Crónica matemática Nacimiento y primer desarrollo de la trigonometría
El sextante
El término griego trigonometría significa ‘medida de triángulos’. Aunque este vocablo se utilizó por primera vez en el siglo XVI, la trigonometría tiene sus orígenes en las antiguas astronomías babilonia y griega. En el s. II a. C., Hiparco de Nicea adoptó el sistema babilónico de dividir el círculo en 360 grados y tabuló los valores de la cuerda de la circunferencia en relación con el arco para una serie de ángulos. Ptolomeo, en el s. II d. C, amplió las tablas de Hiparco utilizando el hoy llamado teorema de Ptolomeo. Para distintos valores del ángulo central (2α, en la figura adjunta), Ptolomeo hallaba la longitud de la cuerda AB.
A r O
El sextante es un instrumento para medir ángulos, generalmente el ángulo de un astro con el horizonte. El sextante tiene forma de sector circular. Su lado curvo contiene una escala graduada de 0° a 60°, la sexta parte de la circunferencia, de ahí su nombre. En el vértice de unión de los dos lados rectos hay una barra oscilante que en su extremo superior lleva un espejo para recoger la luz del astro. En la parte central del sextante hay un espejo fijo con la mitad izquierda transparente y la derecha, reflectante. Alineado con este espejo hay un anteojo con filtros para la protección ocular. Posición real de la estrella
M
C
A inicios del s. VI, el matemático indio Varahamihira modificó el sisB tema de Ptolomeo y relacionó el ángulo central α con la longitud de la semicuerda (AM en la figura), magnitud más acorde con la actual definición de seno. Posteriormente, los árabes adoptaron de la cultura india las funciones seno y coseno, así como sus inversas. También describieron la tangente y la cotangente, de forma análoga al estudio de longitudes de sombras que ya había realizado Tales de Mileto en el s. VI a. C. La civilización árabe elaboró las tablas trigonométricas más precisas de su época, sistematizó la trigonometría tanto plana como esférica y presentó la trigonometría como una ciencia independiente de la astronomía.
Posición de la imagen reflejada en el instrumento
Para medir el ángulo de un astro, se orienta el sextante en la línea del horizonte. Después se mueve la barra oscilante hasta lograr ver el astro a través del anteojo por reflexiones sucesivas de la luz del astro en el espejo de la barra y en la mitad reflectante del espejo fijo. Cuando esta imagen del astro está alineada con la línea del horizonte vista a través de la mitad transparente del espejo fijo, la parte inferior de la barra oscilante señala, en la escala graduada, el valor del ángulo.
Demuestra tu ingenio a) Calcular el ángulo del Sol sobre el horizonte a partir de la longitud de un bastón y la de la sombra que éste proyecta sobre el suelo.
b) Medir la altura de una torre si sólo podemos obtener directamente longitudes sobre el suelo y el ángulo que forma la visual a la parte más alta de la torre con el suelo.
c) Medir la anchura de un río si sólo podemos medir longitudes sobre la orilla en la que nos encontramos y los ángulos formados por las visuales a un punto de la otra orilla.
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La trigonometría permite resolver numerosos problemas prácticos. Indica cómo te las ingeniarías para resolver los siguientes.
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