O aluno pode dar um nome para a unidade de medida do transferidor e escrever suas marcações numéricas. O professor pode criar situações de uso do aparelho onde o aluno sinta a necessidade de fazer subdivisões da unidade de medida (por exemplo, situações em que tenha de 1 de circunfemedir um ângulo menor que 16 rência). Conduzindo a atividade dessa maneira, a apresentação do transferidor de 360º pode ser 1 de uma feita de maneira natural, já que 360 circunferência é uma unidade de medida pequena o suficiente para a maioria dos nossos problemas práticos de medição de ângulo. É provável que o aluno se interesse em saber por que se convencionou como unidade de 1 de uma circunferência, medida de ângulo 360 1 e não ou 1 , o que seria mais prático 100 1 000 no nosso sistema de numeração, que é decimal. A origem da divisão da circunferência em 360 partes iguais remonta aos mesopotâmicos, que utilizavam um sistema sexagesimal de numeração (base 60), que o aluno já estudou no Caderno da 6ª- série no 1º- bimestre. O uso da notação atual para graus/minutos/segundos com os símbolos º, ’ e ’’, respectivamente, remonta ao período da matemática grega. O trabalho de medir ângulos em graus com o auxílio do transferidor de 360º (ou de 180º), que deve merecer especial atenção, deve ser realizado após um trabalho que favoreça o desenvolvimento do senso de medida de um ângulo na unidade grau. Uma atividade que pode ser feita nessa direção é o jogo chamado Anguloteria, que exige a seguinte preparação do professor:

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f os alunos devem ter sido apresentados às medidas dos ângulos em graus e, em particular, devem saber identificar com facilidade ângulos agudo, reto, obtuso e raso;

em seguida, os grupos trocam as figuras até que todos tenham feito estimativas de todos os ângulos disponibilizados pelo professor. A contagem de pontos do jogo pode ser feita da seguinte maneira: o professor diz qual é a medida do ângulo da Figura 1 e ganhará 8 pontos o grupo que mais se aproximar dela, 7 pontos o segundo colocado, 6 pontos o terceiro, e assim sucessivamente até 1 ponto para o último colocado. Feita a contagem para todos os ângulos, somam-se os pontos e vencerá o grupo com o maior total. Observe a seguir, os exemplos de ângulos que podem ser propostos:

f o professor deve dispor de uma série de figuras numeradas, recortadas em papel, com ângulos indicados (para uma classe de 40 alunos, dividida em 8 grupos de 5 alunos, 24 figuras são suficientes). Cada grupo recebe certo número de figuras e deve estimar visualmente a medida do ângulo. Como as figuras estão numeradas, o grupo deve anotar em uma tabela sua estimativa e, 1 4

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© 2009. The M. C. Escher Company-Holland. Direitos reservados. www.mcescher.com.

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Além do trabalho com estimativas, os ângulos numerados de 1 a 27 permitem que o professor explore situações próprias da geometria, incluindo o desenvolvimento de vocabulário, e

os ângulos numerados de 28 a 40 contextualizam o estudo em situações concretas e reais. Alguns comentários que podem ser feitos ao longo do jogo realizado com os 40 ângulos listados são:

Ângulo(s)

Comentário(s)

1, 2, 3

Alunos que se iniciam no estudo de ângulos tendem a achar que a medida de um ângulo está relacionada ao comprimento do arco por ele determinado, o que pode fazer com que se interprete equivocadamente que esses três ângulos tenham medidas diferentes. Com os ângulos 1, 2 e 3, que são congruentes, o professor pode reforçar a ideia de que ângulo está associado ao giro e que, portanto, como os três ângulos determinam os mesmos giros, eles têm mesma medida.

4, 5, 6, 7, 10

Esses ângulos podem ser usados para desenvolver a estimativa por visualização, mas podem também ser usados para que o professor comece a falar em nomes como ângulos agudo, obtuso, reto.

8, 9, 11, 12

São ângulos que podem ser utilizados também para introduzir termos como correspondentes (8 e 9), e opostos pelo vértice (11 e 12). Em ambos os casos, pode-se discutir ainda que são ângulos congruentes.

13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22

Com esses exemplos, o aluno pode ser conduzido a olhar os polígonos (curvas poligonais) em associação com a ideia de ângulo. Os ângulos 15 e 16 permitem que se nomeiem ângulos suplementares e ângulo raso. O ângulo 17 permite que se comente sobre ângulos formados pelas diagonais de um polígono. Os ângulos 20, 21 e 22 permitem que se discutam ângulos internos e externos de um triângulo, bem como o fato de que a soma das medidas dos ângulos 20 e 21 será igual à medida do ângulo 22.

28 até 40

São ângulos que permitem contextualizar o estudo por meio de exemplos práticos e reais. Com o exemplo 29, o professor pode começar a falar em simetria rotacional de uma figura; com o 30, pode-se comentar sobre os estacionamentos a 45°; com os 31, 32 e 33, pode-se discutir a identificação de ângulos por meio da representação bidimensional de um objeto tridimensional; e com os ângulos de 34 a 40, pode-se discutir situações práticas em que a medida de um ângulo é decisiva para se resolver um problema real, seja ele do projeto de um carro, da inclinação de uma rampa ou da ergonomia correta para se trabalhar no computador.

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Um outro desdobramento do jogo Anguloteria pode ser a discussão com os alunos sobre formas de se fazer a atribuição de pontos às equipes. A Atividade 1, que será apresentada a seguir, propõe uma maneira de explorar essa discussão com os alunos.

Atividade 1 Leia as regras do jogo Anguloteria e responda: a) Admita que os grupos 1, 2, 3, ..., 8 estimaram ângulos de medidas 40o, 45o, 48o, o o o o o 39 , 60 , 28 , 46 e 51 , respectivamente. o Se a medida correta do ângulo é 46 , como devem ser distribuídos os pontos entre os grupos? Avaliando as diferenças (em valores positivos) entre as estimativas e a medida correta, a classificação será:

Supondo-se os erros dos grupos iguais a 2o, 4o, 4o, 6o, 8o, 8o, 8o e 10o, os pontos poderiam ser, respectivamente, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 5 e 4, ou 8, 7, 7, 5, 4, 4, 4 e 1, dependendo do critério convencionado. A seguir, apresentaremos a Atividade 2, em que o principal objetivo será favorecer a aquisição de novo vocabulário geométrico associado à ideia de um ângulo e a atividade 3, cuja proposta é o aluno levantar hipóteses e trabalhar com raciocínio dedutivo.

Atividade 2 Desenhe em uma folha sem pauta as seguintes figuras: f triângulo com três ângulos agudos; f quadrilátero com dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos; f quadrilátero com três ângulos agudos e um ângulo obtuso;

Grupo 1

Erro = 6o

4 pontos

Grupo 2

Erro = 1o

7 pontos

Grupo 3

Erro = 2o

6 pontos

Grupo 4

Erro = 7o

3 pontos

Atividade 3

Grupo 5

Erro = 14o

2 pontos

Grupo 6

Erro = 18o

1 ponto

Qual é o maior número de ângulos agudos que um triângulo pode ter? E um quadrilátero?

Grupo 7

Erro = 0o

8 pontos

Grupo 8

Erro = 5o

5 pontos

b) Proponha uma regra de distribuição dos pontos para o caso de dois ou mais grupos escolherem a mesma medida de ângulo e para o caso de empate.

f um polígono de cinco lados (pentágono) com um ângulo reflexo (maior do que 180o), dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos.

Três ângulos, nos dois casos. Ao apresentar o transferidor como instrumento de medida de ângulo, é importante destacar que, assim como no caso da régua para medir segmentos, o transferidor também pode ser colocado de várias maneiras diferentes para medir um ângulo sem que sua medida se altere.

16

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Matemática - 6a série - Volume 2

Q

70 60

120

90

80

100

80

100

S

110

12

70

0

60

13

50

0

13

40

50

110

R

0

14

0

40

0 14

A medida do ângulo BÂC não deixa de ser 20o apesar das marcas do transferidor indicarem 30o e 50o. No caso indicado, a leitura deve ser feita de forma indireta, por meio da conta 50o – 30o = 20o.

