a 2bc b2ca c2ab 3 + + ≤ 4 4 4 a + bc b + ca c + ab 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được a 4 + bc ≥ 2a 2 bc
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
a 2 bc a 2bc ≤ = a 4 + bc 2a 2 bc
Do đó ta được
bc 2
a 2 bc b2ca c2ab ab + + + ≤ a 4 + bc b4 + ca c4 + ab a 2 bc + ab + bc + ca ≤ a + b + c ≤ 3 nên ta được 4 a + bc
bc + ca 2 b2 ca c2ab 3 Dễ thấy + ≤ 4 4 b + ca c + ab 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Bài 63. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng: 5 2abc a + b + c ≤ + a 4 b2 + b4 c2 + c4a 2 9 Hoàn toàn tương tự ta được
(
)
Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2013-2014 Lời giải 2 2 Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức dạng x + y + z2 ≥ xy + yz + zx ta được
(
a 4 b2 + b4 c2 + c4a 2 ≥ abc a 2b + b2c + c2a
(
)
Bài toán quy về chứng minh 2abc a + b + c ≤
)
5 + abc a 2 b + b2c + c2a 9
(
)
5 + a 2 b + b2 c + c 2 a 9abc 1 2a 2 1 2b 2 1 2c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được a 2 b + ≥ ; b c+ ≥ ;ca+ ≥ 9b 3 9c 3 9a 3
(
Hay
(
)
2 a+b+c ≤
)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
1 1 1 2a 2b 2c + + ≥ + + 9a 9b 9c 3 3 3 ab + bc + ca 2 Hay a 2 b + b2 c + c 2 a + ≥ a+b+c 9abc 3 4 2 Như vậy ta cần chỉ ra được 2 a + b + c ≤ + a+b+c 9abc 3 4abc a + b + c 4 Hay ≤ ⇔ 3abc a + b + c ≤ 1 3 9 a 2 b + b2c + c2a +
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng vì 1 = ab + bc + ca
2
)
(
≥ 3abc a + b + c
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành
(
)
2abc a + b + c + Để ý là
(
1 = ab + bc + ca
2
)
1 . 3
4 ≤ 1 + a 4 b2 + b4 c2 + c4a 2 9
(
= a 2b2 + b2c2 + c2a 2 + 2abc a + b + c
Như vậy ta quy bài toán về chứng minh
)
)
4 ≤ a 2 b2 + b2 c 2 + c 2 a 2 + a 4 b2 + b 4 c 2 + c 4 a 2 9