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Maths

&

Maths & Moustique est une collection complète pour l’apprentissage des mathématiques à l’école primaire. Elle comprend plusieurs outils étroitement liés : un Manuel de référence, un Cahier d’exercices et un Guide d’enseignement.

La collection Maths & Moustique

cover-MM5.indd

1

MM5

ISBN : 978-2-8041-6022-7

Maths & Moustique Manuel de 5e année

Manuel de 5e année

Le Manuel articule des démarches et des contenus construits en classe. Il propose de manière pratique, complète et structurée par modules, les éléments clés à maîtriser en fin d’apprentissage. Un ouvrage tout en couleurs destiné aux 10-11 ans.

www.deboeck.com

5

Moustique

Manuel de 5e année

3e année – Manuel    – Cahier d’exercices – Guide d’enseignement e 4 année – Manuel – Cahier d’exercices – Guide d’enseignement 5e année – Manuel – Cahier d’exercices – Guide d’enseignement

Éric Degallaix David Guilbert Sophie Salmon

19/05/10

9:29:45


Bonjour, Je m’appelle Mathy. Je t’accompagnerai tout au long des 15 modules de ce Manuel. Dans chaque module, tu découvriras de nouvelles choses à propos…

des nombres,

des solides et figures,

des grandeurs,

et tu apprendras à résoudre des problèmes.

Je retiens le dividende

C D U 2 7 6 – 2 4 3 6 – 3 6 0

6 D U 4 6

i nfo 0,45 se lit 23 000 se lit

le diviseur le quotient

Tu trouveras aussi des cadres « Je retiens ». Tu les reconnaîtras grâce au petit moustique qui les épingle. Tu devras bien étudier ce que chacun contient. De temps en temps, des cadres «  Info » te donneront quelques renseignements bien utiles.

45 centièmes ↓   ↓ nombre entité numérique ↑   ↑ 23 mille

Bonjour, Je suis le copain de Mathy et je m’appelle Mathéo. Je t’accompagnerai aussi tout au long de ce Manuel. Quand tu auras étudié tout ce qui concerne un module, tu pourras vérifier tes connaissances en réalisant un autotest. Celui-ci se trouve dans ton Cahier d’exercices. Ce pictogramme t’indique Autotest la page de l’autotest. p 221

Ces exercices terminés, tu pourras les corriger seul(e) grâce au corrigé qui se trouve à la fin de ton cahier.


Table des matières Module 2 • Calcul écrit : addition • Calcul écrit : soustraction par emprunt • Calcul écrit : soustraction par compensation • Addition et soustraction du centième à la DM • Identifier des polyèdres • Recherche de grandeurs de référence permettant d’estimer des grandeurs • Prix d’achat (PA) – Prix de vente (PV) – Bénéfice (B) – Perte (P)

Module 1 • Écrire, lire, situer… des nombres du centième à la DM • Comparer des nombres à virgule • Additions et soustractions jusque 20 • Tables de multiplication • Dessin de solides sur papier pointé • Développement du cube et du parallélépipède rectangle • Unités de mesure, objets de référence et instruments de mesure • Lecture de tableaux et de graphiques

7 7 14 16 16 21 22 24 27

Module 3 • Calcul écrit : multiplication avec un chiffre au multiplicateur • Calcul écrit : division avec un chiffre au diviseur • Multiplication et division de nombres entiers • Caractéristiques de polyèdres : nombre de faces, d’arêtes, de sommets, forme des faces • Caractéristiques de polyèdres : nombre de faces, d’arêtes, de sommets, forme des faces • Conversions d’unités de mesure de longueur, de masse et de capacité • Partages inégaux

30 30 31 32 33 35

37 39

41

41 42 43 44 45 46 49


Module 4 • Fractions ordinaires et décimales, nombres et expressions fractionnaires • Fractions équivalentes • Simplifier une fraction • Sérier des fractions • Parallélisme, isométrie et sortes d’angles dans les quadrilatères et les triangles • Le rapporteur

51

51 53 55 55 61 64

• Je trace des angles avec le rapporteur

66

• Règle de 3

67

Module 5 • Écrire, lire, situer… des nombres du millième à la centaine de millions et audelà • Arrondir un nombre et estimer des résultats d’opérations • Droite, demi-droite et segment de droite Droites parallèles, sécantes et perpendiculaires • Multiplier ou diviser des grandeurs par une puissance de 10 • Moyenne arithmétique

Module 6

69

Module 7 • Ajouter ou retrancher sur plusieurs rangs • Construction de parallélogrammes avec contraintes ; y compris, l’amplitude des angles • Unités de mesure du temps • Calcul de durée en mois et en jours • Calcul de durée en heures, minutes, secondes • T.V.A. et autres taxes

Module 8

73

• Calcul écrit : addition et sous­ traction de nombres à virgule • Addition et soustraction de nombres du millième à la centaine de millions • Construction de triangles avec contraintes ; y compris, l’amplitude des angles • Calcul de périmètres

