HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI TN THPT

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÃ ĐỀ 101, 102, 103, 104 - MATH VN WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021 MÃ ĐỀ 101 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình 3x < 2 là A. ( −∞;log3 2) .

B. ( log3 2; + ∞ ) .

4

Câu 2:

Nếu



4

f ( x ) dx = 3 và

1

A. −1.

Câu 3:

C. ( −∞;log2 3) .

D. ( log2 3; + ∞) .

4

 g ( x )dx = −2 thì

  f ( x ) − g ( x )dx bằng

1

1

B. −5 .

C. 5 .

D. 1.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −4;0 ) và bán kính bằng 3. Phương trình của ( S ) là: 2

2

B. ( x − 1) + ( y + 4 ) + z 2 = 9 .

2

2

D. ( x + 1) + ( y − 4 ) + z 2 = 3 .

A. ( x + 1) + ( y − 4 ) + z 2 = 9 .

C. ( x − 1) + ( y + 4 ) + z 2 = 3 .

Câu 4:

 x = 3 + 2t  B.  y = −1 + 4t .  z = 4 + 5t 

2

2

 x = 3 − 2t  C.  y = 1 + 4t .  z = 4 + 5t 

 x = 3 − 2t  D.  y = −1 + 4t .  z = 4 + 5t 

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 5.

B. 3 .

Câu 6:

2

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M ( 3; −1; 4 ) và có một vectơ chỉ

phương u = ( −2; 4;5 ) . Phương trình của d là:  x = −2 + 3t  A.  y = 4 − t .  z = 5 + 4t 

Câu 5:

2

C. 2 .

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = −2 x4 + 4 x2 −1.

B. y = − x3 + 3 x − 1 .

C. y = 2 x4 − 4 x2 − 1 .

D. y = x3 − 3x −1 .

D. 4 .

Câu 7:

Đồ thị của hàm số y = − x 4 + 4 x 2 − 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng A. 0 .

Câu 8:

D. −3 .

C. 1 .

Với n là số nguyên dương bất kì, n ≥ 4, công thức nào dưới đây đúng?

A. An4 =

Câu 9:

B. 3 .

( n − 4 )! . n!

B. An4 =

4! . ( n − 4 )!

Phần thực của số phức z = 5 − 2i bằng A. 5 .

B. 2 .

C. An4 =

n! .

4!( n − 4 )!

C. −5 .

D. An4 =

n! . ( n − 4 )!

D. −2 .

5 2

Câu 10: Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số y = x là A. y′ =

2 72 x .

7

B. y′ =

2 32 x .

5

C. y′ =

5 32 x .

2

D. y′ =

5 − 32 x .

2

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 4 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

 f ( x ) dx = 2 x + C .

C.



f ( x ) dx =

x3 + 4x + C .

3

B.

 f ( x ) dx = x

D.

 f ( x ) dx = x

2

3

+ 4x + C . + 4x + C .

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −2;3;5 ) . Tọa độ vectơ OA là A. ( −2;3;5 ) .

B. ( 2; −3;5) .

C. ( −2; −3;5) .

D. ( 2; −3; −5) .

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. −1 .

B. 5 .

C. −3 .

D. 1.

Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 0;1) .

B. ( −∞; 0 ) .

Câu 15: Nghiệm của phương trình log3 ( 5 x ) = 2 là:

C. ( 0; +∞ ) .

D. ( −1;1) .

8 A. x = .

5 3

Câu 16: Nếu

B. x = 9 .

9 C. x = .

5

D. x = 8 .

C. 3 .

D. 4 .

C. 125a3 .

D. 25a3 .

C. ℝ \ {0} .

D. ( 0; +∞ ) .

3



f ( x ) dx = 4 thì  3 f ( x ) dx bằng

0

0

A. 36 .

B. 12 .

Câu 17: Thể tích của khối lập phương cạnh 5a bằng A. 5a3 .

B. a3 .

Câu 18: Tập xác định của hàm số y = 9 x là B. [ 0; +∞ ) .

A. ℝ .

Câu 19: Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?

A. S = 16π R 2 .

B. y = 4π R 2 .

Câu 20: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 1 .

4 D. S = π R3 .

3

C. S = π R 2 .

2x −1 là đường thẳng có phương trình: x −1

B. x = −1 .

C. x = 2 .

D. x =

1 C. − .

4

D. −4 .

1 .

2

Câu 21: Cho a > 0 và a ≠ 1 , khi đó log a 4 a bằng A. 4 .

B.

1 .

4

Câu 22: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 5a 2 và chiều cao h = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 5 5 5 B. a 3 .

C. 5a 3 .

D. a 3 .

A. a 3 .

6 2 3 Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) :3 x − y + 2 z − 1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ?

A. n1 = ( −3;1;2 ) .

B. n2 = ( 3; −1;2 ) .

C. n3 = ( 3;1;2 ) .

D. n4 = ( 3;1; −2 ) .

Câu 24: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 108π .

B. 36π .

C. 18π .

D. 54π .

Câu 25: Cho hai số phức z = 4 + 2i và w = 3 − 4i . Số phức z + w bằng A. 1 + 6i .

B. 7 − 2i .

C. 7 + 2i .

D. −1 − 6i .

Câu 26: Cho cấp số nhân (un ) với u1 = 3 và u2 = 9 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. −6 .

B.

1 .

3

C. 3 .

D. 6 .

Câu 27: Cho hàm số f ( x) = e x + 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? x−2

A.

 f ( x)dx = e

C.

 f ( x)dx = e

x

+C .

+C.

B.

 f ( x)dx = e

D.

 f ( x)dx = e

x

+ 2x + C .

x

− 2x + C .

Câu 28: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M ( −3; 4) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A. z2 = 3 + 4i .

Câu 29: Biết hàm số y =

B. z3 = −3 + 4i .

C. z4 = −3 − 4i .

D. z1 = 3 − 4i .

x+a ( a là số thực cho trước, a ≠ 1 ) có đồ thị như trong hình bên. x +1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y ' < 0, ∀x ≠ −1 .

B. y ' > 0, ∀x ≠ −1 .

C. y ' < 0, ∀x ∈ℝ .

D. y ' > 0, ∀x ∈ℝ .

Câu 30: Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng A.

7 .

44

B.

2 .

7

C.

1 .

22

D.

5 .

12

Câu 31: Trên đoạn [ 0;3] , hàm số y = − x3 + 3x đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 0 .

B. x = 3 .

C. x = 1 .

D. x = 2 .

Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1;3; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 4 z + 1 = 0 . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là:

A.

x +1 y − 3 z − 2 = = .

1 −2 1

B.

x −1 y + 3 z + 2 = = .

1 −2 1

C.

x −1 y + 3 z + 2 = = .

1 −2 4

D.

x +1 y − 3 z − 2 = = .

1 −2 4

Câu 33: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = 2 a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

A.

2a .

B. 2a .

C. a .

D. 2 2a .

Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;0;0 ) và B ( 4;1; 2 ) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. 3 x + y + 2 z − 17 = 0 .

B. 3 x + y + 2 z − 3 = 0 .

C. 5 x + y + 2 z − 5 = 0 .

D. 5 x + y + 2 z − 25 = 0 .

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn iz = 5 + 4i . Số phức liên hợp của z là A. z = 4 + 5i .

B. z = 4 − 5i .

C. z = −4 + 5i .

D. z = −4 − 5i .

Câu 36: Cho hình lắng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng nhau ( tham khảo hình bên. Góc giữa hai đường thẳng AA′ và BC′ là

A

C

B

A'

C'

B' A. 30o .

B. 90o .

C. 45o .

D. 60o .

Câu 37: Với mọi a, b thỏa mãn log 2 a 3 + log 2 b = 6 , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a3b = 64 .

2

Câu 38: Nếu



B. a3b = 36 .

C. a3 + b = 64 .

D. a3 + b = 64 .

C. 10.

D. 12.

2

f ( x ) dx = 5 thì

0

A. 8.

 2 f ( x ) − 1 dx bằng 0

B. 9.

2 x + 5 khi x ≥ 1 Câu 39: Cho hàm số f ( x ) =  2 . Giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn 3 x + 4 khi x < 1 F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F ( −1) + 2 F ( 2 ) bằng A. 27.

B. 29.

C. 12.

(

2

D. 33.

)

Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 3x − 9 x log3 ( x + 25 ) − 3 ≤ 0 A. 27.

B. Vô số.

C. 26 .

D. 25 .

Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 1 là

A. 9 .

B. 3 .

C. 6 .

D. 7 .

Câu 42: Cắt hình nón ( N ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 600 ta thu được thiết diện là một tam giác đều cạnh 4a . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng :

A. 8 7π a 2 .

B. 4 13π a 2 .

C. 8 13π a 2 .

D. 4 7π a 2 .

Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 = 0 (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z0 = 7?

A. 2 .

B. 3 .

C. 1.

D. 4 .

Câu 44: Xét các số phức z , w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw − 6 − 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng

A.

221 .

5

B.

C. 3 .

5.

D.

29 .

5

x y −1 z − 2 = = và mặt phẳng 1 1 −1 ( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0 . Hình chiếu vuông góc của d trên ( P ) là đường thẳng có phương trình:

Câu 45: Trong không gian

Oxyz , cho đường thẳng

x y +1 z + 2 . = = 2 1 −4 x y −1 z − 2 C. = = .

2 1 −4

x = 3 x D. = 3

A.

Câu 46: Cho hàm số

d:

B.

f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c

với

y +1 = −2 y −1 = −2

z+2 .

1 z−2 .

1

là các số thực. Biết hàm số

a , b, c

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị là là −3 và 6 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

A. 2ln 3.

f ( x) và y = 1 bằng g ( x) + 6

B. ln 3.

C. ln18.

D. 2ln 2.

2 1  Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ;3  thỏa mãn 273 x + xy = (1 + xy ) 279 x . 3  A. 27 .

B. 9 .

C. 11.

D. 12 .

Câu 48: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, BD = 2 a , góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( ABCD ) bằng 300 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. 6 3a3 .

B.

2 3 3 a .

9

3 C. 2 3a .

D.

2 3 3 a .

3

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; −3; −4), B ( −2;1; 2). Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy ) sao cho MN = 2. Giá trị lớn nhất của AM − BN bằng

A. 3 5 .

B.

C. 13 .

61 .

(

D.

53 .

)

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 7 ) x 2 − 9 , ∀x ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên

(

)

dương của tham số m để hàm số g ( x ) = f x3 + 5 x + m có ít nhất 3 điểm cực trị?

A. 6.

B. 7.

C. 5.

HẾ T

D. 4.

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2021 MÃ ĐỀ 101 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

BẢNG ĐÁP ÁN VÀ GIẢI CHI TIẾT 1 A 26 C

2 C 27 B

Câu 1:

3 B 28 B

4 D 29 B

5 D 30 A

6 A 31 C

7 D 32 D

8 D 33 B

9 A 34 B

10 C 35 A

11 C 36 C

12 A 37 A

13 C 38 A

14 A 39 A

15 C 40 C

16 B 41 D

17 C 42 D

18 A 43 B

19 B 44 D

20 A 45 C

21 B 46 D

22 D 47 C

23 B 48 D

24 A 49 D

25 B 50 A

Tập nghiệm của bất phương trình 3x < 2 là

A. ( −∞;log3 2) .

B. ( log3 2; + ∞ ) .

C. ( −∞;log2 3) .

D. ( log2 3; + ∞ ) .

Lời giải Chọn A 3x < 2 ⇔ x < log 3 2.

Câu 2:

Nếu

4

4

4

1

1

1

 f ( x ) dx = 3 và  g ( x )dx = −2 thì   f ( x ) − g ( x )dx bằng

A. −1.

C. 5 .

Lời giải

B. −5 .

D. 1.

Chọn C 4

4

4

1

1

1

  f ( x ) − g ( x )dx =  f ( x )dx −  g ( x )dx = 3 − ( −2 ) = 5 .

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −4;0 ) và bán kính bằng 3. Phương trình của ( S ) là: 2

2

B. ( x − 1) + ( y + 4 ) + z 2 = 9 .

2

2

D. ( x + 1) + ( y − 4 ) + z 2 = 3 .

A. ( x + 1) + ( y − 4 ) + z 2 = 9 .

C. ( x − 1) + ( y + 4 ) + z 2 = 3 .

2

2

2

2

Lời giải Chọn B 2

2

Mặt cầu có tâm I (1; −4;0 ) và bán kính bằng 3 là ( x − 1) + ( y + 4 ) + z 2 = 9 .

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M ( 3; −1; 4 ) và có một vectơ chỉ

phương u = ( −2; 4;5) . Phương trình của d là:  x = −2 + 3t  A.  y = 4 − t .  z = 5 + 4t 

 x = 3 + 2t  B.  y = −1 + 4t .  z = 4 + 5t 

 x = 3 − 2t  C.  y = 1 + 4t .  z = 4 + 5t 

Lời giải Chọn D

 x = 3 − 2t  D.  y = −1 + 4t .  z = 4 + 5t 

 x = 3 − 2t

 Đường thẳng d đi qua M ( 3; −1; 4 ) và có một vectơ chỉ phương u = ( −2; 4;5) là:  y = −1 + 4t .  z = 4 + 5t 

Câu 5:

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 5.

B. 3 .

C. 2 .

Lời giải

D. 4 .

Chọn D Ta thấy f ′ ( x ) = 0 có 4 nghiệm là x = −2; x = −1; x = 1; x = 4 và f ′ ( x ) đổi dấu khi qua các nghiệm đó nên hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Câu 6:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = −2x4 + 4x2 −1.

B. y = − x3 + 3x − 1 .

C. y = 2 x4 − 4 x2 − 1 .

D. y = x3 − 3x −1 .

Lời giải

Chọn A Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng nên loại đáp án B và D. Từ đồ thị hàm số ta thấy lim y = −∞ nên loại đáp án C. x →+∞

Câu 7:

Đồ thị của hàm số y = − x 4 + 4 x 2 − 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng A. 0 .

B. 3 .

C. 1.

Lời giải

D. −3 .

Chọn D Gọi M ( xM ; yM ) là giao điểm của đồ thị hàm số y = − x 4 + 4 x 2 − 3 và trục Oy Ta có xM = 0  yM = −3 .

Câu 8:

Với n là số nguyên dương bất kì, n ≥ 4, công thức nào dưới đây đúng?

A. An4 =

( n − 4 )! . n!

B. An4 =

4! . ( n − 4 )!

C. An4 = Lời giải

n! .

4!( n − 4 )!

D. An4 =

n! . ( n − 4 )!

Chọn D Câu 9:

Phần thực của số phức z = 5 − 2i bằng A. 5 .

B. 2 .

C. −5 .

Lời giải

D. −2 .

Chọn A Phần thực của z = 5 − 2i là 5 .

5

Câu 10: Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số y = x 2 là A. y′ =

2 72 x .

7

B. y′ =

2 32 x .

5

C. y′ =

5 32 x .

2

D. y′ =

5 − 32 x .

2

Lời giải Chọn C  5 ′ 5 5 −1 5 3 Ta có trên khoảng ( 0; +∞ ) y ′ =  x 2  = x 2 = x 2 .

2   2

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 4 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

 f ( x ) dx = 2 x + C .

C.



f ( x ) dx =

x3 + 4x + C .

3

B.

 f ( x ) dx = x

D.

 f ( x ) dx = x

2

3

+ 4x + C . + 4x + C .

Lời giải Chọn C



f ( x ) dx =  ( x 2 + 4 )dx =

x3 + 4x + C .

3

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −2;3;5 ) . Tọa độ vectơ OA là A. ( −2;3;5 ) .

B. ( 2; −3;5 ) .

C. ( −2; −3;5 ) .

D. ( 2; −3; −5 ) .

Lời giải Chọn A

OA = ( x A − xO ; A y A − yO ; z A − zO )  OA = ( −2;3;5 ) .

Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. −1 .

B. 5 .

Chọn C

C. −3 .

Lời giải

D. 1.

Dựa vào BBT ta có giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng −3 .

Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 0;1) .

B. ( −∞; 0 ) .

C. ( 0; +∞ ) .

D. ( −1;1) .

Lời giải Chọn A Câu 15: Nghiệm của phương trình log3 ( 5 x ) = 2 là:

8 A. x = .

5

B. x = 9 .

9 C. x = .

5 Lời giải

D. x = 8 .

Chọn C

log 3 ( 5 x ) = 2 ⇔ 5 x = 32 ⇔ x = 3

Câu 16: Nếu

9 .

5

3



f ( x ) dx = 4 thì  3 f ( x ) dx bằng

0

0

A. 36 .

B. 12 .

C. 3 .

Lời giải

D. 4 .

Chọn B 3

3

0

0

 3 f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx = 3.4 = 12 .

Câu 17: Thể tích của khối lập phương cạnh 5a bằng A. 5a3 .

B. a3 .

C. 125a3 .

Lời giải

D. 25a3 .

Chọn C 3

Thể tích của khối lập phương cạnh 5a là V = ( 5a ) = 125a 3 .

Câu 18: Tập xác định của hàm số y = 9 x là A. ℝ .

B. [ 0; +∞ ) .

C. ℝ \ {0} .

D. ( 0; +∞ ) .

Lời giải Chọn A Hàm số mũ y = a x , với a dương và khác 1 luôn có tập xác định là ℝ .

Câu 19: Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?

A. S = 16π R 2 .

C. S = π R 2 .

B. y = 4π R 2 .

4 D. S = π R 3 .

3

Lời giải Chọn B Ta có S = 4π R 2 .

Câu 20: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 1 .

2x −1 là đường thẳng có phương trình: x −1

B. x = − 1 .

C. x = 2 .

D. x =

1 .

2

Lời giải Chọn A Ta có lim+ x →1

2x −1 2x −1 = +∞ nên đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng là x = 1 . x −1 x −1

Câu 21: Cho a > 0 và a ≠ 1 , khi đó log a 4 a bằng A. 4 .

B.

1 .

4

1 C. − .

4

D. −4 .

Lời giải Chọn B 1

Do a > 0 và a ≠ 1 nên log a 4 a = log a a 4 =

1 1 loga a = .

4 4

Câu 22: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 5a 2 và chiều cao h = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 5 5 5 A. a 3 .

B. a 3 .

C. 5a 3 .

D. a 3 .

6 2 3 Lời giải Chọn D 1 1 5 Thể tích của khối chóp đã cho V = . B.h = .5a 2 .a = a 3 .

3 3 3 Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) :3 x − y + 2 z − 1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ?

A. n1 = ( −3;1;2 ) .

B. n2 = ( 3; −1;2 ) .

C. n3 = ( 3;1;2 ) .

D. n4 = ( 3;1; −2 ) .

Lời giải Chọn B

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) :3 x − y + 2 z − 1 = 0 là n2 = ( 3; −1;2 ) .

Câu 24: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 108π .

B. 36π .

C. 18π .

D. 54π .

Lời giải Chọn A Thể tích của khối trụ đã cho V = π r 2 h = π .62.3 = 108π .

Câu 25: Cho hai số phức z = 4 + 2i và w = 3 − 4i . Số phức z + w bằng A. 1 + 6i .

B. 7 − 2i .

C. 7 + 2i .

Lời giải

D. −1 − 6i .

Chọn B Ta có: z + w = 4 + 2i + 3 − 4i = 7 − 2i .

Câu 26: Cho cấp số nhân (un ) với u1 = 3 và u2 = 9 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. −6 .

B.

1 .

3

C. 3 .

D. 6 .

Lời giải Chọn C Công bội q =

u2 =3. u1

Câu 27: Cho hàm số f ( x) = e x + 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? x −2

A.

 f ( x)dx = e

C.

 f ( x)dx = e

x

+C.

+C.

B.

 f ( x ) dx = e

D.

 f ( x)dx = e

x

+ 2x + C .

x

− 2x + C .

Lời giải Chọn B Ta có:

 f ( x)dx =  (e

x

+2)dx = e x + 2 x + C .

