Calculo de varias variables trascendentes tempranas james stewart

Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas James Stewart

Visit to download the full and correct content document: https://ebookmass.com/product/calculo-de-varias-variables-trascendentes-tempranas -james-stewart/

JAMES STEWART

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

TRASCENDENTES TEMPRANAS

Octava edición

CÁLCULO

DE VARIAS VARIABLES

TRASCENDENTES TEMPRANAS OCTAVA EDICIÓN

JAMES STEWART

McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO

CÁLCULO

DE VARIAS VARIABLES TRASCENDENTES TEMPRANAS OCTAVA EDICIÓN

JAMES STEWART

McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO

Traducción

Ana Elizabeth García Hernández

Enrique C. Mercado González

Revisión técnica

Ileana Borja Tecuatl Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV-IPN

Hiram Cárdenas Gordillo

Facultad de Ingeniería, Universidad La Salle, México

Pedro Vásquez Urbano Universidad de Puerto Rico - Mayaguez

Gilgamesh Luis Raya Universidad Politécnica de Pachuca, México

Antonieta Martínez Velasco

Universidad Panamericana, campus Ciudad de México

Luz Citlaly Estrada López Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniería, Universidad de Guadalajara, México

José Ignacio Cuevas González Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Armando Silva Castillo Universidad Politécnica de Pachuca, México

Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas, octava edición.

James Stewart

Director Higher Education Latinoamérica:

Renzo Casapía Valencia

Gerente editorial Latinoamérica:

Jesús Mares Chacón

Editor Senior Hardside:

Pablo Miguel Guerrero Rosas

Editora de desarrollo:

Abril Vega Orozco

Coordinador de manufactura:

Rafael Pérez González

Diseño de portada:

Karla Paola Benítez García

Imagen de portada:

© David Carrick | Dreamstime.com

Composición tipográfica:

Humberto Núñez Ramos

Angélica Toledo Tirado

Alejandro Hernández Hernández

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México-Toluca núm. 5420, oficina 2301.

Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa. C.P. 05320. Ciudad de México.

Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo, amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Reg 603

Traducido del libro Multivariable Calculus: Early Transcendentals, Eighth Edition, International Metric Version. James Stewart. Publicado en inglés por Cengage Learning ©2016. ISBN: 978-1-305-26673-5

Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas, octava edición.

ISBN: 978-607-526-553-7

Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

PREFACIO xiii

AL ESTUDIANTE xxv

10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

10.1 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 640

Proyecto de laboratorio · Circunferencias que corren alrededor de circunferencias 648

10.2 Cálculo con curvas paramétricas 649

Proyecto de laboratorio · Curvas de Bézier 657

10.3 Coordenadas polares 658

Proyecto de laboratorio · Familias de curvas polares 668

10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 669

10.5 Secciones cónicas 674

10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares 682

Repaso 689

Problemas adicionales 692

11 Sucesiones y series infinitas

11.1 Sucesiones 694

Proyecto de laboratorio · Sucesiones logísticas 707

11.2 Series 707

11.3

La prueba de la integral y estimaciones de sumas 719

11.4 Pruebas por comparación 727

11.5

Series alternantes 732

11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 737

11.7

Estrategia para probar series 744

11.8 Series de potencias 746

11.9 Representación de funciones como series de potencias 752

11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 759

Proyecto de laboratorio · Un límite escurridizo 773

Proyecto de redacción · Cómo descubrió Newton las series binomiales 773

11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 774

Proyecto de aplicación · Radiación de las estrellas 783

Repaso 784

Problemas adicionales 787

12 Vectores y la geometría del espacio

12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 792

12.2 Vectores 798

12.3 El producto punto 807

12.4 El producto cruz 814

Proyecto de descubrimiento · La geometría de un tetraedro 823

12.5 Ecuaciones de rectas y planos 823

Proyecto de laboratorio · Poner la tridimensionalidad en perspectiva 833

12.6 Cilindros y superficies cuádricas 834

Repaso 841

Problemas adicionales 844

13.1 Funciones vectoriales y curvas en el espacio 848

13.2 Derivadas e integrales de funciones vectoriales 855

13.3 Longitud de arco y curvatura 861

13.4 Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración 870

Proyecto de aplicación · Leyes de Kepler 880

Repaso 881

Problemas adicionales 884

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

Funciones de varias variables 888

Límites y continuidad 903

Derivadas parciales 911

Planos tangentes y aproximaciones lineales 927

Proyecto de aplicación · El Speedo LZR Racer 936

La regla de la cadena 937

Derivadas direccionales y el vector gradiente 946

Valores máximos y mínimos 959

Proyecto de aplicación · Diseño de un contenedor de desechos 970

Proyecto de descubrimiento · Aproximaciones cuadráticas y puntos críticos 970

14.8

Multiplicadores de Lagrange 971

Proyecto de aplicación · La ciencia de los cohetes 979

Proyecto de aplicación · Optimización de hidroturbinas 980 Repaso 981

Problemas adicionales 985

©

15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas 1040

Proyecto de descubrimiento · La intersección de tres cilindros 1044

15.8 Integrales triples en coordenadas esféricas 1045

Proyecto de aplicación · Carrera sobre ruedas 1052

15.9

Cambio de variables en integrales múltiples 1052

Repaso 1061

Problemas adicionales 1065

16 Cálculo vectorial 1067

16.1 Campos vectoriales 1068

16.2 Integrales de línea 1075

16.3

El teorema fundamental para integrales de línea 1087

16.4 Teorema de Green 1096

16.5 Rotacional y divergencia 1103

16.6 Superficies paramétricas y sus áreas 1111

16.7

Integrales de superficie 1122

16.8 Teorema de Stokes 1134

Proyecto de redacción · Tres hombres y dos teoremas 1140

16.9

El teorema de la divergencia 1141

16.10 Resumen 1147

Repaso 1148

Problemas adicionales 1151

17 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 1153

17.1 Ecuaciones lineales de segundo orden 1154

17.2 Ecuaciones lineales no homogéneas 1160

17.3 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden 1168

17.4

Soluciones con series de potencias 1176

Repaso 1181

F Demostración de teoremas A2

G Números complejos A5

H Respuestas a los ejercicios con número impar A15

Índice

Prefacio

Esta versión métrica internacional difiere de la versión regular de Cálculo de varias variables Trascendentes tempranas, octava edición, de varias maneras:

Las unidades usadas en casi todos los ejemplos y ejercicios han sido cambiadas del sistema tradicional de Estados Unidos a unidades métricas. Hay un número reducido de excepciones: en algunas aplicaciones de ingeniería (principalmente en la sección 8.3) puede ser útil para algunos ingenieros estar familiarizados con las unidades usadas en Estados Unidos. Y yo quise conservar algunos ejercicios (por ejemplo, los relacionados con el beisbol) donde sería inapropiado usar unidades métricas.

He cambiado los ejemplos y ejercicios relacionados con datos del mundo real para que sean de naturaleza más internacional, de manera que la inmensa mayoría de ellos procede ahora de países distintos a Estados Unidos. Por ejemplo, ahora hay ejercicios y ejemplos concernientes a las tarifas postales en Hong Kong; la deuda pública canadiense; las tasas de desempleo en Australia; las horas de luz del sol en Ankara, Turquía; las isotermas en China; el porcentaje de la población en la Argentina rural; poblaciones de Malasia, Indonesia, México e India, y consumo de energía eléctrica en Ontario, entre muchos otros.

Además de cambiar ejercicios para que las unidades sean métricas y los datos tengan un sabor más internacional, otros ejercicios han sido cambiados también, el resultado de lo cual es que alrededor de 10% de los ejercicios son diferentes de los de la versión regular.

Filosofía del libro

El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar al descubrimiento. Yo he tratado de escribir un libro que ayude a los estudiantes a descubrir el cálculo, tanto por su eficacia práctica como por su sorprendente belleza. En esta edición, como en las siete primeras, intento transmitir al estudiante una noción de la utilidad del cálculo y desarrollar competencia técnica, pero también me empeño en dar cierta apreciación de la belleza intrínseca del tema. Newton experimentó indudablemente una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Yo deseo que los estudiantes compartan parte de esa emoción.

