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caderno do

ensino médio

2ª- SÉRiE

volume 2 – 2009

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matEmática

PROFESSOR

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Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores Ghisleine Trigo Silveira

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

AUTORES

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira

Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete Fernando Padula Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas Valéria de Souza Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação: Guilherme Ary Plonski Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TéCNiCA CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos Matemática Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico) APOiO FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação CTP, Impressão e Acabamento Esdeva Indústria Gráfica

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 2ª- série, volume 2 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009. ISBN 978-85-7849-297-7 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título. CDU: 373.5:51


Prezado(a) professor(a), Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, novamente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças nesta área a partir da ação do poder público. Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendizagem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção. O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, estão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exatamente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas para cada disciplina. Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educação.

Paulo Renato Souza Secretário da Educação do Estado de São Paulo

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SuMário São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado Ficha do Caderno

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orientação geral sobre os Cadernos Situações de Aprendizagem

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Situação de Aprendizagem 1 – Matrizes: diferentes significados

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Situação de Aprendizagem 2 – Matriz de codificação: desenhando com matrizes 25 Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em situações-problema

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Situação de Aprendizagem 4 – Resolução de sistemas lineares: escalonamento x Cramer 35 Orientações para Recuperação

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Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 52 Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio

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São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA

CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a), É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas durante a primeira fase de implantação da proposta. Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o que estava sendo proposto. Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse processo. Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes. Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da aprendizagem e de seus resultados.

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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e recursos didáticos. Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das ações propostas para a construção de uma escola melhor. O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados. Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever esse sucesso, que também é de vocês. Bom ano letivo de trabalho a todos! Maria inês Fini Coordenadora Geral Projeto São Paulo Faz Escola

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FiCHA do CAdErno Matrizes e sistemas lineares

nome da disciplina:

Matemática

área:

Matemática

Etapa da educação básica: Série: Período letivo: temas e conteúdos:

Ensino Médio 2ª2º- bimestre de 2009 Matrizes: tabelas com significados Matrizes: recurso para codificar Sistemas lineares em situações-problema Resolução e discussão de sistemas lineares

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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à forma de enfoque destes temas, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas à leitura e à escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática. Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor vai explorar cada assunto com mais ou menos profundidade, ou seja, escolherá uma escala adequada para tratar do tema. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido por mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado. É desejável que o professor contemple todas as oito unidades, uma vez que, juntas, compõem o panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras. Insistimos,

entretanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar com adequação o prazo ideal a ser dedicado a cada uma das unidades. Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando o professor para sua ação em sala de aula. As atividades são independentes e podem ser exploradas pelos professores com mais ou menos intensidade, conforme seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas atividades oferecidas. São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas. O Caderno é ainda composto de considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem como o conteúdo essencial ao desenvolvimento das competências esperadas no presente bimestre.

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Matemática - 2a série - Volume 2

Conteúdos básicos do bimestre O conteúdo matemático selecionado para o 2º- bimestre – matrizes, determinantes e sistemas lineares – exige, assim como os demais conteúdos, que sejam identificados seus diferentes significados e estimuladas algumas das várias conexões entre esses significados. Todavia, a observação dos tópicos abordados com maior frequência nos livros didáticos e, portanto, nos cursos de Ensino Médio evidencia a prioridade atribuída a aspectos meramente algébricos, que coloca em segundo plano algumas das atuais e importantes aplicações desses conteúdos, bem como a sólida base que deveria ser formada tendo em vista a continuidade dos estudos matemáticos. Com esse intuito, valeria enfatizar, por exemplo, a formação de imagens nas telas dos aparelhos digitais (máquinas, televisores, etc.), e todo o campo de estudo da Álgebra Linear. Ao contrariar essa tendência, julgamos importante o professor municiar-se de um amplo espectro de Situações de Aprendizagem nas quais transpareçam claramente os dois aspectos apontados – aplicabilidade e formação conceitual – a fim de que os alunos possam construir alguns dos diferentes significados de cada um dos tópicos de conteúdo. Em relação às matrizes, o professor deve avaliar a importância desse conteúdo no bimestre, destinando o tempo necessário à apresentação de algumas de suas inúmeras aplicações. Nesse sentido, sugerimos que o trabalho se inicie com a noção de que uma matriz é, em princípio, uma tabela de dupla entrada em que seus elementos guardam posições dadas pelas

coordenadas de suas linhas e colunas. Além disso, sugerimos ainda que os exemplos escolhidos para tal apresentação sejam carregados de significados, a fim de que os alunos possam associar as características particulares de um elemento qualquer da matriz às características gerais pertinentes a todos os elementos e, portanto, à própria matriz. Na Situação de Aprendizagem 1 – Matrizes: diferentes significados, abordamos quatro aspectos que fazem ressaltar importantes significados associados à armazenagem de dados em uma tabela de dupla entrada. O primeiro aspecto apresentado, na Atividade 1, enfoca uma clássica e reconhecida dificuldade dos alunos em calcular e associar significado ao produto de duas matrizes. Sugerimos que as situações-problema propostas sejam apresentadas aos alunos sem qualquer comentário anterior sobre como calcular o produto de duas matrizes, e que, ao final, as conclusões sobre os resultados obtidos sejam utilizadas para a introdução do conceito. Ainda sobre esta atividade, chamamos a atenção do professor para os Problemas 1 e 2, em que abordamos a translação de polígonos representados no plano cartesiano por meio de adições entre matrizes, atribuindo, dessa maneira, um significado pouco usual à representação e às operações matriciais. Continuando a explorar a primeira Situação de Aprendizagem proposta, na Atividade 2, apresentamos a ideia de que cada elemento de uma matriz pode revelar explicitamente a frequência de um evento, ao mesmo

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tempo que pode, implicitamente, revelar a frequência de outro evento, complementar ao primeiro. Trata-se das chamadas “matrizes de compensação”, que também podem ser apresentadas aos alunos como uma situação-problema, sem necessidade de qualquer discussão conceitual anterior sobre o tema. Na Atividade 3 da Situação de Aprendizagem 1 os alunos poderão tomar contato com o conceito de Pixel, associando a ideia de matriz à da imagem fotografada em uma máquina digital. Com intuito de valorizar a exploração desse aspecto, sugerimos que os alunos sejam estimulados a pesquisar como se formam as imagens nos aparelhos de televisão digital para ampliar a rede de significados associados às matrizes. A primeira Situação de Aprendizagem encerra-se com a Atividade 4, na qual ampliamos o significado dos pixels discutido na atividade anterior, ao propor a representação de figuras planas obtidas a partir da composição de regiões identificadas por comandos matriciais. A Situação de Aprendizagem 2 – Matriz de codificação: desenhando com matrizes aborda a possibilidade de as matrizes serem utilizadas para codificar sequências de ligações entre pontos do plano com o objetivo de formar determinada imagem. De fato, tal atividade é uma adaptação da importante Teoria de Grafos, com a qual muitos alunos se defrontarão na continuidade dos estudos. A experiência de aplicação, a grupos de alunos de Ensino Médio, de questões semelhantes às propostas,

mostrou o enorme envolvimento dos alunos na criação de desenhos e de diferentes codificações. Assim, sugerimos que o professor destine especial atenção à Atividade 3, na qual os alunos são convidados a criar seus próprios desenhos. A transformação da linguagem cotidiana para a linguagem matemática é realizada, no mais das vezes, por intermédio de uma equação. Uma situação-problema que pode ser resolvida apenas pelo cálculo mental não necessita que equações sejam escritas, e não se trata, de forma alguma, de priorizar o cálculo algébrico em relação ao cálculo mental. No entanto, são inúmeras as situaçõesproblema em que se evidencia a necessidade de escrever e resolver equações, e não podemos deixar de apresentar aos alunos exemplos dessa natureza, associados, sempre que possível, a contextos significativos. Na Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas lineares em situações-problema são apresentadas várias propostas de problemas contextualizados em que equações e sistemas lineares convertem-se em importante ferramenta na busca da solução desejada. No entanto, chamamos a atenção do professor para que situações semelhantes não sejam propostas apenas no final do curso, em um único bloco, e sim que possam, todo o tempo, permear a gradativa construção conceitual planejada para todo o 2º- bimestre. Devemos avaliar com cuidado a importância do cálculo dos determinantes associados às matrizes quadradas, no contexto da resolução de sistemas lineares. Sabemos que, com frequência, os determinantes são utilizados como

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Matemática - 2a série - Volume 2

ferramenta quase única para a resolução e a discussão de sistemas lineares por intermédio da regra de Cramer. Ressaltamos que a aplicação de regras de cálculo, que exigem dos alunos apenas a mobilização da habilidade de memorização, não podem ser priorizadas acima de outras condutas e procedimentos que permitem aos alunos o exercício de toda a diversidade de estratégias de raciocínio. Nesse sentido, chamamos a atenção do professor para que a resolução e a discussão de sistemas lineares por intermédio do escalonamento sejam, se não o único procedimento apresentado, aquele que receba prioritariamente o destaque da apresentação conceitual. Tais princípios nortearam a elaboração da Situação de Aprendizagem 4 – resolução de sistemas lineares: escalonamento x Cramer, em que diversos sistemas lineares são apresentados para que sejam resolvidos e/ou discutidos. A organização do trabalho do bimestre, com base nas considerações anteriores, pode ser feita nas oito unidades seguintes.

Quadro geral de conteúdos da 2ª- série do 2º- bimestre do Ensino Médio unidade 1 – Matrizes: apresentação, tipos, igualdade e operações: adição, subtração e multiplicação por uma constante. unidade 2 – Matrizes: diferentes significados; multiplicação entre duas matrizes. unidade 3 – Matrizes: operações e equações matriciais. unidade 4 – Determinantes: um número associado a uma matriz quadrada; método de Sarrus. unidade 5 – Sistemas lineares: resolução por escalonamento. unidade 6 – Sistemas lineares: resolução por escalonamento. unidade 7 – Sistemas lineares: discussão de parâmetros. unidade 8 – Problemas resolvíveis por intermédio de sistemas lineares.

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SituaçõeS de aprendizagem SituAção de APrendizAgeM 1 MAtrizeS: diFerenteS SigniFiCAdoS tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: operação de adição entre matrizes; multiplicação entre duas matrizes. Competências e habilidades: utilizar elementos de matrizes para organizar e justificar a resolução de situações-problema baseadas em contextos do cotidiano; relacionar representações geométricas a comandos expressos na linguagem matemática. estratégias: resolução de situações-problema.

roteiro para aplicação da Situação de aprendizagem 1 o significado imediatamente associado às matrizes é o de uma tabela de dupla entrada contendo dados numéricos. Se tal fato não pode ser contestado, visto o contato dos alunos com as tabelas desde praticamente o início de sua escolarização, torna-se importante, no ensino Médio, interpretar com qualidade os significados associados a cada elemento da matriz. Assim, a correta interpretação de dados numéricos registrados em matrizes é um dos objetivos da proposta desta Situação de Aprendizagem. em relação às operações entre matrizes, sabemos da pouca dificuldade apresentada pelos alunos no que se refere às adições e também ao produto de um número real por uma matriz. no entanto, o mesmo não ocorre

com o cálculo do produto entre duas matrizes, uma vez que o procedimento adequado para a obtenção correta de resultados contraria, inicialmente, o senso comum dos alunos quanto à sequência de passos a ser obedecida. Consideramos que a apresentação do cálculo de um produto de matrizes com base em exemplos contextualizados é uma abordagem que favorece a aprendizagem e compreensão dos alunos sobre esse tema. Para auxiliar o professor neste caminho metodológico, propomos, nesta Situação de Aprendizagem, uma série de situações-problema desenvolvidas sobre contextos pertinentes para a introdução de tais operações. Mesmo acreditando que o professor saberá julgar e decidir sobre o melhor momento de apresentar aos alunos as situações-problema das próximas páginas, consideramos que isso possa ser feito antes mesmo de que sejam apresentadas, formalmente, as operações entre matrizes.

