Cuent@cuent@s Revista del Departamento de Matemáticas del IES “Martínez Uribarri” Nº 1 - Mayo de 2014
Índice - Pág. 3: Presentación - Pág. 4: Juegos infantiles, puentes y teoría de grafos - Pág. 7: Arabismos matemáticos - Pág. 8: La cuadratura del círculo - Pág. 10: Curiosidades de la numeración china - Pág. 11: Autopista al sí - Pág. 13: Do the maths dance! - Pág. 14: El día de la Madre - Pág. 16: Olimpiadas matemáticas - Pág. 17: Método de inducción completa - Pág. 18: Pasatiempos y humor - Pág. 19: Curiosidades
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Presentación Tienes en tus manos (o en la pantalla de tu ordenador) el primer número de una revista que nace con el ilusionante objetivo de divulgar las Matemáticas entre todas las personas relacionadas con el instituto y de hacerlo no a base de teoremas y demostraciones, sino recurriendo a su historia y sus personajes más significativos, a los medios de comunicación, a los pasatiempos, al humor,… desde una perspectiva que esperamos que te resulte atractiva y amena, aunque no por ello menos rigurosa. Además, nuestro deseo es que esté abierta a la participación de cualquiera que lo desee, especialmente de los alumnos del centro, a los que os animamos a presentar los artículos que queráis. Estaremos agradecidos y encantados de publicarlos. Únicamente ponemos una condición, muy fácil de cumplir: que lo que se nos entregue para publicar esté relacionado con las Matemáticas. Y el comienzo no puede haber sido mejor, porque Lara Pérez Park, de 1ºC de ESO, es la autora de la portada de este primer número, contamos con un artículo sobre el origen árabe de muchas palabras habituales de la terminología matemática y nuestros compañeros de Plástica y de Tecnología nos han ayudado y orientado en el diseño y la edición digital de la revista. ¡Muchas gracias a todos por vuestra colaboración!.
Dodecaedro (Leonardo da Vinci) -3-
Juegos infantiles, puentes y teoría de grafos - Antonio Bueno ¿Quién no se ha entretenido alguna vez tratando de dibujar figuras como las que aparecen en la parte de abajo de esta página? Los matemáticos las llaman grafos y, además de su interés desde un punto de vista meramente lúdico, sus propiedades se han utilizado en el estudio de campos científicos tan dispares como, por ejemplo, las migraciones de los animales, la difusión de una enfermedad contagiosa, el diseño de circuitos eléctricos, el establecimiento de redes de comunicaciones entre varias ciudades o las interacciones y relaciones de dominio entre individuos de un grupo social. En lo que sigue podrás aprender un poco sobre ellos y relacionarlos con una ciudad y un matemático.
En primer lugar, vamos a dar un paseo por la ciudad prusiana de Königsberg, cuyo nombre le fue cambiado por el actual de Kaliningrado tras quedar bajo dominio de la Unión Soviética en 1946. La atraviesa el río Pregel, en cuyo curso se encuentra la isla de Kneiphof (en la figura, A) que, en el siglo XVIII, estaba conectada con las otras zonas de la ciudad mediante siete puentes situados como en el dibujo. Entre los habitantes de Königsberg se hizo famoso un reto: encontrar un recorrido que permitiera atravesar los siete puentes sin cruzar dos veces por el mismo. Según parece, el alcalde de la ciudad ofreció la mano de su hija a quien fuera capaz de lograrlo. Pelín machista el alcalde, ¿verdad?. ¿Cómo habría reaccionado si la primera persona en lograrlo hubiera sido una mujer?. ¿Y si, además, le hubiera exigido que cumpliera su promesa? En fin, aparca estas cuestiones e intenta encontrar tú un posible recorrido.
❒❒❒ Volvamos al juego del que hablábamos al principio: te proponemos que intentes dibujar las figuras que aparecen a continuación sin levantar el bolígrafo del papel y sin pasar dos veces por la misma línea. Si quieres hacerlo “más difícil todavía”, como en el circo, trata de hacerlo comenzando y acabando en un mismo vértice. Cuando lo hayas intentado un buen rato, sigue leyendo.