El énfasis está en la comprensión de conceptos. Pienso que casi todos están de acuerdo en que esta debería ser la meta primaria de la enseñanza de cálculo. De hecho, el ímpetu del actual movimiento de reforma del cálculo procedió de la Conferencia de Tulane de 1986, la cual formuló como su primera recomendación:

Concentrarse en la comprensión conceptual. He tratado de implementar esta meta mediante la regla de tres: “Los temas deben presentarse geométrica, numérica y algebraicamente”. La visualización, la experimentación numérica y gráfica y otros enfoques han cambiado la forma en que se enseña el razonamiento conceptual de maneras fundamentales. Más recientemente, la regla de tres se ha ampliado para convertirse en la regla de cuatro enfatizando también el punto de vista verbal o descriptivo.

Al escribir esta octava edición, mi premisa fue que sea posible alcanzar comprensión conceptual y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro contiene elementos de reforma, pero en el contexto de un plan de estudios tradicional.

He escrito otros libros de texto de cálculo que podrían ser preferibles para algunos profesores. La mayoría de ellos también se presenta en versiones de una y varias variables.

• Calculus: Early Trascendentals, octava edición, versión métrica internacional, es similar al presente libro de texto excepto que las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se cubren en el primer semestre.

• Essential Calculus, segunda edición, edición internacional, es un libro mucho más breve (840 páginas), que, sin embargo, contiene casi todos los temas de Calculus, octava edición, versión métrica internacional. La relativa brevedad se logra mediante una exposición más breve de algunos temas al trasladar algunas características al sitio web.

• Essential Calculus: Early Transcendentals, segunda edición, edición internacional, se asemeja a Essential Calculus, edición internacional, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se cubren en el capítulo 3.

• Calculus: Concepts and Contexts, cuarta edición, edición métrica internacional, enfatiza la comprensión conceptual con más fuerza todavía que este libro. La cobertura de temas no es enciclopédica y el material sobre funciones trascendentes y sobre ecuaciones paramétricas se entreteje a lo largo del libro en lugar de ser tratado en capítulos separados.

• Calculus: Early Vectors presenta los vectores y funciones vectoriales en el primer semestre y los integra a todo lo largo del libro. Este es conveniente para estudiantes que toman cursos de ingeniería y física al mismo tiempo que el de cálculo.

• Brief Applied Calculus, edición internacional, está dirigido a estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida.

• Biocalculus: Calculus for the Life Sciences intenta mostrar a los estudiantes de las ciencias de la vida cómo se relaciona el cálculo con la biología.

• Biocalculus: Calculus, Probability, and Statistics for the Life Sciences abarca todo el contenido de Biocalculus: Calculus for the Life Sciences, así como tres capítulos adicionales que cubren probabilidad y estadística.

¿Qué hay de nuevo en la octava edición?

Los cambios resultaron de conversar con mis colegas y estudiantes en la Universidad de Toronto y de leer revistas, así como de sugerencias de usuarios y revisores. He aquí algunas de las muchas mejoras que he incorporado en esta edición:

• Los datos en los ejemplos y ejercicios han sido actualizados para ser más oportunos.

• Se han añadido nuevos ejemplos (véanse los ejemplos 11.2.5 y 14.3.3), y las soluciones de algunos de los ejemplos existentes se ampliaron.

• Se agregó un nuevo proyecto: en el proyecto El Speedo LZR Racer (página 936) se explica que este traje de baño reduce la fricción en el agua y, como consecuencia, se han roto muchos récords en la natación. Se pregunta a los estudiantes por qué un pequeño decremento en la fricción puede tener un efecto tan grande en el desempeño.

• He reestructurado el capítulo 15 (Integrales múltiples) combinando las dos primeras secciones para que las integrales iteradas se traten antes.

• Más de 20% de los ejercicios en cada capítulo son nuevos. He aquí algunos de mis favoritos: 12.5.81, 12.6.29-30, 14.6.65-66. Además, hay nuevos y buenos Problemas adicionales. (Véase el problema 8 de la página 986.)

Caraterísticas

Ejercicios conceptuales

El modo más importante de fomentar la comprensión conceptual es mediante los problemas que se asignan. Con ese fin he ideado varios tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios comienzan con peticiones de explicar los significados de conceptos básicos de la sección. (Véanse, por ejemplo, los primeros ejercicios de las secciones 11.2, 14.2 y 14.3.) De igual forma, todas las secciones de repaso comienzan con una Verificación de conceptos y un Examen verdadero-falso. Otros ejercicios ponen a prueba la comprensión conceptual por medio de gráficas o tablas (véanse los ejercicios 10.1.24-27, 11.10.2, 13.2.1-2, 13.3.33-39, 14.1.1-2, 14.1.32-38, 14.1.41-44, 14.3.3-10, 14.6.1-2, 14.7.3-4, 15.1.6-8, 16.1.11-18, 16.2.17-18 y 16.3.1-2).

Otro tipo de ejercicios usa la descripción verbal para probar la comprensión conceptual. Valoro particularmente los problemas que combinan y comparan los enfoques gráfico, numérico y algebraico.

Conjuntos de ejercicios graduados

Cada conjunto de ejercicios está cuidadosamente graduado, progresando de ejercicios conceptuales básicos y problemas de desarrollo de habilidades a problemas más desafiantes que implican aplicaciones y comprobaciones.

Datos del mundo real

Mis asistentes y yo dedicamos mucho tiempo a buscar en bibliotecas, hacer contacto con compañías y organismos gubernamentales y realizar búsquedas en internet en pos de datos interesantes del mundo real para presentar, motivar e ilustrar los conceptos del cálculo. En consecuencia, muchos de los ejemplos y ejercicios tienen que ver con funciones definidas por esos datos numéricos o gráficas. Las funciones de dos variables son ilustradas por una tabla de valores del índice viento-frío como una función de temperatura del aire y velocidad del viento (ejemplo 14.1.12). Las derivadas parciales son presentadas en la sección 14.3 examinando una columna en una tabla de valores del índice de calor (temperatura del aire percibida) como una función de la temperatura real y la humedad relativa. Este ejemplo se retoma después en relación con aproximaciones lineales (ejemplo 14.4.3). Las derivadas direccionales se presentan en la sección 14.6 usando un mapa de contorno de temperatura para estimar la razón de cambio de la temperatura en Reno en la dirección de Las Vegas. Integrales dobles se usan para estimar la nevada promedio en Colorado del 20 y 21 de diciembre de 2006 (ejemplo 15.1.9). Los campos vectoriales se presentan en la sección 16.1 mediante descripciones de campos vectoriales de velocidad reales, que muestran los patrones de viento de la bahía de San Francisco.

Proyectos

Una forma de motivar a los estudiantes y convertirlos en aprendices activos es ponerlos a trabajar (quizás en grupos) en amplios proyectos que les den una sensación de logro sustancial al completarlos. He incluido cuatro tipos de proyectos: los Proyectos de aplicación que contienen aplicaciones diseñadas para estimular la imaginación de los alumnos. El proyecto posterior a la sección 14.8 usa multiplicadores de Lagrange para determinar las masas de las tres etapas de un cohete a fin de minimizar la masa total mientras que a la vez se permite que alcance una velocidad deseada. Los Proyectos de laboratorio implican tecnología; el que sigue a la sección 10.2 muestra cómo utilizar las curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una impresora láser. Los Proyectos de descubrimiento exploran aspectos de geometría: tetraedros (después de la

sección 12.4), hiperesferas (después de la sección 15.6) e intersecciones de tres cilindros (después de la sección 15.7). El Proyecto de redacción que está después de la sección 17.8 examina los orígenes históricos y físicos del teorema de Green y del teorema de Stokes y las interacciones de los tres hombres involucrados. En el Manual del Instructor (Instructor's Guide*) se pueden encontrar muchos proyectos.