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Chamamos a atenção do professor para o tratamento dado à adição de matrizes, na Atividade 1, por intermédio de translações de polígonos representados no plano cartesiano. Destacamos neste Caderno apenas dois exemplos de situações dessa natureza, mas aconselhamos o professor a criar outras situações, de caráter semelhante, que envolvam quadriláteros, pentágonos e hexágonos, estimulando os alunos a atribuírem diferentes significados à adição matricial. Ressaltamos ainda que o trabalho com as translações de polígonos no plano cartesiano pode ser auxiliado por planilhas de cálculo, caso haja disponibilidade de recursos de informática.

matrizes. Uma vez que os problemas apresentam similaridades quanto às estratégias de raciocínio que devem ser mobilizadas em suas respectivas resoluções, caberá ao professor avaliar se a melhor maneira é apresentar um de cada vez a seus alunos, em aulas distintas, ou se é o caso de reuni-los em um único momento. Outro aspecto a salientar diz respeito à dificuldade das operações necessárias à resolução de cada situação-problema. De fato, para que o contexto se aproxime o máximo possível do real, é importante que os valores relativos às quantidades não sejam expressos apenas por números naturais. Para que o foco do conteúdo em questão não se perca, o professor poderá, a seu critério, permitir que os alunos utilizem calculadoras para agilizar os cálculos.

Atividade 1 – operações entre duas matrizes

Problema 1

Nesta atividade propomos algumas situações-problema de contexto bem definido para introduzir a adição e a multiplicação entre duas

Observe os dois polígonos representados no plano cartesiano:

y 6 F

5 4 B

3

G

E

2 1

H C

A

1

2 D

3

4

5

6

7

8

9 x

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De fato, esses dois polígonos são congruentes, e podemos considerar que o polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD, isto é, EFGH foi obtido a partir de duas movimentações de ABCD, sendo uma na horizontal e outra na vertical. a) Quantas unidades na horizontal e quantas unidades na vertical ABCD deve ser deslocado para que, ao final, coincida com EFGH? 5 unidades na horizontal e 2 unidades na vertical. b) Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

A=

1 1 3 2

1 3 1 0

d) Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = b. 5 5 5 5

C=

2 2 2 2

Problema 2 Na representação seguinte, de um plano cartesiano, podemos observar três triângulos congruentes. O triângulo ABC pode ser transladado até coincidir com o triângulo DEF, que por sua vez, se transladado, poderá coincidir com o triângulo GHI. y

4

D

3 A 2 E 1 F –3

B=

6 6 8 7

3 5 3 2

B

2

–2 G

–1

0 –1 –2

c) Represente em uma matriz b(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

5

1 C

3

4

x

H

–3 I

a) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo ABC, a fim de que, ao término, ele coincida com o triângulo DEF? Quatro unidades horizontais para a esquerda e uma unidade vertical para cima.

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Matemática - 2a série - Volume 2

b) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo DEF, a fim de que, ao término, ele coincida com o triângulo GHI? Uma unidade horizontal para a direita e quatro unidades verticais para baixo. c) Quantas unidades horizontais e quantas unidades verticais são necessárias para uma translação do triângulo ABC, a fim de que, ao término, ele coincida com o triângulo GHI? Três unidades horizontais para a esquerda e três unidades verticais para baixo. d) Escreva uma matriz 3x2 para cada triângulo, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um vértice do triângulo, com a abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna. Denomine a matriz referente ao triângulo ABC pela letra M, a matriz referente ao triângulo DEF pela letra n, e a matriz referente ao triângulo GHI pela letra P. 1 2,5 –3 M = 4 0,5 N = 0 2 –0,5 –2

3,5 –2 – 0,5 P = 1,5 1 –2,5 0,5 –1 –3,5

e) Escreva uma matriz Q, tal que M + Q = N –4 Q = –4 –4

1 1 1

f) Escreva uma matriz r, tal que N + R = P R= 1 1 1

–4 –4 –4

g) Escreva uma matriz t, tal que M + T = P –3 T = –3 –3

–3 –3 –3

Problema 3 No campeonato baiano da terceira divisão, após 5 rodadas, foram obtidos os seguintes resultados pelas 5 equipes participantes: Equipes

Vitórias

Empates

derrotas

3

2

0

2

1

2

Veneza

2

0

3

Colonial

1

1

3

Olaria

1

0

4

resultado

Pontos

Vitória

3

Empate

1

Derrota

0

Barro Vermelho Carranca

Calcule quantos pontos cada time conquistou até agora e represente os resultados em uma matriz de ordem 5x1. Os elementos da matriz seguinte correspondem aos totais de pontos das equipes, de cima para baixo, nesta ordem: Barro Vermelho, Carranca, Veneza, Colonial e Olaria. 11 7 6 4 3

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Problema 4 Um proprietário de duas cantinas em escolas diferentes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: suco de laranja, água mineral, queijo e presunto. Na cantina da escola A são consumidos, por semana, 40 dúzias de laranjas, 140 garrafas de água mineral, 15 quilos de queijo e 9 quilos de presunto. Na cantina da escola b são consumidos semanalmente 50 dúzias de laranjas, 120 garrafas de água mineral, 18 quilos de queijo e 10 quilos de presunto. O proprietário das cantinas compra os produtos que revende de dois fornecedores, cujos preços, em R$, são expressos na tabela a seguir: Produtos

Fornecedor 1

Fornecedor 2

1 dúzia de laranjas

1,20

1,10

1 garrafa de água mineral

0,80

0,90

1 quilo de queijo

5,00

6,00

1 quilo de presunto

9,00

7,50

1,20 0,80 5,00 9,00

1,10 0,90 6,00 7,50

c) uma matriz 2x2 contendo os preços totais cobrados por cada fornecedor, para cada cantina. 316,00

327,50

336,00

346,00

Essa matriz corresponde ao produto entre as matrizes do item a e do item b. d) quanto o proprietário vai economizar, ao comprar sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes. (327,50 – 316,00) + (346,00 – 336,00) = R$ 21,50

Problema 5

Com base nestas informações, determine: a) uma matriz 2x4 em que esteja registrado o consumo dos produtos listados na cantina A e também na cantina b. 40 140 15 50 120 18

b) uma matriz 4x2 em que estejam registrados os preços praticados pelos fornecedores 1 e 2 para os produtos listados.

9 10

Está chegando a Páscoa e Jair resolveu ganhar um dinheiro extra, fabricando e vendendo ovos de chocolate. Para planejar seus investimentos e lucros no projeto, Jair elaborou as seguintes planilhas com quantidades necessárias e custo de material para 4 tipos de ovos.

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Matemática - 2a série - Volume 2

tabela 1 – Quantidade de material necessário para a fabricação de uma unidade de cada tipo de ovo tipo de ovo

tipo 1

tipo 2

tipo 3

tipo 4

Chocolate (gramas)

120

250

180

160

Açúcar (gramas)

100

120

100

80

Recheio (gramas)

160

180

200

100

Embalagem (folhas)

0,5

1,5

1,0

1,0

tabela 2 – Custo de cada tipo de material (r$) Chocolate (kg)

Açúcar (kg)

recheio (kg)

Embalagem (folhas)

12,00

1,50

28,00

1,20

a) Escreva uma matriz de ordem 1x4 contendo o custo total de fabricação de cada tipo de chocolate. A matriz procurada pode ser obtida a partir do produto das matrizes que podem ser formadas com os elementos numéricos das duas tabelas apresentadas no enunciado. De qualquer forma, para obter os resultados procurados, será necessário multiplicar os elementos da linha da tabela 2 pelos elementos de cada coluna da tabela 1, da seguinte forma: f Tipo 1: 12 . 0,12 + 1,50 . 0,1 + + 28 . 0,16 + 1,20 . 0,5 = 6,67

f Tipo 2: 12 . 0,25 + 1,50 . 0,12 + + 28 . 0,18 + 1,20 . 1,5 = 10,02 f Tipo 3: 12 . 0,18 + 1,50 . 0,1 + + 28 . 0,2 + 1,20 = 9,11 f Tipo 4: 12 . 0,16 + 1,5 . 0,08 + 28 . 0,1 + 1,20 = 6,04

+

Assim, a matriz procurada é: [ 6,67

10,02

9,11

6,04]

b) Se Jair pretende trabalhar com as margens de lucro sobre o preço de custo expressas na tabela a seguir, calcule qual é o valor total das vendas que ele espera conseguir com 200 unidades de cada tipo de chocolate.

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tabela 3 – Margem de lucro por tipo produzido tipo de chocolate

tipo 1

tipo 2

tipo 3

tipo 4

Margem de lucro (%)

60

80

100

100

Para calcular o montante de um valor sobre o qual se fez incidir um porcentual de, por exemplo, 60%, podemos multiplicar o valor inicial pelo coeficiente 1,6. Esse índice corresponde, de fato, à soma de 100% + 60%. Para obter o resultado procurado, será necessário, de fato, multiplicar a matriz obtida no item a pela matriz seguinte, formada pelos coeficientes de correção do valor inicial:

[ 6,67 10,02 9,11

1,6 6,04] . 1,8 = 2,0 2,0

que disputam, entre si, várias partidas de 3 jogos diferentes, A, b e C. Jonas ganha 37% das partidas do jogo A, 62% das partidas do jogo b e 45% das partidas do jogo C. A partir desses dados podemos escrever uma tabela e/ou uma matriz 2x3: Porcentual de vitórias de cada jogador Jogador

Jogo A

Jogo b

Jogo C

Jonas

37

62

45

Mário

63

38

55

= 1,6 . 6,67 + 1,8 . 10,02 + 2 . 9,11 + + 2 . 6,04 = 59,008. O resultado apresentado corresponde ao valor da venda de uma unidade de cada tipo. Como são previstas 200 unidades de cada, devemos fazer: 200 . 59,008 = 11 801,60 Assim, o valor total das vendas será igual a R$ 11 801,60.

Atividade 2 – Matriz de compensação Podemos utilizar matrizes para registrar a frequência com que acontecem dois eventos que se complementam. Por exemplo, vamos supor o caso de duas pessoas, Jonas e Mário,

M=

37 63

62 38

45 55

Vale ressaltar, entretanto, que os valores alocados na segunda linha, referentes às porcentagens de ganho de Mário, poderiam ter sido suprimidos da matriz, visto que a soma dos elementos de cada coluna sempre é 100. Em outras palavras, se sabemos a porcentagem de vitórias de um jogador, sabemos também sua porcentagem de derrotas. Bastaria, portanto, escrever a seguinte matriz 1x3: Jonas

A (37

B 62

C 45)

A este tipo de matriz dá-se o nome de “matriz de compensação”, porque os resultados

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Matemática - 2a série - Volume 2

favoráveis a um elemento “compensam” os resultados, não registrados na matriz, favoráveis ao outro. Com base nessas explicações, propomos a seguinte situação-problema: Duas redes de televisão A e b competem, entre si, para obter o maior índice de audiência em cada horário. Neste momento, as duas redes planejam levar ao ar programas de uma hora de duração para o mesmo horário noturno. A rede A dispõe de 2 opções de programas (A1 e A2) enquanto a rede b dispõe de 3 opções de programas possíveis (b1, b2 e b3). Na tentativa de fazer a melhor opção, as redes contratam um instituto de pesquisa de opinião para avaliar como se divide a preferência do público quando cada opção da rede A for colocada em confronto com cada opção da rede b. Assim, por exemplo, o instituto avalia que, se os programas A1 e b1 forem ao ar simultaneamente, 60% do público assistirá a A1 enquanto 40% assistirá a b1. Na tabela a seguir estão representados esse e os demais resultados dos confrontos entre as opções de programas de A e b. Porcentagem de audiência para a rede A Programas da rede b

Programas da rede A

b1

b2

b3

A1

60

20

30

A2

40

75

45

Responda: a) Se forem ao ar simultaneamente A1 e b3, qual será a porcentagem de audiência prevista para cada programa? 30% para A1 e 70% para B3. b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e b2, qual rede terá maior audiência? Quantos por cento a mais? A rede A terá mais audiência, pois A2 terá 75% contra 25% de B2. São, portanto, 50% a mais. c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de b, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor diferença entre as audiências? A maior diferença está no par (A1, B2), com 20% para A1 e 80% para B2, isto é, com 60% de diferença. A menor diferença está no par (A2, B3), com 45% para A2 e 55% para B3, isto é, com 10% de diferença.

