Unit 1 matrix by Daosakul Konyoung

Matrix and Determinant

เมตริกซ ์ เมตริกซ์ คือตาราง ที่ประกอบด้วยตัวเลข ที่มีความหมาย สามารถนามา คานวณทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายขึ้น เมตริกซ์นิยมนามาใช้แก้สมการเชิงเส้น และมีการประยุกต์การใช้เมตริกซ์ในทางคณิตศาสตร์อย่างกว้างขวาง

นิยามกับข้ อกาหนด เมตริ กซ์โดยทัว่ ไปจะมี m แถว และมี n คอลัมม์ เราเรี ยกว่าเมตริ กซ์มีขนาดเป็ น m-by-n หรื อ m×n สมาชิกของเมตริ กซ์ในแถวที่ i กับคอลัมม์ที่ j นิยมเขียน เป็ น Ai,j หรื อ A[i,j] โดยที่ aij , 1 ≤ i ≤ m และ 1 ≤j≤n

เมตริ กซ์ที่มีสมาชิกเพียงแถวเดียวเรี ยกว่า เมตริ กซ์แถว ส่ วนเมตริ กซ์ที่มีสมาชิกเพียงคอลัมม์เดียวเรี ยกว่า เมตริ กซ์ คอลัมม์ เมตริ กซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจานวนคอลัมม์ เรี ยกว่า เมตริ กซ์จตุรัส (Square matrix)

ตัวอย่ าง เมตริ กซ์ A เป็ นเมตริ กซ์ขนาด 4×3. สมาชิกแถวที่ 2 คอลัมม์ที่ 3 หรื อ A[2,3] หรื อ a(2,3) คือ 7

เมตริ กซ์ R เป็ นเมตริ กซ์แถวขนาด 1×9 หรื อเวคเตอร์ แถวที่มีสมาชิก 9 ตัว

เมตริ กซ์ทะแยงมุม(diagonal matrix) เป็ นเมตริ กซ์จตุรัสที่มีสมาชิกเฉพาะแถวทะแยงมุม นอกนั้นจะมีค่าเป็ น 0 เช่น 1 0 0   C  0 2 0  0 0 3

สเกลาเมตริ กซ์ (Scalar matrix) เป็ นเมตริ กซ์ทะแยงมุมที่สมาชิกแถวทะแยงมุม มีค่าเป็ น เท่ากันเช่น และ ถ้ามีค่าเป็ น 1 เรี ยกว่าเมตริ กซ์ เอกลักษณ์ (Identity matrix) 2 0 0 D  0 2 0 0 0 2

1  I2     1

1 0 0 I 3  0 1 0 0 0 1

เมตริ กซ์สามเหลี่ยม (Triangular matrix) เป็ นเมตริ กซ์ที่สมาชิกเหนือหรื อใต้แถวทะแยงมุม นอกนั้นมี ค่าเป็ น0 2 3 1  A  0 1 3 0 0 4 Upper triangular matrix

2 0 0   B  1 1 0  5 3 4 Lower triangular matrix

เมตริ กซ์ทรานส์โพส(Transpose matrix) คือเมตริ กซ์ที่สลับสมาชิกของแถวกับคอลัมม์ เช่น

1  1 A  2 4 

 1 2 A     1 4

 4  2 6 B  1 5 3

 4 1   t B   2 5  6 3

คุณสมบัติของ Transpose matrix

A   A kA   kA

( A  B)  A  B

( AB)  B A

t t

การบวกลบเมตริ กซ์ เมตริ กซ์ที่มีขนาดเท่ากัน (ทั้งจานวนแถวและจานวนคอลัมม์สามารถ บวก ลบกันได้โดยนาค่าของสมาชิกมาบวกกันหรื อลบกันโดยตรง

