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ESPACIOS VECTORIALES
1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
1 a 0 ab . 1 bc 0 2b 2c d 0 3a 4b c e
Por lo tanto Span(U) = {(a, b, c, d, e) / 3a + 4b – c – e = 0, 1 1 1 a 1 1 1 a 1 2 1 1 b 0 1 1 2a b 0 3 3 2 c 0 0 1 3a c 0 d 0 0 2 2 d 0 2 2 2 4 5 e 0 2 3 2a e 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
2b – 2c + d = 0}. 1 1 a 1 1 2a b 0 1 3a c 0 0 4a 2b d 0 1 6a 2b e
1 a 1 2a b 1 3a c 0 4a 2b d 0 9a 2b c e
Por lo tanto Span(W) = {(a, b, c, d, e) / 4a + 2b – d = 0, 9a + 2b + c – e = 0}. Luego, para encontrar la intersección entre estos subespacios debemos resolver el sistema de ecuaciones homogéneas, que resulta de las condiciones restrictivas de cada uno de estos subespacios: 3 4 1 0 1 0 3 4 1 0 1 0 3a 4b c e 0 2b 2c d 0 2 2 1 0 0 0 2 2 1 0 0 0 4 2 0 1 0 0 0 10 4 3 4 0 4a 2b d 0 9a 2b c e 0 9 2 1 0 1 0 0 10 4 0 2 0 3 4 1 0 1 0 3 4 1 0 1 0 0 2 2 1 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 6 2 4 0 0 0 6 2 4 0 0 0 6 5 2 0 0 0 0 3 2 0 Por lo tanto Span(U W) = {(a, b, c, d, e) / a = -d/2, b = 5d/6, c = 4d/3, e = 3d/2}. EJEMPLO 5.4.3 El conjunto U de todas las ternas de 3 cuya primera coordenada es 0 es subespacio de 3, como también lo es el conjunto W de todas las ternas (a, b, c) en donde la primera componente es igual a la segunda componente. Demuestre que U W es subespacio de 3. SOLUCION Por el ejemplo anterior, el conjunto U W es subespacio de 3; U W consta de todas las termas (0, 0, c) en las que c es arbitrario. Sean U, W subconjuntos, no necesariamente subespacios, de un espacio vectorial V. Denotaremos por U + W el conjunto de todos los vectores v de V que se pueden expresar como suma de un vector de U y de un vector de W. Por lo tanto, v estará en U + W exactamente cuando existan un vector u de U y un vector w en W tales que v = u + w. El conjunto U + W se denomina suma de los conjuntos U y W.
JOE GARCIA ARCOS