Herramientas para enriquecer el cálculo* tec es un suplemento del texto y busca enriquecer y complementar su contenido. (Ahora está disponible en el eBook vía CourseMate* y Enhanced WebAssign.* Visuals y Modules selectos están disponibles en www.stewartcalculus.com.*) Desarrollado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y yo, tec usa un enfoque de descubrimiento y exploración. En secciones del libro donde la tecnología es particularmente apropiada, iconos al margen dirigen a los estudiantes a tec Modules que brindan un entorno de laboratorio en el que pueden explorar el tema de maneras diversas y en niveles diferentes. Los Visuals son animaciones de figuras en el texto; los Modules son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden optar por involucrarse en diversos niveles, desde simplemente alentar a los alumnos a usar los Visuals y Modules para su exploración independiente hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en cada Module o crear ejercicios, prácticas y proyectos adicionales que hagan uso de los Visuals y Modules tec incluye asimismo Homework Hints para ejercicios representativos (usualmente con número impar) en cada sección del texto, indicados mediante la impresión del número del ejercicio en gris. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas e intentan imitar a un asistente de aprendizaje eficaz funcionando como un tutor mudo. Están hechas para no revelar de la solución real más que lo mínimamente necesario para hacer progresos adicionales.

Enhanced WebAssign*

La tecnología ya tiene impacto en la manera en que se asignan tareas a los estudiantes, particularmente en grupos grandes. El uso de tareas en línea es creciente y su atractivo depende de la facilidad de empleo, la precisión de las calificaciones y la confiabilidad. Con la octava edición se ha trabajado con la comunidad del cálculo y WebAssign para desarrollar un sistema de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios en cada sección se puede asignar como tareas en línea, incluidos formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes múltiples. Este sistema también contiene Active Examples*, en los que los estudiantes son guiados en pequeños tutoriales paso a paso a través de ejemplos del texto, con vínculos con el libro de texto y soluciones en video.

Sitio web

Visite CengageBrain.com* o stewartcalculus.com* para estos materiales adicionales:

• Homework Hints

• Algebra Review

• Lies My Calculator and Computer Told Me

• History of Mathematics con vínculos a los mejores sitios históricos

• Additional Topics (con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmulas para el término residuo en las series de Taylor, rotación de ejes

• Archived Problems (ejercicios desafiantes que aparecieron en ediciones anteriores, junto con sus soluciones)

• Challenge Problems (algunas de las secciones de Problemas adicionales de ediciones anteriores)

*Este material se encuentra solo disponible en inglés.

Contenido

y coordenadas polares

• Vínculos de temas especiales con recursos externos de la web

• Selected Visuals y Modules de Tools for Enriching Calculus (tec)

10 Ecuaciones paramétricas Este capítulo presenta curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo en ellas. Las curvas paramétricas son adecuadas para proyectos de laboratorio; las dos que se presentan aquí implican a familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de las secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el capítulo 13.

11 Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (véase la página 719), así como comprobaciones formales. Estimaciones numéricas de sumas de series se basan en la prueba que se haya usado para comprobar la convergencia. Se hace énfasis en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen las de dispositivos de graficación.

12 Vectores y la geometría El material sobre geometría analítica tridimensional y vectores se divide en dos capítulos. El capítulo 12 trata con vectores, los productos punto y cruz, rectas, planos y superficies.

del espacio

13 Funciones vectoriales Este capítulo cubre las funciones con vectores como valores, sus derivadas e integrales, la longitud y curvatura de curvas en el espacio y la velocidad y aceleración a lo largo de curvas en el espacio, lo que culmina con las leyes de Kepler.

14 Derivadas parciales Las funciones de dos o más variables se estudian desde el punto de vista verbal, numérico, visual y algebraico. En particular, presento las derivadas parciales examinando una columna específica de una tabla de valores del índice de calor (temperatura del aire percibida) como una función de la temperatura real y la humedad relativa.

15 Integrales múltiples Los mapas de contorno y la regla del punto medio se utilizan para estimar la nevada promedio y temperatura promedio de regiones dadas. Las integrales dobles y triples se emplean para calcular probabilidades, áreas de superficies y (en proyectos) volúmenes de hiperesferas y volúmenes de intersecciones de tres cilindros. Se presentan coordenadas cilíndricas y esféricas en el contexto de evaluar integrales triples.

16 Cálculo vectorial Los campos vectoriales se presentan mediante imágenes de campos de velocidad que muestran patrones de viento de la bahía de San Francisco. Se enfatizan las semejanzas entre el teorema fundamental para integrales de línea, el teorema de Green, el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia.

17 Ecuaciones diferenciales Dado que las ecuaciones diferenciales de primer orden se cubren en el capítulo 9, este último capítulo trata con ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, su aplicación a resortes vibratorios y circuitos eléctricos y soluciones de series.

Complementos

Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas, octava edición, versión métrica internacional se apoya en un conjunto completo de complementos desarrollados bajo mi dirección. Cada pieza ha sido diseñada para favorecer la comprensión del estudiante y facilitar la enseñanza creativa. Las tablas de las páginas xx-xxi describen cada uno de estos complementos.

Agradecimientos

La preparación de esta y las ediciones previas ha implicado mucho tiempo dedicado a leer los consejos razonados (aunque a veces contradictorios) de un gran número de perspicaces revisores. Agradezco enormemente el tiempo que ellos destinaron a comprender mi motivación para el enfoque adoptado. He aprendido algo de cada uno de ellos.