74

• Distance parcourue et durée (vitesse)

69

80 81

84

• Comparaison de fractions ordinaires, de fractions décimales, de nombres à virgule et de pourcentages • Identification des parallélogrammes et des triangles • Opérations sur les grandeurs

88 90

• Pratiquer des pourcentages

92

84

Module 9 • Diviseurs et multiples d’un nombre • Multiples et diviseurs communs • Caractères de divisibilité • Reconnaissance et caractéristiques des différentes sortes de trapèzes • Les unités d’aires conventionnelles • dm² – cm² – mm² • Le m² • Multiples du m² • L’échelle : retrouver la distance réelle

94 94

96 98 99 100 103

105

105 107 108 110

112

114 114 115 117 122 124 125 126 126 128


Module 10 • Calcul écrit : multiplication avec des facteurs de plus d'un chiffre • Multiplication et division par 10, 100 et 1000 • Multiplication par 0,1 – 0,01 – 0,001 • Division par 0,1 – 0,01 – 0,001 • Tracé du trapèze • Calcul de l’aire de quadrilatères à partir des formules d’aire du carré et du rectangle. • Les intervalles

Module 11 • Addition et soustraction de fractions ayant le même dénominateur • Addition et soustraction de fractions ayant des dénominateurs différents • Tracé de lignes particulières dans les quadrilatères : médianes, diagonales, hauteurs • Tracé de lignes particulières dans les triangles : médianes et hauteurs • Calcul de l’aire des triangles à partir des formules d’aire du rectangle et du carré • Poids brut – Poids net – Tare – Charge utile

130

130 131 132 133 135

Module 12 • Calcul écrit : divisions avec deux chiffres au diviseur • Multiplication et division par décomposition en une somme ou en une différence • Disque, cercle, rayon, diamètre, secteur, arc, corde et centre • Lecture et conversion d’unités d’aires conventionnelles • Règle de 3 inverse

137 142

144

144 145

147

Module 13 • Multiplication par compensation et composée d’opérateurs • Polygones réguliers. • Tracé de l’hexagone régulier, du triangle équilatéral et du carré inscrits dans un cercle. • Calcul du périmètre et de l’aire du disque • Vitesse et diagramme cartésien

Module 14

156 156 159 161 162 164

165 165 168 168 170 173

176

150

• Division par compensation et composée d’opérateurs

176

152

• Développements de prismes droits et de pyramides

178

154

• cm³ dm³ et m³ • Volume du cube et du parallé­ lépipède rectangle en cm³. • Tableaux de données à compléter

Module 15

180 181 183

186

• Multiplication et division de fractions par un entier

186

• L’ échelle : tracer un plan

187


1

Autotest p. 19

Écrire, lire, situer… des nombres du centième à la DM

le

M odu

1

Nombres entiers

Je retiens Un système, – c’est quelque chose qui se répète toujours de la même façon ; – c’est quand on fait toujours la même chose. Dans notre système de numération, lorsque je fais des paquets ou que je coupe, c’est toujours par 10. Exemples : – 10 unités forment 1 dizaine ; – 1 dizaine est formée de 10 unités ; – 10 dixièmes forment 1 unité. Dix en latin se dit « decem », c’est pourquoi on appelle notre système de numération « système décimal ».

i nfo

« décim a empru l » vient de d nté au écimer la ( e qui sig nifie d tin « decima XV siècle) re ix), pun ir un so  » (de « dece m » ldat su Diction r 10. naire d ’éty molog ie d’Alb ert Dau zat, Edition s Larou sse

Pour ranger les nombres, l’homme a inventé un dispositif qui se présente sous la forme d’une surface plane divisée en colonnes. Il lui a donné le nom d’ « abaque ». Voici un abaque avec quelques exemples : CM

MILLE DM

UM 9

C 3

1

3

UNITES D 6 8 0

U 7 5 4

CM DM UM C D U

= = = = = =

centaine de mille dizaine de mille unité de mille centaine dizaine unité 7


Pour écrire les nombres jusque 9999, j’utilise 1, 2, 3 ou 4 chiffres. Exemples – Le nombre 6 s’écrit avec un seul chiffre. – Le nombre 87 s’écrit avec 2 chiffres. – Le nombre 745 s’écrit avec 3 chiffres. – Le nombre 6 7 4 8 s’écrit avec 4 chiffres.

1

de gauche à droite :

1er chiffre  2e chiffre  3e chiffre  4e chiffre Le 1e chiffre représente le nombre d’unités de mille (UM). Le 2e chiffre le nombre de centaines (C). Le 3e chiffre le nombre de dizaines (D). Le 4e chiffre le nombre d’unités (U).  CM

MILLE DM

6 unités de mille 6 paquets de mille 6000

UM 6

C 7

UNITES D 4

7 centaines 7 paquets de 100 700

U 8

4 dizaines 4 paquets de 10 40

8 unités 8 paquets de 1 8

● P  our lire un nombre jusque 9999, je dis…

1. 2. 3. 4.

d’abord le nombre d’unités de mille suivi du mot « mille » ; puis le nombre de centaines suivi du mot « cent » ; ensuite le nom de la dizaine représentée par l’avant dernier chiffre ; enfin le nom du dernier chiffre représentant le nombre d’unités.