Atividade 3 – resolução de imagens: os pixels O registro de uma foto no papel ou em uma tela de computador é obtido a partir da reunião de várias unidades de imagem justapostas. Cada uma dessas unidades tem apenas uma cor e é denominada pixel (picture element). O conjunto dos pixels dá a quem vê a impressão de algo contínuo, muito embora a ampliação da foto mostre claramente a descontinuidade da gradação de cores, como se pode observar na figura a seguir.

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© Ablestock/Renan Leena

avaliadas pelo comprador são os megapixels. Uma máquina de 6 megapixels (6 MP) divide uma determinada área em 6 milhões de pixels (6 x 106), enquanto outra, de 7.1 MP é capaz de dividir a mesma área em 7 milhões e 100 mil pixels (7,1 x 106). Assim, apenas por esse quesito, é possível avaliar que a qualidade da segunda câmera é superior à da primeira. Uma fotografia, desse modo, pode ser entendida como uma matriz formada por n elementos em que cada um deles é um pixel de imagem. Quanto mais elementos a matriz contiver em uma mesma área, melhor será a resolução da fotografia. Observe, por exemplo, os desenhos dos retângulos a seguir, nos quais foi inserida a letra r. Acima de cada retângulo aparece registrada a quantidade de pixels. Nesta ilustração fica claro como a qualidade da imagem aumenta com o aumento da quantidade de pixels.

Não há dimensão fixa para um pixel, mas é possível inferir que, em uma mesma área, quanto menor for um pixel, maior poderá ser a quantidade deles, resultando em uma foto de melhor qualidade ou de maior resolução. Ao adquirir uma máquina fotográfica digital, uma das primeiras características 1x1

2x2

5x5

10 x 10

O tamanho de uma imagem digital é definido pela ordem da matriz, isto é, pela quantidade de linhas e colunas que a forma. A flor abaixo, por exemplo, tem 119 linhas

20 x 20

50 x 50

100 x 100

e 116 colunas de tamanho. Em um total de 119 . 116 = 13 804 pixels.

© Ablestock

A partir dessas informações, propomos a seguinte atividade: Um determinado modelo de máquina digital pode alterar a resolução da foto. À escolha do fotógrafo, as fotos podem ser produzidas com as seguintes especificações: 7.1 MP : 3 072 x 2 304 pixels 6.1 MP: 3 072 x 2 048 pixels 4.0 MP: 2 304 x 1 728 pixels 1.9 MP: 1 600 x 1 200 pixels 0.8 MP: 1 024 x 768 pixels

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Matemática - 2a série - Volume 2

1. Considere uma foto de 7.1 MP de resolução em que a linha 1 000 da matriz seja formada apenas por pixels de cor verde, divididos igualmente entre 3 tonalidades em ordem crescente de posição nas colunas:

f se 200 < bij ≤ 320 ⇒ tonalidade 2

tonalidade 1:

f se 320 < bij ≤ 1 000 ⇒ tonalidade 3

tonalidade 2: tonalidade 3: Assim, dos n elementos da 1 000a linha da n matriz, os primeiros são verdes na tonali3 n dade 1, os seguintes são verdes na tonalida3 n de 2 e os últimos são verdes na tonalidade 3 3. Nessa condição, qual será a tonalidade, 1, 2 ou 3 do seguinte pixel ai,j, isto é, do elemento da matriz que ocupa a linha i e a coluna j: a) a1 000,1 000?

bij = 2i – j e as tonalidades são associadas ao pixel de acordo com o seguinte código: f se bij ≤ 200 ⇒ tonalidade 1

f se bij > 1 000 ⇒ tonalidade 4 Nessas condições, qual é a tonalidade, 1, 2, 3 ou 4, do elemento: a) b40, 100? b40, 100 = 2 . 40 – 100 = –20. Como –20 ≤ 200, tonalidade 1. b) b1 000, 1 000? b1000, 1000 = 2 . 1 000 – 1 000 = 1 000. Como 320 ≤ b1000,1000 ≤ 1 000, tonalidade 3. c) Que estiver na 1 200ª- linha e 1 200ª- coluna? Trata-se de b1200, 1200 = 2 . 1 200 – 1 200 = 1 200. Assim, bij > 1 000, tonalidade 4.

Tonalidade 2.

3. No exercício anterior, quantos pixels da 300ª- linha vão ter tonalidade 3?

b) a1 000, 500?

279.

Tonalidade 1. c) a1 000,2 000? Tonalidade 3. 2. Considere uma foto de 1.9 MP de resolução em que todos os elementos bij da matriz sejam pixels de cor azul, de modo que cada elemento bij, isto é, o elemento que ocupa na matriz a posição dada pela linha i e pela coluna j, seja dado pela sentença

Atividade 4 – Matrizes e o princípio da tomografia A tomografia computadorizada é uma moderna técnica da medicina que possibilita visualizar o interior do corpo de uma pessoa, por meio de uma série de imagens que permitem aos médicos identificar diversos tipos de problemas, como a existência de regiões cancerígenas. Nesta atividade aproveitaremos o

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modo como são tomadas as imagens de uma tomografia para simular situações-problema que envolva matrizes. O funcionamento de um tomógrafo computadorizado consiste, basicamente, na emissão de feixes de raios X que não atravessam todo o organismo da pessoa, mas, sim, executam varreduras em um único

Quem já passou por esse tipo de exame sabe 1 que, durante cerca de hora, um grande 2 equipamento executa movimentos circulares e ruidosos, que parece estar, de fato, “fatiando” nosso corpo com os feixes unidimensionais de raios X. O feixe de raios X, emitidos em um único plano, projeta uma tira com trechos claros e escuros, como neste desenho:

plano. Desse modo, um feixe de raios ao varrerem um plano, ou uma “fatia”, projeta, ao final, uma imagem que é unidimensional, isto é, uma tira com trechos claros e escuros, conforme aquilo que tenham encontrado pelo caminho (órgãos, ossos, etc.). O desenho a seguir representa o momento em que uma pessoa é exposta aos feixes de raios de um tomógrafo.

imagem, forma uma “chapa”, ou um corte, semelhante ao que é mostrado no desenho a seguir:

À medida que o tomógrafo se movimenta, outros feixes de raios X são emitidos e novas tiras são geradas. A reunião dessas tiras, em uma única

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Matemática - 2a série - Volume 2

Podemos associar os numerais 1 ou 0 aos pontos escuros ou claros, respectivamente. Além disso, simplificando a constituição dessas microrregiões claras ou escuras, vamos supor que todas tenham o formato de pequenos quadrados, de maneira que uma região plana possa ser, de fato, uma região quadriculada, em que linhas e colunas sejam numeradas de 1 a n, conforme a representação a seguir, em que a malha quadriculada tem 8 linhas e 8 colunas. 1

2

3

4

5

6

7

Ao se registrar simultaneamente a quantidade de quadrículas escuras ou claras de cada coluna, é possível reconstituir a “imagem”, como no caso do desenho a seguir:

1

0 1

3

2

5

3

4

0

1

1

Observe nestes outros exemplos, como podemos associar a reconstituição da “imagem” a uma matriz. 1

2

1 3 0

Quando nosso tomógrafo simplificado efetuar um corte, ou, em outras palavras, gerar uma tira de regiões claras ou escuras, serão lançados valores das quantidades de cada tipo de região, sem que no entanto sejam ainda conhecidas quais regiões têm esta ou aquela característica. Se isso for feito como no exemplo a seguir, vamos saber que 4 quadrículas dessa linha deverão ser escuras. Mas quais delas?

1

Respeitando as quantidades registradas na vertical e horizontal, será esta a imagem.

7

Neste caso, vamos poder associar ao desenho uma matriz 8x8 formada por elementos que são, ao mesmo tempo, numerais 1 ou 0 e regiões escuras ou claras.

0

1

6 8

1

Observe o exemplo seguinte, da recomposição de uma imagem em um quadriculado de 3x3.

2 4

0

4

8 1

0

1 1

3

1 0 0

1 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 1

1 1 0

2 2 3 1

O professor vai poder mostrar alguns desses exemplos a seus alunos e pedir, depois, a eles que reconstituam as imagens a seguir.

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Problema 1 0

1

Problema 5

Resposta

4

2 1

4

2

2

0

4

3

4

0

5

2 4 Problema 2 0

1

Resposta Resposta

2 2 1 0

Problema 3 2

0

Resposta Problema 6

2 2

5 3 4 0 5 0 5 2 2 0 1 5 1

0 2

Problema 4 1

3

Resposta 1

10 4 8 5 6

Resposta 1 3 1

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Matemática - 2a série - Volume 2

SituAçãO de AprendizAgem 2 mAtriz de COdiFiCAçãO: deSenHAndO COm mAtrizeS

Tempo previsto: 1 semana. Conteúdos e temas: construção de matrizes a partir de condição algébrica; identificação de elementos de matrizes por intermédio de sua posição em linhas e colunas. Competências e habilidades: utilizar a notação matricial para representar figuras planas; respeitar sequências de comandos estabelecidos por intermédio de matrizes. Estratégias: representação de figuras planas; criação de desenhos e códigos.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2 durante a realização desta Situação de Aprendizagem os alunos vão vivenciar a produção de desenhos a partir da união de pontos do plano, obedecendo a condições estabelecidas pelos elementos de uma matriz. para tanto, é preciso que, antes da atividade, os alunos sejam apresentados às tabelas de dupla entrada, e há também a possibilidade de obterem matrizes a partir de condição matemática relacionando a

posição de cada um de seus termos, como nestes exemplos: Exemplo 1 Obter a matriz A assim definida: A = (aij)3x3 tal que aij = i + 2j. A ordem dessa matriz é 3x3, isto é, tem 3 linhas e 3 colunas. O índice i indica a linha de cada termo enquanto o índice j indica sua coluna. Sabendo disso, vamos atribuir a i e j os valores possíveis e calcular cada termo identificado por aij.

a11 = 1 + 2 . 1 = 3

a12 = 1 + 2 . 2 = 5

a13 = 1 + 2 . 3 = 7

a21 = 2 + 2 . 1 = 4

a22 = 2 + 2 . 2 = 6

a23 = 2 + 2 . 3 = 8

a31 = 3 + 2 . 1 = 5

a32 = 3 + 2 . 2 = 7

a33 = 3 + 2 . 3 = 9

e temos a matriz A:

A =

3 4 5

5 6 7

7 8 9

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f se o elemento cij = 0, não devemos unir i com j;

Exemplo 2 Obter a matriz E assim definida: 2 se i + j ≤ 3 E = (eij)2x3, tal que eij = 2i + j se i + j > 3

f se o elemento cij = 1, devemos unir i com j. Vamos supor que a matriz C e os 5 pontos desenhados sejam estes, representados a seguir.