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Estas figuras formadas por unos cuantos puntos unidos mediante arcos o segmentos se denominan grafos. Seguro que habrás sido capaz de dibujar algunas de ellas comenzando y acabando en el mismo vértice y algunas otras comenzando en un vértice y acabando en otro distinto. Sin embargo, algunas otras (como, por ejemplo la tercera), a pesar de su aparente simplicidad, no habrás podido trazarlas ... ni podrías hacerlo aunque te pasaras la vida intentándolo. Te proponemos que intentes hallar el criterio general para los tres casos: posibilidad de hacerlo comenzando y acabando en el mismo vértice, de hacerlo comenzando en un vértice y acabando en otro e imposibilidad de hacerlo. Para ayudarte a encontrarlo, te damos una pista: cada vez que por un arco llegas a un vértice, para no “quedarte atascado” y poder continuar necesitas otro arco por el que salir (salvo, en el segundo caso, para los vértices inicial y final).
❒❒❒ Quizás estés preguntándote qué relación hay entre el problema de los puentes de Königsberg y los grafos. Veámoslo: Cuando el problema de los puentes de Königsberg llegó a oídos de Leonhard Euler (Basilea, 1707 - San Petersburgo, 1783), uno de los grandes matemáticos de la historia, que vivió más de veinte años en Königsberg, se interesó por el mismo, comenzó a estudiarlo y, evidentemente, no se puso a dar vueltas por la ciudad, atravesando puentes como un loco (porque no lo era) hasta caer exhausto, sino que se sentó y se puso a razonar, que es como mejor se resuelven los problemas. En primer lugar, observó que, evidentemente, los tamaños de la ciudad, de las islas, de los puentes, del río, etc son irrelevantes para el problema. Por ello, para simplificar la situación, decidió representar cada orilla de la ciudad y cada isla mediante un punto y, a continuación, unió estos puntos mediante arcos que enlazaban las mismas partes de la ciudad que los puentes verdaderos. Obtuvo un grafo y observó que recorrer los puentes en la forma deseada equivalía a poder dibujar ese grafo sin levantar el bolígrafo del papel (bueno, en el caso de Euler, suponemos que el lapicero o la pluma) y sin pasar dos veces por el mismo arco. -5-
Euler siguió investigando los grafos y encontró un criterio general que permite decidir fácil y rápidamente cuándo es posible y cuándo no dibujar un grafo: - si de todos los vértices sale un número par de caminos, el grafo podrá dibujarse comenzando y acabando en un mismo vértice. En su honor, los grafos con esta característica se denominan grafos eulerianos. - si de todos los vértices, excepto de uno o dos de ellos, sale un número par de caminos, el grafo podrá dibujarse comenzando en uno de esos vértices impares y terminando en otro. - si hay más de dos vértices de los que sale un número impar de caminos, el grafo no puede dibujarse. De estos criterios resulta que el tercer grafo de los que te propusimos (¡tan inocente como parece!), el cuarto y el sexto no pueden dibujarse de ninguna de las tres maneras; que el primero, el segundo, el séptimo y el octavo pueden trazarse comenzando en un punto y terminando en otro y que el quinto, a pesar de su aparente dificultad, es el único que puede trazarse comenzando y terminando en un mismo punto. Volviendo al problema de los puentes, Euler pudo dar una respuesta a los habitantes de la ciudad: era imposible realizar un recorrido como el que pretendían. La hija del alcalde respiró tranquila: volvía a tener un poco más de control sobre su futuro. Para aplicar los criterios, piensa en estas dos cuestiones: ¿de dónde a dónde construirías un nuevo puente en la ciudad de Königsberg para que fuera posible recorrerlos todos en la forma comentada? ¿Qué otros puentes, sin embargo, seguirían haciendo imposible el paseo? En 1736, Euler publicó sus resultados en un artículo (en latín, como era habitual en aquella época en muchos campos científicos) que supuso el nacimiento de la teoría de grafos, que tantas aplicaciones posteriores ha tenido. A modo de ejemplo, comentemos que el físico Gustav Kirchhof utilizó la teoría de grafos (¡cómo no!, si había nacido en Königsberg) para establecer, en 1847, las dos leyes que llevan su nombre sobre el funcionamiento de los circuitos eléctricos. La conocida como primera ley de Kirchhoff establece que la suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen por ese nodo. Resulta familiar a lo que hemos visto sobre grafos, ¿verdad? -6-
