Maillage 3D de structure anatomique pour la simulation électromagnétique et thermique by julien dardenne

Numéro d'ordre :

Année 2009

THÈSE présentée devant L'Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR ÉCOLE DOCTORALE : ÉLECTRONIQUE, ÉLECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE FORMATION DOCTORALE : IMAGES ET SYSTÈMES

par

Julien DARDENNE

Maillage 3D de structures anatomiques pour la simulation électromagnétique et thermique.

Soutenance prévue le 19 novembre 2009 devant le jury :

M. Olivier Devillers

Directeur de recherche, INRIA

Rapporteur

M. Yves Maréchal

Professeur, ENSE3-Grenoble

Rapporteur

M. Frédéric Truchetet

Professeur, IUT le Creusot

Examinateur

M. Jean-Marc Chassery

Directeur de Recherche, CNRS

Examinateur

M. Nicolas Siauve

Maître de Conférence, Université Lyon 1

Co-encadrant

M. Sébastien Valette

Chargé de recherche, CNRS

Co-encadrant

M. Noël Burais

Professeur, Université Lyon 1

Directeur de Thèse

M. Rémy Prost

Professeur, INSA-Lyon

Directeur de Thèse

INSA Direction de la Recherche - Ecoles Doctorales - Quadriennal 20072010 SIGLE

ECOLE DOCTORALE

CHIMIE

CHIMIE DE LYON http ://sakura.cpe.fr/ED206

NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE M. Jean Marc LANCELIN

M. Jean Marc LANCELIN

E.E.A.

Insa : R. GOURDON ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE http ://www.insa-lyon.fr/eea M. Alain NICOLAS

E2M2

Insa : C. PLOSSU ede2a@insa-lyon.fr Secrétariat : M. LABOUNE AM : 64.43 - Fax : 64.54 EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION http ://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2 M. Jean-Pierre FLANDROIS

Insa : H. CHARLES

EDISS

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE Sec : Sa a Boudjema

M. Didier REVEL

Insa : M. LAGARDE INFOMATHS

INFORMATIQUE ET MATHEMATIQUES http ://infosmaths.univ-lyon1.fr M. Alain MILLE

Secrétariat : C. DAYEYAN MATERIAUX DE LYON

Secrétariat : C. BERNAVON 83.85 MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE M. Jean Louis GUYADER

Secrétariat : M. LABOUNE PM : 71.70 - Fax : 87.12 SxSo

M. Alain NICOLAS

Ecole Centrale de Lyon Bâtiment H9 36 avenue Guy de Collongue 69134 ECULLY Tél : 04 72 18 60 97 Fax : 04 78 43 37 17 eea@ec-lyon.fr Secrétariat : M.C. HAVGOUDOUKIAN M. Jean-Pierre FLANDROIS

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M. Jean Marc PELLETIER

MEGA

Université Claude Bernard Lyon 1 Bât CPE 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04 72 43 13 95 Fax : lancelin@hikari.cpe.fr

ScSo*

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Université Lyon 2 86 rue Pasteur 69365 LYON Cedex 07 Tél : 04.78.69.72.76 Fax : 04.37.28.04.48 lionel.obadia@univ-lyon2.fr

M. OBADIA Lionel

Insa : J.Y. TOUSSAINT

*ScSo : Histoire, Geographie, Aménagement, Urbanisme, Archéologie, Science politique, Sociologie, Anthropologie

iii

RĂŠsumĂŠ Dans son environnement quotidien, l'homme est volontairement ou involontairement exposĂŠ Ă des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques radiofrĂŠquences. La prĂŠdiction de l'ĂŠlĂŠvation de tempĂŠrature induite par ce rayonnement, Ă l'aide d'un calcul sur un modĂ¨le anatomique maillĂŠ, dĂŠpend beaucoup de la qualitĂŠ de ce modĂ¨le. Les mĂŠthodes actuelles de gĂŠnĂŠration de maillages volumiques utilisent des reprĂŠsentations surfaciques intermĂŠdiaires des donnĂŠes anatomiques. Nous montrons qu'il n'est pas nĂŠcessaire d'avoir une reprĂŠsentation surfacique pour gĂŠnĂŠrer un maillage volumique. Nous proposons une construction de maillages tĂŠtraĂŠdriques basĂŠe sur les diagrammes de Voronoi CentroĂŻdaux et leur dual, la triangulation de Delaunay. Cette approche, contrairement aux approches de la littĂŠrature, traite directement un volume de voxels segmentĂŠs, obtenu par IRM ou par tomographie X, sans passer par une reprĂŠsentation surfacique. A n d'obtenir des maillages, non plus uniformes mais adaptĂŠs Ă la complexitĂŠ anatomique, nous avons proposĂŠ une nouvelle mĂŠthode de capture de cette complexitĂŠ Ă l'aide d'une approximation de l'axe mĂŠdian. Une comparaison, avec trois autres mĂŠthodes de gĂŠnĂŠration de maillages de la littĂŠrature, montre que notre approche construit des tĂŠtraĂ¨dres de meilleure qualitĂŠ gĂŠomĂŠtrique pour di ĂŠrents critĂ¨res. De cette qualitĂŠ dĂŠcoule une meilleure prĂŠcision sur la tempĂŠrature induite par le rayonnement ĂŠlectromagnĂŠtique, calculĂŠe par une mĂŠthode d'ĂŠlĂŠments nis, ainsi qu'un temps de calcul rĂŠduit. Ces rĂŠsultats montrent le potentiel de notre approche discrĂ¨te de type VoronoĂŻ-Delaunay pour la gĂŠnĂŠration de maillages tĂŠtraĂŠdriques.

Abstract In his daily environment, the man is voluntarily or involuntarily exposed to Radio-Frequency Electromagnetic Fields. The prediction of inferred temperature rise by this radiation, by means of the calculation on a meshed anatomical model, depends a lot from quality of this model. The current methods of tetrahedral mesh generation use intermediate surface representations on the anatomical data. We show that it is not necessary to have a surface representation to generate a volume mesh. We propose a tetrahedral mesh generation based on the Centroidal Voronoi Diagram and their dual, the Delaunay Triangulation. This approach, contrary to surrounding areas of the literature, treats directly a volume of segmented voxels, obtained by MRI or by tomography X. To obtain meshes, either uniform but adapted at the anatomical complexity, we proposed a new method of capture of this complexity by means of medial axis approximation. A comparison with three other methods of tetrahedral mesh generation shows that our approach builds tetrahedra of better geometrical quality for various criteria. Of this quality ensues a better precision of the temperature inferred by the electromagnetic radiation, calculated by nite element methods, as well as a calculation time reduction. These results show the potential of our discrete approach of type VoronoĂŻ-Delaunay for tetrahedral mesh generation.

Table des matiĂ¨res RĂŠsumĂŠ

Table des matiĂ¨res

vii

Table des gures

xii

Liste des tableaux

xviii

Liste des abrĂŠviations

xxi

Liste des notations

xxiii

Introduction

ModĂŠlisation ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique

RĂŠsumĂŠ

1 Ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques et santĂŠ

1.1

Rayonnements ĂŠlectromagnĂŠtiques et expositions . . . . . . . . . . . .

1.2

E ets Biologiques des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques

. . . . . . . . . . .

1.3

Normes et recommandations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Exemple d'application mĂŠdicale : traitement des tumeurs cancĂŠreuses par hyperthermie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ă&#x2030;quations rĂŠgissant la propagation et l'ĂŠnergie des ondes ĂŠlectromagnĂŠtique et la distribution thermique 17 2.1

Ă&#x2030;quations de Maxwell

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Ă&#x2030;quation de Pennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1

Bilan thermique du corps humain . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

DĂŠ nition des ĂŠchanges thermiques dans le corps humain . . .

2.2.3

Ă&#x2030;quation de la biochaleur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 MĂŠthode de rĂŠsolution des E.D.P

3.1

MĂŠthode des di ĂŠrences nies

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

MĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1

DĂŠ nition d'un ĂŠlĂŠment ni

vii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATIÈRES

3.2.2

Formulation variationnelle du problème . . . . . . . . . . . . .

3.2.3

Résolution du système d'équations aux dérivées partielles . . .

Discussion

Génération de maillages volumiques

Résumé

4 Géométrie discrète et images numériques

4.1

Méthodes d'acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Modèles de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1

Réprésentation analytique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2

Espace et objets discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3

Structure et relation de voisinage

. . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

Reconstruction surfacique de données volumétriques . . . . . . . . . .

4.4

Dé niton d'un maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Etat de l'art de la construction de maillages volumiques 5.1

Génération de maillages volumiques non structurés

. . . . . . . . . .

5.1.1

Méthodes frontales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2

Méthodes basées sur un partitionnement hiérarchique . . . . .

5.1.3

Méthodes de type Delaunay-Voronoï

. . . . . . . . . . . . .

5.2

Optimisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

Qualité géométrique et simulation numérique . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1

Classi cation des tétraèdres

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2

Qualité d'un maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3

In uence sur la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4

6 Triangulation basée sur les diagrammes de Voronoï Centroïdaux 59 6.1

Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2

Notre approche

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1

Représentation d'une surface discrète . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2

Diagrammes de Voronoï Centroidaux . . . . . . . . . . . . . .

6.2.3

Génération des éléments du maillage

. . . . . . . . . . . . . .

6.2.4

Intégrité de la frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.5

Qualité géométrique d'une T.V.C

. . . . . . . . . . . . . . . .

6.3

Optimisation topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4

Schéma du mailleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Conclusion viii

91 Julien Dardenne

TABLE DES MATIÈRES

III

Adaptation de maillages volumiques

7 Etat de l'art de l'adaptation géométrique et physique des maillages volumiques 97 7.1

Adaptation au comportement physique du phénomène étudié . . . . .

7.2

Adaptation de nature strictement géométrique . . . . . . . . . . . . .

7.3

Etat de l'art des méthodes d'approximation de l'axe médian

. . . . . 100

7.3.1

Méthodes utilisant une fonction de distance

. . . . . . . . . . 101

7.3.2

Erosion morphologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.3.3

Approches de type Voronoï

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Orientation choisie

103

8 TVC adaptatif

105

8.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.2

Diagramme de Voronoï Centroïdal Contraint . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3

Graphe de Voronoï discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.4

Conditions de ltrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.4.1

Estimation de l'anisotropie des cellules :

8.4.2

Critère basé sur les pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

. . . . . . . . . . . . 110

8.4.3

Critère basé sur l'angle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.5

Carte de densité pour une meilleure approximation de l'axe médian

8.6

Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.7

8.8

. 116

8.6.1

Comparaison entre l'approche uniforme et adaptative . . . . . 119

8.6.2

Comparaison entre notre approche et l'approche RDMA

TVC adaptatif

. . . 121

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.7.1

Prise en compte de la largeur locale . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.7.2

Prise en compte de la largeur et de la courbure locale . . . . . 128

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Exemples d'applications et évaluations

131

Conclusion

133

9 Evaluation de notre approche

135

9.1

Critères de qualité

9.2

Géométrie simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.3

Géométrie complexe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.3.1

Modèles virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.3.2

Strutures anatomiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10 In uence de la qualité du maillage sur la simulation par la MEF 143 10.1 Expérimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.1.1 Expérience 1 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.1.2 Expérience 2 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.1.3 Expérience 3 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Julien Dardenne

TABLE DES MATIĂ&#x2C6;RES

10.1.4 ExpĂŠrience 4 : 10.2 Conclusions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

11 Comparaisons avec di ĂŠrentes approches

149

11.1 GĂŠomĂŠtrie simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 11.2 GĂŠomĂŠtrie complexe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.3 Comparaison dans le cadre de l'hyperthermie . . . . . . . . . . . . . . 158 11.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Conclusion

161

Bibliographie personnelle

165

Bibliographie

174

Julien Dardenne

xii

Table des gures 1.1

Illustration du spectre ĂŠlectromagnĂŠtique . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Sources ĂŠlectromagnĂŠtiques polluantes . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Illustration des e ets biologiques des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques . . .

1.4

Dispositif d'hyperthermie interstitiel

1.5

Processus de traitement par hyperthermie

2.1

ReprĂŠsentation d'une onde ĂŠlectromagnĂŠtique.

2.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Illustration du volume de contrĂ´le d'un tissu vivant modĂŠlisant les mĂŠcanismes de transferts de chaleur et le dĂŠbit sanguin . . . . . . . .

3.1

Illustration des ĂŠlĂŠments discret dans le cadre de l'imagerie mĂŠdicale pour les di ĂŠrences nies et les ĂŠlĂŠments nis . . . . . . . . . . . . . .

4.1

Illustration de scanner-ct et capteur laser commerciaux. . . . . . . . .

4.2

Diverses reprĂŠsentations du modĂ¨le Stanford Bunny

. . . . . . . . .

4.3

ReprĂŠsentation de pavages rĂŠguliers 2D . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

ReprĂŠsentation de complexes cellulaires de dimensions 1, 2 et 3.

. . .

4.5

DĂŠcomposition cellulaire d'un pixel et d'un voxel . . . . . . . . . . . .

4.6

Illustration de la forme des ouverts pour O-, 1-, 2- et 3-cellules dans des complexes cellulaires de dimensions 1, 2 ou 3 . . . . . . . . . . . .

4.7

Illustration de voisinage

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8

Illustration des adjacences pour un voxel . . . . . . . . . . . . . . . .

4.9

ReprĂŠsentation du graphe primaire et dual . . . . . . . . . . . . . . .

4.10 Table de con guration pour l'algorithme

Marching-cubes

. . . . . .

4.11 Primitives gĂŠomĂŠtriques simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

Illustration d'une mĂŠthode frontale

5.2

Illustration du polyĂ¨dre de SchĂśnhardt

. . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

Illustration d'une mĂŠthode basĂŠe sur un partitionnement hiĂŠrarchique

5.4

Illustration du critĂ¨re de Delaunay

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5

Illustration du problĂ¨me de non respect de la frontiĂ¨re . . . . . . . . .

5.6

Illustration de la transformation d'un hexaĂ¨dre Ă faces triangulaires en 2 ou 3 tĂŠtraĂ¨dres.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7

Les trois types de triangles pour la classi cation . . . . . . . . . . . .

5.8

Exemple de classi cation des tĂŠtraĂ¨dres.

. . . . . . . . . . . . . . . .

5.9

Processus de discrĂŠtisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1

Illustration du processus de gĂŠnĂŠration 2D

xiii

. . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES FIGURES

6.2

DĂŠ nition de la surface discrĂ¨te

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3

ReprĂŠsentation des di ĂŠrentes contraintes . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4

Test ĂŠlĂŠmentaire de minimisation entre deux cellules de VoronoĂŻ

6.5

Les trois con gurations possibles, aux orientations prĂ¨s pour dĂŠ nir

. . .

la frontiĂ¨re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6

Illustration des conditions de positionnement d'un site

. . . . . . . .

6.7

Prise en compte de l'orientation dans les contraintes gĂŠomĂŠtriques . .

6.8

Tests ĂŠlĂŠmentaires de minimisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.9

Processus de partitionnement uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.10 Processus de nettoyage du partitionnement . . . . . . . . . . . . . . .

6.11 Illustration des ambiguitĂŠs 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.12 Illustration du processus d'obtention de l'ensemble des tĂŠtraĂ¨dres admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.13 Organisation des structures gĂŠomĂŠtriques . . . . . . . . . . . . . . . .

6.14 Illustration du processus de propagation par front d'onde . . . . . . .

6.15 Illustration des ambiguĂŻtĂŠs induisent par un DVC discret 6.16 Patrons utilisĂŠs pour rĂŠsoudre les ambiguĂŻtĂŠs lorsque

. . . . . . .

nâ&#x2030;¤6

. . . . . .

6.17 Illustration d'une ambiguĂŻtĂŠ topologique sur la frontiĂ¨re . . . . . . . .

6.18 Illustration du processus de restauration

. . . . . . . . . . . . . . . .

6.19 Transformations topologiques notĂŠes 5-4, 2-3 et 3-2

. . . . . . . . . .

6.20 SchĂŠma du mailleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1

Axe mĂŠdian d'une forme et largeur locale.

7.2

Approximation d'axe mĂŠdian par une approche de type VoronoĂŻ

. . . 102

8.1

Illustration de notre processus d'approximation de l'axe mĂŠdian

. . . 106

8.2

ReprĂŠsentation bi-dimensionnelle de l'axe mĂŠdian de la frontiĂ¨re d'une forme dans le cas continu et discret

8.3

. . . . . . . . . . . . . . . 100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

(a) le graphe primaire de la forme (b) la forme frontiĂ¨re dans son graphe dual (c) son diagramme de VoronoĂŻ centroĂŻdal contraint (d) l'approximation de l'axe mĂŠdian aprĂ¨s son ltrage . . . . . . . . . . . 108

8.4

Exemples de partitionnement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.5

Illustration du graphe de VoronoĂŻ discret . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.6

Exemple d'estimation de l'anisotropie des cellules

8.7

Illustration de l'anistropie d'un DVC contraint . . . . . . . . . . . . . 112

8.8

Correction dans le cas de cellules isotropes . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.9

Illustration d'une cellule de VoronoĂŻ anisotrope . . . . . . . . . . . . . 113

. . . . . . . . . . . 111

8.10 ReprĂŠsentation du graphe de VoronoĂŻ et de l'estimation de la direction de la normale pour l'ensemble des cellules

. . . . . . . . . . . . . . . 114

8.11 Illustration du critĂ¨re basĂŠ sur les pĂ´les . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.12 Illustration du premier critĂ¨re de ltrage basĂŠ sur la position des pĂ´les.115 8.13 Illustration du critĂ¨re basĂŠ sur l'angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.14 Illustration de l'approche pour l'approximation de l'axe mĂŠdian

. . . 118

8.15 Image binarisĂŠe reprĂŠsentant un sphinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.16 Comparaison entre l'approche uniforme et adaptative . . . . . . . . . 120 8.17 Trois coupes d'une image 3D du cĂˇur segmentĂŠe et leurs axes mĂŠdians respectifs.

xiv

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Julien Dardenne

TABLE DES FIGURES

8.18 Comparaison entre notre approche et l'approche RDMA

. . . . . . . 122

8.19 Processus de partitionnement adaptatif : (a) partitionnement initial ((b)-(e)) partitionnement

avec contrainte.

sans contrainte

((f )-(i)) partitionnement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.20 Illustration de notre approche sur une image reprĂŠsentant un kiwi

. 125

8.21 Illustration de notre approche pour un volume 3D reprĂŠsentant un coeur humain

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.22 Cartes de densitĂŠ et maillages adaptatifs (N =1000) pour

Îą

= 0.3, 1

et 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.23 Maillages adaptatifs pour 9.1

Îł

= 0 et 0.5 avec

Îą

= 10. . . . . . . . . . . 129

(a) maillage tĂŠtraĂŠdrique d'une sphĂ¨re comprenant 15000 sommets (b) l'histogramme de la distribution de la qualitĂŠ par rapport Ă

9.2

. 137

(a) maillage tĂŠtraĂŠdrique comprenant 10000 sommets (b) coupe du maillage volumique (c) surface de l'objet interne maillĂŠe.

9.3

Q3 .

. . . . . . . 137

ReprĂŠsentations maillĂŠes des modĂ¨les Armadillo , Stanford bunny et Venusbody

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.4

ReprĂŠsentations maillĂŠes d'un fĂˇtus et d' un cĂˇur . . . . . . . . . . . 140

9.5

ReprĂŠsentations maillĂŠes d'un crane et d'un cerveau humain

9.6

ReprĂŠsentations maillĂŠes d'un rein de souris de faĂ§on uniforme et adaptĂŠ142

. . . . . 141

10.1 E et d'un seul mauvais tĂŠtraĂ¨dre sur la simulation ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique pour plusieurs types de prĂŠconditionnement. . . . . . . . 144 10.2 Impact de la qualitĂŠ d'un tĂŠtraĂ¨dre sur la simulation thermique pour di ĂŠrents critĂ¨res normalisĂŠs,

Q6 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.3 Impact de l'ajout un Ă un de mauvais ĂŠlĂŠments selon le critĂ¨re par rapport Ă l'erreur numĂŠrique maximale

Errormax

la solution numĂŠrique et la solution analytique.

calculĂŠe entre

. . . . . . . . . . . . 146

10.4 In uence de la qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments sur le facteur de conditionnement sur la simulation thermique

ST .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

11.1 Comparaisons avec di ĂŠrentes approches sur une gĂŠomĂŠtrie sphĂŠrique 11.2 Histogrammes de qualitĂŠ associĂŠs aux maillages AMIRA et notre mĂŠthode

11.3 Histogrammes de qualitĂŠ associĂŠs au maillage proche et aux maillages

S1 , S2

pour les critĂ¨res (Q1 -Q4 ).

S4 , S5

151

gĂŠnĂŠrĂŠs avec . . . . . . . . 153

issu de notre ap-

gĂŠnĂŠrĂŠs, respectivement, avec TetGen

et GHD3D pour les critĂ¨res (Q1 -Q4 ).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11.4 ReprĂŠsentation de la qualitĂŠ des maillages obtenus entre AMIRA, GHS3D et notre approche

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.5 Histogrammes de qualitĂŠ associĂŠs aux maillages

C1 , C2

gĂŠnĂŠrĂŠs res-

pectivement avec AMIRA et GHS3D Ă partir d'un maillage surfacique et notre mĂŠthode

pour les critĂ¨res (Q1 -Q4 ). . . . . . . . . . . . . . 157

11.6 Ensemble discret tri-dimensionnel et reprĂŠsentation volumique du patient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 11.7 ReprĂŠsentation du SAR dans le cadre de la plani cation du traitement.158 11.8 Comparaison entre di ĂŠrentes structures anatomiques extraites des maillages issus de AMIRA et TVC.

Julien Dardenne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

TABLE DES FIGURES

11.9 Meshview

xvi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Julien Dardenne

xvii

xviii

Liste des tableaux 9.1

Critère de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.2

Evaluation de notre étape d'optimisation pour les modèles Armadillo , Stanford bunny et Venusbody .

. . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.3

Evaluation de notre étape d'optimisation de la qualité des maillages. . 141

9.4

Temps de calcul avec notre algorithme

. . . . . . . . . . . . . . . . . 142

11.1 Qualité du maillage et précision pour la résolution par la MEF en simulation thermique(1) et électromagnétique (2). . . . . . . . . . . . 152 11.2 Qualité du maillage surfacique 11.3 Qualité des maillages

C1 , C2

S utilisé C3 . . . .

pour générer

C2 .

. . . . 155

. . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.4 Qualité du maillage et temps de résolution par la MEF en simulation électromagnétique (1) et thermique(2).

xix

. . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Liste des abréviations BHTE

Bio Heat Transfert Equation

B-Rep

Boundary Representation

CAO

Conception Assistée par Ordinateur

CLA

Conditions aux Limites Absorbantes

CLP

Complexe Linéaire par Morceaux

CT DAS DV

Computer Tomography Densité d'Absorption Spéci que Diagramme de Voronoï

DVC

Diagramme de Voronoï Centroïdal

EDP

Equation aux dérivées partielles

EEG

Electro-Encephalogramme

ELF

Extremely Low Frequency

FA FEB GC GVD ICNIRP

Fractionnal Anisotropy Fréquence Extrêmement Basse Gradient Conjugué Graphe de Voronoï Discret International Commission on Non-Ionising Radiation Protection

IRM

Imagerie par Résonance Magnétique

LFS

Local Feature Size

Medial Axis

MEF

Méthode des Eléments Finis

MEG

Magneto-Encephalogramme

Micro-Ondes

OEM

Onde Electro-Magnétique

PLC

Piecewise Linear Complex

RDMA RF SAR SSOR TVC

Reduced Discrete Medial Axis Radio-Fréquences Spéci c Absorption Rate Symmetric Successive Over Relaxation Triangulation basée sur les diagrammes de Voronoï Centroïdaux

xxi

xxii

Liste des notations B B˙ Bi Ci ct D E F Ai H H(g) Je Jm k K˙ qe qm Qm Q1 Q2 Q3 ρt ρ(x) S˙ T Ta V (zi ) (x, y, z) x y z zi α γ Γ Ω ωb ∂O ∂Ω Ψ ρ µ Θ

l'induction magnétique la puissance thermique évacuée par l'ensemble de la vascularisation l'ensemble des éléments frontières d'une cellule

une cellule de Voronoï la chaleur spéci que l'induction électrique le champ électrique l'anisotropie fractionelle le champ magnétique la matrice hessienne la densité du courant électrique la densité du courant magnétique la constante de propagation du champ électromagnétique la puissance thermique transférée dans les tissus par conduction la densité de charge électrique la densité de charge magnétique la puissance thermique métabolique totale l'angle dièdre minimal l'angle dièdre maximal Critère dé ni dans [Liu 94] la masse volumique des tissus la fonction de densité associée l'énergie thermique stockée au sein du tissu la température la température des artères la cellule de Voronoï de

Repère Direction latérale Direction axiale Direction azimutale le site d'une cellule de Voronoï le paramètre de graduation le paramètre de pondération de l'in uence de la courbure par rapport à la l'ensemble des tétraèdres possibles le domaine à mailler le débit sanguin les frontières internes du domaine à mailler la frontière du domaine à mailler le graphe d'adjacence la carte de densité la fonction de taille l'ensemble des faces possibles

xxiii

LF S

Introduction Les ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques radio-frĂŠquences ou micro-ondes sont utilisĂŠes dans de nombreuses applications, aussi bien dans le domaine mĂŠdical, industriel, ou dans notre vie quotidienne. Leur utilisation est en augmentation dans notre sociĂŠtĂŠ, faisant naĂŽtre des interrogations sur leurs e ets sur la santĂŠ. Les e ets des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques sur l'ĂŞtre humain, notamment au niveau thermique restent mĂŠconnus. Les mesures de champ ĂŠlectromagnĂŠtique et de tempĂŠrature se rĂŠvĂ¨lent di ciles dans le corps humain. D'une part, les mesures directes, en introduisant des sondes dans le corps humain, sont impossibles avec une rĂŠsolution spatiale suf sante, ou encore pour atteindre des zones di ciles d'accĂ¨s. De plus, les sondes perturbent la distribution de la tempĂŠrature. D'autre part, les dispositifs de mesure non intrusifs ne disposent pas, pour l'instant, d'une rĂŠsolution su sante. Que ce soit dans le but d'amĂŠliorer les traitements basĂŠs sur l'exposition Ă ces ondes, comme dans le cas de l'hyperthermie thĂŠrapeutique en oncologie, ou pour nous permettre d'ĂŠvaluer les e ets induits dans le corps humain des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques, la communautĂŠ scienti que se tourne vers la simulation et le calcul sur modĂ¨le. Ces modĂŠlisations reposent sur le calcul de la puissance absorbĂŠe et des phĂŠnomĂ¨nes de transfert thermique dans le corps humain. Lors de la simulation de phĂŠnomĂ¨nes ĂŠlectromagnĂŠtiques et thermiques, il est nĂŠcessaire de disposer de modĂ¨les ables du corps humain. Ainsi, un des critĂ¨res essentiels de la modĂŠlisation numĂŠrique rĂŠside dans la qualitĂŠ de la modĂŠlisation gĂŠomĂŠtrique. Nous ĂŠnumĂŠrons briĂ¨vement, dans le paragraphe suivant, les di ĂŠrents processus permettant d'obtenir une reprĂŠsentation gĂŠomĂŠtrique. Le processus de reconstruction gĂŠomĂŠtrique peut ĂŞtre dĂŠcomposĂŠ en trois ĂŠtapes :

â&#x20AC;˘

une premiĂ¨re ĂŠtape est l'acquisition de donnĂŠes gĂŠomĂŠtriques sur le corps humain et leur analyse ;

â&#x20AC;˘

une deuxiĂ¨me ĂŠtape est la segmentation 2D/3D des di ĂŠrents ĂŠlĂŠments anatomiques que l'on souhaite modĂŠliser ;

â&#x20AC;˘

une troisiĂ¨me ĂŠtape discrĂŠtise le domaine d'ĂŠtude pour les simulations numĂŠriques.

Ce processus est parfois lourd Ă mettre en place et, par consĂŠquent, coĂťteux en temps. Toutefois, il peut ĂŞtre rendu performant par des procĂŠdĂŠs de traitement automatique ou semi automatique [Bidal 02]. La phase d'acquisition des donnĂŠes s'appuie gĂŠnĂŠralement sur des techniques d'imagerie mĂŠdicale (radiographies, scanner 3D, IRM 3D, coupes anatomiques ...) ou encore sur des mesures rĂŠalisĂŠes directement sur le corps humain (biomĂŠtrie, scanner de profondeur (3D), ...).

INTRODUCTION

L'analyse de ces donnĂŠes brutes est alors souvent rĂŠalisĂŠe par des experts du domaine mĂŠdical (anatomistes, chirurgiens, ...). Elle consiste Ă appliquer des algorithmes de traitement d'images pour extraire les contours des ĂŠlĂŠments Ă modĂŠliser. Cette opĂŠration, appelĂŠe aussi segmentation , consiste Ă extraire des iso-contours (ou iso-surfaces) ou des rĂŠgions homogĂ¨nes (niveau de gris, texture). Les techniques de segmentation sont dĂŠcrites dans [Cocquerez 95]. La segmentation gĂŠnĂ¨re un chier image (2D, 3D) binaire ou labellisĂŠs. L'ĂŠtape de discrĂŠtisation 3D fait appel Ă des mĂŠthodes mathĂŠmatiques avancĂŠes. Parmi elles, citons les mĂŠthodes basĂŠes sur la triangulation de Delaunay [Boissonnat 92, George 97b], les mĂŠthodes basĂŠes sur la dĂŠformation de maillages simplexes [Delingette 97] et en n les mĂŠthodes basĂŠes sur l'algorithme du marching cube [Lorensen 87a]. Ce travail s'e ectue Ă partir de l'image binaire fournie par la segmentation. Les maillages volumiques doivent se rapprocher le plus dĂ¨lement possible du modĂ¨le anatomique puisqu'ils seront utilisĂŠs pour des simulations de phĂŠnomĂ¨nes rĂŠalistes. Cette ĂŠtape est tout aussi dĂŠlicate que les deux autres puisqu'elle nĂŠcessite plusieurs choix cruciaux dont dĂŠpend la qualitĂŠ des simulations. Ce choix concerne le type d'ĂŠlĂŠments, triangles ou quadrangles (en surfacique), tĂŠtraĂ¨dres ou cubes (en volumique) et la qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments. Les critĂ¨res de qualitĂŠ d'un maillage dĂŠpendent de la dimension des ĂŠlĂŠments, leurs angles minimal, maximal et leurs proportions (longueur, largeur, ĂŠpaisseur). Bien entendu, le nombre d'ĂŠlĂŠments rĂŠsulte d'un compromis entre le temps de calcul et la prĂŠcision des simulations. Mes travaux, au sein des laboratoires CREATIS et AmpĂ¨re, ont pour but de proposer une mĂŠthode de gĂŠnĂŠration de maillage Ă partir de donnĂŠes mĂŠdicales segmentĂŠes. L'objectif de cette thĂ¨se rĂŠside donc dans le dĂŠveloppement d'une stratĂŠgie d'obtention des reprĂŠsentations maillĂŠes des structures anatomiques du corps humain. Cette stratĂŠgie part d'images mĂŠdicales segmentĂŠes permettant la reconstruction de leur surface sous forme maillĂŠe (maillages surfaciques et volumiques) munie de bonnes propriĂŠtĂŠs pour un calcul prĂŠcis et rapide par la MĂŠthode des ElĂŠments Finis (MEF). Cette thĂ¨se s'inscrit dans le projet ANR BioRFMod, portant sur la dĂŠtermination de la tempĂŠrature dans le corps humain lors de son exposition Ă un rayonnement ĂŠlectromagnĂŠtique : radio-frĂŠquence ou micro-onde et la rĂŠgion RhĂ´ne Alpes, Cluster 2 ISLE, PP3, sous-projet SIMED : Simulation en Imagerie MEDicale pour le Diagnostic et la ThĂŠrapie. L'objectif de la thĂ¨se est l'obtention d'un maillage volumique spĂŠci que Ă un patient, Ă partir de sĂŠquences d'images acquises par tomographie ou par rĂŠsonnance magnĂŠtique. Contrairement aux mĂŠthodes actuelles qui gĂŠnĂ¨rent un maillage volumique (constituĂŠ de tĂŠtraĂ¨dres) Ă partir d'un maillage surfacique triangulaire, nous avons dĂŠveloppĂŠ une mĂŠthode de gĂŠnĂŠration de maillages volumiques directement Ă partir des images segmentĂŠes. L'approche proposĂŠe s'appuie sur la construction d'un diagramme de VoronoĂŻ discret dont le dual est : la triangulation de Delaunay. Nous obtenons la reprĂŠsentation maillĂŠe complĂ¨te du domaine d'ĂŠtude (intĂŠrieur et extĂŠrieur des interfaces). Ce manuscrit de thĂ¨se se compose de quatre parties dont nous dĂŠtaillons rapidement le contenu.

Julien Dardenne

INTRODUCTION

Dans la premiĂ¨re partie, nous prĂŠsentons les bases de la simulation ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique. Nous rappelons les ĂŠquations physiques nĂŠcessaires Ă la rĂŠsolution de ce type de problĂ¨me couplĂŠ puis nous introduisons les di ĂŠrentes mĂŠthodes de rĂŠsolution de ces ĂŠquations par MEF. Ces aspects sont importants et doivent ĂŞtre pris en compte dans le dĂŠveloppement de notre approche. Nous terminerons cette partie en introduisant la mĂŠthode choisie dans le cadre de l'ANR BioRFMod pour la rĂŠsolution des di ĂŠrents phĂŠnomĂ¨nes physiques. La deuxiĂ¨me partie sera consacrĂŠe Ă un ĂŠtat de l'art des mĂŠthodes de construction de maillages volumiques. Nous commencerons par introduire les di ĂŠrentes dĂŠ nitions que nous utiliserons dans ce mĂŠmoire. Nous ferons ensuite une revue des mĂŠthodes de gĂŠnĂŠration de maillages volumiques. Notre approche sera dĂŠveloppĂŠe ensuite. Dans un premier temps, nous dĂŠcrirons notre mĂŠthode de gĂŠnĂŠration de maillage dans un contexte 2D et dans un second temps en 3D. Un algorithme original d'optimisation topologique sera aussi prĂŠsentĂŠ. Nous prĂŠsenterons ensuite un ĂŠtat de l'art sur l'approximation de l'axe mĂŠdian que nous utilisons pour construire des maillages dit adaptatifs d'un point de vue strictement gĂŠomĂŠtrique. La version adaptative de notre approche utilise la connaissance de l'axe mĂŠdian. La troisiĂ¨me partie sera alors dĂŠdiĂŠe Ă la mĂŠthode originale que nous avons proposĂŠe pour l'approximation de l'axe mĂŠdian Ă partir de diagrammes de VoronoĂŻ contraints. Nous montrerons, en n de partie, une comparaison avec l'approche RDMA [Coeurjolly 07a] et l'adaptativitĂŠ obtenue grĂ˘ce Ă l'axe mĂŠdian dans le cadre de notre processus de gĂŠnĂŠration de maillage. Dans la quatriĂ¨me partie, notre mĂŠthode de construction de maillage volumique Ă partir d'images segmentĂŠes 3D sera ĂŠvaluĂŠe. Nous nous intĂŠresserons aux rĂŠsultats obtenus avec notre approche sur di ĂŠrents volumes segmentĂŠs avant de dresser un bilan de notre mĂŠthode. Nous montrerons une ĂŠtude comparative entre notre mailleur et les mailleurs commerciaux AMIRA et GHS3D , et le mailleur libre TetGen . Nous prĂŠsenterons une ĂŠtude montrant l'in uence de la qualitĂŠ des maillages sur la prĂŠcision et les temps de calcul en MEF pour notre ĂŠtude. Finalement, nous gĂŠnĂŠrerons un maillage volumique comportant plusieurs structures anatomiques et nous procĂŠderons Ă une simulation numĂŠrique par la MEF dans le cadre de l'hyperthermie. Nous conclurons ce mĂŠmoire en faisant un bilan des contributions proposĂŠes, aussi bien en termes de gĂŠnĂŠration de maillages adaptatifs, qu'en terme de l'in uence de leur qualitĂŠ sur la simulation numĂŠrique par MEF. Nous dĂŠvelopperons en n plusieurs perspectives de ces travaux de recherche.

Julien Dardenne

INTRODUCTION

Julien Dardenne

Modélisation électromagnétique et thermique

RĂŠsumĂŠ La multiplication des sources ĂŠlectromagnĂŠtiques, tant domestiques que professionnelles, fait que l'ĂŠtude de l'exposition humaine Ă ces champs est un sujet d'actualitĂŠ. Ce dĂŠveloppement pose aujourd'hui le problĂ¨me dĂŠlicat des ĂŠventuels e ets nocifs sur la santĂŠ de l'homme, du champ ĂŠlectromagnĂŠtique rayonnĂŠ. D'un autre point de vue, l'hyperthermie thĂŠrapeutique, utilisant des sources ĂŠlectromagnĂŠtiques, est une technique mĂŠdicale utilisĂŠe dans le traitement des cancers. La simulation numĂŠrique des traitements en hyperthermie est une procĂŠdure en deux ĂŠtapes qui consiste Ă dĂŠterminer dans un premier temps le dĂŠpĂ´t de puissance Ă l'intĂŠrieur du corps induit par la source de chau age. La deuxiĂ¨me ĂŠtape concerne le calcul de la distribution de l'ĂŠnergie due Ă la conduction thermique des tissus et de la circulation sanguine. Pour ĂŠtudier les e ets thermiques induits par la transformation de l'ĂŠnergie ĂŠlectrique dans les tissus, il faut combiner le modĂ¨le ĂŠlectromagnĂŠtique Ă un modĂ¨le thermique, dit de biochaleur. Au terme de l'ANR BioRFMod, un modĂ¨le global de l'interaction entre rayonnement ĂŠlectromagnĂŠtique et tissus vivants incluant les e ets thermiques devrait ĂŞtre disponible. Outre les simulations rĂŠalisĂŠes pour crĂŠer des stratĂŠgies de traitement de tumeurs cancĂŠreuses par hyperthermie, un tel modĂ¨le pourrait servir, par exemple, Ă la modĂŠlisation numĂŠrique des e ets thermiques des tĂŠlĂŠphones portables. Cette premiĂ¨re partie, consacrĂŠe Ă la modĂŠlisation ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique, exposera, dans un premier chapitre, le contexte de notre approche. Dans le second chapitre seront prĂŠsentĂŠes les ĂŠquations de Maxwell et de Pennes pour modĂŠliser, respectivement, les phĂŠnomĂ¨nes ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique induits dans le corps humain. Dans le dernier chapitre, les di ĂŠrentes mĂŠthodes de rĂŠsolution numĂŠrique seront dĂŠcrites. La mĂŠthode numĂŠrique retenue pour calculer la distribution du champ ĂŠlectrique ainsi que la distribution de la tempĂŠrature induite par les ondes ĂŠlectromagnĂŠtique radio-frĂŠquence sera prĂŠsentĂŠe.

Julien Dardenne

Chapitre 1

Ondes électromagnétiques et santé 1.1 Rayonnements électromagnétiques et expositions Bien qu'invisible, le rayonnement électromagnétique est un phénomène omniprésent de notre environnement. On distingue les rayonnements naturels des rayonnements arti ciels :

•

Les rayonnements naturels sont créés par le soleil, la terre, par son champ magnétique, ou par l'activité des orages. Le corps humain lui même produit des rayonnements électromagnétiques de par son activité naturelle (c÷ur, muscle, activité cérébrale ...). Ils sont de très faible intensité.

•

Les rayonnements arti ciels sont nombreux autour de nous, ils proviennent des circuits électriques et des appareils : cuisinières, radiateur électrique, appareil de communication sans l ... Même en veille, ces appareils émettent des champs électromagnétiques.

Avec le développement exponentiel de ces sources électromagnétiques arti cielles depuis ces dernières années, de plus en plus de recherches ont pour objectif d'évaluer l'in uence de ce rayonnement électromagnétique sur le corps humain. La détermination des grandeurs électromagnétiques et thermiques induites intra corporelles est devenue un enjeu sociétal primordial.

CHAPITRE 1. ONDES Ă&#x2030;LECTROMAGNĂ&#x2030;TIQUES ET SANTĂ&#x2030;

Dans son environnement quotidien, l'homme est volontairement ou involontairement exposĂŠ Ă des rayonnements arti ciels ( gure 1.1 et 1.2) :

â&#x20AC;˘

Les expositions volontaires concernent les applications mĂŠdicales en diagnostic (IRM :

Imagerie par RĂŠsonance MagnĂŠtique )

et en thĂŠrapie (hyper-

thermie, physiothĂŠrapie, ...).

â&#x20AC;˘

Les expositions involontaires sont dues Ă la pollution ĂŠlectromagnĂŠtique issue de l'utilisation de l'ĂŠlectricitĂŠ et de l'ĂŠlectromagnĂŠtisme en milieu professionnel (soudeuse, four Ă induction, cuve Ă ĂŠlectrolyse ...) et domestique (tĂŠlĂŠphonie sans l, micro-ondes, rĂŠseau wi , ...).

Fig. 1.1 Illustration du spectre ĂŠlectromagnĂŠtique (source : http ://crealab.info/).

Il existe une inquiĂŠtude grandissante de la sociĂŠtĂŠ concernant les possibles e ets des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques, que ce soient des champs ĂŠlectriques et magnĂŠtiques de FrĂŠquence ExtrĂŞmement Basse (FEB ou ELF :

Extremely Low Frequency ),

les

Radio-FrĂŠquences (RF) ou les Micro-Ondes (MO).

(a)

(b)

Fig. 1.2 Sources ĂŠlectromagnĂŠtiques polluantes : (a) pistolet de soudage Ă l'arc (b)

antenne relais

Julien Dardenne

1.2. EFFETS BIOLOGIQUES DES CHAMPS Ă&#x2030;LECTROMAGNĂ&#x2030;TIQUES

1.2 E ets Biologiques des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques Les ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques interfĂ¨rent avec l'organisme, notamment avec les processus ĂŠlectro-physiques dans lesquels les courants ĂŠlectriques jouent un rĂ´le complexe. A ce jour, deux e ets des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques sur l'organisme sont reconnus et permettent d'ĂŠtablir la base des seuils d'exposition recommandĂŠs :

â&#x20AC;˘

les courants induits circulant dans l'organisme (ĂŠmission basse frĂŠquence),

â&#x20AC;˘

l'ĂŠchau ement thermique (ĂŠmission haute frĂŠquence).

Les champs ĂŠlectriques, magnĂŠtiques et ĂŠlectromagnĂŠtiques font partie des rayonnements dits non ionisants : ils ne sont pas su samment ĂŠnergĂŠtiques pour ĂŠjecter un ĂŠlectron d'un atome ou d'une molĂŠcule (par opposition aux rayonnements ionisants tels que, par exemple, les rayons X). L'ensemble des ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques forme le spectre ĂŠlectromagnĂŠtique. Ce spectre comprend tant le rayonnement ionisant que non-ionisant, suivant la frĂŠquence et donc l'ĂŠnergie photonique. ( gure 1.3). Il reste Ă connaĂŽtre les e ets non ionisants de ces ondes de faible ĂŠnergie (ondes basses frĂŠquences, ondes radio et micro-ondes), car ce sont elles qui nous entourent en premier lieu.