Exemple 9724 se lit 1. 9 ➔ neuf mille 2. 7 ➔ sept cents 3. 2 ➔ vingt 4. 4 ➔ quatre 9724 se lit donc neuf mille sept cent vingt-quatre

1. Les nombres 11, 12, 13, 14, 15 et 16 se lisent respectivement onze, douze, treize, quatorze, quinze et seize. 2. Dans un nombre à 4 chiffres... ● Q  uand le chiffre des centaines, des dizaines ou des unités est « 0 », je ne dis rien. Exemples : 5034 se lit cinq mille trente-quatre. 8

5607 se lit cinq mille six cent sept. 5660 se lit cinq mille six cent soixante.


Q  uand le chiffre le plus à gauche vaut 1, je dis simplement « mille ». Exemple : 1378 se lit mille trois cent septante-huit.

Q  uand le 2e chiffre le plus à gauche vaut 1, je dis simplement « cent ». Exemple : 4183 se lit quatre mille cent quatre-vingt-trois.

Q  uand le chiffre des unités vaut 1, je dis « et un » lorsque le nombre de dizaines est 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 9.

1

Exemples : 2371 se lit deux mille trois cent septante et un. 2321 se lit deux mille trois cent vingt et un.

M  ais : ●

2381 se lit deux mille trois cent quatre-vingt-un. 2311 se lit deux mille trois cent onze.

P  our situer des nombres jusque 9999 sur une droite des nombres, voici comment je peux procéder.

1. J e regarde les repères qui me sont donnés : les nombres déjà indiqués, la direction de la droite. 2. J e compte les espaces entre les nombres donnés et je cherche la valeur d’un espace. 3. Je place le nombre au bon endroit. Exemple : situer 3567 1. Je vois 3540 et 3570 ; la droite va vers la droite. 3540

3570

2. Je compte les espaces entre ces deux nombres : il y en a 30. Un espace vaut donc 1 unité. 30 espaces d’une unité

3540

3570

3. Je place 3567 au bon endroit. je place 3567 après le 27e espace qui suit 3540

3540

3567

3570

9


P  our placer des nombres dans l’abaque, je les écris en commençant par la colonne des unités. Exemple : placer 8053 dans l’abaque CM

1 ●

MILLE DM

UM 8

C 0

UNITES D 5

U 3

Si on me demande combien il y a de D dans 8253 ? CM

MILLE DM

UM 8

C 2

UNITES D 5

U 3

1. Je repère la colonne des D : il y a 5 D dans cette colonne. 2. Je n’oublie pas de regarder à gauche de cette colonne :

2 C valent aussi 20 D. 8 UM valent aussi 800 D. 3. Il y a donc en tout 825 D. C’est le nombre que je lis de gauche à droite en m’arrêtant à la colonne des D. Nombres à virgule Il est impossible de représenter par des nombres entiers toutes les situations de la vie. Tout ne se résout pas par un simple dénombrement 1, 2, 3… On a donc découpé l’unité en plus petits morceaux. 1 unité

1 dixième

Pour le fabriquer Pour le dire,

10

1 centième

on prend l’unité, on prend le dixième, on coupe en dix. on coupe en dix. c’est l’unité coupée en dix, c’est l’unité coupée en cent, on l’appelle dixième. on l’appelle centième. Il faut 10 dixièmes Il faut 100 centièmes pour reconstituer l’unité. pour reconstituer l’unité.


 omme son nom l’indique, le « dixième » est la dixième partie de l’unité. Il peut C s’écrire sous la forme : – d’un nombre à virgule Exemple 0,4 – 0,8 – 9,3 – …

– d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 Exemples

4 0,4 peut s’écrire (c’est 1 unité que je coupe en 10 et dont je prends 4 morceaux) 10 8 0,8 peut s’écrire (c’est 1 unité que je coupe en 10 et dont je prends 8 morceaux) 10 93 3 9,3 peut s’écrire ou 9 (c’est 9 unités plus 1 unité que je coupe en 10 et dont je 10 10 prends 3 morceaux)

1

 omme son nom l’indique, le « centième » est la centième partie de l’unité. Il C peut s’écrire sous la forme : – d’un nombre à virgule Exemple 0,04 – 0,28 – 9,73 – …