Câu 28: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M (−3; 4) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A. z2 = 3 + 4i .

C. z4 = −3 − 4i .

B. z3 = −3 + 4i .

D. z1 = 3 − 4i .

Lời giải Chọn B Ta có: M ( −3; 4) là điểm biểu diễn của số phức −3 + 4i .

Câu 29: Biết hàm số y =

x+a ( a là số thực cho trước, a ≠ 1 ) có đồ thị như trong hình bên. x +1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y ' < 0, ∀x ≠ −1 .

B. y ' > 0, ∀x ≠ −1 .

C. y ' < 0, ∀x ∈ ℝ .

D. y ' > 0, ∀x ∈ ℝ .

Lời giải Chọn B Tập xác định: D = ℝ \ {−1} .

Dựa vào đồ thị, ta có: Hàm số y =

x+a đồng biến trên ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) x +1

 y ' > 0, ∀x ≠ −1 .

Câu 30: Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng A.

7 .

44

B.

2 .

7

C.

1 .

22

D.

5 .

12

Lời giải Chọn A Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) = C123 .

Biến cố “lấy được ba quả màu xanh” có số phần tử: n ( A) = C73 Xác suất cần tìm là: P ( A ) =

n ( A) 7 . = n ( Ω ) 44

Câu 31: Trên đoạn [ 0;3] , hàm số y = − x3 + 3x đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 0 .

B. x = 3 .

C. x = 1 .

Lời giải

D. x = 2 .

Chọn C Ta có: y = f ( x ) = − x3 + 3 x  f ′( x) = −3 x 2 + 3 x =1 . y′ = 0 ⇔   x = −1 ∉ [ 0;3] Ta có f ( 0 ) = 0; f (1) = 2; f ( 3) = −18 .

Vậy hàm số y = − x3 + 3 x đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = 1 .

Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1;3; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 4 z + 1 = 0 . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là:

A.

x +1 y − 3 z − 2 . = = −2 1 1

B.

x −1 y + 3 z + 2 . = = −2 1 1

C.

x −1 y + 3 z + 2 = = .

1 4 −2

D.

x +1 y − 3 z − 2 = = .

1 4 −2

Lời giải Chọn D Đường thẳng đi qua M ( −1;3; 2 ) và vuông góc với

( P)

có một véc tơ chỉ phương là

x +1 y − 3 z − 2 = = u = nP = (1; − 2; 4 ) . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .

1

−2

4

Câu 33: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

A.

2a .

Chọn B

B. 2a .

C. a .

Lời giải

D. 2 2a .

Ta có:

AB ⊥ BC    BC ⊥ ( SAB ) SA ⊥ BC 

Suy ra: d (C;( SAB)) = BC = AB = 2a .

Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;0;0 ) và B ( 4;1; 2 ) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. 3 x + y + 2 z − 17 = 0 .

B. 3 x + y + 2 z − 3 = 0 .

C. 5 x + y + 2 z − 5 = 0 .

D. 5 x + y + 2 z − 25 = 0 .

Lời giải

Chọn B

Ta có AB = ( 3;1; 2 )  n( P ) = ( 3;1; 2 ) .

Phương trình mặt phẳng đi qua 3 ( x − 1) + y + 2 z = 0 ⇔ 3x + y + 2 z − 3 = 0 .

A

và

vuông

góc

với

AB

là

Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn iz = 5 + 4i . Số phức liên hợp của z là A. z = 4 + 5i .

B. z = 4 − 5i .

C. z = −4 + 5i .

Lời giải

D. z = −4 − 5i .

Chọn A Ta có iz = 5 + 4i  z =

5 + 4i  z = 4 − 5i  z = 4 + 5i . i

Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng nhau ( tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AA′ và BC′ là

A

C

B

A'

C'

B'

A. 30o .

B. 90o .

C. 45o .

Lời giải

D. 60o .

Chọn C

A

C

B

A'

C'

B'

(

) (

)

′, BC ′ = B ′BC .

AA′, BC′ = BB Ta có

′BC = 45o .

Tam giác B′BC vuông cân tại B′ nên B Câu 37: Với mọi a, b thỏa mãn log 2 a 3 + log 2 b = 6 , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a3b = 64 .

B. a3b = 36 .

C. a3 + b = 64 .

Lời giải

D. a3 + b = 64 .

Chọn A

( )

Ta có: log 2 a3 + log 2 b = 6 ⇔ log 2 a3b = 6 ⇔ a 3b = 26 ⇔ a3b = 64 .

2

Câu 38: Nếu



2

f ( x ) dx = 5 thì

0

 2 f ( x ) − 1 dx bằng 0

A. 8.

B. 9.

C. 10.

Lời giải

D. 12.

Chọn A 2

2

2

0

0

0

 2 f ( x ) − 1 dx =  2 f ( x ) dx − 1dx = 8 . 2 x + 5 khi x ≥ 1 Câu 39: Cho hàm số f ( x ) =  2 . Giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn 3x + 4 khi x < 1

F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F ( −1) + 2 F ( 2 ) bằng A. 27.

B. 29.

C. 12.

Lời giải

Chọn A 2 2 x + 5 khi x ≥ 1  x + 5 x + C1 khi x ≥ 1 f ( x) =  2  F ( x) =  3 .  x + 4 x + C2 khi x < 1 3 x + 4 khi x < 1

D. 33.

2  x + 5 x + C1 khi x ≥ 1 Vì F ( 0 ) = 2  C2 = 2  F ( x ) =  3 .  x + 4 x + 2 khi x < 1

Hàm số liên tục trên ℝ ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) x →1

x →1

⇔ lim+ ( x + 5 x + C1 ) = lim− ( x + 4 x + 2 ) 2

3

x →1

x →1

⇔ 1 + 5 + C1 = 1 + 4 + 2 ⇔ C1 = 1 2  x + 5 x + 1 khi x ≥ 1 .  F ( x) =  3  x + 4 x + 2 khi x < 1

Vậy F ( −1) + 2 F ( 2 ) = −3 + 2.15 = 27 .

(

2

)

Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 3x − 9 x  log3 ( x + 25 ) − 3 ≤ 0 A. 27.

B. Vô số.

C. 26 .

Lời giải

D. 25 .

Chọn C Ta có điều kiện xác định của bất phương trình là x > −25 .

(

2

)

Đặt A( x) = 3x − 9 x  log 3 ( x + 25 ) − 3 , x > −25 .

2

3x − 9 x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 . log3 ( x + 25) − 3 = 0 ⇔ x = 2 .

Ta có bảng xét dấu A( x ) như sau

x = 2  x ∈ {−24; −23;...;0;2} (do x ∈ ℤ ).

Từ đó, A( x) ≤ 0 ⇔   −25 < x ≤ 0 Kết luận: có 26 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 1 là

A. 9 .

B. 3 .

C. 6 .

D. 7 .

Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số ta có

(1)  f ( x) = x1 và x1 < −1  f ( f ( x ) ) = 1 ⇔  f ( x) = 0 (2)  f ( x) = x2 và 1 < x2 < 2 (3) Dựa vào đồ thị, (1) có đúng 1 nghiệm, (2) và (3) mỗi phương trình có 3 nghiệm phân biệt và 7 nghiệm trên phân biệt nhau.

Câu 42: Cắt hình nón ( N ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 600 ta thu được thiết diện là một tam giác đều cạnh 4a . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng :

A. 8 7π a 2 .

B. 4 13π a 2 .

C. 8 13π a 2 .

D. 4 7π a 2 .

Lời giải Chọn D

Gọi I là tâm đáy nón. Ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SBA . = 600 .

Gọi M là trung điểm của AB. Suy ra SMI Do tam giác SAB đều cạnh 4a  SM =

4a 3 = 2a 3 .

2

Xét tam giác SIM vuông tại I ta có SI = 3a; IM = a 3 .

2

Xét ∆IMA vuông tại M ta có IA = IM 2 + MA2 = 3a 2 + ( 2a ) = a 7 .

Khi đó S xq = π rl = π a 7.4a = 4 7π a 2 .

Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z0 = 7?

A. 2 .

B. 3 .

C. 1.

Lời giải

D. 4 .

Chọn B ∆′ = (m + 1) 2 − m 2 = 2m + 1 .

1 ∆′ ≥ 0 ⇔ 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ − , phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó 2 z0 = 7 ⇔ z0 = ±7 .

+) Nếu

Thế z0 = 7 vào phương trình ta được: m 2 − 14m + 35 = 0 ⇔ m = 7 ± 14 (nhận).

Thế z0 = −7 vào phương trình ta được: m 2 + 14m + 63 = 0 , phương trình này vô nghiệm.

1 +) Nếu ∆′ < 0 ⇔ 2m + 1 < 0 ⇔ m < − , phương trình có 2 nghiệm phức z1 , z2 ∉ ℝ thỏa 2 2

z2 = z1 , z1 = z2 = 7 . Khi đó z1.z2 = z1 = m 2 = 7 2 hay m = 7 (loại) hoặc m = −7 (nhận).

Vậy tổng cộng có 3 giá trị của m là m = 7 ± 14 và m = −7 .

Câu 44: Xét các số phức z , w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw − 6 − 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng

A.

221 .

5

B.

C. 3 .

5.

D.

29 .

5

Lời giải Chọn D Ta có:

w = 2  iw = 2 z + iw ≤ z + iw = 3 P = z + iw − 6 − 8i ≥ −6 − 8i − z + iw = 10 − 3 = 7 .

Suy ra: Pmin

Vậy z − w =

1  k = 2  3 4  h = − 10 z= + i  z = k .iw, ( k ≥ 0 )     3 5 5 . = 7 khi    3 4 −6 − 8i = h. z + iw , ( h ≤ 0 )  z = + i w = 8 + 6 i  5 5 5 5   8 6 w = − i 5 5 

(

)

3 4 8 6  29 . + i − + i = 5 5 5 5  5

x y −1 z − 2 và mặt phẳng = = 1 1 −1 ( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0 . Hình chiếu vuông góc của d trên ( P ) là đường thẳng có phương trình:

Câu 45: Trong không gian

Oxyz , cho đường thẳng

d:

x y +1 z + 2 . = = 2 1 −4 x y −1 z − 2 C. = . = 2 1 −4

x = 3 x D. = 3 Lời giải

A.

B.

y +1 = −2 y −1 = −2

z+2 .

1 z−2 .

1

Chọn C Tọa độ giao điểm A của d và ( P ) thỏa mãn hệ phương trình:

x = 0  x y −1 z − 2 =  =  1 −1 ⇔  y = 1  A ( 0;1; 2 ) . 1 z = 2  x + 2 y + z − 4 = 0  Lấy điểm B (1; 2;1) ∈ d . Gọi H là hình chiếu của B trên ( P ) .

x = 1+ t   Phương trình BH :  y = 2 + 2t z = 1+ t  Do H = BH ∩ ( P ) nên tọa độ điểm H thỏa mãn hệ phương trình:

1  t = − 3  x = 1+ t x = 2  y = 2 + 2t   3   2 4 2    2 1 4  . ⇔  H ; ;  AH =  ; ; −   1 = + z t 4 3 3 3   3 3 3  y =  x + 2 y + z − 4 = 0  3  2 z = 3  Gọi d ′ là hình chiếu vuông góc của d trên ( P )  d ′ đi qua A và H

 d ′ có một vector chỉ phương là u = ( 2;1; − 4 ) .

Vậy phương trình đường thẳng d ′ là:

Câu 46: Cho hàm số

x y −1 z − 2 = = .

2 1 −4

f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c

vớ i

a , b, c

là các số thực. Biết hàm số

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị là là −3 và 6 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

A. 2ln 3.

Chọn D Ta có

f ( x) và y = 1 bằng g ( x) + 6

B. ln 3.

C. ln18.

Lời giải

D. 2ln 2.

f ′ ( x ) = 3x 2 + 2ax + b ; f ′′ ( x ) = 6 x + 2a ; f ′′′ ( x ) = 6 ;

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x )  g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + 6 .

Vì g ( x ) có hai giá trị cực trị là là −3 và 6 nên không giảm tổng quát, g ( x ) có hai điểm cực trị là x1, x2 và g ( x1 ) = −3 , g ( x1 ) = 6 .

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y =

f ( x) f ( x) =1 và y = 1 là g ( x) + 6 g ( x) + 6

⇔ f ( x) = g ( x) + 6 ⇔ f ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + 6 ⇔ f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + 6 = 0  x = x1 . ⇔ g′ ( x ) = 0 ⇔   x = x2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

 f ( x)  S =  − 1dx =  g ( x) + 6  x1   x2

 − g′ ( x )  x  g ( x ) + 6 dx =  1

x2

=

f ( x) và y = 1 là: g ( x) + 6

 f ( x) − g ( x) − 6  x  g ( x ) + 6 dx =  1

x2

 − f ′ ( x ) − f ′′ ( x ) − 6   dx  g ( x) + 6 x1  

x2

x2

 g′ ( x ) 

x2

x1



x1

  g ( x ) + 6 dx = ln g ( x ) + 6 

= ln12 − ln 3 = 2ln 2.

2 1  Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ;3  thỏa mãn 273 x + xy = (1 + xy ) 279 x . 3  A. 27 .

B. 9 .

C. 11.

D. 12 .

Lời giải Chọn C 1  Khi y ≤ 0, vì xy > −1 và x > nên ta có y > −3.

3

2 2 1  Với y = 0 , phương trình thành: 273 x −9 x − 1 = 0 vô nghiệm vì 273 x −9 x − 1 < 27 0 − 1 = 0, ∀x ∈  ;3  3 

Với y = −1, phương trình thành: 273 x

2

−10 x

− (1 − x) = 0 , có nghiệm vì g1 ( x) = 273 x

2

−10 x

− (1 − x) liên

2

− (1 − 2 x )

1  1 tục trên  ;3 và g1   .g1 ( 3) < 0 .

3   3 2

Với y = −2 , phương trình thành: 273 x −11x − (1 − 2 x) = 0 , có nghiệm vì g 2 ( x) = 273 x

1  1 liên tục trên  ;3 và g 2   .g 2 ( 3) < 0 . 3  3

−11x

1   Khi y ≥ 1, xét trên  ;3 , ta có 3  2

273 x + xy = (1 + xy )279 x ⇔ 3x 2 − 9 x = log 27 (1 + xy ) − xy log 27 (1 + xy ) + y = 0. x log 27 (1 + xy ) 1  + y trên  ;3 .

Xét hàm g ( x) = 3x − 9 − x 3  ⇔ 3x − 9 −

Ta có g '( x ) = 3 +

ln(1 + xy ) y 1 3 1  − > 3− 2 ≥ 3− > 0, ∀x ∈  ;3 .

2 x ln 27 x(1 + xy ) ln 27 3 x ln 3 ln 3 3 

1  1  Do đó, hàm g ( x) đồng biến trên  ;3 . Vì thế phương trình g ( x) = 0 có nghiệm trên  ;3  3  3  1 khi và chỉ khi g   g (3) < 0. Áp dụng bất đẳng thức ln(1 + u) < u với mọi u > 0 , ta có 3 g (3) = −

log 27 (1 + 3 y ) 3y +y>− + y > 0.

3 3ln 27

y 1  Do đó g   < 0 ⇔ − log 3  1 +  + y − 8 < 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 9 (do y là số nguyên dương). 3  3 Vậy y ∈ {−2; −1;1; 2;...;9} hay có 11 giá trị y thỏa đề.

Câu 48: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, BD = 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( ABCD ) bằng 300 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. 6 3a3 .

B.

2 3 3 a .

9

C. 2 3a3 .

D.

2 3 3 a .

3

Lời giải Chọn D

Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Vì BD ⊥ OA và BD ⊥ AA ' nên BD ⊥ ( A ' OA )  BD ⊥ OA ' Lại có ( A ' BD ) ∩ ( ABCD ) = BD . Do đó

A ' OA = 30 ( ( A ' BD ) , ( ABCD )) =

0

(Hình vẽ trên).

Vì tứ giác ABCD là hình vuông có BD = 2a nên OA = a và AB = AD = a 2 . a 3 Xét tam giác A ' AO vuông tại A có OA = a và A ' OA = 300 nên AA ' = OA.tan 300 = .

3

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật V = AB. AD.AA ' = a 2.a 2.

a 3 2 3 3 = a .

3 3

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; −3; −4), B ( −2;1; 2). Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy ) sao cho MN = 2. Giá trị lớn nhất của AM − BN bằng

A. 3 5 .

B.

61 .

C. 13 .

Lời giải

D.

53 .

Chọn D Vì z A .z B < 0 nên A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxy ) .

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên mặt phẳng (Oxy )  H (1; −3;0), K ( −2;1;0) .

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua (Oxy )  A1 (1; −3; 4) .

Gọi A2 thỏa A1 A2 = MN  A1 A2 = 2

 A2 ∈ đường tròn (C ) nằm trong mặt phẳng song song với (Oxy ) và có tâm A1 , bán kính R =2.

Khi đó: AM − BN = A1M − BN = A2 N − BN ≤ A2 B

Dấu " = " xảy ra và A2 B đạt giá trị lớn nhất ⇔ A1 A2 ngược hướng với HK .

A1 A2  6 8 

 11 23   A1 A2 = − HK =  ; − ;0   A2  ; − ; 4   A2 B = 53 .

5  5 5  5 HK

Vậy giá trị lớn nhất của AM − BN bằng

53 .

(

)

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 7 ) x 2 − 9 , ∀x ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên

(

)

dương của tham số m để hàm số g ( x ) = f x3 + 5 x + m có ít nhất 3 điểm cực trị?

A. 6.

B. 7.

C. 5.

Lời giải

Chọn A Ta có BBT của hàm y = h ( x ) = x 3 + 5 x như sau

D. 4.

Ta có g ′ ( x ) = x3 + 5 x ′ . f ′ x3 + 5 x + m . Rõ ràng x = 0 là điểm cực trị của hàm số y = h ( x ) .

(

)

 x3 + 5 x + m = 7  x3 + 5 x = 7 − m   3 3  ′ Ta có: f x + 5 x + m = 0 ⇔ x + 5 x + m = 3 ⇔  x3 + 5 x = 3 − m .    x3 + 5 x + m = −3  x3 + 5 x = −3 − m  

(

)

Để hàm số g ( x ) có ít nhất 3 điểm cực trị thì phương trình g ′ ( x ) = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác 0 và g ′ ( x ) đổi dấu khi đi qua ít nhất 2 trong số các nghiệm đó.

Từ BBT ta có 7 − m > 0 ⇔ m < 7  m ∈ {1; 2;3; 4;5; 6} .

Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÃ ĐỀ 102 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) 5

Câu 1:

Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số y = x 4 là: A. y ' =

4 94 x .

9

B. y ' =

4 14 x .

5

C. y ' =

5 14 x .

4

D. y ' =

5 − 14 x .

4

Câu 2:

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3a 2 và chiều cao h = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: 3 1 A. a 3 .

B. 3a 3 .

C. a 3 .

D. a3 .

2 3

Câu 3:

Nếu

4



4

f ( x ) dx = 6 và

1

Câu 4:

Câu 6:

Câu 7:

1

B. [ 0; +∞ ) .

C. 1 .

D. 11 .

C. ( 0; +∞ ) .

D. ℝ .

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 .

B. −1 .

C. −5 .

D. 1 .

Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?

4 A. S = 4π R 2 .

B. S = 16π R 2 .

C. S = π R 2 .

D. S = π R 2 .

3 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M ( 2; 2;1) và có một vecto chỉ phương

u = ( 5; 2; −3) . Phương trình của d là:

 x = 2 + 5t  A.  y = 2 + 2t .  z = −1 − 3t  Câu 8:

  f ( x ) − g ( x ) dx bằng:

1

A. −1 .

B. −11 .

Tập xác định của hàm số y = 7 x là: A. ℝ \ {0} .