Fig. 1.3 Illustration des e ets biologiques des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques (source :

http ://www.lesondesenquestions.fr)

Ces e ets sont actuellement relativement mĂŠconnus mais suscitent le vif intĂŠrĂŞt de la recherche. Les ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques transportent de l'ĂŠnergie dont une partie est transformĂŠe en chaleur dans la matiĂ¨re vivante (lorsque la frĂŠquence de rayonnement est supĂŠrieure au MHz). Chez l'animal, il a ĂŠtĂŠ montrĂŠ qu'une certaine puissance (supĂŠrieure Ă 4W/kg ) provoquait une augmentation de la tempĂŠrature

Julien Dardenne

CHAPITRE 1. ONDES Ă&#x2030;LECTROMAGNĂ&#x2030;TIQUES ET SANTĂ&#x2030;

corporelle (entre 0,5 et 1

â&#x2014;Ś

et des troubles du comportement ainsi que de l'ap-

prentissage [Stuchly 90, Sander 82]. Ces e ets thermiques constatĂŠs chez l'animal ont permis de dĂŠ nir la DensitĂŠ d'Absorption SpĂŠci que (W/kg ) (DAS ou SAR :

SpĂŠci c Absorption Rate )

chez l'homme avec une marge de sĂŠcuritĂŠ d'un facteur

50. La DAS pour le corps entier chez l'homme a donc ĂŠtĂŠ xĂŠ Ă 80

mW/kg .

Cette

valeur reprĂŠsente la norme dĂŠ nie par l'ICNIRP (International Commission on NonIonising Radiation Protection) [ICNIRP 98]. Mais il faut bien savoir qu'il reprĂŠsente une puissance moyenne d'absorption, et que l'ĂŠnergie absorbĂŠe l'est de faĂ§on trĂ¨s inhomogĂ¨ne d'une rĂŠgion du corps Ă l'autre.

1.3 Normes et recommandations De nombreux rapports et recommandations ont alors vu le jour [Lorrain 02, Aran 03]. La recommandation europĂŠenne s'appuie sur des e ets immĂŠdiats des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques, sur la base de mĂŠcanismes d'interaction champs - tissus biologiques vivants faisant l'objet d'un consensus scienti que :

â&#x20AC;˘

en basse et moyenne frĂŠquences, les champs induisent des courants dans l'or2 ganisme pour lesquels il ne faut pas dĂŠpasser une certaine densitĂŠ J (mA/m ),

â&#x20AC;˘

en haute frĂŠquence, les e ets thermiques deviennent prĂŠpondĂŠrants et sont caractĂŠrisĂŠs par la densitĂŠ d'absorbtion spĂŠci que (W/kg ), qui doit rester infĂŠrieure Ă un certain niveau.

MalgrĂŠ de nombreuses ĂŠtudes rĂŠalisĂŠes Ă ce jour, il y a encore peu d'avancĂŠes signi catives dans la connaissance des e ets des champs ĂŠlectromagnĂŠtique sur le corps humain. Aujourd'hui, la communautĂŠ scienti que est encore loin de pouvoir conclure avec certitude sur leur innocuitĂŠ ou leur nocivitĂŠ. Seules certaines nuisances, telles que les e ets des courants ĂŠlectriques induits dans le corps humain par les basses frĂŠquences, les rĂŠactions humaines liĂŠes aux courants de contact et les e ets thermiques dans les tissus provoquĂŠs par les hautes-frĂŠquences, sont scienti quement reconnus. Les normes xĂŠes en France par le dĂŠcret (rĂŠfĂŠrence : 2002-775) du 3 mai 2002 prĂŠconisent un DAS infĂŠrieur Ă 80

mW/kg

pour le corps entier et 2W/kg pour

la tĂŞte et le tronc. Dans le cadre de cette thĂ¨se, nous nous situons dans le domaine des hautes frĂŠquences couvrant une gamme allant de 1M Hz Ă 3GHz ce qui correspond Ă des ondes non ionisantes produisant essentiellement un e et thermique. Notre ĂŠtude portera sur le dĂŠveloppement et le renseignement de modĂ¨le numĂŠriques 3D spĂŠci ques adaptĂŠs au corps humain permettant de dĂŠterminer la rĂŠpartition de tempĂŠrature induite lors de son exposition volontaire ou involontaire Ă un rayonnement radiofrĂŠquence ou micro-onde.

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1.4. EXEMPLE D'APPLICATION MĂ&#x2030;DICALE : TRAITEMENT DES TUMEURS CANCĂ&#x2030;REUSES PAR HYPERTHERMIE.

1.4 Exemple d'application mĂŠdicale : traitement des tumeurs cancĂŠreuses par hyperthermie. L'hyperthermie Ă but thĂŠrapeutique est basĂŠe sur une augmentation de la tempĂŠrature Ă l'intĂŠrieur des cellules cancĂŠreuses a n de les dĂŠtruire ou de les a aiblir, sans lĂŠser les cellules saines avoisinantes. Elle consiste Ă maintenir les tissus Ă une temâ&#x2014;Ś pĂŠrature modĂŠrĂŠment ĂŠlevĂŠe (comprise entre 42 et 45 C ) pendant une trĂ¨s longue durĂŠe (30 Ă 60 min) [Kaatee 97]. L'ablathermie par radiofrĂŠquence est une technique ou le champ radiofrĂŠquence est dĂŠlivrĂŠ localement dans un tissu par le biais d'une aiguille-antenne et d'un gĂŠnĂŠrateur HF ( gure 1.4), permettant d'obtenir des destructions tissulaires. La destruction est obtenue par une nĂŠcrose provoquĂŠe par augmentation subite de la tempĂŠrature.

(a)

(b)

Fig. 1.4 Dispositif d'hyperthermie interstitiel : un applicateur externe (a) et le gĂŠnĂŠra-

teur HF (b) (source : Dept of Neurosurgery, Brain Research Institute, Niigata university, Japon ).

L'hyperthermie thĂŠrapeutique est gĂŠnĂŠralement employĂŠe en association avec la radiothĂŠrapie. Soumis Ă ce traitement, les tissus cancĂŠreux sont alors plus sensibles aux rayonnements, ce qui permet une destruction sĂŠlective des cellules tumorales. L'hyperthermie renforce aussi l'action du mĂŠdicament anticancĂŠreux dans le cadre d'une chimiothĂŠrapie. L'ĂŠlĂŠvation localisĂŠe de tempĂŠrature peut ĂŞtre rĂŠalisĂŠe par des dispositifs travaillant dans une gamme de frĂŠquence comprise entre 10 2.45

M Hz

GHz . Les progrĂ¨s technologiques rĂŠcents permettent de traiter des tumeurs pro-

fondes par des ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques en utilisant des IRM ouvertes pour mesurer la tempĂŠrature [Ronkainen 06]. En Allemagne et en Hollande, l'hyperthermie est un standard pour le traitement des cancers du col utĂŠrin et de certains sarcomes. En France, ces techniques sont peu appliquĂŠes. Les seules ĂŠvaluations dans ce domaine se limitent Ă l'hyperthermie super cielle par micro-ondes, Ă l'ablathermie par radiofrĂŠquences ou par ultrasons focalisĂŠs, ainsi qu'Ă l'hyperthermie localisĂŠe [Mar 03]. L'un des facteurs limitant d'un traitement par hyperthermie est l'apparition de points chauds plus ou moins douloureux et dangereux pour le patient. L'importance de la modĂŠlisation de tels phĂŠnomĂ¨nes provient des di cultĂŠs rencontrĂŠes pour mesurer les tempĂŠratures Ă l'intĂŠrieur de la rĂŠgion dĂŠsirĂŠe lorsque les tumeurs sont situĂŠes en

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CHAPITRE 1. ONDES Ă&#x2030;LECTROMAGNĂ&#x2030;TIQUES ET SANTĂ&#x2030;

profondeur. Elle provient aussi dans ce cadre du degrĂŠ de variabilitĂŠ et de complexitĂŠ des traitements entre chaque patient qui varie en fonction de la taille, de la forme et de la localisation de la tumeur, mais aussi de la morphologie de chaque patient. La connaissance, le contrĂ´le et la maĂŽtrise parfaite des conditions d'exposition sont indispensables. Pour expĂŠrimenter, comprendre et modĂŠliser les interactions des ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques avec des cellules et des tissus biologiques, une dosimĂŠtrie appropriĂŠe et complĂ¨te est donc nĂŠcessaire. La dosimĂŠtrie ĂŠtant la quanti cation des champs et puissances induites dans les tissus. Cette quanti cation passe par une modĂŠlisation numĂŠrique des phĂŠnomĂ¨nes en jeux qu'ils soient de nature ĂŠlectromagnĂŠtique et/ou thermique. Il est indispensable de dĂŠvelopper un programme 3D de plani cation de traitement prenant en compte la gĂŠomĂŠtrie et les caractĂŠristiques spĂŠci ques du patient. Des fonctions objectifs sont utilisĂŠes par la suite pour optimiser les paramĂ¨tres, amplitude et phase, des sources radiofrĂŠquences constituant le systĂ¨me de chau e a n d'atteindre un plan de traitement satisfaisant pour chaque patient. Un modĂ¨le numĂŠrique 3D basĂŠ sur les ĂŠlĂŠments nis d'arĂŞtes a ĂŠtĂŠ mis au point dans le cadre de cette plani cation des traitements par hyperthermie [Siauve 04]. Ce modĂ¨le permet de calculer la rĂŠpartition du DĂŠbit d'Absorption SpĂŠci que (DAS ou SAR :

Speci c Absorbtion Ratio ) (W/kg), il est utilisĂŠ pour optimiser les sources

de rayonnement. Toute la complexitĂŠ de la thĂŠrapie par hyperthermie rĂŠside en la bonne focalisation de la puissance induite dans certains organes, donc du champ ĂŠlectromagnĂŠtique. L'objectif nal est de dĂŠterminer la distribution de tempĂŠrature induite dans le corps humain lorsqu'il est soumis Ă un champ radiofrĂŠquence. La reprĂŠsentation maillĂŠe devra donc avoir des caractĂŠristiques, en termes de qualitĂŠ de maillage, adaptĂŠes Ă la rĂŠsolution des problĂ¨mes ĂŠlectromagnĂŠtiques et thermiques par la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis. Dans le cadre de cette thĂ¨se, nous cherchons Ă obtenir une mĂŠthode, rapide et robuste, pour construire, Ă partir d'un ensemble de voxels, obtenu par IRM (Fig. 1.5(a)) ou par tomographie X, une reprĂŠsentation maillĂŠe spĂŠci que du patient (b). Cette reprĂŠsentation maillĂŠe (b) sera utilisĂŠe pour dĂŠterminer la rĂŠpartition du champ ĂŠlectrique induit dans le corps lors de son exposition Ă des champs radio-frĂŠquences ou micro-ondes (c). Le rĂŠglage des sources des applicateurs (module et phase) mais ĂŠgalement le positionnement des applicateurs et le choix de l'applicateur peuvent ĂŞtre alors rĂŠalisĂŠs (d) selon la prĂŠcĂŠdente modĂŠlisation (c) dans le cadre d'un traitement par hyperthermie.

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1.4. EXEMPLE D'APPLICATION MÉDICALE : TRAITEMENT DES TUMEURS CANCÉREUSES PAR HYPERTHERMIE.

(a)

(c)

(b)

(d)

Fig. 1.5 Processus de traitement par hyperthermie : (a) examen IRM du patient (b)

segmentation et modélisation 3D de l'image du patient (c) simulation pour la plani cation du traitement (d) dispositif d'hyperthermie pour le traitement.

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CHAPITRE 1. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES ET SANTÉ

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Chapitre 2

Équations régissant la propagation et l'énergie des ondes électromagnétique et la distribution thermique 2.1 Équations de Maxwell Toute installation électrique peut créer dans son voisinage un champ électrique, un champ magnétique ou un champ électromagnétique, combinaison des deux, champs qui se propagent dans l'espace sous forme d'onde non ionisante. Ces champs se caractérisent par leur fréquence (exprimée en hertz, (Hz )) ou leur longueur d'onde (en mètre, (m)). Une Onde Electro-Magnétique (OEM) est l'association d'un champ électrique périodique sinusoïdal,

et d'un champ magnétique,

même période, perpendiculaire en tout point.

Fig. 2.1 Représentation d'une onde électromagnétique.

sinusoïdal de

CHAPITRE 2. Ă&#x2030;QUATIONS RĂ&#x2030;GISSANT LA PROPAGATION ET L'Ă&#x2030;NERGIE DES ONDES Ă&#x2030;LECTROMAGNĂ&#x2030;TIQUE ET LA DISTRIBUTION THERMIQUE

Les ĂŠquations de Maxwell reprĂŠsentent les bases de l'ĂŠlectromagnĂŠtisme. Ces ĂŠquations dĂŠcoulent de l'utilisation de di ĂŠrents thĂŠorĂ¨mes (Gauss, AmpĂ¨re, Faraday) qui rĂŠgissaient l'ĂŠlectromagnĂŠtisme. Maxwell les a rĂŠunis sous forme d'ĂŠquations intĂŠgrales. Elles permettent de dĂŠcrire les ĂŠvolutions spatio-temporelles du champ ĂŠlectrique et du champ magnĂŠtique. La forme gĂŠnĂŠrale des ĂŠquations de Maxwell sous leur forme di ĂŠrentielle est la suivante :

â&#x2C6;&#x201A;D + Je , â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x201A;B â&#x2C6;&#x2019; Jm â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;t

â&#x2C6;&#x2021;Ă&#x2014;H=

â&#x2C6;&#x2021;.D = qe , oĂš

(2.1)

â&#x2C6;&#x2021;.B = qm

(2.2)

est le champ ĂŠlectrique (V /m), 2 est l'induction ĂŠlectrique (C/m ),

D B est l'induction magnĂŠtique (T ), H reprĂŠsente le champ magnĂŠtique (A/m), Je est la densitĂŠ du courant ĂŠlectrique (A/m2 ), Jm est la densitĂŠ du courant magnĂŠtique, qe et qm reprĂŠsentent respectivement la densitĂŠ de

3 charge ĂŠlectrique (C/m ) et ma-

gnĂŠtique. Une onde ĂŠlectromagnĂŠtique et un milieu interagissent par l'intermĂŠdiaire de trois paramĂ¨tres : la conductivitĂŠ magnĂŠtique

Âľ.

Ď&#x192;,

la permittivitĂŠ ĂŠlectrique

et la permĂŠabilitĂŠ

A ces ĂŠquations, il est donc nĂŠcessaire d'ajouter les lois de com-

portement caractĂŠrisant les di ĂŠrents milieux. Dans le cas de milieux linĂŠaires, ces relations s'expriment ainsi :

D = E, B = Âľ H, Je = Ď&#x192; E avec

Âľ

(2.3)

la permittivitĂŠ (F/m),

la permĂŠabilitĂŠ (H/m),

Ď&#x192;

la conductivitĂŠ (S/m).

En rĂŠgime harmonique de pulsation

Ď&#x2030;,

la variation des champs ĂŠlectromagnĂŠâ&#x2C6;&#x201A; est alors remplacĂŠ par jĎ&#x2030; . tiques en fonction du temps est sinusoĂŻdale, â&#x2C6;&#x201A;t Les ĂŠquations de Maxwell deviennent :

â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; H = jĎ&#x2030; E + Je , â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E = â&#x2C6;&#x2019;jĎ&#x2030;ÂľH â&#x2C6;&#x2019; Jm â&#x2C6;&#x2021;.D = qe ,

â&#x2C6;&#x2021;.B = qm

(2.4)

Dans le contexte spĂŠci que des problĂ¨mes de dosimĂŠtrie numĂŠrique, la permĂŠabilitĂŠ

Âľ

est considĂŠrĂŠe comme constante et ĂŠgale Ă la permĂŠabilitĂŠ du vide. Nous

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2.1. Ă&#x2030;QUATIONS DE MAXWELL

sommes alors dans le vide ou en espace libre. En l'absence de charge et de courant, les ĂŠquations de Maxwell prennent la forme simpli ĂŠe suivante :

â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; H = jĎ&#x2030; E + Je , â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E = â&#x2C6;&#x2019;jĎ&#x2030;Âľ0 H â&#x2C6;&#x2021;.D = 0 ,

â&#x2C6;&#x2021;.B = 0

(2.5)

A partir de cette simpli cation, on obtient l'ĂŠquation vectorielle des ondes en champ ĂŠlectrique :

â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2030; 2 Âľ0 E = â&#x2C6;&#x2019;jĎ&#x2030;Âľ0 Je â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E â&#x2C6;&#x2019; k 2 E = â&#x2C6;&#x2019;jĎ&#x2030;Âľ0 Je

(2.6)

avec

k 2 = Ď&#x2030; 2 Âľ0 oĂš

(2.7)

reprĂŠsente la constante de propagation du champ ĂŠlectromagnĂŠtique rela-

tive Ă un milieu. Pour ĂŠtablir le rapport entre les e ets thermiques et l'exposition Ă un rayonnement ĂŠlectromagnĂŠtique, le DAS a ĂŠtĂŠ dĂŠ ni. Il reprĂŠsente la densitĂŠ de puissance dissipĂŠe par unitĂŠ de masse de tissus. Le DAS peut ĂŞtre calculĂŠ grĂ˘ce au champ ĂŠlectrique (2.8) ou par le biais de la tempĂŠrature (2.9). Les mesures expĂŠrimentales avec des sondes restent di ciles. Une alternative numĂŠrique peut ĂŞtre envisagĂŠe pour obtenir cette information. Deux types de DAS sont Ă considĂŠrer :

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

le DAS corps entier, moyennĂŠ sur la totalitĂŠ du corps. le DAS localisĂŠ, moyennĂŠ sur 10 grammes.

Le DAS est un paramĂ¨tre signi catif en ce qui concerne :

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

les comparaisons entre les niveaux d'exposition et des e ets biologiques. la dĂŠtermination des normes d'exposition.

La recommandation europĂŠenne qui sert de rĂŠfĂŠrence stipule que la valeur maximale du DAS intĂŠgrĂŠ dans 10

de tissu ne doit pas excĂŠder 2

amĂŠricaine xe la valeur maximale du DAS intĂŠgrĂŠ dans 1

W/kg .

Le DAS est dĂŠterminĂŠ par l'intermĂŠdiaire du champ ĂŠlectrique

DAS =

1 Ď&#x192;|E|2 2 Ď

La norme

de tissu Ă 1,6

W/kg .

: (2.8)

ou soit Ă partir de la tempĂŠrature :

DAS = ct

â&#x2C6;&#x201A;T â&#x2C6;&#x201A;t

(2.9)

Ď&#x192; est la conductivitĂŠ ĂŠlectrique du tissu (S/m), et Ď sa masse volumique (kg/m ). ct est la chaleur spĂŠci que (J/(kg.â&#x2014;Ś C)), T , la tempĂŠrature (â&#x2014;Ś C ) et t est le temps (s). Dans [Gabriel 96], les propriĂŠtĂŠs ĂŠlectromagnĂŠtiques du corps humain oĂš

sont dĂŠcrites.

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CHAPITRE 2. Ă&#x2030;QUATIONS RĂ&#x2030;GISSANT LA PROPAGATION ET L'Ă&#x2030;NERGIE DES ONDES Ă&#x2030;LECTROMAGNĂ&#x2030;TIQUE ET LA DISTRIBUTION THERMIQUE

2.2 Ă&#x2030;quation de Pennes L'ĂŠlĂŠvation de tempĂŠrature gĂŠnĂŠrĂŠe par les ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques peut ĂŞtre calculĂŠe par l'ĂŠquation dĂŠ nie par Pennes (BHTE :

Bio Heat Transfert Equation ).

Cette ĂŠquation permet d'obtenir la rĂŠponse thermique des tissus biologiques perfusĂŠs soumis Ă un apport d'ĂŠnergie externe [Pennes 48].

2.2.1

Bilan thermique du corps humain

Le transport de l'ĂŠnergie thermique dans les tissus vivant est un processus complexe faisant intervenir des phĂŠnomĂ¨nes multiples incluant la convection, la conduction, le mĂŠtabolisme basal et les changements de phase qui sont les transitions d'une substance d'une phase vers une autre. Cependant on peut considĂŠrer la thermorĂŠgulation comme l'ĂŠquilibre des deux phĂŠnomĂ¨nes : la thermo-genĂ¨se (production de chaleur) et la thermolyse (perte de chaleur). Ces deux phĂŠnomĂ¨nes vont dĂŠpendre de divers paramĂ¨tres : variation des conditions extĂŠrieurs, situation physiopathologiques (jeĂťne, exercice physique, prĂŠsence d'agents infectieux ...). Le maintien de la vie au niveau cellulaire, le fonctionnement des di ĂŠrents organes et l'activitĂŠ musculaire nĂŠcessitent une dĂŠpense d'ĂŠnergie permanente. Cette ĂŠnergie provient de la transformation bio-chimique. Elle est transformĂŠ en chaleur d'une part et en travail d'autre part. A l'intĂŠrieur du corps humain, le sang assure la rĂŠpartition de la chaleur et l'homogĂŠnĂŠitĂŠ de la tempĂŠrature au centre du corps. Un gradient de tempĂŠrature s'ĂŠtablit entre le centre du corps et la surface de la peau. La chaleur produite est alors ĂŠchangĂŠe avec l'environnement par divers modes de transfert de chaleur, qui constitueront les conditions aux limites de notre modĂ¨le.

Fig. 2.2 Illustration du volume de contrĂ´le d'un tissu vivant modĂŠlisant les mĂŠcanismes

de transferts de chaleur et le dĂŠbit sanguin (source : [Roussel 99]).

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2.2. ÉQUATION DE PENNES

2.2.2

Dé nition des échanges thermiques dans le corps humain

Les échanges thermiques résultent de quatre mécanismes :

•

la génération d'énergie thermique par le métabolisme cellulaire,

•

le stockage d'énergie thermique par le tissu lors des régimes thermiques transitoires,

•

le transfert d'énergie thermique par conduction,

•

le transfert d'énergie thermique par convection, réalisé par la perfusion tissulaire.

Les échanges thermiques peuvent être visualisés en considérant un volume de contrôle représentatif montré dans la gure 2.2.

Production métabolique La puissance thermique métabolique totale Qm (W ) est déterminée par la somV (m3 ) de la production métabolique volumique :

mation sur le volume témoin

Z ρt qm .dv

Qm =

(2.10)

v avec

ρt , la masse volumique des tissus (kg/m3 ) et qm , la production métabolique

massique. Les valeurs usuelles dans la littérature [Foster 04] pour un homme au repos sont de l'ordre du Watt par kilogramme.

Énergie thermique stockée au sein du tissu L'énergie thermique stockée est déterminée par la sommation sur le volume de la capacité thermique intrinsèque. Ramenée par unité de temps, cette énergie est relative à une puissance

S˙ (W ). S˙ =

Z ρ t ct v

où

∂T .dv ∂t

est la chaleur spéci que du tissu (J/(kg.

(2.11)

◦

C ).

Echange thermique par conduction La puissance thermique transférée dans les tissus par conduction

K˙ (W )

est

déterminée par sommation du vecteur de densité du ux de chaleur sur la surface d'échange

du volume témoin

avec pour vecteur normal

K˙ =

→ − n.

− kt ∇T.→ n .ds

(2.12)

S avec

kt ,

la conductivité thermique des tissus (W/m.

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◦

C))).

CHAPITRE 2. Ă&#x2030;QUATIONS RĂ&#x2030;GISSANT LA PROPAGATION ET L'Ă&#x2030;NERGIE DES ONDES Ă&#x2030;LECTROMAGNĂ&#x2030;TIQUE ET LA DISTRIBUTION THERMIQUE

En utilisant le thĂŠorĂ¨me d'Ostrogradsky, on obtient :

KË&#x2122; =

â&#x2C6;&#x2021;(kt â&#x2C6;&#x2021;T ).dv

(2.13)

v On considĂ¨re

comme constante dans tout le volume. On considĂ¨re que les

tissus sont homogĂ¨nes et isotropes. On peut ainsi ĂŠcrire :

KË&#x2122; = â&#x2C6;&#x2021;.(kt â&#x2C6;&#x2021;T )

(2.14)

Transfert thermique par convection sanguine La di cultĂŠ principale dans le cadre de la modĂŠlisation thermique rĂŠside dans la prise en compte correcte du phĂŠnomĂ¨ne de thermo-rĂŠgulation qui compense au moins partiellement l'hyperthermie provoquĂŠe par les ondes ĂŠlectromagnĂŠtiques. IdĂŠalement, une modĂŠlisation prĂŠcise de ce phĂŠnomĂ¨ne nĂŠcessiterait une connaissance de l'ĂŠcoulement sanguin qui irrigue les tissus. En pratique, la formulation la plus utilisĂŠe, a ĂŠtĂŠ proposĂŠe par H.H. Pennes [Pennes 48]. Elle ĂŠnonce que la quantitĂŠ de chaleur volumique quittant le volume tĂŠmoin par unitĂŠ de temps est ĂŠgale Ă la chaleur du contenu artĂŠriel moins la chaleur du contenu veineux ĂŠvacuĂŠe par le dĂŠbit sanguin local. La puissance thermique

BË&#x2122; (W )

ĂŠvacuĂŠe par l'ensemble de la vascularisation

est donnĂŠe par :

BË&#x2122; =

Z cb Ď&#x2030;b (T â&#x2C6;&#x2019; Ta ).dv

(2.15)

(kg/(m3 .s)), Cb est la chaleur spĂŠci que du sang (J/(kg.â&#x2014;Ś C)), Ta est la tempĂŠrature des artĂ¨res (â&#x2014;Ś C). oĂš

Ď&#x2030;b

est le dĂŠbit sanguin

Puissance ĂŠlectromagnĂŠtique Qem E.

est le terme prenant en compte la chaleur produite par le champ ĂŠlectrique

Elle vaut :

Z Qem =

DAS.Ď t .dv

(2.16)

2.2.3

Ă&#x2030;quation de la biochaleur

Les termes vu prĂŠcĂŠdemment sont rassemblĂŠs dans l'ĂŠquation de la chaleur, appliquĂŠs au tissus, appelĂŠ ĂŠquation de Pennes ou de biochaleur, exprimĂŠe ici en

Ď t ct

â&#x2C6;&#x201A;T = â&#x2C6;&#x2021;.(kt â&#x2C6;&#x2021;T ) â&#x2C6;&#x2019; Cb Ď&#x2030;b (T â&#x2C6;&#x2019; Ta ) + Qem + Qm â&#x2C6;&#x201A;t

(2.17)

Pour ces ĂŠtudes, chaque milieu est caractĂŠrisĂŠ par des grandeurs physiques qui â&#x2C6;&#x2019;1 lui sont propres comme la permittivitĂŠ (A.s.V .mâ&#x2C6;&#x2019;1 ), la conductivitĂŠ ĂŠlectrique Ď&#x192; â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 3 (S/m), la permĂŠabilitĂŠ Âľt (V.s.A .m ), la densitĂŠ volumique Ď (kg/m ), la conducâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 tivitĂŠ thermique Îťt (W.m .K ) et la chaleur spĂŠci que Ct (J.K .kg â&#x2C6;&#x2019;1 ).

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Chapitre 3

MĂŠthode de rĂŠsolution des E.D.P

A l'exception des milieux de gĂŠomĂŠtrie trĂ¨s simple et sous certaines hypothĂ¨ses, il n'existe pas de solution analytique des ĂŠquations aux dĂŠrivĂŠes partielles que nous venons de voir. On a alors recours Ă une mĂŠthode numĂŠrique.

3.1 MĂŠthode des di ĂŠrences nies La mĂŠthode des di ĂŠrences nies fait partie des mĂŠthodes qui se sont imposĂŠes de par sa robustesse et sa facilitĂŠ d'implĂŠmentation. Le concept de base pour utiliser cette mĂŠthode en ĂŠlectromagnĂŠtisme est de trouver une approximation algĂŠbrique des ĂŠquations de Maxwell, sous leur forme di ĂŠrentielle, au moyen d'un dĂŠveloppement en sĂŠrie de Taylor tronquĂŠ en fonction du degrĂŠ de prĂŠcision souhaitĂŠ. Elle consiste Ă rĂŠsoudre les ĂŠquations de Maxwell en discrĂŠtisant le domaine ĂŠtudiĂŠ par apposition d'une grille de points dont la nesse permet une bonne approximation du contour du domaine ĂŠtudiĂŠ. En chaque point de la grille, une approximation des dĂŠrivĂŠes Ă l'aide des di ĂŠrences nies est e ectuĂŠe (approximation Ă l'ordre 2 dans le dĂŠveloppement de Taylor), permettant une rĂŠsolution locale des ĂŠquations de Maxwell. Cette mĂŠthode n'est toutefois bien adaptĂŠe qu'Ă des domaines Ă gĂŠomĂŠtrie simple (rectangulaires par exemple), et ne s'adapte que trĂ¨s di cilement Ă des domaines Ă gĂŠomĂŠtrie complexe (nĂŠcessite alors un nombre d'ĂŠlĂŠment ĂŠlevĂŠ pour discrĂŠtiser le domaine d'ĂŠtude). Pour ce type de domaine, la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis semble naturellement plus adaptĂŠe et plus maniable. La gure 3.1 montre une coupe tomographique d'un patient (a) et les di ĂŠrents modes de reprĂŠsentation gĂŠomĂŠtrique utilisĂŠs pour les di ĂŠrences nies (b) et pour les ĂŠlĂŠments nis (c). La reprĂŠsentation de la frontiĂ¨re est meilleur dans le dernier cas pour ce type de donnĂŠ et ne subit pas d'e et marche d'escalier .

CHAPITRE 3. MĂ&#x2030;THODE DE RĂ&#x2030;SOLUTION DES E.D.P

(a)

(b)

(c)

Fig. 3.1 Illustration des ĂŠlĂŠments discret dans le cadre de l'imagerie mĂŠdicale pour les

di ĂŠrences nies et les ĂŠlĂŠments nis : (a) coupe tomographique d'un patient reprĂŠsentation discrĂŠtisĂŠ pour les di ĂŠrences nies (b) et pour les ĂŠlĂŠments nis(c). La reprĂŠsentation de la frontiĂ¨re est meilleur dans le dernier cas et ne subit pas d'e et marche d'escalier .

3.2 MĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis La MĂŠthode des ElĂŠments Finis (MEF ou FEM :

Finite Element Method )

est

basĂŠe sur une formulation intĂŠgrale des ĂŠquations aux dĂŠrivĂŠes partielles. Cette mĂŠthode consiste Ă dĂŠcouper le domaine ĂŠtudiĂŠ en sous-domaines appelĂŠs ĂŠlĂŠments nis, sur lesquels on approche localement la fonction inconnue recherchĂŠe par interpolation. Cette mĂŠthode possĂ¨de de nombreux avantages et, en particulier, les suivants :

â&#x20AC;˘

Elle est adaptĂŠe Ă la rĂŠsolution numĂŠrique des ĂŠquations aux dĂŠrivĂŠes partielles,

â&#x20AC;˘

Elle permet d'a ecter des propriĂŠtĂŠs di ĂŠrentes Ă chaque ĂŠlĂŠment maillĂŠ,

â&#x20AC;˘

Elle permet d'avoir une rĂŠsolution gĂŠomĂŠtrique adaptĂŠ aux problĂ¨mes,

â&#x20AC;˘

Elle prend en compte avec une bonne prĂŠcision les frontiĂ¨res anatomiques du corps humain.

Le fondement de cette mĂŠthode est la mĂŠthode de Galerkin qui est un cas particulier de la mĂŠthode des rĂŠsidus pondĂŠrĂŠs. Cette mĂŠthode permet une adaptation Ă un grand nombre de situations, car, non seulement la taille des ĂŠlĂŠments, mais aussi leur forme et leur degrĂŠ d'approximation, peuvent ĂŞtre modi ĂŠs. Les bases mathĂŠmatiques de cette mĂŠthode sont relativement complexes. Elle repose sur la formulation variationnelle des ĂŠquations aux dĂŠrivĂŠes partielles vues prĂŠcĂŠdemment et consiste Ă

sm des problĂ¨mes (3.9) et (3.15) dans un sous-espace sm de s sera alors d'autant meilleure que sera proche de l'espace â&#x201E;Ś. Notre problĂ¨me se rĂŠĂŠcrit

chercher une solution approchĂŠe de dimension nie de

â&#x201E;Ś.

L'approximation

l'espace de discrĂŠtisation

â&#x201E;Śm

alors naturellement : Trouver

sm â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Śm

tel que

a(sm , em ) = l(em ) â&#x2C6;&#x20AC;em â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Śm â&#x201E;Ś

de dimension nie N. Il n'est alors pas

nĂŠcessaire de rĂŠsoudre le problĂ¨me pour tout

em â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Śm mais uniquement sur une base

oĂš

â&#x201E;Śm

(3.1)

est un sous-espace vectoriel de

Julien Dardenne

3.2. MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

Ω PmN. Il reste alors à remarquer qu'un élément sm ∈ Ωm s'écrit sous la sm (x) = i=1 si αi (x) et d'utiliser la linéarité de l'opérateur a par rapport à

(α1 , ...., αN ) de forme

sa première composante pour formaliser le problème : Trouver

(s1 , ...., sN ) ∈ R XN

tel que

si a(αi , αj ) = l(αj ) ∀j = 1, ....., N

(3.2)

i=1 Ainsi le problème à résoudre est un système linéaire de dimension

N ×N

AX = B

(3.3)

l(αi ) et X est le vecteur colonne contenant les coe cients si de sm dans la base (α1 , ...., αN ) de Ωm . Il reste maintenant à expliciter la construction des espaces Ωm inclus dans Ω. C'est à l'aide d'éléments nis que l'on construit ces espaces fonctionnels. où

3.2.1

A = (a(αi , αj )) , 1 6 i, j 6 N , B

est le vecteur colonne de composantes

Dé nition d'un élément ni

En pratique, il est très rare de pouvoir représenter correctement la solution recherchée dans un domaine à l'aide d'un polynôme. On a alors recours à une discrétisation du domaine étudié en sous-domaines de forme géométrique simple (segments de droite, triangles, quadrangles, tétraèdres, etc.) et de dimension nie : les éléments nis. La solution recherchée est alors calculée indépendamment sur chaque élément. Le résultat de cette discrétisation constitue ce que l'on appelle le maillage du domaine d'étude. Nous établissons des équations discrètes qui approchent les équations à résoudre. Les inconnues de ces équations discrètes sont les valeurs de la solution. Dans notre cas, sur les n÷uds en thermique, sur les arêtes en électromagnétisme.

3.2.2

Formulation variationnelle du problème

La résolution des équations de Maxwell et de Pennes par la méthode des éléments nis passe par l'obtention d'une formulation variationnelle de ces équations. En appliquant la méthode de Galerkin à l'équation (2.6), on obtient :

W [∇ × ∇ × E − k E].dv = −jωµ0 v

W Je .dv

(3.4)

où W est la fonction de poids. Puis en utilisant l'identité vectorielle suivante :

∇ × (ΨA) = ∇Ψ × A + Ψ∇ × A ⇒ Ψ∇ × A = ∇ × (ΨA) − ∇Ψ × A avec

Ψ=W

A = ∇ × E, et le théorème de Stokes : Z Z ∇ × W × ∇ × E.dv = n × W × ∇ × E.ds v

Julien Dardenne

(3.5)

(3.6)

s 25

CHAPITRE 3. MĂ&#x2030;THODE DE RĂ&#x2030;SOLUTION DES E.D.P

L'utilisation de la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis pour modĂŠliser un problĂ¨me ĂŠlectromagnĂŠtique en milieu ouvert nĂŠcessite la troncature du domaine in ni par une frontiĂ¨re ctive. La prise en compte du domaine extĂŠrieur est alors rĂŠalisĂŠ Ă l'aide des Conditions aux Limites Absorbantes (CLA) [Bayliss 80]. Le couplage des CLA avec la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis consiste Ă substituer le terme surfacique de l'ĂŠquation (3.6) par :

n Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E = gABC (E) = jk0 Et oĂš

reprĂŠsente le champ tangentiel et avec

(3.7)

k0 = Ď&#x2030; Âľ0 0 .

La formulation ĂŠlĂŠment nis pour notre problĂ¨me ĂŠlectromagnĂŠtique est ainsi obtenue :

Z â&#x2C6;&#x2019;

Z â&#x2C6;&#x2021;W Ă&#x2014; â&#x2C6;&#x2021; Ă&#x2014; E.dv â&#x2C6;&#x2019;

Z gABC (E).ds = â&#x2C6;&#x2019;jĎ&#x2030;Âľ0

W k E . dv +

Sext

W Je .dv

(3.8)

Ď&#x201E;

Nous avons alors un systĂ¨me di ĂŠrentiel du type :

[A]. {X} = {B}

(3.9)

Nous venons d'ĂŠtablir la formulation variationnelle pour le problĂ¨me ĂŠlectromagnĂŠtique. La solution de ce problĂ¨me permet de dĂŠterminer le DAS Ă partir de

de l'injecter comme terme source dans le problĂ¨me thermique. Nous dĂŠterminons Ă prĂŠsent la formulation variationnelle pour le problĂ¨me thermique. En appliquant la mĂŠthode de Galerkin Ă l'ĂŠquation de Pennes 2.17, on obtient par intĂŠgration sur le volume de contrĂ´le Ă l'aide de la fonction d'interpolation

ÎŚi

â&#x2C6;&#x2021;(Îťt â&#x2C6;&#x2021;T )ÎŚi .dv â&#x2C6;&#x2019; Cb Ď&#x2030;b (T â&#x2C6;&#x2019; Ta )ÎŚi .dv â&#x2C6;&#x2019; v Z Z Z â&#x2C6;&#x201A;T ÎŚi .dv + Qe mÎŚ.dv + Qm ÎŚi .dv = 0 Ď t Ct â&#x2C6;&#x201A;t v v v v

(3.10)

AprĂ¨s l'intĂŠgration par partie du premier terme de l'ĂŠquation, on ĂŠcrit nalement :

â&#x2C6;&#x201A;T ÎŚi .dv + Îťt â&#x2C6;&#x2021;T ÎŚi .dv + Cb Ď&#x2030;b (T â&#x2C6;&#x2019; Ta )ÎŚi .dv â&#x2C6;&#x2019; Ď t Ct â&#x2C6;&#x201A;t v v v Z Z Z â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Qe mÎŚ.dv + Qm ÎŚi .dv = Îťt â&#x2C6;&#x2021;T.â&#x2020;&#x2019; n ÎŚi .ds v

(3.11)

On exprime alors la tempĂŠrature Ă l'aide d'une deuxiĂ¨me fonction d'interpolation

ÎŚj

T (x, y, z) =

N X

Tj ÎŚj (x, y, z)

j=1 N

X â&#x2C6;&#x201A;Tj â&#x2C6;&#x201A;T (x, y, z) = ÎŚj (x, y, z) â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;t j=1 26

(3.12)

Julien Dardenne

3.2. MĂ&#x2030;THODE DES Ă&#x2030;LĂ&#x2030;MENTS FINIS

Il reste alors Ă remplacer le terme reprĂŠsentant le transfert thermique :

N X

Z N N X X â&#x2C6;&#x201A;Tj ÎŚj ).ÎŚi dv = â&#x2C6;&#x2021;( Tj ÎŚj ).â&#x2C6;&#x2021;ÎŚi dv + Cb Ď&#x2030;b .( Tj ÎŚj ).ÎŚi dv + Ď t Ct ( â&#x2C6;&#x201A;t v v v j=1 j=1 j=1 Z Z Z Z N â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; X â&#x2C6;&#x2019; Qm ÎŚi dv + Qem ÎŚi dv + Cb Ď&#x2030;b Ta ÎŚi dv + Îťt â&#x2C6;&#x2021;( Tj ÎŚj ).â&#x2020;&#x2019; n ÎŚi .ds (3.13)

j=1

Nous avons alors un systĂ¨me di ĂŠrentiel pour le problĂ¨me thermique du type :

n o [A]. {T } + [B]. TË&#x2122; = {C}

(3.14)

avec pour composantes :

R R ďŁą A = Îť .â&#x2C6;&#x2021;ÎŚ .â&#x2C6;&#x2021;ÎŚ .dv + C Ď&#x2030; .ÎŚj ÎŚi dv i,j t j i ďŁ´ v b b Rv ďŁ´ ďŁ´ ďŁ˛ Bi,j = v Ď t Ct .ÎŚj ÎŚi dv Z Z N â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; X ďŁ´ â&#x2C6;&#x2019; ďŁ´ Tj ÎŚj ).â&#x2020;&#x2019; n ÎŚi .ds ďŁ´ ďŁł Ci = (Cb Ď&#x2030;b Ta + Qem + Qm ).ÎŚi dv + Îťt â&#x2C6;&#x2021;( v

oĂš

[A] (W/K ),

(3.15)

j=1

[B] (J/K ), la matrice de {C}, le vecteur de ux nodaux, {T }, le vecteur de tempĂŠratures

la matrice de conductivitĂŠ thermique,

capacitĂŠ thermique, nodales.

3.2.3

RĂŠsolution du systĂ¨me d'ĂŠquations aux dĂŠrivĂŠes partielles

La mĂŠthode du Gradient ConjuguĂŠ (GC) est un procĂŠdĂŠ itĂŠratif de rĂŠsolution des problĂ¨mes linĂŠaires de la forme Ax T symĂŠtrique dĂŠ nie positive (A = A et

n. On se ramĂ¨ne Ă la rĂŠsolution d'un problĂ¨me de r = Ax â&#x2C6;&#x2019; b dont la solution vĂŠri e ĂŠgalement Ax = b. Il arrive parfois que le conditionnement cond(A) = |Îťmax /Îťmin | de telles matrices

nul) et

= b, oĂš A est une matrice de taille n Ă&#x2014; n xT Ax > 0, pour tout vecteur x â&#x2C6;&#x2C6; Rn non

un vecteur de taille

minimisation du rĂŠsidu

soit beaucoup trop ĂŠlevĂŠ (valeurs propres trop faibles). La technique du prĂŠconditionnement consiste Ă introduire une matrice rĂŠguliĂ¨re

C â&#x2C6;&#x2C6; Mn (R)

et de rĂŠsoudre le

systĂ¨me :

C â&#x2C6;&#x2019;1 Ax = C â&#x2C6;&#x2019;1 b â&#x2021;&#x201D; Ax = b

(3.16)

C â&#x2C6;&#x2019;1 A ait un meilleur conditionnement que A, puis apâ&#x2C6;&#x2019;1 rĂŠsolution au nouveau systĂ¨me C Ax = C â&#x2C6;&#x2019;1 b. On cherchera

tel que la nouvelle matrice pliquer la mĂŠthode de pour

une bonne approximation de A, facile Ă inverser [Gardan 87]. PrĂŠcondition-

ner la matrice permet d'accĂŠlĂŠrer la convergence mais chaque itĂŠration est alors plus coĂťteuse puisqu'elle implique la rĂŠsolution d'une opĂŠration supplĂŠmentaire :

g = C â&#x2C6;&#x2019;1 Ă&#x2014; r Julien Dardenne

(3.17)

CHAPITRE 3. MĂ&#x2030;THODE DE RĂ&#x2030;SOLUTION DES E.D.P

L'intĂŠrĂŞt du prĂŠconditionnement rĂŠside dans le fait que si

est bien choisie,

C â&#x2C6;&#x2019;1 A

approxime la matrice unitĂŠ, et le systĂ¨me devient :

x â&#x2030;&#x2C6; C â&#x2C6;&#x2019;1 b La matrice de prĂŠconditionnement

(3.18)

doit ĂŞtre facile Ă construire, Ă stocker et

Ă inverser. Il existe di ĂŠrentes mĂŠthodes de prĂŠconditionnement dans la littĂŠrature. Dans le paragraphe suivant, nous expliquons celles utilisĂŠes dans le cadre de nos simulations.