0

30 150

15

13

0

50

14

0

40

B

0

40

1

14

30

0

30 150

15

10

170

A

180

0

5

0

180

4

170

3

10

2

160

20

20 160

30

1

Outra alternativa para medir o ângulo BÂC é ajustar a “perna” do transferidor com a referência do zero para a semirreta Ab. A Atividade 4 irá explorar a leitura do transferidor, e a Atividade 5, seu uso para construção de ângulos. Lembramos mais uma vez que as propostas apresentadas como atividades consistem em sugestões, sendo que seu uso certamente estará vinculado às adaptações necessárias feitas pelo professor.

Atividade 4 Determine a medida dos ângulos WVˆX, ˆ S. QPˆR, RPˆS e QP 70

60

110

120

100

80

100

W

110

13

50

0

14

0

40

30

150

10

170

0

180

0

10

5

170

180

20

4

160

20 160

30

V

o

o

o

10

170

0

180

Com relação ao uso de instrumentos geométricos, o estudo de ângulos oferece, além do transferidor, uma rica oportunidade para o trabalho com esquadros e compasso. As construções dos ângulos de medida 30o, 45o, 60o e 90o podem e devem ser feitas também com o compasso, a régua e os esquadros. Outras construções, como 15o, 22o, 30o, 75o, 105o, 120o, 135o, etc., podem ser feitas com o uso simultâneo de dois esquadros, e algumas delas também com o uso de compasso e régua por meio da construção da bissetriz. Nos casos em que a construção pode ser feita com diferentes instrumentos geométricos, é importante que o aluno perceba que o uso do compasso é preferível ao dos demais instrumentos, pois, na maior parte dos casos, o compasso, usado corretamente, permite melhor precisão no desenho. Na Atividade 5, iremos explorar o uso de diferentes instrumentos para a resolução do mesmo problema.

Construa os ângulos solicitados com os instrumentos geométricos indicados:

0

3

P 60 , 25 , 20 e 45 , respectivamente. o

Atividade 5 15

2

5

0

60

0 13

0 14

1

4

12

70

40

50

90

80

3

0

0

60

2

180

12

70

1

10

80

100

110

170

110

120

C

100

20

60 50

90

80

160

20 160

30

70

X

a) ângulo SÔL medindo 135o (com os esquadros).

17

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S

O

M

R Q

P

D

C

L

b) ângulo MÂR medindo 15o (com compasso e régua). Orientação para construção do ângulo MÂR:

A

B

c) ângulo LÛA medindo 285o (com o transferidor). L

1) Marque os pontos A e B e trace a reta AB. 2) Com a ponta seca do compasso em A, faça um arco de raio com medida AB. 3) Com abertura de medida AB no compasso, colocar a ponta seca em B e marcar o cruzamento com o arco traçado (ponto D). Com essa construção, fizemos um ângulo de 60o (∠BÂD) porque o triângulo ABD é equilátero. 4) Com a ponta seca do compasso em B, e depois em D, marcamos o cruzamento dos arcos (ponto P). A semirreta AP é bissetriz do ângulo BÂD e, portanto, construímos com ela dois ângulos de 30o (∠CÂD e ∠CÂB). 5) Com a ponta seca do compasso em C, e depois em D, traçamos o cruzamento dos arcos (ponto Q). A semirreta AQ é bissetriz do ângulo DÂC e, portanto, construímos com ela dois ângulos de 15o (∠QÂC e ∠DÂQ).

U

A

O uso dos instrumentos geométricos no estudo de ângulos, bem como a contextualização do estudo em uma uma situação prática, podem ser explorados por meio de atividades com ângulos para a localização de rotas de navios e aviões. Para esse tipo de atividade, é importante que o professor apresente com clareza como são definidos os ângulos nessas rotas. Por exemplo, imaginemos a rota de uma embarcação no mar definida da seguinte forma: f a rota do barco segue a direção de um ângulo em sentido horário definido com base no norte da rosa-dos-ventos. Nesse caso, se um barco está navegando na rota 60, significa que ele está seguindo a direção de 60o no sentido horário em relação ao norte, como se vê na figura a seguir:

18

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Matemática - 6a série - Volume 2

Atividade 6 Usando a escala de 1 cm para 10 km, construa em uma folha de papel sem pauta a seguinte rota de um barco:

Rota 60

f inicia na rota 40 e navega 50 km; f gira 10o, pegando a rota 50, e navega 40 km; f pega a rota 130 e navega 30 km.

N O

L

N

N 50°

S

O N

L S 3 cm

S 40°

O

L

O 4 cm

130°

5 cm

L S

Desenho ilustrativo, fora de escala.

Observação: para maior precisão, o transporte da rosa-dos-ventos de um ponto para outro pode ser feito com o auxílio dos esquadros.

página seguinte), estamos interessados na prática em construir uma paralela à reta NS passando pelo ponto P, o que pode ser feito com um esquadro e uma régua, ou com dois esquadros, conforme descrevemos a seguir:

Por exemplo, se desejamos transportar a rosa-dos-ventos de Q para P (ver figura da

f apoie um lado do esquadro (ou a régua) em OL;

Na construção, 50 km será representado por 5 cm, 40 km por 4 cm e 30 km por 3 cm.

19

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f posicione o ângulo reto de um esquadro ˆ L, em correspondência com o ângulo NQ e um dos lados desse esquadro apoiado no outro esquadro (ou régua);

uma competência muito explorada no estudo

f arraste o esquadro ao longo de OL até o ponto P, e trace em seguida a nova linha NS;

uso de computadores, como veremos a seguir.

f finalize a construção utilizando os esquadros para fazer a perpendicular OL, passando por P.

um triângulo equilátero de lado 5 cm é:

da programação de computadores. Situações como essas podem ser apresentadas de forma muito simples aos alunos, sem exigir o Uma sequência de comandos que constrói

1. avance 5 cm; 2. gire 120º para a esquerda; 3. avance 5 cm;

N O Q

O

4. gire 120º para a esquerda;

N P

5. avance 5 cm.

L

S

120°

L

S Alguns programas de computador que fazem construções geométricas de ângulos e polígonos exigem dois tipos de comando do programador: 1. avance “tantos centímetros”;

Ponto de partida

120°

Note que o ângulo de giro é o suplemento do ângulo interno do triângulo, e que alguns comandos se repetem no programa. Podemos reduzir o número de instruções fazendo o seguinte programa, de resultado equivalente ao já feito:

2. gire “tantos graus” para a direita (ou para a esquerda). Esses programas permitem também que uma sequência de comandos se repita um determinado número de vezes. Para que o usuário do programa possa construir a figura desejada, é necessário que saiba planejar uma sequência correta de instruções, o que é

1. avance 5 cm; 2. gire 120o para a esquerda; 3. repita os comandos 1 e 2 duas vezes.

Como outra alternativa, podemos também fornecer uma figura e pedir que seja determinado um programa de computador para a sua construção. Por exemplo:

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Matemática - 6a série - Volume 2

4

1,

cm

1. avance 2 cm; 2. gire 144o para a direita;

45°

3. avance 2 cm; 1 cm

4. gire 72o para a esquerda; 2 cm

5. repita, quatro vezes, os comandos de 1 a 4.

1 cm 2 cm

Uma possível resposta: (outras respostas possíveis seriam rotações da figura).

Os comandos para sua construção podem ser: 1. avance 2 cm; 2. gire 90º para a esquerda; 3. avance 2 cm; 4. gire 135º para a esquerda; 5. avance 1,4 cm; 6. gire 45º para a direita; 7. avance 1 cm; 8. gire 90º para a esquerda; 9. avance 1 cm.

Atenção professor, para que os ângulos da figura estejam definidos conforme indicado, observe que a medida correta do segmento de 1,4 cm deveria ser 2 . Para a 6ª- série, podemos usar aproximações em situações como as apresentadas, o que não compromete significativamente a construção da figura no computador.

