1.5
Lugares geom étricos, puntos, conjuntos y regiones en el plano com plejo
y
45
a 00
x
Figura 1.5-14
Tracemos un segmento de recta que vaya de N al punto del plano xy que repreknita un número complejo z. La recta corta la esfera en un solo punto, que llamaremos J* I)ecimos que z es la proyección de z sobre la esfera. De esta manera, podemos pro yectar todo punto del plano complejo sobre un único punto de la esfera. Los puntos ■ti plano xy que se encuentran lejos del origen se proyectan sobre puntos cercanos a 11 parte superior de la esfera y las proyecciones sobre la esfera se aproximan cada vez hiiT. a N cuanto más nos alejamos del origen. Concluimos así que el punto N de la es leía corresponde al punto del infinito, si bien no podemos trazar z = oo en el plano i Miiiplejo. Cuando el plano z incluye el punto del infinito, se llama “plano z extendido”. I liando no incluye oo, lo llamamos simplemente “plano z” o “plano z finito”. Ln este libro no consideraremos al infinito como un número, a menos que se in dique lo contrario. Sin embargo, cuando usemos el plano complejo extendido supon dremos que el número infinito satisface las siguientes reglas: z z 0; z ± oo = oo, (z / oo); - = oo, (z ^ 0); oo
z* oo = oo,
(z ^ 0);
00 — = oo, z
N
x
Figura 1.5-15
/ . , X (z / oo).