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C a p ítu lo 2
L a fu n c ió n c o m p le ja y su d e r iv a d a
5. (y + l) 2 + i(x + l ) 2 6. y + (x -
l ) 2 + i [(y - l ) 3 - x ]
7. x 3 — 3 x y 2 + i(3 x 2y — y 3) S.
9.
e v2->,:[co s(2 x y ) + i'sen(2x:y)]
£l_______
ex eos y + iex sen y
10. / ( z ) = z, |z| < 1 pero / ( z ) = 1/z, |z| > 1
11
1
2
(y — ix + 1 + i + z)4
I Ise la re g la d e L 'H ó p ita l p a ra e v a lu a r los s ig u ie n tes lím ites:
(z - l ) + (z2 - l ) 12. cuando z -» 1 z 16- 1 2 * + z - 2/ I .1. ----------------- cuando z - » i
z 15 + i ¿Iúi q u é re g ió n del p la n o c o m p le jo so n a n a lític a s las s ig u ie n tes fu n c io n e s? N o es p re c iso te n e r en c u en ta el o rig e n . E m p le e la fo rm a p o la r de las e c u a c io n e s de C a u c h y -R ie m a n n . 14. r eos 0 + ir 1*>. r 4 sen 41) — ir 4 eo s 40 Iti
I og r 1 + ¡20, —n < 9 < n (logaritm o natural)
17,
a ) l )e m u e stre q u e si u n a fu n c ió n a n a lític a es p u ra m e n te real en c ie rto d o m in io , e n to n c e s d e b e ser c o n sta n te e n d ich o d o m in io . Ii) R ep ita la p re g u n ta del a p arta d o (a) su stitu y en d o “re a l” p o r “ im a g in a ria ” .
15.
Supongam os q u e /(z ) = <7(z) =
u —iv
u+
iv es an alítica. ¿Q u é c o n d ic io n e s d e b en s a tisfa c e rse p a ra que
sea a n alític a?
Sugerencia: C o n sid e re las fu n c io n e s/ (z) + r/(z) y /(z) - g(z). L u e g o use el re su lta d o del e je rc ic io 17. T a m b ié n p u e d e u sa r el te o re m a 5. I ‘>. C o n sid e re m o s u n a fu n c ió n a n a l í t i c a / ( z ) =
u
+ iv cu y o m ó d u lo | / ( z ) | s e a igual a u na
c o n sta n te k en a lg ú n d o m in io . D e m u estre q u e esto só lo es p o sib le si / (z) e s c o n sta n te en d ic h o d o m in io .
Sugerencia: El c aso k — 0 es triv ial. S u p o n ie n d o q u e k ¥= 0, te n e m o s u 2 + v 2 = k 2 o k 2/(u + iv) = u - iv. C o n su lte a h o ra el e je rc icio 18. 20.
a ) S u p o n g a m o s q u e ta n t o / ( z ) c o m o / ( z ) está n d e fin id a s e n c ie rto d o m in io ü y q u e / ( z ) es a n a lític a en D. S u p o n g a m o s ad em ás q u e / ( z )
/ (z ) en D. D e m u estre q u e / ( z ) no
p u ed e ser a n a lític a en 1) a m en o s que / (z) sea co n stan te. S u g e r e n c ia f ( z )
b)
i f ( z ) es real. ¿Por qué? Ahora use el resultado del ejercicio 17.
Use el resultado anterior para mostrar en unas cuantas lincas que (;')'■! . no es analítica
21. a) Supongamos que /(.) es anal Hita y distinta de cero en
y que til») no es anal lia a en .:0.