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Núm eros com plejos
Esta fórmula indica que, para calcular w/z = (c + id)/(a + ib), hemos de multiplicai el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, esto es, c 4- id J (cV id)(a —{ib} a 4 ib \ a -f ib)(a - ib)
(ac + bd) -f i(ad — be) a 2 4- b 2
o bien s
c + id
aé + bd
{ad - be)
a 4- ib
a 2 4- b 2
a2 4 b2
0 -2 -7 )
Usando la ecuación (1.2-7) con c = 1 y d = 0 podemos obtener una fórmula útil para el inverso de a 4- ib; es decir, 1
a
ib
a 4- ib
a2 + b2
a2 + b2
^
^
Nótese, en particular, que con a = 0 y b = 1 obtenemos Mi = —i. Es fácil verificar este resultado, pues sabemos que 1 — (~i)(i). Puesto que todas las expresiones anteriores pueden obtenerse aplicando las reglas del álgebra convencional y la identidad i 2 = -1 a los números complejos, se deduce que otras reglas del álgebra ordinaria como las que se enuncian a continuación tam bién pueden aplicarse a los números complejos:
¿ r ( 4 (4 - ^ “(4(4
( , '2 - 9 )
Hay unas cuantas propiedades adicionales de la operación de conjugación que es preciso conocer. El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de sus conjugados. Por lo tanto, si z x = x x 4- iyxy z2 = x2 + iy2, entonces (z,
+ z2) = (*! + x 2) - i(y¡ + y 2) = (x, - ¿y,) + (x2 -
= Zj + z2.
Para la diferencia de dos números complejos se obtiene una regla análoga; y tam bién para el producto y el cociente de dos números complejos, como se demostrará en los ejercicios. Resumiendo: (1.2—10a) Ui 4- z 2) -= Zj 4 z 2 , ( 1.2- 10b) (*1 ~ z 2) == z 1 - z 2, ( 1.2- 10c) Zi z2 = f i ¿ 2í *i \
¿i
( 1.2- 10d)
Este tipo de fórmulas puede a veces ahorramos trabajo. Consideremos, por ejemplo 1 4-i 3 _ 4i
1 —i 3 + 4i
------------------ _J------------------------ =
X
+ . ty m
Despejar x e y de esta ecuación puede resultar bastante engorroso. Notemos, sin em bargo, con ayuda de lá ecuación ( 1.2- 10d), que la segunda fracción es el complejo