Câu 5:

4

 g ( x ) dx = −5 thì

 x = 2 + 5t  B.  y = 2 + 2t .  z = 1 + 3t 

 x = 2 + 5t  C.  y = 2 + 2t .  z = 1 − 3t 

 x = 5 + 2t  D.  y = 2 + 2t .  z = −3 + t 

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số đã cho

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −1;1) .

B. ( −∞; 0 ) .

C. ( 0;1) .

Câu 9:

D. ( 0; +∞ ) .

Với n là số nguyên dương bất kì, n ≥ 5 , công thức nào dưới đây đúng? n!

5! n! n!

A. An5 = .

B. An5 = .

C. An5 = .

D. An5 = .

5!( n − 5 ) ! ( n − 5)! ( n − 5)! ( n − 5)!

Câu 10: Thể tích của khối lập phương cạnh 4a bằng:

A. 64a 3 .

B. 32a 3 .

C. 16a 3 .

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 3 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



C.

 f ( x ) dx = x

f ( x ) dx = x 2 + 3x + C .

3

+ 3x + C .

D. 8a 3 .

x3 + 3x + C .

3

B.



D.

 f ( x ) dx = 2 x + C .

f ( x ) dx =

Câu 12: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M ( −3; 2 ) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A. z3 = 3 − 2i .

B. z4 = 3 + 2i .

C. z1 = −3 − 2i .

D. z2 = −3 + 2i .

Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : −2 x + 5 y + z − 3 = 0 . Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của ( P ) ?

A. n2 = ( −2;5;1) .

B. n1 = ( 2;5;1) .

C. n4 = ( 2;5; −1) .

D. n3 = ( 2; −5;1) .

Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 4; −1;3 ) . Tọa độ của vecto OA là

A. ( −4;1; 3 ) .

B. ( 4; −1;3 ) .

C. ( −4;1; −3 ) .

D. ( 4;1;3 ) .

Câu 15: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x 3 − 3 x + 1 .

B. y = −2 x 4 + 4 x 2 + 1 .

C. y = − x3 + 3 x + 1 .

D. y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 .

Câu 16: Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 3 và u2 = 12 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. 9 .

B. −9 .

C.

1 .

4

D. 4 .

Câu 17: Cho a > 0 và a ≠ 1 , khi đó log a 3 a bằng A. − 3 .

B.

1 .

3

1 C. − .

3

D. 3 .

Câu 18: Đồ thị của hàm số y = − x 4 − 2 x 2 + 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng B. 0 .

A. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

Câu 19: Cho hai số phức z = 5 + 2i và w = 1 − 4i . Số phức z + w bằng: A. 6 + 2i .

B. 4 + 6i .

C. 6 − 2i .

D. −4 − 6i .

Câu 20: Cho hàm số f ( x) = e x + 1. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 f ( x)dx = e C.  f ( x )dx = e A.

x −1

x

 f ( x)dx = e D.  f ( x )dx = e B.

+C .

+ x+C .

x

− x+C .

x

+C .

Câu 21: Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 5 .

B. 3 .

3

Câu 22: Nếu

D. 4 .

C. 2 .

D. 6 .

3



f ( x)dx = 3 thì  2 f ( x)dx bằng

0

0

A. 3 .

C. 2 .

B. 18 .

Câu 23: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = −1 .

B. x = −2 .

x +1 là đường thẳng có phương trình: x−2 C. x = 2 .

D. x = 1 .

Câu 24: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0; −2;1) và bán kính bằng 2 . Phương trình của ( S ) là:

A. x 2 + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 2 .

2

2

B. x 2 + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 2 .

2

2

D. x 2 + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 4 .

C. x 2 + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 4 .

Câu 25: Phần thực của số phức z = 6 − 2i bằng A. −2.

B. 2.

2

2

2

2

C. 6.

D. −6.

C. ( −∞;log 5 2 ) .

D. ( log 5 2; +∞; ) .

C. 32.

D.

Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x < 5 là A. ( −∞;log 2 5) .

B. ( log 2 5; +∞; ) .

Câu 27: Nghiệm của phương trình log 5 ( 3 x ) = 2 là: A. 25.

B.

32 .

3

25 .

3

Câu 28: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 4 và chiều cao h = 3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 16π .

B. 48π .

C. 36π .

D. 12π .

Câu 29: Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C bằng

A. 90°.

B. 45°.

C. 30°.

D. 60°.

Câu 30: Trong không gian, cho hai điểm A ( 0; 0;1) và B ( 2;1;3) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. 2 x + y + 2z − 11 = 0 . B. 2 x + y + 2 z − 2 = 0 . C. 2 x + y + 4 z − 4 = 0 . D. 2x + y + 4 z − 17 = 0 .

Câu 31: Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng 1 1 3 2 A. .

B. .

C. .

D. .

6 30 5 5 Câu 32: Số phức z thỏa mãn iz = 6 + 5i . Số phức liên hợp của z là A. z = 5 − 6i .

B. z = −5 + 6i .

C. z = 5 + 6i .

Câu 33: Biết hàm số y = dưới đây đúng?

D. z = −5 − 6i .

x+a ( a là số thực cho trước, a ≠ 1 ) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh đề nào x +1

A. y′ < 0, ∀x ∈ ℝ .

B. y′ > 0, ∀x ≠ −1 .

C. y′ < 0, ∀x ≠ −1 .

Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2;1; −1) và mặt phẳng

D. y′ > 0, ∀x ∈ ℝ .

( P ) : x − 3 y + 2 z + 1 = 0. Đường

thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là: x−2 = 1 x+2 C. = 1

A.

y −1 z + 1 = . −3 1 y + 1 z −1 . = −3 1

x − 2 y −1 z + 1 = = .

1 −3 2 x + 2 y + 1 z −1 D. . = = 1 −3 2

B.

Câu 35: Trên đoạn [ − 2;1] , hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = −2 .

B. x = 0 .

C. x = −1 .

D. x = 1 .

Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , AC = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

A.

3 a.

2

Câu 37: Nếu



2

0

B.

f ( x)dx = 3 thì

A. 6 .



2

0

3 2 a.

2

C. 3a .

D. 3 2a .

C. 8 .

D. 5 .

 2 f ( x ) − 1dx bằng B. 4 .

Câu 38: Với mọi a, b thỏa mãn log 2 a 3 + log 2 b = 8 , khẳng đinh nào dưới đây đúng?

A. a 3 + b = 64 .

B. a 3b = 256 .

(

C. a 3b = 64 .

2

D. a 3 + b = 256 .

)

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 3x − 9 [ log 2 ( x + 30) − 5] ≤ 0?

A. 30 .

B. Vô số.

C. 31 .

D. 29 .

 2 x − 1 khi x ≥ 1 Câu 40: Cho hàm số f ( x ) =  2 , giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn 3 x − 2 khi x > 1 F ( 0 ) = 2 .Giá trị của F ( −1) + 2 F ( 2 ) bằng.

A. 9 .

B. 15 .

C. 11 .

D. 6 .

Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình trên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 1 là

A. 9 .

B. 7 .

C. 3 .

D. 6 .

Câu 42: Xét các số phức z , w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw + 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất z − w bằng

29 .

5

A.

Câu 43: Cho hàm số

221 .

5

B.

C. 3 .

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c

với

D.

5.

là các số thực. Biết hàm số

a , b, c

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị là −4 và 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các hàm số y =

A. 2 ln 2 .

f ( x) và y = 1 bằng g ( x) + 6 B. ln 6 .

C. 3 ln 2 .

D. ln 2 .

Câu 44: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, BD = 4a , góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( ABCD ) = 30o . Thể tích của khối hộp chữ nhật đa cho bằng?

A.

16 3 3 a 9

B. 48 3a 3

C.

16 3 3 a 3

D. 16 3a 3

2 1  Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ; 4  thỏa mãn 273 x + xy = (1 + xy ) 2712 x ? 3  A. 14 .

B. 27 .

C. 12 .

D. 15 .

x + 1 y z −1 = = và mặt phẳng 1 1 2 ( P ) : 2 x + y − z + 3 = 0 . Hình chiếu vuông góc của d trên ( P ) là đường thẳng có phương trình:

Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

A.

x + 1 y z −1 . = = 4 5 13

B.

x −1 y z +1 x −1 y z + 1 x +1 y z −1 = = = = . C. . D. . = = 3 −5 1 4 5 13 4 −5 1

Câu 47: Cắt hình nón (ℵ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 60° ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Diện tích xung quanh của (ℵ) bằng

A. 7π a2 .

B. 13π a 2 .

C. 2 7π a 2 .

D. 2 13π a 2 .

Câu 48: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z0 = 5 ?

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

(

D. 4 .

)

Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 8 ) x 2 − 9 với ∀x ∈ ℝ . Hỏi có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên dương của m để hàm số f x3 + 6 x + m có ít nhất 3 cực trị?

A. 5.

B. 7.

C. 8.

D. 6.

Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; − 3; 2 ) , B ( −2;1; − 3) . Xét hai điểm M , N thay đổi trong mặt phẳng (Oxy ) sao cho MN = 1 . Giá trị lớn nhất của AM − BN bằng B.

A. 17 .

1 C 26 A

2 D 27 D

3 D 28 B

4 D 29 B

5 A 30 B

6 A 31 A

7 C 32 C

8 C 33 C

9 C 34 B

41 .

C.

D.

37 .

BẢNG ĐÁP ÁN ĐỀ 102 10 11 12 13 14 15 16 A B D A B D D 35 36 37 38 39 40 41 B C B B D A B

17 B 42 B

18 D 43 B

19 C 44 C

20 C 45 A

61 .

21 D 46 A

22 D 47 A

23 C 48 B

24 D 49 B

25 C 50 C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:

5 4

Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số y = x là: A. y ' =

4 94 x .

9

B. y ' =

4 14 x .

5

C. y ' =

5 14 x .

4

D. y ' =

5 − 14 x .

4

Lời giải Chọn C Công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa là xα ′ = α .xα −1 .

( )

 5 ′ 5 1 Do đó  x 4  = .x 4 .   4 Câu 2:

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3a 2 và chiều cao h = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: 3 1 A. a 3 .

B. 3a 3 .

C. a 3 .

D. a3 .

2 3 Lời giải Chọn D 1 1 Công thức thể tích khối chóp là V = B.h = 3a 2 .a = a 3 .

3 3

Câu 3:

Nếu

4



4

f ( x ) dx = 6 và

1

A. −1 .

4

 g ( x ) dx = −5 thì

  f ( x ) − g ( x ) dx bằng:

1

1

B. −11 .

C. 1 .

Lời giải

D. 11 .

Chọn D Ta có: Câu 4:

4

4

4

1

1

1

  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx = 6 − ( −5) = 11 .

Tập xác định của hàm số y = 7 x là: A. ℝ \ {0} .

B. [ 0; +∞ ) .

C. ( 0; +∞ ) .

D. ℝ .

Lời giải Chọn D Hàm số mũ y = a x , 0 < a ≠ 1 có tập xác định là ℝ .

Câu 5:

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 .

B. −1 .

C. −5 .

D. 1 .

Lời giải Chọn A Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3 tại x = −1 .

Câu 6:

Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?

4 A. S = 4π R 2 .

B. S = 16π R 2 .

C. S = π R 2 .

D. S = π R 2 .

3 Lời giải Chọn A Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là S = 4π R 2 .

Câu 7:

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M ( 2; 2;1) và có một vecto chỉ phương

u = ( 5; 2; −3) . Phương trình của d là:

 x = 2 + 5t  A.  y = 2 + 2t .  z = −1 − 3t 

 x = 2 + 5t  B.  y = 2 + 2t .  z = 1 + 3t 

 x = 2 + 5t  C.  y = 2 + 2t .  z = 1 − 3t 

 x = 5 + 2t  D.  y = 2 + 2t .  z = −3 + t 

Lời giải Chọn C Câu 8:

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. ( −1;1) .

B. ( −∞; 0 ) .

C. ( 0;1) .

D. ( 0; +∞ ) .

Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1) .

Câu 9:

Với n là số nguyên dương bất kì, n ≥ 5 , công thức nào dưới đây đúng? n!

5! n! n!

A. An5 = .

B. An5 = .

C. An5 = .

D. An5 = .

5!( n − 5 ) ! ( n − 5)! ( n − 5)! ( n − 5)!

Lời giải Chọn C

Câu 10: Thể tích của khối lập phương cạnh 4a bằng: A. 64a 3 .

B. 32a 3 .

C. 16a 3 .

D. 8a 3 .

Lời giải Chọn A 3

Thể tích khối lập phương cạnh 4a là V = ( 4a ) = 64a 3 .

Câu 11: Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 3 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



C.

 f ( x ) dx = x

f ( x ) dx = x 2 + 3x + C .

3

+ 3x + C .



D.

 f ( x ) dx = 2 x + C .

Lời giải Chọn B

x3 + 3x + C .

3

B.

f ( x ) dx =

Câu 12: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M ( −3; 2 ) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

A. z3 = 3 − 2i .

B. z4 = 3 + 2i .

C. z1 = −3 − 2i .

D. z2 = −3 + 2i .

Lời giải Chọn D Điểm M ( −3; 2 ) là điểm biểu diễn của số phức z2 = −3 + 2i .

Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : −2 x + 5 y + z − 3 = 0 . Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của ( P ) ?

A. n2 = ( −2;5;1) .

B. n1 = ( 2;5;1) .

C. n4 = ( 2;5; −1) .

D. n3 = ( 2; −5;1) .

Lời giải Chọn A

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là n2 = ( −2;5;1) .

Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 4; −1;3 ) . Tọa độ của vecto OA là

A. ( −4;1; 3 ) .

B. ( 4; −1;3 ) .

C. ( −4;1; −3 ) .

D. ( 4;1;3 ) .

Lời giải Chọn B

Tọa độ của vecto OA là ( 4; −1;3) .

Câu 15: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x 3 − 3 x + 1 .

B. y = −2 x 4 + 4 x 2 + 1 .

C. y = − x3 + 3 x + 1 .

D. y = 2 x 4 − 4 x 2 + 1 .

Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm trùng phương và có hệ số a > 0 .

Câu 16: Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 3 và u2 = 12 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. 9 .

B. −9 .

C.

1 .

4

D. 4 .

Lời giải Chọn D Công bội của cấp số nhân đã cho là q =

u2 12 = = 4. u1 3

Câu 17: Cho a > 0 và a ≠ 1 , khi đó log a 3 a bằng A. − 3 .

B.

1 .

3

1 C. − .

3 Lời giải

Chọn B

D. 3 .

1 a3

3

log a a = log a

1 = .

3

Câu 18: Đồ thị của hàm số y = − x 4 − 2 x 2 + 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng B. 0 .

A. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

Lời giải Chọn D Ta có x = 0  y = 3 Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 .

Câu 19: Cho hai số phức z = 5 + 2i và w = 1 − 4i . Số phức z + w bằng: A. 6 + 2i .

B. 4 + 6i .

C. 6 − 2i .

Lời giải Chọn C z + w = 5 + 2i + 1 − 4i = (5 + 1) + (2 − 4)i = 6 − 2i .

D. −4 − 6i .

Câu 20: Cho hàm số f ( x) = e x + 1. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 f ( x)dx = e C.  f ( x )dx = e

x −1

A.

x

 f ( x)dx = e D.  f ( x )dx = e

B.

+C .

+ x+C .

x

− x+C.

x

+C .

Lời giải Chọn C

 f ( x)dx =  ( e

x

+ 1)dx =  e x dx +  1dx = e x + x + C .

Câu 21: Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 5 .

B. 3 .

C. 2 .

Lời giải

D. 4 .

Chọn D. Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy đạo hàm đổi dấu qua các điểm −3, − 2,3,5 .

Vậy hàm số có 4 điểm cực trị.

3

Câu 22: Nếu

3



f ( x)dx = 3 thì  2 f ( x)dx bằng

0

0

A. 3 .

B. 18 .

C. 2 .

Lời giải

D. 6 .

Chọn D 3

3

0

0

 2 f ( x)dx = 2 f ( x)dx = 2.3 = 6 .

Câu 23: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = −1 .

Chọn C TXĐ: D = ℝ \ {2} .

B. x = −2 .

x +1 là đường thẳng có phương trình: x−2 C. x = 2 .

D. x = 1 .

Lời giải

Ta có: lim− y = −∞; lim+ y = +∞ . x→2

x→2

Vậy đường thẳng x = 2 là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 24: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0; −2;1) và bán kính bằng 2 . Phương trình của ( S ) là: A. x 2 + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 2 .

2

2

B. x 2 + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 2 .

2

2

D. x 2 + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 4 .

C. x 2 + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 4 .

2

2

2

2

Lời giải Chọn D Vậy phương trình mặt cầu ( S ) có tâm 2

2

2

2

( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R2 .

I ( 0; −2;1) và bán kính bằng 2 là:

Phương trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) và bán kính bằng R : 2

x 2 + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 4 .

Câu 25: Phần thực của số phức z = 6 − 2i bằng A. −2.

B. 2.

C. 6.

Lời giải

D. −6.

Chọn C .

Phần thực của số phức z = 6 − 2i bằng 6.

Câu 26: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x < 5 là A. ( −∞;log2 5) .

B. ( log 2 5; +∞; ) .

C. ( −∞;log 5 2 ) .

D. ( log 5 2; +∞; ) .

Lời giải Chọn A. Ta có 2 x < 5 ⇔ x < log 2 5  S = ( −∞;log 2 5) .

Câu 27: Nghiệm của phương trình log 5 ( 3 x ) = 2 là: A. 25.

B.

32 .

3

C. 32.

D.

25 .

3

Lời giải Chọn D .

3 x > 0 25 ⇔ 3 x = 52 ⇔ x = .

Ta có log 5 ( 3 x ) = 2 ⇔  2 3 3 x = 5 Câu 28: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 4 và chiều cao h = 3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 16π .

B. 48π .

C. 36π .

Lời giải

D. 12π .

Chọn B .

Ta có: V = π r 2 h = π .4 2.3 = 48π .

Câu 29: Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C bằng

A. 90°

B. 45° .

C. 30 ° .

Lời giải

D. 60° .

Chọn B .

Ta có: ( AA ', B ' C ) = ( BB ', B ' C ) = BB 'C

Tam giác B′BC vuông cân tại B nên BB ' C = 45o .

AA ', B ' C ) = 45°.

Vậy ( Câu 30: Trong không gian, cho hai điểm A ( 0; 0;1) và B ( 2;1;3) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. 2 x + y + 2 z − 11 = 0 . B. 2 x + y + 2 z − 2 = 0 . C. 2 x + y + 4 z − 4 = 0 . D. 2 x + y + 4 z − 17 = 0 .

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng đi qua A ( 0;0;1) và nhận vecto AB = ( 2;1; 2 ) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là: 2 ( x − 0) + ( y − 0) + 2 ( z −1) = 0 ⇔ 2 x + y + 2 z − 2 = 0

Câu 31: Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng 1 1 3 2 A. .

B. .

C. .

D. .

6 30 5 5 Lời giải Chọn A Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả từ 10 quả bóng có n ( Ω ) = C103 = 120 Gọi A là biến cố: “ Lấy được 3 quả màu xanh ” Suy ra n ( A ) = C63 = 20 Xác suất biến cố A là P ( A ) =

n ( A ) 20 1 = = . n ( Ω ) 120 6

Câu 32: Số phức z thỏa mãn iz = 6 + 5i . Số phức liên hợp của z là A. z = 5 − 6i .

B. z = −5 + 6i .

C. z = 5 + 6i .

Lời giải Chọn C 6 + 5i = 5 − 6i . Vậy z = 5 + 6i .

Ta có: iz = 6 + 5i ⇔ z = i Câu 33: Biết hàm số y =

D. z = −5 − 6i .

x+a ( a là số thực cho trước, a ≠ 1 ) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh đề nào x +1

dưới đây đúng?