Revisores de la octava edición

Jay Abramson, Arizona State University

Adam Bowers, University of California San Diego

Neena Chopra, The Pennsylvania State University

Edward Dobson, Mississippi State University

Isaac Goldbring, University of Illinois en Chicago

Lea Jenkins, Clemson University

Rebecca Wahl, Butler University

Revisores de tecnología

Maria Andersen, Muskegon Community College

Eric Aurand, Eastfield College

Joy Becker, University of Wisconsin–Stout

Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University

Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama en Huntsville

Monica Brown, University of Missouri–St. Louis

Roxanne Byrne, University of Colorado en Denver y Health Sciences Center

Teri Christiansen, University of Missouri–Columbia

Bobby Dale Daniel, Lamar University

Jennifer Daniel, Lamar University

Andras Domokos, California State University, Sacramento

Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University

Lee Gibson, University of Louisville

Jane Golden, Hillsborough Community College

Semion Gutman, University of Oklahoma

Diane Hoffoss, University of San Diego

Lorraine Hughes, Mississippi State University

Jay Jahangiri, Kent State University

John Jernigan, Community College of Philadelphia

Revisores de ediciones anteriores

B. D. Aggarwala, University of Calgary

John Alberghini, Manchester Community College

Michael Albert, Carnegie Mellon University

Daniel Anderson, University of Iowa

Amy Austin, Texas A&M University

Brian Karasek, South Mountain Community College

Jason Kozinski, University of Florida

Carole Krueger, The University of Texas en Arlington

Ken Kubota, University of Kentucky

John Mitchell, Clark College

Donald Paul, Tulsa Community College

Chad Pierson, University of Minnesota, Duluth

Lanita Presson, University of Alabama en Huntsville

Karin Reinhold, State University of New York en Albany

Thomas Riedel, University of Louisville

Christopher Schroeder, Morehead State University

Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth

Patricia Shaw, Mississippi State University

Carl Spitznagel, John Carroll University

Mohammad Tabanjeh, Virginia State University

CPT. Koichi Takagi, United States Naval Academy

Lorna TenEyck, Chemeketa Community College

Roger Werbylo, Pima Community College

David Williams, Clayton State University

Zhuan Ye, Northern Illinois University

Donna J. Bailey, Northeast Missouri State University

Wayne Barber, Chemeketa Community College

Marilyn Belkin, Villanova University

Neil Berger, University of Illinois, Chicago

David Berman, University of New Orleans

Anthony J. Bevelacqua, University of North Dakota

Richard Biggs, University of Western Ontario

Robert Blumenthal, Oglethorpe University

Martina Bode, Northwestern University

Barbara Bohannon, Hofstra University

Jay Bourland, Colorado State University

Philip L. Bowers, Florida State University

Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama en Huntsville

Stephen W. Brady, Wichita State University

Michael Breen, Tennessee Technological University

Robert N. Bryan, University of Western Ontario

David Buchthal, University of Akron

Jenna Carpenter, Louisiana Tech University

Jorge Cassio, Miami-Dade Community College

Jack Ceder, University of California, Santa Barbara

Scott Chapman, Trinity University

Zhen-Qing Chen, University of Washington—Seattle

James Choike, Oklahoma State University

Barbara Cortzen, DePaul University

Carl Cowen, Purdue University

Philip S. Crooke, Vanderbilt University

Charles N. Curtis, Missouri Southern State College

Daniel Cyphert, Armstrong State College

Robert Dahlin

M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage

Gregory J. Davis, University of Wisconsin–Green Bay

Elias Deeba, University of Houston–Downtown

Daniel DiMaria, Suffolk Community College

Seymour Ditor, University of Western Ontario

Greg Dresden, Washington and Lee University

Daniel Drucker, Wayne State University

Kenn Dunn, Dalhousie University

Dennis Dunninger, Michigan State University

Bruce Edwards, University of Florida

David Ellis, San Francisco State University

John Ellison, Grove City College

Martin Erickson, Truman State University

Garret Etgen, University of Houston

Theodore G. Faticoni, Fordham University

Laurene V. Fausett, Georgia Southern University

Norman Feldman, Sonoma State University

Le Baron O. Ferguson, University of California—Riverside

Newman Fisher, San Francisco State University

José D. Flores, The University of South Dakota

William Francis, Michigan Technological University

James T. Franklin, Valencia Community College, East

Stanley Friedlander, Bronx Community College

Patrick Gallagher, Columbia University–New York

Paul Garrett, University of Minnesota–Minneapolis

Frederick Gass, Miami University of Ohio

Bruce Gilligan, University of Regina

Matthias K. Gobbert, University of Maryland, Baltimore County

Gerald Goff, Oklahoma State University

Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University

John A. Graham, Buckingham Browne & Nichols School

Richard Grassl, University of New Mexico

Michael Gregory, University of North Dakota

Charles Groetsch, University of Cincinnati

Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University

Salim M. Haïdar, Grand Valley State University

D. W. Hall, Michigan State University

Robert L. Hall, University of Wisconsin–Milwaukee

Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento

Darel Hardy, Colorado State University

Shari Harris, John Wood Community College

Gary W. Harrison, College of Charleston

Melvin Hausner, New York University/Courant Institute

Curtis Herink, Mercer University

Russell Herman, University of North Carolina en Wilmington

Allen Hesse, Rochester Community College

Randall R. Holmes, Auburn University

James F. Hurley, University of Connecticut

Amer Iqbal, University of Washington—Seattle

Matthew A. Isom, Arizona State University

Gerald Janusz, University of Illinois en Urbana-Champaign

John H. Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus

Clement Jeske, University of Wisconsin, Platteville

Carl Jockusch, University of Illinois en Urbana-Champaign

Jan E. H. Johansson, University of Vermont

Jerry Johnson, Oklahoma State University

Zsuzsanna M. Kadas, St. Michael’s College

Nets Katz, Indiana University Bloomington

Matt Kaufman

xx Prefacio

Matthias Kawski, Arizona State University

Frederick W. Keene, Pasadena City College

Robert L. Kelley, University of Miami

Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology

Marianne Korten, Kansas State University

Virgil Kowalik, Texas A&I University

Kevin Kreider, University of Akron

Leonard Krop, DePaul University

Mark Krusemeyer, Carleton College

John C. Lawlor, University of Vermont

Christopher C. Leary, State University of New York en Geneseo

David Leeming, University of Victoria

Sam Lesseig, Northeast Missouri State University

Phil Locke, University of Maine

Joyce Longman, Villanova University

Joan McCarter, Arizona State University

Phil McCartney, Northern Kentucky University

Igor Malyshev, San Jose State University

Larry Mansfield, Queens College

Mary Martin, Colgate University

Nathaniel F. G. Martin, University of Virginia

Gerald Y. Matsumoto, American River College

James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona

Tom Metzger, University of Pittsburgh

Richard Millspaugh, University of North Dakota

Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth University

Michael Montaño, Riverside Community College

Teri Jo Murphy, University of Oklahoma

Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona

Ho Kuen Ng, San Jose State University

Richard Nowakowski, Dalhousie University

Hussain S. Nur, California State University, Fresno

Norma Ortiz-Robinson, Virginia Commonwealth University

Wayne N. Palmer, Utica College

Vincent Panico, University of the Pacific

F. J. Papp, University of Michigan–Dearborn

Mike Penna, Indiana University–Purdue University Indianapolis

Mark Pinsky, Northwestern University

Lothar Redlin, The Pennsylvania State University

Joel W. Robbin, University of Wisconsin–Madison

Lila Roberts, Georgia College and State University

E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington University

Richard Rockwell, Pacific Union College

Rob Root, Lafayette College

Richard Ruedemann, Arizona State University

David Ryeburn, Simon Fraser University

Richard St. Andre, Central Michigan University

Ricardo Salinas, San Antonio College

Robert Schmidt, South Dakota State University

Eric Schreiner, Western Michigan University

Mihr J. Shah, Kent State University–Trumbull

Qin Sheng, Baylor University

Theodore Shifrin, University of Georgia

Wayne Skrapek, University of Saskatchewan

Larry Small, Los Angeles Pierce College

Teresa Morgan Smith, Blinn College

William Smith, University of North Carolina

Donald W. Solomon, University of Wisconsin–Milwaukee

Edward Spitznagel, Washington University

Joseph Stampfli, Indiana University

Kristin Stoley, Blinn College

M. B. Tavakoli, Chaffey College

Magdalena Toda, Texas Tech University

Ruth Trygstad, Salt Lake Community College

Paul Xavier Uhlig, St. Mary’s University, San Antonio

Stan Ver Nooy, University of Oregon

Andrei Verona, California State University–Los Angeles

Klaus Volpert, Villanova University

Russell C. Walker, Carnegie Mellon University

William L. Walton, McCallie School

Peiyong Wang, Wayne State University

Jack Weiner, University of Guelph

Alan Weinstein, University of California, Berkeley

Theodore W. Wilcox, Rochester Institute of Technology

Steven Willard, University of Alberta

Robert Wilson, University of Wisconsin–Madison

Jerome Wolbert, University of Michigan–Ann Arbor

Dennis H. Wortman, University of Massachusetts, Boston

Mary Wright, Southern Illinois University–Carbondale

Paul M. Wright, Austin Community College

Xian Wu, University of South Carolina

Prefacio xxi

Me gustaría agradecer además a R. B. Burckel, Bruce Colletti, David Behrman, John Dersch, Gove Effinger, Bill Emerson, Dan Kalman, Quyan Khan, Alfonso Gracia-Saz, Allan MacIsaac, Tami Martin, Monica Nitsche, Lamia Raffo, Norton Starr y Jim Trefzger por sus sugerencias; a Al Shenk y Dennis Zill por la autorización para usar ejercicios de sus textos de cálculo; a comap por su autorización para usar material para proyectos; a George Bergman, David Bleecker, Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie y Larry Wallen por sus ideas para ejercicios; a Dan Drucker por el proyecto de carrera sobre ruedas; a Thomas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Riddle, Philip Straffin y Klaus Volpert por sus ideas para proyectos; a Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker y Barbara Frank por resolver los ejercicios nuevos y sugerir maneras de mejorarlos; a Marv Riedesel y Mary Johnson por su precisión en la lectura de pruebas; a Andy Bulman-Fleming, Lothar Redlin, Gina Sanders y Saleem Watson por la lectura de pruebas adicional, y a Jeff Cole y Dan Clegg por su cuidadosa preparación y lectura de pruebas del manuscrito de respuestas.