– d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 Exemples 4 0,04 peut s’écrire 100 (c’est 1 unité que je coupe d’abord en 10 puis encore en 10 et dont je prends 4 morceaux) 28 0,28 peut s’écrire 100 (c’est 1 unité que je coupe d’abord en 10 puis encore en 973 73 10 et dont je prends 28 morceaux) 9,73 peut s’écrire 100 ou 9 100 (c’est 9 unités plus 1 unité que je coupe d’abord en 10 puis encore en 10 et dont je prends 73 morceaux)

i nfo

La puissance d’un nombre, c’est le résultat de multiplications de ce nombre par lui-même. Exemples : 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 → 10 exposant 5 1 on retrouve 5x le nombre 10 → 10 à la puissance 5 10 = 10 → 10 exposant 1 dans cette multiplication → 10 à la puissance 1 on retrouve 10³ = 10 x 10 x 10 → au cube 1x le nombre 10 on retrouve 3x le nombre 10 → 10 exposant 3 0 dans cette multiplication → 10 à la puissance 3 10 = 1 → 10 exposant 0 → 10 à la puissance 0 c'est l'unité de départ 10² = 10 x 10 → 10 au carré dans un système on retrouve 2x le nombre 10 → 10 exposant 2 dans cette multiplication → 10 à la puissance 2 où tout va par 10 11


Je retiens Une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (1, 10, 100, 1000…) est appelée « fraction décimale ». Exemples : 3 , 14 ,… 10 100 Tout nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1000…) est appelé « nombre décimal ».

1

18 180 1800 = = … 10 100 1 175 1750 « 17,5 » car 17,5 = 10 = 100 …

Exemple : «  18 » car 18 =

Tout nombre décimal n’est pas nécessairement un nombre à virgule. En effet, 180 “ 18 ” est un nombre décimal car il peut s’écrire sous la forme 10 mais dans l’écriture de “ 18 ”, il n’y a pas de virgule.

Voici des dixièmes et des centièmes sur la droite des nombres. 1,4 1,5 0

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

2

1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5 144 147 100 100 ●

Voici quelques exemples de nombres à virgule placés dans l’abaque. CM

MILLE DM

UM 1 5

C 2 9

UNITES D 6

U

7

4

7

0

3

… partie entière … nombre à virgule 12

, , ,

d 5

c

0

3

1

6

… partie décimale …


i nfo Notre numération de position nous oblige à avoir un repère spatial pour savoir où est l’unité, c’est-à-dire savoir de quoi on parle. Ce repère, c’est la virgule. Une virgule, c’est donc une barrière qui sépare : –  à gauche : les unités entières, groupées de 10 en 10 (certaines prennent le son “ AINE ” : les dizaines, les centaines) –  à droite : les unités coupées en 10, de 10 en 10x plus petites (elles prennent toutes le son “ IEME ” : les dixièmes, les centièmes...)

1

 our placer un nombre décimal dans l’abaque, j’écris d’abord le chiffre P indiquant le nombre d’unités (c’est celui juste avant la virgule) dans la colonne des unités. J’écris ensuite les autres chiffres. Exemples : placer 134,6 dans l’abaque UNITES C D U 1 3 4

1. J ’écris d’abord le 4 dans la colonne des unités. 2. J’écris ensuite les autres chiffres dans le bon ordre.

,d ,6

Si on me demande combien il y a de d dans 134,6 ? 1. J e repère la colonne des d : il y a 6 d dans cette colonne. 2. J e n’oublie pas de regarder à gauche de cette colonne : 4 U valent aussi 40 d. 3 D valent aussi 300 d. 1 C vaut aussi 1000 d. 3. I l y a donc en tout 1346 d. C’est le nombre que je lis de gauche à droite en m’arrêtant à la colonne des d. Placer 13,46 dans l’abaque UNITES C D U 1 3

,d ,4

c 6

1. J ’écris d’abord le 3 dans la colonne des unités. 2. J’écris ensuite les autres chiffres dans le bon ordre.

Si on me demande combien il y a de c dans 13,46 ? 1. J e repère la colonne des c : il y a 6 c dans cette colonne. 2. J e n’oublie pas de regarder à gauche de cette colonne : 4 d valent aussi 40 c. 3 U valent aussi 300 c. 1 D vaut aussi 1000 c. 3. I l y a donc en tout 1346 c. C’est le nombre que je lis de gauche à droite en m’arrêtant à la colonne des c. 13


Comparer des nombres à virgule Je regarde d’abord la partie entière de chaque nombre. ●●

Un des nombres contient plus de chiffres dans sa partie entière que l’autre nombre. Dans ce cas, le nombre le plus grand est celui qui contient le plus de chiffres dans la partie entière.

1

Exemple 6732,45 … 847,4 → Je peux dire que 6732,45 est plus grand que 847,4 et écrire 6732,45 > 847,4. ●●

Les parties entières des deux nombres contiennent autant de chiffres. Dans ce cas, je regarde le chiffre le plus à gauche dans ces deux parties. Exemple

6732,28 … 4847,69 6 UM, c’est plus grand que 4 UM. → Je peux donc dire que 6732,28 est plus grand que 4847,69 et écrire 6732,28 > 4847,69.