A. y′ < 0, ∀x ∈ ℝ .

B. y′ > 0, ∀x ≠ −1 .

C. y′ < 0, ∀x ≠ −1 .

D. y′ > 0, ∀x ∈ ℝ .

Lời giải Chọn C Tập xác định: D = ℝ \ {−1} nên loại đáp án A và D. Dạng đồ thị đi xuống thì y ′ < 0 nên loại đáp án B.

Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2;1; −1) và mặt phẳng

( P ) : x − 3 y + 2 z + 1 = 0. Đường

thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là: x−2 = 1 x+2 C. = 1

A.

y −1 z + 1 = . −3 1 y + 1 z −1 = . −3 1

x − 2 y −1 z + 1 = = .

1 −3 2 x + 2 y + 1 z −1 D. = = .

1 −3 2 Lời giải

B.

Chọn B.

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( P ) có véc-tơ chỉ phương u = nP = (1; −3; 2 ) .

Phương trình chính tắc đường thẳng d là

x − 2 y −1 z + 1 . = = 1 −3 2

Câu 35: Trên đoạn [ −2;1] , hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = −2 .

B. x = 0 .

C. x = −1 .

Lời giải

Chọn B. Tập xác định D = ℝ .

D. x = 1 .

x = 0 y′ = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔   x = 2 ∉ [ −2;1] Ta có y ( −2 ) = −21, y ( 0 ) = −1, y (1) = −3 .

Vậy max y = −1 tại x = 0 . [−2;1]

Câu 36: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , AC = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

A.

3 a.

2

B.

3 2 a.

2

C. 3a .

D. 3 2a .

Lời giải Chọn C.

 BC ⊥ AC  BC ⊥ ( SAC ) .

Ta có   BC ⊥ SA Suy ra d ( B, ( SAC ) ) = BC = AC = 3a .

Câu 37: Nếu



2

0

f ( x)dx = 3 thì

A. 6 .



2

0

 2 f ( x ) − 1dx bằng C. 8 .

B. 4 .

D. 5 .

Lời giải Chọn B Ta có:



2

0

2

2

 2 f ( x ) − 1dx = 2  f ( x )dx −  dx = 2.3 − 2 = 4.

0 0

Câu 38: Với moi a, b thỏa mãn log 2 a 3 + log 2 b = 8 , khẳng đinh nào dưới đây đúng?

A. a 3 + b = 64 .

B. a 3b = 256 .

C. a 3b = 64 .

D. a 3 + b = 256 .

Lời giải Chọn B Ta có log 2 a 3 + log 2 b = 8 ⇔ log 2 a 3b = 8 ⇔ a 3b = 256 .

(

2

)

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 3x − 9 x [ log 2 ( x + 30) − 5] ≤ 0?

A. 30 .

B. Vô số.

C. 31 .

Lời giải

D. 29 .

Chọn C

(

2

)

Điều kiên xác định: x > −30 . Đặt f ( x) = 3x − 9 x log 2 ( x + 30 ) − 5 3x = 9 x  x2 = 2 x x = 0 ⇔ ⇔ Xét phương trình f ( x) = 0 ⇔  .

5  log 2 ( x + 30) = 5  x = 2 (kép)  x + 30 = 2 2

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình f ( x ) ≤ 0 có tâp nghiệm là: S = ( −30;0] ∪ {2} Với x ∈ ℤ  x ∈ {−29; −28;...; −2; −1;0; 2} .

Vậy có 31 số nguyên x thỏa mãn. khi x ≥ 1 2 x − 1 Câu 40: Cho hàm số f ( x ) =  2 , giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn 3 x − 2 khi x < 1 F ( 0 ) = 2 .Giá trị của F ( −1) + 2 F ( 2 ) bằng.

A. 9 .

B. 15 .

C. 11 .

Lời giải

D. 6 .

Chọn A Ta có:

 ( 2 x − 1) dx = x

Suy ra F ( x ) = 

2

− x + c1 ;

 (3x

2

− 2 ) dx = x 3 − 2 x + c2

2  x − x + C1 khi x ≥ 1 f ( x ) dx =  3  x − 2 x + C2 khi x < 1

Mà ta có F ( 0 ) = 2  C2 = 2 Mặt khác hàm số F là nguyên hàm của f trên ℝ nên y = F ( x ) liên tục tại x = 1 Suy ra lim+ F ( x ) = lim− F ( x )  C1 = 1 . x →1

x →1

 x 2 − x + 1 khi x ≥ 1 Khi đó ta có: F ( x ) =  3 suy ra  x − 2 x + 2 khi x < 1

 F ( −1) = 3 .   F ( 2 ) = 3

Vậy F ( −1) + 2 F ( 2 ) = 9 .

Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình trên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 1 là

A. 9 .

B. 7 .

C. 3 .

Lời giải

D. 6 .

Chọn B

 f ( x ) = a, ( a < −1)  Từ f ( f ( x ) ) = 1 ⇔  f ( x ) = 0  f x = b, 1 < b < 2 ( )  ( )

i f ( x ) = a với a < −1 phương trình có một nghiệm i f ( x ) = 0 phương trình có ba nghiệm phân biệt i f ( x ) = b với 1 < b < 2 phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 1 là 7 .

Câu 42: Xét các số phức z , w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw + 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất z − w bằng

A.

29 .

5

B.

221 .

5

C. 3 .

D.

5.

Lời giải Chọn B Ta có z + iw + 6 + 8i ≥ 6 + 8i − z − iw = 10 − 1 − 2 = 7

3 4 3 4    z = − 5 − 5 i  z = − 5 − 5 i Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  ⇔ iw = − 6 − 8 i w = 8 + 6 i 5 5 5 5   Khi đó z − w =

Câu 43: Cho hàm số

221 5 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c

vớ i

a , b, c

là các số thực. Biết hàm số

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị là −4 và 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các hàm số y =

A. 2 ln 2 .

f ( x) và y = 1 bằng g ( x) + 6 B. ln 6 .

C. 3 ln 2 .

D. ln 2 .

Lời giải Chọn B Ta có: g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) = x 3 + ( a + 3 ) x 2 + ( 2 a + b + 6 ) x + ( 2a + b + c ) g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′ ( x ) = 3 x 2 + 2 ax + b + 6 x + 2 a + 6

= 3 x 2 + ( 2a + 6 ) x + ( 2 a + b + 6 ) .

 x = x1 Do g ( x ) có hai cực trị là −5 và 3 nên g ′ ( x ) = 0 ⇔  với g ( x1 ) = −4 , g ( x2 ) = 2 .  x = x2 Phương trình hoành độ giao điểm f ( x) f ( x) − g ( x) − 6 3 x 2 + ( 2a + 6 ) x + ( 2a + b + 6 ) g′( x) =1⇔ =0 ⇔ =0⇔ =0 g ( x) + 6 g ( x) + 6 g ( x) + 6 g ( x) + 6

Phương trình này cũng có hai nghệm phân biệt x1 , x2 Như vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = x2

S=

g′( x)

 g ( x) + 6

x1

= ln g ( x ) + 6

x2 x1

f ( x) và y = 1 là g ( x) + 6

= ln 2 + 6 − ln −4 + 6 = ln 2 .

Câu 44: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, BD = 4a , góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BD ) và ( ABCD ) = 30o . Thể tích của khối hộp chữ nhật đa cho bằng ?

A.

16 3 3 a 9

B. 48 3a 3

C.

16 3 3 a 3

D. 16 3a 3

Lời giải Chọn C

Gọi O là trung điểm của BD . Ta có: ∆A ' AB = ∆A ' AD suy ra A ' B = A ' D suy ra ∆A ' BD cân.

( A ' BD ) ∩ ( ABCD ) = BD  Mà  A ' O ⊥ BD  ( A′BD ) , ( ABCD ) = A′OA = 30°. = 30o .  AO ⊥ BD 

)

(

Xét ∆A′OA vuông tại A có: tan 30o =

A′A A′A A′A A′A 2a 3 . = = =  A ' A = 2a tan 30° = AC BD AO 2a 3 2 2

Xét hình vuông ABCD có: BD = AB 2  AB = 2 a 2.

Vậy thể tích của khối hình hộp chữ nhật bằng: V = A ' A. AB 2 =

2 16 3 2a 3 . 2a 2 = a3 .

3 3

(

)

2 1  Câu 45: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ; 4  thỏa mãn 273 x + xy = (1 + xy ) 2712 x ? 3  A. 14 .

B. 27 .

C. 12 .

D. 15 .

Lời giải Chọn A i TH1: y ≤ 0, vì xy > −1 và x >

1 nên ta có y > −3.

3

Ta có thể kiểm tra trực tiếp để xem xét có nhận y = −2, y = −1, y = 0 hay không.

+) Nếu y = 0  273 x

2

−12 x

 1  x = 0∉ 3 ; 4   (trường hợp này loại). = 1  3 x 2 − 12 x = 0 ⇔   1  x = 4 ∉ ; 4 3  

+) Nếu y = −1 thỏa mãn. +) Nếu y = −2 thỏa mãn. i TH2: Khi y ≥ 1, ta có:

273 x

2

+ xy

= (1 + xy )2712 x ⇔ 3 x 2 − 12 x = log 27 (1 + xy ) − xy ⇔ 3 x − 12 −

Xét hàm g ( x ) = 3 x − 12 − Ta có g ′ ( x ) = 3 +

log 27 (1 + xy )

x

log 27 (1 + xy )

x

+ y = 0.

1  + y trên  ; 4  . 3 

ln (1 + xy ) y 1 3 1  − > 3− 2 ≥ 3− > 0, ∀x ∈  ;4  .

2 x ln 27 x (1 + xy ) ln 27 3 x ln 3 ln 3 3 

1  1  Do đó, hàm g ( x ) đồng biến trên  ; 4  . Vì thế phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm trên  ; 4  3  3  1 khi và chỉ khi g   g ( 4 ) < 0 . 3 Áp dụng bất đẳng thức ln (1 + u ) < u với mọi u > 0 , ta có

g ( 4) = −

ln (1 + 4 y )

18ln 3

+y>−

y + y > 0.

3ln 3

y 1  Do đó g   < 0 ⇔ − log 3  1 +  + y − 11 < 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 12 (do y là số nguyên dương). 3  3 2 1  Vậy có 14 giá trị nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ; 4  thỏa mãn 27 3 x + xy = (1 + xy ) .2712 x . 3 

x + 1 y z −1 = = và mặt phẳng 1 1 2 ( P ) : 2 x + y − z + 3 = 0 . Hình chiếu vuông góc của d trên ( P ) là đường thẳng có phương trình:

Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

A.

x + 1 y z −1 . = = 4 5 13

B.

x +1 y z −1 . = = 4 1 −5

C.

x −1 y z +1 = = .

3 1 −5

D.

x −1 y z + 1 = = .

4 5 13

Lời giải Chọn A Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm.

Đường thẳng d đi qua A ( −1;0;1) có 1 VTCP là: u = (1;1; 2 ) .

Mặt phẳng ( P ) có 1 VTPT là: n = ( 2;1; −1) .

Ta có v = u , n  = ( −3;5; −1) ; a =  n, v  = ( 4;5;13) .

∆ là hình chiếu của d trên ( P )  ∆ đi qua A ( −1;0;1) và có 1 VTCP a =  n, v  = ( 4;5;13) .

Suy ra phương trình ∆ :

x + 1 y z −1 . = = 4 5 13

Câu 47: Cắt hình nón (ℵ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 60° ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Diện tích xung quanh của (ℵ) bằng

A. 7π a2 .

B. 13π a 2 .

C. 2 7π a 2 .

Lời giải

D. 2 13π a 2 .

Chọn A

Mặt phẳng ( P ) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều SAB cạnh 2a  AB = 2a.

Kẻ OH ⊥ AB tại H  AH = a, SH = a 3.

= 60°  SO = SH .sin 60° = 3a .

Góc giữa mặt phẳng ( SAB ) với mặt đáy bằng 60°  SHO 2 Mà OH =

SO a 3 = r= tan 60° 2

Vậy S xq = π rl = π .

AH 2 + OH 2 =

a 7  SA = h 2 + r 2 = 4a.

2

a 7 .2a = 7π a 2 .

2

Câu 48: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thỏa mãn z0 = 5 ?

A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

Lời giải

D. 4 .

Chọn B Ta có ∆′ = 2m + 1.

1 1 1 thì z0 = , suy ra m = − (loại).

2 2 2 1 i TH2: ∆′ < 0 ⇔ m < − thì z0 = m + 1 + 2m + 1 .i hoặc z0 = m + 1 − 2 i TH1: ∆′ = 0 ⇔ m = −

2m + 1 .i .

m = 5 ( L ) 2 Theo đề bài z0 = 5  ( m + 1) + ( −2m − 1) = 25 ⇔  .  m = −5 ( N ) 1 i TH 3: ∆′ > 0 ⇔ m > − thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt 2 Theo đề bài z0 = 5 ⇔ z0 = ±5 . + Khi z0 = 5 : thế vào phương trình ta được m 2 − 10m + 15 = 0 ⇔ m = 5 ± 10 (nhận). + Khi z0 = −5 : thế vào phương trình ta được m 2 + 10 m + 35 = 0 vô nghiệm.

Vậy có ba giá trị của m .

(

)

Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 8) x 2 − 9 với ∀x ∈ ℝ . Hỏi có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên dương của m để hàm số f x3 + 6 x + m có ít nhất 3 cực trị?

A. 5 .

B. 7 .

C. 8 .

Lời giải

D. 6 .

Chọn B Hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) = 0 tại x = 8, x = ±3 .

(

Đặt g ( x ) = f x3 + 6 x + m

)

′ Ta có: g ′ ( x ) =  f x 3 + 6 x + m  =  

(

)

(3x

2

+ 6 )( x3 + 6 x ) 3

x + 6x

(

. f ′ x3 + 6 x + m

)

( x ≠ 0)

.

Với x = 0 là 1 cực trị của g ( x )

(

)

Để g ( x ) có ít nhất 3 cực trị thì g ′ ( x ) phải có ít nhất 3 nghiệm bội lẻ hay f ' x 3 + 6 x + m = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

 x 3 + 6 x + m = −3   f ' x 3 + 6 x + m = 0 →  x 3 + 6 x + m = 3 . Ta có đồ thị u ( x ) = x3 + 6 x ( với m > 0 ):  3  x + 6 x + m = 8

(

)

(

)

Để f ' x3 + 6 x + m = 0 có ít nhất 2 nghiệm thì : 8 − m > 0 → m < 8 → m ∈ [1; 7 ] .

Vậy có 7 giá trị m .

Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; − 3; 2 ) , B ( −2;1; − 3 ) . Xét hai điểm M , N thay đổi trong mặt phẳng ( Oxy ) sao cho MN = 1 . Giá trị lớn nhất của AM − BN bằng

A. 17 .

B.

41 .

C. 37 .

Lời giải

D.

61 .

Chọn C Đề thấy hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng ( Oxy ) .

Gọi H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( Oxy ) , khi đó ta có: H (1; −3;0) .

Lấy điểm A1 đối xứng với A qua mặt phẳng ( Oxy ) ⇒ A1 = (1; −3; −2) . Khi đó A1M = AM .

Lấy điểm A2 sao cho A1 A2 = MN . Tứ giác A1 A2 NM là hình bình hành nên A1M = A2 N .

Khi đó ta dễ thấy hai điểm A2 và B nằm cùng phía so với mặt phẳng ( Oxy ) .

Do MN = 1 nên điểm N thuộc đường tròn (C ) tâm M bán kính R = MN = 1 nằm trên mặt phẳng (Oxy ) nên điểm A2 thuộc vào đường tròn (C ') tâm A1 và bán kính R ' = R = 1 và nằm trong mặt phẳng z = −2 .

Ta có: AM − BN = A1M − BN = A2 N − BN ≤ A2 B . Dấu bằng xảy ra khi N = A2 B ∩ (Oxy ) .

Để AM − BN đạt giá trị lớn nhất thì A2 B phải đạt giá trị lớn nhất.

Gọi K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng z = −2 , khi đó ta có: K (−2;1; −2) và BK = 1 , A1 K = 5 .

Tam giác BKA2 vuông tại K nên ta có: A2 B = BK 2 + KA2 2 = 1 + KA2 2 .

Để A2 B phải đạt giá trị lớn nhất thì KA2 phải lớn nhất.

Mà KA2 ≤ A1 K + R ' = 5 + 1 = 6 ⇒ A2 B ≤ 1 + 6 2 = 37 Suy ra giá trị lớn nhất của AM − BN bằng

37 , dấu bằng xảy ra khi N = A2 B ∩ (Oxy ) .

ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÃ ĐỀ 103 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = − x 3 − 2 x + Câu 2:

1 .

2

B. y = x 3 − 2 x +

Câu 4:

1 1 . D. y = x 4 + 2 x 2 + .

2 2

B.

1 .

5

C. 5 .

D. 12 .

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 7 a 2 và chiều cao h = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 7 7 7 A. a 3 .

B. a 3 .

C. a 3 .

D. 7a 3 .

6 2 3 Nếu

4

4

4

1

1

1

 f ( x)dx = 5 và  g ( x)dx = −4 thì  [ f ( x) − g ( x)] dx

A. −1 .

Câu 5:

C. y = − x 4 + 2 x 2 +

Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 3 và u2 = 15 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. −12 .

Câu 3:

1 .

2

B. −9 .

bằng

C. 1 .

D. 9 .

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M ( −3;1;2 ) và có một vectơ chỉ

phương u = ( 2; 4; −1) . Phương trình của d là

 x = 3 + 2t  A.  y = 1 + 4t . z = 2 − t 

 x = −3 + 2t  B.  y = 1 + 4t . z = 2 + t 

 x = −3 + 2t  C.  y = 1 + 4t . z = 2 − t 

 x = 2 − 3t  D.  y = 4 + t .  z = −1 + 2t 

Câu 6:

Diện tích S của mặt cầu bán kinh R được tính theo công thức nào dưới đây?

4 A. S = π R 2 .

B. S = π R 2 .

C. S = 4π R 2 .

D. S = 16π R 2 .

3

Câu 7:

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ?

A. n3 = (1;2; 2 ) .

B. n1 = (1; − 2;2 ) .

Câu 8:

C. n4 = (1; − 2; − 3) .

D. n2 = (1; 2; − 2 ) .

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1; − 2 ) và bán kinh bằng 3 . Phương trình của ( S ) là:

2

2

B. x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 9 .

2

2

D. x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 3 .

A. x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 9 .

C. x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 3 .

Câu 9:

2

2

2

2

Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



C.

 f ( x ) dx = x

f ( x ) dx = x 3 + x + C .

2

+ x+C.

x3 + x+C .

3

B.



D.

 f ( x ) dx = 2 x + C .

f ( x ) dx =

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

C. ( 0;+ ∞ ) .

D. ℝ .

C. −1 .

D. 0 .

Câu 11: Tập xác định của hàm số y = 6 x là: A. [ 0; + ∞ ) .

3

Câu 12: Nếu

B. ℝ \ {0} .

3



f ( x ) dx = 2 thì  3 f ( x ) dx bằng

0

0

A. 6 .

B. 1 .

Câu 13: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M ( −2;3) là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?

A. z3 = 2 + 3i .

B. z4 = −2 − 3i .

C. z1 = −2 + 3i .

D. z2 = 2 − 3i .

Câu 14: Cho hàm số f ( x) = e x + 3 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

 f ( x)dx = e C.  f ( x )dx = e A.

x

 f ( x)dx = e D.  f ( x )dx = e

B.

+ 3x + C .

x −3

+C .

x

+C .

x

− 3x + C .

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. ( −∞;2) .

B. (0;2) .

C. ( −2; 2) .

D. (2; +∞) .

Câu 16: Đồ thị hàm số y = − x 3 + 2 x 2 − 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng A. 3 .

B. 1 .

D. 0 .

C. −1 .

4

Câu 17: Trên khoảng (0; +∞) , đạo hàm của hàm số y = x 3 là: A. y′ =

4 −31 x .