PrĂŠconditionnement diagonal Le prĂŠconditionnement diagonal consiste Ă prendre pour matrice de

la diagonale

Ci,j =

Ai,j si i = j 0 sinon

(3.19)

Les avantages d'un tel prĂŠconditionneur sont la facilitĂŠ de son implĂŠmentation et le peu d'espace mĂŠmoire qu'il occupe. Cependant, il existe des prĂŠconditionneurs qui apportent une plus grande amĂŠlioration de la rĂŠsolution du systĂ¨me linĂŠaire. C'est le cas du prĂŠconditionnement SSOR.

PrĂŠconditionnement SSOR (Symmetric Successive Over Relaxation) On dĂŠcompose la matrice

comme suit :

A = L + D + LT oĂš

(3.20)

L est la partie triangulaire Ă diagonale nulle de la matrice A et D reprĂŠsente la A. Le prĂŠconditionnement SSOR consiste alors Ă prendre pour matrice :

diagonale de

C=( oĂš

Ď&#x2030;

Ď&#x2030; D D + L) Dâ&#x2C6;&#x2019;1 ( + LT ) Ď&#x2030; 2â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030; Ď&#x2030;

(3.21)

est un paramĂ¨tre de relaxation. Une condition nĂŠcessaire et su sante pour

que la convergence du GC prĂŠconditionnĂŠ soit assurĂŠ est de xer le paramĂ¨tre dans l'intervalle

Ď&#x2030;

]0, 2[.

Julien Dardenne

3.2. MĂ&#x2030;THODE DES Ă&#x2030;LĂ&#x2030;MENTS FINIS

Discussion Les travaux menĂŠs ces derniĂ¨res annĂŠes dans le domaine de la simulation numĂŠrique ont largement tirĂŠ pro t de l'augmentation des capacitĂŠs de calcul et de stockage des ordinateurs. NĂŠanmoins, les modĂ¨les numĂŠriques utilisĂŠs Ă cette n reposent encore majoritairement sur une reprĂŠsentation gĂŠomĂŠtrique insatisfaisante du corps humain en termes de rĂŠsolution, de variabilitĂŠ et de prĂŠcision. Dans le cas des di ĂŠrences nies, le principal inconvĂŠnient est que ni les contours des organes, ni leur grande hĂŠtĂŠrogĂŠnĂŠitĂŠ du point de vue de leurs caractĂŠristiques ĂŠlectromagnĂŠtiques et thermiques ne sont correctement pris en compte. De plus, il n'est souvent pas possible d'a ner la reprĂŠsentation dans certaines rĂŠgions anatomiques jugĂŠes plus importantes sans entraĂŽner une dĂŠgradation importante de la prĂŠcision de la solution recherchĂŠe. De nombreuses publications traitent la modĂŠlisation des phĂŠnomĂ¨nes ĂŠlectromagnĂŠtiques dans le corps humain [Shaw 91, Shellock 00, Siauve 05, Cepeda 08]. Nous utilisons la MEF pour rĂŠsoudre les ĂŠquations ĂŠlectromagnĂŠtique (2.6) et thermique (2.17). Il est donc nĂŠcessaire, dans une premiĂ¨re ĂŠtape, de gĂŠnĂŠrer un maillage EF du corps humain prenant en compte ses divers organes et sa structure complexe.

Julien Dardenne

CHAPITRE 3. MÉTHODE DE RÉSOLUTION DES E.D.P

Julien Dardenne

GĂŠnĂŠration de maillages volumiques

Résumé Dans le cas particulier des géométries simples, une solution analytique du problème du calcul de l'élévation de la température induite par un champ électromagnétique peut être trouvée. Lorsque le domaine d'étude est trop complexe, la simulation numérique permet de trouver une solution approchée. La première étape, dans la mise en ÷uvre d'une simulation numérique, est la dé nition du domaine d'étude. Avec le développement de systèmes d'imagerie médicale, il est maintenant possible de collecter des images 3D (voxels) des organes quasiment en temps réel. Ces dernières années, de nombreux algorithmes de génération de maillages d'isosurfaces de ces volumes ont été proposés. La génération d'un maillage volumique, directement à partir des images de voxels, n'a jamais été explorée. La plupart des méthodes de génération de maillages volumiques utilisent une représentation surfacique initiale. Ces méthodes nécessitent des techniques d'optimisations de la qualité du maillage volumique. Cette seconde partie est consacrée à la génération de maillages volumiques. Le quatrième chapitre porte sur des généralités en géométrie discrète et sur les images numériques. Le cinquième chapitre présentera un état de l'art de la construction de maillages volumiques. Le sixième chapitre proposera notre méthode de génération d'un maillage tétraédrique, directement à partir des images de voxels segmentées.

Julien Dardenne

Chapitre 4

GĂŠomĂŠtrie discrĂ¨te et images numĂŠriques 4.1 MĂŠthodes d'acquisition Il existe plusieurs techniques d'acquisition de donnĂŠes 3D, suivant le domaine d'application. On distingue deux grandes familles. Celles permettant l'acquisition du volume d'un objet, et celles permettant d'acquĂŠrir uniquement la surface de celui-ci. L'acquisition volumique est celle de l'imagerie mĂŠdicale, du contrĂ´le industriel non destructif et des contrĂ´les de sĂŠcuritĂŠ des transports de marchandises. Ces techniques sont dites tomographiques . L'approche par une acquisition de tranches (coupes) successives de l'objet est la mĂŠthode la plus rĂŠpandue. Par exemple, la tomodensitomĂŠtrie par rayons X reconstruit une tranche de l'objet par mesure de l'attĂŠnuation du faisceau incident suivant plusieurs angles et positions. C'est gĂŠnĂŠralement le cas des scanners de l'imagerie mĂŠdicale ( gure 4.1 (a)). En rayon X, on peut obtenir une vraie reconstruction 3D Ă l'aide d'un faisceau conique qui permet l'acquisition d'une image pour chaque position angulaire [Feldkamp 84]. Les algorithmes de reconstruction tomographique construisent un volume de cubes ĂŠlĂŠmentaires a ectĂŠs d'une valeur numĂŠrique : les voxels. Le voxel est aux images 3D ce que le pixel est aux images 2D. L'acquisition des surfaces d'objets sont gĂŠnĂŠralement obtenues Ă l'aide de scanners lasers ( gure 4.1 (b)). Ils permettent de reproduire l'objet sous forme d'un nuage de points dans l'espace. Cette reprĂŠsentation est di cilement exploitable. Di ĂŠrentes approches sont utilisĂŠes pour obtenir des maillages polygonaux qui sont plus faciles Ă manipuler. Ainsi, cette technique donne lieu Ă des maillages surfaciques.

CHAPITRE 4. GĂ&#x2030;OMĂ&#x2030;TRIE DISCRĂ&#x2C6;TE ET IMAGES NUMĂ&#x2030;RIQUES

(a)

(b)

Fig. 4.1 Illustration de scanner-ct et capteur laser commerciaux.

4.2 ModĂ¨les de discrĂŠtisation Il est possible de reprĂŠsenter un objet sous di ĂŠrentes formes ( gure 4.2), qui sont directement liĂŠes aux techniques d'acquisition dĂŠcrites ci-dessus. Cette reprĂŠsentation doit re ĂŠter les caractĂŠristiques gĂŠomĂŠtriques de l'objet. Il existe un trĂ¨s grand nombre de reprĂŠsentations mathĂŠmatiques et informatiques. En trois dimensions, les domaines Ă mailler sont gĂŠnĂŠralement des volumes dĂŠ nis par rapport Ă leurs frontiĂ¨res. Ces frontiĂ¨res pouvant ĂŞtre dĂŠ nies de faĂ§on analytique (isosurface) ou discrĂ¨te (maillage, image 2D et 3D).

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.2 Diverses reprĂŠsentations du modĂ¨le Stanford Bunny : (a) nuage de points (b)

maillage triangulaire (c) volumique (voxels) (Illustration de Andrew P. Van Pernis de l'universitĂŠ de Clemson).

Julien Dardenne

4.2. MODĂ&#x2C6;LES DE DISCRĂ&#x2030;TISATION

4.2.1

RĂŠprĂŠsentation analytique

Dans une reprĂŠsentation analytique, le domaine frontiĂ¨re est dĂŠ ni Ă l'aide d'une ou plusieurs isosurfaces. Ce type de reprĂŠsentation gĂŠomĂŠtrique est une surface dĂŠ nie par une ĂŠquation implicite du type

f (p) = c.

Les modĂ¨les implicites permettent

p(x, y, z) appartient Ă la surface et Ă l'intĂŠrieur ou Ă l'exsigne de f (p). De plus, la fonction f permet de calculer une

de dĂŠterminer si un point tĂŠrieur en regardant le

approximation de la distance d'un point de l'espace Ă la surface. De nombreuses mĂŠthodes de reconstruction ont ĂŠtĂŠ proposĂŠes permettant d'obtenir une surface 3D interpolant un ensemble de points [Amenta 98a, Amenta 98b, Gelas 06]. Dans le cas de la reconstruction Ă partir de donnĂŠes discrĂ¨tes, telles qu'un ensemble de contours obtenus par segmentation de coupes CT, les modĂ¨les implicites ne sont pas forcĂŠment de bons candidats en raison de leur nature continue.

4.2.2

Espace et objets discrets

Dans cette section, nous donnons les dĂŠ nitions et notions de topologie discrĂ¨te nĂŠcessaires Ă la comprĂŠhension de notre approche. Une partie de ces dĂŠ nitions sont issues de [Kovalevsky 89] et [Coeurjolly 07b]. On nomme espace discret en n dimension N un pavage rĂŠgulier de R . Si on utilise des polygones rĂŠguliers, le nombre de possibilitĂŠs est restreint : en 2D, trois types de pavĂŠs peuvent convenir ( gure 4.3 : carrĂŠ (a), hexagone (b), triangle ĂŠquilatĂŠral (c)) et un seul en 3D (le cube). Le pavĂŠ est positionnĂŠ par les coordonnĂŠes de son centre de gravitĂŠ, qui n peuvent ĂŞtre exprimĂŠes dans un repĂ¨re discret dans Z . En 2D, c'est le pavĂŠ carrĂŠ (ĂŠlĂŠment pixellique) qui est le plus souvent utilisĂŠ cela ĂŠtant liĂŠ Ă la gĂŠomĂŠtrie des capteurs et Ă la facilitĂŠ de le manipuler et de le stocker.

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.3 ReprĂŠsentation de pavages rĂŠguliers 2D (inspirĂŠ de [Coeurjolly 07b]).

Un pavage peut ĂŞtre modĂŠlisĂŠ Ă l'aide d'un complexe cellulaire. La dĂŠ nition d'un complexe cellulaire est la suivante [Kovalevsky 89] :

De nition 4.1. Un complexe cellulaire C = (E, B, dim) est un ensemble E d'ĂŠlĂŠments, appelĂŠs cellules, ĂŠquipĂŠes d'une relation binaire irrĂŠ exive, antisymĂŠtrique et transitive B â&#x160;&#x201A; E Ă&#x2014; E , appelĂŠe relation de frontiĂ¨re ou relation de bord, ainsi qu'une fonction de dimension dim : E â&#x2020;&#x2019; N telle que dim(e) < dim(e0 ) pour tous (e, e0 ) â&#x2C6;&#x2C6; B . Dans la gure 4.4, nous pouvons voir di ĂŠrents complexes cellulaires de dimensions 1, 2 et 3.

Julien Dardenne

CHAPITRE 4. GĂ&#x2030;OMĂ&#x2030;TRIE DISCRĂ&#x2C6;TE ET IMAGES NUMĂ&#x2030;RIQUES

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.4 ReprĂŠsentation de complexes cellulaires de dimensions 1, 2 et 3.

Dans l'objectif de dĂŠ nir une surface discrĂ¨te, certaines approches utilisent une n dĂŠcomposition cellulaire du pavage de Z ( gure 4.5). En 2D, les sommets de chaque polygone du pavage sont les cellules de dimensions 0, ou cellules de dimensions 1, ou

lignels,

pointels, les arĂŞtes sont les

et en n l'intĂŠrieur (ouvert) du polygone est la

cellule de dimension 2, assimilĂŠe au pixel. En 3D, de maniĂ¨re analogue, les et les

lignels

pointels

sont, respectivement, les sommets et les arĂŞtes du cube. Les cellules de

dimensions 2 sont appelĂŠes

surfels

(face du cube) et la cellule de dimension 3 est

le voxel. Ces notions permettent de dĂŠ nir les di ĂŠrents voisinages dans un pavage rĂŠgulier.

(a)

(b)

Fig. 4.5 DĂŠcomposition cellulaire d'un pixel et d'un voxel (inspirĂŠ de [Coeurjolly 07b]).

En utilisant cette reprĂŠsentation, nous pouvons considĂŠrer, non plus des chemins de pixels, mais des chemins ou des voisinages ĂŠtablis, par exemple en 2D, par des ensembles de

pointels

ou de

lignels. L'intĂŠrĂŞt majeur d'utiliser les complexes cellulaires

pour modĂŠliser un espace discret rĂŠside dans la possibilitĂŠ de dĂŠ nir une topologie cohĂŠrente sur les images discrĂ¨tes. Dans [Kovalevsky 89], V. Kovalevsky propose une dĂŠ nition des ouverts liĂŠe au domaine de l'imagerie qui permet d'induire une topologie sur les images discrĂ¨tes.

De nition 4.2. Soit un complexe cellulaire

C = (E, B, dim), un sous-ensemble S â&#x160;&#x201A; E est appelĂŠ ouvert de C , si pour tout ĂŠlĂŠment e â&#x2C6;&#x2C6; S , tous les ĂŠlĂŠments de S qui sont bornĂŠes par e sont dans C .

Julien Dardenne

4.2. MODÈLES DE DISCRÉTISATION

Cette dé nition des ouverts permet d'utiliser les notions de la topologie standard. Ainsi, la frontière d'un objet est unique et la frontière de son complémentaire est égale à la frontière de l'objet. Cette dernière notion sera utilisée par la suite pour la représentation des frontières de l'espace discret. La gure 4.6 illustre la forme des ouverts de cellules élémentaires de dimension 0,1,2 et 3 dans les complexes cellulaires de dimensions 1, 2 et 3. Kovalevsky a aussi montré que la seule forme possible pour dé nir une topologie est l'utilisation des complexes cellulaires pour un espace discret.

Fig. 4.6 Illustration de la forme des ouverts pour O-, 1-, 2- et 3-cellules (e0 ,e1 ,e2 ,e3 )

dans des complexes cellulaires de dimensions 1, 2 ou 3 (c1 ,c2 ,c3 ) (inspiré de [Kovalevsky 89]).

Julien Dardenne

CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE DISCRÈTE ET IMAGES NUMÉRIQUES

4.2.3

Structure et relation de voisinage

Nous introduisons les notions de structure et de relation de voisinage permettant de construire des graphes d'adjacence (de voisinage) qui permettent de savoir si deux éléments discrets sont voisins ou non. Nous considérons par la suite une image segmentée constitué d'éléments pixellique ou un volume discret constitué d'éléments voxellique. Rappelons qu'une image (resp. un volume) segmentée est une image (resp. un volume) où l'on a attribué une étiquette à chaque pixel (resp. à chaque voxel). Les pixels (resp. voxels) qui ont la même étiquette appartiennent à une même région de l'objet discret. Lorsqu'une image (resp. un volume) a été segmentée en régions, nous nous intéressons aux contours discrets (resp. aux surfaces discrètes) de celui-ci. Ces contours vont permettre de structurer les diverses relations topologiques entre les régions et d'obtenir ainsi le maximum d'informations utilisables pour notre processus de génération de maillage.

(a)

(b)

Fig. 4.7 Illustration de voisinage : (a) 4-voisinage en 2D (b) 8-voisinage en 3D.

Une structure de voisinage sur un ensemble irré exive et symétrique. La relation

est une relation

N ⊂ P ×P

est dite relation de voisinage et son graphe

est le graphe d'adjacence (de voisinage). Nous commençons par introduire la notion de relation de voisinage sur un espace discret 2D constitué de pavés. Le 4-

voisinage

est dé ni comme étant la relation d'adjacence par arêtes dans l'espace discret ( gure 4.7 (a)).

voisinage

En 3D, les relations de voisinage sont couramment de 6-, 18- ou 26-

en considérant alors les adjacences, par, respectivement, sommets, arêtes et faces ( gure 4.8).

(a)

(b)

(c)

Fig. 4.8 Illustration des adjacences pour un voxel : (a) par sommets, (b) par arêtes (c)

par faces.

Julien Dardenne

4.2. MODÈLES DE DISCRÉTISATION

On dé nit un

N -voisinage, n =6,

18 ou 26 d'un voxel, l'ensemble des voxels qui

lui sont adjacents. Suivant la dé nition de l'adjacence, on obtient en 3D les voisinages suivants :

voisinage : une face en commun ; voisinage : au moins une arête en commun ; 26-voisinage : au moins un sommet en commun ;

Nous pouvons noter que le domaine discret

Ω peut s'écrire par l'union des objets

Ω = ∪i Oi

(4.1)

Une frontière entre deux régions est constituée de l'ensemble des pixels (resp. voxels) de la région

voisins des pixels (resp. voxels) des régions

dé nissons les frontières du domaine discret par

∂O

B, C ,

etc. Nous

∂O = ∂Ω ∪ ∪i,j ∂Oi,j où

∂Ω

représente la frontière du domaine et

∂Oi,j ,

(4.2)

la frontière entre les objets

Oj . A une image (resp. un volume) est associée un graphe tel que, pour chaque pixel (resp. voxel), un sommet lui est associé et les pixels (resp. voxels) voisins sont connectés par une arête [Kovalevsky 89] ( gure 4.9).

(a)

(b)

Fig. 4.9 Représentation du graphe primaire (a) et dual (b)

Ce graphe, dit primaire ou de voisinage, est noté

G = (V, E).

Où

sont,

respectivement, l'ensemble des sommets et l'ensemble des arêtes du graphe. Le dual de ce graphe

représente les arêtes inter-pixels et les sommets inter-pixels. La no-

tion d'inter-pixel consiste à considérer une image non pas uniquement comme une matrice de pixels, mais comme une subdivision de l'espace (ici 2D) en un ensemble de complexes cellulaires discrets. Un sous-ensemble

pointels, lignels et surfels appar-

tenant au graphe dual seront alors des éléments frontières de l'objet dé ni dans le graphe primaire.

Julien Dardenne

CHAPITRE 4. GĂ&#x2030;OMĂ&#x2030;TRIE DISCRĂ&#x2C6;TE ET IMAGES NUMĂ&#x2030;RIQUES

4.3 Reconstruction surfacique de donnĂŠes volumĂŠtriques Dans cette section, nous prĂŠsentons di ĂŠrentes mĂŠthodes pour la reconstruction surfacique de donnĂŠes volumĂŠtriques. Les mĂŠthodes de reconstruction surfacique permettent de rĂŠduire la quantitĂŠ d'information en modĂŠlisant un ensemble de voxels par un ensemble de surfaces. Cet ensemble reprĂŠsente les frontiĂ¨res sous forme d'un ensemble d'ĂŠlĂŠments entre les di ĂŠrents milieux prĂŠsents dans le volume discret. Ces mĂŠthodes sont utilisĂŠes sur des images 3D binaires ou de niveaux de gris, avec une segmentation intĂŠgrĂŠe par simple seuillage. L'image est considĂŠrĂŠe comme une grille rĂŠguliĂ¨re dont les nĂˇuds sont les valeurs ĂŠchantillonnĂŠes d'un champ scalaire, dĂŠnotĂŠ P(x,y,z). Ce champ est supposĂŠ ĂŞtre proche de l'interpolation trilinĂŠaire des valeurs donnĂŠes aux nĂˇuds de la grille. L'utilisateur fournit un paramĂ¨tre

Ď&#x20AC;,

appelĂŠ iso-

valeur (c'est le seuil de segmentation). L'iso-surface de ce champ ou potentiel dĂŠ ni comme l'ensemble des points tels que P(x,y,z) =

Ď&#x20AC;.

est

La surface extraite par

ces algorithmes, formĂŠe de triangles, doit alors approcher au mieux l'iso-surface de ce champ. L'algorithme le plus rĂŠpandu est le

Marching-cubes

[Lorensen 87b]. Il

utilise un balayage de l'image par blocs de huit voxels et associe un ou plusieurs triangles Ă ce bloc. La rĂŠunion de tous ces triangles forme une surface triangulĂŠe qui correspond Ă l'iso-surface recherchĂŠe. Le prĂŠ-calcul d'une table de 14 con gurations ( gure 4.10) permet d'optimiser l'extraction des triangles au sein de chaque bloc. Le seuil fourni par l'utilisateur dĂŠ nit implicitement l'image binaire. Les niveaux de gris ne sont alors utilisĂŠs que pour lisser la surface et extraire les normales par calcul du gradient. Ces algorithmes permettent d'extraire assez rapidement le modĂ¨le gĂŠomĂŠtrique d'un volume de donnĂŠes. Ces modĂ¨les peuvent ĂŞtre utilisĂŠs pour la gĂŠnĂŠration de maillages volumiques.

4.4 DĂŠ niton d'un maillage Un maillage est un ensemble de sommets reliĂŠs entre eux par des arĂŞtes. Plusieurs caractĂŠristiques les distinguent :

â&#x20AC;˘

Si les sommets sont tous situĂŠs dans un mĂŞme plan, le maillage sera 2D. Dans le cas contraire, ce sera un maillage 3D.

â&#x20AC;˘

Les ĂŠlĂŠments du maillage peuvent ĂŞtre de di ĂŠrents degrĂŠs. Si tous les ĂŠlĂŠments sont des triangles, on parlera alors de maillage triangulaire. Si tous les ĂŠlĂŠments sont des tĂŠtraĂ¨dres, le maillage est dit tĂŠtraĂŠdrique.

â&#x20AC;˘

La connectivitĂŠ d'un maillage dĂŠ nit le type de connexions entre ses ĂŠlĂŠments.

structurĂŠ si sa connexitĂŠ est xe et identique pour chaque ĂŠlĂŠment du maillage. Un maillage est non-structurĂŠ si sa connexitĂŠ est quelUn maillage est conque.

Julien Dardenne

4.4. DĂ&#x2030;FINITON D'UN MAILLAGE

(a)

Fig. 4.10 Table de con guration pour l'algorithme Marching-cubes [Lorensen 87b].

Julien Dardenne

CHAPITRE 4. GÉOMÉTRIE DISCRÈTE ET IMAGES NUMÉRIQUES

La représentation d'un maillage contient deux types d'information :

•

des informations géométriques : les coordonnées des sommets

•

des informations topologiques concernant la connectivité du maillage c'est à dire la description des éléments du maillage, d'où peuvent être déduites toutes les relations de voisinage entre les sommets.

Un maillage tétraédrique possède trois primitives géométriques : sommets, arêtes, triangles et tétraèdres. Ce sont des simplexes de dimension, respectivement 0, 1, 2 et 3 ( gure 4.11).

Fig. 4.11 Primitives géométriques simples : sommet, arête, triangle et tétraèdre sont les

simplexes de dimensions 0, 1, 2, 3.

Julien Dardenne

Chapitre 5

Etat de l'art de la construction de maillages volumiques 5.1 Génération de maillages volumiques non structurés La génération de maillages non structurés a été étudiée historiquement dans le domaine de l'informatique et des sciences de l'ingénieur. Il existe principalement trois approches pour créer un maillage tétraédrique : les méthodes frontales, les méthodes basées sur la triangulation de Delaunay et celles basées sur un partitionnement hiérarchique de l'espace. Pour des informations plus détaillées sur ces méthodes, le lecteur pourra se référer à [Bern 92], [Owen 98] ou [Frey 07].

5.1.1

Méthodes frontales

Cette approche a été introduite initialement par [Lo 85] à la même époque que la méthode par partitionnement hiérarchique. Elles consistent à construire un maillage élément par élément ( gure 5.1) en créant de manière optimale de nouveaux n÷uds et en les connectant aux éléments déjà créés [Choi 03, Wu 05]. Un front initial est formé par les éléments (arêtes en 2D où faces en 3D) correspondant à la discrétisation des frontières du domaine d'étude. Partant de l'un de ces éléments, un point est choisi ou construit puis connecté avec celui-ci pour former une cellule (triangle où tétraèdre). Le front est alors mis à jour et le même processus est poursuivi tant que le front n'est pas vide.

CHAPITRE 5. ETAT DE L'ART DE LA CONSTRUCTION DE MAILLAGES VOLUMIQUES

(b)

(a)

(c)

Fig. 5.1 Illustration d'une mĂŠthode frontale : (a) progression du maillage par gĂŠnĂŠration

d'un front d'onde (b) insertion d'un nouveau sommet (c) insertion d'un nouvel ĂŠlĂŠment (inspirĂŠ de [Rappaz 98])

Les ĂŠtapes de cette approche sont les suivantes :

â&#x20AC;˘

Le front initial est la triangulation de la frontiĂ¨re de l'objet.

â&#x20AC;˘

on ajoute un ĂŠlĂŠment de bonne qualitĂŠ qui s'appuie sur une face du front, en introduisant ĂŠventuellement un nĂˇud supplĂŠmentaire. Cet ĂŠlĂŠment ne doit pas intersecter le maillage dĂŠjĂ construit. On obtient alors un nouveau front et on recommence tant que le front n'est pas vide.

Les principales di cultĂŠs rencontrĂŠes par ce type d'approche sont les suivantes :

â&#x20AC;˘

comment choisir la face initiale pour commencer l'insertion ?

â&#x20AC;˘

comment choisir oĂš placer le nĂˇud Ă introduire ?

â&#x20AC;˘

comment savoir si un ĂŠlĂŠment intersecte le maillage ?

Si le front peut progresser librement, la mĂŠthode se dĂŠroule sans problĂ¨me. Le problĂ¨me majeur de ce type de mĂŠthode survient lors de la rencontre du front avec lui-mĂŞme. La mĂŠthode se heurte alors Ă di ĂŠrentes con gurations possibles. En deux dimensions, ces con gurations sont peu nombreuses et faciles Ă rĂŠsoudre. En trois dimensions, le problĂ¨me devient trĂ¨s complexe. Le front peut devenir chaotique et tous les points candidats peuvent ĂŞtre rejetĂŠs et l'algorithme ne converge pas (sauf en 2D). Il faut alors supprimer une partie du voisinage et recommencer. Le polyĂ¨dre de ShĂśnhardt [SchĂśnhardt 28] constitue le contre-exemple de rĂŠfĂŠrence car il n'est pas dĂŠcomposable sans ajout de points internes ( gure 5.2). Cette mĂŠthode est facile Ă implĂŠmenter en deux dimensions mais pose donc un certain nombre de di cultĂŠs, du point de vue de la convergence et de la qualitĂŠ du maillage, en trois dimensions.

Julien Dardenne

5.1. GÉNÉRATION DE MAILLAGES VOLUMIQUES NON STRUCTURÉS

Fig. 5.2 Le polyèdre de Schönhardt [Schönhardt 28] : triangulation contrainte d'un

prisme régulier possible sans ajout de points (en haut) et une con guration impossible à trianguler sans ajout de point interne (en bas) (inspiré de [George 98]).

5.1.2

Méthodes basées sur un partitionnement hiérarchique

Introduites il y a une vingtaine d'années [Yerry 83], les méthodes basées sur un partitionnement hiérarchique (ou décomposition spatiale) sont aujourd'hui activement utilisées en 3D [Tchon 03]. Ces méthodes reposent sur un partitionnement hiérarchique du domaine d'étude [Labelle 07, Mitchell 00]. Le domaine est inclus dans une partition contenant des cellules cubiques disjointes. Ces cellules, de tailles variables, sont subdivisées récursivement a n de capturer la frontière ou satisfaire un critère sur la taille des éléments. Un critère d'arrêt simple peut être le suivant : chaque cellule contient au plus un n÷ud. Les cellules extérieures au domaine à mailler sont supprimées. On obtient alors un arbre appelé quadtree en 2D et octree en 3D. Les cellules restantes sont décomposées en tétraèdres. L'ensemble de ces tétraèdres formera alors le maillage du domaine. Cette méthode est décrite en deux dimensions dans la gure 5.3. Le domaine d'étude est discrétisé par un arbre quaternaire (a). La structure est régularisée pour obtenir une bonne approximation de la frontière (b). Finalement, le maillage est généré (c).

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.3 Illustration d'une méthode basé sur un partitionnement hiérarchique : (a) dis-

crétisation du domaine par un arbre quaternaire (b) rééquilibrage de la structure (c) construction du maillage triangulaire (inspiré de [Rappaz 98]).

Julien Dardenne

CHAPITRE 5. ETAT DE L'ART DE LA CONSTRUCTION DE MAILLAGES VOLUMIQUES

Cette approche nĂŠcessite donc les ĂŠtapes suivantes :

â&#x20AC;˘

DĂŠ nir une partition mĂ¨re (un rectangle en 2D, un parallĂŠlĂŠpipĂ¨de en 3D) englobant l'objet Ă mailler.

â&#x20AC;˘

DĂŠcomposer de maniĂ¨re rĂŠcursive chaque cellule (partition) contenant plusieurs nĂˇuds en cellules de mĂŞmes tailles.

â&#x20AC;˘

Supprimer les cellules extĂŠrieures au domaine.

â&#x20AC;˘

Trianguler les cellules contenant un nĂˇud, en respectant la frontiĂ¨re donnĂŠe.

â&#x20AC;˘

Eliminer, dans ces cellules, les ĂŠlĂŠments extĂŠrieurs au domaine.

â&#x20AC;˘

Trianguler les cellules vides en considĂŠrant leurs sommets comme des nĂˇuds supplĂŠmentaires.

L'avantage principal de cette approche est la structure d'arbre qui est trĂ¨s utile. Elle peut permettre, par exemple, de faire des localisations rapides dans le maillage. Les dĂŠsavantages de cette mĂŠthode sont :

â&#x20AC;˘

Le dĂŠcoupage des parties en dehors de la frontiĂ¨re du domaine ne pose pas de problĂ¨me mais les autres conduisent Ă de nombreux cas particuliers.

â&#x20AC;˘

Les ĂŠlĂŠments de moins bonne qualitĂŠ sont gĂŠnĂŠrĂŠs prĂ¨s des frontiĂ¨res oĂš une plus grande prĂŠcision est souvent souhaitĂŠe.

5.1.3

MĂŠthodes de type Delaunay-VoronoĂŻ

Nous commencons par rappeler l'ensemble des dĂŠ nitions permettant de mettre oeuvre ce type de mĂŠthode.

5.1.3.1 Diagramme de VoronoĂŻ et triangulation de Delaunay De nition 5.1. Donnons un ensemble ouvert â&#x201E;Ś de Ed , et n di ĂŠrents sites (ou graines) zi;i=0,1,...,nâ&#x2C6;&#x2019;1 . Le diagramme de VoronoĂŻ peut ĂŞtre dĂŠ ni comme n cellules distinctes (ou rĂŠgions) Ci tels que : Ci = {w â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;Ś|d(w, zi ) < d(w, zj )j = 1, 2, . . . , n, j 6= i}

(5.1)

oĂš d est une mesure de distance. Nous pouvons dĂŠ nir plus simplement le diagramme de VoronoĂŻ comme :

De nition 5.2. Soit S un ensemble de n sites de l'espace euclidien Ed . Pour chaque

site zi de S , la cellule de VoronoĂŻ V (zi ) de zi est l'ensemble des points de Ed qui sont plus proches de zi que de tous les autres sites de S . Le diagramme de VoronoĂŻ de S est la dĂŠcomposition de Ed formĂŠ par les cellules de VoronoĂŻ des sites. La triangulation de Delaunay est dĂŠ nie comme :

De nition 5.3. Soit S un ensemble de n points de Ed . La triangulation de Delaunay

de S est le dual gĂŠomĂŠtrique du diagramme de VoronoĂŻ de S : deux points de S sont reliĂŠs par une arĂŞte dans la triangulation de Delaunay si et seulement si leurs cellules sont adjacentes dans le diagramme de VoronoĂŻ de S .

Julien Dardenne

5.1. GÉNÉRATION DE MAILLAGES VOLUMIQUES NON STRUCTURÉS

La triangulation de Delaunay satisfait le critère de Delaunay. Ce critère indique qu'il n'existe aucun n÷ud dans le cercle circonscrit à chaque triangle en deux dimensions (resp. dans la boule circonscrite à chaque tétraèdre, en trois dimensions).

De nition 5.4. Critère de Delaunay : Soit S un nuage de points et T une trian-

gulation de l'enveloppe convexe de S, T est une triangulation de Delaunay de S si et seulement si, la boule ouverte circonscrite de chaque élément ne contient aucun n÷ud. La gure 5.4 montre l'exemple d'un élément de Delaunay : le point

ne satisfaisant pas le critère

appartient au cercle circonscrit au triangle

(a) et une

seconde con guration véri ant ce critère (b).

(a)

(b)

Fig. 5.4 Illustration du critère de Delaunay : (a) un exemple sur lequel le critère de

Delaunay est violé.

ne satisfait pas le critère de Delaunay : le point

tient au cercle circonscrit au triangle

appar-

(b) est une con guration de triangles

véri ant ce critère.

En trois dimensions, le critère de Delaunay est insu sant pour garantir un maillage volumique de qualité. Des éléments nommés

slivers

(tétraèdres plats)

peuvent être créés, ceux-ci ont un facteur de forme qui peut être critique pour la résolution par éléments nis [Cheng 99]. L'un des problèmes de l'approche de type Delaunay réside dans le fait que l'objet à mailler correspond rarement à l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses points. Dans un premier temps, il faut construire un maillage de l'enveloppe convexe puis le modi er ensuite pour obtenir un maillage respectant la frontière de l'objet. Ce problème porte sur le non respect de la frontière et se nomme

boundary recovery problem . Il est intrinsèque aux méthodes de type

Delaunay car elles ne tiennent pas compte des contraintes topologiques, par exemple, le respect des frontières. Pour prendre en compte ces contraintes et ainsi préserver les frontières, les méthodes de type Delaunay utilisent généralement un maillage d'arête (ou triangulaire en 3D) de la frontière de l'objet. Ces arêtes (ou triangles) permettent de dé nir des contraintes topologiques que les méthodes de ra nement de Delaunay tentent de respecter au mieux.

Julien Dardenne

CHAPITRE 5. ETAT DE L'ART DE LA CONSTRUCTION DE MAILLAGES VOLUMIQUES

Deux approches peuvent ĂŞtre envisagĂŠes [Borouchaki 97] :

â&#x20AC;˘

L'approche dite boundary integrity : elle redĂŠ nit les contraintes

a priori

en faisant en sorte qu'elles apparaissent dans la triangulation de Delaunay.

â&#x20AC;˘

L'approche dite boundary recovery : elle traite les contraintes

a posteriori

en modi ant la triangulation de Delaunay pour dĂŠ nir les frontiĂ¨res. Les approches de type Delaunay-VoronoĂŻ ( gure 5.5) se di ĂŠrencient donc selon la stratĂŠgie utilisĂŠe pour prendre en compte le respect de la frontiĂ¨re. La premiĂ¨re approche (c) force le maillage initial Ă recouvrir le bord par des transformations locales, sans ajout de nouveaux points. Dans ce cas, on parle de triangulation de Delaunay Contrainte (constrained boundary recovery). La seconde approche (d) reconstruit le bord en insĂŠrant des points et en re-triangulant (conforming boundary recovery).

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 5.5 Illustration du problĂ¨me de non respect de la frontiĂ¨re : (a) DiscrĂŠtisation de

l'objet (b) triangulation de Delaunay (c) triangulation de Delaunay Contrainte (d) insertion de points et re-triangulation.

5.1.3.2 Ra nement de Delaunay Une mĂŠthode dite de ra nement ajoute des sommets Ă un maillage grossier qui lui est donnĂŠ, et produit un maillage plus n [George 98, Frey 01]. Le maillage grossier donnĂŠ peut, par exemple, avoir ĂŠtĂŠ construit directement Ă partir de la frontiĂ¨re du domaine. Parmi les algorithmes de ra nement, on distingue une classe d'algorithmes appelĂŠs algorithmes de ra nement de Delaunay . Ces algorithmes sont basĂŠs sur l'insertion itĂŠrative de points bien choisis dans une triangulation de Delaunay initiale. Le ra nement de Delaunay est devenu une mĂŠthode standard pour la gĂŠnĂŠration de maillages. Par contre, la phase de ra nement est toujours suivie d'un post traitement (optimisation locale) pour ĂŠliminer les

slivers , seule catĂŠgorie

de tĂŠtraĂ¨dres mal formĂŠs qui ne sont pas ĂŠliminĂŠs par le ra nement de Delaunay. Pour construire une triangulation de Delaunay, on ne construit pas explicitement le diagramme de VoronoĂŻ. En pratique, la technique de maillage de type Delaunay est une procĂŠdure itĂŠrative qui construit la triangulation du domaine en insĂŠrant des points internes et en vĂŠri ant le critĂ¨re de Delaunay. Ces points sont appelĂŠs points de Steiner.

Julien Dardenne

5.1. GÉNÉRATION DE MAILLAGES VOLUMIQUES NON STRUCTURÉS

Ce type de méthode apporte quelques di cultés :

•

pendant tout le processus, il faut maintenir une liste des centres et rayons des boules circonscrites. Pour les calculer, il faut résoudre un système linéaire.

•

ce type d'approche est particulièrement créateur d'erreurs numériques, notamment pour les calculs concernant les centres et les rayons des boules circonscrites en trois dimensions.

•

en 2D, nous sommes sûr de pouvoir respecter la frontière (c'est à dire d'imposer les faces données au départ) car un opérateur de bascule d'arête permet de visiter toutes les triangulations possibles. Par contre en 3D, ce n'est plus le cas et le respect de la frontière est di cile à obtenir.

•

en 3D, le mailleur de Delaunay peut faire apparaître des éléments de mauvaise qualité dans le maillage. Ces éléments sont les sliver (volume quasi-nul, critique pour les simulations numériques) qui sont dégénérés et qui satisfont pourtant le critère de Delaunay. Nous pouvons en déduire que le critère de Delaunay n'est pas un critère de qualité optimal.

5.1.3.3 Approches variationnelles Dans le cadre des approches de type Delaunay-Voronoï , les propositions les plus prometteuses utilisent le cadre théorique des Diagrammes de Voronoï Centroïdaux (DVC), dont les détails sont donnés dans [Du 99]. Il a été prouvé que la création d'un DVC génère des partitions

minimisant la fonction d'objectif dé nie par :

XZ i

φ(x)||x − zi ||2 dx

(5.2)

Les approches variationnelles, bien que plus coûteuses en temps de calcul, sont très intéressantes en terme de qualité des résultats obtenus. La dé nition d'une fonction d'objectif de qualité permet une optimisation des éléments générés. Dans [Alliez 05], il est proposé une approche variationnelle pour la génération et l'optimisation de maillages tétraédriques. Le c÷ur de cette approche optimise la connectivité et la position des sommets en minimisant une fonction d'énergie. La fonction d'énergie à minimiser a des propriétés théoriques intéressantes, mais il n'y a aucun résultat théorique portant sur la qualité des éléments générés en minimisant cette fonctionnelle. Pour obtenir des maillages adaptés, le critère d'énergie doit être modi é pour prendre en compte une carte traduisant la densité des éléments à adapter ou générer. Les auteurs utilisent une procédure d'optimisation originale pour élaborer un algorithme de génération de maillage. Cet algorithme présente aussi un moyen de créer le maillage initial, nécessaire pour commencer l'optimisation. Alliez et al. obtiennent de bons résultats en combinant une approche variationnelle et la triangulation de Delaunay, mais il n'est pas montré qu'ils évitent l'obtention de

slivers

dans leurs

maillages. Dernièrement, Tournois et al. [Tournois 09] présentent une méthode de génération de maillages tétraédriques isotropes pour des domaines 3D bornés par des surfaces lisses par morceaux. Cette approche consiste à combiner ra nement de Delaunay et optimisation de Delaunay pour maximiser la qualité des maillages tout en satisfaisant un ensemble de critères dé nis par l'utilisateur. Les auteurs montrent

Julien Dardenne

CHAPITRE 5. ETAT DE L'ART DE LA CONSTRUCTION DE MAILLAGES VOLUMIQUES

que leur procĂŠdĂŠ est (expĂŠrimentalement) plus parcimonieux en nombre de points de Steiner que le ra nement seul, et produit des maillages de meilleure qualitĂŠ que l'optimisation appliquĂŠe comme post-traitement. Un traitement particulier est rĂŠservĂŠ Ă la gestion des bords et des arĂŞtes vives a n d'obtenir un cadre gĂŠnĂŠrique pour la gĂŠnĂŠration de maillages.

5.2 Optimisation Il faut souvent ajouter, aux trois grandes catĂŠgories d'approches prĂŠcĂŠdentes, une ĂŠtape nale d'optimisation du maillage a n d'amĂŠliorer la qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments gĂŠnĂŠrĂŠs. Les outils d'optimisation du maillage peuvent ĂŞtre classĂŠs en deux catĂŠgories selon que les modi cations soient topologiques ou gĂŠomĂŠtriques. L'opĂŠrateur topologique modi e uniquement les connexions entre les points d'un maillage. Les opĂŠrateurs gĂŠomĂŠtriques (par dĂŠplacement de sommets ou fusion) modi ent la position et/ou le nombre de points du maillage. Dans ce dernier cas, la topologie du maillage est changĂŠe. Les opĂŠrateurs gĂŠomĂŠtriques permettent de dĂŠplacer un ou plusieurs sommets du maillage pour amĂŠliorer la qualitĂŠ gĂŠomĂŠtrique des ĂŠlĂŠments et ne changent pas la connectivitĂŠ des mailles. Les opĂŠrateurs topologiques font appel Ă l'optimisation combinatoire et les opĂŠrateurs gĂŠomĂŠtriques Ă l'optimisation numĂŠrique. Les deux techniques sont plus e caces quand elles sont utilisĂŠes dans le mĂŞme processus [Klingner 07]. Les transformations topologiques sont locales, signi ant que seulement un petit nombre d'ĂŠlĂŠments est changĂŠ par une opĂŠration simple [Shewchuk 02a]. Les nombres l'origine

mâ&#x2C6;&#x2019;n

de la gure 5.6 dĂŠsignent le nombre de tĂŠtraĂ¨dres Ă

et le nombre de tĂŠtraĂ¨dres Ă l'arrivĂŠe

En 2D, l'opĂŠrateur bascule (

ip ) est une opĂŠration simple consistant Ă ĂŠchan-

ger les deux diagonales d'un quadrilatĂ¨re convexe formĂŠ de deux triangles. En 3D, la transformation analogue est plus complexe. En e et, le correspondant 3D de l'arĂŞte est le triangle et celui du quadrilatĂ¨re est l'hexaĂ¨dre Ă faces triangulaires. Un hexaĂ¨dre peut ĂŞtre dĂŠcomposĂŠ en tĂŠtraĂ¨dres de deux faĂ§ons ( gure 5.6). La premiĂ¨re dĂŠ-

F (s2 , s3 , s4 ). T2 (s2 , s3 , s4 , s5 ). La seconde

composition consiste Ă couper l'hexaĂ¨dre en deux par la facette interne On obtient ainsi les deux tĂŠtraĂ¨dres

T1 (s1 , s2 , s3 , s4 )

fait passer une arĂŞte centrale par les deux sommets de part et d'autre de cette facette interne. Les trois tĂŠtraĂ¨dres obtenus sont

T3 (s1 , s2 , s5 , s3 ), T4 (s1 , s2 , s5 , s4 )

T5 (s1 , s3 , s5 , s4 ). L'opĂŠration correspondant Ă la bascule en 2D, est appelĂŠ une trans-

ip )

formation (

en 3D et consiste Ă passer d'une dĂŠcomposition Ă l'autre. Cette

transformation n'est possible que si l'hexaĂ¨dre est convexe. Les opĂŠrations topologiques prĂŠsentĂŠes ci-dessus sont utilisĂŠes dans un processus qui vise Ă optimiser la qualitĂŠ du maillage. Une fonction objectif peut ĂŞtre ĂŠtablie pour un tel processus d'optimisation Ă partir de la qualitĂŠ de chaque ĂŠlĂŠment du maillage. Le processus applique une opĂŠration Ă un ensemble d'ĂŠlĂŠments spĂŠci ques dans le maillage selon la valeur de la fonction d'objectif souhaitĂŠe. Si, aprĂ¨s l'opĂŠration de transformation

m â&#x2C6;&#x2019; n,

la qualitĂŠ de l'ensemble est meilleure, l'opĂŠration est appliquĂŠe sinon elle est

rejetĂŠe. Le processus cherchera alors une autre opĂŠration qui amĂŠliorera le maillage. Le processus s'arrĂŞte quand aucune opĂŠration ne peut apporter une amĂŠlioration. Ainsi, la qualitĂŠ du maillage ne peut que s'amĂŠliorer.