Si le chiffre le plus à gauche est identique dans les deux parties entières, je regarde un à un les autres chiffres situés à sa droite. Exemples

6732,35 … 6548,23 Ici, le chiffre le plus à gauche est identique ; je regarde donc le chiffre suivant. Comme 7 C c’est plus grand que 5 C, je peux dire que 6732,35 est plus grand que 6548,23 et écrire 6732,35 > 6548,23. 256 732,568 … 256 738,3 Dans cet exemple, les cinq chiffres le plus à gauche sont identiques ; je regarde donc le chiffre suivant. Comme 2 U c’est plus petit que 8 U, je peux dire que 256 732,568 est plus petit que 256 738,3 et écrire 256 732,568 < 256 738,3.

Si les deux parties entières ont autant de chiffres et que ceux-ci sont identiques dans les deux parties, je regarde alors la partie décimale. ●●

Les deux parties décimales contiennent le même nombre de chiffres. Exemples

26 732,54 … 26 732,35 54 centièmes c’est plus grand que 35 centièmes → Je peux donc dire que 26 732,54 est plus grand que 26 732,35 et écrire 26 732,54 > 26 732,35.

14


●●

Les deux parties décimales ne contiennent pas le même nombre de chiffres.

i nfo 0,45 se lit 23 000 se lit

45 centièmes ↓   ↓ nombre entité numérique ↑   ↑ 23 mille

1

Exemples

26 732,4 … 26 732,35 1. J e vais d’abord m’arranger pour que les parties après la virgule dans les deux nombres parlent de la même entité numérique (je prends toujours en considération la plus petite entité numérique). 2. D  ans le premier nombre, j’ai 4 dixièmes et dans le deuxième 35 centièmes. Je vais donc transformer les 4 dixièmes en un certain nombre de centièmes. Voici 1 unité Voici 1 dixième Voici 1 centième Voici 4 dixièmes

Dans un dixième, je peux mettre 10 centièmes. Dans 4 dixièmes, je peux donc mettre 40 centièmes. 26 732,4 peut donc s’écrire aussi sous la forme 26 732,40. 3. J e vais donc comparer 26 732,40 et 26 732,35. 40 centièmes c’est plus grand que 35 centièmes → Je peux donc dire que 26 732,40 est plus grand que 26 732,35 et écrire 26 732,40 > 26 732,35

15


Additions et soustractions jusque 20 ●●

Additions 10 1+9=9+1 2+8=8+2 3+7=7+3 4+6=6+4 5+5

1

11 2+9=9+2 3+8=8+3 4+7=7+4 5+6=6+5

15 6+9=9+6 7+8=8+7 ●●

12 3+9=9+3 4+8=8+4 5+7=7+5 6+6

16 7+9=9+7 8+8

17 8+9=9+8

14 5+9=9+5 6+8=8+6 7+7 18 9+9

Soustractions 10 19 – 9 18 – 8 17 – 7 16 – 6 15 – 5 14 – 4 13 – 3 12 – 2 11 – 1 10 – 0

9 18 – 9 17 – 8 16 – 7 15 – 6 14 – 5 13 – 4 12 – 3 11 – 2

8 17 – 9 16 – 8 15 – 7 14 – 6 13 – 5 12 – 4 11 – 3

7 16 – 9 15 – 8 14 – 7 13 – 6 12 – 5 11 – 4

6 15 – 9 14 – 8 13 – 7 12 – 6 11 – 5

Tables de multiplication Il existe deux sortes de tables. Exemples ● La table de multiplication par …

Exemple : la table de multiplication par 6 6x 0 = 6x 1 = 6x 2 = 6x 3 = 6x 4 = 6x 5 = … ➔ je multiplie toujours par 6 ● La table des multiples de …

16

13 4+9=9+4 5+8=8+5 6+7=7+6

Exemple : la table des multiples de 6 0x 6 = 1x 6 = 2x 6 = 3x 6 = 4x 6 = 5x 6 = … ➔ c’est toujours 6 que je multiplie

5 14 – 9 13 – 8 12 – 7 11 – 6

4 13 – 9 12 – 8 11 – 7

3 12 – 9 11 – 8

2 11 – 9


Je retiens Pour retrouver le résultat d’une opération, je connais différentes démarches. Voici ce que cela donne pour la table des multiples de 6. 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

= = = = = = = = = = =

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

1

● En doublant le résultat de 1x 6, je trouve ➔ 2x 6 = 12

Je peux procéder de même pour 4x 6 et 8x 6 ➔ 4x 6 = 2x (2x 6) = 2x 12 = 24 ➔ 8x 6 = 2x (4x 6) = 2x 24 = 48 ● Je sais que 10x 6 = 60. En divisant ce résultat par 2, je trouve 5x 6

➔ (10x 6) : 2 = 60 : 2 = 30 ● Pour connaître le résultat de 3x 6, je peux additionner le résultat de 1x 6

et celui de 2x 6 ou inversement ➔ 6 + 12 = 18 ou 12 + 6 = 18 ● Je sais que 3x 6 = 18. En doublant ce résultat, je trouve 6x 6

