Met贸dy odhadu parametrov viacrovnicov媒ch modelov II. 1
Odhad parametrov simultánnych modelov Metódy odhadu parametrov viacrovnicových modelov je možné rozdeliť do troch skupín: 3. Metódy odhadu parametrov v jednoduchých a rekurzívnych systémoch 4. Simultánne metódy odhady parametrov s obmedzenou informáciou 5. Simultánne metódy odhadu parametrov s úplnou informáciou Nie všetky simultánne modely sa dajú upraviť na redukovaný tvar. V takých prípadoch sa používajú špeciálne postupy, ktoré označujeme ako metódy odhadu simultánnych modelov. Túto skupinu metód rozdeľujeme podľa spôsobu odhadu parametrov na : a) Simultánne metódy odhady parametrov s obmedzenou informáciou b) Simultánne metódy odhadu parametrov s úplnou informáciou Pri použití simultánnych metód s obmedzenými informáciami sa odhad parametrov robí osobitne pre každú rovnicu modelu, ale využívajú sa pritom údaje o všetkých predeterminovaných premenných modelu. Pri použití simultánnych metód odhadu parametrov s úplnou informáciou sa odhad parametrov uskutočňuje naraz pre všetky rovnice modelu, pričom sa využívajú znalosti o všetkých premenných vystupujúcich v modeli a tiež informácie o 2 špecifikácii všetkých rovníc a o vzťahoch medzi rovnicami.
a) Simultánne metódy odhady parametrov s obmedzenou informáciou Medzi najčastejšie používané metódy odhadu parametrov s obmedzenou informáciou zaraďujeme: DMNŠ (2SLS - Two Stage Least Squares) - dvojstupňová metóda najmenších štvorcov MMVOI (LIML – Limited Information Maximum Likelihood) - metóda maximálnej vierohodnosti s obmedzenými informáciami MIP (IV – Instrumental Variables) - metóda inštrumentálnych premenných MHK (PC – Principal Components) - metóda hlavných komponentov MDKT (DCE – Double k – Class Estimators) - metódy dvojitej k – tej triedy
Podrobnejšie sa budeme zaoberať prvými dvoma metódami: DMNŠ a MMVOI.
3
MMVOI (LIML – Limited Information Maximum Likelihood) metóda maximálnej vierohodnosti s obmedzenými informáciami Za predpokladu viacrozmerného normálneho rozdelenia náhodných zložiek štruktúrneho a redukovaného tvaru interdepedentného modelu a ich sériovej nezávislosti je možné na kvantifikáciu jednotlivých stochastických rovníc použiť metódu maximálnej vierohodnosti s obmedzenou informáciou niekedy tiež nazývanú metóda minimalizácie pomeru rozptylov. Základným princípom metódy je maximalizácia funkcie vierohodnosti (združenej funkcie hustoty pravdepodobnosti), pričom sa využívajú len informácie o nulových obmedzeniach parametrov v príslušnej štrukturálnej rovnici. Kvantifikačný zápis i – tej rovnice modelu je možné zapísať v tvare:
Y*i a*i = X i bi + ui
1. 4
Y*i a*i = X i bi + ui Y*i
Y*i = [ yi , Yi ]
Matica n pozorovaní g endogénnych premenných v i – tej rovnici pričom:
yi
Vektor n pozorovaní vysvetľovanej endogénnej premennej v i – tej rovnici:
Yi
Matica n pozorovaní (g – 1) vysvetľujúcich endogénnych premenných v i – tej rovnici:
a*i Xi
Vektor g parametrov pri endogénnych premenných v i – tej rovnici:
1 a*i = ai
2.
Matica n pozorovaní k predeterminovaných premenných v i – tej rovnici, pričom platí:
X = [ X i , X ni ]
X
Matica n pozorovaní K predeterminovaných premenných celého modelu
X ni
Matica n pozorovaní K – k predeterminovaných premenných, ktoré sa v i– tej rovnici modelu nevyskytujú 5
Odhad parametrov i – tej rovnice pomocou metódy maximálnej vierohodnosti s obmedzenými informáciami rešpektuje základnú požiadavku, aby združená endogénna premenná
Y*i a*i
bola vysvetlená v závislosti iba od Xi tak dobre ako v závislosti od všetkých predeterminovaných premenných X tj.: aby podiel reziduálneho súčtu štvorcov, ktorý vzniká pri regresii združenej endogénnej premennej od predeterminovaných premenných vyskytujúcich sa v i – tej rovnici a reziduálneho súčtu štvorcov, ktorý vzniká pri regresii združenej endogénnej premennej od predeterminovaných premenných celého modelu bol minimálny (na rozdiel od DMNŠ, kedy sa minimalizuje rozdiel reziduálnych súčtov štvorcov). Podiel je možné zapísať
a*i Wi a*′ i k= a*i Wa*′ i
3.
Nech matica W predstavuje reziduálny súčet štvorcov, ktorý vzniká pri regresii združenej endogénnej premennej na všetkých predeterminovaných premenných modelu 6
[
]
W = Y*′ i Y*i − Y*′ i X(X′ X)− 1 X′ Y*i = Y*′ i I − X(X′ X)− 1 X′ Y*i
4.
Matica Wi predstavuje reziduálny súčet štvorcov, ktorý vzniká pri regresii združenej endogénnej premennej na predeterminovaných premenných vyskytujúcich sa v i – tej rovnici modelu: −1 −1 5.