Atividade 8 Meça com régua e transferidor os lados e ângulos da figura a seguir e faça um programa de computador para construí-la.

Veremos a seguir duas atividades (7 e 8) que exploram a ideia apresentada.

Atividade 7 Construa em uma folha de papel sem pauta e usando régua e transferidor a figura determinada pelo seguinte programa de computador:

21

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Uma resposta possível: 1. avance 4 cm; 2. gire 120o à esquerda; 3. avance 2 cm; 4. gire 60o à direita; 5. avance 2 cm; 6. gire 120o à esquerda; 7. avance 4 cm; 8. gire 120 à esquerda; o

9. avance 2 cm; 10. gire 60o à direita; 11. avance 2 cm.

Considerações sobre a avaliação Ao término da Situação de Aprendizagem 1, espera-se que o aluno consiga estimar visualmente a medida de um ângulo, utilizar o transferidor para construir e medir ângulos, utilizar os demais instrumentos geométricos em situações-problema relacionadas com ângulos e, se possível, que tenha ampliado de forma significativa seu vocabulário geométrico com palavras como ângulo agudo, obtuso, reto, raso, ângulos complementares, suplementares, etc. A proposta do jogo Anguloteria pode ser avaliada pelo professor por meio de anotações e registros sobre os resultados encaminhados pelos grupos. Como o aluno estará estimando a

medida de ângulos na unidade grau pela primeira vez, o professor deve focar, em sua avaliação, mais na evolução da compreensão dos alunos do que propriamente na precisão dos primeiros resultados das estimativas dadas por eles. Quanto ao trabalho com uso de instrumentos geométricos para construir e medir ângulos, é importante que o professor esteja atento especialmente ao uso correto do transferidor, já que os alunos costumam cometer erros no ajuste do centro do transferidor com o vértice do ângulo, e na leitura correta das indicações marcadas nesse instrumento. Sugerimos como avaliação de aprendizagem dessa etapa que o professor proponha atividades de construção e medida de ângulos, e que monitore os alunos que estejam ainda com dificuldade no uso do transferidor. Uma ideia para valorizar o trabalho cooperativo é mobilizar os alunos que já tenham compreendido adequadamente o funcionamento do transferidor a monitorar e ajudar os que ainda não atingiram essa etapa de aprendizagem. Outra atividade que pode servir como avaliação é o trabalho de construção do transferidor e seu uso para medir ângulos. Alunos da 6ª- série ainda necessitam de uma forte manipulação do concreto como recurso à aprendizagem, e o trabalho prático de construção do aparelho pode ser significativo nessa direção.

22

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Matemática - 6a série - Volume 2

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 REFLETINDO E GIRANDO COM SIMETRIA tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: simetria axial; simetria rotacional; transformações no plano (reflexão, translação, rotação); ângulo central e inscrição de polígonos. Competências e habilidades: identificar simetrias por meio da leitura, comparar e interpretar imagens; reconhecer padrões geométricos em diferentes imagens como forma de desenvolver uma melhor apreciação estética das linguagens do desenho, pintura, arquitetura, etc. Estratégias: resolução de situações-problema com o uso de imagens que apresentem padrões de simetrias; uso de malhas quadriculadas e de pontos.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2

papel importante porque a ela associamos o “espelhamento” perfeito e sem distorção.

Seja na natureza ou nos objetos e construções criados pelo homem, nosso mundo é repleto de simetria. A palavra simetria é usada na linguagem coloquial em dois sentidos. Um deles indica algo em boas proporções, equilibrado e harmonioso, muitas vezes associado à ideia de beleza. O segundo é aquele que aproxima simetria da ideia de balança, ou seja, da ideia de que devemos ter elementos idênticos dos dois lados de um referencial como, por exemplo, à esquerda e à direita em relação a uma linha reta. Nesse sentido, a ideia de reflexão desempenha

A ideia de simetria deve ser explorada na 6ª- série por meio de duas interpretações possíveis: simetria axial (ou simetria bilateral, ou ainda simetria de reflexão) e simetria de rotação (ou simetria rotacional). Em termos geométricos, a simetria axial é uma transformação em que a todo ponto P do plano se faz corresponder um ponto P’ desse mesmo plano, tal que a reta que une ambos os pontos seja perpendicular a uma reta fixa r, e que as distâncias de P a r, e de P’ a r sejam iguais:

reta r (também chamada de eixo de simetria) P

P’

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© Ablestock

© Martin Harvey / Alamy-Otherimages

As imagens a seguir mostram contextos diversificados em que identificamos simetria axial.

Borboleta Reflexo de pássaro na água

Uma figura possui simetria de rotação se para cada ponto P se faz corresponder um outro ponto P’, de modo que as distâncias de cada um desses pontos a um ponto fixo 0, chamado de centro de rotação, sejam sempre iguais. Veja um exemplo de simetria de rotação.

© Sarah and Iain / Wikipédia

P

72° 0 P'

Igreja de São Francisco de Assis, Ouro Preto, MG.

A estrela indicada na figura possui simetria rotacional de 72º. O ângulo de simetria rotacional de uma figura é o menor ângulo que faz com que haja “sobreposição” perfeita da figura com tal giro.

24

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© Arte Kowalsky / Alamy-Otherimages

© Niger Cattlin / Alamy-Otherimages

Matemática - 6a série - Volume 2

Veremos a seguir alguns exemplos de atividades que podem ser usadas para o trabalho com simetria axial e simetria rotacional.

Atividade 1 A placa indica uma figura com simetria axial, porém, o carro que ela representa não possui simetria axial. Justifique essa afirmação.

Eixo de simetria

A direção (volante) impede que o carro tenha simetria axial; o limpador de parabrisa também pode impedir, dependendo da articulação efetuada por suas palhetas.

Atividade 2

a)

© Samuel Silva

© 2009. The M. C. Escher Company-Holland. Direitos reservados www.mcescher.com.

Qual(is) das figuras a seguir possui(em) simetria axial? Para aquela(s) que possui(em), indique onde estaria o eixo de simetria; para as demais, indique porque elas não possuem simetria axial.

M. C. Escher "Simmetwy Drawing E69"

25

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canto inferior direito não é igual ao canto inferior esquerdo; o tênis da figura (d) possui uma curvatura (referente ao pé direito), o que o impede de ter uma simetria axial perfeita. Nessa atividade, o professor deve comentar que, dependendo do grau de detalhamento colocado em nossa observação, muitas vezes uma figura pode deixar de ter simetria de reflexão.

© Purestock

b)

Atividade 3

c)

© Bobo / Alamy-Otherimages

Desprezando-se os detalhes pequenos, determine o ângulo de simetria rotacional (com centro marcado em vermelho) de cada figura. a)

d)

© Vivek Chugh / SXC.hu

b)

c)

Apenas (b) possui simetria axial, com eixo passando bem na metade do banco. O cesto da figura (a) não possui porque os entrelaçamentos não são absolutamente regulares; a televisão da figura (c) não possui porque o

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Matemática - 6a série - Volume 2

d)

completar figuras para que tenham simetria ou, ainda, exercitar movimentos de reflexão, translação e rotação de figuras no plano. A seguir, são apresentadas algumas atividades que cumprem esses objetivos.

Professor, ao final do Caderno são disponibilizadas diferentes malhas para serem utilizadas tanto nas atividades propostas neste Caderno quanto em outras atividades que você pode criar a partir das necessidades que identifique em seu grupo de alunos.

e)

f)

Atividade 4 Copie as figuras abaixo em uma malha quadriculada e, em seguida, complete o desenho assumindo que a linha azul é a linha de simetria da figura pintada. a)

b)

g)

c)

(A) 180o, (B) 90o, (C) 180o, (D) 180o, (E) 360o, (F) 180o, (G) 90o. Um recurso útil para o trabalho com simetrias são as malhas quadriculadas ou malhas de pontos. Com esse material, o professor pode propor inúmeras atividades em que o aluno tenha de desenhar figuras com simetria,

d)

27

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Resposta: a)

a)

b)

c)

d) b)

Atividade 5 A Figura 1 nĂŁo possui simetria rotacional de 180o (com centro no ponto marcado em azul), mas a Figura 2 possui. Observe-as: Figura1

Figura2

c)

d)

e)

Copie as figuras a seguir em uma malha de pontos e, em seguida, complete-as para que tenham simetria rotacional de 180o (com centro de rotação marcado no ponto azul).