 mn  bij mn

A  B  aij

3 6  1 A  2  4 11 

0  5  7 B  8 10 9 

 3 1  8 A B    10 6 20 

คุณสมบัติการบวกลบเมตริ กซ์ A B A B  B  A

เมื่อขนาดของ A เท่ากับขนาดของ B และสมาชิกทุกตัวเท่ากัน

A  ( B  C)  ( A  B)  C

A0  A A A  0

 mn

kA  kaij

C( A  B)  CA  CB

การคูณเมตริ กซ์ Cmq  Amn  Bnq

จานวนคอลัมม์ของ A ต้องเท่ากับจานวนแถวของ B

cij 

a

bkj

k 1

A  1 2 4

A  B  2 21

5 0   B   7  4  3 6 

คุณสมบัติการคูณเมตริ กซ์ ( AB)C  A( BC )

I n A  A  AI n A( B  C)  AB  AC

( B  C ) A  BA  CA

AB  BA

ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ det(A) หรื อ A มีความสาคัญในการ คานวณทางคณิ ตศาสตร์ วิธีคานวณหาดีเทอร์มิแนนท์มีหลายวิธีดงั นี้ 1. การหาโดยตรง (ในกรณี ของเมตริ กซ์ขนาดเล็ก) เช่น เมตริ กซ์ขนาด 2x2 (หาดีเทอร์มิแนนท์ได้ในกรณี ของเมตริ กซ์จตุรัสเท่านั้น) -

a b  A det A  ad  cb  c d  +

เมตริ กซ์ขนาด 3x3  a1  A  a 2  a3

b1 b2 b3

c1  a1  c2  a 2 c3  a3 +

b1 b2 b3 +

det A  a1b2 c3  b1c2 a3  c1a2b3  a3b2 c1  b3c2 a1  c3 a2b1 เมตริ กซ์ที่มีขนาดมากกว่านี้จะทาแบบนี้ไม่ได้ ต้องใช้วิธีกระจาย cofactor เท่านั้น

การหา Determinant โดยใช้ วธิ ีการกระจาย Cofactor Cofactor Aij หาได้จาก Matrix A ถูกตัดแถวที่ i และ Column ที่ j ออกไปแล้วหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ที่เหลือ (จะมีขนาดเล็กลง เสมอ) แล้วนา cofactor มาหาค่าดีเทอร์มิแนนท์ ตัวอย่ างที่ 1. จงหาค่าของ A12 และ A23 2 1 0 A  9 4 6   5 3 8 

หาค่า A12 ต้องตัดแถวที่ 1 และ Column ที่ 2 ออก จะได้ 2 1 0 9 4 6     5 3 8 

9 6 5 8

คูณข้างหน้าด้วย (-1)(1+2) จะได้ A12   1

(1 2)

9 6  42 5 8

ตัวอย่ างที่ 1. (ต่อ) หาค่า A23 ต้องตัดแถวที่ 2 และ Column ที่ 3 ออก จะได้ 2 1 0 9 4 6     5 3 8 

2 1 5 3

คูณข้างหน้าด้วย (-1)(2+3) จะได้ A23   1

(2 3)

2 1  1 5 3

การกระจาย Cofactor เราสามารถเลือกว่าจะใช้แถวหรื อ Column ใดเป็ นหลักก็ได้ แต่การคานวณจะง่ายขึ้นถ้าเราเลือกแถวหรื อ Column ที่มีสมาชิกเป็ น 0 อยูม่ าก

ตัวอย่ างที่ 2. จงหา Determinant ของ Matrix 4  1 A 0  0

3 1 0 2 3 5  1 1 2   2 3 5 

ขั้นที่ 1 เลือกแถวหรื อ Column ที่จะเป็ นหลัก ในข้อนี้จะเห็นว่า Column ที่ 1 มีสมาชิกเป็ นเลข 0 ถึง 2 ตัว ดังนั้นเราควรจะเลือก Column ที่ 1 เป็ น หลักในการกระจาย Cofactor ขั้นที่ 2 เขียนสูตรกระจาย Cofactor ในที่น้ ีเราใช้การกระจายแบบ Column เราจะต้องทาดังนี้