Agradezco además a quienes contribuyeron en ediciones anteriores: Ed Barbeau, George Bergman, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Leon Gerber, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E. L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Mary Pugh, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Dusty Sabo, Doug Shaw, Dan Silver, Simon Smith, Saleem Watson, Alan Weinstein y Gail Wolkowicz.

Gracias también a Kathi Townes, Stephanie Kuhns, Kristina Elliott y Kira Abdallah de TECHarts por sus servicios de producción y a los empleados siguientes de Cengage Learning: Cheryll Linthicum, gerente de proyectos de contenido; Stacy Green, desarrolladora de contenido titular; Samantha Lugtu, desarrolladora de contenido asociada; Stephanie Kreuz, asistente de producto; Lynh Pham, desarrolladora de medios; Ryan Ahern, gerente de mercadotecnia, y Vernon Boes, director de arte. Todos ellos hicieron un trabajo sobresaliente.

He tenido la enorme suerte de trabajar con algunos de los mejores editores de matemáticas en el ramo en las últimas tres décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton, Liz Covello y ahora Neha Taleja. Todos ellos han contribuido ampliamente en el éxito de este libro.

james stewart

Complementos para profesores

Manual del instructor (Instructor’s Guide)*

Por Douglas Shaw

ISBN 978-1-305-39371-4

Cada sección de este texto es analizada desde varios puntos de vista. Instructor’s Guide contiene tiempo sugerido por asignar, puntos por enfatizar, temas de análisis del texto, materiales básicos para exponer en clase, sugerencias de talleres/debates, ejercicios de trabajo grupal en forma conveniente para su distribución y sugerencias de tareas

Manual de soluciones completas Multivariable*

ISBN 978-1-305-38699-0

Incluye soluciones desarrolladas de todos los ejercicios en el texto.

Printed Test Bank*

Por William Steven Harmon

ISBN 978-1-305-27180-7

Contiene elementos de exámenes de opción múltiple y respuesta libre específicos del texto.

Cengage Learning Testing Powered by Cognero* (login.cengage.com)

Este sistema en línea flexible le permite crear, editar y gestionar contenido del banco de exámenes con base en múltiples soluciones de Cengage Learning; crear múltiples versiones de exámenes en un instante y aplicar exámenes desde su LMS, salón de clases o donde usted quiera.

Complementos para profesores y estudiantes

Stewart Website*

www.stewartcalculus.com

Contenido: Homework Hints Algebra Review Additional Topics Drill Exercises Challenge Problems Web Links History of Mathematics Tools for Enriching Calculus (TEC)

TOOLS FOR ENRICHING™ CALCULUS*

Por James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el desarrollador Hubert Hohn

Tools for Enriching Calculus (TEC) funciona como una herramienta eficaz para profesores lo mismo que como un entorno tutorial en que los estudiantes pueden explorar y repasar temas selectos. Los módulos de simulación Flash en TEC incluyen instrucciones, explicaciones por escrito y en audio de los conceptos y ejercicios. TEC está disponible en el eBook vía CourseMate y Enhanced WebAssign. Visuals y Modules especiales pueden conseguirse en www.stewartcalculus.com.

Enhanced WebAssign®

www.webassign.net

Código de acceso impreso: ISBN 978-1-285-85826-5

Código de acceso instantáneo: ISBN 978-1-285-85825-8

Exclusivamente de Cengage Learning, Enhanced WebAssign ofrece un amplio programa en línea para el Cálculo de Stewart a fin de alentar la práctica decisiva para el dominio de conceptos. La pedagogía meticulosamente elaborada y los ejercicios de nuestros textos probados se vuelven aún más efectivos en Enhanced WebAssign, complementados por apoyo tutorial en multimedia y retroalimentación inmediata a medida que los estudiantes completan sus tareas. Las características clave incluyen:

Miles de problemas de tarea que coinciden con los ejercicios de fin de sección del libro de texto

Oportunidades para que los alumnos repasen habilidades y contenido de prerrequisito tanto al principio del curso como al principio de cada sección

Páginas del eBook Read It, videos Watch It, tutoriales Master It y vínculos Chat About It

Un YouBook de Cengage personalizable con características para resaltar, tomar apuntes y buscar, así como con vínculos a recursos multimedia

Personal Study Plans (basados en exámenes de diagnóstico) que identifican temas de capítulos que los estudiantes deberán dominar

Un Answer Evaluator de WebAssign que reconoce y acepta respuestas matemáticas equivalentes en la misma forma en que un profesor califica

Una característica de Show My Work que da a los profesores la opción de ver soluciones detalladas de los alumnos

Visualizing Calculus Animations, Lecture Videos y más

*Este material se encuentra disponible en inglés. Visite www.cengage.com para acceder a estos recursos.

Elementos electrónicos Elementos impresos

Cengage Customizable YouBook*

YouBook es un eBook tanto interactivo como personalizable. Con todo el contenido del Cálculo de Stewart, YouBook ofrece una herramienta de edición de texto que permite a los profesores modificar la narración del libro de texto conforme sea necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rápidamente secciones y capítulos enteros o esconder contenido que no imparten para crear un eBook que se ajuste a la perfección a su curso. Los profesores pueden personalizar adicionalmente el texto añadiendo vínculos de video creados por ellos mismos o de YouTube. Elementos adicionales de medios incluyen figuras animadas, videoclips, características para resaltar y tomar apuntes y más. YouBook está disponible en Enhanced WebAssign

CourseMate*

CourseMate es una perfecta herramienta de estudio personal para los alumnos y no requiere preparación alguna de los profesores. CourseMate da vida a conceptos del curso con herramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparación para exámenes que prestan apoyo al libro de texto impreso.

CourseMate para el Cálculo de Stewart incluye un eBook interactivo, Tools for Enriching Calculus, videos, exámenes, tarjetas de conceptos y más. Para los profesores, CourseMate incluye Engagement Tracker, una herramienta única en su tipo que monitorea la participación de los estudiantes.

CengageBrain.com*

Para tener acceso a materiales adicionales de cursos, visite por favor www.cengagebrain.com. En la página principal de CengageBrain.com, busque el ISBN de su título (en el reverso de su libro) usando el cuadro de búsqueda en la parte superior de la página. Esto lo llevará a la página del producto donde pueden encontrarse estos recursos.

Complementos para estudiantes

Manual de soluciones para el estudiante (Student Solutions Manual)*

Multivariable

ISBN 978-1-305-38698-3

Proporciona soluciones completamente elaboradas de todos los ejercicios de número impar del texto, dando

a los estudiantes la oportunidad de verificar sus respuestas y cerciorarse de haber dado los pasos correctos para llegar a la respuesta. El Student Solutions Manual se puede ordenar o acceder a él en línea como un eBook en www.cengagebrain.com buscando el ISBN

Study Guide*

Multivariable*

Por Richard St. Andre

ISBN 978-1-305-27184-5

Para cada sección del texto, la Study Guide ofrece a los estudiantes una breve introducción, una lista corta de conceptos por dominar y preguntas de resumen y concentración con respuestas explicadas. La Study Guide también contiene pruebas de autoaplicación con preguntas tipo examen. La Study Guide se puede ordenar o acceder a ella en línea como un eBook en www.cengagebrain.com buscando el ISBN

A Companion to Calculus*

Por Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y Kay Somers

ISBN 978-0-495-01124-8

Escrito para mejorar habilidades de álgebra y resolución de problemas de los estudiantes que toman un curso de álgebra, cada capítulo de este complemento está dirigido a un tema de cálculo, ofreciendo fundamentos conceptuales y técnicas específicas de álgebra necesarios para entender y resolver problemas de cálculo relacionados con ese tema. Está diseñado para cursos de cálculo que integran el repaso de conceptos de precálculo o para uso individual. Pida un ejemplar del texto o acceda al eBook en línea en www.cengagebrain.com buscando el ISBN

Linear Algebra for Calculus*

Por Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H. Kuisti, Deborah F. Lockhart, Daniel S. Moak y Gene M. Ortner

ISBN 978-0-534-25248-9

Este libro es muy completo, diseñado para complementar el curso de cálculo, ofrece una introducción y repaso de las ideas básicas del álgebra lineal. Pida un ejemplar del texto o acceda al eBook en línea en www.cengagebrain.com buscando el ISBN.