3

B. y′ =

4 13 x .

3

C. y′ =

3 73 x .

7

D. y′ =

3 13 x .

4

Câu 18: Cho a > 0 và a ≠ 1 , khi đó log a a bằng A. 2 .

B. −2 .

1 C. − .

2

D.

1 .

2

Câu 19: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; 2; −4) . Tọa độ vectơ OA là

A. (3; −2; −4) .

B. (−3; −2; 4) .

C. (3; 2; −4) .

D. (3; 2; 4) .

Câu 20: Tập nghiệm của phương trình 2 x > 3 là A. (log 3 2; +∞) .

B. ( −∞;log 2 3) .

C. ( −∞;log3 2 ) .

Câu 21: Cho hai số phức z = 1 + 2i và w = 3 − 4i . Số phức z + w bằng A. 2 − 6i .

B. 4 + 2i .

C. 4 − 2i .

D. (log 2 3; +∞) .

D. −2 + 6i .

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 .

B. 0 .

Câu 23: Thể tích khối lập phương cạnh 3a bằng A. 27 a 3 .

B. 3a 3 .

Câu 24: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 2 .

B. x = 1 .

C. 2 .

D. 1 .

C. 9a 3 .

D. a 3 .

2x +1 là đường thẳng có phương trình x −1 −1 C. x = .

D. −1 .

2

Câu 25: Phần thực của số phức z = 3 − 2i bằng: A. 2 .

B. −3 .

C. 3 .

D. −2.

C. x = 4 .

D. x = 8

Câu 26: Nghiệm của phương trình log 3 (2 x ) = 2 là: A. x =

9 2.

B. x = 9 .

Câu 27: Với n là số nguyên dương bất kì, n ≥ 2 , công thức nào sau đây đúng? ( n − 2 )! .

2! n!

B. An2 = .

C. An2 = .

A. An2 = n!

2!( n − 2 )! ( n − 2 )!

D. An2 =

n! ( n − 2 )!

Câu 28: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 2 và chiều cao h = 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 12π .

B. 18π .

C. 6π .

D. 4π Câu 29: Trong không gian Oxyz , Cho điểm M (1;2; −1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 3z + 1 = 0 Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là: x −1 y − 2 z + 1 x −1 y − 2 z + 1 . B. . = = = = 2 1 1 2 1 −3 x + 1 y + 2 z −1 x +1 y + 2 z −1 C. . D. = = = = 2 1 1 2 1 −3

A.

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng A′B và CC′ bằng:

A. 45o .

B. 30o .

C. 90o .

D. 60o .

Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn iz = 3 + 2i . Số phức liên hợp của z là: A. z = 2 + 3i .

B. z = −2 − 3i .

C. z = −2 + 3i .

D. z = 2 − 3i .

Câu 32: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng A.

1 a.

2

B.

2a .

C.

2 a.

2

D. a .

Câu 33: Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng 1 1 2 1 A. .

B. .

C. .

D. .

5 6 5 30 Câu 34: Với mọi a , b thỏa mãn log 2 a 3 + log 2 b = 7 , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a 3 + b = 49 .

B. a 3b = 128 .

C. a 3 + b = 128 .

D. a 3b = 49 .

Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 0;0;1) và B (1;2;3) .Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là: A. x + 2 y + 2 z − 11 = 0 . B. x + 2 y + 2 z − 2 = 0 .

C. x + 2 y + 4 z − 4 = 0 . D. x + 2 y + 4 z − 17 = 0 .

Câu 36: Trên đoạn [ 0;3] , hàm số y = x 3 − 3 x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 1 .

2

Câu 37: Nếu



B. x = 0 .

C. x = 3 .

D. x = 2 .

C. 11 .

D. 14

2

f ( x ) dx = 6 thì   2 f ( x ) − 1 dx bằng

0

A. 12 .

0

B. 10 .

x+a , ( a là số thực cho trước và a ≠ −1 ) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh x −1 đề nào dưới đây đúng?

Câu 38: Biết hàm số y =

A. y′ > 0, ∀x ≠ 1 .

B. y′ > 0, ∀x ∈ ℝ .

(

2

C. y′ < 0, ∀x ∈ ℝ .

D. y′ < 0, ∀x ≠ 1 .

)

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2 x − 4 x log 2 ( x + 14 ) − 4 ≤ 0 ?

A. 14 .

B. 13 .

C. Vô số.

D. 15 .

 2 x + 3 khi x ≥ 1 Câu 40: Cho hàm số f ( x ) =  2 . Giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn 3 x + 2 khi x < 1

F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F ( −1) + 2 F ( 2 ) bằng A. 23 .

B. 11 .

C. 10 .

D. 21 .

Câu 41: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 là

A. 4 .

B. 10 .

C. 12 .

D. 8 .

Câu 42: Xét các số phức z , w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw − 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng?

A. 3 .

B.

29 .

5

C.

5.

D.

221 .

5

x −1 y − 2 z +1 và mặt phẳng = = 1 1 −2 ( P ) : x + 2 y − z − 6 = 0 hình chiếu vuông góc của d trên ( P ) là đường thẳng có phương trình:

Câu 43: Trong không gian

Oxyz , cho đường thẳng

d:

x + 1 y + 2 z −1 x −1 y − 2 z + 1 . B. . = = = = 3 −1 1 3 −1 1 x + 1 y + 2 z −1 x −1 y − 2 z +1 C. . D. = = = = . −1 4 7 −1 4 7

A.

2 1  Câu 44: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ;5  thỏa mãn 273 x + xy = (1 + xy ) 2715 x . 3  A. 17 .

B. 16 .

C. 18 .

D. 15 .

Câu 45: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD = 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( A′BD ) và ( ABCD ) bằng 60° . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng A.

2 3 3 a .

9

B. 6 3a 3 .

C.

2 3 3 a .

3

D. 2 3a 3 .

Câu 46: Cho hàm số

f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c với a , b , c là các số thực. Biết hàm số

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị là −5 và 3 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = A. 2ln 3 .

f ( x) và y = 1 bằng g ( x) + 6

B. ln 2 .

C. ln15 .

D. 3ln 2 .

Câu 47: Cắt hình nón ( N ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 300 , ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 4a. Diện tích xung quanh của nón bằng A. 4 7π a 2 .

B. 8 7π a 2 .

C. 8 13π a 2 .

D. 4 13π a 2 .

Câu 48: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm zo thõa mãn zo = 8 A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; −3;2 ) và B ( −2;1; −4 ) . Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho MN = 4 . Giá trị lớn nhất của AM − BN bằng A. 5 2 .

B. 3 13 .

C.

D.

61 .

85 .

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 10 ) ( x 2 − 25 ) , ∀x ∈ ℝ. . Có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên dương của tham số m để hàm số g ( x ) = f x 3 + 8 x + m có ít nhất 3 điểm cực trị

A. 9 .

B. 25 .

C. 5 .

D. 10 .

BẢNG ĐÁP ÁN ĐỀ 103 1.B

2.C

3.C

4.D

5.C

6.C

7.B

8.A

9.B

10.C

11.D

12.A

13.C

14.A

15.B

16.C

17.B

18.D

19.C

20.D

21.C

22.A.

23.A

24.B

25.C

26.A

27.D

28.A

29.B

30.A

31.A

32.D

33.D

34.B

35.B

36.A

37.B

38.A

39.D

40.D

41.B

42.D

43.D

44.A

45.D

46.A

47.D

48.B

49.D

50.A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = − x 3 − 2 x +

1 .

2

B. y = x 3 − 2 x +

1 1 1 .

C. y = − x 4 + 2 x 2 + . D. y = x 4 + 2 x 2 + .

2 2 2 Lời giải

Chọn B Dễ thấy đường cong có dạng đồ thị của hàm số bậc ba với hệ số a dương.

Câu 2:

Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 3 và u2 = 15 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. −12 .

B.

1 .

5

C. 5 .

D. 12 .

Lời giải Chọn C Ta có công bội của cấp số nhân là q =

u2 = 5. u1

Câu 3:

Cho khối chóp có diện tích đáy B = 7 a 2 và chiều cao h = a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 7 7 7 A. a 3 .

B. a 3 .

C. a 3 .

D. 7a 3 .

6 2 3 Lời giải Chọn C 1 7 Áp dụng công thức tính thể tích ta được V = Bh = a 3 .

3 3

Câu 4:

Nếu

4

 1

A. −1 .

4

f ( x)dx = 5 và

4

 g ( x)dx = −4 thì

 [ f ( x) − g ( x)] dx bằng

1

1

B. −9 .

C. 1 .

Lời giải

D. 9 .

Chọn D Ta có

Câu 5:

4

4

4

1

1

1

 [ f ( x) − g ( x)] dx =  f ( x)dx −  g ( x)dx = 9 .

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M ( −3;1;2 ) và có một vectơ chỉ

phương u = ( 2;4; −1) . Phương trình của d là

 x = 3 + 2t  A.  y = 1 + 4t . z = 2 − t 

 x = −3 + 2t  B.  y = 1 + 4t . z = 2 + t 

 x = −3 + 2t  C.  y = 1 + 4t . z = 2 − t 

 x = 2 − 3t  D.  y = 4 + t .  z = −1 + 2t 

Lời giải Chọn C

 x = −3 + 2t  Theo giả thiết phương trình tham số của d là  y = 1 + 4t . z = 2 − t  Câu 6:

Diện tích S của mặt cầu bán kinh R được tính theo công thức nào dưới đây?

4 A. S = π R 2 .

B. S = π R 2 .

C. S = 4π R 2 .

D. S = 16π R 2 .

3

Lời giải Chọn C Dễ dàng ta có S = 4π R 2 .

Câu 7:

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ?

A. n3 = (1; 2;2 ) .

B. n1 = (1; − 2; 2 ) .

C. n4 = (1; − 2; − 3) .

D. n2 = (1;2; − 2 ) .

Lời giải Chọn B

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 3 = 0 là n1 = (1; − 2; 2 ) .

Câu 8:

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1; − 2) và bán kính bằng 3 . Phương trình của ( S ) là: 2

2

B. x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 9 .

2

2

D. x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 3 .

A. x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 9 .

C. x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 3 .

2

2

2

2

Lời giải Chọn A Phương trình của mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1; − 2) và bán kinh bằng 3 là: 2

2

( x − 0 ) + ( y − 1) + ( z + 2 ) Câu 9:

2

2

2

= 32 ⇔ x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 9 .

Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 1 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



C.

 f ( x ) dx = x

f ( x ) dx = x 3 + x + C .

2

+ x+C.

x3 + x+C .

3

B.



D.

 f ( x ) dx = 2 x + C .

f ( x ) dx =

Lời giải Chọn B Ta có:



f ( x ) dx =  ( x 2 + 1) dx =

x3 + x+C. 3

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải Chọn C  x = −3  x = −1 Xét f ′ ( x ) = 0   x = 1  x = 2 Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số f ( x ) có 4 cực trị.

Câu 11: Tập xác định của hàm số y = 6 x là: A. [ 0; + ∞ ) .

B. ℝ \ {0} .

C. ( 0; + ∞ ) .

D. ℝ .

Lời giải Chọn D Tập xác định của hàm số y = 6 x là: D = ℝ .

3

Câu 12: Nếu

3



f ( x ) dx = 2 thì  3 f ( x ) dx bằng

0

0

A. 6 .

B. 1 .

C. −1 .

Lời giải

D. 0 .

Chọn A 3

3

0

0

Ta có  3 f ( x ) dx = 3 f ( x ) dx = 3.2 = 6 .

Câu 13: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M ( −2;3) là điểm biểu diễn số phức nào dưới đây?

A. z3 = 2 + 3i .

B. z4 = −2 − 3i .

C. z1 = −2 + 3i .

D. z2 = 2 − 3i .

Lời giải Chọn C Câu 14: Cho hàm số f ( x) = e x + 3 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

 f ( x)dx = e C.  f ( x )dx = e A.

x

 f ( x)dx = e D.  f ( x )dx = e B.

+ 3x + C .

x −3

+C .

x

+C .

x

− 3x + C .

Lời giải Chọn A

 f ( x)dx = e

x

+ 3 x + C.

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. ( −∞;2) .

B. (0; 2) .

C. ( −2; 2) .

D. (2; +∞) .

Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị suy ra hàm số đã cho đồng biến trong khoảng (0; 2) .

Câu 16: Đồ thị hàm số y = − x 3 + 2 x 2 − 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng A. 3 .

B. 1 .

C. −1 .

Lời giải Chọn C Ta có x = 0  y = −1

D. 0 .

Vậy đồ thị hàm số y = − x 3 + 2 x 2 − 1 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −1 .

4

Câu 17: Trên khoảng (0; +∞) , đạo hàm của hàm số y = x 3 là: A. y′ =

4 − 13 x .

3

B. y′ =

4 13 x .

3

C. y′ =

3 73 x .

7

D. y′ =

Lời giải Chọn B Trên khoảng (0; +∞) , ta có y′ =

4 43 −1 4 13 x = x .

3 3

Câu 18: Cho a > 0 và a ≠ 1 , khi đó log a a bằng A. 2 .

B. −2 .

C.

−1 .

2

Lời giải Chọn D 1

Với a > 0 và a ≠ 1 , ta có log a a = log a a 2 =

1 1 log a a = .

2 2

Câu 19: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; 2; −4) . Tọa độ vectơ OA là

D.

1 .

2

3 13 x .

4

A. (3; −2; −4) .

B. (−3; −2; 4) .

C. (3; 2; −4) .

D. (3; 2; 4) .

Lời giải Chọn C Câu 20: Tập nghiệm của phương trình 2 x > 3 là A. (log 3 2; +∞) .

B. ( −∞;log 2 3) .

C. ( −∞;log3 2) .

D. (log 2 3; +∞) .

Lời giải Chọn D

2 x > 3 ⇔ x > log 2 3 .

Câu 21: Cho hai số phức z = 1 + 2i và w = 3 − 4i . Số phức z + w bằng A. 2 − 6i .

B. 4 + 2i .

C. 4 − 2i .

Lời giải Chọn C z + w = 1 + 2i + 3 − 4i = 4 − 2i .

D. −2 + 6i .

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3 .

B. 0 .

C. 2 .

Lời giải

D. 1 .

C. 9a 3 .

Lời giải

D. a 3 .

Chọn A. Câu 23: Thể tích khối lập phương cạnh 3a bằng A. 27a 3 .

B. 3a 3 .

Chọn A V = (3a )3 = 27 a 3 .

Câu 24: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = A. x = 2 .

B. x = 1 .

2x +1 là đường thẳng có phương trình x −1 −1 C. x = .

D. −1 .

2 Lời giải

Chọn B 2x + 1 2x +1 lim+ = +∞ ; lim− = −∞ x →1 x − 1 x →1 x − 1 Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 1 .

Câu 25: Phần thực của số phức z = 3 − 2i bằng: A. 2 .

B. −3 .

Chọn C.

C. 3 .

Lời giải:

D. −2.

Câu 26: Nghiệm của phương trình log 3 (2 x ) = 2 là: 9 A. x = B. x = 9 .

2.

C. x = 4 .

D. x = 8

Lời giải: Chọn A

log 3 (2 x) = 2 ⇔ 2 x = 32 ⇔ 2 x = 9 ⇔ x =

9 .

2

Câu 27: Với n là số nguyên dương bất kì, n ≥ 2 , công thức nào sau đây đúng?

2! n! ( n − 2 )! .

A. An2 = B. An2 = .

C. An2 = .

2!( n − 2 )! n! ( n − 2 )!

D. An2 =

n! ( n − 2 )!

Lời giải: Chọn D. Câu 28: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 2 và chiều cao h = 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 12π .

B. 18π .

C. 6π .

D. 4π Lời giải: Chọn A V = π .r 2 .h = π .2 2.3 = 12π .

Câu 29: Trong không gian Oxyz , Cho điểm M (1;2; −1) và mặt phẳng ( P ) : 2 x + y − 3z + 1 = 0 Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là: x −1 y − 2 z + 1 . = = 2 1 1 x + 1 y + 2 z −1 C. . = = 2 1 1

x −1 y − 2 z +1 . = = 2 1 −3 x + 1 y + 2 z −1 D. = = 2 1 −3 Lời giải:

A.

B.

Chọn B Đường thẳng đi qua M (1;2; −1) và vuông góc với ( P ) : 2 x + y − 3z + 1 = 0 nhận vectơ pháp

tuyến của mặt phẳng ( P ) là nP = ( 2;1; −3) làm vectơ chỉ phương, nên có phương trình chính tắc là:

x −1 y − 2 z + 1 . = = 2 1 −3

Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng A′B và CC′ bằng:

A. 45o .

Chọn A

B. 30 o .

C. 90 o .

Lời giải

D. 60o .

(

) (

)

A′B, CC′ = A′B, BB′ = A′BB′ .

Ta có: Do ∆A′BB′ vuông cân tại B ′ nên A′BB′ = 45o .

Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn iz = 3 + 2i . Số phức liên hợp của z là: A. z = 2 + 3i .

B. z = −2 − 3i .

C. z = −2 + 3i .

Lời giải Chọn A

D. z = 2 − 3i .

Ta có: iz = 3 + 2i ⇔ z = 2 − 3i . Nên z = 2 + 3i .

Câu 32: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng A.

1 a.

2

B.

2a .

C.

2 a.

2

D. a .

Lời giải

Chọn D  SA ⊥ BC  BC ⊥ ( SAC )  d ( B, ( SAC ) ) = BC = AC = a .

Ta có:   AC ⊥ BC Câu 33: Từ một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng 1 1 2 1 A. .

B. .

C. .

D. .

5 6 5 30 Lời giải Chọn D Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng từ 10 quả: C103 Số cách lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng màu đỏ: C43 Vậy xác suất cần tính là: P =

C43 1 = .

3 C10 30

Câu 34: Với mọi a , b thỏa mãn log 2 a3 + log 2 b = 7 , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a 3 + b = 49 .

B. a 3b = 128 .

C. a 3 + b = 128 .

Lời giải

D. a 3b = 49 .

Chọn B Ta có log 2 a 3 + log 2 b = 7 ⇔ log 2 ( a 3b ) = 7 ⇔ a 3b = 27 = 128.

Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 0;0;1) và B (1;2;3) .Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là: A. x + 2 y + 2 z − 11 = 0 .

B. x + 2 y + 2 z − 2 = 0 .

C. x + 2 y + 4 z − 4 = 0 .

D. x + 2 y + 4 z − 17 = 0 .

Lời giải Chọn B Gọi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB là ( P ) . Suy ra một véc tơ pháp tuyến của mặt

phẳng ( P ) là AB .

Ta có AB = (1; 2; 2 ) . Phương trình mặt phẳng ( P ) là

x + 2 y + 2 ( z − 1) = 0 ⇔ x + 2 y + 2 z − 2 = 0. .

Câu 36: Trên đoạn [ 0;3] , hàm số y = x 3 − 3 x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 1 .

B. x = 0 .

C. x = 3 .

Lời giải

D. x = 2 .

Chọn A

x = 1 Ta có y′ = 3 x 2 − 3  y ' = 0 ⇔  .  x = −1 ∉ [ 0;3] Ta có: y ( 0) = 4, y ( 3) = 22, y (1) = 2 Vậy hàm số y = x 3 − 3 x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0;3] tại điểm x = 1 .

2

Câu 37: Nếu



2

f ( x ) dx = 6 thì

0

  2 f ( x ) − 1 dx

bằng

0

A. 12 .

B. 10 .

C. 11.

Lời giải

D. 14

Chọn B Ta có

2

2

2

0

0

0

  2 f ( x ) − 1 dx = 2 f ( x ) dx − 1dx = 2.6 − 2 = 10 .

x+a , ( a là số thực cho trước và a ≠ −1 ) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh x −1 đề nào dưới đây đúng?

