Nível 2 185. Construindo quadrados perfeitos – Observe as igualdades a seguir.
1×2×3×4+1 = 2×3×4×5+1 = .. .
25 = 52 121 = 112
10 × 11 × 12 × 13 + 1 = 17.161 = 1312 .. .
Será que isso é sempre verdadeiro? Isto é, será sempre um quadrado perfeito o produto de quatro números inteiros consecutivos, mais 1? 186. Feira de Ciências – Na Feira de Ciências de uma escola, observou-se que metade dos alunos do ensino fundamental e um quarto dos alunos do ensino médio presentes nesse evento compraram um adesivo cada.
FEIRA DE CIÊNCIAS Preço dos Adesivos (unidade) R$ 0,30 alunos do ensino fundamental R$ 0,50 alunos do ensino médio
Notou-se também que o número de alunos do ensino médio presentes que não compraram adesivos foi o dobro do número de alunos do ensino fundamental que não compraram adesivos. Sabendo-se que foram arrecadados R$ 38,00 na venda de adesivos para os alunos desses dois níveis, quantos alunos de cada nível participaram da feira? 187. Par perfeito – Dizemos que dois números naturais formam um par perfeito quando a soma e o produto desses dois números são quadrados perfeitos. Por exemplo, 5 e 20 formam um par perfeito, pois 5 + 20 = 25 = 52 e 5 × 20 = 100 = 102 . Será que 122 forma um par perfeito com algum outro número natural? 188. Um trapézio – No trapézio da figura dada, AB é paralelo a DC, AD = AB = BC = b 1 cm e DC = 2 cm. Quanto mede o ângulo D AC? (a) 30◦
(b) 45
◦
(c) 60◦ (d) 90◦
A
B
................................................................................... ... ... ... ... ... ... . ... .. ... . . ... . . ... .. . . ... ... ... . .. ... . ... .. . ... . . . . .................................................................................................................................................................
D
C
(e) 120◦
189. Mistério das bolas – Henrique têm duas urnas. A primeira urna contém somente bolas pretas e a segunda somente bolas brancas. Henrique retirou um certo número de bolas da primeira urna e as colocou na segunda. Em seguida, retirou o mesmo número de bolas da segunda urna e as colocou na primeira. Depois disso, o número de bolas brancas na primeira urna é maior do que, menor do que ou igual ao número de bolas pretas na segunda urna? 62
OBMEP 2010