Arabismos matemáticos – Reyes Arenales De los largos siglos de permanencia de los árabes en nuestra península nos han quedado, entre otras cosas, unos 4000 arabismos, es decir, palabras castellanas de origen árabe. Un pequeño grupo pertenece al ámbito de las matemáticas, aunque algunos de ellos han caído en desuso, debido a que durante el Renacimiento el interés cultural se volvió hacia los clásicos griegos y latinos y se empezó a despreciar el árabe, que tan gran importancia había tenido durante la Edad Media. Así, hoy denominamos rombo y trapezoide a las figuras que antes se llamaban helmuayo y helmuarife, respectivamente. También han desaparecido los nombres de las antiguas medidas, que se olvidaron al generalizarse el sistema métrico decimal, como la azumbre (2’16 litros), el adarme (179 cg), el almud (de valor variable), el alquer (medida para áridos cuyo valor hoy se desconoce), el cahíz (unos 666 l), o el celemín (4’6 l). Algunas de ellas aún son conocidas por los ancianos de nuestras zonas rurales, como la fanega (medida de capacidad que se utilizaba para el cereal, por ejemplo, y que equivalía a unos 55’5 l), y ¡oh cielos! la arroba, procedente del árabe ar-rub ‘la cuarta parte’, que equivalía a ocho azumbres si era de capacidad y unos 11’5 kg si era de peso, y cuyo símbolo era –mire usted qué casualidad– @. De modo que el símbolo por excelencia de la moderna tecnología es más antiguo que las sopas de ajo. Los árabes tomaron de la India e introdujeron en Occidente los números con los que operamos hoy, lo que ayudó de manera decisiva al avance de las matemáticas (¿Alguien se imagina cómo se multiplicaría XXXIV por LIVIII?). Esa es la razón de que los números se llamen también guarismos, término que procede de la misma palabra árabe que algoritmo. No menos trascendental fue la creación del cero, cuyo nombre procede de ṣifr, que significa ‘vacío’, y que también da origen a cifra. De procedencia árabe es álgebra, cuya raíz en esta lengua significa ‘reforzar, curar’, y que designaba en su origen el ‘arte de restituir a su lugar los huesos dislocados’ (no me digáis que no es una metáfora original, pensad a ver qué es lo dislocado y lo que hay Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi que restituir en una ecuación). Esta disciplina se llamaba desempeñó un papel fundamental en la del sistema hindú de también almucábala, que significa ‘oposición’, otra introducción numeración posicional de base 10 entre los metáfora. Y al árabe debemos asimismo el llamar a la árabes y en Europa. De su libro de título incógnita X, que es la inicial de xay ‘la cosa’, es decir, la "Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala", proceden guarismo y álgebra. cosa que se busca. Y, para terminar, un curioso arabismo semántico. Todavía en el Renacimiento se conocían como números sordos los que nosotros denominamos números irracionales. ¿Por qué este nombre? Porque los árabes tradujeron el término griego alogos, que significa ‘irracionales’ por ‘sordos’, debido a que en la antigüedad se creía que los sordos no tenían uso de razón, ya que no podían hablar y expresarse normalmente. Por fortuna, los árabes y las matemáticas ayudaron a que hoy tanto sordos como oyentes seamos un poco más racionales. -7-
La cuadratura del círculo
- Pilar Puente
Cuando se quiere resaltar que una cuestión es muy difícil, o imposible de resolver, a menudo se dice que es la cuadratura del círculo. Esta expresión tiene un origen muy antiguo. Es el nombre de un problema matemático propuesto por un griego llamado Anaxágoras, hace casi 2.500 años. Uno de los problemas más famosos de la historia.