Julien Dardenne

5.3. QUALITĂ&#x2030; GĂ&#x2030;OMĂ&#x2030;TRIQUE ET SIMULATION NUMĂ&#x2030;RIQUE

Fig. 5.6 Illustration de la transformation d'un hexaĂ¨dre Ă faces triangulaires en 2 ou 3

tĂŠtraĂ¨dres.

5.3 QualitĂŠ gĂŠomĂŠtrique et simulation numĂŠrique Lors d'une simulation numĂŠrique par la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis des divergences et des instabilitĂŠs numĂŠriques peuvent se produire. A n d'ĂŠviter ces phĂŠnomĂ¨nes, il faut obtenir des maillages avec des propriĂŠtĂŠs gĂŠomĂŠtriques particuliĂ¨res. On dĂŠ ni la qualitĂŠ d'un maillage Ă l'aide de ses propriĂŠtĂŠs gĂŠomĂŠtriques. Il existe de nombreux critĂ¨res qui mesurent cette qualitĂŠ. La plupart du temps, on mesure le rapport de forme et/ou de taille des ĂŠlĂŠments. On essaiera ainsi d'ĂŠviter des ĂŠlĂŠments trop ns ou ĂŠtirĂŠes, pour privilĂŠgier les ĂŠlĂŠments dits rĂŠguliers . Dans le paragraphe suivant, nous abordons, dans un premier temps, la classi cation des tĂŠtraĂ¨dres et nous ĂŠnumĂŠrons, dans un second temps, les di ĂŠrents critĂ¨res de qualitĂŠ issus de la littĂŠrature. Finalement, nous ĂŠtudions, de faĂ§on thĂŠorique, l'in uence de la qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments constituant le maillage sur la simulation numĂŠrique par la MEF.

5.3.1

Classi cation des tĂŠtraĂ¨dres

La prĂŠcision et la validitĂŠ des solutions calculĂŠes par MEF sont liĂŠes aux propriĂŠtĂŠs du maillage. Dans le but de gĂŠnĂŠrer, valider ou d'optimiser ce maillage, il peut ĂŞtre intĂŠressant, d'un point de vue qualitatif, de discriminer les ĂŠlĂŠments de mauvaise qualitĂŠ. D'aprĂ¨s [George 98], on peut rĂŠpertorier huit types de tĂŠtraĂ¨dres. On peut les discriminer sur la base d'un critĂ¨re associĂŠ au type de triangle de leurs faces et Ă leur volume.

Julien Dardenne

CHAPITRE 5. ETAT DE L'ART DE LA CONSTRUCTION DE MAILLAGES VOLUMIQUES

Avant de donner la classi cation des tétraèdres, il convient de dé nir trois types de triangles ( gure 5.3.1) :

•

le triangle admissible (a) : les trois côtés du triangle sont de longueurs comparables, il en va de même pour ses angles.

•

le triangle aigu (b) : un côté est nettement plus petit que les deux autres, ce qui revient à dire qu'un de ses angles est fortement aigu.

•

le triangle obtus (c) : un côté a sa longueur de l'ordre de la somme des longueurs des deux autres, ce triangle a donc un angle fortement obtus.

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.7 Les trois types de triangles pour la classi cation

On peut alors distinguer les huit types de tétraèdres de la gure 5.8 : a L'élément est de bonne qualité : les quatre faces sont admissibles et son volume n'est pas faible. b Seul une face est admissible, les trois autres sont aigues. c Les quatre faces du tétraèdre sont aigues. d Deux des faces du tétraèdre sont aigues, les deux autres étant admissibles. e Le tétraèdre a deux faces aigues et deux faces obtues. f Les quatre faces de l'élément sont admissibles, son volume est presque nul et un de ses sommets est voisin du barycentre d'une des faces. g Trois des faces du tétraèdre sont admissibles, la quatrième est obtue. h Les quatre faces de l'élément sont admissibles mais son volume est très proche de zéro : on nomme communément cet élément sliver .

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f )

(g)

(h)

Fig. 5.8 Exemple de classi cation des tétraèdres.

D'autres modes de classi cation sont envisageables [Cheng 99]. Cette classi cation est qualitative, nous allons maintenant voir des critères objectifs pour mesurer la qualité d'un maillage.

Julien Dardenne

5.3. QUALITÉ GÉOMÉTRIQUE ET SIMULATION NUMÉRIQUE

5.3.2

Qualité d'un maillage

Dans le cadre de la simulation électromagnétique et thermique par la MEF, il est préférable de générer des maillages tétraédriques isotropes. Idéalement, un algorithme de génération de maillages optimiserait directement le critère de qualité à partir du système d'équations aux dérivées partielles utilisées. Cependant, cette approche n'est pas réaliste du fait de sa complexité. Ainsi, en pratique, un maillage est optimisé selon un critère purement géométrique. De nombreux critères sont disponibles dans la littérature. Nous présentons ici les six critères les plus souvent cités [Shewchuk 02b] pour l'évaluation de la qualité de maillage tétraédrique isotrope. Les critères

correspondent à l'angle dièdre minimal et maximal. Ils

sont dé nis par :

Q1 = αmin = min(αi,j )

(5.3)

Q2 = αmax = max(αi,j )

(5.4)

où

αi,j

est l'angle dièdre formé par les faces voisines à l'arête

ei,j

qui est connectée

vi et vj . Notons qu'un tétraèdre régulier possède six angles dièdres qui arccos(1/3) soit 70◦ ,5. Cet élément est idéal dans le cadre d'une simulation

aux sommets valent

de nature isotrope. Le troisième critère

dé ni dans [Liu 94] est dé ni par :

Q3 = où

(5.5)

est la longueur moyenne des arêtes du tétraèdre et

Le critère inscrite

12 . (3 . V )2/3 l

rin

et le rayon de la sphère circonscrite

Q4 = Le critère

son volume.

[Cavendish 85] est basé sur le rapport entre le rayon de la sphère

rout

3rin rout

(5.6)

est dé nit par le rapport entre les longueurs minimales et maxi-

males des arêtes du tétraèdre.

Q5 = Le dernier critère

lmin lmax

(5.7)

est dé nit par le rapport d'aspect suivant :

12 3V P Q6 = √ 6 lmax Ai où

est l'aire de la face

Les critères

du tétraèdre et

(5.8)

son volume.

sont normalisés entre 0 et 1. Une valeur proche de 0 signi e

un mauvais facteur de forme, une valeur de 1 correspond au tétraèdre régulier.

Julien Dardenne

CHAPITRE 5. ETAT DE L'ART DE LA CONSTRUCTION DE MAILLAGES VOLUMIQUES

5.3.3

In uence sur la modĂŠlisation

La qualitĂŠ de la discrĂŠtisation gĂŠomĂŠtrique est cruciale pour l'e cacitĂŠ des MEF [Shewchuk 98]. Le rapport entre la plus grande valeur propre et la plus petite, de la matrice du systĂ¨me d'ĂŠquations Ă rĂŠsoudre, s'appelle le facteur de conditionnement. Il doit ĂŞtre le plus faible possible. Une matrice mal conditionnĂŠe a ecte la rĂŠsolution du systĂ¨me en le ralentissant (augmentation du nombre d'itĂŠrations) et en prĂŠsentant des erreurs importantes au niveau du rĂŠsultat (ampli cation des erreurs sur les donnĂŠes et des erreurs d'arrondis de calcul). La forme des ĂŠlĂŠments du maillage a une in uence forte sur le conditionnement de la matrice, mais Ă la di ĂŠrence des erreurs d'interpolations, les angles aigus pĂŠnalisent la matrice et les angles obtus (seuls) ne la pĂŠnalisent pas. La relation entre la forme des ĂŠlĂŠments et le conditionnement de la matrice dĂŠpend de l'ĂŠquation aux dĂŠrivĂŠes partielles (EDP) qui est rĂŠsolue et de l'algorithme utilisĂŠ pour discrĂŠtiser le domaine d'ĂŠtude. L'in uence de la qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments pour un type de problĂ¨me donnĂŠ ne peut ĂŞtre ĂŠvaluĂŠe qu'au cas par cas. L'erreur de discrĂŠtisation est la di ĂŠrence entre l'approximation calculĂŠe par la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis et la solution exacte. De mĂŞme que pour le facteur de conditionnement de la matrice, l'erreur de discrĂŠtisation dĂŠpend en partie de l'EDP et de la mĂŠthode de discrĂŠtisation utilisĂŠe. Cependant, l'erreur de discrĂŠtisation est trĂ¨s liĂŠe aux erreurs d'interpolations. Ces erreurs peuvent ĂŞtre attĂŠnuĂŠes par des ĂŠlĂŠments dont les formes et les tailles sont choisies pour contrĂ´ler les erreurs d'interpolation. En deux dimensions, l'article de Babuska et Aziz [Babuska 76] dĂŠmontre que l'exactitude de la solution gĂŠnĂŠrĂŠe par la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis, Ă partir d'un maillage triangulaire, se dĂŠgrade lorsque les angles des triangles s'approchent de â&#x2014;Ś â&#x2014;Ś 180 . Mais, quand l'angle d'un triangle s'approche de 0 , tant que les deux autres angles ne sont pas trop grands, la solution ne se dĂŠgrade pas. Les auteurs ont pu en conclure que les angles faibles ne sont ni dĂŠlĂŠtĂ¨res de l'erreur d'interpolation, ni de l'erreur de discrĂŠtisation, par contre, il a ĂŠtĂŠ dĂŠmontrĂŠ que les angles faibles pĂŠnalisent le conditionnement de la matrice. En trois dimensions, une discrĂŠtisation grossiĂ¨re et la prĂŠsence de mauvais ĂŠlĂŠments peuvent amener des rĂŠsultats incorrects et des instabilitĂŠs numĂŠriques. Des ĂŠlĂŠments dĂŠgĂŠnĂŠrĂŠs, avec des volumes quasi-nuls et des angles diĂ¨dres faibles, peuvent mener Ă de grandes erreurs locales de la solution numĂŠrique. Des angles diĂ¨dres faibles ont un e et nĂŠgatif sur le facteur de conditionnement de la matrice et des angles diĂ¨dres ĂŠlevĂŠs causent de grandes erreurs d'interpolation. Le pire des cas aboutit Ă un systĂ¨me d'ĂŠquations impossible Ă rĂŠsoudre (matrice singuliĂ¨re). Le nombre de sommets et d'ĂŠlĂŠments constituant le maillage est typiquement dictĂŠ par la nĂŠcessitĂŠ de limiter l'erreur de discrĂŠtisation et donc l'erreur d'interpolation. Des bornes doivent ĂŞtre aussi placĂŠes pour limiter les angles des ĂŠlĂŠments a n d'avoir un maillage dit de bonne qualitĂŠ.

Julien Dardenne

5.4. DISCUSSION

5.4 Discussion Les approches de reconstruction et de modĂŠlisation, dĂŠcrites dans ce chapitre, montrent, qu'actuellement, il existe plusieurs approches et mĂŠthodes permettant la construction de maillages surfaciques et volumiques. Cependant, toutes ces mĂŠthodes prĂŠsentent aussi bien des avantages spĂŠci ques que des dĂŠfauts. Les di ĂŠrentes approches nĂŠcessitent des hypothĂ¨ses plus ou moins fortes sur le type de donnĂŠes utilisĂŠes. Les mĂŠthodes basĂŠes sur la triangulation de Delaunay sont bien adaptĂŠes Ă la reconstruction d'objets lisses Ă partir d'un nuage de points. Les rĂŠsultats sont soumis Ă des conditions fortes d'ĂŠchantillonnage mais les maillages obtenus possĂ¨dent des propriĂŠtĂŠs gĂŠomĂŠtriques et des garanties topologiques intĂŠressantes pour les simulations numĂŠriques par la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis. Ces approches ont un point commun : elles construisent un maillage tĂŠtraĂŠdrique Ă partir d'un maillage surfacique. Ce maillage surfacique permet de garantir le respect des frontiĂ¨res du maillage volumique. Cependant, cela apporte des contraintes di ciles Ă satisfaire lorsque deux surfaces sont voisines. Par consĂŠquent, la robustesse de ces mĂŠthodes est conditionnĂŠe par la qualitĂŠ des maillages surfaciques. En imagerie mĂŠdicale, la qualitĂŠ de l'interface entre organes a ecte alors le maillage volumique et engendre des ĂŠlĂŠments tĂŠtraĂŠdriques avec de mauvais facteurs de forme (plats et/ou avec des angles aigus) pĂŠnalisant le conditionnement des matrices de la MĂŠthode par ElĂŠments Finis. Nous avons vu dans la section 5.3.3 que la forme des ĂŠlĂŠments du maillage peut augmenter les temps de calculs et rĂŠduire la prĂŠcision de la MEF. L'approche classique d'obtention d'un maillage avec des rapports d'aspects raisonnables passe par une ĂŠtape de remaillage oĂš les ĂŠlĂŠments qui ont un mauvais rapport d'aspect sont remplacĂŠs. Une variable importante dans cette stratĂŠgie est le choix du critĂ¨re de qualitĂŠ. Des maillages surfaciques de structures anatomiques pour les types d'approches citĂŠs sont di ciles Ă gĂŠnĂŠrer. L'utilisation de ces di ĂŠrentes mĂŠthodes pose un certain nombre de problĂ¨mes :

â&#x20AC;˘

La procĂŠdure de maillage doit satisfaire des contraintes surfaciques et de liaison entre les di ĂŠrentes interfaces.

â&#x20AC;˘

La qualitĂŠ du maillage surfacique in uence fortement la qualitĂŠ du maillage volumique.

â&#x20AC;˘

Les reprĂŠsentations surfaciques obtenues prĂŠsentent souvent un nombre important de sommets. Cela complique une procĂŠdure de construction de maillage volumique, et impose donc une dĂŠcimation a n de rĂŠduire le nombre de sommets.

En rĂŠsumĂŠ, cet ĂŠtat de l'art montre que la majoritĂŠ des travaux en reconstruction volumique ont besoin d'une modĂŠlisation surfacique et que peut de travaux se sont penchĂŠs, Ă notre connaissance, sur une modĂŠlisation volumique dite directe . Notre approche consiste Ă travailler au plus prĂ¨s de l'image, en la considĂŠrant au niveau de sa structure ĂŠlĂŠmentaire, c'est-Ă -dire comme un ensemble d'ĂŠlĂŠments discrets pavant l'espace et organisĂŠs selon une relation d'adjacence suivant une grille rectangulaire. Notre approche, dĂŠcrite dans le prochain chapitre, construit le maillage volumique sans l'ĂŠtape de maillage surfacique. Elle est fondĂŠe sur un partitionnement du domaine d'intĂŠrĂŞt dans l'espace discret qui permet d'approximer un diagramme

Julien Dardenne

CHAPITRE 5. ETAT DE L'ART DE LA CONSTRUCTION DE MAILLAGES VOLUMIQUES

de VoronoĂŻ CentroĂŻdal. Le dual de ce diagramme (la triangulation de Delaunay) est construit et elle est suivit de transformations prĂŠservant la topologie du maillage aux di ĂŠrentes interfaces. Notons qu'actuellement, nous ne connaissons pas de mĂŠthode de gĂŠnĂŠration de maillage tĂŠtraĂŠdrique permettant la reconstruction directe, Ă partir d'un ensemble de voxels ( gure 5.9), sans passer par l'extraction d'une iso-surface [Labelle 07].

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.9 Processus de discrĂŠtisation : (a) coupes anatomiques segmentĂŠes du projet Vi-

sible Human (b) ensemble discret tri-dimensionnel (c) maillage volumique de (b)

Julien Dardenne

Chapitre 6

Triangulation basĂŠe sur les diagrammes de VoronoĂŻ CentroĂŻdaux

Dans ce chapitre, nous allons dĂŠcrire notre approche qui repose sur une Triangulation basĂŠe sur les diagrammes de VoronoĂŻ CentroĂŻdaux (TVC). Nous rappelons briĂ¨vement le contexte et certaines interrogations prĂŠalables au dĂŠveloppement de notre proposition. Notre approche comprend un prĂŠ-traitement appropriĂŠ des donnĂŠes volumiques (voxels). Nous approchons un Diagramme de VoronoĂŻ CentroĂŻdal par une mĂŠthode variationnelle. Puis vient la gĂŠnĂŠration du maillage proprement dite, par dualitĂŠ. Nous verrons comment rĂŠsoudre les ambiguĂŻtĂŠs dues Ă l'approximation d'un diagramme de VoronoĂŻ centroĂŻdal dans un espace discret. Une fois le maillage volumique crĂŠĂŠ, nous proposerons une technique d'optimisation topologique pouvant lui ĂŞtre appliquĂŠ. En n, un schĂŠma gĂŠnĂŠral faisant la synthĂ¨se de notre approche sera exposĂŠ.

6.1 Contexte Dans cette thĂ¨se, nous nous intĂŠressons Ă la reconstruction et Ă la modĂŠlisation d'objets discrets reprĂŠsentĂŠs dans des images 3D segmentĂŠes. Rappelons que ces images sont trĂ¨s frĂŠquentes en imagerie mĂŠdicale et sont obtenues aprĂ¨s la segmentation d'images tomographiques ou IRM du patient. L'image segmentĂŠe reprĂŠsente chacune des structures avec un attribut spĂŠci que. Par consĂŠquent, l'ensemble des voxels contenant le mĂŞme attribut constitue dĂŠjĂ un modĂ¨le discret. Comme nous avons vu dans le chapitre 3, dans le cadre des di ĂŠrences nies, c'est un modĂ¨le su sant, mais pour les ĂŠlĂŠments nis, il est nĂŠcessaire de transformer ce modĂ¨le voxellique en un modĂ¨le tĂŠtraĂŠdrique. Notre but est l'obtention d'une reprĂŠsentation volumique sous forme maillĂŠe Ă partir d'une image 3D segmentĂŠe.

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Partant de cet objectif, nos travaux se sont naturellement orientĂŠs vers une approche de gĂŠnĂŠration de maillages tĂŠtraĂŠdriques alternative, remplissant les critĂ¨res suivants :

â&#x20AC;˘

Etre adaptĂŠe aux images binaires ou labellisĂŠes.

â&#x20AC;˘

Obtenir une modĂŠlisation topologiquement cohĂŠrente de l'ensemble des composantes.

â&#x20AC;˘

Avoir la possibilitĂŠ d'adapter la taille des ĂŠlĂŠments du maillage Ă la complexitĂŠ des interfaces.

Dans le cadre de la reconstruction, les considĂŠrations topologiques sont indispensables. Rappelons que l'un de nos objectifs est de reconstruire avec prĂŠcision les di ĂŠrentes interfaces des objets discrets. Les maillages volumiques obtenus sont destinĂŠs Ă ĂŞtre utilisĂŠs dans le cadre de la MEF. La problĂŠmatique que l'on se xe dans ce chapitre est la suivante :comment construire un maillage tĂŠtraĂŠdrique directement Ă partir d'une image 3D ? Pour atteindre les objectifs citĂŠs prĂŠcĂŠdemment, nous avons choisi d'explorer une nouvelle approche de gĂŠnĂŠration de maillage qui combine la topologie avec des Diagrammes de VoronoĂŻ CentroĂŻdaux (DVC) et par dualitĂŠ, la triangulation de Delaunay. Nous avons choisi d'utiliser cette stratĂŠgie en combinant une approche variationnelle pour approximer un DVC et une approche qui permet de gĂŠnĂŠrer le dual du DVC pour obtenir les maillages volumiques. Nos justi cations sont les suivantes :

â&#x20AC;˘

Les maillages obtenus avec une approche de type Delaunay-VoronoĂŻ sont gĂŠnĂŠralement de bonne qualitĂŠ.

â&#x20AC;˘

Cette approche est globale et possĂ¨de des bases mathĂŠmatiques solides.

â&#x20AC;˘

Les approches de type VoronoĂŻ-Delaunay se prĂŞtent Ă une gĂŠnĂŠralisation en 3D.

â&#x20AC;˘

De par sa nature variationnelle, cette approche permet l'adaptation de la taille des ĂŠlĂŠments du maillage Ă la complexitĂŠ gĂŠomĂŠtrique locale.

L'idĂŠe principale de notre mĂŠthode peut se rĂŠsumer ainsi. Nous distribuons un ensemble de

points dans le volume discret

â&#x201E;Ś

en prĂŠservant les di ĂŠrentes interfaces

en approchant un DVC. C'est Ă dire que nous partitionnons l'espace d'entrĂŠe avec un ensemble de contraintes pour prĂŠserver les interfaces. Le maillage est obtenu par dualitĂŠ, Ă partir de l'approximation discrĂ¨te du DVC. Nous appelons cette mĂŠthode : Triangulation de VoronoĂŻ CentroĂŻdal (TVC). Les originalitĂŠs de cette approche rĂŠsident dans le fait de sa nature entiĂ¨rement discrĂ¨te et qu'elle n'utilise pas un maillage surfacique initial ce qui o re des libertĂŠs supplĂŠmentaires pour construire les tĂŠtraĂ¨dres. La concrĂŠtisation de cette idĂŠe soulĂ¨ve cependant plusieurs questions importantes :

â&#x20AC;˘

Comment extraire et dĂŠ nir les frontiĂ¨res d'un volume discret ?

â&#x20AC;˘

Comment rĂŠaliser l'approximation du diagramme de VoronoĂŻ ?

â&#x20AC;˘

Comment extraire le maillage par dualitĂŠ ?

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

6.2 Notre approche La gure 6.1 résume la succession des étapes du processus de maillage, sur un

(a). Une approximation de l'axe médian (b) ρ traduisant la densité locale de tétraèdres souhaitée (c). Nous calculons le Diagramme de Voronoï Centroïdal (d) de l'image (a) en prenant en compte les poids ρ(x) issus de (c). Le dual de ce diagramme est construit (e) et constitue le maillage. Pour des raisons de clarté, le calcul de la carte de densité ρ(x) (étapes correspondantes aux images (b) et (c)) sera décrit dans la

exemple 2D. Nous partons d'une image

est créée. Nous calculons ensuite une carte

troisième partie de ce manuscrit. Dans ce chapitre, les maillages générés par notre approche sont uniformes.

(a)

(b)

(d)

(c)

(e)

Fig. 6.1 Illustration du processus de génération 2D : Une approximation de l'axe médian

(b) de l'image (a) (inspiré de [Alliez 05]) est calculée (c) Une carte de densité est alors estimée (d) Un Diagramme de Voronoï Centroïdal de (a) est approché en prenant en compte (c). (e) Le dual de ce diagramme est obtenu et constitue notre maillage.

Julien Dardenne

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

6.2.1

ReprĂŠsentation d'une surface discrĂ¨te

Dans le chapitre 4, nous avons rappelĂŠ certaines dĂŠ nitions et notions de topologie discrĂ¨te. Nous avons vu en particulier les notions de complexe cellulaire, de graphe primaire et dual, dĂŠ nis par Kovalevsky [Kovalevsky 89]. Ces notions permettent de dĂŠ nir la frontiĂ¨re discrĂ¨te d'un ensemble de pixels ou de voxels. Dans notre approche, nous utilisons la dĂŠ nition du graphe dual pour reprĂŠsenter la surface discrĂ¨te d'un objet 3D par un sous-ensemble d'ĂŠlĂŠments inter-voxels. Par consĂŠquent, notre algorithme d'extraction de la frontiĂ¨re discrĂ¨te d'un objet utilise une reprĂŠsentation duale du volume. L'algorithme prend en entrĂŠe une image 3D binaire ou labellisĂŠe et renvoie une image 3D duale labellisĂŠe, oĂš les voxels de la frontiĂ¨re et les voxels internes ou externes Ă l'objet sont ĂŠtiquetĂŠs avec des attributs di ĂŠrents ( gure 6.2). Cette ĂŠtape peut ĂŞtre considĂŠrĂŠe comme une segmentation topologique permettant de dĂŠ nir di ĂŠrents attributs selon le type de voisinage rencontrĂŠ dans l'image.

(a)

(b)

(c)

Fig. 6.2 DĂŠ nition de la surface discrĂ¨te : (a) l'image originale reprĂŠsentant une tĂŞte

humaine (b) sous la forme d'un plan 3D (c) l'image duale avec la frontiĂ¨re discrĂ¨te (en bleu) ; les pixels internes sont reprĂŠsentĂŠs en blanc ; un ensemble d'attributs est ajoutĂŠ selon le type de voisinage.

Dans le cadre de notre application en ĂŠlectromagnĂŠtique et en thermique par la MEF, le domaine d'ĂŠtude doit ĂŞtre bornĂŠ pour appliquer des conditions aux limites absorbantes (CLA). Le domaine d'ĂŠtude (dans notre cas, le corps humain) doit ĂŞtre placĂŠ dans une boite englobante. La nature de nos donnĂŠes (images tomographiques ou IRM) permet d'obtenir directement ses caractĂŠristiques gĂŠomĂŠtriques. Des contraintes doivent ĂŞtre utilisĂŠes lors du partitionnement de faĂ§on Ă prĂŠserver cette gĂŠomĂŠtrie. Les contraintes, nĂŠcessaires pour reprĂŠsenter les bords du domaine

â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś ,

sont au nombre de sept. A l'intĂŠrieur du volume, deux attributs seulement sont

utilisĂŠs couramment. Les organes du corps humain ne prĂŠsentent pas de caractĂŠristique spĂŠci que comme des coins ou des arĂŞtes vives Ă prĂŠserver. Ces caractĂŠristiques sont souvent reprĂŠsentĂŠes dans les piĂ¨ces manufacturĂŠes modĂŠlisĂŠes en CAO. Les organes comportent une gĂŠomĂŠtrie gĂŠnĂŠralement lisse . Cependant, nous pouvons leur associer des contraintes identiques Ă celles de l'extĂŠrieur du domaine si nous en avons besoin.

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

Nous disposons des 7 attributs suivants pour prĂŠserver les di ĂŠrents types de bords :

â&#x20AC;˘ C0

reprĂŠsente un ĂŠlĂŠment correspondant Ă un coin.

â&#x20AC;˘ C1X

reprĂŠsente un ĂŠlĂŠment appartenant Ă une arĂŞte vive d'orientation X.

â&#x20AC;˘ C1Y

reprĂŠsente un ĂŠlĂŠment appartenant Ă une arĂŞte vive d'orientation Y.

â&#x20AC;˘ C1Z

reprĂŠsente un ĂŠlĂŠment appartenant Ă une arĂŞte vive d'orientation Z.

â&#x20AC;˘ C2X

reprĂŠsente un ĂŠlĂŠment appartenant Ă une face d'orientation X.

â&#x20AC;˘ C2Y

reprĂŠsente un ĂŠlĂŠment appartenant Ă une face d'orientation Y.

â&#x20AC;˘ C2Z

reprĂŠsente un ĂŠlĂŠment appartenant Ă une face d'orientation Z.

Ces attributs permettent de dĂŠ nir la position des sites lors du partitionnement. Les reprĂŠsentations de ces di ĂŠrentes contraintes sont illustrĂŠes dans la gure 6.3. L'orientation dans le plan discret d'un ĂŠlĂŠment correspondant Ă une face ou Ă une arĂŞte doit ĂŞtre prise en compte. Cette orientation est indispensable pour assurer le placement du site

zi .

Nous reviendrons sur ce point dans les sections suivantes.

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 6.3 ReprĂŠsentation des di ĂŠrentes contraintes (a), aux orientations prĂ¨s, pour prĂŠ-

server les coins

6.2.2

(b), les arĂŞtes

(d).

Diagrammes de VoronoĂŻ Centroidaux

Un choix important dans la gĂŠnĂŠration d'un maillage non structurĂŠ est la distribution des nĂˇuds de ce maillage. Comme nous allons le voir par la suite, cette distribution in uence grandement la qualitĂŠ des maillages gĂŠnĂŠrĂŠs. Supposons, que nous souhaitons obtenir un maillage triangulaire uniforme de l'image discrĂ¨te Dans ce cas, les nĂˇuds doivent ĂŞtre distribuĂŠs de faĂ§on

quasi-uniforme

3D tout en prĂŠservant la frontiĂ¨re (discrĂ¨te) de l'objet Ă mailler

â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś .

â&#x201E;Ś.

dans l'image Pour obtenir

une telle distribution, la premiĂ¨re ĂŠtape de notre mĂŠthode est l'obtention d'une approximation d'un DVC en utilisant une approche variationnelle.

Julien Dardenne

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Un DVC est un diagramme de VoronoĂŻ oĂš les sites sont les centres de gravitĂŠ de leurs rĂŠgions de VoronoĂŻ respectives. OĂš chaque site de VoronoĂŻ

(qui correspond

Ă un point de la future triangulation) est le centre de gravitĂŠ de sa cellule :

R zi = RCi

x.Ď (x)dx (6.1)

Ď (x)dx Ci

Les DVC minimisent le terme d'ĂŠnergie suivant :

EV =

n X

ďŁŤ ďŁ pj â&#x2C6;&#x2C6;Ci

i=1 oĂš

ďŁś X Z

est un point de l'espace,

Ď (x)

Ď (x)kx â&#x2C6;&#x2019; zi k2 dxďŁ¸

(6.2)

pj la fonction de densitĂŠ associĂŠe et

est une

cellule de VoronoĂŻ. Ce terme d'ĂŠnergie

est une mesure objective de la compacitĂŠ des cellules.

La construction de cette partition peut s'e ectuer par la mĂŠthode des

K-means

[MacQueen 67] ou par relaxation de Llyod [Lloyd 82], prĂŠsentĂŠe dans l'algorithme 6.1.

Algorithme 6.1 : Relaxation de Lloyd DonnĂŠes : Un ensemble de N sites zi dans un espace euclidien â&#x201E;Ś RĂŠsultat : Les N sites et un partitionnement optimisĂŠ dĂŠbut tant que Convergence non dĂŠtectĂŠe faire Calculer le diagramme de VoronoĂŻ sur DĂŠplacer chaque site

â&#x201E;Ś

en considĂŠrant les sites

;

Ă la position du barycentre de la cellule de

VoronoĂŻ correspondante;

Dans le cadre du partitionnement de maillages, un terme ĂŠnergĂŠtique, favorisant la compacitĂŠ des cellules est utilisĂŠ dans [Valette 08]. Ce choix favorise le facteur de forme des ĂŠlĂŠments gĂŠnĂŠrĂŠs. Cette approche est itĂŠrative et permet de minimiser la fonction d'objectif. Le principe de cet algorithme est la mise en compĂŠtition des partitions entre elles, par des tests ĂŠlĂŠmentaires ( gure 6.4). L'algorithme visite les frontiĂ¨res entre les partitions pour faire ĂŠvoluer globalement le partitionnement en minimisant l'ĂŠnergie. Un avantage intĂŠressant de cette mĂŠthode est l'utilisation de tests uniquement locaux pour minimiser l'ĂŠnergie ( gure 6.4 et l'algorithme 6.2). La complexitĂŠ est constante en termes de nombre d'ĂŠlĂŠments du maillage de dĂŠpart et du maillage simpli ĂŠ.

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

(a)

(b)

(c)

Fig. 6.4 Test élémentaire de minimisation entre deux cellules de Voronoï

con guration initiale du partitionnement (b)

rétrécit (c)

rétrécit et

: (a) la

grandit en absorbant l'élément

Cm .

Algorithme 6.2 : Génération d'un partitionnement optimisé [Valette 08] Données : Un maillage avec N sites Résultat : partitionnement optimisé du maillage en N parties début tant que Convergence non détectée faire pour Chaque arête ej frontière entre deux partitions faire Calculer les trois termes d'énergie

Einit , E1

correspondant

aux trois con gurations possibles ( gure 6.4) ; Mettre à jour la con guration des deux triangles en fonction de la

con guration donnant le plus petit terme d'énergie ;

Julien Dardenne

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Nous utilisons cette approche pour regrouper des ĂŠlĂŠments puis former le maillage en construisant le dual du DVC. Le critĂ¨re d'ĂŠnergie

(ĂŠquation 6.2), pour l'en-

semble des cellules de VoronoĂŻ, se simpli e en :

F =

n X

ďŁŽ

ďŁš X

Ď j zi T (zi â&#x2C6;&#x2019; 2 Îłj )ďŁť

ďŁ° i=1

(6.3)

pj â&#x2C6;&#x2C6;Ci

avec

Z Ď j =

Ď (x)dx

(6.4)

x . Ď (x)dx

(6.5)

pj et

1 Îłj = Ď j oĂš

Z pj

est un ĂŠlĂŠment du graphe dual

primaire ou de voisinage),

Ď j

G, G

est le poids associĂŠ Ă

est le complĂŠment de

pj , Îłj

(graphe

reprĂŠsente le barycentre de

pj . La premiĂ¨re ĂŠtape consiste Ă partitionner les donnĂŠes discrĂ¨tes (voxels) en cellules

de densitĂŠ de tĂŠtraĂ¨dres dĂŠsirĂŠe tement les sites

â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś .

en approchant un DVC. Ce partitionnement prend en compte la fonction

et un ensemble de contraintes pour placer correc-

des cellules de VoronoĂŻ au voisinage de l'ensemble des frontiĂ¨res

On notera que le site

Le calcul de la densitĂŠ

n'est pas nĂŠcessairement un point de la grille discrĂ¨te.

est prĂŠcisĂŠ dans la troisiĂ¨me partie de ce manuscrit. Les

maillages gĂŠnĂŠrĂŠs dans ce chapitre sont uniformes car

Ď j = 1.

DĂŠ nition des sites et des contraintes associĂŠs Le placement des sites de VoronoĂŻ est un enjeu important lors du processus de partitionnement. Nous devons prĂŠserver les frontiĂ¨res discrĂ¨tes

â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś

dĂŠ nies prĂŠ-

cĂŠdemment. Dans la gure 6.5, nous rappelons, les trois con gurations possibles, aux orientations prĂ¨s, pour dĂŠ nir l'ensemble des contraintes qui vont prĂŠserver les di ĂŠrentes caractĂŠristiques gĂŠomĂŠtriques.

(a)

(b)

(c)

Fig. 6.5 Les trois con gurations possibles, aux orientations prĂ¨s, pour dĂŠ nir un ensemble

de contraintes sur (a) les coins, (b) les arĂŞtes et (c) les faces frontiĂ¨res.

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

Nous associons des contraintes qui sont liĂŠes Ă la localisation du site dans l'espace

discret. Si une cellule

coupe la frontiĂ¨re discrĂ¨te, le calcul de son site

sera

modi ĂŠ selon l'attribut de l'ĂŠlĂŠment qui a ĂŠtĂŠ absorbĂŠ. Les contraintes dĂŠ nies par la suite permettent d'augmenter la qualitĂŠ du futur maillage en respectant la gĂŠomĂŠtrie des di ĂŠrentes interfaces. Nous dĂŠ nissons un ensemble

pour chaque rĂŠgion de

VoronoĂŻ par :

Bi = Ci â&#x2C6;Š â&#x2C6;&#x201A;O La position des sites Si la cellule

(6.6)

dĂŠpend des conditions suivantes :

ne coupe pas

contraint. Nous xons

â&#x2C6;&#x201A;O (Bi = â&#x2C6;&#x2026;),

nous sommes dans le cas non

au barycentre de la cellule :

zi = Gi .

Ď j . Îłj

zi = Gi =

(6.7)

Ď j

Ci Si la cellule

i Ci contient une partie de la frontiĂ¨re â&#x2C6;&#x201A;Om,n (Bi 6= â&#x2C6;&#x2026;), nous sommes

dans le cas contraint et le site de la rĂŠgion est xĂŠ au barycentre de la frontiĂ¨re :

X zi =

Ď j . Îłj

(6.8)

Ď j

Bi Ces conditions sont illustrĂŠes dans la gure 6.6. Pour un ensemble donnĂŠ d'ĂŠlĂŠments, une position optimale du site peut ĂŞtre calculĂŠe Ă partir des attributs des ĂŠlĂŠments. Nous enregistrons et mettons Ă jour di ĂŠrents compteurs selon le type d'attribut absorbĂŠ ou restituĂŠ par la cellule. Cela permet de calculer, Ă chaque itĂŠration, le meilleur placement pour un site donnĂŠ et de prendre en compte ce placement dans le calcul de l'ĂŠnergie attribut, le site

Ev .

Par consĂŠquent, quand une cellule

contient au moins un

est placĂŠ pour approximer le sous-ensemble frontiĂ¨re

tout en

optimisant, indĂŠpendamment, la compacitĂŠ de la cellule. Nous pouvons noter qu'une cellule peut ĂŠvoluer de

non-contrainte Ă contrainte, et inversement, durant la minimi-

sation de l'ĂŠnergie. Le positionnement du site sera calculĂŠ Ă partir de l'ensemble des ĂŠlĂŠments contenus dans la cellule ou d'un sous-ensemble choisi selon leurs attributs.

Julien Dardenne

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Fig. 6.6 Illustration des conditions de positionnement d'un site : La cellule

contrainte. Le site

est estimĂŠ Ă partir de

frontiĂ¨re de la cellule

C1 .

La cellule

â&#x2C6;&#x201A;O1,2 1

est dite

qui reprĂŠsente le sous-ensemble

est dite non-contrainte car elle n'est pas

liĂŠe Ă une frontiĂ¨re.

L'orientation dans le plan des di ĂŠrentes contraintes gĂŠomĂŠtriques doit ĂŞtre prise en compte. La dĂŠ nition de la frontiĂ¨re discrĂ¨te in uence fortement le potentiel de reconstruction de notre mĂŠthode. Dans la gure 6.7, nous donnons un exemple en 2D d'une mauvaise dĂŠ nition de la frontiĂ¨re qui peut engendrer une reconstruction erronĂŠe. Si l'orientation n'est pas prise en compte, la con guration illustrĂŠe en (a) peut se rĂŠaliser. Le site

a ĂŠtĂŠ calculĂŠ Ă partir d'ĂŠlĂŠments disposant d'un mĂŞme attribut

sans prendre en compte l'orientation. Le positionnement de ce site, par rapport Ă la frontiĂ¨re, est incorrect. La gure (c) illustre l'adjacence des cellules de VoronoĂŻ. La con guration illustrĂŠe en (b) prend en compte l'orientation de la frontiĂ¨re dans le plan pour une contrainte gĂŠomĂŠtrique. Nous pouvons voir que les sites de VoronoĂŻ appartenant Ă des cellules dites contraintes modĂŠlisent parfaitement la frontiĂ¨re du domaine. La gure (d) illustre l'adjacence des cellules de VoronoĂŻ et donne, pour ce cas, la triangulation de Delaunay correspondante.

Algorithme de partitionnement EV

Le terme d'ĂŠnergie

peut ĂŞtre minimisĂŠ avec un algorithme itĂŠratif. Il met

Ă jour le partitionnement en e ectuant des tests sur les frontiĂ¨res entre les di ĂŠrentes cellules. Prenons un entre deux cellules respectivement Ă

â&#x20AC;˘ Finit

Ci et

lignel

Cj , li,j

Cj .

frontiĂ¨re li,j (une arĂŞte frontiĂ¨re entre deux pixels) est adjacent aux ĂŠlĂŠments

appartenant

Nous pouvons alors calculer trois valeurs pour

(la con guration initiale) :

appartient Ă

â&#x20AC;˘ F 1 (Ci

grandit et

rĂŠtrĂŠcit) :

appartiennent Ă

Ci .

â&#x20AC;˘ F 2 (Ci

rĂŠtrĂŠcit et

grandit) :

appartiennent Ă

Cj .

La con guration du partitionnement est mise Ă jour en tenant compte du terme ĂŠnergĂŠtique le plus faible entre

Finit , F1

En itĂŠrant sur le sous-ensemble de cellules, nous minimisons

EV .

F2 .

lignels correspondant aux frontiĂ¨res entre deux

Minimiser

correspond Ă maximiser la compacitĂŠ

des rĂŠgions [Valette 08].

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 6.7 Prise en compte de l'orientation dans les contraintes géométriques : si l'orienta-

tion n'est pas prise en compte, la con guration illustrée en (a) peut se réaliser. Le site

a été calculé à partir d'éléments disposant d'un même attribut sans

prendre en compte l'orientation. Le positionnement de ce site par rapport à la frontière est incorrect. (b) illustre l'adjacence des cellules de Voronoï. La con guration illustrée en (c) prend en compte l'orientation dans le plan pour une caractéristique géométrique. Nous pouvons voir que les sites de Voronoï appartenant à des cellules dites contraintes modélisent parfaitement la frontière du domaine. (d) illustre l'adjacence des cellules de Voronoï et donne la triangulation de Delaunay correspondante.

Julien Dardenne

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Un premier intĂŠrĂŞt de la fonction d'objectif (ĂŠquation 6.3) vient de sa minimisation par des tests locaux (dĂŠcrit par la gure 6.8 et l'algorithme 6.3) avec une complexitĂŠ indĂŠpendante du nombre d'ĂŠlĂŠments initiaux. Un second intĂŠrĂŞt est que le terme d'ĂŠnergie est toujours positif, la convergence de l'algorithme est donc garantie.

EV , nous n'avons pas rĂŠellement besoin de comparer les di ĂŠrentes valeurs globales de F Ă partir des trois possibilitĂŠs Finit , F1 et F2 , lors d'un test ĂŠlĂŠmentaire. Nous avons juste besoin de comparer les valeurs F1 + F2 des cellules qui ont ĂŠtĂŠ modi ĂŠes. Pour calculer rapidement et e cacement le terme

(a)

(b)

(c)

Fig. 6.8 Tests ĂŠlĂŠmentaires de minimisation : (a) la con guration initiale du partitionne-

ment, le lignel et

l1,2

rĂŠtrĂŠcit. (c)

est une frontiĂ¨re entre deux cellules

rĂŠtrĂŠcit et

C2 .

(b)

grandit

grandit.

A n d'augmenter la rapiditĂŠ et la convergence de notre algorithme, nous e ectuons la minimisation en deux ĂŠtapes. La premiĂ¨re ĂŠtape consiste Ă crĂŠer le partitionnement en n'ajoutant aucune contrainte. Cette ĂŠtape a pour e et de distribuer les cellules de faĂ§on homogĂ¨ne. Le site de la cellule est calculĂŠ par rapport Ă son barycentre. Cette ĂŠtape prend n lorsque l'algorithme de minimisation commence Ă converger. La deuxiĂ¨me ĂŠtape consiste Ă ajouter les contraintes pour prĂŠserver les frontiĂ¨res (discrĂ¨tes) du domaine

â&#x201E;Ś.

Typiquement, ce schĂŠma permet de rĂŠduire le

temps de minimisation de l'ordre de 50

les calculs ĂŠtant plus couteux lors de

la seconde ĂŠtape. Un exemple de partitionnement est donnĂŠ dans la gure 6.9 Ă di ĂŠrentes itĂŠrations. Nous pouvons voir en (a) le partitionnement initial. Le partitionnement

sans contrainte

est illustrĂŠ de (b) Ă (e) et

avec contrainte

de (f ) Ă (i).

