CONTENIDO
PREFACIO CAPÍTULO
1
xxiii
ALGUNOS CONOCIMIENTOS PRELIMINARES 2 1.1 Ecuaciones de primer grado con una variable 4 Las ecuaciones y sus propiedades 4 Solución de ecuaciones de primer grado con una variable 6 1.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable 8 Solución de ecuaciones cuadráticas 8 1.3 Las desigualdades y su solución 11 Desigualdades 11 Notación de intervalo 13 Solución de desigualdades 14 Desigualdades de segundo grado 17 1.4 Relaciones de valor absoluto 20 Algunas propiedades de los valores absolutos 21 Solución de ecuaciones y desigualdades que implican valores absolutos 1.5 Sistemas de coordenadas rectangulares 25 El plano cartesiano 25 Fórmula del punto medio 28 Fórmula de la distancia 29 Términos y conceptos clave 31 Ejercicios adicionales 32 Evaluación del capítulo 33
ECUACIONES Y FUNCIONES CAPÍTULO
2
ECUACIONES LINEALES 34 2.1 Ecuaciones lineales 36 Forma general 36 Representación mediante el uso de las ecuaciones lineales 37 Ecuaciones lineales con n variables 40 2.2 Características gráficas 45 Representación gráfica de ecuaciones con dos variables 45 Intercepciones 47 La ecuación x = k 48 La ecuación y = k 48 Pendiente 50
22
xii
CONTENIDO
2.3 Forma de pendiente-intercepción 56 Según un punto de vista ventajoso y diferente 56 Interpretación de la pendiente y la intercepción de y 57 2.4 Determinación de la ecuación de una línea recta 61 Pendiente e intercepción 61 Pendiente y un punto 61 Dos puntos 64 2.5 Ecuaciones lineales con más de dos variables 69 Sistemas de coordenadas tridimensionales 69 Ecuaciones con tres variables 71 Ecuaciones con más de tres variables 73 2.6 Aplicaciones adicionales 76 Términos y conceptos clave 80 Fórmulas importantes 80 Ejercicios adicionales 80 Evaluación del capítulo 86 CAPÍTULO
3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 88 3.1 Sistemas de ecuaciones con dos variables 90 Sistemas de ecuaciones 90 Análisis gráfico 91 Soluciones gráficas 92 El procedimiento de eliminación 93 Sistemas de (m 2), m > 2 97 3.2 Método de eliminación de Gauss 101 La idea general 101 El método 103 3.3 Sistemas con n variables, n ≥ 3 109 Análisis gráfico para sistemas con tres variables 109 Procedimiento de eliminación de Gauss para sistemas de (3 3) Menos de tres ecuaciones 115 Sistemas con n variables, n > 3 117 3.4 Aplicaciones selectas 118 Problema de mezcla de productos 120 Modelo de mezcla 121 Modelo de cartera 122 3.5 Notas finales 126
110
Términos y conceptos clave 127 Ejercicios adicionales 127 Evaluación del capítulo 130 Ejercicios por computadora 131 Apéndice: procedimiento de eliminación para sistemas de (3 3) 134
CONTENIDO
CAPÍTULO
4
FUNCIONES MATEMÁTICAS 140 4.1 Funciones 142 Definición de funciones 142 La naturaleza y la notación de las funciones 143 Consideraciones de dominio y rango 147 Dominio y rango restringidos 150 Funciones de varias variables 151 4.2 Tipos de funciones 158 Funciones constantes 158 Funciones lineales 159 Funciones cuadráticas 160 Funciones cúbicas 161 Función polinomial 162 Funciones racionales 162 Combinación de funciones 163 Funciones compuestas 163 4.3 Representación gráfica de las funciones 169 Representación gráfica de funciones en dos dimensiones Prueba de la línea recta vertical 174 Términos y conceptos clave 177 Fórmulas importantes 177 Ejercicios adicionales 177 Evaluación del capítulo 180
CAPÍTULO
5
FUNCIONES LINEALES: APLICACIONES 182 5.1 Funciones lineales 184 Forma general y suposiciones 184 Funciones lineales del costo 186 Funciones lineales del ingreso 188 Funciones lineales de la utilidad 188 5.2 Otros ejemplos de funciones lineales 192 5.3 Modelos basados en el punto de equilibrio 206 Suposiciones 206 Análisis del punto de equilibrio 206 Términos y conceptos clave 218 Fórmulas importantes 219 Ejercicios adicionales 219 Evaluación del capítulo 223 Minicaso: Decisión de cambio de automóvil 225
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xiii
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CONTENIDO
CAPÍTULO
6
