x3 y3 z3 + + ≥ 6 . Bài toán được chứng minh xong. y+z z+x x+y Bài 100. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Do đó
(a
2
)(
)(
+ 8 b2 + 8 c2 + 8 6
) = (a
2
)(
)(
+ 8abc b2 + 8abc c2 + 8abc
)
6
(a + b + c) (a + b + c) ( a + 8bc )( b + 8ca )( c + 8ab ) ≤ a + b + c + 8 ( ab + bc + ca ) = 27 ( a + b + c ) (a + b + c) 8 a + b + c + ( a + b + c ) 3 1 1 8 1 1
3
6
6
3
2
≤
(
27 a + b + c
(
)(
)(
)
6
) (
=
)
3
3
8 + ≤ + =1 3 27 a + b + c 3 27 abc 3
6
Do đó a 2 + 8 b2 + 8 c2 + 8 ≤ a + b + c . Bài toán được chứng minh xong. Bài 101. Đặt x = Khi đó ta có:
1 1 1 , y = , z = thì giả thiết được viết lại là a + b +c = 3 a b c
y2 x2 z2 a2 b2 c2 + + = + + xy2 + 2x 2 xz2 + 2z2 yz2 + 2y2 a + 2b2 b + 2c2 c + 2c2 2ab2 2bc2 2ca 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 = a + b + c − + + ≥ a + b + c − ab + bc + ca 2 2 2 3 b + 2c c + 2c a + 2b
(
ab + ab + 1 3 bc + bc + 1 3 2 2 ca + ca + 1 3 2 2 Tương tự bc ≤ ; ca ≤ 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 Từ đó ta có a + b + c − a b + b c + c a ≥ a + b + c − 2ab + 2bc + 2ca + 3 ≥ 1 3 9 Bài toán được chứng minh xong. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
(
3
a 2 b2 = 3 ab.ab.1 ≤
)
(
)
)