1. เลือกสมาชิกทุกตัวใน Column ที่ 1 มา เราจะได้  a11 a  21  a31   a41

a12

a13

a22 a32 a42

a23 a33 a43

a14  a24  a34   a44 

a11 a21 a31 a41

จากนั้นจึงเขียนสูตร

det( A)  a11 A11  a21 A21  a31 A31  a41 A41

(ในกรณี ทีเลือกแถวที่ 1 เป็ นหลัก จะได้วา่ det( A)  a11A11  a12 A12  a13 A13  a14 A14 )

คานวณ Cofactor ตามสูตรโดยไม่จาเป็ นต้องคานวณ ถ้าค่า a ij เป็ น 0 ดังนั้นไม่ตอ้ งคานวณ A31 และ A41 จะเหลือเพียง A11 และ A21 ที่ตอ้ งคานวณ A11   1

11

2 3 5 1 1 2 2 3 5

จะเห็นว่าในสูตรของ A11มีแถวที่ซ้ ากัน 2 แถวดังนั้น A11  0

(ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริ กซ์ที่มีแถวซ้ ากันมีค่าเป็ น 0) 3 A21   1

2 1

1 1 2    (3)(1)(5)  (1)(2)(2)  (0)(1)(3)  (2)(1)(0)  (2)(3)(3)  (1)(1)(5)  2 3 5

 (15  4  0  0  18  5)  2

 det( A)  (4)(0)  (1)(2)  (0)( A31 )  (0)( A41)  2

คุณสมบัติของ ดีเทอร์มิแนนท์ 1. ถ้าสลับแถวหรื อสลับคอลัมม์จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เปลี่ยนเครื่ องหมาย 2. ถ้ามีแถวเหมือนกัน 2 แถว หรื อคอลัมม์เหมือนกัน 2 คอลัมม์จะทาให้ เมตริ กซ์น้ นั มีดีเทอร์มิแนนท์เป็ น 0 3. det(At)=det (A) 4. ถ้า A เป็ น triangular matrix ดีเทอร์มิแนนท์คือ A11A22…Ann 5. det (AB)=det(A)det(B) 6. det(kA)=det(kInA)=kndet(A) 7. det(A-1)=1/det(A)

คุณสมบัติของ ดีเทอร์มิแนนท์ 8. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอลัมม์หนึ่ง ถูกคูณด้วย k จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เป็ น k เท่าด้วย 9. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอมลัมม์หนึ่งเป็ น0 จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์เป็ น 0 10. ถ้าสมาชิกของแถวใดแถวหนึ่ง หรื อของคอลัมม์ใดคอมลัมม์หนึ่งถูก คูณด้วย k แล้วนาไปบวกหรื อลบกับแถวหรื อคอลัมม์ที่สอดคล้องกัน จะทาให้ดีเทอร์มิแนนท์ไม่เปลี่ยนแปลง

Elementary operation ใช้สาหรับแปลง Matrix ให้อยูใ่ นรู ปที่ง่ายขึ้น เช่นในเรื่ องการแปลง Matrix ให้อยูใ่ นรู ป Normal form หรื อเรื่ องการหา Inverse matrix โดยการแปลง [A : I] ให้เป็ น [I : B] Elementary operation มีให้เลือกมากมายหลายอย่าง หากเลือก Operation ไม่เหมาะสมอาจจะเสี ยเวลาคานวณมาก การเข้าใจในหลักการ เลือก Operation เป็ นสิ่ งสาคัญ จะทาให้ไม่เสี ยเวลามากในการคานวณ

การใช้ Elementary row operation ในการหา Inverse matrix (ห้ ามใช้ Elementary column operation ในการหา Inverse matrix) ตัวอย่ างที่ 3. จงหา Inverse matrix ของ Matrix ต่อไปนี้โดยใช้ Elementary row operation 5 1 A 2  0