Anaxágoras (?-428 a. de C.) Reputado sabio griego maestro de Pericles. Fue encarcelado en Atenas por afirmar que el sol no era un dios, sino una gran piedra de fuego tan grande por lo menos como el Peloponeso, y que la luna era una tierra deshabitada que recibía la luz del sol. Estando en prisión, Anaxágoras se ocupó del problema de la cuadratura del círculo.
Partiendo de un círculo, construir usando sólo regla y compás un cuadrado cuya área sea idéntica. Como muchos otros asuntos de la matemática griega, este problema no tenía verdadero interés práctico, se relacionaba con la filosofía y su motivación era el deseo de conocer. Apartándose de la condición de utilizar sólo regla y compás, la construcción del cuadrado se obtuvo ya en el siglo IV a. de C., usando una curva (llamada trisectriz) que había sido inventada un siglo antes para resolver el problema de la división de un ángulo en tres partes iguales. A estos dos problemas, cuadratura del círculo y trisección de un ángulo, se añadía otro, el de la duplicación del cubo, de igual dificultad, que constituyó con los anteriores el principal reto de los matemáticos griegos tras el descubrimiento de los números irracionales, en la denominada época heróica. Pero la solución de la trisectriz no satisfacía a los más puristas. Los griegos consideraban que la regla y el compás eran los instrumentos más adecuados para resolver los problemas o demostrar las teorías matemáticas. Así pues, desde entonces y durante muchos siglos se siguió intentando resolver el problema bajo la condición establecida por Anaxágoras: usando únicamente regla y compás. En el siglo XIX, el desarrollo del análisis y del álgebra modernos puso al descubierto el secreto del problema de la cuadratura. Se demostró que es imposible de resolver.
NOTA: El ciclista del dibujo (obra de mi amigo JL Serna) es INDURÁGORAS, famoso ciclista griego, montando una bicicleta de la época :DDD -8-
con regla y compás Los griegos operaban geométricamente. ¿Recuerdas el teorema de Tales?
2 2 Tomando como unidad de medida el radio del círculo (R=1) → 1 b La cuadratura del círculo consistía en construir el lado b.
De haberse logrado, se habría podido construir también, multiplicando, otro segmento de medida b b b 2 , o sea !!! Éste era el verdadero objetivo del problema. Construir un segmento que midiese lo mismo que ese misterioso número que resulta al dividir la longitud de una circunferencia cualquiera entre su diámetro: Para los más entusiastas
el número
;))
Partiendo de un segmento como unidad de medida, el 1, es fácil construir otros segmentos cuya medida sea un número entero o fraccionario cualquiera. Con las matemáticas nuestras, - trazar una recta es tomar una ecuación Ax+By+C=0, - una circunferencia es una ecuación de segundo grado (x-a)2+(y-b)2=r2 , y - cortar una recta y una circunferencia es resolver el sistema que se forma con ambas Así pues, construir con regla y compás se traduce al lenguaje del álgebra en resolver uno o varios sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado. En estos procesos las soluciones que se obtienen -y las medidas de los segmentos que se llegan a construir- son siempre números que pueden expresarse utilizando enteros y las operaciones + - x : Todos estos números son siempre raíz de algún polinomio con coeficientes enteros. Pues bien, en el siglo XIX se demostró que no cumple lo anterior, que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes números enteros. Por ello no se puede construir con regla y compás.
