Bloque 2 (la recta)

2.1 Pendiente y ángulo de inclinación

La pendiente o coeficiente angular de una línea recta es la tangente del ángulo que la recta forma con el sentido positivo del eje x. La magnitud de la pendiente puede ser positiva o negativa, si el ángulo 0 es agudo, la pendiente será positiva, pero si el ángulo 0 es obtuso, entonces la pendiente será negativa. La pendiente de una recta se denota por la letra “m” y es igual a la tangente de su ángulo de inclinación. La fórmula para hallar la pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados es: m = y2−y1 x2−x1 , donde x1 ≠ x2.

m = positivo si mide 0° a 90° (ángulo agudo) m = neutro si mide 0° (ángulo nulo) m = negativo si mide 90° a 180° (ángulo obtuso) m = infinito si mide 90° (ángulo recto).

El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje x, la medida del ángulo que se toma en sentido contrario a las agujas del reloj. La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la recta, es lo que se llama tangente inversa. El ángulo se calcula aplicando tangente inversa a la pendiente: esto quiere decir que si la renta tuviera una pendiente que vale una unidad, el arco de cuya tangente mide 45°, suponiendo que la pendiente de una recta es -1 quiere decir que la recta tiene una inclinación hacia la izquierda y que forma con el eje x 135°, como la tangente en este caso es negativa y quienes por valor -1 el ángulo de la misma va a ser -45, si tomo 180° y le restó 45° obtengo el ángulo real coma el cual forma esta línea con el eje x qué es 135°. Para poder calcular el ángulo de inclinación se usa la siguiente formula: a = tan −1 (m) Cada ángulo de inclinación corresponde a cada pendiente que surge a partir del Angulo x y dependerá si es positiva o negativa.

2.2 Formas de la ecuación de una recta y sus transformaciones

Existen muchas definiciones para la recta, cada una de estas definiciones tiene que ver con el contexto. Se puede determinar la ecuación de una recta utilizando diversas formas por medio de fórmulas que están relacionadas con su pendiente y su ángulo de inclinación.

2.2.1 Forma punto-pendiente (forma común o simplificada)

La recta se determina cuando se conoce uno de sus puntos y su dirección, analíticamente la ecuación se determina cuando se conocen las coordenadas de sus puntos y su ángulo de inclinación o pendiente. Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella, esta se escribe de la siguiente manera: (y − y1) = m(x − x1), en esta ecuación “m” es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto. La pendiente de la recta “aumenta conforme va”, ese es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las coordenadas en x) lo cual puede escribirse como: m = y2−y1 (formula de la x2−x1 pendiente).

2.2.2 Forma dada dos puntos (forma cartesiana)

La recta queda perfectamente determinada por dos puntos, analíticamente la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada cuando se conocen las coordenadas de cualquiera de sus puntos. La ecuación de la recta que pasa por: dados P1 (x1, y1) y P2(x2, y2) es: (y − y 1 ) = y1−y2 x1−x2

encontrar puntos que pertenezcan a ella, recordemos que la ecuación de la recta puede escribirse de distintas formas; general, paramétrica o punto-pendiente. Para encontrar puntos en la recta lo más recomendable es usar la fórmula punto-pendiente y hacer una tabulación

2.2.3 Formas pendiente-ordenada al origen

La forma pendiente-ordenada al origen es una representación específica de las ecuaciones lineales, tiene la forma y = mx + b , donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen, además de limpia y sencilla, la forma pendiente ordenada al origen tiene la ventaja que muestra dos de las características principales de la recta que representa:

• La pendiente (m)

• Las coordenadas de la intersección con el eje x en (- 5,0)

El hecho de que esta representación de la pendiente y la ordenada al origen es la razón de su nombre

2.2.4 Formas simétrica (canónica)

La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que determina sobre los ejes de coordenadas. Sea una línea que interseca a los ejes coordenados x y

y en los puntos A (0,-5) y B (5,0) respectivamente es: x

a + y b = 1 .

A esta forma de ecuación de la recta también se le

llama reducida o abscisa-ordenada al origen, es una forma de expresar matemáticamente cualquier recta ya que sólo es necesario conocer los puntos de corte con los ejes de coordenadas de dicha recta

2.2.5 Ecuación general de la recta

Se denomina forma general de la ecuación de la recta donde los coeficientes A, B y C son números reales con la condición de que A o B deben ser diferentes de 0, y C puede o no ser igual a 0. Para localizar una recta por medio de la ecuación general ( v2x − v1y + v1y1 − v2x1 = 0 ) usando A, B y C para simplificar ( A = v2, B = v1, C = v1y1 − ν2x1 ) por lo que definimos la ecuación como: Ax + By + C = 0 , esta se puede tener desde el inicio del problema o se puede calcular utilizando algunas ecuaciones como son punto-pendiente, dado dos puntos, pendiente-ordenada al origen y simetría; si se obtiene la ecuación general de la recta se pueden utilizar para realizar transformaciones entre las diversas ecuaciones y la fórmula general de la recta.