Instituto Tecnológico de Sonora Depto. Matemáticas
Cálculo I
Unidad I. La Problemática Tema 1.2 Cálculo del valor aproximado del cambio acumulado Se propone retomar el contexto real del movimiento de un objeto en línea recta para apoyar el surgimiento de una estrategia que permita aproximar el cambio que experimenta la posición del objeto en determinado intervalo de tiempo transcurrido. Dado que no se trata del caso de un movimiento rectilíneo uniforme, la velocidad, además de la posición, será una magnitud que también estará cambiando en esta situación. Situación Problema 1.2 Un carro transita por una carretera recta a una velocidad de 20 metros/segundo, cuando de pronto aplica los frenos. A partir de ese instante (t=0) la velocidad del automóvil disminuye y está modelado por la función v ( t )=√ 400−25 t 2 metros /segundo a) Verifica que el carro se detiene a los 4 segundos.
b) Completa la siguiente tabla aproximando los valores a 3 decimales exactos.
t tiempo
v velocidad
(segundos)
(metros/segundo)
0 1 2 3 4
c) Haciendo uso de la tabla anterior, calcula en forma aproximada la distancia recorrida por el carro desde
que aplica los frenos hasta que se detiene por completo, Para ellos considera que la velocidad se mantiene constante en cada subintervalo de tiempo: [ 0,1 ] , [ 1,2 ] , [ 2,3 ] , [ 3,4 ] .
d) Con ayuda de la función velocidad, completa la siguiente tabla (aproximada con 3 decimales exactos):
t tiempo
v velocidad
(segundos)
(metros/segundo)
0 1
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0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 e) Haciendo uso de esta tabla calcula en forma aproximada la distancia recorrida por el automóvil desde
que aplica los frenos hasta que se detiene por completo considerando que la velocidad se mantendrá constante en cada subintervalo de tiempo. f)
De las aproximaciones calculadas en los dos incisos anteriores, ¿cuál de ellas es una mejor aproximación a la distancia real recorrida por el automóvil?, ¿por qué? ¿Cómo podrías obtener una mejor aproximación aún?
g) Analiza la situación para que decidas si la aproximación que se ha obtenido de la distancia recorrida por
el automóvil es mayor o menor que dicha distancia. h) Supongamos que la causa del frenado del automóvil fue haber observado una vaca parada en medio del
camino. Supongamos que la vaca estaba justo a 67 metros del automóvil en el momento en que inicia el frenado. La aproximación obtenida para la distancia recorrida por el automóvil, ¿te permite asegurar que la vaca no fue atropellada? Argumenta tu respuesta.
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Tema 1.2 Cálculo del valor aproximado del cambio acumulado Problemas Complementarios Problema 1. En un tanque circular se comienza a introducir agua de tal manera que el comportamiento de la razón de cambio del volumen de agua con respecto al tiempo está modelado mediante la función r ( t )=√ t 2 +t litros /min
a) Construye una tabla para los valores de la razón de cambio del volumen en los instantes desde t=,1, 2,3, 4, … hasta t=10 . Utiliza un recurso tecnológico como una hoja de cálculo para obtener los valores aproximados a 5 decimales. t tiempo r(t) razón de cambio del (minutos)
volumen (litros/minuto)
0 1 2 3 4 5
t tiempo
r(t) razón de cambio del
(minutos)
volumen (litros/minuto)
6 7 3
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8 9 10
b) Calcula con ayuda de la hoja de cálculo la aproximación del cambio de volumen ocurrido en cada uno de los subintervalos de tiempo en que se divide el intervalo de los 10 primeros minutos del llenado del tanque. La razón de cambio constante que consideres debe coincidir con el extremo izquierdo de cada subintervalo. t tiempo r(t) razón de cambio del Cambio del Volumen volumen (litros/minuto) aproximado (minutos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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c) Nuevamente, usando el recurso tecnológico calcula la aproximación del valor del volumen de agua que ha entrado en el tanque en los primeros 10 minutos. Denota en papel el procedimiento utilizando la notación de cambio de volumen ∆V y tiempo ∆t , además del símbolo de sumatoria ∑ .