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Curiosidades de la numeración china (del 1 al 100) - Isabel Pérez
A continuación te ponemos varias tablas con la numeración china y cómo se van nombrando los números. Fíjate que hasta el 100, la construcción es muy sencilla y lógica; por ejemplo, el 11 es “diez y uno”, el 12 es “diez y dos”, el 21 es “dos diez uno”, el 33, “tres diez tres”, así sucesivamente, hasta que se llega al 100, 1000, etc, los cuales tienen una palabra asignada, pero la construcción para seguir nombrándolos es similar. Por tanto si te aprendes los diez primeros, habrás aprendido noventa y nueve. ¿Te animas a aprender más? Chino
Pinyin
1
一
yī
2
二
èr
3
三
sān
4
四
sì
5
五
wǔ
6
六
liù
7
七
qī
8
八
bā
9
九
jiǔ
10
十
shí
0
零/〇
líng
11
十一
shí yī
10+1
12
十二
shí èr
10+2
13
十三
shí sān
10+3
19
十九
shí jiǔ
10+9
20
二十
èr shí
2x10
21
二十一
èr shí yī
2x10+1
22
二十二
èr shí èr
2x10+2
30
三十
sān shí
3x10
40
四十
sì shí
4x10
90
九十
jiǔ shí
9x10
99
九十九
jiǔ shí jiǔ
9x10+9
100
一百
yībǎi
101
一百零一
yībǎilíngyī
110
一百一（十）
yībǎiyī(shí)
111
一百一十一
yībǎiyīshíyī
120
一百二十
yībǎi'èrshí
200
二百
èrbǎi
999
九百九十九
jiǔbǎijiǔshǐjiǔ
- 10 -
Otra curiosidad es que con los dedos de una sola mano pueden simbolizar los diez primeros números. Hasta el cinco lo hacen igual que nosotros, pero para el seis, siete, ocho, nueve y diez lo hacen de la siguiente forma:
Autopista al sí El pasado mes de diciembre, José Juan Toharia, catedrático de Sociología en la Universidad Autónoma de Madrid y fundador y presidente de la empresa de estudios sociales y de opinión Metroscopia, publicó en EL PAÍS una colaboración con este título en la que analizaba las preguntas que el presidente de la Generalitat, Artur Mas, ha consensuado con las formaciones que respaldan su proceso soberanista para un eventual referéndum. Dejando al margen las opiniones políticas que expone sobre tal proceso, reproducimos aquí, por su interés desde un punto de vista meramente estadístico, los aspectos técnicos referentes a la formulación de tales preguntas. “Desde el punto de vista exclusivamente técnico, las dos preguntas que ha consensuado Artur Mas con las formaciones que respaldan su proceso soberanista son malas: pretendiendo ser rotundas y precisas, resultan, en realidad, ambiguas y equívocas. Y, por lo tanto, si finalmente se usaran, no permitirían saber con indiscutible claridad lo que quienes las respondan habrían querido decir. Por ejemplo, en su actual formulación, estas preguntas no serían de recibo en un estudio demoscópico que aspirase a ser razonablemente honesto y veraz. - 11 -
En la primera pregunta (“¿Quiere usted que Cataluña sea un Estado?”), la opción de ser un Estado se contrapone a la opción de ser... algo que no se dice y que se da por sobrentendido o que se deja a la imaginación de cada cual. La pregunta resulta así desequilibrada y, por tanto, sesgada: propone una opción entre algo que sí se explicita y algo que, en cambio, no se menciona y que queda en nebulosa. Es decir, incurre precisamente en lo que los manuales sobre el arte de preguntar advierten que no debe hacerse nunca —salvo que lo que se pretenda sea un mero ejercicio de ventriloquía—: que a los preguntados no se les presenten, en estricta igualdad de condiciones, las opciones que se contraponen. La segunda pregunta (para la que la primera actúa de filtro) incurre exactamente en el mismo defecto (potenciado por la redundancia en el mismo, como con frecuencia ocurre cuando se secuencian errores). Aquellos que en la primera pregunta hubieran optado por que Cataluña sea un Estado en vez de no-se-sabe-muybien-qué, se encontrarían con una segunda disyuntiva asimismo incompleta y, por tanto, igualmente pseudodisyuntiva: “¿Quiere que sea un Estado independiente?”