Nível 3 170. Idades múltiplas – Quando Isabel nasceu, sua mãe estava fazendo aniversário de 20 anos. Se Isabel e sua mãe viverem mais 100 anos, quantas vezes terão sido múltiplas as idades das duas? 171. Blocos diferentes – Ana tem um cubo de 10 cm de lado. Ela cortou o cubo em cubinhos de 1 cm de lado e, com esses cubinhos, ela brinca de formar outros blocos retangulares, mas sem que sobrem cubinhos. Por exemplo, ela formou um bloco de 10 × 20 × 5. No total, quantos blocos diferentes ela pode construir com esses cubinhos, sem que sobre nenhum? 5 cm 10 cm 20 cm
172. Quadro negro – Joana escreveu os números de 1 a 10 000 no quadro negro e, depois, apagou todos os múltiplos de 7 e 11. Qual foi o número que ficou na posição 2 008? 173. Conjunto sem múltiplos – Qual é o maior número possível de elementos de um subconjunto de {1, 2, . . . , 100} tal que nenhum de seus elementos seja um múltiplo de algum outro? 174. Brincando com a calculadora – Digite numa calculadora um número qualquer de três algarismos. Em seguida, digite o mesmo número obtendo, assim, um número de seis algarismos, da forma a b c a b c. Divida esse número por 7, divida o resultado por 11 e, finalmente, divida o número obtido por 13. O que aconteceu? Por que você obteve esse resultado? 175. No galinheiro – Um galinheiro com 240 m2 de área deve abrigar galinhas e pintinhos, sendo desejável que haja um espaço livre de 4 m2 para cada galinha e 2 m2 para cada pintinho. Além disso, cada pintinho come 40 g de ração por dia e cada galinha come 160 g por dia, sendo permitido um gasto diário máximo de 8 kg de ração. (a) Represente algebricamente as condições do problema. (b) Represente graficamente, no plano cartesiano xOy, as condições do problema. (c) Esse galinheiro comporta 20 galinhas e 80 pintinhos? E 30 galinhas e 100 pintinhos? (d) Qual é o número máximo de galinhas que podem ser colocadas no galinheiro, respeitando os espaços desejáveis e o gasto máximo de ração? E de pintinhos? 176. Um número perfeito – Um número natural n é dito perfeito se a soma de todos os seus divisores próprios, isto é, divisores diferentes de n, é igual a n. Por exemplo, 6 e 28 são perfeitos, pois 6 = 1 + 2 + 3 e 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Sabendo que 231 − 1 é um número primo, mostre que 230 (231 − 1) é um número perfeito. 96
OBMEP 2010