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C a p ítu lo 3
L as fu n c io n es tr a s c e n d e n te s b á sica s
(3.2-12)
El coseno de un número imaginario puro es siempre un número real, y el seno de un número imaginario puro es siempre imaginario puro. E JE M P LO 2 Compruebe que todos los ceros de eos z se encuentran en el eje x del plano z. Solución Consideremos la ecuación cosz = 0, donde z = x + iy. Usando la ecuación (3.2-10), podemos escribirla como eos x coshy - i sen x senhy = 0. Tanto la parte real como la parte imaginaria del lado izquierdo de esta ecuación deben ser iguales a cero. Es decir, eos x cosh y = 0
y
sen x senh y = 0.
Consideremos la primera ecuación. Como cosh y no se anula cuando y es un núme ro real (véase la Fig. 3.2-1), es evidente que eos x — 0. Esto implica que x = ±n/2, ±3n/2,..., etc.; dicho de otro modo, x = ±(2n + \)n/2, donde n = 0, 1, 2,... Consi deremos ahora la segunda ecuación. La primera ecuación indica que x debe ser un múltiplo impar de ±nt2\ por lo tanto, la expresión sen x que aparece en la segunda ecuación debe ser igual a ±1. Así, senx senhjp = 0 se satisface únicamente si senhj = 0. Dando un vistazo a la figura 3.2-1 vemos que esto sólo es posible cuando y = 0. Vemos que eos z = 0 sólo en los puntos que satisfacen al mismo tiempo y = 0 y x = ± (2n + 1) n/2. La primera condición implica que estos puntos se encuentran sobre el eje x mientras que la segunda indica que están separados por intervalos de longitud n. Los valores de z tales que eos z = 0 son exactamente los mismos para los cuales eos x = 0. Las funciones sen x y sen z satisfacen un resultado similar; esto se demuestra en uno de los siguientes ejercicios. M
EJERCICIOS E n c u e n tre el v a lo r n u m é ric o de las s ig u ie n tes e x p re sio n e s en la fo rm a a + ib , d o n d e a y b son n ú m e ro s reales. 1. sen (l — 2i)
2. cos(2 -I- i)
4. se n (í1/3) (lodos los valores)
5. c o s ( f l + ')
7. scn (arg (l I i))
H.
10.
co*(( úrg(l I /)) (Unios Ion valores)
e 1 m
II. u m e 1
tan(2 — i)
senil sen /