➔ 2x (3x 6) = 2x 18 = 36 Dans la table de 6, les écarts étant toujours identiques (+6), je peux aussi connaître le résultat de 6x 6 en ajoutant 6 au résultat de 5x 6 ➔ 30 + 6 = 36 ● Pour connaître le résultat de 7x 6, je peux additionner

– le résultat de 2x 6 (= 12) à celui de 5x 6 (=30) ou inversement ➔ 12 + 30 = 30 + 12 = 42 – le résultat de 3x 6 (= 18) à celui de 4x 6 (= 24) ou inversement ➔ 18 + 24 = 24 + 18 = 42 – le résultat de 1x 6 (= 6) à celui de 6x 6 (= 36) ou inversement ➔ 6 + 36 = 36 + 6 = 42 ● Pour connaître le résultat de 9x 6, je peux enlever le résultat de 1x 6 au résultat de 10x 6

➔ 60 – 6 = 54. Je peux aussi multiplier par 3 le résultat de 3x 6 ➔ 3x (3x 6) = 3x 18 = 3x (10 + 8) = 30 + 24 = 54 17


En observant le tableau de Pythagore, je constate qu’il est toujours possible de retourner une opération multiplicative ce qui me permet de retrouver facilement le résultat d’une opération en cas de panne. 6 1 2 3 4 5 8 7 9 10 1x 6 1x 7 1x 8 1x 9 1x 10 1 1x 1x 2 1x 3 1x 4 1x 5 2x 6 2x 7 2x 8 2x 9 2x 10 2 2x1 2x 2 2x 3 2x 4 2x 5 1

3 4 5 6

3x 3x 2 3x 3 1

3x 4

3x 5

3x 6

3x 7

3x 8

3x 9

3x 10

4x 4x 2 4x 3 1

4x 4

4x 5

4x 6

4x 7

4x 8

4x 9

4x 10

5x 5x 2 5x 3 1

5x 4

5x 5

5x 6

5x 7

5x 8

5x 9

5x 10

6x 6x 2 6x 3 1

6x 4

6x 5

6x 6

6x 7

6x 8

6x 9

6x 10

7x 7x 2 7x 3 1

7x 4

7x 5

7x 6

7x 7

7x 8

7x 9

7x 10

8x 8x 2 8x 3 1

8x 4

8x 5

8x 6

8x 7

8x 8

8x 9

8x 10

9x 9x 2 9x 3 1

9x 4

9x 5

9x 6

9x 7

9x 8

9x 9

9x 10

9

10x 10

7

8

9 10x 10x

1

10

18

2

10x

3

10x

4

10x

5

10x

6

10x

7

10x

8

10x


Je retiens 10x 10x 10x 10x 10x 10x 10x 10x 10x

1 2 3 4 5 6 7 8 9

ou ou ou ou ou ou ou ou ou

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x

10 10 10 10 10 10 10 10 10

= = = = = = = = =

10 20 30 40 50 60 70 80 90

1

3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x

2 2 2 2 2 2 2

ou ou ou ou ou ou ou

2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x

3 4 5 6 7 8 9

= = = = = = =

 6  8 10 12 14 16 18

4x 5x 6x 7x 8x 9x

6x 7x 8x 9x

5 5 5 5

ou ou ou ou

5x 5x 5x 5x

6 7 8 9

= = = =

30 35 40 45

7x 6 ou 6x 7 = 42 8x 6 ou 6x 8 = 48 9x 6 ou 6x 9 = 54

9x 8 ou 8x 9 = 72

3 3 3 3 3 3

ou ou ou ou ou ou

3x 3x 3x 3x 3x 3x

4 5 6 7 8 9

= = = = = =

12 15 18 21 24 27

5x 6x 7x 8x 9x

4 4 4 4 4

ou ou ou ou ou

4x 4x 4x 4x 4x

5 6 7 8 9

= = = = =

20 24 28 32 36

8x 7 ou 7x 8 = 56 9x 7 ou 7x 9 = 63

On dit que « 0 » est absorbant dans la multiplication car le résultat d’opérations comme celles ci-dessous est toujours « 0 ». 0x 2, 0x 25, 0x 359, 0x …, 9x 0, 35x 0, 964x 0, …x 0

19


En observant le tableau de Pythagore, je constate encore que certains produits forment des carrés.

Je retiens 1x

1

➔ 1x 1 = 1 ➔ 2x 2 = 4

2x 2

3x 3

➔ 3x 3 = 9 4x 4

➔ 4x 4 = 16 5x 5

➔ 5x 5 = 25 6x 6

➔ 6x 6 = 36 7x 7

➔ 7x 7 = 49 8x 8

➔ 8x 8 = 64 9x 9

➔ 9x 9 = 81

10x

10x 10 = 100 ➔

20

10


Dessin de solides sur papier pointé Voici comment je peux procéder pour dessiner ce solide. Je dessine un premier cube. Je Je dessine les cubes jaune et rouge commence par exemple par le cube vert. situés à côté du cube vert.

Je dessine les deux cubes qui sont devant le cube rouge.

1

Je dessine le cube au-dessus du cube vert.

