b) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = đường thẳng y = m như sau: Với m > 1 thì có 1 giao điểm Với m = 1 thì có hai giao điểm Với m < 1 thì có ba giao điểm
x 2 + 4x + 4 - x - 2 ta có số giao điểm của nó với x +2
Bài 2.23: Từ giả thiết ta có x , y, z Î éê 0; 1 ùú ë û Þ xy + yz + zx - 2xyz = xy + yz (1 - x ) + zx (1 - y ) ³ 0 . (y + z )2 (1 - x )2 = Củng từ giả thiết ta suy ra yz £ . Mặt khác ta lại có 4 4 xy + yz + zx - 2xyz £
7 7 Û f (yz ) = (1 - 2x )yz + x (1 - x ) £ 0 (2). 27 27
Khi đó ta thấy rằng Nếu x =
1 1 £ 0 (hiển nhiên đúng). khi đó BĐT (2) thành 2 108
Nếu x ¹
1 thì f (yz ) là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh f (yz ) £ 0 ta chỉ cần chứng minh 2
ìï f (0) £ 0 ïï 2 æ 1 ÷ö 1 7 ïí é ( 1 - x )2 ù ç < 0 và = - ç x - ÷÷ . Dễ thấy f (0) = x (1 - x ) ê ú çè ïï f ê 2ø 108 27 ú£0 ïï ê 4 ú ïî ë û
2 é 1-x 2 ù )ú (1 - x ) 2 7 1 ê( fê + x (1 - x ) =( 6x + 1)( 3x - 1 ) £ 0 . Vậy là trong ú = (1 - 2x ). 4 4 27 108 ê ú ë û
hai trường hợp ta kết luận f (yz ) £ 0 . Ta đã giải xong bài toán.
(y + z )2 (3 - x )2 = Bài 2.24: Từ giả thiết ta có x , y, z Î éê 0; 3 ùú và yz £ . Mặt khác ta thấy ë û 4 4 x 2 + y 2 + z 2 + xyz ³ 4 Û x 2 + ( y + z ) - 2yz + xyz - 4 ³ 0 Û x 2 + ( 3 - x ) - 2yz + xyz - 4 ³ 0 2
Û f (yz ) = (x - 2)yz + 2x 2 - 6x + 5 ³ 0
2
(3).
Nếu x = 2 thì BĐT (3) sẻ thành 1 ³ 0 (hiển nhiên đúng).
83