FUNCIONES CUADRÁTICAS Y POLINOMIALES 226 6.1 Funciones cuadráticas y sus características 228 Forma matemática 228 Representación gráfica 229 6.2 Funciones cuadráticas: aplicaciones 240 6.3 Funciones polinomiales y racionales 249 Funciones polinomiales 249 Funciones racionales 254 Términos y conceptos clave 256 Fórmulas importantes 256 Ejercicios adicionales 257 Evaluación del capítulo 261 Minicaso: Guerras del comercio minorista 263
CAPÍTULO
7
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 264 7.1 Características de las funciones exponenciales 266 Características de las funciones exponenciales 267 Funciones exponenciales de base e 272 Conversión a funciones de base e 275 7.2 Aplicaciones de las funciones exponenciales 277 7.3 Logaritmos y funciones logarítmicas 288 Logaritmos 288 Propiedades de los logaritmos 290 Solución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales 291 Funciones logarítmicas 296 Términos y conceptos clave 304 Fórmulas importantes 305 Ejercicios adicionales 305 Evaluación del capítulo 310 Minicaso: ¿Hora del fallecimiento? 311
MATEMÁTICAS FINITAS CAPÍTULO
8
MATEMÁTICAS DE LAS FINANZAS 312 8.1 Interés y su cálculo 314 Interés simple 314 Interés compuesto 316 El poder del crecimiento capitalizado 317 8.2 Cálculos de pagos simples 320 Monto compuesto 320 Valor presente 324
CONTENIDO
Otras aplicaciones de la fórmula del monto compuesto 326 Tasas efectivas de interés 329 8.3 Anualidades y su valor futuro 332 La suma de una anualidad 332 Determinación del importe de una anualidad 335 8.4 Anualidades y su valor presente 338 El valor presente de una anualidad 338 Determinación del importe de una anualidad 341 Hipotecas 342 La ventaja del pago quincenal de la hipoteca 345 8.5 Análisis costo-beneficio 347 Flujo de efectivo descontado 347 Extensiones del análisis del flujo de efectivo descontado 350 Términos y conceptos clave 352 Fórmulas importantes 353 Ejercicios adicionales 354 Evaluación del capítulo 358 Minicaso: Corporación XYZ 360 CAPÍTULO
9
ÁLGEBRA MATRICIAL 362 9.1 Introducción a las matrices 364 ¿Qué es una matriz? 364 Propósito del estudio del álgebra matricial 365 9.2 Tipos especiales de matrices 366 Vectores 366 Matrices cuadradas 367 Transpuesta de una matriz 368 9.3 Operaciones matriciales 370 Adición y sustracción de matrices 370 Multiplicación escalar 372 El producto interno 373 Multiplicación de matrices 374 Representación de una ecuación 379 Representación de sistemas de ecuaciones 380 9.4 El determinante 383 El determinante de una matriz de orden (1 1) 384 El determinante de una matriz de orden (2 2) 384 El determinante de una matriz de orden (3 3) 384 El método de cofactores 386 Propiedades de los determinantes 391 Regla de Cramer 393 9.5 La inversa de una matriz 396 Determinación de la inversa 397
xv
xvi
CONTENIDO
Obtención de la inversa usando cofactores (opcional) 401 La inversa y los sistemas de ecuaciones 403 9.6 Aplicaciones selectas 406 Sugerencias para la solución de aplicaciones matriciales 407 Términos y conceptos clave 423 Ejercicios adicionales 424 Evaluación del capítulo 430 Ejercicios por computadora 431 Minicaso: Planeación de recursos humanos 435 CAPÍTULO
10
PROGRAMACIÓN LINEAL: INTRODUCCIÓN 436 10.1 Programación lineal 438 Introducción 438 Un escenario 439 Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad 440 10.2 Soluciones gráficas 440 Gráficas de las desigualdades lineales 441 Sistemas de desigualdades lineales 444 Región de soluciones factibles 447 Incorporación de la función objetivo 448 Soluciones del punto vértice 451 Soluciones óptimas alternativas 453 Sin solución factible 456 Soluciones no acotadas 456 10.3 Aplicaciones de la programación lineal 459 Modelos de la mezcla dietética 459 Modelos de transporte 461 Modelos del presupuesto de capital 463 Modelos de mezcla 465 Términos y conceptos clave 473 Ejercicios adicionales 474 Evaluación del capítulo 478 Minicaso: Programación de controladores de tráfico aéreo 479
CAPÍTULO
11
MÉTODO SIMPLEX Y MÉTODOS DE SOLUCIÓN POR COMPUTADORA 482 11.1 Preliminares del método simplex 484 Panorama del método simplex 484 Requerimientos del método simplex 485 Soluciones factibles básicas 489 11.2 El método simplex 498 Solución por enumeración 499 El álgebra del método simplex 501
CONTENIDO