. Lo que connota la opción afirmativa a esta nueva pregunta queda razonablemente claro; pero ¿a qué es a lo que exactamente se estaría contraponiendo esta opción? ¿En qué cabría entender que estarían pensando quienes decidiesen responder “no”? Una vez más, la claridad frente a la nebulosa, una oferta concreta frente a otra innominada. Por otra parte, los manuales (y sobre todo, la experiencia demoscópica, que es tan amplia como rotunda) enseñan que las preguntas con respuesta tipo sí/no deben ser redactadas con sumo tacto y cuidado, pues resulta menos oneroso, psicológicamente, para el ciudadano medio conceder que negar, aceptar que rechazar, admitir que condenar, afirmar que negar. Quizá sea por azar, pero no deja de ser llamativo que las dos respuestas que van en el sentido que los sectores soberanistas desearían ver apoyado sean, ambas, un sí. Sin por ello prejuzgar una intención consciente en los redactores de estas preguntas, sí cabe al menos pensar que les ha traicionado su subconsciente: no parecen haber sabido controlar sus sentimientos del modo en que, profesionalmente, deben tratar de hacerlo quienes pretendan averiguar, honestamente y de buena fe, lo que piensan los demás, y no solo inducirles a contestar lo que se desea oírles decir. Así, el resultado es que las dos preguntas constituyen una autopista para quienes, desde ya, tienen clara su opción independentista, pero suponen un dificultoso y desmotivador camino de cabras para quienes dudan o tienen otras preferencias”.
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Do the maths dance!
Adivina en qué momento nuestro dancer se lía un poco desarrollando la coreografía matemática.
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El día de la Madre
– Julia, Celia y Adelfa (1ºB de ESO)
¿Qué conceptos están asociados con el día de la madre? Para reflexionar sobre esto con nuestros compañeros hemos urdido esta estratagema: ¿qué dos primeras palabras nos vienen asociadas a la memoria cuando oímos "día de la madre"? Mójate. Te invitamos a mojarte con nosotras, a echarnos al charco, pero, antes de continuar... aventuremos una respuesta... -la nuestra o "la más general entre los demás"- puede ser: (a) ¡ánimate! y (b) No te resistas, y anota alguna. Aunque no quedará constancia... puede resultar divertido.
El domingo 4 de mayo, 4-MAY-14, se celebró el día de la madre y para nuestros compañeros había sido "ayer". Nos pidieron escribir en un papel las dos primeras palabras que se nos vinieran a la cabeza al volver a oír "día de la madre" Las recogimos y nos encargaron a nosotras el estudio de las respuestas. Nuestras respuestas: Día Madre Mamá Felicidades Madre Regalar Amor Regalos Mamá Regalos
Orgullo Regalos Regalo Mamá Regalos Flores Regalos Felicidad Amor materno
Madre Día Amor Mamá Madre Regalo Mamá Cariño Madres Felicidad - 14 -
Madre Regalos Una rosa y una Tarta de corazón Mi madre Regalos Mamá Amor Madre Regalo
Resumimos las respuestas... estadísticamente. Ficha de la encuesta: Metodología: Pregunta oral en conjunto, Respuesta escrita anónimamente en un papel, durante la clase de Matemáticas. Recogida en el mismo momento. Población: alumnos de 1ºESO Muestra: todos los alumnos y alumnas que asistieron a clase de matemáticas ese día Tamaño de la muestra: 20 alumnos de los 84 del centro.