*Este material se encuentra disponible en inglés. Visite www.cengage.com para acceder a estos recursos.

Elementos electrónicos Elementos impresos

Another random document with no related content on Scribd:

libraries of Arabic literature, to compile local histories and poems, and, in a measure, to become centres for the propagation of intellectual thought.

That is the condition in which Leo Africanus found them in the sixteenth century, when he first revealed their existence to an incredulous and largely unlettered Western world; in which the pioneer explorers of the nineteenth century found them; in which the political agents of Great Britain found them ten years ago when destiny drove her to establish her supremacy in the country. That is the condition in which they are to-day in this difficult transition stage when the mechanical engines of modern progress, the feverish economic activity of the Western world, the invading rattle of another civilization made up of widely differing ideals, modes of thought, and aims, assailed them.

Will the irresistible might wielded by the new forces be wisely exercised in the future? Will those who, in the ultimate resort, direct it, abide by the experience and the advice of the small but splendid band of men whose herculean and whole-hearted labours have inscribed on the roll of British history an achievement, not of conquest, but of constructive statesmanship of just and sober guidance nowhere exceeded in our management of tropical dependencies? Will they be brought to understand all that is excellent and of good repute in this indigenous civilization; to realize the necessity of preserving its structural foundations, of honouring its organic institutions, of protecting and strengthening its spiritual agencies? Will they have the patience to move slowly; the sympathy to appreciate the period of strain and stress which these revolutionary influences must bring with them; the perception to recognize what elements of greatness and of far-reaching promise this indigenous civilization contains? Or will they, pushed by other counsellors, incline to go too fast both politically and economically, impatiently brushing aside immemorial ceremonies and customs, or permitting them to be assaulted by selfish interests on the one hand and short-sighted zeal on the other? Will they forget, amid the clamorous calls of “progress” and “enlightenment” that their own proclaimed high purpose (nobly accomplished by their

representatives) of staying the ravages of internal warfare and healing open wounds will be shamed in the result if, through their instrumentality, the seeds of deeper, deadlier ills are sown which would eat away this fine material, destroy the lofty courtesies, the culture and the healthy industrial life of this land, converting its peoples into a troubled, shiftless mass, hirelings, bereft of economic independence and having lost all sense of national vitality? Thoughts such as these must needs crowd upon the traveller through these vast spaces and populous centres as he watches the iron horse pursue its irrevocable advance towards the great Hausa cities of the plains, as he hears the increasing calls from the newly opened tin mines for labour, from the Lancashire cotton-spinner for cotton and markets; as he takes cognisance of the suggestions already being made to break the spirit of the new and admirable land-law, and of the efforts to introduce a militant Christian propaganda; as he listens in certain quarters to the loose talk about the “shibboleths” and “absurdities” of indigenous forms and ceremonies, the cumbrousness of native laws and etiquette.

CHAPTER IV

THE LIFE OF THE PEOPLE—THE LONG-DISTANCE TRADER

A broad, sandy road, piercing a belt of shea trees, gnarled and twisted, their bark figured like the markings of a crocodile’s back, from which peculiarity you can distinguish the true shea from the socalled “false” shea, or African oak. From the burnt grasses, golden flowers destitute of leaf companionship peep timidly forth as though fearful of such uncongenial surroundings. The heat rays quiver over the thirsty soil, for it is Christmas time and no rain has fallen for nigh upon four months. On the summit of a blackened sapling, exquisite in its panoply of azure blue and pinkey-buff, a bird of the size of our English jay but afflicted with a name so commonplace that to mention it in connection with so glorious a visitant would be cruel, perches motionless, its long graceful tail feathers waving ever so slightly in the still air. The sun beats downward shrewdly, and combined with the gentle amble of the patient beast beneath you, induces drowsiness. You find yourself nodding in the saddle until the loosening grip of thighs jerks the rider once more into sentiency. It is hot, dreamily, lethargically hot. All the world seems comatose, the unfolding panorama unreal as if seen through a fog of visionary reverie. But there is nothing fanciful about the rapidly approaching cloud of dust ahead, which emits a swelling murmur of confused sound. It takes shape and substance, and for the next half-hour or so, drowsiness and heat are alike forgotten in the contemplation of a strange medley of men and animals. Droves of cattle, among them the monstrous horned oxen from the borders of Lake Chad, magnificent beasts, white or black for the most part. Flocks of Roman-nosed, short-haired, vacant-eyed sheep—white with black patches. Tiny, active, bright brown goats skipping along in joyful ignorance of impending fate Pack-bullocks, loaded with potash, cloth, hides and dried tobacco leaves, culinary utensils, and all manner of articles wrapped in skins or in octagon-shaped baskets made of parchment, tight drawn in a wicker framework, which later— on the return journey—will be packed with kolas carefully covered

with leaves. A few camels, skinny and patchy, and much out at elbows so to speak, similarly burdened. The drivers move among their beasts. Keeping in the rear, with lengthy staves outstretched over the animal’s back, they control any tendency to straggle across the road. Tall spare men, for the most part, these drivers, smallboned, tough and sinewy. Hausas mainly, good-featured, not unfrequently bearded men, often possessed of strikingly handsome profiles, with clean-shaven heads and keen cheerful looks. But many Tuaregs are here also from the far-distant north, even beyond the Nigerian border; their fierce eyes gleaming above the black veil drawn across the face, covering the head and falling upon the robe beneath, once white, now stained and rent by many weeks of travel. From the shoulders of these hang formidable, cross-handled swords in red-leather tasselled scabbards. Nor are the Hausas always innocent of arms, generally a sword. But here is a professional hunter who has joined the party. You can tell him from his bow held in the right hand and the quiver of reed-arrows barbed—and, maybe, poisoned—slung across his back. The legs of the men are bare to the knees, and much-worn sandals cover their feet. Some carry loads of merchandise, food and water-gourds; others have their belongings securely fastened on bullock or donkey. Women, too, numbers of them, splendid of form and carriage, one or both arms uplifted, balancing upon the carrying pad (gammo) a towering load of multitudinous contents neatly held together in a string bag. Their raiment is the raiment of antiquity, save that it has fewer folds, the outer gown, commonly blue in colour, reaching to just below the knees, the bosom not generally exposed, at least in youth, and where not so intended, gravely covered as the alien rides by; neck, wrists and ankles frequently garnished with silver ornaments. Many women bear in addition to the load upon the head, a baby on the back, its body hidden in the outer robe, its shiny shaven head emerging above, sometimes resting against the soft and ample maternal shoulders, sometimes wobbling from side to side in slumber, at the imminent risk, but for inherited robustness in that region, of spinal dislocation. Children of all ages, the elders doing their share in porterage, younger ones held by the hand (nothing can be more charming than the sight of a youthful Nigerian mother

gladsome of face and form teaching the young idea the mysteries of head-carriage!). Two tired mites are mounted upon a patient ox, the father walking behind. A sturdy middle-aged Hausa carries one child on his shoulders, grasps another by the wrist, supporting his load with his free hand. A gay, dusty crowd, weary and footsore, no doubt, tramping twenty miles in a day carrying anything from forty to one hundred pounds; but, with such consciousness of freedom, such independence of gait and bearing! The mind flies back to those staggering lines of broken humanity, flotsam and jetsam of our great cities, products of our “superior” civilization, dragging themselves along the Herefordshire lanes in the hop-picking season! What a contrast! And so the trading caravan, bound for the markets of the south, for Lokoja or Bida—it may well be, for some of its units, Ibadan or Lagos—passes onwards, wrapped in its own dust, which, presently, closes in and hides it from sight.