Incorporación de la función objetivo 503 Resumen del procedimiento simplex 510 Problemas de maximización con restricciones mixtas 512 Problemas de minimización 515 11.3 Fenómenos especiales 519 Soluciones óptimas alternativas 519 Carencia de solución factible 521 Soluciones no acotadas 523 Cuadros condensados 524 11.4 Métodos de solución por computadora 526 Ilustración de un paquete de programación lineal 526 Precios sombra 529 Análisis de la sensibilidad 530 11.5 El problema dual 533 Formulación del problema dual 534 Soluciones al problema primal y dual 536 Epílogo 538 Términos y conceptos clave 539 Ejercicios adicionales 540 Evaluación del capítulo 545 Minicaso: Concesión de contratos 546 CAPÍTULO
12
MODELOS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN 548 12.1 El modelo de transporte 550 Forma general y suposiciones 550 12.2 Métodos de solución para el modelo de transporte 554 Soluciones iniciales (de arranque) 555 El algoritmo del cruce de arroyo 558 Métodos de solución por computadora 565 12.3 El modelo de asignación y los métodos de solución 570 Forma general y suposiciones 571 Métodos de solución 573 El método húngaro 574 Resumen del método húngaro 577 Términos y conceptos clave 580 Ejercicios adicionales 580 Evaluación del capítulo 583 Minicaso: Distribución del almacenamiento 585
CAPÍTULO
13
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD 586 13.1 Introducción a los conjuntos y operaciones con conjuntos 589 Conjuntos 589 Conjuntos especiales 590
xvii
xviii
CONTENIDO
Representacións del diagrama de Venn 592 Operaciones con conjuntos 593 13.2 Permutaciones y combinaciones 598 Permutaciones 600 Combinaciones 603 13.3 Conceptos básicos de la probabilidad 609 Experimentos, resultados y eventos 609 Probabilidades 615 Algunas reglas adicionales de la probabilidad 617 13.4 Determinación de independencia y dependencia estadística 626 Independencia estadística 626 Dependencia estadística 630 Términos y conceptos clave 638 Fórmulas importantes 638 Ejercicios adicionales 639 Evaluación del capítulo 645 Minicaso: El problema del cumpleaños 646 CAPÍTULO
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 648 14.1 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad 650 Variables aleatorias 650 Distribuciones de las frecuencias 651 Distribuciones de la probabilidad 653 Histogramas 655 14.2 Medidas de la tendencia central y variación 660 La media 660 La mediana 662 La moda 662 Media de una distribución de probabilidad discreta 663 La desviación estándar 664 14.3 Distribución de la probabilidad binomial 669 Procesos de Bernoulli 669 Distribución binomial 670 Media y desviación estándar de la distribución binomial 675 14.4 Distribución de la probabilidad normal 678 Distribución de la probabilidad normal 678 Términos y conceptos clave 689 Fórmulas importantes 690 Ejercicios adicionales 690 Evaluación del capítulo 696
CONTENIDO
EL CÁLCULO CAPÍTULO
15
DIFERENCIACIÓN 698 15.1 Límites 700 Límites de las funciones 701 15.2 Propiedades de los límites y continuidad 708 Algunas propiedades de los límites 708 Límites e infinito 712 Continuidad 716 15.3 Razón de cambio promedio 720 Razón de cambio promedio y pendiente 720 15.4 La derivada 728 Razón de cambio instantánea 728 Aproximación del límite para encontrar la derivada 733 15.5 Diferenciación 738 Reglas de la diferenciación 738 15.6 Reglas adicionales de la diferenciación 744 Regla de la cadena 746 15.7 Interpretación de la razón de cambio instantánea 749 15.8 Derivadas de orden superior 753 La segunda derivada 753 Tercera derivada y derivadas de orden superior 755 Términos y conceptos clave 757 Fórmulas importantes 757 Ejercicios adicionales 758 Evaluación del capítulo 763 Apéndice: Demostración de algunas reglas de la diferenciación 763
CAPÍTULO
16
OPTIMIZACIÓN: METODOLOGÍA 768 16.1 Derivadas: interpretaciones adicionales 770 La primera derivada 770 Concavidad y puntos de inflexión 774 Concavidad desde una perspectiva diferente 778 16.2 Identificación de los máximos y mínimos 781 Extremos relativos 781 Puntos críticos 782 Prueba de la primera derivada 785 Prueba de la segunda derivada 788 Cuando falla la prueba de la segunda derivada 793 Prueba de la derivada de orden superior (opcional) 794