[
]
Wi = Y*′ i Y*i − Y*′ i Xi (X′i Xi ) X′i Y*i = Y*′ i I − Xi (X′i Xi ) X′i Y*i
Ak zderivujeme rovnicu 3. podľa vektora parametrov
a*i Wi a*′ i k= a*i Wa*′ i
a*i
a položíme ju rovnú nule získame minimum pomeru rozptylov tj.:
(Wi − kW ).a*i = 0
6. 7
Sústava 5. má netriviálne riešenie práve vtedy, ak platí pre determinant vzťah:
Wi − kW = 0
7.
Riešenie rovnice 6. vedie k polynomickej rovnici, ktorej stupeň sa rovná počtu endogénnych premenných v i – tej rovnici, pričom všetky korene sú väčšie nanajvýš rovné jednej. Odhad parametrov
ˆ a*i
ˆ aˆ = 0 (Wi − kW) *i
získame riešením sústavy g rovníc:
8.
kde kˆ je minimálny koreň polynomickej rovnice 6. pre ktorý platí:
kˆ ≥ 1
9. 8
Vzhľadom k tomu, že pre vektor
ˆ a*i
platí analogický vzťah ako pre 2.
1 ˆ a*i = ˆ ai môžeme sústavu rovníc 8. zapísať v tvare:
1 ˆ (Wi − kW) aˆ = 0 i
10.
Sústava 10. má vždy riešenie, pretože predstavuje sústavu g rovníc o (g – 1) neznámych . Parametre predeterminovaných premenných potom odhadneme pomocou MNŠ za podmienky:
ˆ bi = ( XiT Xi )− 1 XiT Y*i aˆ*i
9
Odhadové funkcie MMVOI a jej modifikácie majú skôr historický význam, lebo sa používali do 50. rokov 20.stor., kedy ešte nebola známa dvojstupňová metóda najmenších štvorcov a metódy úplnej informácie. Použitie metódy v poslednom období pokleslo, lebo pri malých výberoch nie je možné dospieť k požadovanému výberovému rozdeleniu výberovej funkcie. Odhady sú malo stabilné, lebo aj malé zmeny v údajoch vedú k podstatným zmenám odhadnutých parametrov. Odhadové funkcie DMNŠ a MMVOI nemajú rovnaké štandardné chyby odhadov, lebo odhady rozptylov sú rôzne. Všeobecne platí, že súčet štvorcov rezíduí MMVOI nie je nikdy menší než u DMNŠ, takže ich štandardné chyby sú v porovnaní s DMNŠ rovnaké alebo väčšie.
10
b) Simultánne metódy odhadu parametrov s úplnou informáciou V metódach tejto skupiny sa pri odhade parametrov jednotlivých rovníc využívajú nielen údaje o všetkých premenných vstupujúcich do modelu, ale aj informácie o špecifikácii všetkých rovníc a o vzťahoch medzi rovnicami. Odhad parametrov pomocou týchto metód sa robí naraz pre všetky rovnice modelu pri jednom prepočte. Medzi najčastejšie používané metódy odhadu parametrov s úplnou informáciou zaraďujeme: TMNŠ (3SLS – Two Stage Least Squares) - trojstupňová metóda najmenších štvorcov MMVUI (FIML – Full Information Maximum Likelihood) - metóda maximálnej vierohodnosti s úplnými informáciami MFB (FPM – Fixed Point Method) - metóda fixného bodu
11
Trojstupňová metóda najmenších štvorcov - TMNŠ Štrukturálne rovnice, na ktoré sme jednotlivo použili DMNŠ mali tvar:
yi = Yi ai + X i bi + u i
i = 1,2,..., G
11.
čo možno zapísať:
ai y i = [Yi X i ]. + ui bi
kde:
Z i = [Yi X i ]
a
resp.
y i = Z i .δ i + ui
i = 1,2,..., G
ai δi= bi
12
Odhad parametrov TMNŠ je možné zapísať v tvare:
{ [
]}
δˆ = Z T Σˆ − 1 ⊗ X ( X T X ) − 1 X T Z kde
Σ
−1
[
]
−1 T −1 T ˆ .Z Σ ⊗ X ( X X ) X . y T
12.
je neznáma variačno-kovariačná matica náhodných zložiek rozmeru G x G
Celú procedúru TMNŠ možno zhrnúť do nasledovných krokov: 1. Pomocou DMNŠ získame G odhadov:
ai δˆi = bi DMNŠ
i = 1, 2,..., G
tj: aplikujeme na jednotlivé rovnice modelu DMNŠ, potom vypočítame pre každú rovnicu vektor reziduálov, z ktorých potom vypočítame odhad matice Σˆ
13
2. Na sústavu 11. aplikujeme zovšeobecnený estimátor 12. čím dostaneme odhady štrukturálnych parametrov všetkých rovníc modelu. V prvej fáze odhadu teda vlastne vykonáme prvý a druhý stupeň MNŠ pomocou DMNŠ na každú rovnicu modelu, vypočítame reziduály pre každú rovnicu a z nich odhadneme variačno-kovariačnú maticu reziduálných porúch celého modelu. Potom aplikujeme zovšeobecnenú metódu najmenších štvorcov na model v tvare 11. , čo je tretí stupeň metódy.
14