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Matemática - 6a série - Volume 2

Respostas:

A A’

b)

a)

B B’

c)

d) C

C’

Apresentamos na sequência, alguns exemplos em que se aplica a definição geométrica de translação e uma atividade para se praticar tal definição. e)

Além da reflexão e da rotação, que caracterizam as duas simetrias apresentadas até o momento, outra importante transformação no plano é a translação. Ocorre uma translação se a todo ponto P de uma figura corresponder outro ponto P’ tal que o segmento PP’ tenha o mesmo comprimento, direção e sentido. Nas translações, todos os pontos de uma figura “movem-se” de uma mesma distância, direção e sentido.

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Conexão Editorial

c)

Resposta: b)

a) Equinócio de Primavera 22/set. 22/dez.

20/jun.

Solstício de Verão Trópico de Câncer

Solstício de inverno

c)

Trópico de Capricórnio

20/mar.

Equinócio de outono

Atividade 6 Translade de 3 unidades as figuras na direção e sentido indicados pela(s) seta(s) na malha de pontos. a)

b)

Note que, nas translações feitas no item c, a ordem não importa para a obtenção do resultado final. O estudo das simetrias pode também ser utilizado como porta de entrada para uma apresentação mais detalhada do plano coordenado. Várias atividades podem ser elaboradas para que o aluno comece a se familiarizar com o sistema de representação de pontos por meio de coordenadas. Em outro momento da Proposta Curricular de Matemática do Ensino Fundamental, iremos explorar em detalhes as transformações no plano coordenado, porém, nada impede que o professor comece o trabalho com base na investigação de simetrias.

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Matemática - 6a série - Volume 2

Atividade 7 Determine as novas coordenadas dos pontos A, b, C, d e E para que a figura indicada

translade de forma simétrica para os demais quadrantes do plano.

A(–1,4) B(–4,3)

E(–2,2) C(–3,1)

D(–2,1)

Resposta:

A(–1,4)

A(1,4)

B(–4,3)

B(4,3) E(–2,2)

E(2,2)

C(–3,1)

D(–2,1)

D (2,1)

C(–3,–1)

D(–2,–1)

C(3,1)

D (2,–1) C (3,–1)

E(2,–2) E(–2,–2) B(– 4,–3)

B(4,–3) A(–1,–4)

A(1,–4)

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A discussão dessa atividade pode desencadear a observação de regularidades do plano coordenado, como os sinais das coordenadas em cada um dos quadrantes.

Considerações sobre a avaliação Com as atividades apresentadas na Situação de Aprendizagem 2, o aluno deverá familiarizar-se com simetria axial e rotacional, bem como com as principais transformações do plano (reflexão, rotação e translação). Vale lembrar que as transformações do plano serão exploradas em mais detalhes em outro Caderno e que, portanto, nosso objetivo aqui é trabalhar apenas o primeiro contato do aluno com a percepção visual de simetrias e movimentos no plano.

Sugerimos ao professor que, sempre que possível, apresente uma boa diversidade de situações em que o aluno possa identificar simetrias, favorecendo a ampliação de repertório para a análise, interpretação e apreciação de figuras e imagens. Com relação à avaliação, sugerimos que o professor elabore atividades com o uso de malhas quadriculadas e de pontos, que podem ser feitas em grupo ou individualmente. Outro instrumento de avaliação pode ser o recorte de figuras em revistas e jornais que tenham algum tipo de simetria. O professor pode pedir ao aluno que identifique nessas figuras o eixo de simetria (quando for simetria de reflexão) ou o centro e ângulo de rotação (quando for simetria rotacional).

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 POLíGONOS E LADRILHAMENTO DO PLANO tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: classificação de polígonos; soma dos ângulos internos e externos de um polígono; múltiplos e divisores na investigação de ladrilhamento do plano; expressões com letras na investigação de ladrilhamento do plano. Competências e habilidades: estabelecer relações entre ângulos por meio do raciocínio dedutivo; levantar e verificar hipóteses, seja por raciocínio indutivo ou dedutivo; estabelecer generalizações. Estratégias: resolução de situações-problema com o uso de tabelas; uso de material concreto (polígonos recortados em cartolina).

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Matemática - 6a série - Volume 2

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 Informalmente, dizemos que um polígono é uma figura geométrica plana com vários ângulos. Uma região poligonal triangular é a reunião de um triângulo e seu interior. Em geral, uma região poligonal é uma figura formada pela justaposição de um número finito de regiões triangulares. É comum o uso da palavra polígono quando nos referimos à região poligonal, não representando maior problema desde que isso seja convencionado. Na 6ª- série, os alunos são apresentados a essas definições mas, muito além do formalismo e rigor de linguagem, o que deve interessar nesse momento é que o aluno saiba distinguir regiões poligonais de regiões que não sejam poligonais. Também faz parte do programa da série o aluno perceber que a soma das medidas dos três ângulos internos de qualquer triângulo dá sempre 180°, ou seja, dois ângulos retos. Um caminho bastante adequado para tratar o assunto na 6ª- série é o experimental, como apresentado na maioria dos livros didáticos. Partindo da soma dos ângulos internos de um triângulo igual a dois retos, a verificação da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono pode ser feita recorrendo-se à observação de regularidade e padrão. A Atividade 1 propõe a observação de diferentes polígonos e apresenta um encaminhamento para o problema de forma que o aluno possa deduzir a fórmula (n – 2) . 180o para a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados.

Atividade 1 Escolha um vértice dos polígonos a seguir e, ligando-o com outros vértices do polígono, trace todos os triângulos possíveis. Depois de traçar os triângulos, marque nas figuras, com cores diferentes, cada “tripla de ângulos” cuja soma seja 180º, e preencha a tabela indicada. Figura A

Figura B

Figura C

Figura D

Figura E

33

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Figura nome do polígono número de lados

número de triângulos a Soma dos ângulos internos partir de um vértice

A

Quadrilátero

4

2

2 . 180o = 360o

B

Pentágono

5

3

3 . 180o = 540o

C

Hexágono

6

4

4 . 180o = 720o

D

Heptágono

7

5

5 . 180o = 900o

E

Octógono

8

6

6 . 180o = 1 080o

Após o preenchimento da tabela, pode-se formalizar que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados será igual a (n – 2) . 180o. Figura A

Figura B

Figura C

Figura D

Figura E

Um interessante aspecto que pode ser explorado pelo professor, após apresentar o método citado para demonstrar a fórmula (n – 2) . 180º, é o fato de os triângulos terem

sempre de partir do mesmo vértice do polígono. Para que o aluno reflita sobre o assunto, o professor pode apresentar a seguinte figura:

Note que se trata de um polígono de 7 lados (heptágono) que foi decomposto em 11 triângulos. Os triângulos não seguiram a regra de que todos devem ter o mesmo vértice comum, vértice esse que também é do polígono que está sendo decomposto. Nesse caso, fica evidente que a conta 11 . 180º não dará a medida da soma dos ângulos internos do heptágono, e a figura é bastante sugestiva para que o aluno possa investigar qual foi o erro. As cores usadas para colorir os ângulos internos dos triângulos e do heptágono sugerem de

