1 1 1 1 2 3 + 2 + 2 ≥ 2 + ≥ a + 1 b + 1 c + 1 a + 1 bc + 1 2 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 . 2
Cách 2: Gọi biểu thức vế trái là P, ta biến đổi biểu thức P như sau
a2 1 1 1 b2 c P= 2 + 2 + 2 = 3− 2 + 2 + 2 a +1 b +1 c +1 a + 1 b + 1 c + 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
4a 2 4a 2 a2 a2 a a2 = ≤ + = + 3a 2 + 3 3a 2 + ab + bc + ca a 2 + ab + ac 2a 2 + bc a + b + c 2a 2 + bc
Áp dụng tương tự với hai biểu thức còn lại ta được
4a 2 4b2 4c2 a2 b2 c2 + + ≤ 1 + + + 3a 2 + 3 3b2 + 3 3c2 + 3 2a 2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab a2 b2 c2 Ta sẽ chứng minh + + ≤1 2a 2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
1 3 a2 b2 c2 − 2 + 2 + 2 ≥ 2 2a + bc 2b + ca 2c + ab 2 bc ca ab 1 + + ≥ 2a 2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab 2
Hay
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
( )
2
2
2
( )
( )
bc ca ab bc ca ab + + = + + 2a 2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab 2a 2bc + b2c2 2ab2c + c2a 2 2abc2 + a 2 b2 2 ab + bc + ca ≥ 2 2 =1 a b + b2 c2 + c2a 2 + 2abc a + b + c
(
)
(
)
Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 113. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc ≥ 1 . Chứng minh rằng:
1 1 1 + 4 + 4 ≤1 3 2 3 2 a +b +c b +c +a c + a 3 + b2 4
Phân tích: Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có đánh giá
(a
4
)(
) (
+ b3 + c2 1 + b + c2 ≥ a 2 + b2 + c2
2
)
Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
(a Do đó ta có
4
)(
) (
+ b 3 + c 2 1 + b + c 2 ≥ a 2 + b2 + c 2
2
)
1 1 + b + c2 1 + b + c2 = ≤ a 4 + b 3 + c2 a 4 + b 3 + c2 1 + b + c2 a 2 + b2 + c 2
(
)(
) (
2
)
Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức
1 1 1 3 + a + b + c + a 2 + b2 + c2 + + ≤ 2 a 4 + b 3 + c 2 b 4 + c 3 + a 2 c 4 + a 3 + b2 a 2 + b2 + c 2
(
)