10  8  3 4 0   4 2 10.5

5 0

0 4

1. ตั้งเป้ าหมายการแปลง Matrix

A I   I B,

B  inverse ( A)

เรามี Matrix ตั้งต้นคือ 5  1  A: I   2   0

1 0 0 0  0 1 0 0 0 0 1 0  0 0 0 1 

0 4 8 3 4 0 4 2 10.5

เป้ าหมายคือเราจะต้องใช้ Elementary row operation แปลง Matrix ให้เป็ น

1  0 0  0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

inverse(A)

b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42

b13 b14   b23 b24  b33 b34   b43 b44 

2. แปลง Matrix [A : I ] ให้เป็ นตามเป้ าหมาย 2.1 ทาให้ a11 เป็ น 1 ในที่น้ ีเรามีสามารถทาได้หลายวิธีเช่นหารแถวที่ 1 ด้วย a11 หรื อ สลับแถว 1 กับ แถว 2 ในที่น้ ีเราเลือกการหาร แถว 1 ด้วย 5 จะได้ R1 / 5

5  1 2   0

0 4 8 3 4 0 4 2 10.5

1 0 0 0  0 1 0 0 0 0 1 0  0 0 0 1 

1  1 2   0

0 4 8 3 4 0 4 2 10.5

2.2. ทาให้ a21, a31, และ a41 เป็ น 0 โดยการ 2.2.1 แถว 2 – (แถว 1)*a21 แล้วเก็บไว้ในแถว 2 2.2.2 แถว 3 – (แถว 1)*a31 แล้วเก็บไว้ในแถว 3 2.2.3 แถว 4 – (แถว 1)*a41 แล้วเก็บไว้ในแถว 4

0.2 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1 0  0 0 0 1 

R2  R1 R3  2R1

1  1 2   0

0 4 8 3 4 0 4 2 10.5

0.2 0 0 0   0 1 0 0 0 0 1 0  0 0 0 1 

1 1 0 2  6 0 1 4 0 1 4 4  0 4 2 10.5

0 0 0  0.2 1 0 0  0.4 0 1 0   0 0 0 1  0.2

2.3 ทาให้ a22 เป็ น 1 โดยการหารแถวที่ 2 ด้วย a22 ซึ่งเท่ากับ -1  R2

1 1 0 2  6 0 1 4 0 1 4 4  0 4 2 10.5

0 0 0  0.2 1 0 0  0.4 0 1 0   0 0 0 1  0.2

1  0 0  0

1 4 6 1 4 4 4 2 10.5

0 0  0.2 1 0 0  0.4 0 1 0   0 0 0 1  0.2

2.4 ทาให้ a12, a32, และ a42 เป็ น 0 โดยการ 2.4.1 แถว 1 – (แถว 2)*a12 แล้วเก็บไว้ในแถว 1 2.4.2 แถว 3 – (แถว 2)*a32 แล้วเก็บไว้ในแถว 3 2.4.3 แถว 4 – (แถว 2)*a42 แล้วเก็บไว้ในแถว 4 R1  R2 R3  R2 R4  4R2

1  0 0  0

1 4 6 1 4 4 4 2 10.5

0 0  0.2 1 0 0  0.4 0 1 0   0 0 0 1  0.2

1  0 0  0

1 4 6 0 8 2 0 14 13.5

0 0  0.2 1 0 0  0.6 1 1 0   0.8 4 0 1  0

2.5 ทาให้ a33 เป็ น 1 โดยการหารแถวที่ 3 ด้วย a33 ซึ่งเท่ากับ 8

R3 / 8

1  0 0  0

0 0  0.2 1 0 0  0.6 1 1 0   0.8 4 0 1  0

1 4 6 0 8 2 0 14 13.5

1  0 0  0

0  1 4 6 0.2 1 0 0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0   0 14 13.5 0.8 4 0 1  0