A matriz E tem ordem 2x3, isto é, tem duas linhas e três colunas. Para obter seus elementos é preciso considerar, de início, se a soma dos índices que definem a posição de cada um é maior, menor ou igual a 3.

C =

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

Soma menor ou igual a 3 e11 = 2 (pois 1 + 1 = 2 ≤ 3) e12 = 2 e21 = 2 Soma maior do que 3 e13 = 2 . 1 + 3 = 5 (pois 1 + 3 = 4 > 3) e22 = 2 . 2 + 2 = 6 e23 = 2 . 2 + 3 = 7 Portanto, esta é a matriz E: E=

2 2

2 6

5 7

Dando continuidade ao trabalho, após terem sido discutidos os aspectos apontados anteriormente, o professor pode marcar 5 pontos na lousa, numerá-los de 1 a 5 e, simultaneamente, escrever uma matriz C, de ordem 5x5, formada apenas por “0” ou “1”. Em seguida, o professor orienta os alunos para que unam os pontos, devem ser dois de cada vez, obedecendo ao seguinte comando:

2

5

4

3

Destaquemos 3 elementos da matriz C a fim de exemplificar a ligação dos pontos. c13 = 1 (Ligar 1 com 3) c14 = 1 (Ligar 1 com 4) c15 = 0 (Não ligar 1 com 5) 1

2

5

4

3

Continuando a obedecer à regra estabelecida e completando todas as ligações

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Matemática - 2a série - Volume 2

permitidas entre os 5 pontos, teremos formado um pentagrama. 1

Os pontos numerados de 1 a 13 do desenho foram unidos a partir de código definido em uma matriz. Escreva essa matriz.

2

5

4

A seguinte matriz 13x13 em que todos os elementos são iguais a 1 ou a 0.

3

Feita a apresentação, o próximo passo consiste em propor aos alunos as seguintes situações. Problema 1 – unindo pontos a partir de código registrado em uma matriz Dada a matriz d e os pontos desenhados, uni-los ou não a partir do seguinte código estabelecido para os elementos da matriz d: f se dij = 1, unir i com j; f se dij = 0, não unir i com j.

D=

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

1

3

6

4

Uma estrela de 6 pontas.

1

2

3

4

5

7 6

8

9

10

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

11

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0

12

0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

13

0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

Problema 3 – Criando um desenho e codificando-o com uma matriz

2

5

Problema 2 – Codificando um desenho por uma matriz

Imagine um desenho que possa ser obtido a partir da união de pelo menos 8 pontos. Marque apenas os pontos no papel e numere-os, sem, entretanto, uni-los. Escreva a matriz de codificação para a união de pontos em seu desenho. Em seguida, troque sua atividade com a de um colega, de maneira que você unirá os pontos do desenho dele enquanto ele une os pontos de seu desenho. Por fim, peça que seu colega corrija seu trabalho enquanto você corrige o dele.

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SiTuAção dE APrEndizAgEm 3 SiSTEmAS LinEArES Em SiTuAçÕES-ProBLEmA Tempo previsto: 2 semanas. Conteúdos e temas: resolução de sistemas lineares quadrados de ordem 2 e de ordem 3; escalonamento de matrizes. Competências e habilidades: analisar informações contidas em enunciados escritos em língua materna, destacando elementos importantes para a compreensão do texto e para a formulação de equações matemáticas; utilizar a linguagem matemática para expressar as condições descritas em situações-problema contextualizadas; resolver sistemas lineares, interpretando os resultados de acordo com o contexto fornecido pela situação-problema. Estratégias: resolução de situações-problema.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3 nesta Situação de Aprendizagem são propostas situações-problema contextualizadas que exigem a determinação de mais de uma incógnita. Exploraremos os sistemas lineares como importante ferramenta para a resolução de tais situações. nesses casos, a descrição de alguns contextos permite que sejam escritas as equações e que, ao final, após a resolução dos sistemas, os valores encontrados para as incógnitas sejam avaliados à luz do contexto inicialmente proposto. As situações contextualizadas que apresentarmos aos alunos podem envolver, inicialmente, sistemas de apenas duas equações lineares, como feito anteriormente no Ensino Fundamental. Essa postura vai permitir que retome o processo de resolução, bem como a análise da resposta final.

Será importante ainda apresentar aos alunos uma situação que envolva sistemas “não quadrados”, isto é, sistemas em que o número de equações e de incógnitas não seja igual, e também situa ções de contexto que conduzam à elaboração e à resolução de sistemas lineares indeterminados. Para a resolução dos sistemas obtidos a partir de situações-problema contextualizadas, sugerimos que o professor estimule seus alunos a utilizar, inicialmente, os métodos estudados no Ensino Fundamental, isto é, os métodos de adição, substituição ou comparação. Salientamos a importância de o professor priorizar que a resolução dos sistemas seja feita com base nesses métodos, ou por escalonamento, em detrimento do método de Cramer com o uso de determinantes. Tal opção será justificada adiante, na Situação de Aprendizagem 4.

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Matemática - 2a série - Volume 2

Para a aplicação dos sistemas lineares na resolução de problemas propomos as situações descritas a seguir. Problema 1 Duas locadoras de automóveis A e b estipulam a remuneração de seus serviços da seguinte maneira: f Locadora A: valor fixo de R$ 80,00 mais R$ 1,20 por quilômetro rodado. f Locadora b: valor fixo de R$ 120,00 mais R$ 1,00 por quilômetro rodado. Com base nesses dados, determine: a) o valor a ser pago às locadoras A e b pelo aluguel de um veículo que rodou 140 km. R$ 248,00 e R$ 260,00. b) o valor a ser pago às locadoras A e b pelo aluguel de um veículo que rodou 300 km. R$ 440,00 e R$ 420,00. c) A partir de quantos quilômetros rodados torna-se mais econômico alugar o automóvel em b do que em A. 200 km. Comentário: apenas neste item, c, pode ser necessário que o aluno escreva um sistema de equações para organizar a resolução. Nesse caso, poderá ser escrito o seguinte sistema: f Locadora A: V = 80 + 1,20x

f Locadora B: V = 120 + 1,00x Nessas equações, V é o valor a ser pago pela locação e x é a quantidade de quilômetros rodados. A resolução desse sistema induz claramente a opção pelo método da comparação, pois interessa descobrir o momento em que o valor V é o mesmo para as duas locadoras. Assim, 80 + 1,20x = 120 + 1,00x ⇒ x = 200 Portanto, a partir de 200 km de percurso torna-se mais econômico alugar o automóvel na locadora B. Problema 2 Uma loja de eletrodomésticos está fazendo uma promoção para a compra conjunta de dois tipos de eletrodomésticos, de maneira que o consumidor interessado paga: f R$ 590,00 por um forno micro-ondas e um aspirador de pó. f R$ 1 300,00 por um forno de micro-ondas e uma geladeira. f R$ 1 250,00 por um aspirador de pó e uma geladeira. Quanto a loja está cobrando por cada tipo de aparelho, se o preço unitário de cada um deles é constante em todos os casos? R$ 320,00; R$ 270,00; R$ 980,00 Comentários: denominando x o preço do micro-ondas, y o preço do aspirador de pó, e z o preço da geladeira, podemos escrever o seguinte sistema de três equações lineares:

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x + y = 590 (I) x + z = 1 300 (II) y + z = 1 250 (III) A fim de reforçar os comentários anteriores, sugerimos que o professor estimule os alunos a resolverem esse sistema por substituição, adição, ou comparação. A opção pelo método da comparação conduz a: x = 590 – y x = 1 300 – z Comparando vem: 590 – y = 1 300 – z ⇒ ⇒ –y + z = 710 (IV) O sistema original, de três equações lineares, pode, então, ser reduzido ao seguinte sistema de duas equações: y + z = 1 250 (III) –y + z = 710 (IV) Adicionando (III) e (IV), temos: 2z = 1 960 ⇒ z = 980 Portanto, o preço da geladeira é de R$ 980,00, e os demais preços podem ser obtidos por cálculo mental ou por substituição nas equações (I) e (II). Problema 3 Um funcionário recém-contratado por uma empresa recebeu em mãos a seguinte tabela que contém as quantidades de 3 tipos de produtos, A, b e C, recebidos ou devolvidos em 3 lojas da empresa, acompanhadas dos respectivos valores que cada loja deveria remeter à matriz pela transação.

Valor da transação (em mil r$)

Quantidade tipo

A

b

C

total

loja 1

3

4

–1

8

loja 2

4

5

2

20

loja 3

1

–2

3

6

Ajude o funcionário a calcular o valor unitário de cada tipo de produto. R$ 1 000,00; R$ 2 000,00; R$ 3 000,00 Comentário: O seguinte sistema de equações traduz as condições do problema: 3a + 4b – c = 8 (I) 4a + 5b + 2c = 20 (II) a – 2b + 3c = 6 (III) Vamos resolver esse sistema pelo método da adição. Para tanto, precisamos escolher uma incógnita que será eliminada a partir de combinações lineares entre pares de equações. Escolheremos a incógnita c e faremos: 1º-) 2.(I) + (II), isto é, multiplicaremos a equação (I) por 2 e, em seguida, adicionaremos a equação resultante à equação (II). A resolução será apresentada passo a passo, e caberá ao professor estimular seus alunos a cumprirem o mesmo percurso, ou a eliminarem alguns passos, estimulando, dessa forma, o cálculo mental. 2(I) : 6a + 8b – 2c = 16 (II): 4a + 5b + 2c = 20 10a + 13b = 36 (IV)

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Matemática - 2a série - Volume 2

2º-) 3.(I) + (III), isto é, multiplicaremos a equação (I) por 3 e adicionaremos a equação resultante à equação (III).

escolas, considerando-se que a cada tipo de medalha foi atribuída uma pontuação.