Je dessine les deux cubes au-dessus du Je colorie les faces suivant le code. cube rouge.

Je n’oublie pas d’effacer les arêtes non visibles.

21


Développement du cube et du parallélépipède rectangle Il existe 11 manières d’assembler 6 faces carrées pour obtenir le développement d’un cube.

1

Pour obtenir le développement d’un parallélépipède rectangle (qu’il soit à bases carrées ou non carrées), il existe de nombreuses manières d’assembler les faces. En voici quelques-unes. Cube

Parallélépipède rectangle à bases non carrées

à bases carrées

Les 2 faces de même couleur sont parallèles.

22


Parallélépipède rectangle à bases non carrées

Cube

à bases carrées

1

        

23


Unités de mesure, objets de référence et instruments de mesure 1

Je retiens Mesurer une grandeur (la longueur d’une pièce, la hauteur d’une armoire, …), c’est chercher à exprimer le nombre de fois que cette grandeur contient une grandeur de référence. Généralement, cette grandeur de référence est une unité conventionnelle de mesure (l, kg, m…) qui peut être concrétisée par un objet appelé « étalon ». L’étalon est donc la représentation matérielle d’une unité de mesure : la bouteille d’un litre, une latte en bois d’1 m…

i nfo Dans la vie de tous les jours, les mesures qui se déterminent avec un étalon sont bien rares. On a plutôt recours aux instruments de mesure.

Pour les unités de mesure que je connais jusqu’à présent, voici quelques objets qui les concrétisent (parfois de manière précise, parfois de manière approximative) ainsi que les instruments qui les utilisent.

24


millimètre

Pour ces unités de mesure de longueur, kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre

gramme décigramme centigramme milligramme

décagramme

hectogramme

Pour ces unités de mesure de masse, tonne 100 kilogrammes 10 kilogrammes kilogramme

20 longueurs d’une piscine olympique la longueur d’un terrain de foot une chaîne d’arpenteur la latte du tableau la hauteur de la paume de la main (adulte) la largeur d’un ongle l’épaisseur d’une vingtaine de pages de ton livre

Voici quelques objets qui les concrétisent

un bic à 4 couleurs, une noix, un sachet de sucre vanillé, un petit bloc de bouillon de viande un petit cube Cuisenaire une petite allumette un grain de riz un grain de semoule

un paquet de sucre, un paquet de farine ½ pomme

une voiture moyenne

Voici quelques objets qui les concrétisent

Voici différents compteurs de vitesse…

Compteur de voiture

Compteur en rue

(mesure exprimée en mg)

Balance de pharmacie

Compteur de vélo

Compteur sur un terrain de tennis

(mesure exprimée en cm et mm)

Latte d’écolier

Pèse-lettre

(mesure exprimée en g)

(mesure exprimée en m, cm et mm)

Voici des instruments qui les utilisent

(mesure exprimée en g)

Balance de cuisine

Mètre enrouleur, double-mètre pliant

Pèse-personne

(mesure exprimée en kg et hg)

(mesure exprimée en km et hm)

Compteur de vitesse

(mesure exprimée en kg)

Balance industrielle

Voici des instruments qui les utilisent

1

25


26

une cuve à eau (à la ferme) un grand sac poubelle un grand seau de nettoyage une grande boîte de lait ½ gobelet en plastique une petite tasse de café une cuillère à soupe un petit pot de lait en plastique un bouchon de bouteille une petite cartouche d’encre

Voici quelques objets qui les concrétisent Seau gradué

(mesure exprimée en l)

Bol / pot gradué

(mesure exprimée en ml)

Voici des instruments qui les utilisent

Pour ces unités de mesure de temps, année mois semaine jour heure minute seconde 1/10 seconde 1/100 seconde

la durée entre 2 levers ou 2 couchers de soleil la durée d’un CD de musique contemporaine la durée pour cuire 1 œuf sur le plat un claquement de doigt (musique)

Voici quelques objets qui les concrétisent la durée entre deux anniversaires

Horloge / montre

(mesure exprimée en heures, minutes et secondes)

Chronomètre

Seringue graduées

(mesure exprimée en ml)

(mesure exprimée en minutes, secondes, 1/10, 1/100 et 1/1000 de secondes)

Voici des instruments qui les utilisent

Dans la vie courante, on n’utilise pas le kl mais bien le mètre cube (m³). 1 m³ d’eau représente 1000 litres d’eau, c’est la capacité d’un cube d’1 mètre d’arête.

millilitre

centilitre

décilitre

Pour ces unités de mesure de capacité, kilolitre / m3 hectolitre décalitre Litre

1


Lecture de tableaux et de graphiques ●●

Voici un exemple de graphique qui représente les notes en formation mathématique d’un élève à chaque mois de l’année scolaire.

Moyennes mensuelles en formation mathématique

Pour présenter des informations, on peut utiliser des graphiques ou des tableaux.