Câu 38: Biết hàm số y =

A. y′ > 0, ∀x ≠ 1 .

B. y′ > 0, ∀x ∈ ℝ .

C. y′ < 0, ∀x ∈ ℝ .

D. y′ < 0, ∀x ≠ 1 .

Lời giải Chọn A Điều kiện x ≠ 1 .

Dựa vào đồ thị ta thấy theo thứ tự từ trái qua phải đồ thị đi lên nên y′ > 0, ∀x ≠ 1 .

(

)

2

Câu 39: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2 x − 4 x log 2 ( x + 14 ) − 4 ≤ 0 ?

A. 14 .

B. 13 .

C. Vô số.

D. 15 .

Lời giải Chọn D Cách 1 • Trường hợp 1: 2 2 x − 4 x ≤ 0 2 x ≤ 22 x  x2 − 2 x ≤ 0 0 ≤ x ≤ 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x=2   x + 14 ≥ 16 x ≥ 2 x ≥ 2 log 2 ( x + 14 ) − 4 ≥ 0 • Trường hợp 2: 2

 x ≤ 0 2 2 x − 4 x ≥ 0  x2 − 2 x ≥ 0  −14 < x ≤ 0  ⇔ ⇔  x ≥ 2 ⇔ .  x = 2 −14 < x ≤ 2 log 2 ( x + 14 ) − 4 ≤ 0 −14 < x ≤ 2  Vậy có 15 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2:

(

2

)

Điều kiện xác định: x > −14 . Đặt f ( x) = 2 x − 4 x log 2 ( x + 14 ) − 4 2x = 4x  x2 = 2 x x = 0 ⇔ Xét phương trình f ( x) = 0 ⇔  ⇔ .

4  log 2 ( x + 14) = 4  x = 2 (kép)  x + 14 = 2 2

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình f ( x ) ≤ 0 có tập nghiệm là: S = ( −14;0] ∪ {2} .

Do x ∈ ℤ  x ∈{−13; −12;...; −2; −1;0; 2} .

Vậy có 15 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 x + 3 khi x ≥ 1 Câu 40: Cho hàm số f ( x ) =  2 . Giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn 3x + 2 khi x < 1 F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F ( −1) + 2F ( 2 ) bằng

A. 23 .

Chọn D

B. 11 .

C. 10 .

Lời giải

D. 21 .

2  x + 3x + C1 khi x ≥ 1 Ta có F ( x ) =  3 .  x + 2 x + C2 khi x < 1

(

)

Ta có lim+ F ( x ) = lim+ x 2 + 3 x + C1 = C1 + 4 . x →1

x →1

lim− F ( x ) = lim− ( x 3 + 2 x + C2 ) = C2 + 3 . x →1

x →1

F ( x ) liên tục tại x = 1 ⇔ C1 + 4 = C2 + 3 (1) F ( 0 ) = 2  C2 = 2 (2).

2 C = 1  x + 3x + 1 khi x ≥ 1 .

Từ (1) và (2) suy ra  1  F ( x) =  3  x + 2 x + 2 khi x < 1 C 2 = 2 3

F ( −1) + 2 F ( 2 ) = ( −1) + 2 ( −1) + 2 + 2 ( 22 + 3.2 + 1) = 21 .

Câu 41: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 là

A. 4 .

B. 10 .

C. 12 .

Lời giải

D. 8 .

Chọn B

f  f Ta có: f ( f ( x ) ) = 0 ⇔  f f 

( x) = a ( x) = b ( x) = c ( x) = d

( a < −1) ( −1 < b < 0 ) . ( 0 < c < 1) ( d > 1)

Phương trình f ( x ) = a với a < −1 vô nghiệm.

Phương trình f ( x ) = b với −1 < b < 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình f ( x ) = c với 0 < c < 1 có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình f ( x ) = d với d > 1 có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình f ( f ( x ) ) = 0 có 10 nghiệm.

Câu 42: Xét các số phức z , w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw − 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất, z − w bằng?

A. 3 .

B.

29 .

5

C.

D.

5.

221 .

5

Lời giải Chọn D Theo BĐT modun số phức, ta có:

z + iw ≤ z + iw = z + w = 3 .

Ta lại có: z + iw − 6 + 8i = ( −6 + 8i ) −  − z + iw  ≥ −6 + 8i − − z + iw = −6 + 8i − z + iw ≥ 10 − 3 = 7 .  

(

)

(

)

 z = k .iw k > 0, m < 0.

Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi:  − 6 + 8 i = m . z + iw 

(

)

1  k=  z = k . iw 1 = k .2   2 Lấy modun 2 vế, ta được:  ⇔ ⇔ . m 10 = − .3   −6 + 8i = −m. z + iw m = −10 3  3 4   z = 5 − 5 i 221 ..   z−w = 5  w = −8 + 6 i  5 5 x −1 y − 2 z +1 và mặt phẳng = = 1 1 −2 ( P ) : x + 2 y − z − 6 = 0 hình chiếu vuông góc của d trên ( P ) là đường thẳng có phương trình: x +1 y + 2 z −1 x −1 y − 2 z + 1 A. .

B. . = = = = 3 1 3 1 −1 −1 x +1 y + 2 z −1 x −1 y − 2 z + 1 C. .

D. . = = = = 4 7 4 7 −1 −1 Lời giải Chọn D

Câu 43: Trong không gian

Oxyz , cho đường thẳng

d:

Ta có d đi qua điểm A (1; 2; − 1) và A (1; 2; − 1) thuộc ( P ) Vậy A (1; 2; − 1) là giao điểm của d và ( P ) Gọi ( Q ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với ( P ) . Khi đó ( Q ) có vectơ pháp

tuyến n( Q ) = ud , n( P )  = ( 3; −1;1) .  

Đường thẳng d ′ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) nên có một vecto chỉ phương là:

u d ′ =  nQ , nP  = (−1; 4;7) .

Vậy đường thẳng d ′ có u d ′ = (−1;4;7) và đi qua điểm A (1; 2; −1) có phương trình chính tắc là x −1 y − 2 z + 1 . = = 4 7 −1 2 1  Câu 44: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ;5  thỏa mãn 27 3 x + xy = (1 + xy ) 2715 x . 3  A. 17 .

B. 16 .

C. 18 .

D. 15 .

Lời giải Chọn A • Khi y ≤ 0, vì xy > −1 và x >

1 nên ta có y > −3.

3 2

Với y = 0 , phương trình thành: 273 x −15 x − 1 = 0 vô nghiệm vì 2 1  273 x −15 x − 1 < 270 − 1 = 0, ∀x ∈  ;5  3 

2

2

Với y = −1 , phương trình thành: 273 x −16 x − (1 − x) = 0 có nghiệm vì g1 ( x) = 273 x −16 x − (1 − x)

1  1 liên tục trên  ;5 và g1   .g1 ( 5 ) < 0 . 3  3 2

Với y = −2 , phương trình thành: 273 x −17 x − (1 − 2 x) = 0 có nghiệm vì 2 1  1 g 2 ( x) = 273 x −16 x − (1 − 2 x) liên tục trên  ;5 và g 2   .g 2 ( 5) < 0 . 3  3

1 

• Khi y ≥ 1, xét trên  ;5 , ta có 3 

273 x

2

+ xy

= (1 + xy )2715 x ⇔ 3 x 2 − 15 x = log 27 (1 + xy ) − xy

log 27 (1 + xy ) + y = 0. x log 27 (1 + xy ) 1  Xét hàm g ( x ) = 3 x − 15 − + y trên  ;5 . x 3  ⇔ 3 x − 15 −

Ta có g '( x) = 3 +

ln(1 + xy ) y 1 3 1  − > 3− 2 ≥ 3− > 0, ∀x ∈  ;5 .

2 x ln 27 x(1 + xy )ln 27 3x ln 3 ln 3 3 

1  1  Do đó, hàm g ( x ) đồng biến trên  ;5 . Vì thế phương trình g ( x ) = 0 có nghiệm trên  ;5  3  3  1 khi và chỉ khi g   g (5) < 0. Áp dụng bất đẳng thức ln(1 + u ) < u với mọi u > 0 , ta có  3 g (5) = −

log 27 (1 + 5 y ) 5y +y>− + y > 0.

5 5 ln 27

1  y Do đó g   < 0 ⇔ − log3 1 +  + y − 14 < 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 15 (do y là số nguyên dương). 3  3 Vậy y ∈ {−2; −1;1;2;...;15} hay có 17 giá trị y thỏa đề.

Câu 45: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD = 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( A′BD ) và ( ABCD ) bằng 60° . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng A.

2 3 3 a .

9

B. 6 3a 3 .

C.

2 3 3 a .

3

D. 2 3a 3 .

Lời giải Chọn D

+) Ta có BD = 2a  AC = 2a; AB = a 2 .

(

+) S ABCD = a 2

)

2

= 2a 2 .

+) Góc giữa hai mặt phẳng ( A′BD ) và ( ABCD ) là góc A′OA 

AA′ = AO tan A′OA = a.tan 60° = a 3 .

Vậy VABCD. A′B′C′D′ = AA′.S ABCD = a 3.2a 2 = 2 3a3 .

Câu 46: Cho hàm số

f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c với a , b , c là các số thực. Biết hàm số

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị là −5 và 3 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =

A. 2ln 3 .

f ( x) và y = 1 bằng g ( x) + 6

B. ln 2 .

C. ln15 .

Lời giải

D. 3ln 2 .

Chọn A f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c  f ′ ( x ) = 3x 2 + 2ax + b , f ′′ ( x ) = 6 x + 2a , f ′′′ ( x ) = 6 .

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x )  g′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + 6 .  x = x1 Do g ( x ) có hai cực trị là −5 và 3 nên g ′ ( x ) = 0 ⇔  với g ( x1 ) = −5 , g ( x2 ) = 3 .  x = x2 Ta có:

f ( x) − f ′ ( x ) − f ′′ ( x ) − 6  x = x1 . =1⇔ =0 ⇔ g ( x) + 6 g ( x) + 6  x = x2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =  f ( x)  x  g ( x ) + 6 − 1 dx =  1

x2

S= x2

=

1

− f ′ ( x ) − f ′′ ( x ) − 6 dx g ( x) + 6 x1

x2



 g ( x ) + 6 d ( g ( x ) + 6 ) = ( ln g ( x ) + 6 ) x1

f ( x) và y = 1 là g ( x) + 6

x2 x1

= ln g ( x2 ) + 6 − ln g ( x1 ) + 6 = ln1 − ln 9 = 2ln 3 .

Câu 47: Cắt hình nón ( N ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 300 , ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 4a. Diện tích xung quanh của nón bằng A. 4 7π a 2 .

B. 8 7π a 2 .

C. 8 13π a 2 .

D. 4 13π a 2 .

Lời giải

Chọn D

Gọi O là tâm đáy nón, đỉnh nón là S , thiết diện là tam giác đều SAB.

= 300.

Kẻ OH ⊥ AB, H là trung điểm AB  SHO  SH = 2a 3, HA = 2a.

Ta có: OH = SH .cos 300 = 3a.

 R = HO2 + HA2 = 9a 2 + 4a 2 = a 13.  S xq = π Rl = π a 13.4a = 4 13π a 2 . .

Câu 48: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm zo thõa mãn zo = 8

A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

Lời giải

D. 1 .

Chọn B Ta có ∆ = 8m + 4 .

Trường hợp 1: ∆ ≥ 0 ⇔ m ≥ −

1 suy ra phương trình có 2 nghiệm thực  zo là nghiệm thực 2

 2 m = 4 (T / M )  zo = 8  m − 16m + 48 = 0 =>  zo = 8 ⇔  thay vào phương trình ⇔  .  m = 12  zo = −8  m 2 + 16m + 80 = 0(VN )  1 Trường hợp 2: ∆ < 0 ⇔ m < − suy ra phương trình sẽ có 2 nghiệm phức, vì zo là nghiệm nên 2 suy ra zo cũng là nghiệm

m = 8 2 zo = 8  zo = 64 ⇔ zo .zo = 64 ⇔ m 2 = 64 ⇔  .  m = −8 Kết hợp điều kiện nên ta nhận m = −8 .

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn.

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; −3;2 ) và B ( −2;1; −4 ) . Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho MN = 4 . Giá trị lớn nhất của AM − BN bằng A. 5 2 .

Chọn D

B. 3 13 .

C. 61 .

Lời giải

D.

85 .

Dễ thấy hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxy ) .

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng ( Oxy ) suy ra A1 (1; −3; −2 ) .

Gọi mặt phẳng ( P ) chứa A1 và song song mặt phẳng ( Oxy ) suy ra ( P ) : z = −2 .

Ta gọi A2 : A1 A2 = MN và gọi K là hình chiếu của B lên ( P )  K ( −2;1; −2 )  BK = 2, KA1 = 5 Khi đó: AM − BN = A2 N − BN ≤ A2 B ≤ BK 2 + ( KA1 + 4) 2 = 85 .

Suy ra giá trị lớn nhất của AM − BN bằng

85 , dấu bằng xảy ra khi N = A2 B ∩ (Oxy ) .

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 10 ) ( x 2 − 25 ) , ∀x ∈ ℝ. . Có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên dương của tham số m để hàm số g ( x ) = f x 3 + 8 x + m có ít nhất 3 điểm cực trị

A. 9 .

B. 25 .

C. 5 .

Lời giải

D. 10 .

Chọn A Cách 1: Ta có BBT của hàm y = h ( x ) = x 3 + 8 x như sau

Ta có g ′ ( x ) = x 3 + 8 x ′ . f ′ x 3 + 8 x + m . Rõ ràng x = 0 là điểm cực trị của hàm y = h ( x )

(

)

 x 3 + 8 x + m = 10  x 3 + 8 x = 10 − m   3 3   x3 + 8x = 5 − m . ′ f x + x + m = ⇔ x + x + m = ⇔ 8 0 8 5 Ta có:    x3 + 8 x + m = −5  x 3 + 8 x = −5 − m  

(

)

Để hàm số g ( x ) có ít nhất 3 điểm cực trị thì phương trình g ′ ( x ) = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác 0 và g ′ ( x ) đổi dấu khi đi qua ít nhất 2 trong số các nghiệm đó.

Từ BBT ta có 10 − m > 0 ⇔ m < 10  m ∈ {1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9}.

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Cách 2: Với f , h là các hàm liên tục trên tập số thực, thì nếu c là điểm cực trị của f ( h ( x ) ) thì c phải là điểm cực trị của g hoặc là h ( c ) là điểm đạt cực trị của f . Bây giờ m ≥ 10 và với hàm

h ( x ) = x 3 + 8 x + m , ta có f chỉ có các điểm đạt cực trị là 10, ± 5 . Trong khi chỉ có duy nhất điểm đạt cực trị của h là 0 cùng với h ( x ) ≥ m ≥ 10 với mọi x , và thêm nữa thì phương trình h ( x ) = 10 có không quá một nghiệm là x = 0 . Bởi vậy, m ≥ 10 không thỏa mãn yêu cầu.

Khi m ≤ 9 và m ≠ 5 , thì trên từng khoảng mở bên trái và phải số 0 ta có

g′ ( x ) =

( 3x

2

(

2

)

+ 8 ) ( h ( x ) − 9 ) h ( x ) − 25 x

. x Cho thấy g ′ ( x ) đổi dấu khi x chạy qua 0 và vì thế nó đạt cực trị tại x = 0. Kết hợp thêm việc đa thức h ( x ) − 9 có đúng hai nghiệm phân biệt khác 0 , và g ′ ( x ) đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm đó. Cho thấy m ≤ 9 và m ≠ 5 thỏa yêu cầu.

2

(

2

)

Nếu m = 5 lúc đó g ′ ( x ) = x ( 3x 2 + 8 ) ( h ( x ) − 9 ) h ( x ) − 25 . Ta cũng thấy g ′ ( x ) đổi dấu khi x chạy qua 0 và hai nghiệm phân biệt khác 0 của h ( x ) − 9 , cho thấy là cũng thỏa mãn.

Vậy m là các số nguyên dương nhỏ hơn 10.

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC (MÃ ĐỀ 104) Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1: Câu 2:

Cho hai số phức z = 3 + 2i và w = 1 − 4i . Số phức z + w bằng A. 4 + 2i .

B. 4 − 2i .

C. −2 − 6i .

D. 2 + 6i . Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x3 − 3x + 1 .

B. y = x 4 + 4 x 2 + 1 .

4

Câu 3:

Nếu



f ( x ) dx = 4 và

1

4

4

1

1

Câu 5:

D. y = − x 4 + 2 x 2 + 1 .

 g ( x ) dx = −3 thì   f ( x ) − g ( x ) dx bằng

A. 1.

Câu 4:

C. y = − x3 + 3x + 1 .

B. − 7 .

C. − 1 .

D. 7 .

x −1 là đường thẳng có phương trình: x+2 A. x = 2 .

B. x = −1 .

C. x = −2 .

D. x = 1 .

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;3;0 ) và bán kính bằng 2 . Phương trình Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

của mặt cầu ( S ) là: 2

2

B. ( x − 1) + ( y + 3 ) + z 2 = 4 .

2

2

D. ( x + 1) + ( y − 3 ) + z 2 = 2 .

A. ( x − 1) + ( y + 3 ) + z 2 = 2 .

C. ( x + 1) + ( y − 3 ) + z 2 = 4 .

Câu 6:

2

2

2

Tập nghiệm của bất phương trình 2x > 5 là B. ( log 5 2; +∞ ) .

A. ( −∞; log 2 5 ) .

Câu 7:

2

C. ( −∞; log 5 2 ) .

D. ( log 2 5; +∞ ) .

C. 8a3 .

D. 4a 3 .

Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng A. a 3 .

B. 2a 3 .

5

Câu 8:

Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số y = x 3 là: 5

Câu 9:

5 23 x .

3

3 A. y = x 3 .

8

B. y =

A. ( −2;1; 4 ) .

B. ( 2; −1; 4 ) .

C. y =

5 − 23 x .

3

D. y =

Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; −1; 4 ) . Tọa độ của véc tơ OA là 3

Câu 10: Nếu

 0

0

A. 3 .

C. ( 2;1; 4 ) .

D. ( −2;1; −4 ) .

C. 36 .

D. 4 .

3

f ( x )dx = 3 thì  4 f ( x )dx bằng B. 12 .

3 23 x .

5

Câu 11: Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 2 và u2 = 10. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. −8 .

B. 8 .

C. 5 .

Câu 12: Với n là số nguyên dương bất kì , A. An3 =

( n − 3) ! .

B. An3 =

n!

D.

1 .

5

n ≥ 3, công thức nào dưới đây đúng ?

3! . ( n − 3) !

C. An3 =

n! . ( n − 3) !

D. An3 =

n! .

3!( n − 3) !

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



C.

 f ( x ) dx = x

f ( x ) dx = 2 x + C .

2

+ 2x + C .

x3 + 2x + C .

3

B.



D.

 f ( x ) dx = x

f ( x ) dx =

3

+ 2x + C .

Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 0 .

B. 3 .

C. 1.

vectơ pháp tuyến của ( P ) ?

A. n2 = ( 2 ; −4 ;1) .

B. n1 = ( 2 ; 4 ;1) .

C. n3 = ( 2 ; 4 ; −1) .

D. n4 = ( −2 ; 4 ;1) .

C. 4 .

D. −2 .

C. x = 8 .

D. x = 9 .

C. [ 0; + ∞ ) .

D. ( 0; + ∞ ) .

D. − 1 .

Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 4 y − z − 1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một

Câu 16: Phần thực của số phức z = 4 − 2i bằng A. 2 .

B. −4 .

Câu 17: Nghiệm của phương trình log 2 ( 5 x ) = 3 là

8 A. x = .

5

9 B. x = .

5

Câu 18: Tập xác định của hàm số y = 8x là A. ℝ \ {0} .

B. ℝ .

Câu 19: Cho a > 0 và a ≠ 1 , khi đó log a 5 a bằng

1 1 .