3(I): 9a + 12b – 3c = 24 (III): a – 2b + 3c = 6 10a + 10b = 30 (V) 3º-) Escreveremos um sistema equivalente ao original, formado, agora, por 2 equações lineares, em duas incógnitas: 10a + 13b = 36 (IV) 10a + 10b = 30 (V) 4º-) Por coincidência, obtivemos equações que apresentam coeficientes iguais para a mesma incógnita (a). Portanto, basta subtrair as duas equações para determinar o valor da incógnita b. 10a + 13b = 36 (IV) – 10a + 10b = 30 (V) 3b

=6 ⇒ b=2

Portanto, o valor unitário do produto B é de R$ 2 000,00. O preço dos demais tipos de produto pode ser obtido a partir da substituição do valor de B nas equações dos sistemas escritos. Problema 4 Quatro escolas disputaram um torneio esportivo em que provas de 10 modalidades foram disputadas. Aos vencedores de cada prova foram atribuídas medalhas de ouro, de prata ou de bronze, dependendo da classificação final, respectivamente, 1º-, 2º- ou 3º- lugares. A quantidade de medalhas de cada escola, ao final da competição, é apresentada na tabela a seguir, assim como o total de pontos conseguidos pelas

Medalhas Escolas

ouro Prata bronze

Pontuação final

A

4

2

2

46

b

5

3

1

57

C

4

3

3

53

d

3

3

7

53

Qual foi a pontuação atribuída a cada tipo de medalha? Ouro: 8 pontos; Prata: 5 pontos; Bronze: 2 pontos. Comentário: O sistema possível para a resolução do problema é formado por 4 equações e três incógnitas, isto é, não se trata de um sistema “quadrado”. Sugerimos que o professor chame a atenção de seu aluno para o fato de que sistemas dessa natureza exigem maior reflexão sobre os passos a serem adotados para a resolução. Neste caso, podemos desprezar inicialmente uma das equações, resolver o sistema formado por três delas e, ao final, testar se os resultados obtidos verificam a equação não utilizada na resolução. 4x + 2y + 2z = 46 (I) 5x + 3y + z = 57 (II) 4x + 3y + 3z = 53 (III) 3x + 3y + 7z = 53 (IV) Vamos “desprezar” a equação (IV), e adotar o método da substituição para resolver o sistema formado pelas 3 equações restantes. Para

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tanto, isolaremos a incógnita z na equação (II), e substituiremos a expressão encontrada nas equações (I) e (III). (II) z = 57 – 5x – 3y (I) 4x + 2y + 2.(57 – 5x – 3y) = 46 (III) 4x + 3y + 3.(57 – 5x – 3y) = 53 As equações (I) e (III), depois de reduzidos os termos semelhantes, tornam-se equivalentes a: 6x + 4y = 68 (V) 11x + 6y = 118 (VI) Para simplificar, dividiremos a equação (V) por 2, obtendo o seguinte sistema: 3x + 2y = 34 (V) 11x + 6y = 118 (VI) Em seguida, pelo método da adição, faremos 3.(V) – (VI), obtendo: 3.(V) – (VI) : – 2x = –16 ⇒ x = 8 Portanto, a medalha de ouro vale 8 pontos. Voltando com esse valor em (V), obtemos que y = 5, ou seja, obtemos que a medalha de prata vale 5 pontos. Voltando com esses valores em (I), obtemos que z = 2, ou seja, que a medalha de bronze vale 2 pontos. Substituindo os valores obtidos para x, y e z, na equação (VI), notamos que ela é verificada, pois 3.8 + 3.5 + 7.2 = 24 + 15 + 14 = 53. O problema a seguir permite introduzir a ideia de que podemos escrever sistemas indeterminados para situações nas quais não há uma única resposta possível. Como não se trata de um problema de difícil solução, sugerimos que o professor apresente-o aos alunos sem qualquer comentário inicial, e que, após

discutir as diversas situações que surgirem, comente sobre o fato de que os resultados esperados são discretos, isto é, formados apenas por números naturais. Será muito provável que os alunos consigam chegar às respostas corretas sem escrever e resolver sistemas de equações, e, nesse caso, caberá ao professor mostrar–lhes que em outros casos, de respostas obtidas a partir de conjuntos contínuos, seria impossível a eles escreverem todas as infinitas respostas, o que exigiria a escrita de equações. Problema 5 O técnico de uma equipe de futebol estima que ao final de 12 partidas sua equipe consiga 24 pontos. Sabendo-se que a quantidade de pontos por vitória é 3, por empate é 1 e por derrota é 0, determine: a) o número de pontos da equipe para o caso em que vença 4 jogos, empate 4 e perca 4. 4 . 3 + 4 . 1 = 16 pontos. b) o número máximo de pontos que a equipe pode conseguir. Caso vença as 12 partidas, uma equipe conseguirá o máximo possível de pontos, igual a 3 . 12 = 36. c) uma combinação possível de números de vitórias–empates–derrotas para que a equipe consiga os almejados 24 pontos. Denominando o número de vitórias por x, o número de empates por y, e o de derrotas por z, podemos escrever

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Matemática - 2a série - Volume 2

f f

x + y + z = 12 3x + 1.y + 0.z = 24

Problema 6

Temos, portanto, um sistema de duas equações a 3 incógnitas, que é indeterminado, isto é, tem mais de uma solução.

Na feira livre da 4ª- feira, próxima à sua casa, Helena foi comprar, em uma única barraca, um kit para bolo. O kit continha farinha

Uma possível resposta para o problema pode ser obtida fazendo, por exemplo, x = 7, isto é, supondo que a equipe vença 7 dos 12 jogos. Nesse caso, será preciso que y = 3, a fim de que a equipe consiga atingir, exatamente, 24 pontos. Portanto, uma resposta possível é: 7 vitórias, 3 empates e 2 derrotas.

de trigo, fubá e chocolate em pó, em um total

d) todas as possibilidades possíveis para que a equipe consiga atingir 24 pontos.

R$ 2,00. Quanto de cada produto havia no kit

Queremos, neste caso, determinar as soluções naturais do sistema formado pelas duas equações descritas no item anterior, isto é,

Comentário: temos aqui um problema que

x + y + z = 12 3x + 1.y + 0.z = 24

ma indeterminado de equações lineares.

Fazendo y = 24 – 3x na segunda equação, e substituindo em y na primeira equação, temos:

das respostas antes que o professor apre-

x + 24 – 3x + z = 12 ⇒ z = 2x – 12

opção do professor, propomos que conduza

de 2 kg, e pelo qual pagou R$ 4,00. Intrigada com o preço do kit, Helena questionou o feirante sobre o preço de cada produto, ouvindo dele que o quilo da farinha de trigo custava R$ 1,00, que o quilo do chocolate em pó custava R$ 20,00, e que o quilo do fubá custava que Helena acabou comprando? não apresenta uma única solução e que pode ser resolvido por meio de um sisteDe fato, os alunos poderão obter algumas

Assim, podemos escrever a resposta geral do sistema, em função de x, isto é, em função do número de vitórias:

sente a eles a solução geral. Se esta for a as discussões colocando para seus alunos questões como: f É possível que o kit tenha sido composto por 800 g de farinha e 1 kg de fubá?

S = {(x, 24 – 3x, 2x – 12)} Como nos interessam apenas os casos em que 0 < x < 12, y > 0 e z > 0, podemos atribuir a x apenas os valores 6, 7 e 8. Isso feito, teremos as seguintes possibilidades, expressas na tabela: Vitória Empate Derrota Total de jogos 8 0 4 12 7

3

2

12

6

6

0

12

Por quê? f Não, isto não seria possível, porque, nesse caso, os 200 gramas restantes deveriam ser de chocolate, o que faria com que o preço do kit se elevasse além dos R$ 4,00. f Se no kit havia 100 g de chocolate, quanto havia de farinha e de fubá?

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f 100 g de chocolate custam R$ 2,00. Sobram R$ 2,00 para serem divididos entre farinha e fubá, em um total de 1,9 kg, o que nos permite escrever o seguinte sistema de duas equações, em que x representa a massa de farinha, em kg, e y representa a massa de fubá, também em kg: x + y = 1,9 x + 2y = 2,0 Resolvendo o sistema obtemos y = 0,1 e x = 1,8, isto é, havia 0,1 kg de fubá e 1,8 kg de farinha, ou 100 gramas de um produto e 1 kg e 800 gramas do outro. Apresentamos a solução geral do problema, considerando: x: massa de farinha de trigo, em kg y: massa de fubá, em kg z: massa de chocolate em pó, em kg x+y+z=2 x + 2y + 20z = 4 Sistemas lineares dessa natureza, indeterminados, apresentam solução em função de uma das incógnitas. Faremos a opção de escrever a solução geral em função da massa de chocolate em pó (z). Para tanto, escrevemos as equações desta maneira: x+y=2–z (I) x + 2y = 4 – 20z (II)

Fazendo (II) – (I), temos: y = 2 – 19z (Quantidade de fubá em função da quantidade de chocolate) e fazendo 2.(I) – (II), temos: x = 18z (Quantidade de farinha em função da quantidade de chocolate) Portanto, a solução geral do sistema é: {(18z, 2 – 19z, z)} Vale observar que não podemos ter valores negativos para qualquer das quantidades. Assim, será necessário que sejam obedecidas as seguintes condições: 18z > 0

e

2 – 19z > 0

e

z > 0, 2 , ou ainda ou, de outra forma, que z > 19 que a quantidade de chocolate em pó seja inferior a, aproximadamente, 105 gramas, 2 ≈ 0,105. pois 19 Sugerimos que, após escrever a solução geral, o professor proponha aos seus alunos que escrevam algumas das soluções para esse problema. Por exemplo, considerando que o kit continha 80 gramas de chocolate temos: f 80 g de chocolate, ou 0,080 kg de chocolate (custando R$ 1,60) f 18 . 0,080 kg de farinha de trigo = 1,44 kg (custando R$ 1,44) f 2 – 19 . 0,080 kg de fubá = 0,48 kg (custando R$ 0,96)

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SituAçãO DE AprEnDizAgEm 4 rESOLuçãO DE SiStEmAS LinEArES: ESCALOnAmEntO X CrAmEr Tempo previsto: 3 semanas. Conteúdos e temas: resolução e discussão de sistemas lineares; cálculo de determinantes – método de Sarrus; resolução de situações-problema por intermédio de sistemas lineares. Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para a obtenção de equações que auxiliem na resolução de situações-problema; reconhecer a maior eficiência de um método de resolução sobre outro, com base nas estratégias de raciocínio mobilizadas. Estratégias: resolução de situações-problema.

Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4 Há mais de um método de resolução de sistemas lineares de qualquer ordem. Dois deles são normalmente apresentados nos livros didáticos, em que um recorre à notação matricial (escalonamento) enquanto o outro parte dos determinantes associados ao sistema (Cramer). Esta Situação de Aprendizagem pretende avaliar as dificuldades e as operações mentais envolvidas em cada um desses métodos a fim de que os alunos, diante de um sistema a ser solucionado, optem com critérios pelo método mais apropriado à situação.

2x – 3y = 11 x + 2y = 2

⇒ . (–2)

O método de resolução de sistemas lineares denominado escalonamento consiste, basicamente, em realizar combinações lineares entre as equações do sistema de maneira que algumas delas possam ser escritas com número menor de incógnitas do que na escrita original, conforme apresentamos na resolução de problemas da Situação de Aprendizagem anterior. De fato, alunos do Ensino Fundamental têm normalmente contato com uma simplificação desse método quando resolvem sistemas de 2 equações lineares pelo método de adição, conforme mostra o exemplo seguinte:

Se y = –1 ⇒ x + 2.(–1) = 2

2x – 3y = 11

x

– 2x – 4y = – 4 0x – 7y = 7

⇒ y = –1

=4

S = {(4, –1)}

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Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada matriz completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes. Dizemos que o sistema linear está escalonado quando 2

–3

11

1

2

2

L1 L2

realizarmos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos a ij da matriz em que i > j. O exemplo seguinte retoma a resolução do sistema de equações anteriormente resolvido, explicitando o escalonamento.

Esta é a matriz completa do sistema, formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes das duas equações. Para escaloná-la devemos tornar nulo o elemento a21 = 1, que é o único elemento aij em que i > j.

2

–3

11

1

2

2

L1 2 L1 – 2.L2

0

A matriz do sistema foi escalonada. Na nova equação da linha 2 da matriz temos: 0x – 7y = 7 ou y = –1 Substituindo esse valor em uma das equações iniciais, obtém-se x = 4.

– 3 11 –7

7

Aqui está a combinação linear entre as linhas 1 e 2 da matriz, gerando uma nova linha 2.