A NIGERIAN HUNTER STALKING GAME WITH THE HEAD OF THE GROUND HORNBILL AFFIXED TO HIS FOREHEAD

(Copyright ) (Photo by Mr E Firmin )

Throughout the dry season the trade routes are covered with such caravans and with countless pedestrians in small groups or in twos or threes—I am told by men who have lived here for years and by the natives themselves, that while highway robbery is not unknown, a woman, even unattended (and I saw many such) is invariably safe from molestation—petty traders and itinerant merchants, some coming north loaded with kolas, salt and cloth, others going south with butchers’ provender, potash, cloth, grass, and leather-ware, etc., witness to the intensive internal commerce which for centuries upon centuries has rolled up and down the highways of Nigeria.

A TRADING CARAVAN

CHAPTER V THE LIFE OF THE PEOPLE—THE AGRICULTURIST

Allahu Akbar! Allahu Akbar! The sonorous tones perforate the mists of sleep, heralding the coming of the dawn. Ashadu Allah, ilaallahu, ila-allahu! Insistent, reverberating through the still, cold air— the night and first hours of the day in these latitudes are often very cold. A pause. Then the unseen voice is again raised, seeming to gather unto itself a passionate appeal as the words of the prayer flow more rapidly. Ashadu an Muhammad rasul ilahi! Haya-al essalatu! Haya al el falahi! Kad Kamet essalatu! Another pause. The myriad stars still shine in the deep purple panoply of the heavens, but their brilliancy grows dimmer The atmosphere seems infused with a tense expectancy. Allahu Akbar! Allahu Akbar! La illaha, ila-Allahu, ila-Allahu. Muhammad Rasul ilahi. Salallah aleiheiu, ... Wassalama. The tones rise triumphant and die away in grave cadence. It thrills inexpressibly does this salute to the omnipotent Creator ringing out over every town and village in the Moslem Hausa States. “God the Greatest! There is no God but the God!” And that closing, “Peace!” It has in it reality. Surely it is a good thing and not a bad thing that African man should be reminded as he quits his couch, and as he returns to it, of an all-presiding, all-pervading, all-comprehending Deity? His fashion may not be our fashion. What of that? How far are we here from the narrow cry of the “Moslem peril”! Whom does this call to God imperil? The people who respond to it and prostrate themselves in the dust at its appeal? Let us be quite sure that our own salvation is secured by our own methods, that the masses of our own people are as vividly conscious of the Omnipotent, as free and happy in their lives, as these Nigerian folk, ere we venture to disturb the solemn acknowledgment and petition that peal forth into the dusk of the Nigerian morn.

FRUIT-SELLERS

WATER-CARRIERS

And now a faint amber flush appears in the eastern sky. It is the signal for many sounds. A hum of many human bees, the crowing of countless roosters, the barking of lean and yellow “pye” dogs, the braying of the donkey and the neigh of his nobler relative, the bleating of sheep and the lowing of cattle. The scent of burning wood assails the nostrils with redolent perfume. The white tick-birds, which have passed the night close-packed on the fronds of the tall fanpalms, rustle their feathers and prepare, in company with their scraggy-necked scavenging colleagues the vultures, for the useful if unedifying business of the day. Nigerian life begins, and what a busy intensive life it is! From sunrise to sunset, save for a couple of hours in the heat of the day, every one appears to have his hands full. Soon all will be at work. The men driving the animals to pasture, or

hoeing in the fields, or busy at the forge, or dye-pit or loom; or making ready to sally forth to the nearest market with the products of the local industry. The women cooking the breakfast, or picking or spinning cotton, or attending to the younger children, or pounding corn in large and solid wooden mortars, pulping the grain with pestles—long staves, clubbed at either end—grasped now in one hand, now in the other, the whole body swinging with the stroke as it descends, and, perhaps, a baby at the back, swinging with it; or separating on flat slabs of stone the seed from the cotton lint picked the previous day This is a people of agriculturists, for among them agriculture is at once life’s necessity and its most important occupation. The sowing and reaping, and the intermediate seasons bring with them their several tasks. The ground must be cleared and hoed, and the sowing of the staple crops concluded before the early rains in May, which will cover the land with a sheet of tender green shoots of guinea-corn, maize, and millet, and, more rarely, wheat. When these crops have ripened, the heads of the grain will be cut off, the bulk of them either marketed or stored—spread out upon the thatch-roofed houses to dry, sometimes piled up in a huge circle upon a cleared, dry space—in granaries of clay or thatch, according to the local idea; others set aside for next year’s seeds. The stalks, ten to fifteen feet in height, will be carefully gathered and stacked for fencing purposes. Nothing that nature provides or man produces is wasted in this country. Nature is, in general, kind. It has blessed man with a generally fertile and rapidly recuperative soil, provided also that in the more barren, mountainous regions, where ordinary processes would be insufficient, millions of earth-worms shall annually fling their casts of virgin sub-soil upon the sun-baked surface. And man himself, in perennial contact with Nature, has learned to read and retain many of her secrets which his civilized brother has forgotten. One tree grows gourds with neck and all complete, which need but to be plucked, emptied and dried to make first-rate water-bottles. A vigorous ground creeper yields enormous pumpkin-shaped fruit whose contents afford a succulent potage, while its thick shell scraped and dried furnishes plates, bowls, pots, and dishes of every size, and put to a hundred uses: ornaments, too, when man has grafted his art upon its surface with dyes and carved

patterns. A bush yields a substantial pod which when ready to burst and scatter its seeds is found to contain a fibrous substance which resembles—and may be identical with, I am not botanist enough to tell—the loofah of commerce, and is put to the same uses. From the seeds of the beautiful locust-bean tree (dorowa), whose gorgeous crimson blooms form so notable a feature of the scenery in the flowering season, soup is made, while the casing of the bean affords a singularly enduring varnish. The fruit of the invaluable Kadenia or shea tree is used for food, for oil, and medicinally. The bees receive particular attention for their honey and their wax, the latter utilized in sundry ways from ornamenting Korans down to the manufacture of candles. As many as a dozen oblong, mud-lined, wicker hives closed at one end, the other having a small aperture, may sometimes be seen in a single tree. Before harvest time has dawned and with the harvesting, the secondary crops come in for attention. Cassava and cotton, indigo and sugar-cane, sweet potatoes and tobacco, onions and ground-nuts, beans and pepper, yams and rice, according to the locality and suitability of the soil. The farmers of a moist district will concentrate on the sugar-cane—its silvery, tufted, feathery crowns waving in the breeze are always a delight: of a dry, on ground-nuts: those enjoying a rich loam on cotton, and so on. While the staple crops represent the imperious necessity of life—food, the profits from the secondary crops are expended in the purchase of clothing, salt and tools, the payment of taxes, the entertainment of friends and chance acquaintances (a generous hospitality characterizes this patriarchal society), and the purchase of luxuries, kolas, tobacco, ornaments for wives and children. It is a revelation to see the cottonfields, the plants in raised rows three feet apart, the land having in many cases been precedently enriched by a catch-crop of beans, whose withering stems (where not removed for fodder, or hoed in as manure) are observable between the healthy shrubs, often four or five feet in height, thickly covered with yellow flowers or snowy bolls of white, bursting from the split pod. The fields themselves are protected from incursions of sheep and goats by tall neat fencing of guinea-corn stalks, or reeds, kept in place by native rope of uncommon strength. Many cassava fields, the root of this plant furnishing an invaluable diet, being indeed, one of the staples of the

more southerly regions, are similarly fenced. Equally astonishing are the irrigated farms which you meet with on the banks of the watercourses. The plots are marked out with the mathematical precision of squares on a chess-board, divided by ridges with frequent gaps permitting of a free influx of water from the central channel, at the opening of which, fixed in a raised platform, a long pole with a calabash tied on the end of it, is lowered into the water and its contents afterwards poured into the trench. Conditions differ of course according to locality, and the technique and industry displayed by the farmers of one district vary a good deal from the next. In the northern part of Zaria and in Kano the science of agriculture has attained remarkable development. There is little we can teach the Kano farmer. There is much we can learn from him. Rotation of crops and green manuring are thoroughly understood, and I have frequently noticed in the neighbourhood of some village small heaps of ashes and dry animal manure deposited at intervals along the crest of cultivated ridges which the rains will presently wash into the waiting earth. In fact, every scrap of fertilizing substance is husbanded by this expert and industrious agricultural people. Instead of wasting money with the deluded notion of “teaching modern methods” to the Northern Nigerian farmer, we should be better employed in endeavouring to find an answer to the puzzling question of how it is that land which for centuries has been yielding enormous crops of grain, which in the spring is one carpet of green, and in November one huge cornfield “white unto harvest,” can continue doing so. What is wanted is an expert agriculturist who will start out not to teach but to learn; who will study for a period of say five years the highly complicated and scientific methods of native agriculture, and base possible improvements and suggestions, maybe, for labour-saving appliances, upon real knowledge.