Tratamiento de los datos. - Tipo de variable estadística: cualitativa. → no tienen sentido la media ni la mediana, sólo la moda y las gráficas. - Tabla de frecuencias
Clases de datos o de respuestas
xi
Frecuencia Relativa FR Frecuencia absolula fi / Recuento fi N Razón
Amor
////
4
4/40
Cariño
/
1
1/40
Día
/
1,+,+
1/40
Flores
/
1
1/40
Felicidades felicidad Madre materno mi madre
///
3
3/40
//// //// ////
15
15/40
Orgullo
/
1
1/40
Regalos regalar
//// //// /
11
11/40
Rosa
/
1
1/40
Tarta
/
1
1/40
/
1
1/40
Ns/Nc
(*)
Diagrama de sectores: amplitud
N = 40
40/40
0'10 ~ 0'03 (0'025) ~ 0'03 (0'025) ~ 0'03 (0'025) ~ 0'08 (0'075) ~ 0'38 (0'375) ~ 0'03 (0'025) ~ 0'28 (0'275) ~ 0'03 (0'025) ~ 0'03 (0'025) ~ 0'03 (0'025) 1'05(**)
fi/N de 360º= =fi·(360º/N)= =fi·9º
% 10%
4/40 de 360º = 36º
~ 3%
1/40 de 360º = 9º
~ 3%
1/40 de 360º = 9º
~ 3%
1/40 de 360º = 9º
~ 8%
3/40 de 360º = 27º
~ 38%
15/40 de 360º = 135º
~ 3%
36º 45º = 9º+36º
54º = 9º+45º
63º = 9º+54º
90º = 27º+63º
225º = 135º+90º
1/40 de 360º = 9º 234º = 9º+225º
~ 28%
11/40 (360º) = 99º
333º
~ 3%
1/40 (360º) = 9º
342º
~ 3%
1/40 (360º) = 9º
351º
~ 3%
1/40 (360º) = 9º
360º
105%
(**)
= 90º+234º
= 9º+333º
= 9º+342º
= 9º+351º
∑ fi·9º = 360º
(*) Ns/Nc: no sabe no contesta. No es muy correcto... incluir las "no-respuestas" entre las respuestas ¡pero! es que las cuentas salen mejor. (**) Error en la suma, que debía dar 1'00 y 100% respectivamente, por las aproximaciones. Si admitimos más decimales, y damos hasta las milésimas en las razones, y decimas en los porcentajes, el resultado sería el 100% razonable, pero no siempre es tan exacto.
- 15 -
Resumen: El dato de mayor frecuencia es "madre" con el 38% de las respuestas, si bien corresponde al 14/20 de los alumnos (70%).
Gráficos
Te animamos a que construyas un gráfico de sectores usando esta tabla de frecuencias Puedes hacerlo aproximado, con una esfera de reloj... los 0º en "las tres", cada hora son 30º, y esos valores intermedios los haces con "el mejor ojo" No olvides dos cosas importantes en los diagramas: a) Poner un título que no tenga la palabra diagrama b) Poner la leyenda, bien clarita, donde un paseante pueda enterarse de lo representado Si no te animas... aquí ya está hecho.
Opinión El concepto más asociado con el día de la madre es "Madre" (38%) seguido de cerca del concepto de "regalo (28%)". Si bien corresponden con el 70% y 50% de los alumnos respectivamente. Cabría esperar más conceptos asociados a cariño, afecto, compañía, disfrute, comida más rica... pero no es el caso. Llama la atención que El Regalo está muy presente -pero ¿tan presente como esperaba encontrarlo antes de leerlo?-, sin duda la idea que prima es madre .
Un saludo cordial, desde 1ºESO B Celia, Adelfa y Julia.