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Matemática - 6a série - Volume 2

forma significativa que não podemos multiplicar 180º por 11 (número de triângulos que compõem a figura), porque estaríamos somando três ângulos de 360º a mais, que não fazem parte dos ângulos internos do polígono (ângulos indicados em rosa). Portanto, o fato de não se ter decomposto o polígono com triângulos gerados a partir de um único vértice implicou em um aumento de 3 . 360º = 1 080º sobre o cálculo 11 . 180º = 1 980º. De fato, fazendo a conta 1 980º – 1 080º = 900º, encontramos o mesmo resultado que seria obtido pela fórmula (n – 2) . 180º com n = 7. O trabalho com a construção de vocabulário geométrico assume papel importante neste Caderno, e deve ser conduzido pelo professor de forma gradual e amparado na necessidade que temos de nomear certas ocorrências frequentes. Em alguns momentos, ao longo das atividades propostas a seguir com mosaicos e ladrilhos, será útil o uso de palavras específicas para denotar um conjunto de ângulos cuja soma de suas medidas seja 180º, e um conjunto de ângulos cuja soma de suas medidas seja 360º. No caso dessas duas situações, os nomes convencionados são suplementares e replementares. Pode-se também aproveitar a Polígono regular

oportunidade para definir ângulos complementares como sendo aqueles cuja soma de suas medidas resulta um ângulo reto. Evidentemente, a expectativa com a introdução do novo vocabulário não é que o aluno incorpore todas as palavras de uma única vez, mas sim que vá tomando contato com elas para que, a partir do seu uso em situações diversificadas, possa memorizar gradativamente as novas palavras. A atividade a seguir tem por objetivo preparar o aluno para o estudo posterior dos mosaicos, bem como para apresentar-lhe novo vocabulário geométrico.

Atividade 2 Polígonos regulares são aqueles que possuem lados de mesma medida e ângulos de mesma medida. A medida do ângulo externo de um polígono é o suplemento da medida do ângulo interno correspondente. Como um pentágono tem 540o de soma dos ângulos internos, um pentágono regular terá ângulos internos de medida 540o ÷ 5 = 108o, e ângulos externos de medida 180o − 108o = 72o. Usando os dados obtidos na atividade anterior, complete a tabela a seguir:

Medida de cada ângulo interno

Medida de cada ângulo externo

Triângulo equilátero

180o ÷ 3 = 60o

180o − 60o = 120o

Quadrado

360o ÷ 4 = 90o

180o − 90o = 90o

Pentágono regular

540º ÷ 5 = 108º

180º − 108º = 72º

Hexágono regular

720o ÷ 6 = 120o

180o − 120o = 60o

Heptágono regular

900o ÷ 7 ≈ 128,6o

≈180o − 128,6o ≈ 51,4o

Octógono regular

1 080o ÷ 8 = 135o

180o − 135o = 45o

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Outra opção é apresentar primeiro a soma dos ângulos externos de um polígono medindo 360o e, em seguida, calcular a medida de cada ângulo interno fazendo 180o menos o externo.

Note que os ângulos externos do polígono totalizam um “giro” completo, ou seja, 360º.

Depois de apresentada a definição do que entende-se por “ladrilhar o plano”, o professor pode disponibilizar para os alunos um conjunto de vários polígonos regulares para que eles tentem, por conta própria, executar a tarefa. Para iniciar a atividade, recomenda-se que os alunos sejam orientados a usar sempre um único tipo de polígono no ladrilhamento. O uso de polígonos diferentes também constitui um problema interessante, mas pode ser reservado para um aprofundamento das discussões. Com um pouco de tempo para a tarefa, é provável que os alunos concluam, por experimentação, que o ladrilhamento do plano com polígonos regulares só é possível com triângulos equiláteros, com quadrados e com hexágonos regulares.

O estudo das possibilidades de pavimentação do plano com polígonos pode ser uma atividade motivadora e desafiadora. Por meio dele, o aluno poderá investigar relações entre ângulos, exercitar seu raciocínio dedutivo e colocar em prática sua criatividade por meio da construção de mosaicos. A pergunta motivadora desta atividade é a seguinte: quais são os polígonos regulares que recobrem perfeitamente o plano sem lacunas ou espaços vazios? Devemos entender por recobrir perfeitamente o plano, a colocação de certo número de polígonos idênticos ao redor de um vértice de tal forma, que não haja sobreposição dos polígonos nem espaços em relação a um giro completo de 360o.

Na sequência de atividades apresentada a seguir, o aluno poderá investigar as possibilidades de ladrilhamento do plano com outros polígonos regulares e verificar que, de fato, triângulos, quadrados e hexágonos são os únicos polígonos regulares que pavimentam o plano.

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Matemática - 6a série - Volume 2

Atividade 3

n

[(n – 2) . 180o] ÷ n

3

60o (ladrilha o plano porque 60o é um divisor de 360o)

4

90o (ladrilha o plano porque 90o é um divisor de 360o)

5

108o

6

120o (ladrilha o plano porque 120o é um divisor de 360º)

7

≈128,6o

8

135o

Atividade 4

9

140o

Você deve ter notado que para haver um encaixe perfeito dos polígonos regulares em torno de um vértice é necessário que a soma dos ângulos agrupados nele seja igual a 360o (ângulos replementares). Dessa forma, só haverá um encaixe perfeito se o ângulo interno de um polígono regular dividir 360o. Considerando isso:

10

144o

11

≈147,3o

12

150o

Observe atentamente o padrão nas tabelas das Atividades 1 e 2 e responda: qual é a fórmula para calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados? [(n – 2) . 180o] ÷ n. O professor deve aproveitar oportunidades como a apresentada nessa atividade para introduzir o uso de letras na representação de expressões, que é um tema da 6ª- série.

a) Liste todos os divisores positivos de 360o. 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. b) Os divisores que você listou são os “candidatos” a ângulo interno do polígono regular. Substitua inteiros maiores que 2 e menores que 13 na expressão [(n – 2) . 180o] ÷ n e determine quais são os polígonos regulares que ladrilham o plano. Liste quais valores de n representam polígonos que ladrilham o plano (se necessário, utilize a calculadora).

Note que, dos valores tabelados, apenas n igual a 3, 4 e 6 indicam divisores de 360o. Como para n = 12 temos 150o para ângulo interno do polígono, os últimos divisores de 360o que faltam ser verificados são 180o e o próprio 360o. Só teremos [(n – 2) . 180o] ÷ n igual a 180o se n – 2 = n, o que é absurdo. Só teremos [(n – 2) . 180o] ÷ n igual a 360o se n – 2 = 2n, ou seja, também não há polígono que atenda a essa condição. Concluímos, portanto, que os únicos polígonos regulares que ladrilham o plano são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular. Com conhecimentos de álgebra, a discussão desse problema ganharia outros contornos, contudo, a ausência da álgebra no início da 6ª- série permite que a discussão seja feita dessa maneira.

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Esta é uma atividade que, para atingir os objetivos propostos, exige orientação e acompanhamento constante do professor junto aos alunos. Vale lembrar que, ao final do Caderno, há referências que permitem um maior aprofundamento sobre o tema aqui investigado.