B. − .

C. 5 .

D. −5 .

5 5 Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M (1;5; −2) và có một vecto chỉ phương A.

u = (3; −6;1) . Phương trình của d là:

 x = 3+t A.  y = −6 + 5t .  z = 1 − 2t 

 x = 1 + 3t B.  y = 5 − 6t .  z = 2+t 

 x = 1 + 3t C.  y = 5 + 6t .  z = −2 + t 

 x = 1 + 3t D.  y = 5 − 6t .  z = −2 + t 

Câu 21: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M ( −4; 3) là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

A. z3 = −4 − 3i .

B. z4 = 4 + 3i .

C. z2 = 4 − 3i .

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

D. z1 = −4 + 3i .

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là B. 4 .

A. 3 .

D. 5 .

C. 2 .

Câu 23: Cho hàm số f ( x) = e + 4 . Khẳng định nào sau đây đúng? x

A.

 f ( x ) dx = e

x

C.

 f ( x ) dx = e

x −4

+ 4x + C . +C .

x

+C .

x

− 4x + C .

B.

 f ( x)dx = e

D.

 f ( x ) dx = e

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −1;1) .

B. (1; +∞ ) .

C. ( −∞;1) .

D. ( 0;3) .

Câu 25: Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?

A. S = π R2 .

B. S = 16π R 2 .

C. S = 4π R2 .

4 D. S = π R 2 .

3

Câu 26: Đồ thị hàm số y = −2 x3 + 3x 2 − 5 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng A. −5 .

B. 0 .

C. − 1 .

D. 2 .

2

Câu 27: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 8a và chiều cao h = a . Thể tích khối chóp đã cho bằng 4 8 A. 8a3 B. a 3 .

C. 4a3 .

D. a3 .

3 3 Câu 28: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 5 và chiều cao h = 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng A. 15π B. 75π .

C. 25π .

D. 45π .

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1; −2 ) và mặt phẳng ( P ) : 3 x + 2 y − z + 1 = 0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là:

x − 2 y −1 z + 2 x − 2 y −1 z + 2 = = . = = B. .

3 2 −1 3 2 1 x + 2 y +1 z − 2 x + 2 y +1 z − 2 = = = = C. .

D. .

3 2 1 3 2 −1 Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AB ′ và CC ′ bằng A.

A. 30° .

B. 90° .

C. 60° .

D. 45° .

Câu 31: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = 4 a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB) bằng A. 4a .

Câu 32: Nếu

B. 4 2a .

2

2

0

0

 f ( x ) dx = 4 thì  2 f ( x ) − 1)  dx

A. 8 .

Câu 33: Biết hàm số y =

B. 10 .

C. 2 2a .

D. 2a .

C. 7 .

D. 6 .

bằng

x+a ( a là số thực cho trước và a ≠ −1 ) có đồ thị như trong hình bên. x −1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y′ < 0, ∀x ∈ R .

C. y′ > 0, ∀x ∈ R .

B. y′ < 0, ∀x ≠ 1 .

D. y′ < 0, ∀x ≠ 1 .

Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn iz = 4 + 3i . Số phức liên hợp của z là: A. z = 3 + 4i .

B. z = −3 − 4i .

C. z = 3 − 4i .

D. z = − 3 + 4i .

Câu 35: Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẩu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng 1 7 5 2 A. .

B. .

C. .

D. .

22 44 12 7 3 Câu 36: Với mọi a, b thỏa mãn log 2 a + log 2 b = 5 , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a3b = 32 .

B. a3b = 25 .

C. a3 + b = 25 .

D. a3 + b = 32 .

Câu 37: Trên đoạn [ −1; 2] hàm số y = x3 + 3x 2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 .

B. x = 0 .

C. x = −1 .

D. x = 1 .

Câu 38: Trong mặt phẳng Oxyz , cho hai điểm A (1;0;0 ) B ( 3; 2;1) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là: A. 2 x + 2 y + z − 2 = 0 .

B. 4 x + 2 y + z − 17 = 0 .

C. 4 x + 2 y + z − 4 = 0 .

D. 2 x + 2 y + z − 11 = 0 .

Câu 39: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên . Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 là:

A. 12 .

C. 8 .

B. 10 .

(

2

D. 4 .

)

Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2 x − 4 x log 3 ( x + 25) − 3 ≤ 0?

A. 24.

B. Vô số.

C. 25.

D. 26. 2 x + 2 khi x ≥ 1 Câu 41: Cho hàm số f ( x ) =  2 . Giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn 3x + 1 khi x < 1

F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F ( −1) + 2 F ( 2 ) bằng A. 18 .

B. 20 .

C. 9 .

D. 24 .

Câu 42: Cắt hình nón ( N ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 30° , ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng

A.

7π a 2 .

Câu 43: Trong

không

B. 13π a 2 . gian

C. 2 13π a 2 .

Oxyz , cho đường thẳng

d:

D. 2 7π a 2 .

x y z −1 = = 1 −1 2

và

mặt

phẳng

(P) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P) là đường thẳng có phương trình: x y z −1 = = A. . −2 4 3

x y z +1 x y z −1 = = = = .

D. . −2 4 3 14 1 8 2 1  Câu 44: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ; 6  thỏa mãn 27 3 x + xy = (1 + xy ) 2718 x ? 3  A. 19 .

B. 20 .

C. 18 .

D. 21 .

2 2 Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z − 2 ( m + 1) z + m = 0 ( m là tham số thực). Có bao B.

x y z +1 = = .

14 1 8

C.

nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thoả mãn z0 = 6 ?

A. 4 .

D. 3 .

C. 2 .

B. 1.

Câu 46: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có đáy là hình vuông BD = 4a , góc giữa hai mặt phẳng

( A′BD )

và ( ABCD ) bằng 600 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. 48 3a3 .

Câu 47: Cho hàm số

16 3 3 a .

9 f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c

B.

C. với

16 3 3 a .

3

a, b, c

D. 16 3a 3 .

là các số thực. Biết hàm số

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị là − 5 và 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y =

f ( x) và y = 1 bằng g ( x) + 6

A. ln 3 .

B. 3 ln 2 .

C. ln10 .

D. ln 7 .

Câu 48: Xét các số phức z , w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw + 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất z − w bằng

29 221 .

B. .

C. 3 .

D. 5 .

5 5 Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2;1; −3) và B(1; −3; 2). Xét hai điểm M và N thay A.

đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 3. Giá trị lớn nhất của AM − AN bằng A.

65 .

B.

29 .

26 .

C.

D.

91 .

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 9 ) ( x 2 − 16 ) , ∀x ∈ ℝ . Có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên dương của tham số m để hàm số g ( x ) = f x 3 + 7 x + m có ít nhất 3 điểm cực trị?

A. 16 .

B. 9 .

C. 4 .

D. 8 .

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC (MÃ ĐỀ 104) Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

BẢNG ĐÁP ÁN 1.B

2.C

3.D

4.C

5.C

6.D

7.C

8.B

9.B

10.B

11.C

12.C

13.B

14.C

15.C

16.C

17.A

18.B

19.A

20.D

21.D

22.B

23.A

24.A

25.C

26.A

27.D

28.B

29.A

30.D

31.A

32.D

33.B

34.A

35.A

36.A

37.B

38.A

39.B

40.D

41.A

42.B

43.D

44.B

45.D

46.D

47.B

48.B

49.A

50.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1:

Cho hai số phức z = 3 + 2i và w = 1 − 4i . Số phức z + w bằng

A. 4 + 2i .

Câu 2:

B. 4 − 2i .

C. − 2 − 6i .

Lời giải

Chọn B Ta có: z + w = 3 + 2i + 1 − 4i = 4 − 2i . Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x3 − 3x + 1 .

B. y = x 4 + 4 x 2 + 1 .

C. y = − x3 + 3x + 1 .

Lời giải Chọn C Nhận dạng đồ thị: Đồ thị hàm số bậc 3 với: - Nhánh phải đồ thị đi xuống nên nhận xét hệ số a < 0 - Hai điểm cực trị trái dấu nên: a.c < 0 mà a < 0 nên c > 0 - Đồ thị hàm số cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ dương nên d > 0 Chỉ có đáp án C thỏa mãn.

4

Câu 3:

D. 2 + 6i .

Nếu

 1

f ( x ) dx = 4 và

4

4

1

1

 g ( x ) dx = −3 thì   f ( x ) − g ( x ) dx bằng

D. y = − x 4 + 2 x 2 + 1 .

A. 1.

B. − 7 .

C. − 1 .

Lời giải

D. 7 .

Chọn D Ta có:

Câu 4:

4

4

4

1

1

1

  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx = 4 − ( −3) = 7 .

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

A. x = 2 .

x −1 là đường thẳng có phương trình: x+2

B. x = −1 .

C. x = −2 .

Lời giải

D. x = 1 .

Chọn C Ta có lim+ x →−2

Câu 5:

x −1 = −∞ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = −2 . x+2

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;3; 0 ) và bán kính bằng 2 . Phương trình của mặt cầu ( S ) là: 2

2

B. ( x − 1) + ( y + 3 ) + z 2 = 4 .

2

2

D. ( x + 1) + ( y − 3 ) + z 2 = 2 .

A. ( x − 1) + ( y + 3 ) + z 2 = 2 .

C. ( x + 1) + ( y − 3 ) + z 2 = 4 .

2

2

2

2

Lời giải Chọn C Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;3; 0 ) và bán kính bằng R = 2 có dạng: 2

2

( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) Câu 6:

2

2

2

= R 2 ⇔ ( x + 1) + ( y − 3 ) + z 2 = 4 .

Tập nghiệm của bất phương trình 2x > 5 là

A. ( −∞; log 2 5 ) .

B. ( log 5 2; +∞ ) .

C. ( −∞; log 5 2 ) .

D. ( log 2 5; +∞ ) .

Lời giải Chọn D x Ta có: 2 > 5 ⇔ x > log 2 5 . Tập nghiệm của bất phương trình là S = ( log 2 5; +∞ ) .

Câu 7:

Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng

A. a 3 .

B. 2a3 .

C. 8a3 .

Lời giải

D. 4a3 .

Chọn C 3

Ta có thể tích của khối lập phương cạnh 2a là: V = ( 2a ) = 8a 3 .

5

Câu 8:

Trên khoảng ( 0; +∞ ) , đạo hàm của hàm số y = x 3 là:

3 53 A. y = x .

8 Chọn B

5 23 B. y = x .

3

5 − 23 C. y = x .

3 Lời giải

3 23 D. y = x .

5

 5 ′ 5 5 −1 5 2 Ta có trên khoảng ( 0; +∞ ) y′ =  x 3  = x 3 = x 3 .

3   3

Câu 9:

Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 2; −1; 4 ) . Tọa độ của véc tơ OA là

A. ( −2;1; 4 ) .

B. ( 2; −1; 4 ) .

C. ( 2;1; 4 ) .

D. ( −2;1; −4 ) .

Lời giải Chọn B

Ta có tọa độ véc tơ OA chính là tọa độ điểm A ( 2; −1; 4 )  OA = ( 2; −1; 4 ) Câu 10: Nếu

3

3

0

0

 f ( x )dx = 3 thì  4 f ( x )dx bằng

A. 3 .

B. 12 .

C. 36 .

Lời giải

D. 4 .

Chọn B 3

3

0

0

Ta có  4 f ( x )dx = 4 f ( x )dx = 4.3 = 12.

Câu 11: Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 2 và u2 = 10. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. −8 .

B. 8 .

C. 5 .

D.

1 .

5

Lời giải Chọn C Gọi q là công bội của cấp số nhân  u2 = u1 ⋅ q  q =

u2 10 = = 5. u1 2

Câu 12: Với n là số nguyên dương bất kì , n ≥ 3, công thức nào dưới đây đúng ?

A. An3 =

( n − 3) ! .

B. An3 =

n!

3! . ( n − 3)!

C. An3 =

n! . ( n − 3)!

D. An3 =

Lời giải Chọn C Áp dụng công thức tìm số chỉnh hợp ta có An3 =

n! . ( n − 3)!

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) = x 2 + 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



C.

 f ( x ) dx = x

f ( x ) dx = 2 x + C .

2

+ 2x + C .



D.

 f ( x ) dx = x

Lời giải Chọn B Ta có



f ( x ) dx =  ( x 2 + 2 ) dx =

x3 + 2x + C .

3

x3 + 2x + C .

3

B.

f ( x ) dx =

3

+ 2x + C .

n! .

3!( n − 3 )!

Câu 14: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 0 .

B. 3 .

C. 1.

D. − 1 .

Lời giải Chọn C Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 1.

Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + 4 y − z − 1 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ?

A. n2 = ( 2 ; −4 ;1) .

B. n1 = ( 2 ; 4 ;1) .

C. n3 = ( 2 ; 4 ; −1) .

D. n4 = ( −2 ; 4 ;1) .

Lời giải Chọn C

Mặt phẳng ( P ) : 2 x + 4 y − z − 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n = ( 2 ; 4 ; − 1) .

Câu 16: Phần thực của số phức z = 4 − 2i bằng A. 2 .

B. − 4 .

C. 4 .

Lời giải

D. − 2 .

Chọn C Số phức z = 4 − 2i có phần thực là 4 .

Câu 17: Nghiệm của phương trình log 2 ( 5x ) = 3 là

8 A. x = .

5

9 B. x = .

5

C. x = 8 .

D. x = 9 .

Lời giải Chọn A Ta có: log 2 ( 5 x ) = 3 ⇔ 5 x = 23 ⇔ 5 x = 8 ⇔ x =

8 .

5

Câu 18: Tập xác định của hàm số y = 8x là A. ℝ \ {0} .

B. ℝ .

C. [ 0; + ∞ ) .

Lời giải

Chọn B Hàm số y = 8x xác định ∀x ∈ ℝ .

D. ( 0; + ∞ ) .

Vậy tập xác định của hàm số y = 8x là D = ℝ.

Câu 19: Cho a > 0 và a ≠ 1 , khi đó log a 5 a bằng A.

1 .

5

1 B. − .

5

C. 5 .

D. −5 .

Lời giải Chọn A 1 1 1 Ta có: log a 5 a = log a a 5 = log a a = .

5 5

Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M (1;5; −2) và có một vecto chỉ phương

u = (3; −6;1) . Phương trình của d là:

 x = 3+t A.  y = −6 + 5t .  z = 1 − 2t 

 x = 1 + 3t B.  y = 5 − 6t .  z = 2+t 

 x = 1 + 3t C.  y = 5 + 6t .  z = −2 + t 

 x = 1 + 3t D.  y = 5 − 6t .  z = −2 + t 

Lời giải Chọn D

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M (1;5; −2) và nhận u = (3; −6;1) làm vecto chỉ  x = 1 + 3t phương là: (d ) :  y = 5 − 6t .  z = −2 + t 

Câu 21: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M (−4;3) là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

A. z3 = −4 − 3i .

B. z4 = 4 + 3i .

C. z2 = 4 − 3i .

D. z1 = −4 + 3i .

Lời giải Chọn D Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 .

B. 4 .

D. 5 .

C. 2 .

Lời giải

Chọn B Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy đạo hàm đổi dấu qua các điểm −2, −1,2,4 .

Vậy hàm số có 4 điểm cực trị.

Câu 23: Cho hàm số f ( x) = e x + 4 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

 f ( x ) dx = e

x

+ 4x + C .

B.

 f ( x ) dx = e

x

+C .

C.

 f ( x ) dx = e

x −4

D.

+C .

 f ( x ) dx = e

x

− 4x + C .

Lời giải Chọn A Ta có:

 f ( x)dx =  (e

x

+ 4) dx = e x + 4 x + C .

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −1;1) .

B. (1; +∞ ) .

C. ( −∞;1) .

D. ( 0;3) .

Lời giải Chọn A Quan sát đồ thị ta thầy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

Câu 25: Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?

A. S = π R2 .

B. S = 16π R 2 .

C. S = 4π R2 .

4 D. S = π R 2 .

3

Lời giải Chọn C Diện tích S của mặt cầu bán kính R: S = 4π R2

Câu 26: Đồ thị hàm số y = −2 x3 + 3x 2 − 5 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng A. −5 .

B. 0 .

C. − 1 .

Lời giải

D. 2 .

Chọn A Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ y = −2.03 + 3.02 − 5 = −5 .

Câu 27: Cho khối chóp có diện tích đáy B = 8a 2 và chiều cao h = a . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 8a3

B.

4 3 a .

3

C. 4a3 .

D.

8 3 a .

3

Lời giải Chọn D

1 1 8 Thể tích khối chóp đã cho bằng V = .B.h = .8a 2 .a = a 3 .

3 3 3 Câu 28: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 5 và chiều cao h = 3 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. 15π

B. 75π .

C. 25π .

D. 45π .

Lời giải Chọn B Thể tích của khối trụ đã cho bằng V = B.h = π r 2 .h = π 52.3 = 75π .

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1; −2 ) và mặt phẳng ( P ) : 3x + 2 y − z + 1 = 0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) có phương trình là:

x−2 = 3 x+2 = C. 3 A.

y −1 = 2 y +1 = 2

z+2 . −1 z−2 .

1

x−2 = 3 x+2 = D. 3

B.

y −1 z + 2 = .

2 1 y +1 z − 2 = .

2 −1

Lời giải Chọn A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: u d = n ( p ) = ( 3; 2; −1) .

Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với

( P)

là:

x − 2 y −1 z + 2 = = .

3 2 −1 Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AB′ và CC ′ bằng

A. 30o .

B. 90o .

C. 60o .

Lời giải

D. 45o .

Chọn D

′B = 45o ( vì ABB′A′ là hình vuông).

Ta có: ( AB′; CC ′) = ( AB′; BB′) = AB

Câu 31: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = 4 a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB) bằng A. 4 a .

B. 4 2a .

C. 2 2a .

Lời giải

D. 2 a .

Chọn A

Ta có:

Câu 32: Nếu

AB ⊥ BC    BC ⊥ ( SAB ) . Suy ra: d (C;( SAB)) = BC = AB = 4a .

SA ⊥ BC 

2

2

0

0

 f ( x ) dx = 4 thì  2 f ( x ) − 1)  dx

A. 8 .

bằng

C. 7 .

Lời giải

B. 10 .

D. 6 .

Chọn D 2

2

2

Ta có:   2 f ( x ) − 1)  dx =  2 f ( x ) dx −  dx = 2.4 − 2 = 6 .

0

Câu 33: Biết hàm số y =

0

0

x+a ( a là số thực cho trước và a ≠ −1 ) có đồ thị như trong hình bên. x −1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y′ < 0, ∀x ∈ ℝ .

C. y′ > 0, ∀x ∈ ℝ .

B. y′ < 0, ∀x ≠ 1 .

D. y ′ > 0, ∀x ≠ 1 .

Lời giải

Chọn B

TXĐ : D = ℝ \ {1} .

Khi đó: y ′ =

−1 − a ∀x ≠ 1 . ( x − 1) 2

Hai nhánh của đồ thị có chiều đi xuống nên y′ < 0, ∀x ≠ 1 .

Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn iz = 4 + 3i . Số phức liên hợp của z là: A. z = 3 + 4i .

B. z = − 3 − 4i .

C. z = 3 − 4i .

Lời giải

D. z = − 3 + 4i .

Chọn A Từ giả thiết iz = 4 + 3i ⇔ z =

4 + 3i ⇔ z = 3 − 4i . Khi đó: z = 3 + 4i . i

Câu 35: Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẩu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng

A.

1 .

22

B.

7 .

44

5 .

12 Lời giải C.

D.

2 .

7

Chọn A Số phần tử của không gian mẫu là tổ hợp chập 3 của 12 phần tử  n ( Ω ) = C123 = 220 .

Gọi biến cố A : “lấy được 3 quả bóng màu đỏ”.

Suy ra: n ( A ) = C53 = 10 .

Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) =

10 1 = .

