16. Comment déterminer en pratique les asymptotes d’une fonction polynôme ou rationnelle ? A. Le graphique d’une fonction polynôme de degré strictement supérieur à 1 n’a jamais d’asymptote. Remarque Le graphique d’une fonction constante ou d’une fonction du premier degré est une droite, qui doit être considérée comme sa propre asymptote. B. Les fonctions rationnelles peuvent avoir trois types d’asymptotes. Asymptote verticale Le graphique d’une fonction rationnelle admet une asymptote verticale d’équation x = a si et seulement si le réel a est racine du dénominateur sans être racine du numérateur. Pour déterminer les asymptotes verticales et le comportement de la fonction à proximité de celles-ci, ainsi que les « points vides» (« trous ») du graphique d’une fonction rationnelle, on calcule la limite de cette fonction en chacun des réels qui annulent le dénominateur. Asymptote horizontale Le graphique d’une fonction rationnelle possède une asymptote horizontale si et seulement si le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur. La droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale au graphique d’une fonction si et seulement si le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. Asymptote oblique Le graphique d’une fonction rationnelle a une asymptote oblique si le degré du numérateur est supérieur d’une unité au degré du dénominateur. L’équation de l’asymptote oblique peut être déduite du quotient de la division euclidienne ou déterminée par les formules de Cauchy (théorème 4.10). y
Exemples a. Soit f ( x) = lim
x→ ± ∞
3 x2 − 7 x + 2 x2 − x − 6
3 x2 − 7 x + 2 x2 − x − 6
= lim
x→ ± ∞
; dom f = R \ {−2 , 3} .
3 x2 x2
=3
1 0
Le graphique de la fonction (fig. 43) a une asymptote horizontale AH ≡ y = 3 .
1
x
On a aussi AV1 ≡ x = −2 et AV2 ≡ x = 3 . b. Soit f ( x) =
−3 x
; dom f = R . x2 + 1 −3 x −3 x = lim lim 2 x→ ± ∞ x + 1 x→ ± ∞ x 2 −3 = lim =0 x→ ± ∞ x AH ≡ y = 0 (fig. 44)
fig. 43 y 1 0
1
x
fig. 44
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4. Limites et asymptotes