d) Al dividir cada subintervalo en dos, el cálculo aproximado del volumen del agua en el tanque mejora porque se toman en cuenta un mayor número de datos y los valores de la razón de cambio son más cercanos a los reales que los anteriores. Realiza esta subdivisión el recurso de la hoja de cálculo y obtén una mejor aproximación del volumen del agua acumulado en los primeros 10 minutos en el tanque. Utiliza las notaciones de cambio y de sumatoria para expresar tu procedimiento en papel. Da tu respuesta con 5 decimales.
t tiempo (minutos)
r(t) razón de cambio del volumen (litros/minuto)
Cambio del Volumen aproximado
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 5
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8 8.5 9 9.5 10
e) Calcula una mejor aproximaciรณn dividiendo cada subintervalo de longitud 1 en 10 subintervalos. Denota adecuadamente tu procedimiento en papel. Da tu respuesta con 5 decimales.
t tiempo (minutos)
r(t) razรณn de cambio del volumen (litros/minuto)
Cambio del Volumen aproximado
0 0.1 0.2 0.3 6
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Cรกlculo I
0.4 0.5 0.6
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Instituto Tecnol贸gico de Sonora Depto. Matem谩ticas t tiempo
r(t) raz贸n de cambio del
C谩lculo I
volumen (litros/minuto)
Cambio del Volumen aproximado
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(minutos)
0.7 0.8 0.9 1
9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10
. . .
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f) Analiza la información para que decidas si las aproximaciones que has obtenido del volumen de agua acumulado en el tanque representan un valor mayor, o bien, menor que el volumen acumulado a los 10min. g) Tomando en cuenta esta última mejora en la aproximación y que la capacidad del tanque es de 127 litros, ¿puedes asegurar que el tanque se ha desbordado para los 10 minutos? Justifica tu respuesta adecuadamente.
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Tema 1.2 Cálculo del valor aproximado del cambio acumulado Tarea 1.2 Problema 1. Un tanque de 150 centímetros de altura se comienza a vaciar de tal manera que el comportamiento de la razón de cambio del nivel del líquido con respecto al tiempo queda modelado mediante la función r ( t )=√ t 2 +1−1 cm /min
a) Calcule el cambio acumulado del nivel en los primeros 5 minutos del llenado. Utiliza una hoja de
cálculo dividiendo el intervalo [0,5] en subintervalos de longitud
∆ t=0.1 y realiza los cálculos con 3
decimales. Sol: Aproximadamente el cambio del nivel en los primeros 5 min: 8.7 cm. b) Calcula el cambio acumulado del nivel en los primeros 5 minutos del llenado. Utiliza las mismas
especificaciones que en el inciso anterior. Sol: Aproximadamente el cambio del nivel en los siguientes 5 min: 32.597 cm.
c) Compara ambas respuestas y argumenta si la diferencia era de esperarse y por qué razón.
Problema 2. Un coche frena bruscamente de tal forma que de ir a 35 metros/seg. (126 km/hora) llega a 0.07 mts/seg. (Aproximadamente ¼ km/hora) en 7 segundos.
a) Comprueba que la función
v ( t )=
35 2 10 t +1
cumple con la información dada y supón que modela el
comportamiento de la velocidad del coche. Sol.
35 y 0.0712
b) Calcula un valor aproximado del cambio de la posición (distancia recorrida) del coche en el intervalo del
tiempo de los 0 a los 7 segundos. Divide el intervalo [0, 7] en 14 subintervalos de igual longitud. Utiliza la notación matemática adecuada y una hoja de cálculo para realizar las operaciones. Sol: Aproximadamente 26.284 metros c) Calcula nuevamente un valor aproximado del cambio acumulado de la posición en [0, 7] pero dividiendo
este intervalo en 28 subintervalos de igual longitud. Argumenta por qué ésta es una mejor aproximación que la obtenida en el inciso anterior. Sol: Aproximadamente 21.264 metros 10
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d) Si el coche de dirigía a un letrero ubicado a 20 metros de donde comenzó a frenar.
e) ¿Puedes con la información obtenida en el inciso anterior asegurar que se estrelló con el
letrero?
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