Nous pouvons voir qu'entre (e) et (f ), seuls les sites appartenant aux cellules coupant la frontiĂ¨re sont modi ĂŠs. Les cellules non contraintes et contraintes s'ajustent lors de cette derniĂ¨re ĂŠtape. Cet algorithme de minimisation Ă plusieurs avantages par rapport Ă la relaxation de Lloyd :

â&#x20AC;˘

Nous conservons un suivi de la frontiĂ¨re entre les cellules en utilisant une simple queue FIFO contenant les

lignels

(arĂŞtes) candidats. La complexitĂŠ de

la boucle sur les ĂŠlĂŠments frontiĂ¨res est linĂŠaire.

â&#x20AC;˘

Notre algorithme de minimisation a une garantie de convergence. De plus, quand l'algorithme est prĂ¨s de la convergence, seulement un sous-ensemble des bords de la frontiĂ¨re, appartenant Ă une cellule, est modi ĂŠ. En e et, certaines cellules ont dĂŠjĂ atteint, localement, leur convergence. Ainsi, pendant une boucle, nous conservons la trace des cellules qui ont ĂŠtĂŠ modi ĂŠes pendant la boucle prĂŠcĂŠdente et nous sommes capables d'ĂŠviter d'ĂŠvaluer un

lignel

lors de la mise Ă jour si les deux cellules voisines n'ont pas ĂŠtĂŠ prĂŠcĂŠdemment changĂŠes. Ce test permet d'ĂŠviter des calculs inutiles et d'augmenter la vitesse du partitionnement.

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

Algorithme 6.3 : Algorithme de partitionnement Données : Le graphe dual de l'espace discret Ω Résultat : Un partitionnement optimisé doté de N ∂O

frontières discrètes

début

sites qui préserve les

Etablir un partitionnement initial où chaque cellule a au moins un élément associé ; Remplir la queue discrètes

Queue1

avec les

lignels

appartenant aux frontières

∂O ;

Vider la queue

répéter

Queue2;

Modi cations = 0;

tant que Queue1 non vide faire Prendre un

lignel

candidat

Queue1;

si le lignel l est frontière à deux cellules i et j et qu'il n'a pas encore été testé dans cette boucle alors Ci

sont les cellules pour lequelles li,j est frontière;

pour les trois con gurations possibles ( gure 6.8) faire pour les deux cellules Ci et Cj , calculer zi et zj faire si La cellule coupe la frontière ∂O alors zk

Le site

éléments frontières

n sinon

Le site

de la cellule

est calculé par rapport aux

Bk ;

est xé comme étant le barycentre de la

cellule;

Comparer les valeurs

Fi + Fj

entre les trois con gurations;

si l'énergie la plus faible ne correspond pas à la con guration initiale alors

Mettre à jour la cellule permettant de minimiser l'énergie; Mettre les

lignels

de l'élément modi é dans la

queue2;

Modi cations++;

n sinon

Mettre le

Permutation de

Queue1

lignel l dans la queue2

jusqu'à Modi cations == 0

Julien Dardenne

Queue2;

;

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f )

(g)

(h)

(i)

Fig. 6.9 Processus de partitionnement uniforme : (a) partitionnement initial ((b) - (e))

ĂŠvolution du partitionnement sans contrainte ((f ) - (i)) avec contrainte.

ValiditĂŠ des cellules Une fois le partitionnement rĂŠalisĂŠ, chaque cellule doit ĂŞtre associĂŠe Ă un site et ce site doit avoir une seule et mĂŞme composante connexe. Une faĂ§on de respecter cette contrainte, aprĂ¨s la convergence de l'algorithme, est d'e ectuer une ĂŠtape de nettoyage des cellules ayant plusieurs composantes connexes et de reprendre l'ĂŠtape de minimisation. Ces deux ĂŠtapes de minimisation et de nettoyage peuvent ĂŞtre rĂŠpĂŠtĂŠes jusqu'Ă satisfaction de la contrainte.

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

Dans nos expĂŠrimentations, la convergence est proche lorsque le nombre d'ĂŠlĂŠments modi ĂŠs entre les

lignels

pendant une itĂŠration est plus petit que 0.1

gure 6.10 montre l'e et de l'ĂŠtape de nettoyage sur un partitionnement comportant un dĂŠfaut (a). La cellule bleue possĂ¨de deux composantes connexes. L'ĂŠtape de nettoyage (b) enlĂ¨ve la plus petite composante connexe, reprĂŠsentĂŠe en blanc, celle-ci n'est plus a ectĂŠe Ă une cellule. AprĂ¨s plusieurs itĂŠrations de l'ĂŠtape de minimisation, la composante dĂŠconnectĂŠe a ĂŠtĂŠ absorbĂŠe par la cellule qui l'englobe (c).

Fig. 6.10 Processus de nettoyage du partitionnement : (a) le partitionnement possĂ¨de

un dĂŠfaut, la cellule bleu possĂ¨de deux composantes connexes (a) une ĂŠtape de nettoyage enlĂ¨ve la plus petite composante connexe, reprĂŠsentĂŠe en blanc, celle-ci n'est plus a ectĂŠe Ă une cellule (c) AprĂ¨s des itĂŠrations supplĂŠmentaires de l'ĂŠtape de minimisation, la composante dĂŠconnectĂŠe a ĂŠtĂŠ absorbĂŠe par la cellule qui l'englobe

Initialisation du partitionnement Nous avons dĂŠcrit prĂŠcĂŠdemment l'algorithme de partitionnement qui permet d'optimiser le positionnement de

sites a n d'approcher un DVC. Une ĂŠtape d'ini-

tialisation doit ĂŞtre rĂŠalisĂŠe pour associer au moins un ĂŠlĂŠment de l'espace discret Ă une cellule de la partition. Nous devons donc fournir Ă cet algorithme une con guration initiale du partitionnement comprenant ses rement

germes dans l'espace discret

â&#x201E;Ś.

sites. Nous plaĂ§ons alĂŠatoi-

Chaque germe correspond alors Ă une

cellule distincte contenant un ensemble d'ĂŠlĂŠments connexes. Les ĂŠlĂŠments restants appartiennent Ă aucune cellule, ce qui est ĂŠquivalent Ă associer ces ĂŠlĂŠments dans

â&#x201E;Ś, Ă cette ĂŠtape, possĂ¨de N + 1 cellules : N cellules contenant un germe, correspondant Ă un ensemble d'ĂŠlĂŠment V connexe, et la cellule

une cellule vide. L'espace discret

nulle contenant les autres ĂŠlĂŠments. Pour commencer le processus d'optimisation du partitionnement, une ĂŠtape d'initialisation, basĂŠe sur un algorithme glouton , est utilisĂŠe. Pour chaque germe, nous choisissons alĂŠatoirement un ĂŠlĂŠment libre

(un

ĂŠlĂŠment qui n'a ĂŠtĂŠ prĂŠcĂŠdemment associĂŠ Ă aucune cellule) et nous dĂŠveloppons la cellule autour de

en absorbant les ĂŠlĂŠments libres qui sont adjacents. L'optimisa-

tion du partitionnement peut maintenant commencer. Pour chaque Ă deux cellules

Cj ,

lignel l, adjacent

nous e ectuons un test avant le calcul de l'ĂŠnergie pour les

trois con gurations possibles : si l'un des deux ĂŠlĂŠments appartient Ă la cellule vide, elle est attribuĂŠe automatiquement Ă l'autre cellule, sans aucun calcul d'ĂŠnergie.

Julien Dardenne

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Dans le cadre d'un partitionnement adaptif, une carte de densitĂŠ

Ď (x) est utilisĂŠe

pour spĂŠci er la densitĂŠ des cellules dans les di ĂŠrentes rĂŠgions de l'espace discret. L'initialisation du partitionnement doit alors ĂŞtre adaptative pour une convergence plus rapide de l'algorithme d'optimisation du partitionnement. AprĂ¨s l'initialisation, les rĂŠgions de l'espace discret, avec une densitĂŠ ĂŠlevĂŠe, devraient contenir plus de cellules que les rĂŠgions de densitĂŠ plus faible. Pour initialiser le partitionnement de maniĂ¨re adaptatif, les cellules sont distribuĂŠes selon la fonction de densitĂŠ

Ď (x).

Dans ce but, nous calculons d'abord la densitĂŠ moyenne globale des cellules :

D= oĂš

1 XN Ď j N j=1

(6.9)

est le nombre de cellules dĂŠsirĂŠs. Cette densitĂŠ correspond Ă la densitĂŠ

moyenne accumulĂŠe que chaque cellule devrait avoir Ă la n du processus d'optimisation. L'algorithme 6.4 prend alors en compte cette densitĂŠ. Les cellules sont dĂŠveloppĂŠes jusqu'Ă obtenir la densitĂŠ souhaitĂŠe. Cette approche permet d'obtenir un partitionnement de

â&#x201E;Ś

par approximation d'un DVC. Les

futurs, sommets

du maillage, peuvent ĂŞtre distribuĂŠs, de faĂ§on uniforme, ou adaptĂŠs en prenant en compte une fonction de densitĂŠ

Ď (x).

Ce dernier point sera dĂŠtaillĂŠ dans la partie

suivante.

Algorithme 6.4 : Initialisation d'un partitionnement avec N DonnĂŠes : Un espace discret â&#x201E;Ś et N cellules Ă initialiser RĂŠsultat : Un partitionnement initial de N + 1 cellules dĂŠbut

cellules.

Construire un tableau d'accĂ¨s alĂŠatoire aux ĂŠlĂŠments ;

Calculer la densitĂŠ moyenne des cellules Ă partir de la carte de densitĂŠ

Ď ;

tant que Tous les ĂŠlĂŠments n'ont pas ĂŠtĂŠ visitĂŠs et que toutes les cellules n'ont pas ĂŠtĂŠ engendrĂŠes faire Choisir un ĂŠlĂŠment libre

pour V faire

n'appartenant pas Ă une cellule;

Cet ĂŠlĂŠment devient le germe d'une nouvelle cellule

Ci ;

Cette cellule grandit jusqu'Ă obtenir la densitĂŠ dĂŠsirĂŠe en

absorbant des ĂŠlĂŠments libres initialement adjacents Ă

n si il reste des cellules non engendrĂŠes alors

Choisir alĂŠatoirement un ĂŠlĂŠment qui est attribuĂŠ pour chaque cellule

non engendrĂŠe.;

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

6.2.3

Génération des éléments du maillage

Une fois le DVC approché, nous pouvons commencer la génération du maillage. Cette génération du maillage est obtenue en utilisant la dualité géométrique entre un diagramme de Voronoï et la triangulation de Delaunay. Nous utilisons l'approche variationnelle pour regrouper des voxels par approximation d'un Diagramme de Voronoï Centroïdal discret puis nous obtenons le maillage tétraédrique en construisant le dual. Le passage au dual nécessite la résolution d'ambiguïtés liées au partitionnement d'un espace discret. Notre approche de génération du maillage se décompose en trois étapes :

•

Obtention de l'ensemble des tétraèdres admissibles à partir du DVC.

•

Propagation par front d'onde des éléments du maillage à partir de l'ensemble dé ni précédemment.

•

Résolution des ambiguïtés dues au DVC discret.

Ambiguïtés inhérentes au DVC discret Notre algorithme de partitionnement crée une approximation du diagramme de Voronoï mais deux types d'ambiguïtés inhérentes au partitionnement d'un espace discret sont alors recensées dans les con gurations suivantes :

•

Quatre cellules possèdent un cycle de longueur 4 et aucun cycle interne de longueur 3.

•

Quatre cellules possèdent un cycle de longueur 4 et plus de deux cycles internes de longueur 3.

Ces ambiguïtés sont analogues au cas continu où des points du diagramme de Voronoï sont cocycliques. La première ambiguïté produit une insu sance du nombre d'arêtes et la seconde un surplus ( gure 6.11). Il en résultera un manque ou un surplus de tétraèdres dans les zones d'ambiguïtés du maillage généré. On notera que ces ambiguïtés peuvent être voisine et donner d'autre cas d'ambiguïtés. Les sites des cellules de Voronoï

constituent les sommets de notre maillage. Les relations

d'adjacence entre les cellules de Voronoï permettent de construire l'ensemble

des

tétraèdres admissibles.

Obtention de l'ensemble des tétraèdres admissibles La première phase de l'algorithme calcule l'ensemble des tétraèdres admissibles

Γ.

L'obtention de

nécessite trois étapes :

•

Création d'un graphe d'adjacence

•

Recherche des cycles dans le graphe d'adjacence des faces possibles

•

des cellules du DVC.

pour établir l'ensemble

Θ.

Création de l'ensemble des tétraèdres admissibles

Γ a partir de l'ensemble Θ.

La première étape concerne donc la création d'un graphe d'adjacence

Ψ portant

sur les cellules du DVC. Ce graphe est obtenu en parcourant les éléments du volume discret

Ω

(algorithme 6.5).

Julien Dardenne

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASÉE SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOÏ CENTROÏDAUX

(a)

(b)

Fig. 6.11 Illustration des ambiguités 3D : (a) Quatre cellules possèdent un cycle de lon-

gueur 4 et aucun cycle interne de longueur 3, cette première ambiguïté produit une insu sance du nombre d'arêtes (b) Quatre cellules possèdent un cycle de longueur 4 et plus de deux cycles internes de longueur 3, cette seconde ambiguïté produit un surplus d'arêtes.

Algorithme 6.5 : Création d'un graphe d'adjacence Ψ portant des cellules du DVC

Données : Un DVC discret constitué de N sites zi Résultat : Un graphe d'adjacence Ψ(V, E) du DVC discret début

zi du DVC; pour Chaque arête appartenant au graphe dual G faire Obtenir les pointels pa et pb de l'arête; Identi er les attributs des pointels ia et ib ; si ia ! = ib et l'arête ea,b n'existe pas alors Créer l'arête ea,b du graphe d'adjacence Ψ; Créer les sommets

du graphe à partir des sites

Julien Dardenne

6.2. NOTRE APPROCHE

On dispose maintenant d'un graphe

Î¨(V, E). V

est l'ensemble des sommets et

est l'ensemble des arĂŞtes du graphe. La seconde ĂŠtape consiste a e ectuer une

Î¨

recherche de cycle minimum dans le graphe possibles

Î&#x2DC;.

pour ĂŠtablir l'ensemble des faces

Nous rappelons la dĂŠ nition d'un cycle dans le cas gĂŠnĂŠral.

De nition 6.1. Un cycle dans le cas gĂŠnĂŠral est dĂŠ ni par un ensemble d'arĂŞtes

{e1 , ..., en } distinctes deux Ă deux, telles que â&#x2C6;&#x20AC;i, â&#x2C6;&#x192;u v w, tel que ei = (u, v) et ei+1 = (v, w), autrement formulĂŠ les arĂŞtes forment un chemin. De plus, on a une fermeture du chemin, e1 = (u, v) en = (w, x) â&#x2020;&#x2019; x = u Par dĂŠ nition un cycle dit minimal est un cycle ĂŠlĂŠmentaire qui ne repasse pas deux fois par un mĂŞme sommet (sauf fermeture du cycle). Nous cherchons Ă obtenir

Î¨.

l'ensemble des cycles minimaux dans le graphe

Il existe plusieurs mĂŠthodes de recherche d'un cycle ĂŠlĂŠmentaire de longueur

dans un graphe. PlaĂ§ons nous dans le cas gĂŠnĂŠral :

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

On cherche un chemin de longueur

Ce chemin est ĂŠlĂŠmentaire : il ne repasse pas deux fois par un mĂŞme sommet ou n'utilise pas deux fois une mĂŞme arĂŞte.

Une mĂŠthode connue pour obtenir ce chemin est la multiplication de matrices

Î¨(V, E) , on ĂŠtablit une matrice d'adjacence A(i,j)â&#x2C6;&#x2C6;{1...V } . Ai,j = 1 si et seulement si (i, j) â&#x2C6;&#x2C6; E . Pour une matrice M = A2 , on se rend compte que Mi,j est ĂŠgal au nombre de chemins de longueur deux entre i et j . d'adjacences. Soit le graphe d'adjacence

En e et,

Mi,j =

Ai,k Ă&#x2014; Ak,j

(6.10)

k=0

Ai,k Ă&#x2014; Ak, j

vaut 1 si et seulement si

Ai,k

Ak,j

valent 1, c'est Ă dire que

(i, j, k) est un chemin de longueur 2 de i Ă j . Donc ce produit est ĂŠgal au nombre de k fois pour obtenir, pour chaque couple (i, j), le nombre de chemins de longueur k qui relient i Ă j . Cependant, avec

ces chemins. On peut ainsi recommencer le processus

ce type d'approche, on n'obtient pas des chemins ĂŠlĂŠmentaires. En e et, les chemins obtenus peuvent repasser par les mĂŞmes sommets. Par exemple, si Ă une ĂŠtape, on obtient

Mi,i = 1,

on a une boucle de retour sur

chemins qui bouclent sur

k. A i Ă ces voisins, seront des

pour un chemin de longueur

l'ĂŠtape suivante, certains des chemins, ĂŠtablis pour aller de

Pour rĂŠsoudre ce problĂ¨me, la diagonale de la matrice

est mise Ă zĂŠro. Cela ĂŠvite de repasser par un mĂŞme point. Dans [Zwick 97], les

k -cycle. Ils dĂŠmontrent aussi la 2â&#x2C6;&#x2019; k2 ) pour des cycles pairs de O(m

auteurs proposent un algorithme de recherche de

complexitĂŠ de leur algorithme. La complexitĂŠ est 2 2â&#x2C6;&#x2019; k+1 et O(m ) pour des cycles de longueur impaire. On donne ici les points clĂŠs de l'algorithme :

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

Chercher tous les chemins de longeur

k + 1.

Utiliser la thĂŠorie des sous-collections reprĂŠsentatives : crĂŠer des sous-ensembles qui s'intersectent entre eux si et seulement si les ensembles de dĂŠpart s'intersectent. Cette thĂŠorie est utilisĂŠe pour trouver des chemins qui n'intersectent qu'en leur extrĂŠmitĂŠs, on obtient ainsi des cycles par recollement des chemins.

Julien Dardenne

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Cet algorithme permet d'obtenir l'ensemble des cycles triangulaires minimaux du graphe.

Î&#x201C;Ă Î&#x2DC;. Pour cela, nous essayons de former des tĂŠtraĂ¨dres en utilisant un graphe d'adjacence de l'ensemble des faces possibles Î&#x2DC;. Cet ensemble Î&#x201C; donne, pour une face f , les sommets possibles pour construire un tĂŠtraĂ¨dre. Si le DVC La derniĂ¨re ĂŠtape consiste Ă obtenir l'ensemble des tĂŠtraĂ¨dres admissibles

partir de l'ensemble

ne possĂ¨de pas d'ambiguĂŻtĂŠs, le nombre de sommets est ĂŠgal Ă deux pour une face interne et Ă un pour une face externe. Une face externe est une face appartenant Ă la frontiĂ¨re

â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś .

Une face interne est situĂŠ Ă l'intĂŠrieur du domaine

â&#x201E;Ś.

Dans le cas oĂš

le DVC comporte des ambiguĂŻtĂŠs, le nombre de sommets pour une face donnĂŠe est supĂŠrieur Ă un pour une face externe et Ă deux pour une face interne.

Î¨ (a), l'ensemble des faces possibles Î&#x201C; (c). Ce dernier ensemble est utilisĂŠ

La gure 6.12 montre le graphe d'adjacence

Î&#x2DC;

(b) et l'ensemble des tĂŠtraĂ¨dres admissibles

par la suite pour gĂŠnĂŠrer le maillage Ă l'aide d'un algorithme de propagation par front d'onde.

Structure du maillage GĂŠnĂŠralement, dans une mĂŠthode de propagation par front d'onde, deux maillages sont prĂŠsents simultanĂŠment en mĂŠmoire :

â&#x20AC;˘

un maillage de fond.

â&#x20AC;˘

un maillage en cours de gĂŠnĂŠration.

Les deux sont structurĂŠs Ă l'identique, Ă la di ĂŠrence prĂ¨s de la structure des ĂŠlĂŠments. Dans notre approche, nous utilisons une structure de fond composĂŠe du front d'onde et de l'ensemble des tĂŠtraĂ¨dres admissibles

Î&#x201C;,

ainsi que du maillage en

cours de gĂŠnĂŠration. Les informations essentielles sont les coordonnĂŠes des points (correspondants aux sites du DVC) et la description des ĂŠlĂŠments en termes de sommets (les cellules du DVC). Un maillage a la structure suivante :

â&#x20AC;˘

Le nombre de points et de tĂŠtraĂ¨dres du maillage.

â&#x20AC;˘

Le tableau correspondant aux trois coordonnĂŠes du maillage.

â&#x20AC;˘

Le tableau des tĂŠtraĂ¨dres du maillage (leurs quatre sommets).

Dans la gure 6.13, nous avons reprĂŠsentĂŠ les liens entre les structures gĂŠomĂŠtriques utilisĂŠes pour la gĂŠnĂŠration du maillage Ă l'aide d'une structure de fond.

Propagation par front d'onde Nous utilisons un algorithme de propagation par front d'onde (algorithme glouton ) pour construire le maillage en utilisant les tĂŠtraĂ¨dres de adjacents sont sĂŠlectionnĂŠs dans une rĂŠgion de

Î&#x201C;

Î&#x201C;.

Deux tĂŠtraĂ¨dres

sans ambiguĂŻtĂŠ. Le front est crĂŠĂŠ

avec les faces externes des deux tĂŠtraĂ¨dres construits. Nous ajoutons ensuite des tĂŠtraĂ¨dres jusqu'Ă ce que le front coĂŻncide avec

CritĂ¨res de validitĂŠ :

â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś .

Ces critĂ¨res permettent d'assurer la conformitĂŠ du maillage

Ă chaque crĂŠation d'un nouvel ĂŠlĂŠment.

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6.2. NOTRE APPROCHE

(a)

(b)

(c)

Fig. 6.12 Illustration du processus d'obtention de l'ensemble des tétraèdres admissibles :

(a) le graphe d'adjacence des tétraèdres admissibles

Ψ (b) l'ensemble des faces possibles Θ (c) l'ensemble Γ. Ce dernier comporte une ambiguïté qui se traduit

par une absence de tétraèdre sur une face de la boite.

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CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Fig. 6.13 Organisation des structures gĂŠomĂŠtriques : En trait plein, les rĂŠfĂŠrences au

maillage volumique. En pointillĂŠs, les rĂŠfĂŠrences aux structures de fond permettant la gĂŠnĂŠration du maillage.

De nition 6.2. Un tĂŠtraĂ¨dre est valide si les trois conditions suivantes sont rem-

plies : 1. le volume du tĂŠtraĂ¨dre est strictement positif ; 2. le tĂŠtraĂ¨dre n'intersecte pas le front ; 3. l'intĂŠrieur du tĂŠtraĂ¨dre ne contient aucun point ;

La condition 1 est vĂŠri ĂŠe, l'orientation et la dĂŠ nition des faces ĂŠtant assurĂŠes par l'algorithme. La condition 2 se rĂŠsume Ă vĂŠri er que les arĂŞtes crĂŠĂŠes n'intersectent aucun ĂŠlĂŠment voisin. Dans notre cas, les faces comportant des ambiguĂŻtĂŠs ne sont pas insĂŠrĂŠes. Dans ce cas, la condition 3 n'est pas Ă vĂŠri er car les points de la triangulation sont les sites

du DVC. La gure 6.14 illustre le processus de

propagation par front d'onde.

RĂŠsolution des ambiguĂŻtĂŠs AprĂ¨s la phase de propagation, les ambiguĂŻtĂŠs induites par le DVC ont crĂŠes des lacunes dans le maillage volumique ( gure 6.15). Nous avons estimĂŠ ce dĂŠ cit Ă 10% du nombre total de tĂŠtraĂ¨dres. Nous dĂŠtectons ces artefacts en recherchant les faces internes ne possĂŠdant qu'un seul tĂŠtraĂ¨dre. Nous considĂŠrons des groupes, de 6 faces ou plus, voisines car elles permettent un remaillage local. Nous utilisons un algorithme de type glouton pour dissocier les di ĂŠrents groupes. Finalement, pour les trianguler, nous utilisons, localement, une transformation topologique et/ou une triangulation de Delaunay contrainte.

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6.2. NOTRE APPROCHE

Algorithme 6.6 : Propagation par front d'onde Données : L'ensemble des tétraèdres admissibles Γ et le DVC Résultat : Un maillage tétraédrique du domaine discret Ω Créer les sommets

du maillage tétraédrique à partir des sites

du DVC;

pour Chaque face f appartenant à l'ensemble des tétraèdres admissibles Γ faire si Deux tétraèdres sont adjacents à f alors Créer les deux tétraèdres; Remplir la queue

F ront

avec les faces externes des deux tétraèdres

construits;

tant que F ront non vide faire Prendre une face candidate

F ront;

si la face f ne comporte aucune ambiguïtés et cette face n'appartient pas à deux tétraèdres alors Tester l'orientation du futur tétraèdre;

si le futur tétraèdre est adjacents à f alors Créer le tétraèdre; Remplir

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F ront

avec les faces externes du tétraèdre

construit;

CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASÉE SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOÏ CENTROÏDAUX

Fig. 6.14 Illustration du processus de propagation par front d'onde. A gauche de l'ima-

gette, la génération des éléments du maillage. A droite de l'imagette, l'avancement du front.

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6.2. NOTRE APPROCHE

(a)

(b)

(c)

Fig. 6.15 Illustration des ambiguĂŻtĂŠs dues Ă un DVC discret : (a) partitionnement discret

(b) maillage comportant des ambiguĂŻtĂŠs (c) reprĂŠsentation des ambiguĂŻtĂŠs.

Utilisation de patrons

Si le nombre de sommets du groupe est infĂŠrieur ou

ĂŠgale Ă six, nous pouvons procĂŠder Ă une dĂŠcomposition tĂŠtraĂŠdrique en utilisant un systĂ¨me de patrons. La gure 6.16 donne les patrons utilisĂŠs. Lors de cette dĂŠcomposition, nous cherchons Ă maximiser la qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments gĂŠnĂŠrĂŠs selon un critĂ¨re de qualitĂŠ donnĂŠ.

Triangulation de Delaunay Contrainte

Lorsque le nombre de sommets est

supĂŠrieur Ă six, la dĂŠcomposition devient complexe. Nous utilisons alors une triangulation de Delaunay Contrainte. Cette triangulation est rĂŠalisĂŠe grĂ˘ce Ă l'algorithme proposĂŠ par Si et GĂ¤rtner [Si 05a]. Les donnĂŠes d'entrĂŠe de cet algorithme sont les groupes de lacunes qui ont plus de six sommets. L'algorithme a ĂŠtĂŠ implĂŠmentĂŠ par Si et GĂ¤rtner dans un code C++ (TetGen), que nous utilisons.

6.2.4

IntĂŠgritĂŠ de la frontiĂ¨re

Il est nĂŠcessaire de rappeler que l'algorithme ne peut pas identi er la frontiĂ¨re du domaine aprĂ¨s le partitionnement. Il peut seulement identi er un ensemble de sommets qui appartient ou n'appartient pas Ă la frontiĂ¨re du domaine. Il en rĂŠsulte des ambiguĂŻtĂŠs topologiques sur la frontiĂ¨re. La gure 6.17 illustre une ambiguĂŻtĂŠ ( un pic ) au niveau du front. Une arĂŞte voisine Ă quatre tĂŠtraĂ¨dres est perpendiculaire Ă la frontiĂ¨re. Dans notre approche, chaque tĂŠtraĂ¨dre est allouĂŠ Ă un objet en comptabilisant les voxels qu'il contient. Si des voxels appartiennent Ă deux objets di ĂŠrents, le tĂŠtraĂ¨dre est allouĂŠ Ă la classe dominante. Le processus d'allocation permet alors de rĂŠsoudre les ambiguĂŻtĂŠs topologiques en dĂŠtectant les tĂŠtraĂ¨dres appartenant initialement Ă deux rĂŠgions distinctes du domaine. Nous procĂŠdons alors Ă une transformation topologique pour corriger la frontiĂ¨re du domaine. Ces transformations sont prĂŠsentĂŠes dans la section 6.3. Un exemple 2D du processus est illustrĂŠ par la gure 6.18.

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CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASÉE SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOÏ CENTROÏDAUX

Fig. 6.16 Patrons utilisés pour résoudre les ambiguïtés lorsque

n≤6

Fig. 6.17 Illustration d'une ambiguïté topologique sur la frontière

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6.2. NOTRE APPROCHE

(a)

(b)

(d)

(c)

(e)

Fig. 6.18 Illustration du processus de restauration : (a) image composée de deux régions

(b) la triangulation obtenue possède une ambiguïté topologique : les triangles

appartiennent à deux régions (c) la restauration de la frontière est

réalisée par le basculement d'une arête (d) En 3D, un ensemble de tétraèdres appartient à deux régions (e) la restauration de la frontière est réalisée par une transformation topologique 4-4 ( gure 6.19).

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CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASÉE SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOÏ CENTROÏDAUX

6.2.5

Qualité géométrique d'une T.V.C

Les approches de type Voronoï-Delaunay reposent sur des bases mathématiques solides. Dans le plan, la triangulation de Delaunay permet d'obtenir une bonne triangulation (triangles quasi équilatéraux) si les points sont bien répartis. En trois dimensions, un critère équivalent pour l'angle solide entre deux faces, n'est pas véri é et la triangulation de Delaunay ne conduit pas forcément à un bon maillage.

La fonction d'énergie

(équation 6.2) à minimiser a des propriétés théoriques

intéressantes, mais il n'y a aucun résultat théorique portant sur la qualité des éléments générés en minimisant cette fonctionnelle. L'approche utilisée, pour résoudre les ambiguïtés du DVC, fait appel à une triangulation de Delaunay contrainte. Dès lors que l'on souhaite obtenir une triangulation qui respecte la frontière, force est de constater qu'il faut quitter cette théorie et qu'un certain nombre d'éléments plats

slivers ) peuvent être générés.

(

6.3 Optimisation topologique Dans cette section, nous présentons notre algorithme original d'optimisation. Nous utilisons un ensemble de modi cations topologiques du maillage pour augmenter sa qualité. Nous ne procédons pas à des insertions ou suppressions de sommets, mais nous modi ons la connectivité de ces sommets (bascules d'arêtes en 2D). Les transformations

3−2

2−3

sont présentées dans [Shewchuk 02a, George 03]. En

trois dimensions, ces opérations peuvent ajouter ou supprimer des arêtes ou des faces et peuvent modi er le nombre de tétraèdres. Nous notons ces transformations par le nombre de tétraèdres ( gure 6.19) à l'origine

sous la forme

•

m−n

m et le nombre de tétraèdres à l'arrivée

La transformation 3-2 porte sur la con guration formée par trois tétraèdres partageant une même arête. On notera que cette transformation peut être généralisée sur

m tétraèdres partageant une même arête. Dans ce cas le cycle

des tétraèdres autour de cette arête forme un polygone qui est ensuite triangulé. Les faces de cette triangulation sont associées aux sommets de l'arête pour former la nouvelle con guration qui est de

2m − 4

tétraèdres. Cette

transformation topologique supprime une arête et ajoute une ou plusieurs faces [Shewchuk 02a].

•

La transformation 2-3 est l'inverse de la transformation 3-2. On notera que cette transformation peut être étendue à son voisinage. L'extension consiste à regarder si les tétraèdres des faces voisines de la face courante forment un polyèdre convexe. Notons que cette transformation topologique supprime une ou plusieurs faces et construit une arête [Shewchuk 02a].

•

La transformation 5-4 permet de supprimer les mauvais éléments nommés

slivers . Elle supprime le tétraèdre adjacent aux quatre autres et les oriente

dans le même sens. Cette bascule n'existe pas dans la littérature. Ce type de transformation peut se résumer à une transformation 3-2 qui prend en compte l'ensemble des tétraèdres adjacents à un tétraèdre en sélectionnant la meilleure con guration possible.

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6.3. OPTIMISATION TOPOLOGIQUE

Fig. 6.19 Transformations topologiques notĂŠes 5-4, 2-3 et 3-2

L'algorithme 6.7 d'optimisation topologique nĂŠcessite les opĂŠrations suivantes. Une queue de prioritĂŠ

Q(i,qual) est crĂŠĂŠe, elle est constituĂŠe d'un ensemble d'ĂŠlĂŠments i qual associĂŠ Ă l'ĂŠlĂŠment i ou un ĂŠlĂŠment voisin de i. L'ĂŠlĂŠment

et de l'indice de qualitĂŠ

i choisi ĂŠtant toujours celui ayant le moins bon facteur de forme. La queue de prioritĂŠ contient tous les ĂŠlĂŠments du maillage ne satisfaisant pas ce critĂ¨re. Les ĂŠlĂŠments placĂŠs dans la queue de prioritĂŠ sont de di ĂŠrents types selon la transformation topologique e ectuĂŠe :

â&#x20AC;˘

Ils correspondent aux faces pour une transformation 2-3.

â&#x20AC;˘

Ils correspondent aux arĂŞtes pour une transformation 3-2.

â&#x20AC;˘

Ils correspondent aux tĂŠtraĂ¨dres pour une transformation 5-4.

Les opĂŠrations topologiques sont rĂŠalisĂŠes jusqu'Ă l'obtention de la qualitĂŠ souhaitĂŠe selon un critĂ¨re donnĂŠ, ou lorsque aucune nouvelle transformation ne peut plus ĂŞtre e ectuĂŠe. Les quatre transformations topologiques sont su santes pour l'amĂŠlioration de la qualitĂŠ du maillage. L'apport de ces transformations sera dĂŠmontrĂŠ par des exemples numĂŠriques divers dans la derniĂ¨re partie de ce manuscrit.

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CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASĂ&#x2030;E SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAUX

Algorithme 6.7 : Algorithme d'optimisation du maillage par transformations topologiques.

DonnĂŠes : Un maillage tĂŠtraĂŠdrique du domaine discret â&#x201E;Ś RĂŠsultat : Un maillage tĂŠtraĂŠdrique du domaine discret â&#x201E;Ś optimisĂŠ dĂŠbut Calculer la qualitĂŠ des tĂŠtraĂ¨dres par rapport aux ĂŠlĂŠments

(arĂŞtes ou

faces selon la transformation);

pour chaque ĂŠlĂŠment i du maillage (arĂŞtes ou faces selon la transformation) faire Trouver le tĂŠtraĂ¨dre de plus mauvaise qualitĂŠ

Told

parmis les voisins de

si la qualitĂŠ de Told ne satisfait pas le critĂ¨re dĂŠsirĂŠ alors n

InsĂŠrer l'ĂŠlĂŠment dans la queue de prioritĂŠ

Q(i,qual) ;

n tant que Q(i,qual) non vide et des transformations sont rĂŠalisables faire Prendre un ĂŠlĂŠment candidat

Qold

Q(i,qual) ;

qual;

Appliquer la transformation topologique pour les tĂŠtraĂ¨dres voisins de

i; Calculer la qualitĂŠ

Qnew

du tĂŠtraĂ¨dre de plus mauvaise qualitĂŠ

Tnew

pour cette nouvelle con guration;

si Qnew >Qold alors

E ectuer la transformation topologique;

si Qnew est infĂŠrieur au critĂ¨re d'optimisation xĂŠ alors

InsĂŠrer les ĂŠlĂŠments de

Tnew

dans

Q(i,qual) ;

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6.4. SCHÉMA DU MAILLEUR

6.4 Schéma du mailleur On résume ici les étapes de construction du maillage ( gure 6.20) : 1 Création du graphe dual et identi cation des frontières à partir du domaine discret

Ω.

2 Distribution de

sites par approximation d'un DVC en utilisant une ap-

proche variationnelle. 3 Création d'un graphe d'adjacence à partir des cellules du DVC. 4 Recherche de cycles triangulaires dans le graphe d'adjacence. 5 Obtention de l'ensemble des tétraèdres admissibles à partir du graphe d'adjacence. 6 Maillage par propagation d'un front d'onde. Tant que le front n'est pas vide, créer un élément :

•

Choix d'une face d'un front.

•

Test de validité et si validité, création de l'élément.

•

Mise à jour du maillage et du front.

7 Résolution des ambiguïtés et allocation à la classe dominante. 8 Analyse de la qualité du maillage. 9 Optimisation topologique éventuelle du maillage

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CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASÉE SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOÏ CENTROÏDAUX

Fig. 6.20 Schéma du mailleur

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6.4. SCHĂ&#x2030;MA DU MAILLEUR

Conclusion Nous avons dĂŠcrit toutes les ĂŠtapes de la nouvelle mĂŠthode que nous proposons. La gĂŠnĂŠration du maillage peut se heurter Ă des ambiguĂŻtĂŠs induites par le partitionnement d'un espace discret, mais des remĂ¨des ont ĂŠtĂŠ trouvĂŠs. En n, bien que le cadre des DVC apporte un positionnement optimal des sommets du maillage et que de nombreux contrĂ´les soient e ectuĂŠs lors du processus de gĂŠnĂŠration des ĂŠlĂŠments pour assurer sa qualitĂŠ, nous avons vu qu'il est souhaitable d'adjoindre Ă la mĂŠthode proposĂŠe une ĂŠtape d'optimisation topologique du maillage. Dans la partie suivante, nous construisons des cartes de densitĂŠs a n d'obtenir des maillages non plus uniformes mais adaptĂŠs. L'approche 2D a ĂŠtĂŠ prĂŠsentĂŠe au colloque national GRETSI

Dardenne et al., 2009d]. Les rĂŠsultats complets ont ĂŠtĂŠ prĂŠsentĂŠs Ă la confĂŠrence Computer Graphic International (CGI) et publiĂŠs dans la revue internationale The Visual Computer , [Dardenne et al., 2009a]. [

Dans le cadre de la simulation ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique, il est prĂŠfĂŠrable de gĂŠnĂŠrer des maillages isotropes, dont la taille des ĂŠlĂŠments est localement adaptĂŠe, en fonction de critĂ¨res physiques ou gĂŠomĂŠtriques. Cependant, il est impossible de gĂŠnĂŠrer le maillage

idĂŠal, sans connaissance, a priori, sur la solution du problĂ¨me traitĂŠ.

Nous proposons, dans ces travaux, de construire un maillage en utilisant uniquement un

a priori

gĂŠomĂŠtrique.

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CHAPITRE 6. TRIANGULATION BASÉE SUR LES DIAGRAMMES DE VORONOÏ CENTROÏDAUX

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III

Adaptation de maillages volumiques

RĂŠsumĂŠ Dans le cadre de nos travaux, les mĂŠthodes de rĂŠsolution des EDP, en ĂŠlectromagnĂŠtique et en thermique, calculent respectivement la solution sur les arĂŞtes et les nĂˇuds du maillage. Selon le nombre et la disposition de ces nĂˇuds, le maillage est plus ou moins bien adaptĂŠ Ă la recherche de la solution pour une prĂŠcision donnĂŠe. En e et, le maillage peut ĂŞtre trop n dans certaines rĂŠgions du domaine alors que dans d'autres rĂŠgions, il peut ĂŞtre trop grossier et ainsi laisser ĂŠchapper des dĂŠtails. La simulation numĂŠrique repose donc sur un compromis entre le coĂťt de calcul engendrĂŠ par le grand nombre de nĂˇuds du maillage et le niveau de prĂŠcision souhaitĂŠ. L'objectif de l'adaptation gĂŠomĂŠtrique du maillage est d'obtenir la prĂŠcision recherchĂŠe pour un coĂťt aussi faible que possible. Lorsque le maillage permet d'approcher la solution en tout point du domaine avec la prĂŠcision recherchĂŠe, on dit qu'il est optimal . L'optimalitĂŠ est atteinte si le nombre de tĂŠtraĂ¨dres du maillage est minimal assurant ainsi un coĂťt calculatoire minimal pour l'obtention de la solution des EDP. Pour atteindre ce but, une adaptation gĂŠomĂŠtrique du maillage est nĂŠcessaire. Cette partie a pour objectif de proposer une adaptation de notre prĂŠcĂŠdente approche de faĂ§on Ă gĂŠnĂŠrer, non plus des maillages uniformes, mais des maillages avec une densitĂŠ de tĂŠtraĂ¨dres adaptĂŠe Ă la gĂŠomĂŠtrie. Nous allons donc passer en revue, dans un premier temps, les mĂŠthodes d'adaptations de maillages. Nous commencerons par dĂŠ nir les notions d'optimalitĂŠ d'un maillage volumique dans le cadre d'une simulation numĂŠrique par la MEF. Dans un second temps, nous nous intĂŠresserons aux mĂŠthodes spĂŠci ques d'approximation de l'axe mĂŠdian, information prĂŠliminaire Ă la mise en Ăˇuvre de notre mĂŠthode de maillage adaptatif. Nous proposons une mĂŠthode originale, bien adaptĂŠe Ă notre problĂŠmatique, d'approximation de l'axe mĂŠdian. Finalement, notre procĂŠdure d'adaptation du maillage volumique sera dĂŠcrite.

Julien Dardenne

Chapitre 7

Etat de l'art de l'adaptation géométrique et physique des maillages volumiques

De nombreuses méthodes peuvent être utilisées à des ns d'optimisation et d'adaptation de maillages tétraédriques. Le contrôle de la taille des éléments est un aspect important de la génération du maillage. L'information portant sur l'adaptation, au niveau de la taille et de l'orientation des éléments, peut être :

• • •

liée au comportement physique du phénomène étudié. apportée par un expert. de nature strictement géométrique.

Le principe de base pour gouverner un algorithme de construction de maillage est la notion de champ de métriques correspondant au problème étudié. Ce champ se traduit par une carte de spéci cations de tailles et/ou de directions (adaptation anisotrope alors dans ce cas) liées, d'une part, à l'analyse des solutions du problème traité via un estimateur d'erreurs approprié et/ou, d'autre part, à des contraintes de nature géométriques.