Em outro exemplo, vamos resolver por escalonamento o sistema seguinte: x + y + z = 3 2x – y – 2z = 2

Mcompleta

x + 2z = 4 L1

1

1

1

3

L2

2

–1

–2

L3

1

0

2

2 –L 4

–2L1 + L2 1

+ L3

1

1

1

3

2

–1

–2

2

1

0

2

4

1

1

1

3

0

–3

–4 –4

0

–1

1

A última linha da matriz nos fornece a equação: 7z = 7 ⇒ z = 1

Substituindo o valor encontrado para z na segunda equação da matriz final, temos: –3y – 4z = – 4 –3y – 4.1 = – 4 ⇒ y = 0 A primeira das linhas da matriz nos ajuda a calcular o valor de x:

1

Na matriz escalonada, deverão ser nulos, os elementos destacados.

1

–L2 + 3L3

1

1

0 –3

–4

0

0

7

3 –4 7

x+y+z=3 x+0+1=3⇒x=2 Assim, a solução do sistema é dada por: S = {(2, 0, 1)} O método de Cramer para resolução de sistemas lineares quadrados, isto é, para sistemas com incógnitas e equações em mesmo número,

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Matemática - 2a série - Volume 2

passa pela resolução de alguns determinantes formados pelos coeficientes das incógnitas e/ ou pelos termos independentes. No caso do x

y

z

1

1

1

= 2

–1

–2

1

0

2

3 = –7

= 2 4

sistema que acabamos de resolver, teríamos a seguinte sequência de cálculo para a obtenção da incógnita x: 1

1

–1

– 2 = – 14

0

2

Quando Δ = 0, ou o sistema é impossível, não tem solução, ou o sistema é indeterminado, tem mais de uma solução. Portanto, temos uma primeira questão importante a considerar: o método de Cramer não permite que sejam resolvidos sistemas indeterminados.

dos determinantes, e divisão entre eles – no método do escalonamento o aluno se vê envolvido em avaliar possibilidades e escolher estratégias, adotando, dessa forma, uma postura que o remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática. Além disso, há outros fatores ainda a considerar, que são, principalmente, o tempo despendido na resolução e a quantidade de operações elementares realizadas. Também com esses critérios é possível avaliar a vantagem do método do escalonamento sobre Cramer.

Cabe ao professor discutir com os alunos, que o método de Cramer sintetiza a série de passagens algébricas que seriam realizadas caso o sistema fosse resolvido por meio de combinações lineares entre as equações. A opção de resolver o sistema por um ou outro método passa por considerar as habilidades mentais mobilizadas em cada caso, que são diferentes em Cramer e no escalonamento. Enquanto no método de Cramer o aluno segue uma rotina determinada – montagem e cálculo x – 3y = – 6

Para discutir esta última consideração, analisemos a resolução de um sistema linear em que não é escrita a matriz completa associada a ele, resolvendo-o a partir de combinações lineares entre as equações que o constituem.

Reduziremos o sistema de três equações a um sistema equivalente de duas equações, tornando nulos os coeficientes de uma das incógnitas. Considerando que o coeficiente de z é nulo na primeira equação, combinaremos as duas outras equações com o objetivo de tornar nulo o coeficiente de z.

2x + y + z = 1 –x + 2y – 2z = 6 x – 3y = – 6

x – 3y = – 6

2x + y + z = 1 –x + 2y – 2z = 6

2L2 + L3

x – 3y = – 6 3x + 4y = 8

x = ___x = – 14 = 2 –7

–3L1 + L2

3x + 4y = 8

13y = 26

y=2

A nova combinação linear entre as equações permitirá tornar nulo o coeficiente de outra incógnita.

Determinada uma das incógnitas, as demais podem ser obtidas por substituição. A solução do sistema, nesse caso, é: S = (0, 2, – 1)

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Mais um aspecto precisa ser considerado na comparação entre os dois métodos no que se refere x + y + z = 3 2x – y +3z = 4

– 3L1 + L2

–x – 4y = – 5

–x – 4y = – 5 –x – 4y = – 5

–x – 4y = – 5

x = 5 – 4y

x+y+z=3 (5 – 4y) + y + z = 3

à resolução de um sistema indeterminado. Analisemos, nesse sentido, a resolução do sistema seguinte. Temos um sistema de duas equações idênticas, o que nos permite concluir que o sistema é indeterminado. Nesse caso, podemos determinar duas incógnitas em função de uma terceira. Escolhemos determinar x e z em função de y. Assim, as infinitas soluções desse sistema podem ser escritas desta forma, trocando y por k: S = (5 – 4k, k, – 2 + 3k), k R)

z = –2 + 3y

O método de Cramer, aplicado ao sistema anterior, permitiria apenas identificá-lo como possível e indeterminado, mas não ajudaria na resolução. Assim, fica ainda mais evidente a vantagem de se utilizar o método das combinações lineares, ou do escalonamento.

x + 2y + 3z = 1 2x + 4y + 6z = 2 3x + 6y + 9z = 4 apresenta Δ = 0, Δx = 0 e não é indeterminado, como se poderia supor, e sim impossível.

Encontre o valor de a para que o sistema abaixo seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema, isto é, encontre expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções. 2x – y + 3z = a x + 2y – z = 3 7x + 4y + 3z = 13

Escalonando o sistema temos: 2 –1

3

a

1

2 –1

3

7

4

13

2L2 – L3

3



Por fim, vamos considerar a “discussão” de um sistema a partir de parâmetros. Em outras palavras, vamos classificar o sistema (determinado, indeterminado ou impossível), de acordo com o valor dos parâmetros introduzidos nas equações. Nesse caso, é importante frisar, entre os métodos estudados, apenas o método do escalonamento permite a discussão de qualquer sistema, sem restrições. A impossibilidade de discutir sistemas lineares utilizando o método de Cramer pode ser percebida pelo seguinte exemplo, em que o sistema

Consideremos como exemplo de discussão de um sistema linear a situação-problema seguinte, apresentada inicialmente na prova vestibular da Unicamp (Universidade Estadual de Campinas):

2L2 – L1 7L2 – L3

2

–1

3

a

0

5

–5

6–a

0

10

–10

8

2

–1

3

a

0

5

–5

6–a

0

0

0

4 – 2a

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Matemática - 2a série - Volume 2

Como podemos ver, a última equação do sistema escalonado ficou reduzida a 0x + 0y + 0z = = 4 – 2a, ou, simplificadamente, 0 = 4 – 2a. Assim, se a = 2 o sistema é possível e indeterminado, pois a igualdade anterior se reduziria a 0 = 0, que é verdadeira sempre. No caso em que a ≠ 2 o sistema é impossível. Para obter a solução geral do sistema, tomaremos a = 2, faremos z = k e escreveremos as respostas em função de k, de acordo com o seguinte procedimento: 2ª- equação: 5y – 5z = 6 – a ⇒ 5y – 5z = 4 5y – 5k = 4 ⇒ y = 4 + 5k 5 1ª- equação: 2x –y + 3z = a ⇒ 2x – y + 3z = 2 4 + 5k 7 – 5k + 3k = 2 ⇒ x = 2x – 5 5 Assim, a resposta geral do sistema é esta: S=

consiste no cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas de seus vértices. Assim, por exemplo, se conhecemos as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcularmos sua área por intermédio da composição e/ou decomposição de polígonos auxiliares. Consideremos o caso do triângulo de vértices com coordenadas A(1, 1), B(3, 2) e C(2, 4). y C

4 3 2 1

0

B

A 1

2

3

F

C

E

4

x

4

x

7 – 5k , 4 + 5k , k k ∈IR 5 5

Atribuindo valores a k podemos obter algumas das soluções, como: f Para k = 0, S =

7 , 4 ,0 5 5

f Para k = –1, S = 12 , – 1, – 1 5 5 O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de ser utilizado em outras situações, que não envolvam resolução de sistemas lineares. Um desses casos

y 4 3 2 1

0

B

D

A 1

2

3

39

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Contornando o triângulo ABC por um retângulo ADEF, podemos determinar a área de ABC subtraindo as áreas dos triângulos retângulos AFC, ABD e BCE da área do retângulo ADEF.

no determinante é feita obedecendo à seguinte formatação: xA yA xB yB xC yC

1 1 1

Área(ADEF) = 2 . 3 = 6 u (3 . 1) = 1,5 u Área(AFC) = 2 (2 . 1) Área(ABD) = =1u 2 (2 . 1) Área(BCE) = =1u 2 A área do triângulo ABC será igual a: Área(ABC) = 6 – (1,5+1+1) = 2,5 unidades de área. Nesse processo será realizada uma série de multiplicações entre resultados de subtrações entre abscissas e entre ordenadas dos pontos A, B e C, além de uma divisão por 2. As etapas desse cálculo podem ser resumidas a um determinante de ordem 3, formado pelas coordenadas desses pontos, da seguinte forma: Área (ABC) = metade do valor absoluto de 1 3 2

1 2 4

1 1 1

2 + 2 + 12 – (4 + 4 + 3) 5 = = = 2,5 2 2 Deve ficar claro que a disposição das coordenadas dos vértices A, B e C do triângulo

Além disso, o cálculo do determinante obedece à mesma sequência de passos do cálculo da área por composição e decomposição, conforme podemos constatar pela representação a seguir:

y yA

D

A

yB

yC

0

E

B

F

C xC

xA

xB

x

Área(DEFC) = (xB – xC) . (yA – yC) Área(BFC) = [(xB – xC) . (yB – yC)] ÷ 2 Área(ABE) = [(xB – xA) . (yA – yB)] ÷ 2 Área(ADC) = [(xA – xC) . (yA – yC)] ÷ 2 Área do triângulo ABC = (xB – xC) . (yA – yC) – – {[(xB – xC) . (yB – yC)] ÷ 2 + [(xB – xA) . . (yA – yB)] ÷ 2 + [(xA – xC) . (yA – yC)] ÷ 2}

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Matemática - 2a série - Volume 2

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, reduzindo os termos semelhantes, obtemos:

relacionados a áreas de polígonos representados no plano cartesiano, e a outra contemple especialmente a resolução e discussão de sistemas lineares. Acrescentamos ainda, à segunda atividade, algumas situações-problema exemplares, que podem ser resolvidas por intermédio de sistemas de equações lineares.

Área do triângulo ABC = [ xA . yB + xC . yA + + xB . yC – (xC . yB + xA . yC + xB . yA)] ÷ 2 Esta expressão é, de fato, equivalente à que se obtém do cálculo do determinante mencionado anteriormente, apenas com a diferença do “valor absoluto”, que deve ser incluído a fim de evitar que seja escolhida qualquer ordem para efetuar as subtrações entre valores de abscissas ou de ordenadas.

Atividade 1 – área de Polígono no Plano Cartesiano A área de um polígono representado no plano cartesiano pode ser calculada a partir das coordenadas de cada vértice, baseando-se no princípio de que um polígono pode ser dividido em vários triângulos, como neste exemplo, em que calcularemos a área do quadrilátero ABCD:

A partir dessas considerações, propomos a realização de duas atividades, em que uma delas seja voltada para o cálculo de determinantes

y 7 A

6

B

5 D

4 3 2 1

–1

C 1

2

3

4

5

6

7

8

x

–1

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Dividiremos o quadrilátero em dois triângulos: ABD e BCD. A área do triângulo

ABCD será a soma das áreas dos triângulos ABD e BCD. A (2; 6)

y

B (8; 5)

C (2; 1)

D (5; 4)

7 A

6

B

5 D

4 3 2 1

C

–1

3

2

1

4

5

6

7

8

x

–1

área(ABCD) = área(ABD) + área(BCD) 2 8 5

1 Área (ABCD) = 2

6 5 4

1 1 1

+

=

1 1 | (72 – 81)| + |(41 – 47)| = 2 2

=

9 6 15 + = 2 2 5

Área (ABCD) = 7,5 unidades de área. 1 + 2

Área (ABCD) =

+

8 2 5

5 1 4

1 1 1

=

1 |[(10 + 30 + 32) – (25 + 8 + 48)]| + 2

1 |[(8 + 25 + 8) – (5 + 32 +10)]| = 2

De outra maneira, em uma extensão da regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como se segue, sendo xi e yi as coordenadas de cada vértice do polígono com n vértices. 1 = A= 2

n

| Σ (x y i=1

i i+1

|

– yixi +1)

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Matemática - 2a série - Volume 2

ou A =

1 2

x1

y1

x2

y2

x3

y3

qualquer um dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo. Observe que na expressão anterior o ponto (xn + 1; yn + 1), que é o último, mais abaixo, é igual ao ponto (x1; y1), que é o primeiro, mais acima. Isso é necessário para caracterizar o “fechamento” do polígono, isto é, para que todas as coordenadas sejam multiplicadas entre si.

