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0 Figura 4.7-6
Solución Ya que la temperatura es una función armónica, como lo mostramos en la sección 2.6, podemos aplicar directamente la fórmula integral de Poisson. Tenemos </>(w, 0) = T0, u < 0; y </>(«, 0) = 0, u > 0. Así pues 0 du T0 du = * f° +: rcj-o , ( u - x ) 2 + y 2 ti j 1 (u x)2 + y2 La segunda integral es igual a cero. En la primera hacemos el cambio de variable x - u . Así,
</>(*> y )
f«
dp
n JJ* , P2 + y 2
-fia n -' n y
00
T _ i 0 n tan - 1* 1n _2~
(4.7-17)
De la identidad trigonométrica tan-1 s = n /2 - tan“'(l/s) vemos que la expresión que aparece entre corchetes del lado derecho de la ecuación (4.7-17) es tan~\y/x) = 6, donde 6 es el ángulo polar asociado al punto (x, y). Por consideraciones físicas exigi mos que 0 < <f>(x, y) < T0, es decir, que la temperatura máxima y la temperatura míni ma correspondan a puntos de la frontera. Esta condición se satisface si 6 es al ángulo polar principal en el espacio y > 0. Por lo tanto, <p(x, y) = — d, n
0 < 6 < n.
Algunas de las superficies en que la temperatura presenta valores constantes se mues tran como líneas punteadas en la figura 4.7-6. A
EJERCICIOS I. a) Hn la figura 4.7-2 (del ejemplo I) explique, en términos físicos, por qué debe anularse el potencial en el radio que va del origen a x I, y 0, Verifique que nuestra respues ta, iluda poi la ei uaeión (4,7 ')), confirma este resultado Inmundo el limite 0 >01 (es