2.6 ทาให้ a13, a23, และ a43 เป็ น 0 โดยการ 2.6.1 แถว 1 – (แถว 3)*a13 แล้วเก็บไว้ในแถว 1 2.6.2 แถว 2 – (แถว 3)*a23 แล้วเก็บไว้ในแถว 2 2.6.3 แถว 4 – (แถว 3)*a43 แล้วเก็บไว้ในแถว 4 R1  4R3 R2  4R3 R4  14R3

1  0 0  0

0  1 4 6 0.2 1 0 0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0   0 14 13.5 0.8 4 0 1  0

1  0 0  0

0  1 0 5 0.1 0.5 0.5 0  0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0   0 0 10 0.25 2.25 1.75 1  0 0

0.3

0.5

0.5

2.7 ทาให้ a44 เป็ น 1 โดยการหารแถวที่ 4 ด้วย a44 ซึ่งเท่ากับ 10

R4 / 10

1  0 0  0

0  1 0 5 0.1 0.5 0.5 0  0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0   0 0 10 0.25 2.25 1.75 1  0 0

0.3

1  0 0  0

0.5

0.5

0  1 0 5 0.1 0.5 0.5 0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0  0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1 0 0

0.3

0.5

0.5

2.8 ทาให้ a14, a24, และ a34 เป็ น 0 โดยการ 2.8.1 แถว 1 – (แถว 4)*a14 แล้วเก็บไว้ในแถว 1 2.8.2 แถว 2 – (แถว 4)*a24 แล้วเก็บไว้ในแถว 2 2.8.3 แถว 3 – (แถว 4)*a34 แล้วเก็บไว้ในแถว 3 R1  7R4 R2  5R4 R3  0.25R4

1  0 0  0

0  1 0 5 0.1 0.5 0.5 0 0 1 0.25 0.075 0.125 0.125 0  0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1 0 0

0.3

1  0 0  0

0.5

0.5

0.7   1 0 0 0.025 0.625 0.375 0.5  0 1 0 0.08125 0.06875 0.16875 0.025  0 0 1 0.025 0.225 0.175 0.1  0 0 0

0.125

1.075

0.725

ได้คาตอบเป็ น 1.075 0.725 0.7   0.125  0.025  0.625  0.375 0.5  A1    0.08125 0.06875 0.16875 0.025   0.025 0.225  0.175 0.1  

ทดสอบคาตอบโดย 5 1  2  0

A  A1  I

หรื อไม่

10   0.125  1.075 0.725  0.7  1 0 4 8   0.025 0.625  0.375 0.5  0      3 4 0  0.08125 0.06875 0.16875  0.025 0     4  2  10.5  0.025 0.225  0.175 0.1  0 5

0 0 0 1 0 0 0 1 0  0 0 1

ถูกต้อง (จะเห็นว่าเสี ยเวลาในการคานวณมากถ้าทาด้วยมือ)

การใช้ Elementary operation ในการแปลง Matrix ให้อยูใ่ นรู ป Normal form เราสามารถใช้ Row operation หรื อ Column operation ก็ได้ โดยมีเป้ าหมาย คือต้องการให้ Matrix อยูใ่ นรู ปของ

 I n 0  0 0  

หรื อ

โดย 0 หมายถึง Zero matrix

I n

0

หรื อ

I n  0  

การวางแผนการเลือกใช้ Operation ต่างๆ จะคล้ายกับของการหา Inverse matrix ในตัวอย่างก่อน คือเราจะต้องรู ้วา่ ตาแหน่งใดที่ควรจะเป็ นเลข 1 และตาแหน่งใด ควรจะเป็ นเลข 0 จากนั้นจึงเลือก Operation ที่ตอ้ งการ ประโยชน์ของการทา Normal form คือใช้ในการตรวจสอบหา Rank ของเมตริ กซ์ Rank ของ Matrix A คือขนาดของ Matrix ย่อยของ A ที่โตที่สุดที่ Determinant มีค่าไม่เป็ น 0 เราสามารถหาค่า Rank ได้จากการสุ่ มหา Determinant ที่ไม่เป็ น 0 ของเมตริ กซ์ยอ่ ย ของ A หรื อการดูจาก Normal form ของ A แต่ดูจาก Normal form จะดีกว่า rank ของ matrix คือจานวนสมการ ที่ไม่ข้ ึนต่อกันของระบบสมการนั้น