220 22

Câu 36: Với mọi a, b thỏa mãn log 2 a 3 + log 2 b = 5 , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a3b = 32 .

B. a3b = 25 .

C. a3 + b = 25 .

Lời giải

D. a3 + b = 32 .

Chọn A log 2 a 3 + log 2 b = 5 ⇔ log 2 a 3b = 5 ⇔ a 3b = 25 ⇔ a 3b = 32 .

Câu 37: Trên đoạn [ −1; 2] , hàm số y = x3 + 3x 2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 .

B. x = 0 .

C. x = −1 .

Lời giải

D. x = 1 .

Chọn B

y = x3 + 3x 2 + 1 x = 0 y′ = 3 x 2 + 6 x = 0 ⇔  .  x = −2 ∉ [ −1;2] y ( −1) = 3; y ( 0 ) = 1; y ( 2 ) = 21 .

Vậy GTNN trên đoạn [ −1; 2] của hàm số bằng 1 tại x = 0 .

Câu 38: Trong mặt phẳng Oxyz , cho hai điểm A (1;0;0 ) và B ( 3;2;1) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là:

A. 2 x + 2 y + z − 2 = 0 .

B. 4 x + 2 y + z − 17 = 0 .

C. 4 x + 2 y + z − 4 = 0 .

D. 2 x + 2 y + z − 11 = 0 .

Lời giải

Chọn A

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB nên nhận AB = ( 2 ; 2;1) làm VTPT.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2 ( x − 1) + 2 y + z = 0 ⇔ 2 x + 2 y + z − 2 = 0 .

Câu 39: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị là đường cong trong hình bên . Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( f ( x ) ) = 0 là:

A. 12 .

C. 8 .

Lời giải

B. 10 .

D. 4 .

Chọn B f  f Ta có: f ( f ( x ) ) = 0 ⇔  f f 

( x ) = a ( a < −1) (1) ( x ) = b ( −1 < b < 0 ) ( 2 ) . ( x ) = c ( 0 < c < 1) ( 3) ( x ) = d ( d > 1) ( 4)

Từ đồ thị hàm số ta thấy: Phương trình (1) có: 2 nghiệm Phương trình ( 2) có: 4 nghiệm Phương trình ( 3 ) có: 4 nghiệm Phương trình ( 4) vô nghiệm Vậy phương trình f ( f ( x ) ) = 0 có tất cả 10 nghiệm thực phân biệt.

(

2

)

Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2 x − 4 x  log 3 ( x + 25 ) − 3 ≤ 0?

A. 24.

Chọn D

B. Vô số.

C. 25.

Lời giải

D. 26.

Cách 1: Ta có điều kiện xác định của bất phương trình là x > −25 .

(

)

2

Đặt A( x) = 2 x − 4 x log 3 ( x + 25) − 3 , x > −25 .

2

2x − 4x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2 . log3 ( x + 25) − 3 = 0 ⇔ x = 2 .

Ta có bảng xét dấu A( x ) như sau

x = 2 Từ đó, A( x) ≤ 0 ⇔   x ∈ {−24; −23;...;0;2} (do x ∈ ℤ )  −25 < x ≤ 0 Kết luận: có 26 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Cách 2: • Trường hợp 1: 2 2  2 x − 4 x ≤ 0 2 x ≤ 22 x  x2 − 2x ≤ 0 0 ≤ x ≤ 2 ⇔ ⇔ ⇔ x = 2. ⇔     x + 25 ≥ 27 x ≥ 2 x ≥ 2 log 3 ( x + 25 ) − 3 ≥ 0 • Trường hợp 2:

 x ≤ 0 2  2 x − 4 x ≥ 0  x2 − 2 x ≥ 0  ⇔   x ≥ 2 ⇔ −25 < x ≤ 0 ∨ x = 2 . ⇔  − 25 < x ≤ 2 log x + 25 − 3 ≤ 0 ( )   3 −25 < x ≤ 2 

(

2

)

• Vậy có 26 giá trị nguyên của x thỏa mãn 2 x − 4 x  log 3 ( x + 25 ) − 3 ≤ 0 .

2 x + 2 khi x ≥ 1 Câu 41: Cho hàm số f ( x ) =  2 . Giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn 3 x + 1 khi x < 1 F ( 0 ) = 2 . Giá trị của F ( −1) + 2 F ( 2 ) bằng A. 18 .

B. 20 .

C. 9 .

Lời giải

D. 24 .

Chọn A

 x 2 + 2 x + C1 khi x ≥ 1 • F là nguyên hàm của f trên ℝ nên F ( x ) =  3 .  x + x + C2 khi x < 1 • Ta có: F ( 0 ) = 2  C2 = 2 .

• Do F liên tục tại x = 1 nên

(1) lim F ( x ) = lim F ( x ) = F (1) x→1 x→1 +

(1)

⇔ C1 + 3 = C2 + 2 ⇔ C1 + 3 = 4 ⇔ C1 = 1 .  x 2 + 2 x + 1 khi x ≥ 1 • Do đó F ( x ) =  3 .  x + x + 2 khi x < 1 • Suy ra F ( −1) + 2 F ( 2 ) = 18 .

−

Câu 42: Cắt hình nón ( N ) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng 30° , ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a . Diện tích xung quanh của ( N ) bằng

A.

7π a 2.

B. 13π a 2 .

C. 2 13π a2.

Lời giải

D. 2 7π a 2 .

Chọn B

2a 3 = a 3.

2 = 30°.

• Góc giữa thiết diện và mặt phẳng đáy là SHI

• Ta có: ∆SAB đều cạnh 2a  SH =

3 3a = .

2 2

• Xét ∆SHI vuông tại I ; HI = SH .cos30° = a 3.

• Xét ∆AHI vuông tại H : AI = AH 2 + HI 2 = a 2 + • Vậy: S xq = π r.l = π . AI .SA = π .

9a 2 a 13 . = 4 2

a 13 .2a = 13π a 2 .

2

x y z −1 = = và mặt phẳng 1 −1 2 ( P ) : x + 2 y − 2 z + 2 = 0 . Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng ( P) là đường thẳng có

Câu 43: Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

đường

thẳng

d:

phương trình:

A.

x y z −1 = = .

3 −2 4

B.

x y z +1 = = .

14 1 8

C. Lời giải

Chọn D

Cách 1

x y z +1 = = .

3 −2 4

D.

x y z −1 = = .

14 1 8

x = 0 x + 2 y − 2z + 2 = 0   · Tọa độ A = d ∩ ( P ) thỏa  x y z − 1 x + 2 y − 2 z + 2 ⇔  y = 0  A ( 0;0;1) . =0  1 = −1 = 2 = z = 1 1− 2 − 4  • Lấy điểm B(1; −1;3) ∈ d :

x y z −1 = = .

1 −1 2

Gọi B′ là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng ( P )  BB′ :

x −1 y +1 z − 3 = = 1 2 −2

• Tọa độ B′ = BB′ ∩ ( P ) thỏa

5 14  x = 1+ 9 = 9  x + 2 y − 2z + 2 = 0 5 1    14 1 17   x − 1 y + 1 z − 3 x + 2 y − 2 z + 2 + 5 5 ⇔  y = −1 + 2. =  B′  ; ;  .

9 9 = 9 9 9  1 = 2 = −2 =  1+ 4 + 4 9 5 17   z = 3 − 2. 9 = 9   14 1 8  1

• AB′ =  ; ;  = u  u = (14;1;8) là vectơ chỉ phương của AB′ .  9 9 9 9 • Vậy AB′ :

x y z −1 = = là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên ( P ) .

14 1 8

Cách 2 x = 0 x + 2 y − 2z + 2 = 0   • Tọa độ A = d ∩ ( P ) thỏa  x y z − 1 x + 2 y − 2 z + 2 ⇔  y = 0  A ( 0;0;1) . =0  1 = −1 = 2 = z = 1 1− 2 − 4  • Gọi d ' là hình chiếu của d lên ( P ) ;

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (1; −1;2 ) .

+ Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n = (1;2; −2) .

+ a = u, n  = (−2;4;3) .

+  n, a  = (14;1;8) là vectơ chỉ phương của (d ') . x y z −1 .

• Vậy d ′ : = = 14 1 8 1  3 x2 + xy = (1 + xy ) 2718 x ?

Câu 44: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x ∈  ; 6  thỏa mãn 27 3  

A. 19 .

B. 20 .

C. 18 .

Lời giải

Chọn B Cách 1:

• Khi y ≤ 0, vì xy > −1 và x >

1 nên ta có y > −3.

3

D. 21 .

2

Với y = 0 , phương trình thành: 273 x −18 x − 1 = 0 vô nghiệm vì 2 1  273 x −18 x − 1 < 270 − 1 = 0, ∀x ∈  ;6  3 

2

Với y = −1, phương trình thành: 273 x −19 x − (1 − x) = 0 , có nghiệm vì g1 ( x) = 273 x

2

−19 x

− (1 − x)

1  1 liên tục trên  ;6  và g1   .g1 ( 6 ) < 0 . 3  3 2

Với y = −2 , phương trình thành: 273 x −20 x − (1 − 2 x) = 0 , có nghiệm vì 2 1  1 g 2 ( x) = 273 x −20 x − (1 − 2 x) liên tục trên  ;6  và g 2   .g 2 ( 6 ) < 0 . 3  3

1  • Khi y ≥ 1, xét trên  ;6  , ta có 3  2

273 x + xy = (1 + xy)2718 x ⇔ 3x 2 − 18 x = log 27 (1 + xy) − xy log 27 (1 + xy ) + y = 0. x log 27 (1 + xy ) 1  + y trên  ;6  .

Xét hàm g ( x) = 3x − 18 − x 3  ⇔ 3x − 18 −

Ta có g '( x) = 3 +

y 1 3 ln(1 + xy ) 1  − > 3− 2 ≥ 3− > 0, ∀x ∈  ;6  .

2 x ln 27 x(1 + xy ) ln 27 3 x ln 3 ln 3 3 

1  1  Do đó, hàm g ( x) đồng biến trên  ;6  . Vì thế phương trình g ( x) = 0 có nghiệm trên  ;6  3  3  1 khi và chỉ khi g   g (6) < 0. Áp dụng bất đẳng thức ln(1 + u ) < u với mọi u > 0 , ta có 3 g (6) = −

log 27 (1 + 6 y ) 6y +y>− + y > 0.

6 6ln 27

y 1  Do đó g   < 0 ⇔ − log 3 1 +  + y − 17 < 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 18 (do y là số nguyên dương). 3  3 Vậy y ∈ {−2; −1;1;2;...;18} hay có 20 giá trị y thỏa đề.

Cách 2.

Giả sử y là một trong những số nguyên thỏa mãn yêu cầu, lúc đó ta xét phương trình

273 x

2

+ xy

= (1 + xy ) 2718 x

1  trên D =  ;6  ∩ { x ∈ ℝ : xy > −1} , và trên D nó tương đương với f ( x ) = 0 , trong đó 3  1 f ( x ) = 3x2 + ( y − 18) x − log3 (1 + xy ) .

3

Ta có vài tính toán sau f ' ( x ) = 6 x + y − 18 −

y y2 , f '' ( x ) = 6 + .

3 (1 + xy ) ln 3 (1 + xy )2 ln 3

1 1  1  Nếu y < 0 , khi ấy vì cần có nghiệm x ∈  ;3  nên có ngay y ≥ −2 , lúc ấy D =  ; −  trên 3  3 y D ta có 1 1 1 1  1   2 lim+ f ( x ) = + y − 6 − log 3  1 + y  ≤ −6 − log 3  1 −  < 0.

3 3 3 3 3 1  3   x→ 3

Kết hợp

lim − f ( x ) = +∞ và việc f liên tục trên D cho thấy f có điểm triệt tiêu trên D , x →−

1 y

nghĩa là trường hợp này cho ta y ∈ {−2, −1} thỏa yêu cầu.

Nếu y = 0 , ta có f ( x ) = 3x 2 − 18 x < 0 với mọi x ∈ D , vì thế loại.

Nếu y ≥ 19 , lúc đó có y lim+ f ' ( x ) = y − 16 − > y − 17 > 0 .

1 ( 3 + y ) ln 3 x→

3

Kết hợp việc f ' ( x ) tăng ngặt trên D , cho ta f tăng ngặt trên D và trên D có lim+ f ( x ) = x→

Xét g ( y ) =

1 3

1 1 1  1  + y − 6 − log 3  1 + y  3 3 3  3 

1 1 1  1  + y − 6 − log 3  1 + y  trên [10; +∞ ) , ta có 3 3 3  3 

1 1 2 1  19  > 0, g (19 ) = − log3 1 +  > 0 g '( y) = − 3 3(3 + y ) 3 3 3  Vậy, g ( y ) > 0 với mỗi y ≥ 19 , cho thấy là f ( x ) > 0 với mọi x ∈ D .

1 − log3 7 < 0 kết hợp tính tăng ngặt của g trên [1;18] ta có 3 1 1  1  lim+ f ( x ) = g ( y ) = + y − 9 − log 3  1 + y  < 0 .

3 3 1  3  x→

Nếu 1 ≤ y ≤ 18 , thế thì vì g (18 ) =

3

Còn, theo bất đẳng thức số e , ta có

1 lim− f ( x ) = 6 y − log3 (1 + 6 y ) > 6 y − ln (1 + 6 y ) > 0 .

3 x →6 Đến đây, theo tính liên tục của f , ta thấy nó triệt tiêu trên D .

Tóm lại y ∈ ℤ \ {0} và −2 ≤ y ≤ 18.

Câu 45: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z0 thoả mãn z0 = 6 ?

A. 4 .

B. 1.

Chọn D Ta có ∆′ = (m + 1) 2 − m 2 = 2m + 1 .

C. 2 .

Lời giải

D. 3 .

1 ∆′ ≥ 0 ⇔ 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ − , phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó 2 z0 = 6 ⇔ z0 = ±6 .

+) Nếu

* Thay z0 = 6 vào phương trình ta được

36 − 12 ( m + 1) + m2 = 0 ⇔ m2 − 12m + 24 = 0 ⇔ m = 6 ± 2 3 (thoả mãn). * Thay z0 = −6 vào phương trình ta được

36 + 12 ( m + 1) + m2 = 0 ⇔ m 2 + 12m + 48 = 0 (vô nghiệm).

1 +) Nếu ∆′ < 0 ⇔ 2m + 1 < 0 ⇔ m < − , phương trình có 2 nghiệm phức z1 , z2 ∉ ℝ thỏa 2 2

z2 = z1 , z1 = z2 = 6 . Khi đó z1.z2 = z1 = m 2 = 6 2 hay m = 6 (loại) hoặc m = −6 (nhận).

Vậy tổng cộng có 3 giá trị của m là m = 6 ± 2 3 và m = −6 .

Câu 46: Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình vuông BD = 4a , góc giữa hai mặt phẳng

( A′BD )

và ( ABCD ) bằng 600 . Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. 48 3a 3 .

B.

16 3 3 a .

9

16 3 3 a .

3

C.

D. 16 3a3 .

Lời giải Chọn D

Ta có đáy ABCD là hình vuông có BD = 4a  AB = 2 2a .

Gọi I trung điểm BD. Vì BD = 4a  BI = AI = 2a .

A′A  A′A = 2 3a .

AI Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:

Tam giác A′AI vuông tại A có: tan 600 =

2

(

)

với

a, b, c

V = S ABCD . A′A = 2 2a .2 3a = 16 3a3 .

Câu 47: Cho hàm số

f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c

là các số thực. Biết hàm số

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) có hai giá trị cực trị là −5 và 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y =

A. ln 3 .

Chọn B

f ( x) và y = 1 bằng g ( x) + 6

B. 3 ln 2 .

C. ln 10 .

Lời giải

D. ln 7 .

Ta có

g ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) = x 3 + ( a + 3) x 2 + ( 2a + b + 6 ) x + ( 2a + b + c ) g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + f ′′ ( x ) + f ′′′ ( x ) = 3x 2 + 2ax + b + 6 x + 2a + 6 = 3 x 2 + ( 2a + 6 ) x + ( 2a + b + 6 ) .

Vì y = g ( x ) có hai giá trị cực trị là −5 và 2 nên g ′ ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với

g ( x1 ) = −5, g ( x2 ) = 2 .

Phương trình hoành độ giao điểm f ( x) f ( x) − g ( x) − 6 3 x 2 + ( 2a + 6 ) x + ( 2 a + b + 6 ) g′( x) =1⇔ =0 ⇔ =0⇔ =0. g ( x) + 6 g ( x) + 6 g ( x) + 6 g ( x) + 6 Phương trình này cũng có hai nghệm phân biệt x1 , x2 Như vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = x2

S=

g′( x)

 g ( x) + 6

= ln g ( x ) + 6

x1

x2 x1

f ( x) và y = 1 là g ( x) + 6

= ln 2 + 6 − ln −5 + 6 = 3ln 2 .

Câu 48: Xét các số phức z , w thỏa mãn z = 1 và w = 2 . Khi z + iw + 6 + 8i đạt giá trị nhỏ nhất z − w bằng

A.

29 .

5

B.

221 .

5

C. 3 .

D.

5.

Lời giải Chọn B Ta có z + iw + 6 + 8i ≥ 6 + 8i − z − iw = 10 − 1 − 2 = 7 .

3 4 3 4    z = − 5 − 5 i  z = − 5 − 5 i Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  . ⇔ 6 8 8 6 iw = − − i w = + i   5 5 5 5

Khi đó z − w =

221 .

5

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(−2;1; −3) và B (1; −3; 2). Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy ) sao cho MN = 3. Giá trị lớn nhất của AM − AN bằng A.

65 .

B.

29 .

C. Lời giải

Chọn A

26 .

D.

91 .

Dễ thấy điểm A nằm phía dưới, điểm B nằm phía trên mặt phẳng (Oxy).

Gọi A ' là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (Oxy), suy ra tọa độ điểm A′(−2;1;3).

Gọi (α ) là mặt phẳng qua A′ và song song với mặt phẳng (Oxy), suy ra phương trình mặt phẳng

(α ) : z − 3 = 0. Trên mặt phẳng (α ) lấy điểm A1 sao cho A′A1 = MN = 3 , suy ra A1 thuộc đường tròn ( A′,3) và tứ giác A′A1MN là hình bình hành nên ta có A′M = A1 N .

Nên AM − BN = A′M − BN = A1M − BN ≤ A1B . Gọi B ′ là hình chiếu của B lên mặt phẳng

(α ), suy ra tọa độ điểm B′(1; −3;3) .

2

Ta có A1B = B′B 2 + B′A12 ≤ 1 + ( B′A′ + 3 ) = 65.

Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 9 ) ( x 2 − 16 ) , ∀x ∈ ℝ . Có bao nhiêu giá trị

(

)

nguyên dương của tham số m để hàm số g ( x ) = f x3 + 7 x + m có ít nhất 3 điểm cực trị?

A. 16 .

B. 9 .

C. 4 .

Lời giải

D. 8 .

Chọn D Ta có BBT của hàm y = h ( x ) = x 3 + 7 x như sau:

Ta có g ′ ( x ) = x3 + 7 x ′ . f ′ x3 + 7 x + m . Rõ ràng x = 0 là điểm cực trị của hàm y = h ( x ) .

(

)

 x3 + 7 x + m = 9  x3 + 7 x = 9 − m   Ta có: f ′ x 3 + 5 x + m = 0 ⇔  x 3 + 7 x + m = 4 ⇔  x 3 + 7 x = 4 − m .    x3 + 7 x + m = −4  x3 + 7 x = −4 − m  

(

)

Để hàm số g ( x ) có ít nhất 3 điểm cực trị thì phương trình g ′ ( x ) = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác 0 và g ′ ( x ) đổi dấu khi đi qua ít nhất 2 trong số các nghiệm đó.

Từ BBT ta có 9 − m > 0 ⇔ m < 9  m ∈ {1;2;3;4;5;6,7,8}.

Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.