. . . xn

yn

x1

y1

Nos produtos indicados pelas setas, vale, seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus: para a direita conserva-se o sinal, para a esquerda troca-se o sinal. Em seguida, somam-se os resultados. Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área do polígono de n lados. O ponto inicial pode ser

Ao retomar o exemplo anterior, do quadrilátero ABCD, vamos utilizar essa expressão para calcular novamente sua área, porém sem a necessidade de dividi-lo em triângulos. A (2; 6)

B (8; 5)

C (2; 1)

D (5; 4)

y 7 A 6 B

5 D

4 3 2 1

–1

C 1

2

3

4

5

6

7

8

x

–1

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Área =

1 2

2 8 2 5 2

6 5 1 4 6

decomposição de figuras. A opção por este ou aquele procedimento vai depender das circunstâncias do problema e da decisão do aluno.

=

Depois da apresentação e discussão desses exemplos, que relacionam o cálculo da área de polígonos no plano cartesiano com o cálculo de determinantes formados pelas coordenadas de seus vértices, o professor pode propor aos alunos que resolvam os problemas a seguir.

1 |(2 . 5 + 8 . 1 + 2 . 4 + 5 . 6) – 2 – (6 . 8 + 5 . 2 + 1 . 5 + 4 . 2)| = Área = =

1 | 10 + 8 + 8 + 30 – 48 – 10 – 5 – 8 | = 2

1 15 | 56 – 71 | = = 7,5 u.a. 2 2

Problema 1

Evidentemente o resultado obtido para a área do polígono ABCD seria o mesmo se o cálculo fosse realizado por composição e

Qual é a área do triângulo BAH de vértices B(0, 0), A(4,4) e H(2,6), representado no sistema de eixos cartesianos da figura?

y H

6 5 4

A

3 2 1

0 B

1

2

3

4

5

6

x

8 unidades de área.

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Matemática - 2a série - Volume 2

Problema 2 Calcule a área do pentágono COISA representado a seguir. y O

11 10 9 C

8 7 6 5

I

4

S

3 2

A

1

–1

1 –1

2

3

4

5

6

7

8

x

ACOISA = 21,5 unidades de área.

Atividade 2 Nesta atividade, formada por uma série de problemas exemplares, propomos a resolução de sistemas lineares determinados ou indeterminados. Além disso, apresentamos ainda alguns sistemas lineares para que sejam classificados em determinados, indeterminados ou

impossíveis, dependendo dos valores de alguns parâmetros. Por fim, com o objetivo de encerrar os trabalhos com os conteúdos do bimestre, propomos algumas situações-problema contextualizadas, que podem ser resolvidas por intermédio de sistemas lineares.

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Problema 1 Resolva os seguintes sistemas lineares: x – 2y + 2z = 4

2x + y + z = – 1 –3x – 14y + 19z = 63

a)

S= {(– 2, 0, 3)}

Problema 2 Classifique os sistemas lineares seguintes em determinado, indeterminado ou impossível em função do parâmetro m. mx + 2y = m – 1

a)

2x + 4y = 3m

Para m ≠ 1, sistema determinado; para m = 1, sistema impossível.

x + 2y – 3z = 4

– 3x – 4y + z = 0 5x + 3y – 10z = 1

b)

3x – 2y + mz = 0 b)

x+y+z=0 2x – y – z = 0

S = {(– 3, 2, – 1)}

c)

2x – y = 2

Para m ≠ – 2, sistema determinado; para m = – 2, sistema indeterminado.

2y + z = 2 – 3x + 2z = 1

Problema 3

S = {(1, 0, 2)} x + 7y – 3z = 0 d)

3x – 2y + z = 1 7x + 3y – z = – 1

Determine os valores de k e de m a fim de que o sistema de equações seguinte seja indeterminado. Obtenha também a solução geral do sistema e, por fim, explicite duas soluções possíveis. 3x – y + 2z = 0

S=∅ 2x – 6y = 10

e)

– 3x + 9y = –15 S = {(k, k – 5 ), k ∈ R} 3 x – 3y + 5z = 2

f)

3x – y + 3z = 4 – 2x + 2y – 4z = –3

S = {( 5 – 2k , 6k – 1 , k), k ∈ R} 4 4

–x + y – 3z = m x + y – kz = 2 k=4em=1 S=

z+1 2

,

3 + 7z ,z z∈R 2

Duas soluções possíveis: f Para z = 1: S = {(1, 5, 1)} f Para z = – 1: S = {(0, –2, – 1)}

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Problema 4 Determine o valor de m para que o sistema de equações a seguir seja indeterminado. Depois disso, com o valor obtido para m, encontre duas possíveis soluções reais, isto é, determine dois conjuntos de valores de a, b e c que verifiquem simultaneamente as três equações. a + b + 2c = 1

a–b–c=0 ma – b + c = 2

1 1 m

1 2 –1 –1 –1 1

1443

Apresentamos a resolução desse sistema a partir de combinações lineares realizadas entre as linhas, ou, em outras palavras, pelo método do escalonamento. 1 0 2

Trocando a ordem das duas primeiras colunas: 1 –1 –1

1 1 m

2 –1 1

1 1 2 2 0 1 0 1+m 3 3441

1 1 2 0 2 1 0 – 5+m 0

1 0 2

L1 + L2 L1 + L3

1 1 3

– 3L2 + L3 1 0 0

Da terceira linha da matriz final tiramos que: (– 5 + m)x = 0, de onde se conclui que para o sistema ser indeterminado é preciso que (– 5 + m) = 0, ou que m = 5.

Se o sistema é indeterminado, podemos operar apenas com duas das três equações. Escolhendo as duas primeiras equações, temos: a + b + 2c = 1 ⇒ a + b = 1 – 2c a–b–c=0 ⇒ a–b=c

(I) (II)

Adicionando (I) e (II), temos: 1–c 2a = 1 – c ⇒ a = 2 Encontraremos, pois, a resposta geral do sistema em função de c. Substituindo o valor obtido para a na equação (I), vem que 1 – 3c . b= 2 Dessa forma, a solução geral do sistema é: 1 – c 1 – 3c , c c ∈R S= 2 , 2

Para obter duas possíveis soluções basta atribuir valores a c, como, por exemplo: f para c = 0, a solução é

1

∙2,

1 ,0 ; 2

f para c = 1, a solução é {(0, – 1, 1)}. Em seguida à resolução e discussão dos sistemas lineares propostos, sugerimos que o professor trabalhe com os alunos algumas situações-problema que envolvam diferentes contextos, com grau de dificuldade um pouco acima da apresentada na Situação de Aprendizagem 3, de modo que seja possível avaliar a eficácia dos estudos dos conteúdos desenvolvidos no bimestre. Para tanto, sugerimos as seguintes situações-problema. Problema 5 Ana, Beto e Cadu foram comprar enfeites para a festa junina da escola. Em meio às compras,

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eles se perderam um do outro e resolveram, por conta própria, comprar aquilo que haviam combinado: pacotes de bandeirinhas, montão de chapéus de palha e fantasias para a quadrilha. Quando se encontraram no dia seguinte na escola, e perceberam que haviam comprado muito mais do que pretendiam, cada um tratou de se defender ao argumentar sobre o quanto haviam gastado. Primeiro, foi Ana: f Gastei R$ 62,00, mas comprei 4 pacotes de bandeirinhas, 4 montões de chapéus e 4 fantasias. Depois, veio Beto: f Eu comprei a mesma quantidade de cada coisa que você, mas gastei menos, porque consegui 10% de desconto no preço dos chapéus. Quer dizer, gastei R$ 60,00. Por último, disse Cadu: f Pois é, gente, eu comprei apenas a metade de cada coisa que cada um de vocês comprou, mas, comparativamente, gastei bem menos, porque consegui 20% de desconto no preço das bandeirinhas, e 10% no preço dos chapéus. Daí que eu gastei R$ 29,00.

Este problema tem um enunciado propositadamente longo, para avaliar os alunos quanto à capacidade de leitura, de interpretação e de seleção de dados. Uma estratégia interessante de trabalho é propor que os alunos o resolvam em pequenos grupos e, a seguir, cada grupo apresente a sua solução para a classe. Muito provavelmente os grupos chegarão a diferentes resoluções o que vai possibilitar uma discussão sobre a necessidade ou não da utilização da linguagem matemática para casos dessa natureza. Apresentamos, a seguir, a resolução clássica, envolvendo a escrita de um sistema de 3 equações lineares. Para tanto, denominamos o preço do pacote de bandeirinhas pela letra B, o preço do montão de chapéus pela letra C, e o preço da unidade de fantasia pela letra F. 4B + 4C + 4F = 62 (I) 4B + 3,6C + 4F = 60 (II) 1,6B + 1,8C + 2F = 29 (III) Devemos notar que os coeficientes das incógnitas B e C, na segunda e na terceira equação, já se apresentam abatidos do porcentual de desconto relatado pelos personagens no enunciado. Fazendo (I) – (II), temos: 0,4C = 2 ⇒ C = 5 Fazendo – 2.(III) + (II), temos: 0,8B = 2 ⇒ B = 2,5

Sabendo que o preço pago pela unidade de cada artigo foi o mesmo para os três jovens, responda: Quanto custou para Ana cada pacote de bandeirinhas, cada montão de chapéus e cada fantasia?

Voltando com os valores de B e de C para equação (I), temos: 4 . 2,5 + 4 . 5 + 4F = 62 ⇒ F = 8

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Portanto, Ana pagou R$ 2,50 pelo pacote de bandeirinhas, R$ 5,00 pelo montão de chapéus, e R$ 8,00 pela unidade de fantasia.

a) É possível que cada bola certeira nos alvos 1, 2 e 3 tenham valido, respectivamente, 4, 16 e 3 pontos?

Uma outra resolução possível, diferente da apresentada, baseia-se no fato de que Ana e Beto compraram quantidades iguais, mas Beto gastou R$ 2,00 a menos do que Ana. Assim, é possível concluir que esses R$ 2,00 correspondem a 10% do preço de 4 montões de chapéus. Então, se 10% correspondem a R$ 2,00, 100% correspondem a R$ 20,00. Logo, Ana gastou R$ 20,00 na compra dos 4 montões de chapéus, o que significa ter pago R$ 5,00 por unidade.

Não, pois esses valores não permitem que o total de pontos seja igual a 40.