Kano is, of course, the most fertile province of the Protectorate, but this general description of agricultural Nigeria does not only apply to Kano Province. I saw nothing finer in the way of deep cultivation (for yams and guinea-corn chiefly) than among the Bauchi pagans. The pagan Gwarri of the Niger Province have for ages past grown abundant crops in terraces up their mountainsides whither they sought refuge from Hausa and Fulani raids. The soil around

Sokoto, where the advancing Sahara trenches upon the fertile belt, may look arid and incapable of sustaining annual crops, yet every year it blossoms like a rose. But the result means and needs inherited lore and sustained and strenuous labour. From the early rains until harvest time a prolific weed-growth has continuously to be fought. Insect pests, though not conspicuously numerous in most years, nevertheless exist, amongst them the locusts, which sometimes cover the heavens with their flight; the caterpillar, which eats the corn in its early youth; the blight (daraba), which attacks the ripening ear In some districts not so favoured, the soil being of compact clay with a thin coating of humus, intensive cultivation has proved exhausting, and it is a study to note how every ounce of humus is tended with religious care. Very hard work at the right time is the secret of success for the Nigerian agriculturist. It is little short of marvellous that with all he has to do he somehow manages to build our railways and our roads. Indeed, if that phenomenon has in many respects its satisfactory, it has also its sombre, social side. One can but hope that the former may outweigh the latter as the country gradually settles down after the severe demands placed upon it these last few years.

A GWARRI GIRL

A HAUSA TRADING WOMAN

Truly a wonderful country, and a wonderful people, a people who with fifty years’ peace will double its numbers, a people whom it is our paramount duty to secure for ever in the undisturbed occupation and enjoyment of the land, precluding the up-growth of a middle-man class of landlord from which the native system is free, and being so free need never be saddled with.

CHAPTER VI

THE LIFE OF THE PEOPLE—THE HERDSMAN AND THE ARTISAN

The word “peasant” as applied to the Fulani is, no doubt, a misnomer. I employ it merely to distinguish the herdsmen from the caste of statesmen and governors, evolved in Nigeria by the genius of Othman Fodio, but, as their recorded history throughout Western Africa shows, inherent in this mysterious race whose moral characteristics have persisted through all degrees of admixture with the negro. The Fulani peasant is but rarely an agriculturist in Nigeria, but he plays an important, if indirect, part in the agriculture of the Hausa provinces. Over the face of the land he wanders with his great herds—which may number upwards of several thousand head in one herd—of beautiful hump-backed cattle, mostly white, ever seeking “pastures new.” Speaking under correction, in Borgu only does his settlement partake of permanency. Elsewhere he is a wanderer. One month a given district may be full of Fulani camps, come from where his fellow-man has but the vaguest of notions. The next, not a single Fulani will be seen within it. But they return, as a rule, the ensuing year to their old haunts. To the Hausa farmer the M’Bororoji or “Cow-Fulani” are an invaluable asset, and he enters into regular contracts with them for turning their cattle on to his fields; and he buys milk from them. I struck several of their encampments, at distances hundreds of miles apart. The first, at the crossing of the Bako, between Badeggi and Bida, was in charge of a patriarch who might have stepped out of the book of Genesis: a Semite every inch of him: spare of form, emaciated in feature, with high cheek-bones, hawk-like nose, flashing, crafty eyes, a long white beard and a bronzed skin without a trace of black blood.

A FULANI GIRL.

There is no more interesting sight in Nigeria than a Fulani encampment. It is usually pitched well away from the beaten track, albeit within convenient distance of a village. You rub your eyes and wonder if you can really be in the heart of the Dark Continent, as

these gracefully built, pale copper-coloured men and women—one may say of some of the young girls with the sun shining on their velvety skins, almost golden coloured—appear tending their herds and flocks, or standing and sitting at the entrance to their temporary shelters. Even the latter differ frequently from the African hut, resembling in shape the wigwam of the North American Indian. As for the people themselves, you are aware of an indefinable sentiment of affinity in dealing with them. They are a white, not a black race.

I have discussed their origin and West African history elsewhere,[8] and will only say here that delicacy of form, refinement of contour and simple dignity of bearing distinguish this strange people, just as the ruling families possess the delicacy of brain and subtlety of intellect which impress their British over-lords. A fact worth recording, perhaps, is that while the Hausa woman spins and the Hausa man weaves cotton, the Fulani woman does both the spinning and the weaving.

If the agricultural life of the Northern Nigerian peoples is a full one, the industrial life, especially in the northern provinces of the Protectorate, is equally so. It is an extraordinarily self-sufficing country at present, and the peasant-cultivator and artisan are interdependent, the latter supplying the domestic wants and making the requisite implements for the former. The variety of trades may be estimated from the old Hausa system of taxation. This system the Fulani adopted, modifying it slightly here and there by enforcing closer adherence to the Koranic law, and we are modifying it still further by a gradual process tending to merge multiple imposts under two or three main heads, with the idea of establishing a more equitable re-adjustment of burdens and to ensure greater simplicity in assessment. The Hausa system provided that taxes should be levied upon basket and mat-makers, makers of plant for cottonspinners, bamboo door-makers, carpenters, dyers, blacksmiths and whitesmiths, as well as upon bee-keepers, hunters, trappers and butchers. Exemption from taxes was granted to shoe-makers, tailors, weavers, tanners, potters, and makers of indigo; but market taxes

were imposed upon corn measurers, brokers, sellers of salt, tobacco, kolas, and ironstone.

The chief agricultural implement is the Hausa hoe, the galma, a curious but efficient instrument, which simultaneously digs and breaks up the soil and is said to be of great antiquity, but which is easier to draw than to describe. There is also in daily use among the Hausas a smaller, simpler hoe and a grass-cutter, while the pagan favours a much heavier and more formidable-looking tool. This pagan hoe somewhat resembles our English spade, but is wielded in quite different fashion. Iron drills, rough hammers and axes, nails, horseshoes, stirrup-irons and bits are included among the ordinary forms of the blacksmith’s art. Iron-stone is common in many parts of the country and is extensively worked, furnaces being met with in every district where the use of the metal is locally in vogue. It is to be hoped that “Civilization” will not seek to stamp out this native industry as the tin-miners have done their best—and, unless the promise made to the smelters of Liruei-n-Kano by Sir H. Hesketh Bell is not speedily carried out, but too successfully—to crush the interesting tin-smelting industry. The history of native tin smelting in Nigeria furnishes a remarkable proof of the capacity of the Nigerian native, but is too long to set forth here in detail. Suffice it to say that for a hundred years, a certain ruling family with numerous branches, has succeeded in turning out a singularly pure form of the white metal whose sale as an article of trade brought prosperity to the countryside. When I left the tin district, owing to unjust and stupidly selfish interference with immemorial rights, the native furnaces had been closed for nine months and poverty was beginning to replace comparative affluence.

PANNING FOR IRON