วิธีการหา Rank จาก Normal form ของเมตริ กซ์ A 1. แปลง A ให้อยูใ่ นรู ป Normal form โดยใช้ Elementary row operation และ Elementary column operation 2. ขนาดของ Matrix I ที่อยูใ่ น Normal form ของ A จะเป็ น Rank ของ A เนื่องจาก Normal form ของ A สมมูลกับ A จะมี Rank เป็ นตัวเดียวกัน ตัวอย่ างที่ 4. จงหา Rank ของ Matrix A ต่อไปนี้ 2  7 2 1 0 2 6  3  A 2 3 4 0     0 4 2 10.5

วิธีทา 1. ตั้งเป้ าหมายก่อนว่าจะแปลง Matrix ให้อยูใ่ นรู ปใด ในที่น้ ีเราต้องการ Matrix เป้ าหมายเป็ น Normal form ซึ่งอาจเป็ นได้หลายแบบเช่น 1 0  0  0

0 0 0 1 0 0  0 1 0  0 0 1

Rank=4

หรื อ

1 0  0  0

0 0 0 1 0 0  0 1 0  0 0 0

Rank=3

หรื อ

1 0  0  0

0 0 0 1 0 0  0 0 0  0 0 0

Rank=2

หรื อ

1 0  0  0

0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0

Rank=1

2. ทา Elementary row หรื อ column operation เพื่อให้ได้ Normal form (ในที่น้ ีการทา Normal form สามารถใช้ท้ งั row หรื อ column operation ก็ได้ ไม่เหมือนกับการหา inverse matrix หรื อการหาคาตอบของสมการ ที่เราจะต้องใช้ Row operation เพียงอย่างเดียวเท่านั้น) 2.1 ทาให้ a11 เป็ น 1 โดย สลับแถว 1 กับแถว 3 (เพราะว่า เลข 7 หารลาบาก) 2  7 2 1 0 2 6  3   2 3 4 0    0 4  2  10.5  



