Ví dụ 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos
A B -C cos(B - C ) + cos A cos = 0. 2 2
Chứng minh rằng cos 2B + cos 2C £ 1 . Lời giải Từ giả thiết ta có ö ö Aæ B -C B - C æç A cos çç 2 cos2 - 1 ÷÷÷ + cos 2 cos2 - 1 ÷÷÷ = 0 ç 2 çè 2 2 çè 2 ø ø A B - C æç B -C Aö æ A B - C ö÷ Û 2 cos cos + cos ÷÷÷ - çç cos + cos ÷=0 çç cos 2 2 è 2 2 ø çè 2 2 ÷ø æ A B - C öæ ÷÷ çç 2 cos A cos B - C - 1 ö÷÷ = 0 (1) Û çç cos + cos ÷ø çè 2 2 ÷øèç 2 2
A p A p B -C p B -C < Þ cos > 0 , - < < Þ cos > 0 và 2 2 2 2 2 2 2 B +C p A A B +C A B -C nên (1) Û 2 cos cos = - Þ cos = sin -1 = 0 2 2 2 2 2 2 2 B +C B -C Û 2 sin cos = 1 Û sin B + sin C = 1 2 2
Vì 0 <
Áp dụng bất đẳng thức x + y ³ 2
2
(x + y )
2
2
suy ra sin B + sin C ³ 2
2
( sin B + sinC )
1 Do đó cos 2y + cos 2z = 2 - 2 ( sin2 y + sin2 z ) £ 2 - 2. = 1 ĐPCM. 2 Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có sin
2
2
=
1 2
A B B C C A 3 3 cos + sin cos + sin cos £ 2 2 2 2 2 2 4
Lời giải Do A, B,C bình đẳng nên không mất tính tổng quát giả sử A ³ B ³ C Þ Suy ra sin
p A B C > ³ ³ >0 2 2 2 2
A B C A B C ³ sin ³ sin > 0, cos ³ cos ³ cos > 0 2 2 2 2 2 2
æ A B öæ B Cö Þ çç sin - sin ÷÷÷ çç cos - cos ÷÷÷ ³ 0 2 2 øèç 2 2ø èç Û sin
A B A C B B B C cos - sin cos - sin cos + sin cos ³ 0 2 2 2 2 2 2 2 2
Û sin
A B B C A C B B cos + sin cos £ sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2
Do đó sin Mà sin
A B B C C A A C C A B B cos + sin cos + sin cos £ sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
æA C ö A C C A B B B B B B B cos + sin cos + sin cos = sin çç + ÷÷÷ + sin cos = cos + sin cos (1) ç 2 2 2 2 2 2 2ø 2 2 2 2 2 è2
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 408