1.3
Los números com plejos y el plano de Argand
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Sugerencia: [(k + ¿l)(m + in)][(k- il)(m - in)] = (p + iq)(p - iq). b) Si (100 4- 225)(9 + 400) = p 2 + q2, encuentre valores enteros positivos parap y q. Ve rifique su resultado con ayuda de una calculadora de bolsillo. 23.
Supongamos que, de acuerdo con Hamilton, consideramos un número complejo como un par ordenado de números reales. Buscamos la definición adecuada del cociente (c, d)/(a, b). Sea (c, d)/(a, b) = (eJf ) y donde e y f son números reales por determinar. Su pongamos que (a, b) ^ (0, 0). Para que nuestra definición sea plausible>se requiere que (c, d) = {a, b) • (e, / ) . a) Efectúe la multiplicación indicada usando la regla para el producto de dos parejas. b) Iguale los miembros correspondientes (números reales y números imaginarios) a ambos lados de la ecuación que se obtiene en el apartado (a). c) En la parte (b) se obtuvo un sistema de dos ecuaciones lineales. Despeje e y /e n térmi nos de a, b, c y d. ¿Cómo se compara este resultado con el de la ecuación (1.2-7)?
1.3 LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO DE ARGAND Módulo La magnitud o módulo de un número complejo es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de su parte real y su parte imaginaria. Si el número complejo esz, su módulo se escribe | z |. Si z —x + iy, tenemos, de la de finición,
121 = , / ? + ? .
.(1 .3 -1 )
El módulo de un número complejo es un número real no negativo. Aunque no podemos decir que un número complejo es mayor (o menor) que otro, sí podemos decir que el módulo de un número complejo es mayor que el de otro; por ejemplo, |-l f /| > |2 + 3/| puesto que |4 + (| = y / \ 6 + 1 =
s/ v í > |2 + 3í| = v
El módulo de un número complejo es igual al de su conjugado porque i¿i = , / x 2 + ( - y )2 = y * 2 +
ui.
El producto de un número complejo por su conjugado es el cuadrado del módulo tlel número complejo. Para entender esto, observe que z z = x 2 + y 2. Así pues, de la ecuación (1.3-1), zz = |z |2.
(1.3-2)
I .i raíz cuadrada de esta expresión también es útil: |z| = y/z¿.
( 1.3- 3)