7.1 Adaptation au comportement physique du phénomène étudié L'adaptation des maillages au comportement physique du phénomène étudié est un moyen de réduire les temps de calcul et d'améliorer la précision des résultats numériques. La génération du maillage est alors gouvernée par ces résultats pour obtenir un nouveau maillage mieux adapté au phénomène physique modélisé. L'idée est alors d'utiliser des algorithmes de maillage gouvernés en les insérant dans une boucle de calculs de simulation numérique par élément nis. Chaque pas de la boucle comprend une phase de génération de maillage, une phase de résolution

CHAPITRE 7. ETAT DE L'ART DE L'ADAPTATION GĂ&#x2030;OMĂ&#x2030;TRIQUE ET PHYSIQUE DES MAILLAGES VOLUMIQUES

pour trouver la solution correspondante, une phase d'analyse de cette solution et, si besoin est, le processus complet est rĂŠpĂŠtĂŠ jusqu'Ă obtention d'une solution de prĂŠcision donnĂŠe (au sens de l'estimateur d'erreur). AprĂ¨s avoir construit un premier maillage selon des critĂ¨res gĂŠomĂŠtriques du domaine ou des critĂ¨res inhĂŠrents Ă la solution approchĂŠe, le maillage peut ĂŞtre modi ĂŠ. Ces modi cations doivent permettre d'adapter le maillage au problĂ¨me simulĂŠ pour le rendre plus e cace (dans le sens plus optimal). On appelle ra nements du maillage ces modi cations. Ces ra nements se font habituellement en fonction d'un opĂŠrateur d'estimation de l'erreur. Si l'erreur due Ă la discrĂŠtisation est infĂŠrieure Ă un certain seuil, alors le mĂŠcanisme d'adaptation est stoppĂŠ et la solution est considĂŠrĂŠe su samment prĂŠcise. Sinon, on construit une carte de l'erreur pour permettre un ra nement local du maillage dans les zones oĂš la prĂŠcision est insu sante. Le ra nement du maillage peut ĂŞtre obtenu par plusieurs mĂŠthodes qui peuvent in uer sur la position des nĂˇuds du maillage (r -adaptation), sur la taille et la topologie du maillage (h-adaptation) ou encore sur l'ordre de la solution (p-adaptation). Ces di ĂŠrentes mĂŠthodes peuvent ĂŞtre combinĂŠes, les combinaisons les plus couramment utilisĂŠes ĂŠtant les stratĂŠgies

hr.

r-adaptation Une stratĂŠgie de ra nement par

r-adaptation

change la position des nĂˇuds

du maillage, sans changer leur nombre ni le nombre de mailles, ou la topologie du maillage. Les nĂˇuds des zones de faible gradient sont dĂŠplacĂŠs vers les zones du domaine Ă fort gradient. On obtient ainsi une forte concentration de points de discrĂŠtisation, et donc une augmentation de la prĂŠcision dans les zones d'intĂŠrĂŞt du domaine. Si le nombre de points de discrĂŠtisation n'est pas su sant pour obtenir la prĂŠcision voulue, alors la mĂŠthode par

r-adaptation

doit ĂŞtre utilisĂŠe en conjonction

avec une mĂŠthode permettant d'augmenter le nombre de nĂˇuds :

hr-adaptation.

h-adaptation Avec la stratĂŠgie

hâ&#x2C6;&#x2019;adaptation,

c'est le nombre d'ĂŠlĂŠments du maillage qui ĂŠvo-

lue. Le ra nement et la simpli cation du maillage permet, respectivement, d'augmenter et de diminuer le nombre d'ĂŠlĂŠments du maillage. Lorsqu'elle est ra nĂŠe, une maille est remplacĂŠe par un certain nombre de mailles plus petites qui couvrent la mĂŞme portion du domaine. Il en rĂŠsulte une augmentation du nombre de points de discrĂŠtisation et donc une augmentation de la prĂŠcision (et inversement quand des mailles sont simpli ĂŠes). Le ra nement peut ĂŞtre appliquĂŠ de maniĂ¨re uniforme Ă l'ensemble des ĂŠlĂŠments du maillage ou bien de maniĂ¨re locale pour un ensemble d'ĂŠlĂŠments sĂŠlectionnĂŠs (ra nement hiĂŠrarchique). Le ra nement hiĂŠrarchique peut ĂŞtre ajoutĂŠ assez facilement Ă un solveur existant, une structure de donnĂŠes hiĂŠrarchique permettant, par exemple, d'e ectuer l'opĂŠration de simpli cation simplement en supprimant localement un niveau de la structure.

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7.2. ADAPTATION DE NATURE STRICTEMENT GĂ&#x2030;OMĂ&#x2030;TRIQUE

p-adaptation Les mĂŠthodes utilisant la stratĂŠgie de ra nement par

p-adaptation

permettent

de faire ĂŠvoluer le degrĂŠ des fonctions d'interpolation utilisĂŠes pour reconstruire la solution sur chaque maille. ConcrĂ¨tement, le nombre de points de discrĂŠtisation par maille peut augmenter dans les zones oĂš la discrĂŠtisation n'est pas assez prĂŠcise par rapport Ă la solution exacte. Ces points supplĂŠmentaires permettent l'utilisation d'un opĂŠrateur d'interpolation d'ordre supĂŠrieur, et donc de se rapprocher de la solution exacte. Il est Ă noter que ces mĂŠthodes ne modi ent pas la topologie du maillage. La convergence, la prĂŠcision et les thĂŠorĂ¨mes d'estimation d'erreurs pour des calculs par ĂŠlĂŠments nis sont liĂŠs au paramĂ¨tre

h. Le paramĂ¨tre h prend en compte

la plus grande arĂŞte d'un tĂŠtraĂ¨dre. Les di ĂŠrents travaux de Frey et al [Frey 01] concernent, en partie, le calcul par ĂŠlĂŠments nis avec contrĂ´le de l'erreur avec une

h-adaptation.

Un estimateur d'erreur doit ĂŞtre crĂŠĂŠ pour ce type d'adaptation.

Cet estimateur, liĂŠ au paramĂ¨tre

permet de dĂŠterminer, sur un maillage tĂŠtra-

ĂŠdrique, l'erreur liĂŠe Ă une connaissance a priori de la solution du problĂ¨me direct du phĂŠnomĂ¨ne physique ĂŠtudiĂŠ. Dans la thĂ¨se de JĂŠrĂŠmie Pescatore [Pescatore 01], une mĂŠthode de construction et d'adaptation (de type

h-adaptation)

est prĂŠsentĂŠe

pour les maillages volumiques tĂŠtraĂŠdriques des tissus de la tĂŞte. Leurs contributions concernent la simulation numĂŠrique de l'activitĂŠ ĂŠlectrique du cerveau Ă partir d'ĂŠlectro-encĂŠphalogramme (E.E.G) et la magnĂŠto-encĂŠphalogramme (M.E.G). Leur estimateur d'erreur permet la rĂŠpartition homogĂ¨ne de l'erreur en connaissant

a priori

la solution du problĂ¨me direct. Pour cela, une solution du problĂ¨me direct

est calculĂŠe Ă partir d'un modĂ¨le sphĂŠrique.

7.2 Adaptation de nature strictement gĂŠomĂŠtrique Des contraintes de nature gĂŠomĂŠtrique peuvent aussi conduire Ă l'adaptation du maillage volumique. Elles permettent d'optimiser le maillage ainsi que la simulation en diminuant le nombre de sommets dans les rĂŠgions continues (Ă l'intĂŠrieur d'un objet) oĂš en les augmentant dans les rĂŠgions proches de la frontiĂ¨re. Ces contraintes gĂŠomĂŠtriques peuvent ĂŞtre prises en compte de di ĂŠrentes maniĂ¨res. Elles nĂŠcessitent une mesure permettant de caractĂŠriser, localement, la frontiĂ¨re de la forme. Cette mesure doit re ĂŠter Ă la fois la courbure de la surface et l'ĂŠpaisseur de la rĂŠgion. Plusieurs techniques ont ĂŠtĂŠ proposĂŠes pour la gĂŠnĂŠration automatique de carte de densitĂŠ pour les maillages. Quadros et al. [Quadros 04] utilisent la gĂŠnĂŠration de l'axe mĂŠdian sur la frontiĂ¨re du domaine pour construire des cartes de densitĂŠ. Alliez et al. [Alliez 05] utilisent la notion de largeur locale (LFS,

Local Feature Size ) introduite

par [Amenta 98a] pour contrĂ´ler la taille des ĂŠlĂŠments gĂŠnĂŠrĂŠs. La

local feature size LF S(x)

d'un point

qui mesure la distance minimale entre

xâ&#x2C6;&#x2C6;S

est une fonction

et l'axe mĂŠdian

M A(S),

LF S : S â&#x2020;&#x2019; R

i.e. :

LF S(x) = minyâ&#x2C6;&#x2C6;M A(S) ||x â&#x2C6;&#x2019; y||

(7.1)

Une reprĂŠsentation de cette mesure est illustrĂŠe dans la gure 7.1. Un inconvĂŠnient de la

LF S

est que l'axe mĂŠdian est trĂ¨s instable par rapport

aux dĂŠtails de la forme. Cela signi e que de petites variations dans la forme peuvent

Julien Dardenne

CHAPITRE 7. ETAT DE L'ART DE L'ADAPTATION GĂ&#x2030;OMĂ&#x2030;TRIQUE ET PHYSIQUE DES MAILLAGES VOLUMIQUES

Fig. 7.1 Axe mĂŠdian d'une forme et largeur locale.

conduire Ă des axes mĂŠdians trĂ¨s di ĂŠrents. L'axe mĂŠdian ne devra donc pas comporter de bruit pour calculer une fonction de densitĂŠ prenant en compte la

LF S .

Nous

donnerons, dans la section suivante, la dĂŠ nition de l'axe mĂŠdian. Nous e ectuerons ensuite un ĂŠtat de l'art des di ĂŠrentes approches d'approximation de l'axe mĂŠdian.

7.3 Etat de l'art des mĂŠthodes d'approximation de l'axe mĂŠdian Au cours de ces quarante derniĂ¨res annĂŠes, l'axe mĂŠdian a ĂŠtĂŠ un sujet de recherche constant. L'axe mĂŠdian d'une forme fournit une reprĂŠsentation compacte de ses caractĂŠristiques gĂŠomĂŠtriques et topologiques. L'axe mĂŠdian a ĂŠtĂŠ proposĂŠ comme un outil en reconnaissance de forme, en reconstruction de surface, dans le contrĂ´le des animations, pour la gĂŠnĂŠration de maillages et dans de nombreuses applications [Bonnassie 01, Jia 07, Chazal 06, Dellas 07]. Une dĂŠ nition concise de l'axe mĂŠdian (ou squelette d'une forme), dans le cas continu, a ĂŠtĂŠ donnĂŠ par Blum [Blum 67]. Celle-ci

grass re analogy ) [Attali 07b].

postule l'analogie bien connue de la prairie en feu (

L'axe mĂŠdian peut aussi ĂŞtre dĂŠ ni, mathĂŠmatiquement, par l'ensemble des centres des cercles maximaux passant par la frontiĂ¨re de la forme. Dans les paragraphes suivants, nous donnons un bref ĂŠtat de l'art des mĂŠthodes d'approximation de l'axe mĂŠdian, dans un contexte continu et discret. Cet ĂŠtat de l'art est loin d'ĂŞtre exhaustif en raison du grand nombre de mĂŠthodes existantes. Ces mĂŠthodes peuvent ĂŞtre classĂŠes en :

100

â&#x20AC;˘

mĂŠthodes utilisant une fonction de distance,

â&#x20AC;˘

ĂŠrosion morphologique,

â&#x20AC;˘

approches de type VoronoĂŻ.

Julien Dardenne

7.3. ETAT DE L'ART DES MĂ&#x2030;THODES D'APPROXIMATION DE L'AXE MĂ&#x2030;DIAN

7.3.1

MĂŠthodes utilisant une fonction de distance

Le lieu des points de l'axe mĂŠdian coĂŻncide avec les singularitĂŠs de la fonction de distance Ă la frontiĂ¨re. Les fonctions de distance ou champ de distance dĂŠ nies pour chaque point la frontiĂ¨re de la forme

x d'une forme S

sont

D(x) = oĂš

par la plus petite distance Ă un point de

min (d(x, y))

(7.2)

xâ&#x2C6;&#x2C6;BS , yâ&#x2C6;&#x2C6;S

est une mĂŠtrique de distance. Les maximums locaux de cette fonction de

distance ou les discontinuitĂŠs de ses dĂŠrivĂŠes indiquent des points de l'axe mĂŠdian [Ge 96]. Dans [Coeurjolly 07a], Coeurjolly et al. prĂŠsentent des algorithmes optimaux d'extraction de l'axe mĂŠdian discret utilisant le carrĂŠ de la transformĂŠe de la distance et la transformation inverse de la distance Euclidienne. Un lien est ĂŠtabli entre la transformĂŠe en distance euclidienne et la construction d'un diagramme de VoronoĂŻ.

7.3.2

Erosion morphologique

L'ĂŠrosion morphologique est basĂŠe sur le principe de la prairie en feu et opĂ¨re successivement par l'ĂŠrosion des points Ă partir de la frontiĂ¨re de l'objet, jusqu'Ă obtention de lignes de points ou l'ĂŠrosion n'est plus possible [Ju 07]. Les algorithmes d'ĂŠrosion opĂ¨rent dans l'espace discret. Ils ont ĂŠtĂŠ utilisĂŠs sur les donnĂŠes pixelliques et voxelliques dans les domaines de la reconnaissance de formes et de l'analyse d'images. RĂŠcemment, ce principe a ĂŠtĂŠ utilisĂŠ dans un volume discret par [Quadros 04].

7.3.3

Approches de type VoronoĂŻ

Il y a aussi beaucoup d'approches basĂŠes sur les diagrammes de VoronoĂŻ dans l'espace continu [Miklos 07]. Un ĂŠtat de l'art de ces di ĂŠrentes approches de construction de l'axe mĂŠdian (et des diagrammes de VoronoĂŻ) est donnĂŠ par Sherbrooke et al. [Sherbrooke 95]. L'approche la plus classique, basĂŠe sur l'extraction des pĂ´les, a ĂŠtĂŠ introduite dans l'algorithme Crust [Amenta 01] pour la reconstruction d'objet.

De nition 7.1. Soit Vp la cellule de VoronoĂŻ d'un point p d'un ensemble P . Alors

le pĂ´le positif p+ est dĂŠ ni comme le sommet de VoronoĂŻ de Vp le plus ĂŠloignĂŠ de p. Le vecteur pp+, appelĂŠ vecteur pĂ´le, fournit une approximation de la direction de la normale en p. Le pĂ´le nĂŠgatif pâ&#x2C6;&#x2019; est dĂŠ ni comme le sommet de la cellule de VoronoĂŻ Vp le plus ĂŠloignĂŠ de p+ dans le sens opposĂŠ au vecteur pp+. Les pĂ´les fournissent une bonne approximation de l'axe mĂŠdian de la surface ĂŠchantillonnĂŠe par

L'axe mĂŠdian (MA,

Medial Axis )

sous-ensemble de la frontiĂ¨re des cellules de VoronoĂŻ pact

est reprĂŠsentĂŠ comme un

dĂŠ ni par un ensemble com-

de points sur la frontiĂ¨re. Les ĂŠlĂŠments de l'axe mĂŠdian sont les ensembles de

points ĂŠquidistants Ă au moins deux points de la frontiĂ¨re et leur union reprĂŠsente une symĂŠtrie locale de la forme.

Julien Dardenne

101

CHAPITRE 7. ETAT DE L'ART DE L'ADAPTATION GÉOMÉTRIQUE ET PHYSIQUE DES MAILLAGES VOLUMIQUES

Plus précisément, il a été montré pour le cas bi-dimensionnel dans [Brandt 92, Fabbri 02] et pour le cas tri-dimensionnel dans [Amenta 01, Dey 03] que, sous certaines conditions d'échantillonnage, et lorsque la distribution de cellules augmente, les sommets du diagramme de Voronoï d'un ensemble de points frontière convergent exactement vers l'axe médian de la forme. Dans le cas continu, l'approximation de l'axe médian à partir de diagramme de Voronoï a été réalisée [Dey 03]. Le Diagramme de Voronoï est déduit de la triangulation de Delaunay puis un ltrage est appliqué sur le DV pour approximer l'axe médian. Dey and Zhao calculent un sous-ensemble d'arêtes et de facettes de Voronoï localisé à l'intérieur de la surface de l'objet et réalisent un ltrage sur des sommets de Voronoï et de leur éléments incidents. Ils utilisent un critère basé sur l'aspect et l'angle d'un élément. Une illustration de ce type d'approche est donnée dans la gure 7.2.

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 7.2 Approximation d'axe médian par une approche de type Voronoï : (a) forme

initiale (b) triangulation de Delaunay (c) son dual, le diagramme de Voronoï (d) représentation de l'axe médian et des pôles à extraire à partir du diagramme de Voronoï.

Dans le cadre discret, l'ensemble des pôles extraits du diagramme de Voronoï d'une surface échantillonnée est très instable par rapport au bruit. Une approche intéressante a été proposé par Chazal et Lieutier [Chazal 05]. Ils ont introduit la notion de

λ-axe médian. Cette approche permet de ltrer l'axe médian pour prendre

en compte qu'un certain niveau de détail.

102

Julien Dardenne

7.3. ETAT DE L'ART DES MĂ&#x2030;THODES D'APPROXIMATION DE L'AXE MĂ&#x2030;DIAN

Orientation choisie L'objectif de ce travail de thĂ¨se est la gĂŠnĂŠration de maillage tĂŠtraĂŠdrique Ă partir d'image 3D, particuliĂ¨rement dans le cadre de l'imagerie mĂŠdicale. L'adaptation gĂŠomĂŠtrique du maillage permet d'obtenir la prĂŠcision recherchĂŠe pour un coĂťt aussi faible que possible. A cet e et, nous avons prĂŠsentĂŠ di ĂŠrentes approches d'adaptation de maillage, existantes dans la littĂŠrature. Dans le cadre de cette thĂ¨se, nous nous sommes aussi intĂŠressĂŠs Ă l'approximation de l'axe mĂŠdian Ă partir de DVC contraint pour rĂŠaliser une adaptation de maillage de nature strictement gĂŠomĂŠtrique. Contrairement au domaine continu, l'approximation de l'axe mĂŠdian Ă partir d'un DVC n'a pas encore ĂŠtĂŠ considĂŠrĂŠe dans une image 3D. Ainsi nous proposons, dans le cadre de cette thĂ¨se, une approximation de l'axe mĂŠdian basĂŠe sur des diagrammes de VoronoĂŻ centroĂŻdaux contraint. Nous allons donc prĂŠsenter notre approche dans le prochain chapitre.

Julien Dardenne

103

CHAPITRE 7. ETAT DE L'ART DE L'ADAPTATION GÉOMÉTRIQUE ET PHYSIQUE DES MAILLAGES VOLUMIQUES

104

Julien Dardenne

Chapitre 8

TVC adaptatif

Notre proposition est de construire le Diagramme de VoronoĂŻ CentroĂŻdal par un partitionnement Contraint (DVCC), oĂš chaque cellule reprĂŠsente potentiellement une partie de l'axe mĂŠdian. La performance de l'approximation de l'axe mĂŠdian est rĂŠduite si la forme d'entrĂŠe est bruitĂŠe. Pour rĂŠsoudre ce problĂ¨me, nous proposons d'e ectuer un ltrage gĂŠomĂŠtrique de la frontiĂ¨re de la forme. La gure 8.1 rĂŠsume notre approche. Elle comprend trois ĂŠtapes :

1 le diagramme de VoronoĂŻ centroĂŻdal (b) de (a) est approchĂŠ par la mĂŠthode dĂŠ nie dans la section 6.2.2, avec, comme contrainte, que les sites soient placĂŠs exclusivement sur la frontiĂ¨re. 2 L'anisotropie des cellules de VoronoĂŻ est mesurĂŠe par une analyse en composantes principales (c). le graphe de VoronoĂŻ discret (d) est extrait Ă partir de (b) par relation de voisinage. 3 Finalement une approximation de l'axe mĂŠdian est crĂŠĂŠe (f ) en ltrant les ĂŠlĂŠments constituant le graphe (e).

8.1 Introduction Les images mĂŠdicales acquisent par un scanner tomographique par rayon X ou par imagerie par rĂŠsonnance magnĂŠtique sont bruitĂŠes. Le calcul de l'axe mĂŠdian nĂŠcessite un temps de calcul important et sa reprĂŠsentation est dense du fait de la prĂŠsence du bruit. Il y a deux challenges pour calculer un axe mĂŠdian avec ce type de donnĂŠes :

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

l'axe mĂŠdian est hautement sensible aux petits dĂŠtails dans la forme, seulement une approximation discrĂ¨te de l'axe mĂŠdian est connue et l'ĂŠchantillonnage est dĂŠpendant de la distribution des points d'entrĂŠe.

105

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f )

Fig. 8.1 Illustration de notre processus d'approximation de l'axe médian : Le diagrame

de Voronoï centroïdal contraint (b) est calculé à partir du modèle orginal (a). L'anisotropie des cellules de Voronoï est mesurée par une analyse en composante principale (c). Le graphe de Voronoï discret (d) est extrait à partir de (b) par relation de voisinage. Finalement une approximation de l'axe médian est créée (f ) en ltrant les éléments constituant le graphe (e).

106

Julien Dardenne

8.1. INTRODUCTION

Dans la gure 8.2 (a), nous considĂŠrons l'axe mĂŠdian d'une forme continue basĂŠ sur le principe de la prairie en feu . Le front de propagation commence en mĂŞme temps en chaque point de la frontiĂ¨re de l'ensemble

B . Il avance Ă une vitesse

constante en ĂŠtant localement perpendiculaire Ă la frontiĂ¨re et le lieu ou plusieurs fronts se rencontrent dĂŠ nis l'axe mĂŠdian. Dans la gure 8.2 (c), du bruit a ĂŠtĂŠ ajoutĂŠ Ă la forme originale et son axe mĂŠdian est calculĂŠ. Nous pouvons observer que l'axe mĂŠdian est trĂ¨s sensible au bruit et qu'une petite variation sur la frontiĂ¨res introduit des barbes sur l'axe mĂŠdian. Cependant, beaucoup d'applications, nĂŠcessitent l'approximation de l'axe mĂŠdian avec des donnĂŠes discrĂ¨tes, tel que celles acquisent avec des scanners mĂŠdicaux. Dans le cas discret, les dĂŠ nitions sont analogues au cas continu. Dans la gure 8.2 (c), nous procĂŠdons dans le cas discret en ajoutant du bruit sur la frontiĂ¨re de la forme. Dans le cas discret, notre approche d'extraction de l'axe mĂŠdian est robuste et la topologie de l'axe mĂŠdian trouvĂŠe est correcte (d).

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig. 8.2 ReprĂŠsentation bi-dimensionnelle de l'axe mĂŠdian de la frontiĂ¨re d'une forme

dans le cas continu ((a)-(b)) et discret ((c)-(d)).

L'axe mĂŠdian d'un objet peut ĂŞtre dĂŠ ni et calculĂŠ par une approche continue ou discrĂ¨te. Dans le premier cas, le squelette est approximĂŠ en utilisant le graphe de VoronoĂŻ d'un ensemble discret d'ĂŠchantillons des frontiĂ¨res de l'objet. Dans le second cas, la topologie discrĂ¨te des images est directement considĂŠrĂŠe et les mĂŠthodes sont basĂŠes soit sur des algorithmes d'amincissement, soit sur des calculs de maxima dans des cartes de distance. Nous proposons une nouvelle approche qui permet de calculer un Graphe de VoronoĂŻ Discret (GVD). Nous utilisons ensuite di ĂŠrents critĂ¨res de ltrage pour obtenir le sous-ensemble du GVD correspondant Ă l'axe mĂŠdian. La gure 8.3 rĂŠsume notre approche. (a) illustre la forme originale. En (b), la frontiĂ¨re

Julien Dardenne

107

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

de la forme est détectée. En (c), nous approchons le DVC contraint de l'image. L'axe médian (d) est extrait à partir du graphe de Voronoï en éliminant les arêtes de Voronoï intersectant la frontière de la forme et selon un critère d'angle.

Fig. 8.3 (a) le graphe primaire de la forme (b) la forme frontière dans son graphe dual

Cette approche est de nature complètement discrète : elle est spécialement conçue pour les données pixelliques et voxelliques. Elle est basée sur une dé nition discrète d'un Diagramme de Voronoï Centroïdal avec contrainte lequel fournit une distribution d'échantillons uniforme ou non uniforme de la frontière de la forme. Nous souhaitons avoir une densité plus importante d'éléments dans les régions complexes et étroites de nos maillages volumiques. Cette densité est nécessaire pour avoir une bonne précision locale dans la méthode par éléments nis. L'axe médian permet de dé nir la carte de densité [Alliez 05] de façon à mailler plus nement certaines régions du domaine d'étude. Cette approche de nature strictement géométrique permet une adaptation du maillage dans le cadre de nos simulations par la MEF.

108

Julien Dardenne

8.2. DIAGRAMME DE VORONOĂ? CENTROĂ?DAL CONTRAINT

8.2 Diagramme de VoronoĂŻ CentroĂŻdal Contraint Nous utilisons l'algorithme de partionnement que nous avons dĂŠtaillĂŠes auparavant dans la section 6.2.2. La frontiĂ¨re de la forme est utilisĂŠe pour initialiser le partitionnement. Le domaine d'ĂŠtude est dĂŠ ni par un ensemble de tĂŠs appartenant Ă la frontiĂ¨re ou non du graphe dual

pointels

ĂŠtique-

La di ĂŠrence majeur avec

la prĂŠcĂŠdente utilisation ( gure 8.4 (a)) de notre algorithme est le choix du site. Il correspond ici au centre de gravitĂŠ des ĂŠlĂŠments frontiĂ¨res contenus dans la cellule (b).

(a)

(b)

Fig. 8.4 Exemples de partitionnement : (a) pour la gĂŠnĂŠration de maillage (b) pour

l'extraction de l'axe mĂŠdian

Nous faisons l'hypothĂ¨se que le facteur d'ĂŠchantillonnage de ce partitionnement est ĂŠlevĂŠ, i.e le rapport entre le nombre de sites du diagramme de VoronoĂŻ et le nombre de sommets frontiĂ¨res est grand. Nous devons alors ĂŠvaluer le nombre optimal de cellules. Si nous avons peu de cellules, il est di cile de dĂŠ nir prĂŠcisĂŠment la forme de l'objet. Dans le cas d'un grand nombre de cellules, des barbes peuvent apparaĂŽtre sur l'axe mĂŠdian. La gure 8.1 (b) montre un exemple de partitionnement contraint sur une forme avec 400 cellules. Nous dĂŠ nissons maintenant les di ĂŠrents graphes extraits du DVCC. La motivation pour cette dualisation est la recherche d'une bonne approximation des cellules de VoronoĂŻ frontiĂ¨res pour une meilleure localisation de l'axe mĂŠdian. Durant la prochaine ĂŠtape, le DVCC doit ĂŞtre transformĂŠ en un graphe de VoronoĂŻ discret.

8.3 Graphe de VoronoĂŻ discret Le graphe de VoronoĂŻ discret (GVD) est un graphe de sommets et d'arĂŞtes qui est un sous-ensemble du DVC. Les points du GVD sont les lieux des points du DVC qui ont au moins trois pixels aves des ĂŠtiquettes di ĂŠrentes et les arĂŞtes sont les lieux des points contenant au moins deux pixels avec des ĂŠtiquettes di ĂŠrentes. Dans le cas discret, nous appelons "ĂŠlĂŠments" du graphe de VoronoĂŻ, les arĂŞtes incidentes

lignels ) venant du DVC, respectivement en 3D, les faces incidentes aux voxels (surfels ). Il y a une large variĂŠtĂŠ d'algorithmes de dĂŠtection de frontiĂ¨res dans aux pixels (

la littĂŠrature. Ils sont gĂŠnĂŠralement conduits par des relations de voisinage.

Julien Dardenne

109

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

Dans la gure 8.5, un exemple de relation de voisinage entre une rĂŠgion de VoronoĂŻ et une triangulation de Delaunay, en deux dimensions, est donnĂŠe dans le

Zi sont joints par une arĂŞte de Ei,j est un ĂŠlĂŠment du graphe cellules de VoronoĂŻ Ci et Cj .

cas continu (a) et discret (b). Les sites de VoronoĂŻ

Delaunay si les rĂŠgions de VoronoĂŻ sont adjacentes. de VoronoĂŻ discret (c) qui est frontiĂ¨re entre les

(a)

(b)

(c)

Fig. 8.5 Illustration du graphe de VoronoĂŻ discret : (a) Triangulation de Delaunay et son

dual, le diagramme de VoronoĂŻ dans le cas continu (b) con guration similaire dans le cas discret (c) le graphe de VoronoĂŻ discret.

8.4 Conditions de ltrage Dans cette partie, nous dĂŠcrivons l'algorithme de ltrage. Il est bien connu que l'axe mĂŠdian est trĂ¨s sensible aux petites perturbations de la frontiĂ¨re de la forme et de nombreuses mĂŠthodes ont ĂŠtĂŠ dĂŠ ni en continu pour supprimer les barbes . [Chazal 05, Hulin 06] et [Attali 07a] donnent un ĂŠtat de l'art de ses approches dans le cas continu. Notre but est d'approcher l'axe mĂŠdian avec un sous-ensemble d'arĂŞte et de facette de VoronoĂŻ. i.e pour dĂŠcider si un sommet donnĂŠ appartient ou n'appartient pas Ă l'axe mĂŠdian. Notre algorithme utilise deux critĂ¨res de sĂŠlection des ĂŠlĂŠments issus du graphe de VoronoĂŻ.

8.4.1

Estimation de l'anisotropie des cellules :

Suivant l'observation gĂŠnĂŠrale que les cellules de VoronoĂŻ sont allongĂŠes par rapport Ă la direction de la normale des points frontiĂ¨res [Amenta 98a]. Notre algorithme mesure l'anisotropie de chaque cellule

a n d'obtenir une mesure de con ance sur

l'estimation de la normale Ă la frontiĂ¨re pour les di ĂŠrentes cellules. Pour chaque cellule

Ci ,

nous calculons sa matrice de covariance

et dĂŠduisons l'anisotropie lo-

cale de la cellule Ă partir de ses valeurs propres [Alliez 07].

peut ĂŞtre vu comme

un tenseur 3 x 3. Les valeurs et vecteurs propres de cette matrice symĂŠtrique, dĂŠ nie positive, correspondent respectivement aux longueurs et aux directions des trois axes d'un ellipsoĂŻde associĂŠ Ă la cellule. Nous pouvons en dĂŠduire l'axe principal Ă partir du vecteur propre associĂŠs Ă la plus grande valeur propre de

110

Mi .

Julien Dardenne

8.4. CONDITIONS DE FILTRAGE

L'anisotropie fractionnelle cellule

F Ai

permet d'ĂŠvaluer l'anisotropie locale de chaque

[Basser 96] :

â&#x2C6;&#x161; 3 F Ai = â&#x2C6;&#x161; 2

q (Îť1i â&#x2C6;&#x2019; Îťi )2 + (Îť2i â&#x2C6;&#x2019; Îťi )2 + (Îť3i â&#x2C6;&#x2019; Îťi )2 q 2 2 2 (Îť1i + Îť2i + Îť3i )

(8.1)

avec :

Îťi = oĂš

Îťj,i j=1,2,3

(Îť1i + Îť2i + Îť3i ) 3

sont les valeurs propres de

Mi ,

avec

(8.2)

Îť1i > Îť2i > Îť3i .

On note que :

0 â&#x2030;¤ F Ai â&#x2030;¤ 1 L'index

F Ai

(8.3)

est nul dans le cas d'une parfaite isotropie (une sphĂ¨re) et unitaire

dans le cas d'une trĂ¨s forte anisotropie (cylindre de longueur in nie). L'augmentation des valeurs

F Ai

indique une forte anisotropie dans le diagramme de VoronoĂŻ ( gure

8.6).

Fig. 8.6 Cellules de VoronoĂŻ extraitent du DVC reprĂŠsentĂŠes par leurs ellipsoĂŻdes ĂŠqui-

valents.

La gure 8.7 (Ă gauche) montre la vue d'une coupe du DVC d'une boite oĂš la frontiĂ¨re du cube dĂŠ nie les frontiĂ¨res de la forme. Dans la gure 8.7 (Ă droite), chaque cellule est remplacĂŠe par son ellipsoĂŻde ĂŠquivalent. L'allongement des ellipsoĂŻdes montre clairement l'anisotropie des cellules du diagramme. Parfois, une cellule peut ĂŞtre isotrope (F Ai proche de 0) et son axe principal n'est pas une approximation de la direction de la normale. Nous dĂŠtectons ces cas avec le test suivant :

d(Ci , zi ) > Îą . Îť1i oĂš

Îť1i

est la valeur propre principale de

Ci , Ci

(8.4) est son barycentre et

Îą

est une

constante arbitraire (lors de nos di ĂŠrentes expĂŠrimentations, nous avons choisi

Îą = 0.6).

Julien Dardenne

111

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

Fig. 8.7 A gauche : coupe d'un diagramme de Voronoï centroïdal contraint d'une boite

contenant 1000 cellules. A droite : chaque cellule est remplacée par son ellïpsoide équivalent. L'anisotropie fractionnelle d'une cellule locale pour chaque cellule

F Ai

montre l'anisotropie

Ci .

Lorsque ce test est vrai pour une cellule, nous estimons la direction de la normale par :

−−→ − → Ci zi Ni = −−→ kCi zi k

(8.5)

Dans la gure 8.8 (b), l'axe principal (entouré) donne une mauvaise approximation de la direction de la normale. Nous calculons alors la direction de la normale comme décrite ci-dessus et nous obtenons alors une approximation exacte de cette direction (c).

(a)

(b)

(c)

Fig. 8.8 (a) diagramme de Voronoï Centroïdal contraint pour une partie de la gure

8.1 (b) estimation de l'axe principal pour chaque cellule (c) après correction, la direction entourée est maintenant estimé correctement.

112

Julien Dardenne

8.4. CONDITIONS DE FILTRAGE

8.4.2

Critère basé sur les pôles

Ce critère est basé sur une estimation de la position des sommets du graphe de Voronoï par rapport à la frontière de la forme

∂o

et la direction de la normale

locale. Nous cherchons à étiqueter les sommets de chaque élément du GVD (arête ou facette) comme

positif

négatif.

Si un élément contient des sommets qui ne

sont pas toujours du même signe, cet élément traverse la frontière de l'objet, il s'ensuit qu'il n'appartient pas à l'axe médian. Dans le cas opposé, tous les éléments avec le même signe sont à l'intérieur de l'objet. Amenta et al. ont été les premiers à proposer la dé nition des pôles [Amenta 98b] et un algorithme ( Powercrust ) [Amenta 01] pour la construction de triangulation manifold à partir d'un nuage de points 3D. Quand la frontière est su samment dense, l'algorithme Powercrust garantit la construction d'une approximation géométriquement et topologiquement correcte. Nous rappellons qu'un ensemble de pôles est un sous-ensemble des sommets de Voronoï. En 2D, tous les sommets du Diagramme de Voronoï convergent vers l'axe médian. En 3D, parfois des sommets du diagramme de Voronoï peuvent être éloignés de l'axe médian mais les pôles convergent vers l'axe médian. Chaque point frontière est associé à deux pôles, notés respectivement par

pi+

pi− . Ces deux pôles sont les

sommets de Voronoï de la cellule la plus éloignées. La frontière est divisée en deux ensembles de pôles : pôles intérieur et extérieur. La dé nition des pôles joue un rôle essentiel dans l'approximation des normales. Quand la frontière est su samment échantillonnée, les cellules de Voronoï apparaissent naturellement anisotropes. Elles sont approximativement perpendiculaires à la frontière de la forme ( gure 8.9).

Fig. 8.9 Si

∂Ω

est su samment échantillonnée, les cellules de Voronoï apparaissent natu-

rellement anisotropes. Elles sont approximativement perpendiculaires à la frontière de la forme.

Notre approche est basée sur une estimation de la position des sommets de Voronoï par rapport à la frontière et une estimation de la direction de la normale. Nous dé nissons un élément discret jacents aux cellules

Cj .

Ei,j

comme un sous-ensemble de sommets ad-

La gure 8.10 représente le graphe de Voronoï et une

estimation de la direction de la normale pour l'ensemble des cellules.

Julien Dardenne

113

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

(a)

(b)

Fig. 8.10 (a) représentation du graphe de Voronoï (b) estimation de la direction de la

normale pour l'ensemble des cellules.

La partie critique consiste à étiqueter chaque sommet de chaque élément

negatif.

Pour chaque élément

Ei,j ,

nous dé nissons un opérateur

f (i, j) = Nous notons son site par

zf (i,j)

selon le signe de

(8.6)

et l'axe principal estimé par

forme. Par cette dé nition, un sommet candidat

negatif

Sf (i,j) (v)

i quand F Ai > F Aj j quand F Aj > F Ai

une bonne approximation de la direction de la normale ou

f(i,j)

v ∈ Ei,j

Nf (i,j) .

Nf (i,j)

Ceci permet

à la frontière de la

pourra être étiqueté

positif

dé ni par :

−−→ −−−→ Sf (i,j) (v) = < − z− f (i,j) v, Nf (i,j) > Sf (i,j) (v)

positif

fournit une information sur

(8.7)

par rapport à la frontière de la forme.

Nous dé nissons alors la première condition de ltrage par :

Ei,j ∈ M A si Sf (i,j) (v1 ).Sf (i,j) (v2 ) ≥ 0, ∀(v1 , v2 ) ∈ (Ei,j ⊗ Ei,j ) Si un élément

Ei,j

contient des sommets

(8.8)

v pour lequel Sf (i,j) (v) n'est pas toujours

du même signe, nous pouvons déduire que cet élément croise la frontière de la forme et, par conséquent, il n'appartient pas à l'axe médian. Dans le cas opposé, tous les éléments avec le même signe appartiennent à un même côté de la frontière. Cependant, avec ce critère, nous ne pouvons pas savoir si un élément est à l'intérieur ou à l'extérieur de la forme. La gure 8.11 montre deux exemples où pas à l'axe médian et où

E1,3

E1,2 n'appartient

correspond à une partie de l'axe médian. La gure 8.12

illustre le premier critère de ltrage basé sur la position des pôles.

114

Julien Dardenne

8.4. CONDITIONS DE FILTRAGE

Fig. 8.11 Illustration du critère basé sur les pôles : un sommet candidat

v ∈ E1,3 ; E1,3

croise pas la frontière de la forme et ses sommets sont étiquetés avec le même signe ;

E1,2

croise la frontière et ses sommets ne sont pas du même signe. Par

conséquent,

E1,3 ∈ M A

E1,2 ∈ / M A;

(a)

(b)

Fig. 8.12 Illustration du premier critère de ltrage basé sur la position des pôles.

8.4.3

Critère basé sur l'angle :

Dans certains cas, avec le premier critère, nous observons des barbes sur l'axe médian. Nous utilisons un critère basé sur l'angle pour les ltrer. Nous considérons l'angle entre la normale d'un élément du graphe de Voronoï et la direction de la normale à la frontière de l'objet. Ce dernier est estimé à partir des cellules voisines. Un critère basé sur l'angle peut être utilisé pour éliminer les barbes dans l'axe médian. Dey et Zhao [Dey 03] utilisent un critère basé sur l'angle pour retenir les facettes du diagramme de Voronoï obtenu par un ensemble de points sur la frontière. Ils considèrent un angle dé ni à partir de l'approximation de la direction à la normale et une arête de Delaunay (dual à une facette de Voronoï). Si l'angle est faible, la facette de Voronoï appartient à l'axe médian de la forme. Notre approche est basée sur la construction directe du graphe de Voronoï dans l'espace discret. Nous considérons l'angle entre la direction principale à une cellule du diagramme de Voronoï (dual à une arête de Delaunay) et la direction de la normale à la frontière qui est estimé par l'axe principal associé à chaque cellule voisine. Pour chaque élément frontière candidat

Ei,j ,

nous associons un angle

Θi,j = ∠Nf (i,j) , Ni,j Julien Dardenne

Θi,j . (8.9)

115

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

Le calcul de l'angle

Nf (i, j)

Θi,j

pour un élément de l'axe médian requiert l'axe principal

de la cellule voisine ayant la plus grande anisotropie et l'estimation de la

direction de la normale

Ei,j ,

noté

Ni,j .

Le produit scalaire est utilisé pour obtenir

l'angle entre les deux vecteurs. Nous dé nissons le critère de ltrage basé sur l'angle par :

Ei,j ∈ M A si Ai,j > γ , λ1f (i,j) > β . λ3i,j

(8.10)

Ai,j = | < Nf (i,j) , Ni,j > |

(8.11)

avec

où

λ1f (i,j)

λ3i,j

sont respectivement la plus grande valeur propre de

Ei,j . γ et β choisissons γ = 0.8

Cf (i,j)

la plus petite valeur propre de

sont dé nis arbitrairement. Dans nos

expérimentations, nous

exemple où l'angle

Ai,j

β = 0.7.

La gure 8.13 montre un

est calculé.

Fig. 8.13 Illustration du critère basé sur l'angle : L'angle entre

dans une plage donnée, où l'élément

E1,4

Nf (1,4)

N1,4

doit être

sera ltré.

Nous avons proposé, dans cette section, une nouvelle approche pour obtenir une approximation de l'axe médian d'un objet discret 2D ou 3D. Dans la section suivante, nous proposons une amélioration de cette approche.

8.5 Carte de densité pour une meilleure approximation de l'axe médian La répartition et la densité des cellules de Voronoï jouent un rôle important dans la qualité de l'approximation de l'axe médian. Dans cette section, nous proposons d'utiliser une carte de densité pour obtenir un DVC adaptatif. Au voisinage des régions de forte courbure, il est préférable d'avoir une densité de cellule de Voronoï plus importante, au contraire, dans celles qui sont plates, il est préférable d'avoir une densité plus faible. Cette adaptation locale de la densité permet d'obtenir une meilleure approximation de l'axe médian. La gure 8.14 résume notre approche. Elle est constituée de trois étapes. Nous calculons, dans un premier temps, une carte de distance euclidienne discrète

(b) à partir de la frontière de la forme (a). Nous cal-

culons ensuite la matrice hessienne

H(g), ses valeurs propres et ses vecteurs propres. H(g). La courbure (equation (8.13)) est

utilisée pour générer une fonction de densité

116

(d).

Julien Dardenne

8.5. CARTE DE DENSITÉ POUR UNE MEILLEURE APPROXIMATION DE L'AXE MÉDIAN

La seconde étape consiste à construire un diagramme de Voronoï centroïdal contraint (e) par une approche variationnelle en utilisant la fonction de densité

(d). Dans une dernière étape nous ltrons les éléments des cellules frontières de ce diagramme a n d'obtenir une approximation cohérente de l'axe médian (f ). Nous proposons d'initialiser notre partitionnement en utilisant une carte de courbure. Nous utilisons la matrice hessienne 8.12 pour décrire la courbure locale en chaque point

(x)

de l'image.

gxx gxy H(g) = g g yx yy où la fonction

(8.12)

est la distance euclidienne.

La carte de distance euclidienne

est obtenue à l'aide de l'algorithme proposé

dans [Saito 94]. Cet algorithme permet le calcul de distances exactes en considérant le carré de la distance euclidienne. Le chemin le plus court pour atteindre un point extérieur à l'objet est déterminé et la longueur euclidienne de ce chemin est calculée. 2 1 Les courbures principales locales λj et λj (resp. les directions principales) sont les 1 valeurs propres (resp. les vecteurs propres) de . Le vecteur propre principal vj

dé nit la tangente au pixel

Nous dé nissons un indicateur de courbure

par l'équation (8.13).

cj = Nous dé nissons le poids

ρj ,

λ1j + λ2j

associé à chaque pixel

si cj 6= 0 alors ρj

= cj 2

(8.13)

ainsi :

sinon ρj

Dans nos expérimentations, nous avons choisi

= β

(8.14)

β = 0.005. Notre motivation dans

la dé nition de cette carte de courbure est la recherche d'un bon positionnement des cellules de Voronoï et ainsi d'une localisation e cace de l'axe médian. Grâce à cette méthode, nous pouvons répartir

∂Ω .

sites de Voronoï avec une densité choisie

sur

Où chaque frontière entre les cellules du DV contribue potentiellement à l'axe

médian.

Julien Dardenne

117

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f )

Fig. 8.14 Illustration de l'approche pour l'approximation de l'axe médian : (a) Image

Originale (b) Carte de distance euclidienne discrète

construite à partir de la

frontière de la forme . (c) Direction du vecteur principal de H(g). (d) La courbure (équation (8.13)) est utilisée pour générer une fonction de densité

ρ.

(e)

Nous construisons un diagramme de Voronoï centroïdal contraint en utilisant la carte de densité (d) lequel est nalement ltré. (f ) Une approximation de l'axe médian est obtenue.

118

Julien Dardenne

8.6. RESULTATS

8.6 Resultats Dans cette partie, nous e ectuons, dans un premier temps, une comparaison entre l'approche uniforme et adaptative, avec prise en compte de la courbure, pour l'approximation de l'axe mĂŠdian. Finalement, nous comparons notre approche Ă

Reduced Discrete Medial Axis )

l'approche RDMA (

[Coeurjolly 07a] qui permet le

calcul exact de l'axe mĂŠdian.

8.6.1

Comparaison entre l'approche uniforme et adaptative

La gure 8.16 montre l'approximation du DV (N

= 350)

de l'image 8.15 de

maniĂ¨re uniforme (a) et adaptative (c) et les approximations de leurs axes mĂŠdians (b) et (d).