Malha de triângulos equiláteros

Após a discussão geométrica sobre as possibilidades de ladrilhamento do plano, o professor poderá trabalhar com seus alunos a construção de mosaicos em malhas constituídas de polígonos regulares. Disponibilizamos ao final do Caderno algumas dessas malhas, e apresentamos a seguir alguns mosaicos construídos sobre malhas desse tipo. Malha com hexágonos regulares, quadrados e triângulos regulares

Malha com hexágonos regulares

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Matemática - 6a série - Volume 2

Conexão Editorial

a viabilidade ou não desse deslocamento de conteúdos entre séries, de acordo com seu planejamento de curso. Uma vez que trabalhamos muito com o raciocínio lógico dedutivo nas atividades propostas na Situação de Aprendizagem 3, recomendamos que o professor procure avaliar a aprendizagem do aluno com relação à leitura

Considerações sobre a avaliação Ao término da situação proposta espera-se que o aluno identifique ângulos internos e externos de polígonos convexos, saiba que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é um ângulo raso, que a soma dos ângulos internos de um polígono de

e compreensão de texto (muitos enunciados de atividades fornecem explicações e deduções), ao uso da linguagem correta da Matemática nas expressões numéricas e com letras, e à transposição entre o conhecimento pontual trabalhado nas atividades e o seu uso para resolver problemas lógicos, como o da determinação dos polígonos que ladrilham o plano.

n lados mede (n – 2) . 180º, e que cada ângu-

Como parte da avaliação, sugerimos que

lo de um polígono regular de n lados mede

o professor proponha listas com situações-

[(n – 2) . 180º] ÷ n.

problema para que os alunos resolvam em

Muitos livros didáticos apresentam a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono de n lados apenas na 7ª- série, mas nesta Proposta Curricular optamos por trazê-la para a 6ª- série em virtude da sua pro-

grupos, de preferência com a produção de relatórios em que todos tenham de se expressar de forma clara e utilizando adequadamente a linguagem matemática ao justificar procedimentos, resultados e/ou raciocínios.

ximidade com a discussão sobre soma dos

Para o trabalho com mosaicos e ladrilha-

ângulos internos de um triângulo, e como

mento do plano, recomendamos que o pro-

forma de possibilitar um início ao uso de le-

fessor consulte a bibliografia listada, que será

tras na representação de expressões. Deve

útil para a montagem de novas atividades e

ficar claro que caberá ao professor estabelecer

situações-problema desafiadoras.

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SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 CLASSIFICAçãO, MONTAGEM E DESENHO DE POLIEDROS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: representação de figuras planas e espaciais; vistas de uma figura (lateral, frontal, superior); poliedros: elementos, classificação, construção, relação de Euler. Competências e habilidades: representar figuras planas e espaciais em malhas de pontos; classificar poliedros de acordo com critérios predefinidos; identificar os elementos de um poliedro e estabelecer a relação entre eles; levantar hipóteses e verificá-las, seja por raciocínio indutivo ou dedutivo. Estratégias: manipulação de material concreto (figuras geométricas planas recortadas em cartolina) na construção de poliedros e na verificação de propriedades; uso de malha de pontos para representar figuras geométricas planas e espaciais.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 O curso de Geometria em três dimensões da 6ª- série caracteriza-se pelo estudo dos poliedros. Nas séries anteriores, o aluno deverá ter sido apresentado às formas tridimensionais de maneira geral, sem se preocupar em detalhar classificações, nomes e propriedades. É importante, porém, que o professor faça uma avaliação sobre os conhecimentos do aluno sobre o assunto. A proposta desta Situação de Aprendizagem pressupõe que os alunos já estejam familiarizados com a distinção visual entre prismas, pirâmides e formas redondas, além de terem um

conhecimento preliminar das vistas de um objeto tridimensional (vistas frontal, lateral e superior). Professor, caso verifique que seus alunos têm dúvidas em algum desses temas, é importante elaborar uma etapa inicial de trabalho de modo a garantir tal aprendizado. No início dos cursos de Geometria tridimensional, uma dificuldade frequente que surge é representar as figuras espaciais no plano. O uso de malhas pontilhadas para a representação dos sólidos geométricos é um recurso útil para desenvolver a habilidade de desenho em perspectiva. A malha adequada a essa atividade tem o seguinte arranjo de pontos:

60º 60º 60º 30º

30º

Cubo e triângulo equilátero na malha de pontos.

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Matemática - 6a série - Volume 2

Professor, há uma cópia dessa malha no final deste Caderno.

mas sim como propostas para uma reflexão sobre possibilidades de criação de novas atividades.

Atividade 1 Apresentamos a seguir duas atividades que sinalizam possibilidades de uso da malha de pontos. Lembramos mais uma vez que as atividades sugeridas não devem ser compreendidas pelo professor como exercícios prontos e acabados,

A partir das figuras indicadas, desenhe em uma malha de pontos apenas o que se pede: a) o sólido representado ao eliminar os blocos cor de rosa da figura.

b) o sólido que será representado ao acrescentarmos um bloco junto às faces indicadas em cor de rosa.

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Atividade 2

Prisma

Desenhe no plano, as vistas lateral esquerda, lateral direita, frontal e superior do sólido indicado na malha:

Vistas

lateral esquerda

frontal

Resposta:

lateral esquerda

frontal

lateral direita

superior

Após o trabalho de vistas por meio de malhas, o professor pode passar para a representação de vistas de objetos simples com desenho à "mão livre". Para atividades assim, recomenda-se que o professor leve para a classe alguns sólidos geométricos, ou objetos com formas razoavelmente simples, para que os alunos possam exercitar o esboço das vistas frontal, superior e lateral.

Um poliedro é uma figura espacial fechada composta por polígonos (faces). As intersecções das faces são chamadas arestas do poliedro, e as intersecções das arestas recebem o nome de vértices. Na 5ª- série, a apresentação dos poliedros é feita por meio do bloco retangular (paralelepípedo reto-retângulo), do cubo e das pirâmides, e a única classificação estabelecida foi a separação entre poliedros e corpos redondos. Na 6ª- série, a proposta é ampliar a gama de exemplos, e iniciar o trabalho de classificação: regulares, não regulares, convexos, poliedros de Platão. Classificar significa agrupar em uma classe de equivalência. As classificações são melhor compreendidas e incorporadas pelos alunos

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Matemática - 6a série - Volume 2

quando eles são os autores principais das descobertas dos critérios estabelecidos nos agrupamentos. Para que isso aconteça, recomenda-se que as atividades de aula sejam montadas de maneira que favoreçam a descoberta do aluno. Por exemplo, em vez de explicitar a diferença entre poliedros regulares e não regulares, é interessante disponibilizar para os alunos poliedros (ou imagens de poliedros) dos dois tipos e pedir a eles que estabeleçam um critério para separá-los em dois grupos. Havendo necessidade, a atividade pode ser antecedida por outra em que os alunos recebam polígonos (ou imagens de polígonos) para classificá-los em regulares ou irregulares. O aspecto lúdico associado a atividades que trabalhem com o concreto ainda exerce papel importante na aprendizagem de alunos da faixa etária da 6ª- série. O estudo proposto dos poliedros oferece uma rica oportunidade para o trabalho nessa direção. A construção de poliedros motiva a criatividade, favorece o desenvolvimento da motricidade e pode ser articulada como um importante trabalho de desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo. Como vimos na atividade de ladrilhamento do plano, para se fazer um mosaico perfeito com polígonos regulares idênticos, é necessário que, agrupados em torno de um vértice, eles “preencham” perfeitamente um ângulo de 360o. Vimos também que os únicos polígonos regulares que atendem a essa condição são o triângulo equilátero (6 . 60o = 360o), o quadrado (4 . 90o = 360o) e o hexágono regular (3 . 120o = 360o).

O problema do ladrilhamento do plano nos fornece elementos suficientes para investigar outro problema de natureza semelhante, porém, no espaço tridimensional. O problema consiste em determinar quais polígonos regulares podem formar um poliedro. Para formar o vértice de um poliedro, temos de reunir polígonos que agrupados no plano formem um ângulo menor que 360o, caso contrário não conseguiríamos fazer “dobras” para formar um ângulo poliédrico. Sabemos então que seis triângulos equiláteros, quatro quadrados ou três hexágonos regulares não podem formar um ângulo poliédrico. Na atividade a seguir, o aluno poderá estender a investigação que acabamos de iniciar.

Atividade 3 Para formar um ângulo poliédrico juntando polígonos, necessitamos de ao menos três polígonos. Calcule os ângulos internos de um octógono regular e de um eneágono regular e, em seguida, justifique por que não podemos formar ângulos poliédricos usando 3 octógonos regulares ou 3 eneágonos regulares.

octógono regular

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planificação

eneágono regular

icosaedro regular

Em ambos os casos, teria de haver sobreposição dos polígonos porque 3 . 135o > 360o e 3 . 140o > 360o.

