Soluções do Nível 1 81. Colcha quadrada – A opção correta é (b). A colcha é formada de 5 × 5 = 25 quadradinhos, todos iguais. Já os triângulos são de dois tipos, o tipo I, que corresponde a meio quadrado e o tipo II, que corresponde a 1/4 de um quadradinho. A parte em cinza é composta de 8 triângulos do tipo I, 8 triângulos do tipo II e 4 quadrados, ou seja, 8 triângulos tipo I + 8 triângulos tipo II +4 quadrados = 10 quadrados. | {z } | {z } 4 quadrados 2 quadrados
Logo, a fração correspondente à parte cinza é
10 40 = = 40%. 25 100
82. Falsas igualdades – A opção correta é (e). Nenhuma igualdade está correta. (i) Errada: 3 × 106 + 5 × 102 = 3 000 000 + 500 = 3 000 500 6= 8 × 108 . 1 1 (ii) Errada: 23 + 2−3 = 23 + 3 = 8 + 6= 1 = 20 . 2 8 (iii) Errada, a multiplicação precede a soma: 5 × 8 + 7 = 40 + 7 = 47 6= 75. (iv) Errada, a divisão precede a soma: 5 + 5 ÷ 5 = 5 + 1 = 6 6= 2.
83. Menor valor da soma – A opção correta é (c). Seja N o número dado por N = 3a = 4b = 7c. Então, o número N é um múltiplo de 3, 4 e 7. Portanto, quando fatoramos o número N em fatores primos, aparecem, pelo menos, os fatores 2, 3 e 7, o primeiro dos quais com expoente, no mínimo, igual a 2. Segue que N é um múltiplo de 22 ×3×7 = 84. Por outro lado, os números a = 4×7 = 28, b = 3 × 7 = 21 e c = 4 × 3 = 12 satisfazem as igualdades 3a = 4b = 7c. Logo, a = 28, b = 21 e c = 12 são os menores valores possíveis para a, b e c e 28 + 21 + 12 = 61 é o menor valor possível para a + b + c. 84. Procurando um quadrado perfeito – A opção correta é (d). Fatorando 120 obtemos 120 = 23 × 3 × 5. Para obter um quadrado perfeito, todos os expoentes dessa decomposição devem ser pares, logo basta multiplicar 120 por 2 × 3 × 5 = 30. De fato, temos, 120 × 30 = 23 × 3 × 5 × 2 × 3 × 5 = 24 × 32 × 52 = (22 × 3 × 5)2 = 602 . 85. Visitas num museu – A opção correta é (c). Observe que os únicos algarismos que não aparecem no número 1 879 564 são 0, 2 e 3. O próximo número com todos os algarismos distintos ocorrerá quando mudar o algarismo das centenas e tivermos 1 879 6 . Logo, o menor número será 1 879 602 e ainda faltam 1 879 602 − 1 879 564 = 38 visitantes. 86. Ligando números por flechas – A opção correta é (e). O caminho-padrão é o que se repete, a saber, , formado por seis flechas, sempre começando nos múltiplos de 6, ou seja, em 0, 6, 12, etc. Vamos averiguar qual 134
OBMEP 2010