Fig. 8.15 Image binarisĂŠe reprĂŠsentant un sphinx.

Nous observons que pour le mĂŞme nombre de sommets, l'approximation de l'axe mĂŠdian avec une distribution uniforme est moins dĂŠtaillĂŠe ((b), la queue du sphinx). Contrairement Ă (d) oĂš l'approximation de l'axe mĂŠdian est meilleure. La rĂŠpartition et la densitĂŠ des cellules de VoronoĂŻ jouent donc un rĂ´le important dans la qualitĂŠ de l'approximation de l'axe mĂŠdian. Pour obtenir une approximation aussi dĂŠtaillĂŠe avec l'approche uniforme, il faut distribuer deux fois plus de cellules sur la frontiĂ¨re. L'approche adaptative permet donc une distribution plus judicieuse des cellules de VoronoĂŻ. ExpĂŠrimentalement, le gain au niveau du temps de calcul est de l'ordre de 15%.

Julien Dardenne

119

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

Fig. 8.16 Approximation du DV (N

(a)

(d)

(b)

de l'image 8.15 de manière uniforme (a) et adaptative (c) et les approximations de leurs axes

(c)

= 350) médians respectifs ((b)-(d)).

Julien Dardenne

120

8.6. RESULTATS

8.6.2

Comparaison entre notre approche et l'approche RDMA

La gure 8.17 montre l'approximation de l'axe mĂŠdian obtenue avec notre approche sur trois coupes d'une image 3D d'un cĂˇur segmentĂŠe.

Fig. 8.17 Trois coupes d'une image 3D du cĂˇur segmentĂŠe et leurs axes mĂŠdians respec-

tifs.

La gure 8.18 montre des rĂŠsultats comparatifs entre notre approche et l'approche RDMA [Coeurjolly 07a]. La premiĂ¨re colonne montre les di ĂŠrentes formes d'entrĂŠe. La seconde colonne montre les rĂŠsultats obtenus avec l'approche RDMA. La troisiĂ¨me colonne reprĂŠsente les rĂŠsultats obtenus avec notre approche. La premiĂ¨re ligne illustre les rĂŠsultats obtenus sur une forme simple comportant des coins. La seconde ligne est une coupe d'un modĂ¨le reprĂŠsentant un cĂˇur humain. La troisiĂ¨me ligne montre la mĂŞme coupe mais avec du bruit sur la frontiĂ¨re. Nous pouvons voir clairement, que dans notre approche, l'axe mĂŠdian est continu et connexe pour les trois cas. Nos expĂŠrimentations ont montrĂŠ que les critĂ¨res de ltrage, basĂŠs sur les pĂ´les et l'angle, permettent une bonne approximation de l'axe mĂŠdian. De plus, notre approche a montrĂŠ une forte rĂŠsistance au bruit.

Julien Dardenne

121

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

Fig. 8.18 Comparaison entre notre approche et l'approche RDMA [Coeurjolly 07a]. A

gauche : forme originale. Au milieu : RDMA ; A droite : notre approche

122

Julien Dardenne

8.7. TVC ADAPTATIF

8.7 TVC adaptatif Dans cette section, nous montrons la prise en compte d'une carte de densitĂŠ

Ă travers l'ĂŠquation 6.3 pour une gĂŠnĂŠration de maillages non plus uniformes mais adaptĂŠs. Les algorithmes de gĂŠnĂŠration de maillages actuels peuvent prendre en compte une fonction de densitĂŠ pour imposer la taille des ĂŠlĂŠments du maillage [Alliez 05, Quadros 04, Tournois 09]. Nous utilisons l'approximation de l'axe mĂŠdian gĂŠnĂŠrĂŠ avec notre approche pour estimer la largeur locale (LF S , ĂŠtĂŠ introduite par [Amenta 98a]. Pour pour un point

notĂŠ

LF S(x)

Locale Feature Size ) qui a

une surface lisse dans

R3 ,

la largeur locale

est dĂŠ nie par :

LF S(x) = minyâ&#x2C6;&#x2C6;M A(S) ||x â&#x2C6;&#x2019; y||

(8.15)

LF S est une fonction continue 1-lipschitzienne :

Amenta et Bern ont montrĂŠ que la

LF S(x) â&#x2030;¤ LF S(y) + ||x â&#x2C6;&#x2019; y|| â&#x2C6;&#x20AC;x, y â&#x2C6;&#x2C6; S

(8.16)

D'aprĂ¨s [Antani 07], une fonction de densitĂŠ doit possĂŠder les caractĂŠristiques suivantes :

â&#x20AC;˘

les frontiĂ¨res du domaine doivent avoir un haut degrĂŠ d'approximation,

â&#x20AC;˘

la graduation du maillage doit ĂŞtre rĂŠglable par l'utilisateur,

â&#x20AC;˘

le nombre de nĂˇuds du maillage doit ĂŞtre le plus faible que possible.

8.7.1

Prise en compte de la largeur locale

Des travaux rĂŠcents ont ĂŠtĂŠ consacrĂŠs Ă des algorithmes pouvant o rir la gĂŠnĂŠration de maillages adaptatifs. Alliez et

al. ont ainsi utilisĂŠ la notion de largeur locale

dĂŠ nie par [Amenta 98a] pour gĂŠnĂŠrer des triangulations adaptatives [Alliez 05]. La mĂŠthode proposĂŠe nĂŠcessite de pouvoir calculer ou estimer la largeur locale de la surface a n de rĂŠgler la densitĂŠ de l'ĂŠchantillonnage. Ils ont montrĂŠs que si une fonction alors

Âľ

K -Lipschitzienne

maximale qui n'est jamais plus grande que

Âľ(x) est LF S(x),

possĂ¨de les caractĂŠristiques dĂŠcrites ci-dessus.

Nous dĂŠ nissons

Âľj ,

associĂŠ Ă

ainsi :

Âľj = miniâ&#x2C6;&#x2C6;â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś (Îą d(i, j) + LF S(i)) OĂš

pi â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x201A; â&#x201E;Ś

reprĂŠsente un point appartenant Ă la frontiĂ¨re

distance euclidienne entre

pj . Îą

(8.17)

â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś

d(i, j)

est la

est un paramĂ¨tre de graduation, qui permet

l'ajustement des niveaux de dĂŠtails. Dans nos travaux, nous utilisons cette approche qui calcule une fonction de taille

Âľ

Ă partir de l'axe mĂŠdian. La fonction de densitĂŠ

taille

Âľ

(ĂŠquation 6.3) et la fonction de

sont liĂŠes par la formule suivante [Du 06] :

Ď j = OĂš

1 Âľj d+2

(8.18)

est la dimension de l'espace.

Julien Dardenne

123

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

Un exemple de partitionnement adaptatif est donnĂŠ dans la gure 8.19 Ă di ĂŠrentes itĂŠrations. Nous pouvons voir en (a) le partitionnement initial. Les images de (b) Ă (e) illustrent le partitionnement

sans contrainte

et de (f ) Ă (i)

avec contrainte.

Nous pouvons voir qu'entre (e) et (f ) , seul le positionnement des sites des cellules coupant la frontiĂ¨re sont modi ĂŠs. Les cellules

non contraintes

contraintes

s'ajustent lors de cette derniĂ¨re ĂŠtape.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f )

(g)

(h)

(i)

Fig. 8.19 Processus de partitionnement adaptatif : (a) partitionnement initial ((b)-(e))

partitionnement sans contrainte ((f )-(i)) partitionnement avec contrainte.

La gure 8.20 montre l'approximation de l'axe mĂŠdian sur une image reprĂŠsentant un kiwi . Nous pouvons voir l'adaptation, une densitĂŠ de mailles plus impor-

124

Julien Dardenne

8.7. TVC ADAPTATIF

tante est obtenue dans les zones étroites et de forte courbure.

Fig. 8.20 Exemple d'approximation sur une image représentant un kiwi : (a) une image

représentant un kiwi (b) l'approximation de l'axe médian. (c) la carte de densité

calculée à partir de la

LF S .

Les couleurs représentent les valeurs de

pondération (d) le maillage généré avec notre approche en prenant en compte

ρ. La gure 8.21 montre un processus similaire pour un volume 3D représentant un coeur humain. La gure 8.22 montre l'adaptativité de notre approche pour un nombre de sommets xés (N =1000 sites) avec

Julien Dardenne

= 0.3, 1 et 10.

125

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

Fig. 8.21 A gauche : un volume représentant un coeur humain. Au milieu : son axe médian. A droite : le maillage adaptatif (10000 sommets).

Julien Dardenne

126

8.7. TVC ADAPTATIF

(a)

α = 0.3

(b)

(c)

α=1

α = 10

Fig. 8.22 Cartes de densité et maillages adaptatifs (N =1000) pour

Julien Dardenne

= 0.3, 1 et 10.

127

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

8.7.2

Prise en compte de la largeur et de la courbure locale

La largeur locale capture l'ĂŠpaisseur locale. Par exemple, les rĂŠgions de la forme qui sont ĂŠtroites ou qui possĂ¨dent une forte courbure sont indiquĂŠes avec des valeurs faibles au niveau de la

LF S .

Inclure le degrĂŠ de courbure dans l'ĂŠquation 8.13

permet d'assurer que les petites caractĂŠristiques qui ne sont pas pris en compte par l'axe mĂŠdian apparaissent dans la carte de densitĂŠ. Nous avons deux informations gĂŠomĂŠtriques, la largeur locale (LF S ) et la carte de courbure, et deux paramĂ¨tres,

Îť

Îł , qui gouvernent la construction de notre nouvelle carte de densitĂŠ. Nous propoÂľ qui fournit la taille d'un ĂŠlĂŠment pour chaque point pj : et

sons une nouvelle fonction de taille

Âľj = min(Îą d(i, j) + (LF S(i) + Îł c(i)))

(8.19)

iâ&#x2C6;&#x2C6;â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś

Îą est le paramĂ¨tre de graduation, qui permet l'ajustement des niveaux de dĂŠtails. LF S . Il est utilisĂŠ pour limiter l'in uence de la courbure, de telle sorte que les valeurs de la LF S Îł

permet de pondĂŠration de l'in uence de la courbure par rapport Ă la

restent prĂŠpondĂŠrantes. La gure 8.23 montre l'adaptativitĂŠ de notre approche pour un nombre de sommets xĂŠs (N =5000 sites) avec

Îł

= 0 et 0.5 avec

Îą

= 10.

8.8 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons prĂŠsentĂŠ une nouvelle approche qui approxime l'axe mĂŠdian d'une forme pour des objets discrets 2D ou 3D. Cette approche est basĂŠe sur le calcul d'un DVC contraint pour un ensemble de sites distribuĂŠ autour de la frontiĂ¨re. L'un des aspects original est sa nature complĂ¨tement discrĂ¨te. Les rĂŠsultats expĂŠrimentaux ont montrĂŠ que notre approche gĂŠnĂ¨re une approximation de l'axe mĂŠdian qui est robuste au bruit. Cela est trĂ¨s pro table pour la gĂŠnĂŠration de maillages. Ces rĂŠsultats ont donnĂŠ lieu Ă di ĂŠrentes communications internationales [

Dardenne et al.,

2008a], [

Dardenne et al.,

2009e] et nationales [

Dardenne et al.,

2009c].

128

Julien Dardenne

8.8. CONCLUSION

(a)

(b)

α = 10, γ = 0

α = 10, γ = 0.5

Fig. 8.23 Maillages adaptatifs pour

Julien Dardenne

= 0 et 0.5 avec

= 10.

129

CHAPITRE 8. TVC ADAPTATIF

130

Julien Dardenne

Exemples d'applications et ĂŠvaluations

131

Résumé Cette dernière partie a pour objectif de montrer des exemples d'applications de la méthode décrite précédemment. Les maillages présentés recouvrent des objets de géométrie variée a n de démontrer les performances de notre mailleur. Dans une première partie, nous évaluons notre mailleur sur des géométries dite simples . Nous montrons ensuite une étude comparative entre notre mailleur et les mailleurs commerciaux AMIRA et GHS3D , et le mailleur libre TetGen . Les parties suivantes sont destinées à montrer les performances de notre mailleur sur des cas plus réalistes. Dans un premier temps, nous utilisons des modèles géométriques couramment utilisés dans la littérature, le modèle standford bunny ou le modèle armadillo . Dans un second temps, nous générons des maillages volumiques à partir de structures anatomiques et nous présentons une seconde comparaison sur un modèle plus complexe. Une étude expérimentale montrant l'in uence de la qualité du maillage sur la simulation par la MEF est présentée ensuite. Finalement, nous générons un maillage volumique comportant plusieurs structures anatomiques et nous procédons à une simulation numérique par la MEF dans le cadre de l'hyperthermie.

Julien Dardenne

133

134

Julien Dardenne

Chapitre 9

Evaluation de notre approche 9.1 CritĂ¨res de qualitĂŠ Nous rappelons, dans cette section, les di ĂŠrentes notions de qualitĂŠ gĂŠomĂŠtrique des ĂŠlĂŠments constitutifs du maillage. D'une maniĂ¨re gĂŠnĂŠrale les bons tĂŠtraĂ¨dres sont ceux qui se rapprochent le plus du tĂŠtraĂ¨dre ĂŠquilatĂŠral (toutes ses faces sont des triangles ĂŠquilatĂŠraux), et les mauvais tĂŠtraĂ¨dres sont ceux qui ont une forme singuliĂ¨re. Une ĂŠtude bibliographique nous a permis d'identi er plusieurs critĂ¨res numĂŠriques de mesure de la qualitĂŠ d'un tĂŠtraĂ¨dre. Le tableau 9.1 prĂŠsente les critĂ¨res de qualitĂŠ utilisĂŠs pour l'ĂŠvaluation des di ĂŠrents maillages.

CritĂ¨re

Formule

: min

: max

(DA)

Îąmin

Îąmax

Q3 :

L.J.

â&#x2C6;&#x161; 3 2 12 P 9V2 li,j

: Radius

: Edge

: Aspect

ratio

in 3 rrout

lmin lmax

12 3VP â&#x2C6;&#x161; Ai 6 lmax

Tab. 9.1 CritĂ¨re de qualitĂŠ

Dans le tableau 9.1, li,j est la longueur d'une arĂŞte reliĂŠe Ă deux sommets

lmin

et lmax sont, respectivement, les longueurs minimales et maximales.

des faces d'un tĂŠtraĂ¨dre, circonscrite et

rin

le rayon de la sphĂ¨re inscrite,

son volume. Le critĂ¨re

135

est l'aire

le rayon de la sphĂ¨re

est citĂŠ dans [Liu 94]. Les critĂ¨res sont

normalisĂŠs entre 0 et 1 (sauf pour les critĂ¨res ĂŠlĂŠment et 1 un tĂŠtraĂ¨dre ĂŠquilatĂŠral.

rout

Q2 ), oĂš 0 reprĂŠsente un mauvais

CHAPITRE 9. EVALUATION DE NOTRE APPROCHE

Nous pouvons dĂŠ nir la notion de qualitĂŠ d'un ĂŠlĂŠment pour ces di ĂŠrents critĂ¨res normalisĂŠs :

Valeur du critĂ¨re

QualitĂŠ de l'ĂŠlĂŠment

ĂŠquilatĂŠral

Entre 0.75 et 1

Excellente

Entre 0.5 et 0.75

Bonne

Entre 0.25 et 0.5

Correcte

Entre 0.1 et 0.25

Pauvre

Entre 0 et 0.1

Mauvaise

DĂŠgĂŠnĂŠrĂŠ

De mĂŞme pour le critĂ¨re

Q1 ,

Valeur du critĂ¨re â&#x2014;Ś 70 ,5 â&#x2014;Ś â&#x2014;Ś Entre 69 et 70 ,5 â&#x2014;Ś â&#x2014;Ś Entre 50 et 69 â&#x2014;Ś â&#x2014;Ś Entre 30 et 50 â&#x2014;Ś â&#x2014;Ś Entre 10 et 30 â&#x2014;Ś â&#x2014;Ś Entre 0 et 10 â&#x2014;Ś 0

QualitĂŠ de l'ĂŠlĂŠment ĂŠquilatĂŠral Excellente Bonne Correcte Pauvre Mauvaise DĂŠgĂŠnĂŠrĂŠ

Ces critĂ¨res gĂŠomĂŠtriques sont utilisĂŠs par la suite pour dĂŠ nir la qualitĂŠ des maillages gĂŠnĂŠrĂŠs par notre approche.

9.2 GĂŠomĂŠtrie simple Dans cette section, nous prĂŠsentons di ĂŠrents rĂŠsultats de notre algorithme sur des gĂŠomĂŠtries dites simples . Le premier exemple ( gure 9.1 (a)) montre une sphĂ¨re maillĂŠe (15000 sommets) de faĂ§on uniforme. L'histogramme en (b) montre la distribution de la qualitĂŠ calculĂŠ par rapport au critĂ¨re

Q3 .

Le second exemple illustrĂŠ dans la gure 9.2 montre la prĂŠservation des frontiĂ¨res internes. Le maillage est composĂŠ de 6000 sommets. Nous pouvons voir que les caractĂŠristiques telles que les coins et les arĂŞtes du cube interne (en bleu) sont prĂŠservĂŠs.

136

Julien Dardenne

9.2. GÉOMÉTRIE SIMPLE

(a)

(b)

Fig. 9.1 (a) maillage tétraédrique d'une sphère comprenant 15000 sommets (b) l'histo-

gramme de la distribution de la qualité par rapport à

(a)

(b)

Q3 .

(c)

Fig. 9.2 (a) maillage tétraédrique comprenant 10000 sommets (b) coupe du maillage

volumique (c) surface de l'objet interne maillée.

Julien Dardenne

137

CHAPITRE 9. EVALUATION DE NOTRE APPROCHE

9.3 GĂŠomĂŠtrie complexe Dans cette section, nous prĂŠsentons di ĂŠrents rĂŠsultats de notre algorithme sur des gĂŠomĂŠtries dites complexes . Dans un premier temps, les objets Ă mailler sont les modĂ¨les surfaciques Armadillo , Stanford bunny et VenusBody qui ont ĂŠtĂŠ voxellisĂŠs prĂŠalablement. Dans un second temps, nous utilisons des structures anatomiques segmentĂŠes pour dĂŠmontrer l'e cacitĂŠ de notre approche.

9.3.1

ModĂ¨les virtuels

Nous utilisons les modĂ¨les surfaciques Stanford bunny , Armadillo et VenusBody comme donnĂŠes d'entrĂŠes pour notre mailleur. Ces modĂ¨les sont couramment utilisĂŠs dans la littĂŠrature. Les modĂ¨les Stanford bunny et Armadillo reprĂŠsentent la reconstruction surfacique d'un objet numĂŠrisĂŠ par un scanner (Departement Of Computer Science de l'universitĂŠ de Stanford, USA). Nous voxellisons les di ĂŠrents modĂ¨les et nous procĂŠdons ensuite Ă leurs triangulations 3D avec notre mailleur ( gure 9.3 ((a)-(c))). Les histogrammes pour le critĂ¨re de qualitĂŠ

montrent que les

maillages gĂŠnĂŠrĂŠs sont de trĂ¨s bonne qualitĂŠ. Le tableau 9.2 montre l'e cacitĂŠ de notre algorithme d'optimisation topologique pour les modĂ¨les prĂŠcĂŠdents.

XXX

XXX ModĂ¨les XXX CritĂ¨res XXX # tĂŠtraĂ¨dres

â&#x2014;Ś

Maillage initial AprĂ¨s optimisation

min(Q1 )

<6 < 12â&#x2014;Ś < 18â&#x2014;Ś < 6â&#x2014;Ś < 12â&#x2014;Ś < 18â&#x2014;Ś â&#x2014;Ś ( )

Armadillo

Stanford bunny

Venus Body

55329

113409

55103

138

358

113

364

654

226

5 10.81

â&#x2014;Ś

11.54

â&#x2014;Ś

10.17

â&#x2014;Ś

Tab. 9.2 Evaluation de notre ĂŠtape d'optimisation pour les modĂ¨les Armadillo , Stan-

ford bunny et Venusbody .

9.3.2

Strutures anatomiques

Nous utilisons, maintenant, di ĂŠrentes structures anatomiques segmentĂŠes pour dĂŠmontrer l'e cacitĂŠ de notre mailleur. La gure 9.4 montre les rĂŠsultats obtenus sur deux modĂ¨les di ĂŠrents : un fĂˇtus (a) et un cĂˇur (b). Les histogrammes montrent la distribution de

pour chaque tĂŠtraĂ¨dre dans les maillages.

La gure 9.5 montre la reprĂŠsentation maillĂŠe d'un crane et d'un cerveau humain avec 52132 et 38212 tĂŠtraĂ¨dres. Le tableau 9.3 illustre les e ets de notre algorithme d'optimisation topologique sur la qualitĂŠ des tĂŠtraĂ¨dres pour di ĂŠrentes structures anatomiques.

138

Julien Dardenne

Julien Dardenne (b)

(c)

Q4 .

Fig. 9.3 Représentations maillées : (a) Armadillo (b) Stanford bunny (c) Venusbody . Les histogrammes montrent les distributions de

(a)

9.3. GÉOMÉTRIE COMPLEXE

139

CHAPITRE 9. EVALUATION DE NOTRE APPROCHE

(a)

(b)

Fig. 9.4 Représentations maillées d'un f÷tus (a) et d' un c÷ur (b). Les histogrammes

montrent la distribution de

140

pour chaque tétraèdre dans chaque maillages.

Julien Dardenne

9.3. GÉOMÉTRIE COMPLEXE

Fig. 9.5 Représentation maillée d'un crane (a) et d'un cerveau humain (b)

XXX

Critères

Modèles

XXX XXX

# tétraèdres

◦

Maillage initial Après optimisation

min(Q1 )

<6 < 12◦ < 18◦ < 6◦ < 12◦ < 18◦ ◦ ( )

f÷tus

c÷ur

crane

32867

45602

52132

113

223

123

231

212

4 12.28

◦

11.98

◦

10.93

◦

Tab. 9.3 Evaluation de notre étape d'optimisation de la qualité des maillages.

Julien Dardenne

141

CHAPITRE 9. EVALUATION DE NOTRE APPROCHE

La gure 9.6 illustre un volume segmenté par [Rose 07], représentant le rein gauche d'une souris (a). Le maillage obtenu en (b) possède des poids uniformes. (c) est réalisé avec une carte de pondération et respecte les régions complexes.

(a)

(b)

(c)

Fig. 9.6 (a) volume représentant le rein gauche d'une souris (b) maillage obtenu avec des

poids uniforme (c) maillage adapté : le maillage respecte les régions complexes grâce à l'utilisation d'une carte de pondération.

Le tableau 9.4 référence les temps de calculs pour chaque étape du processus. Les résultats sont obtenus avec un ordinateur portable cadencé à 2.53 GHz, avec 4GB de RAM. # Voxels

# Sommets

en entrée 3

en sortie

Partitionnement

Maillage

Optimisation

500

2.42

0.44

0.72

50 1003 2003

Temps (s)

4000

34.13

4.3

6.02

36000

271.96

36.11

42.26

Tab. 9.4 Temps de calcul avec notre algorithme

142

Julien Dardenne

Chapitre 10

In uence de la qualitĂŠ du maillage sur la simulation par la MEF

Cette ĂŠtude a pour but de montrer l'in uence de la qualitĂŠ du maillage sur la simulation par la MEF pour nos problĂ¨mes ĂŠlectromagnĂŠtiques et thermiques. Nous considĂŠrons le temps de rĂŠsolution par la MEF et l'erreur sur la solution. Nous e ectuons di ĂŠrentes expĂŠriences dont le but sous-jacent est de dĂŠterminer un critĂ¨re de qualitĂŠ ainsi que sa valeur idĂŠale dans le cadre de notre ĂŠtape d'optimisation. Nous parlons d'expĂŠrience car cette ĂŠtude est rĂŠalisĂŠe de faĂ§on expĂŠrimentale.

10.1 ExpĂŠrimentations Les di ĂŠrentes expĂŠrimentations sont rĂŠalisĂŠes sur la gĂŠomĂŠtrie sphĂŠrique gĂŠnĂŠrĂŠ â&#x2014;Ś par notre approche S3 dans la section 11.1. L'angle diĂ¨dre minimal est de 16.31 . Nous utilisons la transformation topologique (4

â&#x2C6;&#x2019; 5)

5â&#x2C6;&#x2019;4

du chapitre 6 de maniĂ¨re inverse

pour insĂŠrer des ĂŠlĂŠments de mauvaise qualitĂŠ dans

( gure 6.19). Les

expĂŠrimentations rĂŠalisĂŠes sont les suivantes :

â&#x20AC;˘

Ajout d'un seul mauvais ĂŠlĂŠment, caractĂŠrisĂŠ par son angle diĂ¨dre minimum, pour tester la rapiditĂŠ de la convergence de la simulation ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique selon le type de prĂŠ-conditionnement.

â&#x20AC;˘

Ajout de mauvais ĂŠlĂŠments par rapport aux critĂ¨res normalisĂŠs

pour

tester la rapiditĂŠ de la convergence de la simulation thermique.

â&#x20AC;˘

Ajout de mauvais ĂŠlĂŠments par rapport au critĂ¨re

Q1 pour tester l'erreur entre

les solutions analytiques et numĂŠriques thermiques.

â&#x20AC;˘

Ajout de mauvais ĂŠlĂŠments par rapport au critĂ¨re

pour voir si il existe

un lien avec le facteur de conditionnement de la matrice pour la simulation thermique.

143

CHAPITRE 10. INFLUENCE DE LA QUALITĂ&#x2030; DU MAILLAGE SUR LA SIMULATION PAR LA MEF

10.1.1

ExpĂŠrience 1 :

Cette premiĂ¨re expĂŠrience est illustrĂŠe dans la gure 10.1.1. Elle consiste Ă insĂŠrer un seul ĂŠlĂŠment de mauvaise qualitĂŠ dans le maillage et d'e ectuer la simulation ĂŠlectromagnĂŠtique

SE ou thermique ST

selon di ĂŠrents type de prĂŠconditionnement.

Nous utilisons trois types de prĂŠconditionnement :

P reDiagonale : PrĂŠconditionnement diagonal, P reGauss : PrĂŠconditionnement de type Gauss, P reSSOR : PrĂŠconditionnement SSOR.

Fig. 10.1 E et d'un seul mauvais tĂŠtraĂ¨dre sur la simulation ĂŠlectromagnĂŠtique et ther-

mique pour plusieurs types de prĂŠconditionnement.

Les prĂŠconditionnements de type Diagonale, Gauss et SSOR permettent sous certaines conditions d'obtenir un meilleur conditionnement de la matrice Ă rĂŠsoudre. Nous pouvons observer pour les prĂŠconditionnements de type Diagonale et Gauss que â&#x2014;Ś l'ajout d'un ĂŠlĂŠment plat (un volume proche de 0 ) in uence grandement le nombre d'itĂŠrations pour obtenir la solution recherchĂŠe. Les di ĂŠrents rĂŠsultats en

montrent qu'un prĂŠconditionnement de type SSOR permet de gagner en temps de rĂŠsolution si des ĂŠlĂŠments plats ne sont pas prĂŠsent dans le maillage volumique. La simulation ne sera pas a ectĂŠe par la qualitĂŠ du maillage si ces ĂŠlĂŠments ont un â&#x2014;Ś angle diĂ¨dre minimal supĂŠrieur Ă 4 . Cette premiĂ¨re expĂŠrience montre que le type de prĂŠ-conditionnement peut diminuer le temps de calcul mais qu'un seul mauvais ĂŠlĂŠment de faible qualitĂŠ peut doubler ce temps.

144

Julien Dardenne

10.1. EXPĂ&#x2030;RIMENTATIONS

10.1.2

ExpĂŠrience 2 :

Cette seconde expĂŠrience, illustrĂŠe dans la gure 10.1.2, consiste Ă insĂŠrer un seul ĂŠlĂŠment de mauvaise qualitĂŠ selon les critĂ¨res

pour la simulation thermique

ST .

Fig. 10.2 Impact de la qualitĂŠ d'un tĂŠtraĂ¨dre sur la simulation thermique pour di ĂŠrents

critĂ¨res normalisĂŠs,

Le critĂ¨re

Q6 .

d'aprĂ¨s ce test apparaĂŽt insu sant pour pouvoir dĂŠterminer la qua-

litĂŠ d'un ĂŠlĂŠment. Ce critĂ¨re est basĂŠ sur le rapport entre l'arĂŞte minimale et l'arĂŞte maximale d'un tĂŠtraĂ¨dre. Ce critĂ¨re ne peut dĂŠtecter les con gurations comportant un rapport entre arĂŞte non-nulle et le volume d'un tĂŠtraĂ¨dre qui serait proche de zĂŠro. Ces ĂŠlĂŠments ĂŠtant par nature les plus pĂŠnalisants dans le conditionnement de

Q6 possĂ¨dent certaines irrĂŠgularitĂŠes mais elles semblent nĂŠgligeables par rapport Ă Q5 . Le critĂ¨re Q4 semblent le plus indiquer

la matrice par MEF. Les critĂ¨res

pour classer les ĂŠlĂŠments du maillage. De cette expĂŠrience peut dĂŠcouler di ĂŠrentes gammes de valeurs pour les critĂ¨res normalisĂŠs

semblent plus robustes que le critĂ¨re

Julien Dardenne

Q3 Ă Q6 . Q5 .

Cependant, les critĂ¨res

Q3 ,

145

CHAPITRE 10. INFLUENCE DE LA QUALITÉ DU MAILLAGE SUR LA SIMULATION PAR LA MEF

10.1.3

Expérience 3 :

Cette troisième expérience est illustrée dans la gure 10.1.3. Elle consiste à ◦ ◦ insérer un à un des éléments de mauvaise qualité dans une gamme allant de 0 à 6

Q1 , pour la simulation thermique ST avec un préconditionnement de P reSSOR . Nous calculons alors l'erreur numérique maximale Errormax

selon le critère type SSOR

entre la solution numérique et la solution analytique.

Fig. 10.3 Impact de l'ajout un à un de mauvais éléments selon le critère

à l'erreur numérique maximale

Errormax

par rapport

calculée entre la solution numérique

et la solution analytique.

Cette troisième expérience montre que la qualité des éléments joue un rôle important dans l'approximation de la solution recherchée et sur la vitesse de résolution de l'EDP. Cette expérience illustre une certaine corrélation entre le nombre d'itérations et l'erreur numérique maximale pour la simulation thermique

146

ST .

Julien Dardenne

10.2. CONCLUSIONS

10.1.4

ExpĂŠrience 4 :

Cette derniĂ¨re expĂŠrience est illustrĂŠe dans la gure 10.1.4. Elle consiste Ă insĂŠrer un Ă un des ĂŠlĂŠments de mauvaise qualitĂŠ dans une gamme allant de

Q3 , pour la simulation P reSSOR . Nous calculons

0.3

selon

le critĂ¨re

thermique

avec un prĂŠconditionnement de type

SSOR

alors le facteur de conditionnement de la matrice Ă

rĂŠsoudre.

Fig. 10.4 In uence de la qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments sur le facteur de conditionnement sur la

simulation thermique

ST .

Cette derniĂ¨re expĂŠrience permet de montrer une corrĂŠlation entre le nombre

ST . Nous Q3 et le facteur

d'itĂŠrations et le facteur de conditionnement pour la simulation thermique pouvons en dĂŠduire une seconde corrĂŠlation entre le critĂ¨re de qualitĂŠ de conditionnement.

10.2 Conclusions D'aprĂ¨s cette ĂŠtude expĂŠrimentale, nous concluons que certaines mesures de qualitĂŠ gĂŠomĂŠtrique ne sont pas pertinentes pour la MEF utilisĂŠe. Le critĂ¨re

est basĂŠ

sur le ratio des arĂŞtes minimales et maximales. Ce critĂ¨re ne permet pas de caractĂŠriser les ĂŠlĂŠments plats (

slivers ).

Nous avons montrĂŠ d'une faĂ§on expĂŠrimentale

l'impact de la qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments du maillage sur les modĂ¨les ĂŠlĂŠments nis utilisĂŠs en ĂŠlectromagnĂŠtique et en thermique. Nos rĂŠsultats montrent clairement que la solution numĂŠrique recherchĂŠe peut ĂŞtre directement a ectĂŠe par la qualitĂŠ des tĂŠtraĂ¨dres. Ces expĂŠrimentations suggĂ¨rent des rĂŠductions de temps considĂŠrables en utilisant le critĂ¨re de qualitĂŠ appropriĂŠ. Nous concluons qu'il est prĂŠfĂŠrable d'utiliser le critĂ¨re basĂŠ sur l'angle diĂ¨dre minimal

et le critĂ¨re

pour l'ĂŠvaluation et

l'optimisation de notre algorithme de gĂŠnĂŠration de maillage.

Julien Dardenne

147

CHAPITRE 10. INFLUENCE DE LA QUALITÉ DU MAILLAGE SUR LA SIMULATION PAR LA MEF

148

Julien Dardenne

Chapitre 11

Comparaisons avec di ĂŠrentes approches

Nous prĂŠsentons une comparaison de nos rĂŠsultats avec ceux obtenus Ă partir du logiciel libre TetGen et des logiciels commerciaux AMIRA et GHS3D (GHS3DTETMESH).

AMIRA

AMIRA a ĂŠtĂŠ crĂŠĂŠ et dĂŠveloppĂŠ par le groupe de recherche d'analyse

de donnĂŠes et de visualisation du ZIB (Zuse Institute Berlin). Il est maintenant commercialisĂŠ et distribuĂŠ par la compagnie Visage Imaging. AMIRA est un systĂ¨me de modĂŠlisation et de visualisation 3D, il permet de gĂŠnĂŠrer des maillages Ă partir d'isosurfaces, de maillages surfaciques ou de donnĂŠes discrĂ¨tes [Zachow 07].

TetGen

TetGen est un mailleur open source qui a ĂŠtĂŠ dĂŠveloppĂŠ par [Si 05b]. Il

regroupe di ĂŠrentes mĂŠthodes pour obtenir des maillages de qualitĂŠ en utilisant une triangulation de Delaunay contrainte. TetGen peut gĂŠnĂŠrer des triangulations de Delaunay, des diagrammes de VoronoĂŻ, et des triangulations de Delaunay Contraintes Ă partir de PLC. Le but principal de TetGen est de produire des maillages appropriĂŠs pour rĂŠsoudre des EDP par la MEF. La di ĂŠrence principale entre TetGen et d'autres algorithmes portant sur une CDT est l'utilisation d'un algorithme combinant le dĂŠplacement de sommets et l'insertion de sommets qui sont utilisĂŠs pour construire un nouvel ensemble de sommets compatible avec

â&#x2C6;&#x201A;â&#x201E;Ś .

La robustesse de

TetGen est obtenue par l'utilisation du code source proposĂŠ par [Shewchuk 97], il permet de limiter les erreurs numĂŠriques. Le mailleur TetGen propose un algorithme de ra nement de type Delaunay qui a ĂŠtĂŠ proposĂŠ par [Shewchuk 98].

GHS3D

GHS3D [George 97a] est un mailleur de l'INRIA issu du projet Gamma

(GĂŠnĂŠration Automatique de Maillages et MĂŠthodes d'Adaptation). Ce projet est spĂŠcialement dĂŠdiĂŠ Ă la conception d'algorithmes de maillage pour des mĂŠthodes par ĂŠlĂŠments nis d'un domaine dĂŠ ni par une discrĂŠtisation (en principe en triangles)

149

CHAPITRE 11. COMPARAISONS AVEC DIFFĂ&#x2030;RENTES APPROCHES

de sa surface. Le logiciel GHS3D-Tetmesh est maintenant un outil phare dans le domaine de la gĂŠnĂŠration de maillage. GHS3D est dĂŠjĂ intĂŠgrĂŠ dans la plupart des codes commerciaux existants proposĂŠs par les ĂŠditeurs de logiciels en CFAO. Ce mailleur est de type Delaunay . Il gĂŠnĂ¨re le maillage par le principe suivant : un maillage vide en tĂŠtraĂ¨dres est d'abord construit (sans point interne) en utilisant le noyau de Delaunay, ce maillage est ensuite itĂŠrativement enrichi par ajout de points internes, de maniĂ¨re Ă saturer le domaine. Cette seconde ĂŠtape est rĂŠpĂŠtĂŠe jusqu'Ă ce que toutes les arĂŞtes aient une longueur moyenne proche de un. Ă&#x20AC; l'issue de la construction, une ĂŠtape de lissage est appliquĂŠe sur les sommets du maillage pour en amĂŠliorer la qualitĂŠ. Cette ĂŠtude portera, dans un premier temps, sur une gĂŠomĂŠtrie sphĂŠrique. Pour ce type de gĂŠomĂŠtrie, nous connaissons la solution analytique du problĂ¨me thermique. Nous pouvons dĂŠterminer numĂŠriquement di ĂŠrents types d'erreur pour la simulation thermique par la MEF. Dans un second temps, nous utiliserons une gĂŠomĂŠtrie plus complexe et nous ĂŠvaluerons la qualitĂŠ des maillages gĂŠnĂŠrĂŠs.

11.1 GĂŠomĂŠtrie simple Nous gĂŠnĂŠrons, Ă l'aide de AMIRA, deux maillages

S2 , le premier maillage

est construit Ă partir d'une isosurface et le second Ă partir de voxels. Un troisiĂ¨me maillage nommĂŠ

est gĂŠnĂŠrĂŠ avec notre mĂŠthode avec le mĂŞme ensemble de voxels

( gure 11.1). Un quatriĂ¨me maillage est gĂŠnĂŠrĂŠ Ă l'aide de TetGen en prenant comme entrĂŠe les points du maillage

S3 .

Le dernier maillage volumique

GHS3D Ă partir du maillage surfacique de

est gĂŠnĂŠrĂŠ avec

S3 .

Nous avons rĂŠalisĂŠ ce comparatif Ă partir d'une sphĂ¨re homogĂ¨ne, dont nous connaissons la formulation analytique [Thiele 02] pour le phĂŠnomĂ¨ne de convection thermique [2.17] dans laquelle la sphĂ¨re est refroidie d'une tempĂŠrature initiale une tempĂŠrature extĂŠrieure La tempĂŠrature

T (r, t)

[Dubbel 99].

pour une sphĂ¨re peut ĂŞtre dĂŠterminĂŠe par une solution

analytique de la forme :

X sin(Ď&#x2030;n r) T (r, t) â&#x2C6;&#x2019; Te 2 = Bn expâ&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2030;n at T0 â&#x2C6;&#x2019; Te Ď&#x2030;n r n=1,2,3,... avec

(11.1)

k Îžn Îžn h.R , Ď&#x2030;n = , 1â&#x2C6;&#x2019; = Ď C R tan Îžn Îť

Bn = 2

(11.2)

sin Îžn â&#x2C6;&#x2019; Îžn cos Îžn Îžn â&#x2C6;&#x2019; sin Îžn cos Îžn

(11.3)

Le maillage volumique obtenu Ă l'ĂŠtape prĂŠcĂŠdente a ĂŠtĂŠ utilisĂŠ pour la simulation par ĂŠlĂŠments nis du phĂŠnomĂ¨ne de convexion pour le problĂ¨me thermique.

150

Julien Dardenne

S2 . S4

S2 S3 S3 .

S3 . S5

est gĂŠnĂŠrĂŠ Ă l'aide

est gĂŠnĂŠrĂŠ avec notre mĂŠthode avec le mĂŞme

sont gĂŠnĂŠrĂŠs Ă l'aide de AMIRA, le premier

est gĂŠnĂŠrĂŠ Ă l'aide de TetGen Ă partir d'un nuage de points issu de

de GHS3D Ă partir du maillage surfacique de

ensemble de voxels utilisĂŠ pour

maillage est construit Ă partir d'une isosurface et le second Ă partir de voxels.

Fig. 11.1 Comparaisons avec di ĂŠrentes approches sur une gĂŠomĂŠtrie sphĂŠrique :

11.1. GĂ&#x2030;OMĂ&#x2030;TRIE SIMPLE

151

CHAPITRE 11. COMPARAISONS AVEC DIFFĂ&#x2030;RENTES APPROCHES

â&#x2014;Ś La tempĂŠrature initiale est de 37 C , l'environnement extĂŠrieur a une tempĂŠrature â&#x2014;Ś 3 constante de 20 C . La sphĂ¨re a une densitĂŠ de 1000 kg/m et un rayon R = 200 mm.

Îť et C reprĂŠsentent respectivement la conductivitĂŠ thermique et la chaleur spĂŠci que. T (r, t) est la tempĂŠrature actuelle au temps t pour un rayon r. Ces propriĂŠtĂŠs sont inspirĂŠes de celles du corps humain au niveau de la tĂŞte.

Mailleurs

AMIRA

TVC

TetGen

GHS3D

XX XXX Maillages XXX XXX CritĂ¨res X

Q1 Q4 min(Q1 ) min(Q4 ) max (1) rms (1)

51.97

â&#x2014;Ś

50.88

â&#x2014;Ś

56.32

â&#x2014;Ś

47.07148

â&#x2014;Ś

46.00

â&#x2014;Ś

0.843 â&#x2014;Ś 13.41

0.824 â&#x2014;Ś 10.12

0.911 â&#x2014;Ś 16.31

0.838 â&#x2014;Ś 8.00

0.823 â&#x2014;Ś 6.72

0.362 â&#x2014;Ś 0.035 C

0.282 â&#x2014;Ś 0.094 C

0.376 â&#x2014;Ś 0.047 C

0.20 â&#x2014;Ś 0.075 C

0.176268 â&#x2014;Ś 0.033 C

0.010

0.061

0.025

0.011

0.010

# arĂŞtes

100875

102274

101027

100972

101014

# itĂŠrations (1)

171

205

121

158

169

# itĂŠrations (2)

5002

5004

4004

4970

5001

Tab. 11.1 QualitĂŠ du maillage et prĂŠcision pour la rĂŠsolution par la MEF en simulation

thermique(1) et ĂŠlectromagnĂŠtique (2).

Le tableau 11.1 comporte la moyenne et la valeur minimale des critĂ¨res de qualitĂŠ

Q1 , Q4

pour l'ensemble des tĂŠtraĂ¨dres de

S5 .

Les lignes

rms )

l'erreur maximale et l'erreur quadratique moyenne (

max

rms

donnent

entre le rĂŠsultat de la

simulation par la MEF [2.17] et la solution analytique exacte. Ces valeurs montrent que notre maillage

apporte une erreur moins importante que

le rĂ´le prĂŠpondĂŠrant de la surface de la

S5 ,

S4 .

Cette

S5 . Nous interprĂŠtons ce rĂŠsultat par sphĂ¨re en rĂŠgime thermique, or dans S1 et

erreur est cependant supĂŠrieure Ă celle de

cette surface est bien dĂŠ nie par un maillage surfacique. Nous calculons l'erreur de discrĂŠtisation avec la distance de Haussdorf pour

en prenant comme rĂŠfĂŠrence

S1 .

Nous prenons

car il a ĂŠtĂŠ gĂŠnĂŠrĂŠ Ă partir

S2 et S3 . La distance mesurĂŠe vaut 0.31% de la diagonale de la boite englobante pour S2 et 0.17% pour S3 . Ainsi, l'erreur pour notre mĂŠthode est environ deux fois moins importante. d'une isosurface qui est issue des donnĂŠes discrĂ¨tes servant Ă mailler

Les deux derniĂ¨res lignes du tableau montrent le nombre d'itĂŠrations nĂŠcessaire pour rĂŠsoudre les ĂŠquations ĂŠlectromagnĂŠtiques [2.6] et thermiques [2.17]. Pour les deux rĂŠsolutions par MEF, notre mĂŠthode apporte une qualitĂŠ des tĂŠtraĂ¨dres qui permet une rĂŠduction signi cative du temps de calcul. Les gures 11.2 et 11.3 reprĂŠsentent les histogrammes de qualitĂŠ (Q1 Ă tĂŠtraĂ¨dres associĂŠs aux maillages

S5 .