Atividade 4 Construa em uma folha branca e sem pauta alguns triângulos equiláteros de lado 6 cm (para que a construção seja precisa, use régua e compasso). Em seguida, tire cópias dessa folha até ter pelo menos 32 triângulos. Agora, utilize esses triângulos para formar todos os poliedros que conseguir. tetraedro regular planificação

4 faces, 4 vértices, 6 arestas octaedro regular planificação

20 faces, 12 vértices, 30 arestas

Utilizando apenas quadrados como faces, o único poliedro regular que podemos montar é o hexaedro regular (cubo); e com pentágonos regulares, só podemos montar o dodecaedro regular (12 faces, 20 vértices, 30 arestas). Professor, caso você considere pertinente estender o trabalho de construção de poliedros com seus alunos, é possível propor-lhes atividades parecidas com a Atividade 4, porém, envolvendo a montagem do cubo e do dodecaedro. Ao final, é importante destacar que os cinco sólidos construídos são os únicos poliedros regulares que existem: tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular. Além disso, embora todo poliedro regular seja poliedro de Platão, nem todo poliedro de Platão é um poliedro regular. Para que tenhamos um poliedro regular, ele deve ser formado apenas por polígonos regulares de um mesmo tipo e que exista o mesmo arranjo de polígonos em cada vértice. Para que seja um poliedro de Platão, todas as faces do poliedro têm de ser polígonos com o mesmo número de lados (regulares ou não), e todos os ângulos poliédricos devem ser formados pelo mesmo número de arestas.

8 faces, 6 vértices, 12 arestas

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Pode-se verificar que apesar de existirem mais poliedros de Platão do que poliedros regulares, também os poliedros de Platão só podem ser dos cinco tipos dos poliedros

regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. A imagem a seguir utiliza a ideia de conjuntos para organizar a classificação dos sólidos:

Poliedros de Platão Poliedros regulares

Poliedros convexos Poliedros Sólidos

Em 1750, depois de analisar extensa-

validade de sua hipó tese para todos os tipos

mente vários tipos de sólidos, o matemá-

de poliedros. No entanto, vários matemáti-

tico Leonhard Euler conjeturou a validade

cos encontraram exemplos de poliedros em

da fórmula V + F − A = 2 relacionando

que não seria válida a fórmula de Euler.

vértices (V), faces (F) e arestas (A) de

Muito provavelmente Euler não considerava

um poliedro, mas não fez propriamente

como poliedros sólidos como os indicados

uma demonstração. Anos depois, ele aca-

a seguir, para os quais seu teorema não

bou apresentando uma demonstração da

seria válido:

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Várias gerações de geômetras tentaram, depois de Euler, demonstrar o teorema, tarefa que só foi concluída de forma absolutamente correta pelo matemático Henri Poincaré, em 1893. Na Matemática escolar, abrimos mão do caráter mais geral da demonstração de Poincaré nos restringindo à validade da relação de Euler para os poliedros convexos, que são aqueles situados do mesmo lado de qualquer plano que contenha uma de suas faces. 1)

4)

Sugere-se a seguir uma atividade em que os alunos possam identificar a relação de Euler por meio da observação de regularidades em uma tabela.

Atividade 5 Determine o número de faces (F), arestas (A) e vértices (V) dos poliedros a seguir e, em seguida, encontre uma fórmula que relacione F, A e V.

2)

3)

5)

6)

Pode-se observar na tabela que V + F – A = 2, que é a fórmula de Euler para poliedros convexos. Poliedro convexo 1 2 3 4 5 6

Faces (F) 5 6 7 8 7 9

Arestas (A) 9 12 12 18 12 16

Vértices (V) 6 8 7 12 7 9

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Matemática - 6a série - Volume 2

Considerações sobre a avaliação Com a Situação de Aprendizagem 4, espera-se que o aluno aprenda a representar figuras planas e espaciais em malhas de pontos, esteja apto a fazer esboços das vistas de um objeto, saiba identificar os elementos de um poliedro, e compreenda a relação entre eles (fórmula de Euler).

pedir que seus alunos construam poliedros com base em polígonos recortados em cartolina. Em atividades desse tipo, é importante que o professor procure criar desafios para que o aluno possa, por meio da manipulação com o material concreto, resolver problemas, estabelecer relações e levantar hipóteses, além de verificá-las experimentalmente ou de forma dedutiva.

Como o trabalho foi conduzido de forma que o aluno tenha de utilizar malhas e manipular polígonos para construir poliedros, recomenda-se que uma das avaliações valorize os esforços feitos nessa direção. Por exemplo, o professor pode

Sendo possível o trabalho com computadores na escola, recomenda-se que o professor visite os endereços eletrônicos listados ao final do Caderno, onde poderá encontrar inúmeros recursos para o trabalho com a Geometria tridimensional.

ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO Como orientação geral para a recuperação da aprendizagem dos alunos que não atingiram as expectativas do bimestre, recomendamos que o professor organize trabalhos e novas listas de atividades para serem realizadas em duplas ou trios de trabalho. Para a elaboração dessas novas listas de atividades, recomendamos que o professor procure diversificar o tipo de enunciado, o uso de figuras e o grau de dificuldade. Essas fichas podem ser montadas com apoio de livros didáticos e/ou do material indicado na bibliografia do Caderno.

Na montagem desses grupos, é importante que haja heterogeneidade considerando-se a destreza dos alunos na utilização dos instrumentos geométricos de desenho, bem como suas dificuldades na compreensão dos conceitos abordados durante o bimestre. A ideia é de os alunos já terem destreza no uso dos instrumentos e que possam trabalhar com aqueles que ainda apresentem dúvidas, e cada grupo formado tenha, no mínimo, um aluno que ainda esteja com dificuldade no assunto e outro que já tenha um maior domínio sobre ele. Esse tipo de trabalho valoriza a aprendizagem dos que estão mais adiantados, e favorece a prática de atitudes cooperativas entre todos.

RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA livros e revistas ALVES, S.; DALCIN, M. Mosaicos do plano. Revista do Professor de Matemática/SBM, n. 40, 2º- semestre/1999, São Paulo, SP.

AzAMBUJA FILHO, z. Demonstração do teorema de Euler para poliedros complexos. Revista do Professor de Matemática/SBM, n. 3, 2º- semestre/1983, São Paulo, SP.

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BARBOSA, R. M. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 1993.

Experiências Matemáticas (séries). São Paulo: SE/CEMP, 1994. 4v.

CÂNDIDO, S. L. Formas num mundo de formas. São Paulo: Moderna, 2002.

FARMER, D. W. Grupos e simetria. Lisboa: Gradiva Publicações, 1999.

DINIz, M. I. de S.; SMOLE, K. C. S. O conceito de ângulo e o ensino de geometria. São Paulo: Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática/IME-USP.

WEYL, H. Simetria. São Paulo: Edusp, 1997.

EVES, H. Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: geometria. São Paulo: Atual, 1992. Conteúdos

A tabela a seguir mostra onde estão contemplados os conteúdos do 2º- bimestre da 6ª- série nas edições de Experiências Matemáticas:

Atividade de E.M.

Página

Formas geométricas espaciais

(5ª- série) 6, 11, 12, 25, 32, 34

61, 115, 112, 257, 325, 351

Ângulos

(6ª- série) 2, 6, 10, 11, 12

27, 75, 121, 137, 145

Polígonos

(6ª- série) 19, 20

215, 223

Simetrias

(5ª- série) 21

201

Circunferência

(6ª- série) 1, 2, 24, 31

17, 27, 255, 351

Sites Mosaicos no plano <http://www.rpm.org.br/novo/conheca/40/1/ mosaico.htm>; <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ ex_re/dg_ex_re12.php>; <http://matemateca.incubadora.fapesp.br/ portal/matemateca/construcao/ladrilhos>. Simetrias <http://www.ese.ips.pt/nonio/maleta/a_ simetria_na_natureza1.htm>;

<http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/ icm15/frame.htm>. Poliedros <http://www.apm.pt/apm/AeR/unipoli/ poliedro.html>; <http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/ mathsolid/mathsolid_br.html>. Ângulos <http://web.educom.pt/escolovar/mat_ geometri_angulos.htm>; <http://www.apm.pt/nucleos/porto/paginas/ UGSPCMD/htm/mario_e_joaquim/04.htm>.