0  2 3 4 0 2 6  3   7 2 1 2    0 4  2  10.5  

เราต้องการหา rank การเปลี่ยนแปลงของดีเทอร์มิแนนท์ไม่จาเป็ นต้องสนใจ

2.1.1 หารแถว 1 ด้วย a11 R1 / 2

0  2 3 4 0 2 6  3   7 2 1 2    0 4  2  10.5  

0  1 1.5 2 0 2  6 3   7 2 1 2    0 4  2  10.5  

2.2 ทาให้ a21, a31, และ a41 เป็ น 0 (a21, และ a41 เป็ น อยูแ่ ล้ว) R3  7R1

0  1 1.5 2 0 2  6 3   7 2 1 2    0 4  2  10.5  

2 0  1 1.5 0  2 6 3   0 12.5 13 2    0 4  2  10.5  

2.3 ทาให้ a22 เป็ น 1 โดยการหารแถว 2 ด้วย a22 R2 / 2

2 0  1 1.5 0  2 6 3   0 12.5 13 2    0 4  2  10.5  

2 0  1 1.5 0  1 3 1.5   0 12.5 13 2    0 4  2  10.5  

2.4 ทาให้ a12, a32, และ a42 เป็ น 0 R1  1.5R2 R3  12.5R2 R4  4R2

2 0  1 1.5 0  1 3 1.5   0 12.5 13 2    0 4  2  10.5  

1 0  0  0

0 2.5 1 3

9 / 4  1.5  0 24.5 67 / 4   0 14 33 / 2 

2.5 ทาให้ a33 เป็ น 1 โดยการหารแถว 3 ด้วย a33

R3 / 24.5

1 0  0  0

0 2.5 1 3

9 / 4  1.5  0 24.5 67 / 4   0 14 33 / 2 

1 0  0  0

0 2.5 1 3 0 0

1 14

9 / 4  1.5  67 / 98   33 / 2 

2.6 ทาให้ a13, a23, และ a43 เป็ น 0 R1  2.5R3 R2  3R3

R4  14R3

1 0  0  0

0 2.5 1 3 0 0

1 14

9 / 4  1.5  67 / 98   33 / 2 

1 0  0  0

0 0 53 / 98  1 0 27 / 49  0 1 67 / 98   0 0 97 /14 

หมายเหตุ ในข้อนี้เราจะหยุดทาตั้งแต่ 2.6 ก็ได้เพราะว่าเราได้ Upper triangular matrix แล้ว ซึ่ง Determinant ของ Upper triangular matrix หาได้จากการคูณสมาชิก ในแนวทะแยงทั้งหมด ในข้อนี้จะเห็นว่า Determinant ของ Upper triangular matrix ในข้อนี้ไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น Rank ของ Upper triangular matrix ตัวนี้จึงเป็ น 4 และเนื่องจาก matrix นี้สมมูลกับ A ดังนั้น A จึงมี Rank เท่ากับ 4 ด้วย

2.7 ทาให้ a44 เป็ น 1 โดยการหารแถวที่ 4 ด้วย a44

 97  R4 /     14 

1 0  0  0

0 0 53 / 98  1 0 27 / 49  0 1 67 / 98   0 0 97 /14 

1 0  0  0

0 0 53 / 98  1 0 27 / 49  0 1 67 / 98   0 0 1 

2.8 ทาให้ a14, a24, และ a34 เป็ น 0

53 R1  98 R4 R2  27 R 49 4

R3  67 R 98 4

1 0  0  0

0 0 53 / 98  1 0 27 / 49  0 1 67 / 98   0 0 1 

1 0  0  0

0 0 0 1 0 0  0 1 0  0 0 1

ในข้อนี้เราได้ Normal form ของ A เป็ น I4 ดังนั้น A มี Rank เท่ากับ 4 หมายเหตุ เราสามารถหา Rank ได้จากจานวนแถวหรื อ Column ที่ไม่เป็ น 0 ของ matrix Normal form

การหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมตริ กซ์ วิธีการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นมี 3 วิธีคือ 1 ใช้ Inverse matrix เหมาะกับระบบที่มีสมการจานวนไม่มาก (2-3 สมการ) 2 ใช้ Cramer’s rule เหมาะกับระบบที่มีสมการจานวนไม่มาก 3 ใช้วิธีการของ Gauss-Elimination ซึ่งเหมาะกับระบบที่มีสมการจานวนมาก ตัวอย่ างที่ 5. จงหาคาตอบของระบบสมการโดยใช้ Cramer’s rule x  y  3z  0 y  4z  0 x yz 5

วิธีทา 1. เขียนโจทย์ให้อยูใ่ นรู ป Matrix 1 1 3  x  0 0 1 4   y   0      1 1 1  z  5 

เมตริ กซ์ของ สัมประสิ ทธิ์

เว็คเตอร์ไม่ ทราบค่า

เว็คเตอร์ทราบ ค่า

2. หา Determinant ของ A 1 det( A)  0

1 1

3 4  6

1 1 1

เว็คเตอร์ทราบค่า แทน สปส ของ x

3. หาค่า x โดย

x

3

4

5 1 1 det( A)

5  6

4. หาค่า y โดย

เว็คเตอร์ทราบค่า แทน สปส ของ y

1 0 3 y

0 0 4 1 5 1 det( A)

10  3

5. หาค่า z โดย 1 z

0 1 0 1 1 5 det( A)

เว็คเตอร์ทราบค่า แทน สปส ของ z

5  6

จะเห็นวิธีของ Crammer rule ต้องหาดีเทอร์มิแนนท์หลายครั้ง จงไม่เหมาะกับ ระบบสมการเชิงเส้นที่มีหลายตัวแปร (มากกว่า 3)