Q4 ),

des

Pour l'ensemble de ces critĂ¨res, la qualitĂŠ

des tĂŠtraĂ¨dres obtenus pour cet exemple avec notre mĂŠthode est supĂŠrieure Ă celle que nous avons obtenue avec AMIRA, TetGen ou GHS3D.

152

Julien Dardenne

11.1. GÉOMÉTRIE SIMPLE

Fig. 11.2 Histogrammes de qualité associés aux maillages

et notre méthode

Julien Dardenne

S1 , S2

générés avec AMIRA

pour les critères (Q1 -Q4 ).

153

CHAPITRE 11. COMPARAISONS AVEC DIFFÉRENTES APPROCHES

Fig. 11.3 Histogrammes de qualité associés au maillage

S4 , S5 (Q1 -Q4 ).

aux maillages critères

154

issu de notre approche et

générés, respectivement, avec TetGen et GHD3D pour les

Julien Dardenne

11.2. GÉOMÉTRIE COMPLEXE

11.2 Géométrie complexe Nous utilisons maintenant une structure anatomique qui représente un c÷ur

humain. Nous générons, à l'aide de AMIRA, deux maillages maillage est construit à partir d'un maillage surfacique voxels. Un troisième maillage nommé

C2 .

Le premier

et le second à partir de

S3 est généré avec notre méthode avec le même C4 est généré avec GHS3D à partir

ensemble de voxels. Le dernier maillage volumique de

S. S

possède les propriétés géométriques suivantes : # sommets 7793

∠min 22.45

∠min

◦

49.29

Tab. 11.2 Qualité du maillage surfacique

◦

Qmin

0.44

0.86

utilisé pour générer

C2 .

Le tableau 11.3 comporte le nombre de tétraèdres pour certaines gammes de valeur ainsi que la moyenne et la valeur minimale des critères de qualité pour les maillages

Mailleurs

XXX Maillages XXX Critères XXX # tétraèdres

< 6◦ < 12◦ < 18◦ min(Q1 ) (◦ ) min(Q3 ) (◦ ) Q1 (◦ ) Q3 (◦ )

AMIRA

TVC

GHS3D

93731

96002

94340

919

2702 ◦

4.45

44 12.14

0.20

48.19

◦

13.44

0.35

◦

46.06

0.82

Tab. 11.3 Qualité des maillages

Julien Dardenne

C3 .

XXX

◦

0.37

◦

54.44

0.82

C1 ,C2

◦

0.91 et

C3 .

155

CHAPITRE 11. COMPARAISONS AVEC DIFFÉRENTES APPROCHES

(a)

(b)

(c)

Fig. 11.4 Représentation de la qualité des maillages obtenus entre (a) AMIRA, (b)

GHS3D et (c) notre approche pour le critère

156

Julien Dardenne

11.2. GÉOMÉTRIE COMPLEXE

Fig. 11.5 Histogrammes de qualité associés aux maillages

C1 , C2

générés respectivement

avec AMIRA et GHS3D à partir d'un maillage surfacique et notre méthode

pour les critères (Q1 -Q4 ).

Julien Dardenne

157

CHAPITRE 11. COMPARAISONS AVEC DIFFĂ&#x2030;RENTES APPROCHES

11.3 Comparaison dans le cadre de l'hyperthermie Pour dĂŠmontrer la capacitĂŠ de notre mailleur dans une application rĂŠelle, nous modĂŠlisons une con guration rĂŠaliste utilisĂŠe en hyperthermie, basĂŠe sur une antenne interstitielle [Siauve 06]. Nous e ectuons une comparaison entre le logiciel AMIRA et notre approche en terme de qualitĂŠ des ĂŠlĂŠments gĂŠnĂŠrĂŠs et de vitesse de rĂŠsolution au niveau de la simulation par la MEF. Le modĂ¨le patient est gĂŠnĂŠrĂŠ Ă partir d'un ensemble d'images tomographiques segmentĂŠes ( gure 11.6). Ce modĂ¨le est constituĂŠ de 9 organes : muscle, graisse, os, intestin, reins, foie, vessie, artĂ¨res et tumeur.

Fig. 11.6 Ensemble discret tri-dimensionnel et reprĂŠsentation volumique du patient.

Le dispositif d'hyperthermie est constituĂŠ d'un applicateur interstitiel, directement placĂŠ Ă l'intĂŠrieur de la tumeur, et ĂŠmettant Ă 433 MHz. La gure 11.7 illustre la distribution du SAR dans le modĂ¨le.

Fig. 11.7 ReprĂŠsentation du SAR dans le cadre de la plani cation du traitement.

Nous gĂŠnĂŠrons, Ă l'aide de AMIRA et notre approche (TVC), deux maillages tĂŠtraĂ¨driques Ă partir du mĂŞme ensemble discret tri-dimensionnel. La gure 11.8 reprĂŠsente di ĂŠrentes structures anatomiques extraites des maillages issus de AMIRA et TVC. Les tĂŠtraĂ¨dres gĂŠnĂŠrĂŠs par notre approche TVC sont de meilleure qualitĂŠ

158

Julien Dardenne

11.4. CONCLUSION

que ceux de AMIRA. Le tableau 11.4 donne les valeurs numĂŠriques de la moyenne et de la valeur minimale des critĂ¨res de qualitĂŠ

Q1 , Q4

pour l'ensemble des tĂŠtra-

Ă¨dres issus de AMIRA et TVC. Les deux derniĂ¨res lignes du tableau montrent le nombre d'itĂŠrations nĂŠcessaire pour rĂŠsoudre les ĂŠquations ĂŠlectromagnĂŠtiques [2.6] et thermiques [2.17]. La durĂŠe de gĂŠnĂŠration du maillage par notre algorithme est de six minutes et le temps de simulation pour ce problĂ¨me couplĂŠ est de trente six minutes.

XXX XXX Mailleurs XXX CritĂ¨res XXX

AMIRA

Q1 Q4 min(Q1 ) min(Q4 )

46.32

â&#x2014;Ś

TVC 52.28

â&#x2014;Ś

0.804 â&#x2014;Ś 0.19

0.862 â&#x2014;Ś 10.01

0.03

0.278

# points

39052

39100

# itĂŠrations (1)

166

128

# itĂŠrations (2)

130

Tab. 11.4 QualitĂŠ du maillage et temps de rĂŠsolution par la MEF en simulation ĂŠlectro-

magnĂŠtique (1) et thermique(2).

Pour cette simulation par MEF couplĂŠe, notre mĂŠthode gĂŠnĂ¨re des tĂŠtraĂ¨dres de trĂ¨s bonne qualitĂŠ ce qui rĂŠduit de faĂ§on signi cative le temps de calcul.

11.4 Conclusion Nous avons construit, dans cette partie, des maillages trĂ¨s divers et nous avons e ectuĂŠ une ĂŠtude comparative avec di ĂŠrents mailleurs. Notre approche conduit Ă des maillages de trĂ¨s bonne qualitĂŠ. Le temps nĂŠcessaire Ă la gĂŠnĂŠration des maillages est plus court que celui du temps de rĂŠsolution par la MEF des di ĂŠrents problĂ¨mes. Il reste cependant Ă complĂŠter nos travaux par quelques amĂŠliorations et extensions que nous allons prĂŠciser dans la conclusion gĂŠnĂŠrale.

Julien Dardenne

159

CHAPITRE 11. COMPARAISONS AVEC DIFFĂ&#x2030;RENTES APPROCHES

AMIRA

TVC

Fig. 11.8 Comparaison entre di ĂŠrentes structures anatomiques extraites des maillages

issus de AMIRA et TVC.

160

Julien Dardenne

Conclusion L'objectif de cette thĂ¨se ĂŠtait de proposer une nouvelle approche pour la gĂŠnĂŠration de maillages tĂŠtraĂŠdriques de structures anatomiques dans le but de rĂŠsoudre des E.D.P (en ĂŠlectromagnĂŠtisme et en thermique) par la mĂŠthode des ĂŠlĂŠments nis. Les mĂŠthodes de gĂŠnĂŠration de maillage volumique actuelles utilisent, gĂŠnĂŠralement, des reprĂŠsentations surfaciques maillĂŠes des donnĂŠs anatomiques pour construire le maillage volumique. Nous nous sommes posĂŠs la question suivante : Est-il nĂŠcessaire d'avoir une reprĂŠsentation surfacique pour gĂŠnĂŠrer un maillage volumique ? En e et, cette reprĂŠsentation surfacique apporte des contraintes Ă la construction du maillage volumique. Dans une premiĂ¨re partie, nous avons rappelĂŠ le cadre physique de notre ĂŠtude. Nous avons ensuite dressĂŠ un ĂŠtat de l'art des mĂŠthodes de gĂŠnĂŠration de maillage pour di ĂŠrents types de donnĂŠes. Cette seconde partie, nous a conduit Ă nous orienter vers une approche de type VoronoĂŻ-Delaunay pour traiter le problĂ¨me posĂŠ. L'approche variationnelle utilisĂŠe permet l'approximation des diagrammes de VoronoĂŻ centroĂŻdaux. Nous utilisons le dual, la triangulation de Delaunay, pour obtenir notre maillage tĂŠtraĂŠdrique. L'approche a ĂŠtĂŠ prĂŠsentĂŠe dans un formalisme 2D puis 3D, dans le cas d'un maillage uniforme. Nous avons montrĂŠ que notre mailleur peut rĂŠsoudre les ambiguĂŻtĂŠs induites par un partitionnement discret du volume Ă mailler. Nous avons proposĂŠ un algorithme original d'optimisation topologique a n d'amĂŠliorer la qualitĂŠ des maillages gĂŠnĂŠrĂŠs. La troisiĂ¨me partie a ĂŠtĂŠ dĂŠdiĂŠe Ă la mĂŠthode originale que nous avons proposĂŠe pour l'approximation de l'axe mĂŠdian Ă partir de diagrammes de VoronoĂŻ contraints. La version adaptative de notre approche utilise di ĂŠrentes informations gĂŠomĂŠtriques. La premiĂ¨re est basĂŠe sur la largeur locale et la seconde sur la courbure locale. Cette seconde information permet de prendre en compte des changements dans la forme qui ne seraient pas pris en compte par l'axe mĂŠdian. La validation de la mĂŠthode a ĂŠtĂŠ largement dĂŠtaillĂŠe dans la derniĂ¨re partie de cette thĂ¨se. Elle a mis en ĂŠvidence l'intĂŠrĂŞt de ce type d'approche pour la gĂŠnĂŠration de maillages volumiques. Nous avons notamment dĂŠmontrĂŠ la capacitĂŠ de notre mailleur Ă fournir des maillages de haute-qualitĂŠ pour des donnĂŠes discrĂ¨tes. Nous avons ĂŠgalement montrĂŠ l'aptitude de notre mailleur Ă gĂŠnĂŠrer des maillages adaptatifs. La qualitĂŠ des maillages obtenus a ĂŠtĂŠ comparĂŠe Ă celle de trois autres mĂŠthodes de gĂŠnĂŠration de maillage. Nos maillages sont de bonne qualitĂŠ. L'approche dĂŠveloppĂŠe au cours de cette thĂ¨se rĂŠpond aux objectifs xĂŠs et produit de trĂ¨s bons rĂŠsultats. Elle est entiĂ¨rement automatique, s'adapte Ă des gĂŠomĂŠtries complexes et produit de grands maillages volumiques de bonne qualitĂŠ, en un temps de calcul acceptable par rapport aux temps de simulation par la MEF. Notre approche permet d'obtenir un maillage avec une densitĂŠ de tĂŠtraĂ¨dres non uniforme. Ces tĂŠtraĂ¨dres ont une trĂ¨s bonne qualitĂŠ gĂŠomĂŠtrique. Un autre

161

CONCLUSION

avantage de notre mĂŠthode est de traiter directement les voxels de l'image 3D sans nĂŠcessiter la construction de maillages surfaciques. Nous montrons que l'adaptativitĂŠ, du maillage (accroissement ou rĂŠduction de la densitĂŠ locale de tĂŠtraĂ¨dres), peut ĂŞtre pilotĂŠe par des informations gĂŠomĂŠtriques, par exemple la largeur locale et/ou la courbure locale. Nous avons montrĂŠ que cette mĂŠthode apporte une bonne approximation des frontiĂ¨res entre rĂŠgions. Les amĂŠliorations susceptibles d'ĂŞtre apportĂŠes au code actuel concernent la qualitĂŠ du maillage, la vitesse de gĂŠnĂŠration et la gestion de la mĂŠmoire. La qualitĂŠ du maillage au niveau de l'approximation des frontiĂ¨res et des ĂŠlĂŠments gĂŠnĂŠrĂŠs peut ĂŞtre amĂŠliorĂŠe. La dĂŠ nition des sites peut inclure la direction de la normale pour une meilleure approximation. La vitesse de gĂŠnĂŠration du maillage est infĂŠrieure aux temps de rĂŠsolution de la MEF. Pour le problĂ¨me ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique, le temps de maillage est faible par rapport au temps de calcul qui suit. La vitesse peut ĂŞtre accrue par une optimisation appropriĂŠe du code et des algorithmes utilisĂŠs. Pour notre algorithme, nous avons fait en sorte d'utiliser des structures de donnĂŠes riches. Cependant, on ne peut prĂŠtendre avoir trouvĂŠ la structure de donnĂŠes optimales et des e orts restent encore Ă faire dans ce sens. Le travail rĂŠalisĂŠ dans le cadre de cette thĂ¨se ouvre ĂŠgalement de nombreuses perspectives. Nous allons dĂŠtailler quatre d'entre elles pour conclure ce document.

La premiĂ¨re piste de travail consisterait Ă ajouter, Ă l'information gĂŠomĂŠtrique, un critĂ¨re liĂŠ Ă l'erreur de calcul par la MEF. La carte de densitĂŠ Ď (x)

serait alors la traduction, en termes de taille des ĂŠlĂŠments, de l'ĂŠvolution de la

solution via l'erreur. Nous pensons que cela pourrait apporter une rĂŠelle avancĂŠe et c'est pour cette raison que nous envisageons de nous orienter dans cette direction.

Le deuxiĂ¨me axe de poursuite de nos travaux est la construction progressive du maillage en terme de rĂŠsolution spatiale Nous allons accĂŠlĂŠrer le calcul MEF ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique grĂ˘ce Ă cette approche. Cet axe de travail constitue un vĂŠritable enjeu car la rĂŠsolution spatiale des donnĂŠes peut jouer un rĂ´le important dans les prĂŠcisions du simulateur.

La troisiĂ¨me perspective accompagnant ce travail de thĂ¨se et plus gĂŠnĂŠralement le projet de recherche associĂŠ, consiste Ă une interface homme machine combinant les di ĂŠrents modules de notre mailleur. Ce travail est dĂŠjĂ en cours de rĂŠalisation ( gure 11.9).

La derniĂ¨re perspective envisagĂŠe est la gĂŠnĂŠration de maillages anisotropes. Nous souhaitons nous intĂŠresser Ă ce type de gĂŠnĂŠration dans le cadre de la simulation thermique. La construction de tels maillages nĂŠcessite alors d'estimer l'anisotropie des di ĂŠrentes rĂŠgions anatomiques.

162

Julien Dardenne

CONCLUSION

Fig. 11.9 Meshview

Le travail accompli au cours de cette thèse a fait émerger de nombreux aspects nouveaux liés au traitement direct des données discrètes. Nous avons ainsi mis en évidence le potentiel de notre approche discrète de type Voronoï-Delaunay dans le cadre de la génération de maillages tétraédriques. A notre connaissance, cette approche n'avait pas encore été exploitée dans ce cadre.

Julien Dardenne

163

CONCLUSION

164

Julien Dardenne

Bibliographie personnelle Revues internationales avec comité de lecture [Dardenne and al., 2009b] J. Dardenne, S. Valette, N. Siauve, N. Burais and R. Prost. Modélisation adaptative 3d de structures anatomiques pour la simulation électromagnétique et thermique .

Engineering. Acceptée en 2009.

European Journal of Electrical

[Dardenne and al., 2009a] J. Dardenne, S. Valette, N. Siauve, N. Burais and R. Prost. Variational tetrahedral mesh generation from discrete volume

The Visual Computer, Special issue on Computer Graphics International (CGI'09), Volume 25, no. 5, pages 401-410, May 2009. data.

Conférences internationales avec actes et avec comité de lecture [Dardenne and al., 2009g] J. Dardenne, S. Valette, N. Siauve, R. Prost and N. Burais. Impact of Tetrahedral Mesh Quality for Electromagnetic and

Proceedings of the IEEE International Conference on the Computation of Electromagnetic, COMPUMAG'09, Florianopolis, Brazil, Thermal Simulations . In

November 2009. A paraître.

[Siauve and al., 2009f]

N. Siauve, C. Lormel, R. Marion,

J. Dardenne

and F. Sixdenier. Electromagnetic Characterization of Biological Tissues with

Proceedings of the IEEE International Conference on the Computation of Electromagnetic, COMPUMAG'09, FlorianopoParticle Swarm Optimization . In

lis, Brazil, November 2009. A paraître.

[Dardenne and al., 2009e] J. Dardenne, S. Valette, N. Siauve, B. Khaddour and R. Prost. Exploiting curvature to compute the medial axis with

constrained centroidal voronoi diagram on discrete data . In Proceedings of the IEEE International Conference on Image Processing, ICIP'09, Cairo, Egypt, November 2009. A paraître.

[Dardenne and al., 2008a] J. Dardenne,

S. Valette, N. Siauve and R.

Prost. Medial axis approximation with constrained centroidal voronoi dia-

Proceedings of the Computer Graphics International, CGI'08, Istanbul, Turkey, pages 299-306, June 2008. grams on discrete data. . In

165

BIBLIOGRAPHIE

Conférences nationales avec actes et avec comité de lecture [Dardenne and al., 2009d] J. Dardenne,

S. Valette, N. Siauve and R.

Prost. Génération de maillages triangulaires adaptatifs 2d avec des diagrammes de voronoï centroïdaux . Dans

Actes du Colloque GRETSI, Dijon, France, Sep-

tembre 2009.

[Dardenne and al., 2009c] J. Dardenne,

S. Valette, N. Siauve and R.

Prost. Approximation de l'axe médian pour les objets discrets avec prise en compte de la courbure . Dans

Actes du Colloque GRETSI, Dijon, France,

Septembre 2009.

[Dardenne, 2008b] J. Dardenne.

Génération de maillages tétraédriques

adaptatifs de structure anatomique du corps humain pour la simulation électromagnétique et thermique .

Prix JCGE'08. Dans Actes du Colloque JCGE,

pages 299-306, Lyon, France, Décembre 2008.

166

Julien DARDENNE

Bibliographie [Alliez 05]

P. Alliez, D. Cohen-Steiner, M. Yvinec & M. Desbrun.

Variational

tetrahedral meshing. ACM Transactions on Graphics, vol. 24, no. 3, pages 617 625, 2005.

[Alliez 07]

P. Alliez, D. Cohen-Steiner, Y. Tong & M. Desbrun.

variational reconstruction of unoriented point sets.

Voronoi-based In SGP '07 :

Proceedings of the fth Eurographics symposium on Geometry processing, pages 39 48, 2007. [Amenta 98a]

N. Amenta & M. Bern.

Surface reconstruction by Voronoi ltering.

In SCG '98 : Proceedings of the fourteenth annual symposium on Computational geometry, pages 39 48, 1998. [Amenta 98b]

N. Amenta, M. Bern & M. Kamvysselis.

surface reconstruction algorithm.

A new Voronoi-based

In SIGGRAPH '98 : Proceedings

of the 25th annual conference on Computer graphics and interactive techniques, pages 415 421, 1998. [Amenta 01]

N. Amenta, S. Choi & R.K Kolluri.

The Power Crust.

In Procee-

dings of 6th ACM Symposium on Solid Modeling, pages 249 260, 2001. [Antani 07]

L. Antani, C. Delage & P. Alliez.

Weighted Voronoi Diagrams.

Mesh Sizing with Additively

In Proc. of the 16th Int. Meshing

Roundtable, pages 335 346, 2007. [Aran 03]

J.-M. Aran, J.-C. Bolomey, P. Buser, R. De Seze, M. Hours, I. La-

Rapport à l'Agence Française de Sécurité Sanitaire Environnementale AFSSE : Téléphonie mobile et santé. mars

groye & B. Veyret. 2003. [Attali 07a]

Stability and Computation of Medial Axes : a State of the Art Report. In Mathema-

D. Attali, J.D. Boissonnat & H. Edelsbrunner.

tical Foundations of Scienti c Visualization, Computer Graphics, and Massive Data Exploration. 2007. [Attali 07b]

D. Attali, D. Coeurjolly & E. Remy. Géométrie discrète et images numériques, chapitre Représentation par axe médian, Chapitre 9. Traité IC2. Hermès, 2007.

[Babuska 76]

I. Babuska & A.K. Aziz.

Element Method.

On the Angle Condition in the Finite

SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 13,

no. 2, pages 214 226, 1976.

167

BIBLIOGRAPHIE

[Basser 96]

Microstructural and physiological features of tissues elucidated by quantitative-di usion-tensor MRI. P. J. Basser & C. Pierpaoli.

Journal of Magnetic Resonance, pages 209 219, 1996. [Bayliss 80]

A. Bayliss & E. Turkel.

Radiation boundary conditions for wave-

like equations. Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 33, pages 707 725, 1980.

[Bern 92]

M. Bern & D. Eppstein. Mesh generation and optimal triangulation. Computing in Euclidean Geometry. Ding-Zhu Du and Frank Hwang, Singapore, lecture notes series on computing edition, 1992.

[Bidal 02]

Semiautomatic 3D reconstruction and meshing of organs from 2D contours.

S. Bidal, T. Serre, K. Kayvantash, M. Fieschi & J. Bonnoit.

In Actes du 7Ă¨me CongrĂ¨s NumĂŠrisation 3D Human Modelling, April 2002. [Blum 67]

A transformation for extracting new descriptors of form.

H. Blum.

Models for the Perception of Speech and Visual Form, pages 362 380, 1967. [Boissonnat 92]

Three-dimensional reconstruction of complex shapes based on the Delaunay triangulation. Rapport

J.D. Boissonnat & B. Geiger. technique, INRIA, 1992.

[Bonnassie 01]

Shape description of threedimensional images based on medial axis. In Proceedings. 2001

A. Bonnassie, F. Peyrin & D. Attali.

International Conference on Volume 3, pages 931 934, 2001. [Borouchaki 97] H. Borouchaki & P.L. George.

neration.

Aspects of 2-D Delaunay mesh ge-

International Journal for Numerical Methods in Enginee-

ring, vol. 40, no. 3, pages 1957 1975, 1997. [Brandt 92]

J.W. Brandt & V. R. Algazi.

Voronoi diagram.

Continuous skeleton computation by

CVGIP : Image Underst., vol. 55, no. 3, pages

329 338, 1992. [Cavendish 85]

An Approach to Automatic Three-Dimensional Finite Element Mesh Generation. InJ. C. Cavendish, D. A. Field & W. H. Frey.

ternational Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 21, no. 2, pages 329 347, 1985. [Cepeda 08]

Coaxial double slot antenna design for interstitial Hyperthermia in smooth muscle using a nite element computer modeling. In IEEE International

M.F.J. Cepeda, A. Vera, L. Leija & C. Trujillo.

Instrumentation & Measurement Technology Conference, I2MTC 2008, pages 961 963, 2008. [Chazal 05]

F. Chazal & A. Lieutier.

The lambda medial-axis.

Graph. Models,

vol. 67, no. 4, pages 304 331, 2005. [Chazal 06]

F. Chazal, D. Cohen-Steiner & A. Lieutier.

for compact sets in Euclidean space.

A sampling theory

In SCG '06 : Proceedings of

the twenty-second annual symposium on Computational geometry, pages 319 326, 2006.

168

Julien DARDENNE

BIBLIOGRAPHIE

[Cheng 99]

S.-W. Cheng, T.K. Dey, H. Edelsbrunner, M.A. Facello & S.H. Teng.

Sliver exudation.

In SCG '99 : Proceedings on Computa-

tional geometry, pages 1 13, 1999. [Choi 03]

Tetrahedral mesh generation based on advancing front technique and optimization scheme. International Journal for Numerical Methods in Enginee-

W.Y. Choi, D.Y. Kwak, I.H. Son & Im Y.T.

ring, vol. 58, pages 1857 1872, Oct 2003. [Cocquerez 95]

J. P. Cocquerez & S. Philipp. Analyse d'image : ltrage et segmentation. 1995.

Optimal Separable Algorithms to Compute the Reverse Euclidean Distance Transformation and Discrete Medial Axis in Arbitrary Dimension. IEEE Transactions

[Coeurjolly 07a] D. Coeurjolly & A. Montanvert.

on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 29, no. 3, pages 437 448, 2007. [Coeurjolly 07b] D. Coeurjolly, A. Montanvert & J.-M. Chassery. Géométrie discrète et images numériques. 2007. [Delingette 97]

[Dellas 07]

H. Delingette.

Meshes.

General Object Reconstruction based on Simplex

Rapport technique 3111, Inria, February 1997.

F. Dellas, L. Moccozet, N. Magnenat-Thalmann, M. Mortara, G. Patane, M. Spagnuolo & B. Falcidieno.

traction of control skeletons for animation.

Knowledge-based ex-

In SMI '07 : Procee-

dings of the IEEE International Conference on Shape Modeling and Applications 2007, pages 51 60, 2007. [Dey 03]

Approximating the Medial Axis from the Voronoi Diagram with a Convergence Guarantee. Algorithmica,

T.K. Dey & W. Zhao.

vol. 38, no. 1, pages 179 200, 2003. [Du 99]

Q. Du, V. Faber & M. Gunzburger.

tions : Applications and Algorithms.

Centroidal Voronoi TessellaSIAM Review, vol. 41, no. 4,

pages 637 676, 1999. [Du 06]

Qiang Du & Desheng Wang.

Recent progress in robust and quality

Delaunay mesh generation. J. Comput. Appl. Math., vol. 195, no. 1, pages 8 23, 2006.

[Dubbel 99] [Fabbri 02]

Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer, 1999. R. Fabbri, L.F. Estrozi & L.F. Costa. On Voronoi Diagrams and Medial Axes. J. Math. Imaging Vis., vol. 17, no. 1, pages 27 40,

H. Dubbel.

2002. [Feldkamp 84]

L.A. Feldkamp, L.C. Davis & J.W. Kress.

algorithm.

Practical cone-beam

J. Opt. Soc. Amer. Ag, vol. 1, no. 6, pages 612 619,

1984. [Foster 04]

K.R. Foster & E. Adair. Modelling thermal reponses in human subjects following extended exposure to radiofrequency energy. Biomedical Engineering Online, vol. 3, no. 4, 2004.

Julien DARDENNE

169

BIBLIOGRAPHIE

[Frey 01]

J. Frey & F. Alauzet.

tations.

Anisotropic mesh adaptation for CFD compu-

Computer methods in applied mechanics and engineering,

vol. 194, no. 48, pages 5068 5082, 2001. [Frey 07]

P.J. Frey & P.L. George. Mesh generation : Application to nite elements. ISTE, 2007.

[Gabriel 96]

S. Gabriel, R.W. Lau & C. Gabriel. The dielectric properties of biological tissues : II. Measurements in the frequency range 10 Hz to 20 GHz. Physics in Medicine and Biology, vol. 41, no. 11, pages 2251 2269, 1996.

[Gardan 87]

Y. Gardan. MathĂŠmatiques et cao : mĂŠthode de base. 1987.

[Ge 96]

Y. Ge & J. M. Fitzpatrick.

On the Generation of Skeletons from Discrete Euclidean Distance Maps. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., vol. 18, no. 11, pages 1055 1066, 1996.

[Gelas 06]

A. Gelas. Compactly supported radial basis functions : multidimensional reconstruction and applications. phddoctorat, INSA Lyon, nov 2006.

[George 97a]

Improvements on Delaunay-based three dimensional automatic mesh generator. Finite Elements in Analysis and Design,

P.-L. George.

vol. 2, pages 297 317, 1997. [George 97b]

P.L. George & H. Borouchaki.

Triangulation de delaunay et

maillage. 1997. [George 98]

P.-L. George & H. Borouchaki.

Delaunay triangulation and me-

shing. applications to nite elements. Hermes, Paris, 1998. [George 03]

P.-L. George & H. Borouchaki.

Back to edge ips in 3 dimensions.

In Sandia National Laboratories, editeur, 12th International Meshing Roundtable, pages 393 402, september 2003. [Hulin 06]

J. Hulin & E. Thiel.

forms.

In 13

Chordal Axis on Weighted Distance Trans-

th DGCI, Discrete Geometry for Computer Image, vo-

lume 4245 of

Lectures Notes in Computer Science, pages 271 282,

2006. [ICNIRP 98]

ICNIRP. Guidelines for limiting exposure to time-varying electric, magnetic, and electromagnetic elds (up to 300 GHz). Health Physics, vol. 74, no. 4, pages 494 522, April 1998.

[Jia 07]

Strati ed helix information of medial-axispoints matching for 3D model retrieval. In MIR '07 : Proceedings

J. Jia, Z. Qin & J. Lu.

of the international workshop on Workshop on multimedia information retrieval, pages 169 176, 2007. [Ju 07]

Computing a family of skeletons of volumetric models for shape description. Comput. Aided Des., T. Ju, M.L. Baker & W. Chiu.

vol. 39, no. 5, pages 352 360, 2007. [Kaatee 97]

Spatial Tempearture with a 27 MHz Current Source Interstitial Hyperthermia System. Journal of the European Society for Therapeutic Radiology R. Kaatee, H. Crezee, B.P. Kanis & J.W. Lagendijk.

and Oncology, vol. 37, no. 1, pages 189 197, 1997.

170

Julien DARDENNE

BIBLIOGRAPHIE

[Klingner 07]

B.M. Klingner & J. R. Shewchuk.

Improvement.

Agressive Tetrahedral Mesh

In Proceedings of the 16th International Meshing

Roundtable, pages 3 23, oct 2007. [Kovalevsky 89] V.A. Kovalevsky.

Finite topology as applied to image analysis. Com-

put. Vision Graph. Image Process., vol. 46, no. 2, pages 141 161, 1989. [Labelle 07]

F. Labelle & J.R. Shewchuk. Isosurface Stu ng : Fast Tetrahedral Meshes with Good Dihedral Angles. In Special issue on Proceedings of SIGGRAPH 2007, volume 26, page 57, August 2007.

[Liu 94]

A. Liu & B. Joe.

On the shape of tetrahedra from bisection.

Math.

of Computation, vol. 63, no. 207, pages 141 154, 1994. [Lloyd 82]

S. Lloyd.

Least squares quantization in PCM.

IEEE Transactions

on Information Theory, vol. 28, no. 2, pages 129 137, 1982. [Lo 85]

S. H. Lo.

mains.

A new mesh generation scheme for arbitrary planar do-

International Journal For Numerical Methods In Enginee-

ring, vol. 21, pages 1403 1426, 1985. [Lorensen 87a]

Marching cubes : A high resolution 3D surface construction algorithm. Computer Graphics, vol. 21,

W. E. Lorensen & H. E. Cline. no. 4, pages 163 169, 1987.

[Lorensen 87b]

W. E. Lorensen & H. E. Cline. Marching Cubes : A High Resolution 3D Surface Construction Algorithm. Computer Graphics, vol. 21, no. 4, pages 163 169, 1987.

[Lorrain 02]

[MacQueen 67]

Rapport sur l'incidence éventuelle de la téléphonie mobile sur la santé, O ce parlementaire d'évaluation des choix scienti ques et technologiques. novembre 2002. J.B. MacQueen. Some Methods for Classi cation and Analysis of MultiVariate Observations. In L. M. Le Cam & J. Neyman, ediJ.-L. Lorrain & D. Raoul.

teurs, Proc. of the fth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, volume 1, pages 281 297. University of California Press, 1967. [Mar 03]

Les nouveaux développements de l'hyperthermie en cancérologie, 2003.

[Miklos 07]

Medial axis approximation from inner Voronoi balls : a demo of the Mesecina tool. In SCG '07 : Pro-

B. Miklos, J. Giesen & M. Pauly.

ceedings of the twenty-third annual symposium on Computational geometry, pages 123 124, 2007. [Mitchell 00]

S.A. Mitchell & S.A. Vavasis.

Dimensions.

Quality Mesh Generation in Higher

SIAM J. Comput., vol. 29, no. 4, pages 1334 1370,

2000. [Owen 98]

S.J. Owen.

A Survey of Unstructured Mesh Generation Technology.

In Proceedings of the Seventh International Meshing Roundtable, pages 239 267, 1998.

Julien DARDENNE

171

BIBLIOGRAPHIE

[Pennes 48]

Analysis of tissue and arterial blood temperatures in the resting human forearm. J Appl Physiol, vol. 85, no. 1, pages

H.H. Pennes. 5 34, 1948.

[Pescatore 01]

Construction de maillages adaptatifs 3D volumiques des structures cerebrales pour le calcul des champs magnetiques et des potentiels en EEG et en MEG. Application a l'epilepsie et aux sciences cognitives. PhD thesis, ThĂ¨se de l'ENST, DĂŠpartement J. Pescatore.

Traitement du Signal et des Images, 2001. [Quadros 04]

W.R. Quadros, K. Shimada & S.J. Owen. 3D discrete skeleton generation by wave propagation on PR-octree for nite element mesh sizing. In SM '04 : Proceedings of the ninth ACM symposium on Solid modeling and applications, pages 327 332, 2004.

[Rappaz 98]

Michel Rappaz, M. Bellet & Michel Deville.

ModĂŠlisation numĂŠ-

rique en science et gĂŠnie des matĂŠriaux. 1998. [Ronkainen 06]

Cost analysis of an open low- eld (0.23T) MRI unit : e ect of procedure shares in combined imaging, interventional, and neurosurgical use. Acta Radioligica, vol. 47, J. Ronkainen & O. Tervonen.

no. 4, pages 359 365, 2006. [Rose 07]

J.-L. Rose, Ch. Revol-Muller, M. Almajdub, E. Chereul & Ch.

Shape Prior Integrated in an Automated 3D Region Growing Method. In IEEE International Conference on Image Processing, Odet.

ICIP 2007, volume 1, pages 53 56, Sept 2007. [Roussel 99]

[Saito 94]

[Sander 82]

Microcapteur de conductivitĂŠ thermique sur caisson epais de silicium poreux pour la mesure de la micro-circulation sanguine. PhD thesis, INSA-Lyon, 1999. T. Saito & J.I. Toriwaki. New algorithms for Euclidean distance transformations of an n-dimensional digitised picture with applications. Pattern Recognition, vol. 27, no. 11, pages 1551 1565, 1994. R. Sander, J. Brinkmann & B. Kuhne. Laboratory studies on animal and human beings exposed to 50-Hz electric and magnetic elds.

P Roussel.

CIGRE, International Congress on Large High Voltage Electric systems, vol. 31, no. 1, 1982. [SchĂśnhardt 28] E. SchĂśnhardt.

Ă&#x153;ber die Zerlegung von Dreieckspolyedern.

Mathe-

matish Annalen, vol. 98, pages 309 312, 1928. [Shaw 91]

Computed-aided design of two dimensional electric type hyperthermia applicators using the nite di erence time domain method. IEEE Trans. Biomedical

J.A. Shaw, C.H. Durney & D.A. Christensen.

Engineering, vol. 38, pages 861 870, 1991. [Shellock 00]

[Sherbrooke 95]

Radiofrequency energy-induced heating during MR procedures, a review. JMRI, vol. 12, no. 11, pages 30 36, 2000. E.C. Sherbrooke, N.M. Patrikalakis & E. Brisson. Computation of the Medial Axis Transform of 3-D polyhedra. In SMA '95 : ProceeF.G Shellock.

dings of the third ACM symposium on Solid modeling and applications, pages 187 200, 1995.

172

Julien DARDENNE

BIBLIOGRAPHIE

[Shewchuk 97]

Adaptive Precision Floating-Point Arithmetic and Fast Robust Geometric Predicates. Discrete and Computational

J. R. Shewchuk.

Geometry, vol. 18, pages 305 363, 1997. [Shewchuk 98]

J.R. Shewchuk.

Tetrahedral mesh generation by Delaunay re ne-

ment. In SCG '98 : Proceedings on Computational geometry, pages 86 95, 1998.

[Shewchuk 02a]

J.R. Shewchuk. Two discrete optimization algorithms for the topological improvement of tetrahedral meshes. In In Unpublished manuscript, 2002.

What Is a Good Linear Element ? Interpolation, Conditioning, and Quality Measures. In Eleventh International Me-

[Shewchuk 02b] J.R. Shewchuk.

shing Roundtable, pages 115 126, Sept 2002. [Si 05a]

Meshing piecewise linear complexes by constrained Delaunay tetrahedralizations. In 14th Int. Meshing Round-

H. Si & K. Gartner. table., 2005.

[Si 05b]

Meshing piecewise linear complexes by constrained delaunay tetrahedralizations. In in Proceedings of the 14th IMR, H. Si & k. Gartner.

2005. [Siauve 04]

N. Siauve, L. Nicolas, C. Vollaire, A. Nicolas & J.A. Vasconcelos.

Optimization of 3D SAR distribution in local hyperthermia.

IEEE

Transactions on Magnetics, vol. 40, no. 2, pages 1264 1267, March 2004. [Siauve 05]

Siauve,

Paulides,

Nicolas,

Van-Leersum,

G.C.

Comparison of FDTD and FE Methods in Numerical Dosimetry for the Treatment of Cancerous Tumors with Electromagnetic Fields. In 15th Conference on Van Rhoon, C. Vollaire & A. Nicolas.

the Computation of Electromagnetic Fields, June 2005. [Siauve 06]

3D numerical model of electromagnetic heating in hyperthermia cancer therapy. In International conference on Electromagnetic elds, Health N. Siauve, B. Lips, R. Bodiguel & C. Nicolas L. Vollaire.

and Environment, EHE06, pages 27 29, April 2006. [Stuchly 90]

M.-A. Stuchly.

Biological e ects of electromagnetic elds. Review of

Radio Science 1987-89, International Union of Radio Science, 1990. [Tchon 03]

K. Tchon, M. Khachan, F. Guibault & R. Camarero.

anisotropic

Constructing

In Proceedings of the 12th International Meshing

Roundtable, pages 293 304, 2003. [Thiele 02]

J. Thiele, M.A. Golombeck & O. Dรถssel. Thermal heating of human tissue induced by electromagnetic elds of magnetic resonance imaging. Biomedizinische Technik, vol. 47, no. 2, pages 743 746, 2002.

[Tournois 09]

Interleaving Delaunay Re nement and Optimization for Practical Isotropic Tetrahedron Mesh Generation. ACM Transactions on Graphics, vol. 28,

J. Tournois, C. Wormser, P. Alliez & M. Desbrun.

no. 3, 2009.

Julien DARDENNE

173

BIBLIOGRAPHIE

[Valette 08]

Generic remeshing of 3D triangular meshes with metric-dependent discrete Voronoi Diagrams. S. Valette, J. M. Chassery & R. Prost.

IEEE Trans Visu Comp Graph, pages 369 381, 2008. [Wu 05]

Automatic triangulation over three-dimensional parametric surfaces based on advancing front method. Finite Elem. B. Wu & S. Wang.

Anal. Des., vol. 41, no. 9-10, pages 892 910, 2005. [Yerry 83]

M. Yerry & M. Shephard.

element mesh generation.

A modi ed-quadtree approach to nite IEEE Computer Graphics and Applica-

tions, vol. 3, pages 39 46, 1983. [Zachow 07]

[Zwick 97]

174

3D Reconstruction of Individual Anatomy from Medical Image Data : Segmentation and Geometry Processing. 2007. U. Zwick, N. Alon & R. Yuster. Finding and counting given length cycles. Algorithmica, vol. 17, pages 209 223, 1997.

S. Zachow, M. Zilske & H.C. Hege.

Julien DARDENNE

Folio Administratif ThĂ¨se soutenue devant l'Institut National des Sciences AppliquĂŠes de Lyon

Nom : Dardenne

Date de soutenance :

PrĂŠnom : Julien Titre : Maillage 3D de structures anatomiques pour la simulation ĂŠlectromagnĂŠtique et thermique.

Nature : Doctorat

NumĂŠro d'ordre :

Ecole doctorale : Ă&#x2030;lectronique, Ă&#x2030;lectrotechnique et Automatique SpĂŠcialitĂŠ : IMAGES ET SYSTĂ&#x2C6;MES Cote B.I.U. Lyon

Classe :

RĂŠsumĂŠ : Dans son environnement quotidien, l'homme est volontairement ou involontairement exposĂŠ Ă des champs ĂŠlectromagnĂŠtiques radiofrĂŠquences. La prĂŠdiction de l'ĂŠlĂŠvation de tempĂŠrature induite par ce rayonnement, Ă l'aide d'un calcul sur un modĂ¨le anatomique maillĂŠ, dĂŠpend beaucoup de la qualitĂŠ de ce modĂ¨le. Les mĂŠthodes actuelles de gĂŠnĂŠration de maillages volumiques utilisent des reprĂŠsentations surfaciques intermĂŠdiaires des donnĂŠes anatomiques. Nous montrons qu'il n'est pas nĂŠcessaire d'avoir une reprĂŠsentation surfacique pour gĂŠnĂŠrer un maillage volumique. Nous proposons une construction de maillages tĂŠtraĂŠdriques basĂŠe sur les diagrammes de Voronoi centroĂŻdaux et leur dual, la triangulation de Delaunay. Cette approche, contrairement aux approches de la littĂŠrature, traite directement un volume de voxels segmentĂŠs, obtenu par IRM ou par tomographie X, sans passer par une reprĂŠsentation surfacique. A n d'obtenir des maillages, non plus uniformes mais adaptĂŠs Ă la complexitĂŠ anatomique, nous avons proposĂŠ une nouvelle mĂŠthode de capture de cette complexitĂŠ Ă l'aide d'une approximation de l'axe mĂŠdian. Une comparaison, avec trois autres mĂŠthodes de gĂŠnĂŠration de maillages de la littĂŠrature, montre que notre approche construit des tĂŠtraĂ¨dres de meilleure qualitĂŠ gĂŠomĂŠtrique pour di ĂŠrents critĂ¨res. De cette qualitĂŠ dĂŠcoule une meilleure prĂŠcision sur la tempĂŠrature induite par le rayonnement ĂŠlectromagnĂŠtique, calculĂŠe par une mĂŠthode d'ĂŠlĂŠments nis, ainsi qu'un temps de calcul rĂŠduit. Ces rĂŠsultats montrent le potentiel de notre approche discrĂ¨te de type VoronoĂŻ-Delaunay pour la gĂŠnĂŠration de maillages tĂŠtraĂŠdriques.

Mots-clĂŠs : maillage tĂŠtraĂŠdrique, diagramme de VoronoĂŻ, triangulation de Delaunay, axe mĂŠdian, largeur locale, ĂŠlĂŠments nis.

Laboratoires de Recherches : CREATIS (CNRS UMR 5520, INSERM U630) et AMPERE (CNRS UMR 5005).

Directeurs de ThĂ¨se : Pr. RĂŠmy Prost et Pr. NoĂŤl Burais PrĂŠsident du Jury : Composition du Jury : Olivier Devillers (Rapporteur), Yves MarĂŠchal (Rapporteur), FrĂŠdĂŠric Truchetet, Jean-Marc Chassery, Nicolas Siauve, SĂŠbastien Valette, NoĂŤl BURAIS, RĂŠmy PROST