xix
xx
CONTENIDO
16.3 Trazado de curvas 797 Puntos de datos clave 798 16.4 Consideraciones del dominio restringido 803 Cuando el dominio está restringido 803 Términos y conceptos clave 806 Ejercicios adicionales 807 Evaluación del capítulo 808 CAPÍTULO
17
OPTIMIZACIÓN: APLICACIONES 810 17.1 Aplicaciones del ingreso, costo y utilidad 813 Aplicaciones del ingreso 813 Aplicaciones del costo 816 Aplicaciones de la utilidad 820 Aproximación marginal para la maximización de la utilidad 823 17.2 Aplicaciones adicionales 834 Ejercicios adicionales 855 Evaluación del capítulo 862 Minicaso: El modelo de la cantidad económica de pedido 863
CAPÍTULO
18
CÁLCULO INTEGRAL: UNA INTRODUCCIÓN 866 18.1 Antiderivadas 868 El concepto de la antiderivada 868 Funciones de ingreso y costo 871 18.2 Reglas de la integración 873 Integración 874 Reglas de la integración 875 18.3 Reglas adicionales de integración 879 18.4 Otras técnicas de integración (opcional) 886 Integración por partes 886 Integración por fracciones parciales 890 Tablas de integrales 895 18.5 Ecuaciones diferenciales 898 Clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias 899 Soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 899 Extensión de las ecuaciones diferenciales 904 Términos y conceptos clave 905 Fórmulas importantes 905 Ejercicios adicionales 906 Evaluación del capítulo 908
CONTENIDO CAPÍTULO
19
CÁLCULO INTEGRAL: APLICACIONES 910 19.1 Integrales definidas 912 La integral definida 912 Evaluación de las integrales definidas 915 Propiedades de las integrales definidas 918 19.2 Integrales definidas y áreas 923 Áreas entre una función y el eje de las x 923 Obtención de áreas entre curvas 927 19.3 Métodos de aproximación 935 Regla de los rectángulos 935 Regla de los trapecios 937 Regla de Simpson 938 19.4 Aplicaciones del cálculo integral 943 19.5 Cálculo integral y probabilidad (opcional) 957 Términos y conceptos clave 960 Fórmulas importantes 960 Ejercicios adicionales 961 Evaluación del capítulo 965 Minicaso: El dilema de la seguridad social: un problema de solvencia 967
CAPÍTULO
20
OPTIMIZACIÓN: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 968 20.1 Representación gráfica de funciones de dos variables 970 Representación gráfica 970 Trazado de funciones de dos variables 971 20.2 Derivadas parciales 975 Derivadas de funciones de dos variables 975 Interpretación de las derivadas parciales 980 Derivadas de segundo orden 984 20.3 Optimización de las funciones de dos variables 987 Puntos críticos 987 Cómo distinguir los puntos críticos 992 20.4 Aplicaciones de la optimización de dos variables 1002 20.5 Optimización de n variables (opcional) 1014 Condición necesaria para los extremos relativos 1015 Condiciones suficientes 1015 20.6 Optimización sujeta a restricciones (opcional) 1019 Método del multiplicador de Lagrange (restricción de la igualdad) 1019 Condición suficiente 1021 Caso de restricción de una sola igualdad con n variables 1023 Interpretación de 1026 Extensiones 1027
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CONTENIDO
Términos y conceptos clave 1027 Fórmulas importantes 1028 Ejercicios adicionales 1028 Evaluación del capítulo 1031 Minicaso: Modelo de inventario de pedidos retrasados 1032 TABLAS DE INTERÉS COMPUESTO APÉNDICE A
T-1
REVISIÓN DE ÁLGEBRA (OPCIONAL) A-1 Evaluación preliminar de álgebra A-1 Repuestas a la evaluación preliminar de álgebra A-2 A.1 El sistema de los números reales A-2 Números reales A-2 Valor absoluto A-3 A.2 Polinomios A-4 Exponentes enteros positivos A-4 Expresiones polinomiales A-6 Adición y sustracción de polinomios A-7 Multiplicación de polinomios A-8 División de polinomios A-9 A.3 Factorización A-11 Factores monomiales A-11 Polinomios cuadráticos A-12 Otras formas especiales A-14 A.4 Fracciones A-15 Adición y sustracción de fracciones A-15 Multiplicación y división A-17 A.5 Exponentes y radicales A-19 Exponentes fraccionarios A-19 Radicales A-19
APÉNDICE
B
NOTACIÓN DE SUMATORIA A-23 RESPUESTAS SELECTAS Ejercicios de seguimiento y evaluaciones del capítulo ÍNDICE I-1
R-1