Problema 6 Ernesto e Adamastor participaram de uma competição que avaliou suas pontarias. Tudo era muito rápido. Eles permaneceram em uma sala, com várias bolas de borracha na mão, enquanto três alvos eram projetados rapidamente em uma parede. O objetivo era acertar em cada alvo a maior quantidade de bolas que conseguissem. Primeiro foi Adamastor. Ele acertou três bolas no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e apenas uma bola no alvo 3. Ernesto, por sua vez, acertou uma bola no alvo 1, duas bolas no alvo 2 e duas bolas no alvo 3. Cada bola certeira valia uma quantidade de pontos que dependia do alvo acertado. Quer dizer, o alvo 1 não tinha a mesma pontuação do alvo 2 e nem do alvo 3, e os alvos 2 e 3 também tinham pontuações diferentes. Ao final da prova, Adamastor e Ernesto terminaram empatados, com 40 pontos cada um, mas ficaram sem saber quanto valia cada bola acertada em cada alvo.

b) Supondo que cada bola certeira no alvo 1 tenha valido x pontos, encontre, em função de x, o total de pontos de cada bola certeira no alvo 2 e também no alvo 3. Estamos diante de um problema que não tem resposta única, em que um sistema indeterminado de equações lineares pode auxiliar a resolução. Denominando x, y e z a quantidade de pontos atribuída a cada bola certeira nos alvos 1, 2 e 3, respectivamente, temos as seguintes equações: Adamastor: 3x + 2y + z = 40 Ernesto: x + 2y + 2z = 40 Para obter a solução geral do sistema em função da incógnita x, faremos: 2y + z = 40 – 3x (I) 2y + 2z = 40 – x (II) Fazendo (II) – (I), vem: z = 2x Substituindo z = 2x em (I), encontramos que y = 20 – 2,5x. Devemos supor, neste caso, que não é possível pontuação negativa, pois, afinal, bola certeira não pode descontar pontos do total obtido pelo jogador. Assim, devemos fazer 20 – 2,5x > 0, ou x < 8. Portanto, a solução geral do problema é: S = {(x, 20 – 2,5x, 2x)}, x ∈ N / x < 8

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Problema 7 Em uma compra de 3 quilos de batatas, 0,5 quilo de cenouras e 1,0 quilo de abobrinhas, Arnaldo gastou R$ 14,45, porque não pediu desconto ao seu Manuel, dono da barraca na feira livre. Juvenal, por sua vez, comprou 2 quilos de batatas, 1 quilo de cenouras e 2 de abobrinhas, pediu desconto de R$ 0,50 no preço do quilo das batatas e de R$ 0,20 no preço do quilo das abobrinhas, e gastou R$ 11,50. Rosa, conhecida antiga de seu Manuel, conseguiu desconto de R$ 1,00 no preço do quilo das batatas, R$ 0,50 de desconto no preço do quilo das cenouras, e R$ 0,20 de desconto no preço das abobrinhas, gastando, no total, R$ 18,00 pela compra de 3 quilos de cada produto. Quanto seu Manuel cobra, sem descontos, pelo quilo da batata? Podemos escrever 3 equações lineares para a resolução deste problema. Para tanto, denominaremos o preço do quilo de batatas pela letra b, o preço do quilo de cenouras pela letra c, e o preço do quilo de abobrinhas pela letra a. As equações podem ser assim escritas: Arnaldo: 3b + 0,5c + a = 14,45 Juvenal: 2. (b – 0,5) + c + 2.(a – 0,2) = 11,50 Rosa: 3.(b – 1) + 3.(c – 0,5) + 3.(a – 0,2) = 18 O sistema equivalente a este, com equações simplificadas, é: 3b + 0,5c + a = 14,45 (I) 2b + c + 2a = 12,90 (II) 3b + 3c + 3a = 23,1 (III) Como é perguntado o preço do quilo de batatas, faremos 2.(I) – (II), e obteremos:

4b = 16 ⇒ b = 4 Portanto, seu Manuel cobra, sem descontos, R$ 4,00 pelo quilo de batatas.

Considerações sobre a avaliação A escala apropriada para o desenvolvimento de cada conteúdo só pode ser devidamente avaliada pelo professor na articulação entre o conhecimento que tem sobre sua turma de alunos e o respeito ao seu projeto de ensino. De forma semelhante, entendemos que, nas diferentes escalas, deve ser levada em conta a pertinência de instrumentos, o percurso estabelecido e os conteúdos abordados. Vale destacar que dada a relevância de determinados conceitos é importante que estes tenham sua compreensão avaliada em vários momentos. No entanto, apesar da variedade de formas e conteúdos, algumas premissas precisam ser adotadas. Como ponto de partida, convém buscar resposta a duas questões de suma importância: Quais as principais habilidades a serem avaliadas? Quais instrumentos podem avaliar as habilidades selecionadas? Em relação à primeira questão, referente às principais habilidades que os alunos precisam mobilizar e serem avaliados neste 2º- bimestre, é necessário que eles consigam: f identificar elementos de uma matriz a partir da descrição de sua posição, explicitando, quando houver, suas principais características;

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f escrever uma matriz a partir da condição definida matematicamente entre a posição de cada elemento na linha e na coluna, compreendendo e utilizando, dessa forma, a notação aij; f operar corretamente com matrizes, determinando a matriz resultado de adições, subtrações, multiplicações e ainda de expressões com mais de uma operação; f resolver equações matriciais envolvendo adições, subtrações e/ou multiplicações; f calcular o determinante associado a matrizes quadradas de 2ª- ou de 3ª- ordens; f resolver um sistema possível e determinado de equações lineares por escalonamento; f identificar e resolver um sistema possível e indeterminado de equações lineares por escalonamento, apresentando a solução geral do sistema; f discutir a classificação atribuída a um sistema linear em função dos valores de parâmetros introduzidos nas equações; f escrever sistemas de equações lineares associados a situações-problema, resolvendo-os e interpretando as soluções de acordo com o contexto fornecido. No processo de avaliação, sugere-se que o professor utilize diferentes instrumentos de

forma que o quadro final da avaliação possa retratar tanto as características de todo o trabalho realizado quanto as diversas competências que cada um de seus alunos consegue ou não mobilizar no enfrentamento de situações-problema que envolvam matrizes, determinantes ou sistemas lineares. Dessa forma, é possível considerar que: a) uma atividade avaliativa individual deve ser realizada com o objetivo de verificar se os alunos conseguem identificar elementos em matrizes obtidas ou não como resultado de operações entre outras matrizes. Tal avaliação pode ser aplicada depois de cumprida a Situação de Aprendizagem 1. b) as atividades desenvolvidas em sala de aula, cumpridas em grupos ou individualmente, devem ser avaliadas continuamente, a fim de compor um quadro que considere todos os passos do processo de construção conceitual. Algumas vezes, portanto, avalia-se não só o que foi “feito” pelo aluno mas, com maior ênfase, o seu processo de trabalho. c) as Situações de Aprendizagem apresentadas neste Caderno poderão ser vivenciadas por alunos agrupados em duplas ou trios, cabendo ao professor acompanhar as equipes durante a realização, sanando dúvidas e eliminando dificuldades. Ao final, todos os alunos podem entregar sua produção para que o professor as comente e avalie.

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d) uma avaliação individual deve ser aplicada para aferir a capacidade dos alunos em resolver sistemas lineares, determinados ou indeterminados, e também para avaliar se convertem corretamente para a linguagem matemática a linguagem cotidiana expressa em situações-problema. e) as atividades que compõem a situação de Aprendizagem 2, e que implicam a

socialização de criações individuais, precisam ser avaliadas, tanto no que diz respeito à criação individual do aluno quanto na socialização do material produzido. f) ao término da situação de Aprendizagem 3, de resolução de sistemas lineares, os alunos poderão se autoavaliarem quanto à capacidade de escalonar sistemas e determinar corretamente a solução.

ORieNTAções PARA ReCUPeRAçÃO Para aqueles alunos que porventura não tenham conseguido atingir os objetivos de aprendizagem traçados inicialmente pelo professor, sugerimos que o processo de recuperação envolva, principalmente, a resolução de situações-problema contextualizadas, semelhantes às que foram apresentadas ao longo deste Caderno. Além disso, cabe também ao professor reforçar junto a seus alunos a

necessidade de que reflitam sobre a maneira como optam por este ou aquele caminho durante a resolução de um sistema de equações. Nesse caso, é esperado que consigam identificar os momentos em que é apropriada a escolha pelo escalonamento e quando, em alguns casos, podem usar o método de Cramer sem prejuízo para as conclusões a que chegaram.

ReCURsOs PARA AmPliAR A PeRsPeCTivA DO PROfessOR e DO AlUNO PARA A COmPReeNsÃO DO TemA Livros ANTON, Howard e RORRes, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.

CARAçA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. lisboa: Gradiva Publicações, 1998.

BUsHAW, Donald (Org.). Aplicações da Matemática escolar. são Paulo: Atual, 1997.

CARNeiRO, vera Clotilde. Funções elementares: 100 situações-problema de matemática. Porto Alegre: editora da UfRs, 1993.

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Matemática - 2a série - Volume 2

COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. (Org.). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1994. LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Org.). Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994.

Sites Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/caem>. laboratório de Ensino de Matemática. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/lem>. Só Matemática. Disponível em: <http://www.somatematica. com.br>. Mundo matemático. Disponível em: <http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/ mundo_mat/mud_mat.htm>.

Matemática Essencial. Disponível em: <http://pessoal.secomtel.com.br/ matematica>.

lista de artigos da Revista do Professor de Matemática (rPM) Publicação quadrimestral da Sociedade Brasileira de Matemática, com apoio da USP. Disponível em: <http://www.rpm.org.br>. As “cadeias” do professor Bloch, de Flávio Rodrigues, RPM, n. 10. O produto de matrizes, de Claudio Possani, RPM, n. 21. Sobre o ensino de sistemas lineares, de Elon Lajes Lima, RPM, n. 23. Matrizes em bloco, de Antonio C. Tomarozzi, RPM, n. 40.

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Conteúdos de matemátiCa por série/bimestre

do ensino médio

4o- bimestre

3o- bimestre

2o- bimestre

1o- bimestre

1a- série

2a- série

3a- série

números e sequênCias - Conjuntos Numéricos. - Regularidades numéricas: sequências. - Progressões aritméticas, progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática financeira.

trigonometria - Arcos e ângulos; graus e radianos. - Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente. - Funções trigonométricas e fenômenos periódicos. - Equações e inequações trigonométricas. - Adição de arcos.

geometria analítiCa - Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos. - Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares. - Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

Funções - Relação entre duas grandezas. - Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado. - Função de 1o grau, função de 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

matrizes, determinantes e sistemas lineares - Matrizes: significado como tabelas, características e operações. - A noção de determinante de uma matriz quadrada. - Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento.

equações algébriCas, polinômios, Complexos - Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa. - Relações entre coeficientes e raízes de uma equação polinomial. - Polinômios: identidade, divisão por x – k e redução no grau de uma equação. - Números complexos: significado geométrico das operações.

Funções exponenCial e logarítmiCa - Crescimento exponencial. - Função exponencial: equações e inequações. - Logaritmos: definição, propriedades, significado em diferentes contextos. - Função logarítmica: equações e inequações simples.

análise Combinatória e probabilidade - Raciocínio combinatório: princípios multiplicativo e aditivo. - Probabilidade simples. - Arranjos, combinações e permutações. - Probabilidades; probabilidade condicional. - Triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

estudo das Funções - Panorama das funções já estudadas: principais propriedades. - Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais. - Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação. - Composição: translações, reflexões, inversões.

geometria-trigonometria - Razões trigonométricas nos triângulos retângulos. - Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

geometria métriCa espaCial - Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas. - Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas. - Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas. - A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

estatístiCa - Cálculo e interpretação de índices estatísticos. - Medidas de tendência central: média, mediana e moda. - Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão. - Elementos de amostragem.

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