Soluções do Nível 1 20. Mosaicos quadrados – A opção correta é (a). No primeiro mosaico, temos 3 + 3 + 1 + 1 = 8 azulejos pretos, no segundo, temos 4+4+2+2 = 12, no terceiro, temos 5+5+3+3 = 16 e não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mosaicos têm 20 e 24 azulejos pretos, pois a cada novo mosaico são usados mais quatro azulejos pretos, um em cada lado. Como 8 + 12 + 16 + 20 + 24 = 80, é possível construir exatamente cinco mosaicos. Finalmente, o número total de azulejos brancos nesta sequência de cinco mosaicos é 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.
21. Quanto custa? – Comprando três cadernos por 6 reais cada um, ainda sobram 4 reais para Ester, de modo que a quantia que ela possui é 3 × 6 + 4 = 22 reais. (a) Se o irmão lhe empresta 4 reais, ela fica então com 22 + 4 = 26 reais e pode comprar 2 cadernos a 6 reais cada um, sobrando 26 − 2 × 6 = 26 − 12 = 14 reais para 7 canetas. Concluímos que o preço de cada caneta é 14 ÷ 7 = 2 reais.
(b) Como Ester possui 22 reais, se ela comprar 2 cadernos, sobram-lhe 22 − 2 × 6 = 22 − 12 = 10 reais. Como cada caneta custa 2 reais, ela poderá comprar 10 ÷ 2 = 5 canetas.
22. Encontre o número – O número 24 deve ser escrito como uma soma de três algarismos. Inicialmente, note que os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 não podem ser usados. Realmente, se um deles fosse usado, por exemplo o algarismo 5, então teríamos que encontrar dois algarismos cuja soma fosse 19, pois 24 − 5 = 19; mas, sabemos que isso não é possível. O mesmo ocorre com os algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. Logo, o número da casa de Júlia só pode ser composto pelos algarismos 6, 7, 8 e 9. (a) Se os três algarismos são iguais, então o número da casa de Júlia é 888. (b) Se apenas dois desses algarismos são iguais, esses dois algarismos devem ser iguais a 9 e o terceiro deve ser 6, obtendo os números 699, 969 e 996. De fato, com dois algarismos 8, recaímos no caso anterior e, com dois 6 ou dois 7, a soma dá, no máximo 14, restando, no mínimo, 10 para o terceiro, o que não é possível. (c) Se os três algarismos são distintos, então esses algarismos são 7, 8 e 9. De fato, se ocorrer um 6, a soma dos outros dois deve ser 24 −6 = 18, portanto precisamos de dois 9 e recaímos no caso anterior. Assim, restam apenas as alternativas seguintes: 789, 798, 879, 897, 978 e 987. 23. Campeonato de futebol (a) A equipe A disputa com as cinco equipes B, C, D, E e F ; a equipe B, além da partida contra A, já computada, ainda disputa quatro partidas com as equipes 118
OBMEP 2010