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7

1

Je remarque que : 1. les mois de l’année sont indiqués sur l’axe horizontal ; 2. les notes en formation mathématique sont indiquées sur l’axe vertical ; 3. pour chaque mois, les notes en formation mathématique sont indiquées par un point ; 4. pour former le graphique, les notes en formation mathématique sont reliées entre sept. oct. nov. déc. janv. fév. mars avril mai juin elles par une ligne. Mois de l’année

●●

Pour connaître le mois où l’élève a obtenu la meilleure note, voici comment je peux procéder. 1. Je recherche le point le plus élevé dans le graphique. 2. Je descends à la verticale pour aller voir le nom du mois sur l’axe horizontal : il s’agit ici du mois d’avril. 3. Si je veux connaître la valeur de cette note en formation mathématique, je pars à l’horizontale du point de départ et je vais lire ce qui est indiqué sur l’axe vertical.

●●

Pour connaître le(s) mois où l'élève a obtenu telle note, voici comment je peux procéder. 1. Je recherche sur l’axe vertical la note qui m’intéresse. Exemple : 12/20. 2. De là, je pars à l’horizontale vers la droite et je m’arrête chaque fois que je rencontre un point du graphique. 3. À chaque point où je m’arrête, je descends à la verticale sur l’axe horizontal pour y lire le nom du mois demandé. Dans l’exemple choisi, il s’agit du mois de novembre.

●●

Pour connaître la note obtenue tel mois, je procède dans l’autre sens. 1. Je recherche sur l’axe horizontal le mois qui m’intéresse. Exemple : juin. 2. Je pars à la verticale vers le haut et je m’arrête lorsque je rencontre un point du graphique.

27


3. D  e ce point, je repars horizontalement vers l’axe vertical pour y lire la valeur de la note demandée. Dans l’exemple choisi, la note est de 15/20. J’aurais pu aussi mettre les informations dans un tableau comme celui-ci :

●●

Sept. 9

Oct. 10

Nov. 12

Déc. 13

Janv. 13,5

Fév. 15

Mars 13

Avril 16

Mai 15,5

Juin 15

Pour lire un tel tableau, – Je peux rechercher le nom d’un mois dans la 1e ligne puis lire juste en dessous, sur la 2e ligne, la note obtenue. Exemple : en décembre, cet élève a obtenu une note de 13/20. – Je peux aussi rechercher la valeur d’une note dans la 2e ligne puis lire juste au-dessus, sur la 1e ligne, le nom du (ou des) mois au cours duquel (desquels) l’élève a obtenu cette note. Exemple : la note de 15/20 a été obtenue par cet élève en février et en juin.

1

Voici deux autres modèles de graphiques qui se lisent de la même manière.

●●

Nombres (en milliers)

Âges des hommes de moins de 90 ans, au Québec, 1995 350 300 250 200 150 100 50 0

7

17 27 37 47 57 67 77 87 âge

Source : Bureau de la statistique du Québec, 1995

Source : w ww.unic ef.o (reprodu ction auto rg/french/ sowc 99/imag ri à des fin es/pgrap s éducati sée h4.gif ves).

Dans le graphique suivant, des informations sont indiquées dans le graphique même : Division du travail par les hommes et les femmes en Afrique

Source : http ://www.fao.org/NOUVELLE/FACTFILE/IMG/ FF9718-f.jpg (reproduction autorisée pour fins éducatives) FAO : http ://www.fao.org/NOUVELLE/FACTFILE/ff9718-f.htm

28


●●

●●

On rencontre encore des graphiques circulaires Les informations peuvent être indiquées dans les portions du graphique ou à l’extérieur des portions. Dans cet exemple, 79 % des enfants sont scolarisés soit 495 millions d’enfants.

Enfants

du mon

de en d

évelopp em

ent

Source : Faits et c hiffres 1 Prospec 998, UN ts, The 1 ICE 996 Rev ision, Un F, New York ; Wo rl ited Nati ons, New d Population York, 19 97.

1

Voici deux autres modèles de tableau : 1. Ce premier tableau indique les distances en km séparant sept villes de France. Amiens 612 115 609 1080 148 855

Brest 813 10274 1495 597 891

Lille 680 1151 219 926

Lyon 471 463 534

Nice 934 559

Paris 709

Toulouse

Pour trouver la distance entre deux villes dans un tel tableau, –  Je recherche le nom des deux villes. – Je recherche le rectangle qui se trouve dans la colonne de la première ville et dans la ligne de la deuxième. Exemple : Il y a 148 km entre Amiens et Paris et 534 km entre Lyon et Toulouse. 2. V  oici un tableau qui représente, par jour d’ouverture, le nombre des entrées à une exposition. Fréquentation de l’exposition Jours Entrées 1 870 2 710 3 790 4 980 5 1090 6 1180 Total 5620

Pour lire un tel tableau, je cherche le jour qui m’intéresse dans la première colonne et je lis les informations proposées dans la deuxième colonne sur la même ligne. Exemple : Le 5e jour, l’exposition a été visitée par 1090 personnes.

29


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