ตัวอย่ างที่ 6 จงหาคาตอบของระบบสมการ โดยวิธีการของ Gauss-Elimination x  2 y  2 z  3w  8 2 x  3 y  4 z  w  7  x  4 y  z  2w  11 4 x  5 y  2 z  4w  28

วิธีทา 1. เขียนโจทย์ให้อยูใ่ นรู ป Matrix 1 2  2 3   1 4  4 5

2 3   x   8  4 1   y   7   1 2   z   11      2 4   w  28 

2. สร้าง Augmented matrix โดยนาเมตริ กซ์สมั ประสิ ทธิมาต่อกับเว็คเตอร์ที่ทราบค่า 1 2   2 3  1 4   4 5

2 3 8   4 1 7  1 2 11   2 4 28 

3. ตั้งเป้ าหมายของการแปลง Matrix ให้อยูใ่ นรู ป 1  0 0  0

... ... ... ...  1 ... ... ... 0 1 ... ...  0 0 1 ...

4. ทา Elementary row operation เพื่อแปลงให้Augmented matrix กลายเป็ น Matrix เป้ าหมาย(จะต้องใช้ Row operation เท่านั้น ห้ามใช้ Column operation) 4.1 ทาให้ a11 เป็ น 1 โดยการหารแถว 1 ด้วย a11 (ในที่น้ ีไม่ตอ้ งทาเพราะ a11 เป็ น 1 อยูแ่ ล้ว) 4.2 ทาให้ a21, a31, และ a41 เป็ น 0 โดย

R2  2R1 R3  R1 R4  4R1

1 2   2 3  1 4   4 5

2 3 8   4 1 7  1 2 11   2 4 28 

1 2 2 3 8    0  7 0  5  23   0 6 3 5 19    0  3 6  8  4  

4.3 ทาให้ a22 เป็ น 1 โดยการหารแถว 2 ด้วย a22 R2 /  7

1 2 2 3 8    0  7 0  5  23   0 6 3 5 19    0 3 6 8 4 

4.4 ทาให้ a32, a42 เป็ น 0 โดยการ

R3  6R2 R4  3R2

1 2 2 3 8    0 1 0 5 / 7 23 / 7   0 6 3 5 19    0  3 6  8  4  

1  0 0  0

2 2

8   1 0 5 / 7 23 / 7  0 3 5 / 7 5 / 7   0 6 41/ 7 41/ 7  3

4.5 ทาให้ a33 เป็ น 1 โดยการหารแถว 3 ด้วย a33 R3 /  3

1  0 0  0

2 2

8   1 0 5 / 7 23 / 7  0 3 5 / 7 5 / 7   0 6 41/ 7 41/ 7  3

1  0 0  0

2 2 1 0 0

8   5 / 7 23 / 7  5 / 21 5 / 21  41/ 7 41/ 7  3

0 1 6

4.6 ทาให้a43 เป็ น 0 โดยการ

R4  6R3

1  0 0  0

2 2 1 0 0

0 1 6

8   5 / 7 23 / 7  5 / 21 5 / 21  41/ 7 41/ 7  3

1  0 0  0

2 2 1 0 0

0 1 0

8   5 / 7 23 / 7  5 / 21 5 / 21  31/ 7 31/ 7  3

5. คานวณคาตอบจาก Matrix ที่ได้โดยวิธีแทนค่ากลับ (Back substitution) 5.1 จากสมการที่ 4 เราจะได้ w = -1 5.2 จากสมการที่ 3 เราจะได้ 5 5 z w 21 21

z=0

5 23 y w 7 7

y=4

5.3 จากสมการที่ 2 เราจะได้ 5.4 จากสมการที่ 1 เราจะได้

x  2 y  2 z  3w  8

x=3

ดังนั้นเราได้คาตอบเป็ น x = 3, y = 4, z = 0, w = -1