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Matemática - 6a série - Volume 2

ConSidErAçõES FinAiS O conteúdo do 2º- bimestre da 6ª- série está todo relacionado ao eixo Geometria, incluindo a aprendizagem de ângulos, polígonos e uma introdução ao estudo dos poliedros. Em relação ao estudo dos ângulos, espera-se que ao final do período o aluno saiba medir e construir ângulos com o transferidor, identificar e medir ângulos internos e externos de polígonos, calcular a medida de ângulos a partir de informações geométricas simples. Além do trabalho com o transferidor, também é desejável que o professor proponha investigações sobre ângulos e polígonos com o uso dos esquadros e do compasso. Por exemplo, o aluno deve estar apto a construir com régua e compasso os ângulos de 15o (com a bissetriz do de 30o), 30o (com a bissetriz do de 60o), 45o (com a bissetriz do de 90o), 60o (por meio do triângulo equilátero), 90o (com a mediatriz de um segmento). Os esquadros, normalmente usados para traçar paralelas e perpendiculares, devem ser compreendidos como um par de triângulos que também permitem a construção de alguns ângulos. Paralelamente à discussão sobre a diversidade de instrumentos que podem ser usados para a construção de alguns ângulos, aos poucos o aluno deve perceber que, sempre que possível, compasso e régua são instrumentos preferíveis aos demais por garantir maior limpeza e precisão ao desenho, desde que usados adequadamente. Em relação ao estudo dos polígonos, antecipamos nessa proposta a fórmula da soma

dos ângulos internos para a 6ª- série por compreender que sua aprendizagem contribui no desenvolvimento da habilidade de identificação e representação de padrões e regularidades. Além disso, quando se trabalha essa fórmula, abrem-se inúmeras possibilidades de contextualização dos temas geométricos relacionados aos ângulos em situações práticas e aplicadas, como o “ladrilhamento do plano” ou a investigação da quantidade de poliedros regulares existentes. Problemas como a determinação da medida de cada ângulo interno de um polígono regular e da construção com régua e compasso de alguns polígonos regulares e não regulares fazem parte das expectativas de aprendizagem do bimestre. O estudo dos poliedros deve aprimorar basicamente três habilidades: o raciocínio dedutivo, o trabalho com classificação e a leitura e representação de imagens em três dimensões. A proposta de construção dos poliedros a partir de polígonos deve desenvolver o raciocínio dedutivo e o trabalho com a habilidade de classificar. O trabalho com malhas quadriculadas e de pontos deve servir como ferramenta didática para consolidar a leitura e representação de imagens bi e tridimensionais. Por fim, as atividades voltadas para a investigação das simetrias axial, rotacional e do movimento de translação têm como principal objetivo o refinamento do olhar do aluno sobre objetos, obras de arte, construções

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arquitetônicas, mosaicos, etc. Além desse aspecto relacionado à estética, o conhecimento de simetria também constitui uma valiosa ferramenta para a investigação de algumas propriedades geométricas. Diversificar os instrumentos avaliativos contribuirá não só para possibilitar ao aluno diferentes meios de expressar sua compreensão dos conceitos, como também para que o professor avalie adequadamente a distância entre a aprendizagem realizada e a aprendizagem que se espera acerca dos temas tratados. Nesse sentido, é sugerido, além das provas, que se avaliem listas de exercício, registros feitos pelos alunos (caderno, tarefas de casa, anotações pessoais) e produção dos grupos de trabalho. No que diz respeito à produção feita em pequenos grupos, é importante que, a partir de objetivos bem definidos, o professor faça observações sobre a participação solidária dos integrantes, a organização dos grupos, a prontidão às instruções dadas, etc. O tema “poliedros” nos parece bastante apropriado para um trabalho em equipe.

A seguir, relacionamos os conteúdos específicos do bimestre e as expectativas que o professor deve ter em relação à aprendizagem desses conteúdos. Ângulos: usar o transferidor para medir e construir ângulos, usar a régua e o compasso para construir alguns ângulos, estimar a medida de um ângulo visualmente, classificar ângulos (reto, raso, agudo, obtuso). Polígonos: reconhecer polígonos, construir alguns polígonos com régua, transferidor e compasso, calcular o valor da soma dos ângulos internos e dos ângulos externos de um polígono, calcular a medida do ângulo interno e do externo de polígonos regulares. Poliedros: identificar, planificar e classificar poliedros (convexo, regular, poliedros de Platão). Por fim, é importante destacar que, na medida do possível, os conteúdos devem ser trabalhados de maneira aplicada e desafiadora. Uma boa metodologia para isso é explorar situaçõesproblema contextualizadas com significado, e que exijam reflexão crítica por parte do aluno.

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Malha de pontos

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Malha quadriculada

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Malha com hexágonos regulares

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Malha de triângulos equiláteros

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Matemática - 6a série - Volume 2

Malha com hexágonos regulares, quadrados e triângulos regulares

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CONTEúDOS DE MATEMáTICA POR SÉRIE/BIMESTRE

DO ENSINO FUNDAMENTAL

4o- bimestre

3o- bimestre

2o- bimestre

1o- bimestre

5a- série nÚMEroS nAturAiS - Múltiplos e divisores. - Números primos. - Operações básicas. - Introdução às potências. FrAçõES - Representação. - Comparação e ordenação. - Operações.

nÚMEroS dECiMAiS - Representação. - Transformação em fração decimal. - Operações.

6a- série nÚMEroS nAturAiS - Sistemas de numeração na Antiguidade. - O sistema posicional decimal. nÚMEroS intEiroS - Representação. - Operações. nÚMEroS rACionAiS - Representação fracionária e decimal. - Operações com decimais e frações.

7a- série nÚMEroS rACionAiS - Transformação de decimais finitos em fração. - Dízimas periódicas e fração geratriz. PotEnCiAção - Propriedades para expoentes inteiros.

8a- série nÚMEroS rEAiS - Conjuntos numéricos. - Números irracionais. - Potenciação e radiciação em IR. - Notação científica.

trAtAMEnto dA inForMAção - A linguagem das potências.

GEoMEtriA/MEdidAS - Ângulos. - Polígonos. - Circunferência. - Simetrias. - Construções geométricas. - Poliedros.

álGEbrA - Equivalências e transformações de expressões algébricas. - Produtos notáveis. - Fatoração algébrica.

álGEbrA - Equações de 2º- grau: resolução e problemas. - Noções básicas sobre função; a ideia de interdependência. - Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1º- e 2º- graus.

GEoMEtriA/MEdidAS - Formas planas e espaciais. - Noção de perímetro e área de figuras planas. - Cálculo de área por composição e decomposição.

nÚMEroS/ ProPorCionAlidAdE - Proporcionalidade direta e inversa. - Razões, proporções, porcentagem. - Razões constantes na geometria: . trAtAMEnto dA inForMAção - Gráficos de setores. - Noções de probabilidade.

álGEbrA/EQuAçõES - Equações de 1º- grau. - Sistemas de equações e resolução de problemas. - Inequações de 1º- grau. - Sistemas de coordenadas (plano cartesiano).

GEoMEtriA/MEdidAS - Proporcionalidade, noção de semelhança. - Relações métrica entre triângulos retângulos. - Razões trigonométricas.

trAtAMEnto dA inForMAção - Leitura e construção de gráficos e tabelas. - Média aritmética. - Problemas de contagem.

álGEbrA - Uso de letras para representar um valor desconhecido. - Conceito de equação. - Resolução de equações. - Equações e problemas.

GEoMEtriA/MEdidAS - Teorema de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações. - área de polígonos. - Volume do prisma.

GEoMEtriA/MEdidAS - O número π; a circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo. - Volume e área do cilindro.

SiStEMAS dE MEdidA - Comprimento, massa e capacidade. - Sistema métrico decimal.

trAtAMEnto dA inForMAção - Contagem indireta e probabilidade.

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