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In teg r a c ió n d e c o n to rn o y teo r e m a d e G rc c n
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iim •Linios únicamente con las integrales a lo largo de C¡ y C2 en la figura 4.3-4(a). I'm Iu tanto (observe las direcciones de integración) O f{z) dz + C> f(z)dz = 0, •"i decir,
O f(z)dz Je.
f(z) dz
q> f(z)dz. c2 I l.i nos eliminado el signo menos en el término del medio y obtenido la expresión del lililí derecho invirtiendo la dirección de integración. La ecuación anterior es el resul littlt tóle buscábamos. I I teorema que acabamos de demostrar se puede enunciar de manera más general !lH| TEOREMA 4 Las integrales de línea de una función analítica f(z ) alrede dor de dos contornos cerrados simples serán idénticas si uno de los contor nos puede transformarse en el otro por medio de una deformación continua y sin pasar por ninguna singularidad de/ (z). □ I o l.i ligura 4.3^1 podemos considerar a C2 como una deformación de C, o viceversa. I i' método se conoce como principio de deformación de contornos. Si bien en nuestra deducción del teorema 3 supusimos que los contornos C¡ y C2 no \ f cortaban, esta condición no es necesaria en el teorema 4. Supongamos que, en lo Imura 4 .3 -5 ,/(z) es analítica sobre C2 y en su interior, salvo quizá en algunos punto iId interior de C0. Supongamos además que/ (z) es analítica sobre C, y en su inte.alvo quizá en algunos puntos del interior de C0, y que C0 está dentro de C, y C2 no corta a ninguno de estos dos contornos. Obsérvese que C¡ y C2 pueden cortar■ I’or el teorema 3 tenemos fcClf ( z) dz = <j>Co/(z ) dz y >c, / ( z) dz = /- Co/ (z) dz. I'm lo tanto, f{z)dz = O f(z) dz.
I' ig iu ii 4.3 5