Olimpiadas matemáticas En las Olimpiadas Matemáticas celebradas este curso los siguientes alumnos se clasificado entre los primeros puestos y fueron seleccionados para representar a Salamanca en las fases autonómicas: - Patricia Rosaura Cuesta Hernández, BC2A, 3ª clasificada - Lydia González Petisco, 4ºB, 3ª clasificada - Carlos Álvarez López, 4ºC, 4º clasificado - Lucía García Rodríguez, 2ºA, 3ª clasificada
¡Enhorabuena! - 16 -
Método de inducción completa En Matemáticas se denomina números naturales a los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto: 0, 1, 2, 3,··· Cuando se quiere demostrar que todos tienen una cierta propiedad, evidentemente no se puede hacer demostrándola para cada uno de ellos, puesto que son infinitos. Vamos a ver una ingeniosa forma de hacerlo: el método de inducción completa. Para que lo comprendas mejor, piensa antes en el siguiente ejemplo: Imagínate que has formado una larga hilera de fichas de dominó colocadas de pie de tal forma que, si se empuja una cualquiera, tirará a la siguiente. ¿Qué pasa si empujas la primera? Está claro: se caerán todas. Imagina ahora que los números naturales 1, 2, 3,... son fichas de dominó y que tú sabes cómo demostrar que si para uno cualquiera de ellos se verifica una cierta propiedad, entonces también se verifica para el siguiente. ¿Qué pasa si compruebas que para el primero, el 1, se verifica esa propiedad? Pues que puedes afirmar que se verifica para todos. ¡Resuelto el problema! Esta forma de proceder se conoce con el nombre de método de inducción completa. Observa que requiere dos pasos: - Comprobar que para el número 1 se verifica la propiedad. - Demostrar que si para un número n cualquiera se verifica la propiedad, entonces también se verifica para el siguiente n+1. Hecho esto, puede asegurarse que para todos los números naturales se verifica la propiedad. Generalización: si en vez de empujar la primera ficha del dominó empujas, por ejemplo, la vigésima, se caerán todas las fichas de la vigésima en adelante. Análogamente, si el primer número para el que se verifica la propiedad es el vigésimo, el método de inducción nos permite probar que esa propiedad se verifica para todos los números naturales a partir del 20. * Para practicar el método de inducción, aquí tienes unos cuantos ejercicios: - Prueba que la suma de los n primeros números enteros positivos es n(n+1)/2 - Demuestra que la suma de los n primeros cuadrados es n(n+1)(2n+1)/6: 1 + 4 + 9 + 16 + ··· + n² = n(n+1)(2n+1)/6 - Intenta encontrar una fórmula para la suma de los n primeros números impares y, después, demuéstrala por inducción. - Prueba que la derivada enésima de la función f(x)=ln x es fn)(x)= (-1)n · (n-1)!/xn - 17 -
Pasatiempos y humor Estás temblando. Un sudor frío recorre tu cuerpo. Unos caníbales te han capturado y está a punto de llegar la hora de la cena. En la choza donde te han encerrado hay dos puertas y sabes que una de ellas te lleva a la libertad y la otra...al puchero. Antes de elegir por cual quieres salir, puedes orientarte haciéndole una pregunta a uno de los dos caníbales que te vigilan, pero hay un problema: Uno de ellos siempre dice la verdad, el otro siempre miente y tú no sabes cuál es cada uno. ¿Qué pregunta debes hacer para salvarte? Date prisa en formularla: el jefe de la tribu dice que ya tiene hambre.
- Oye, papá, ¿me haces este problema de Matemáticas? - No hijo, no estaría bien. - Bueno, inténtalo de todas formas Vocabulario matemático Encuentra nueve palabras que están en el vocabulario matemático de secundaria: C
D A R
V B
S
E
S
T
G
C
O L
X
U C
S
D O
P
C
A S
R
L
C
O H
S
L
A Ñ A
R
F
F
O
U
K
Z
A F
S
I
S
L
G
T
T
S
D D
G N C
S
O
F
T
O P
B
O O T
I
L
U L
X
P
T
S
T
A I
B
I
S
M A Ñ M F
I
R
G B
U E
V A R
I
A
B
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¿Cuánto “cubitos” se han utilizado para construir esta figura?
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Los amigos del matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) destacaban de él su particular torpeza para dibujar el más sencillo esquema, razón por la cual le apodaban “el Ambidiestro”. ¡Era capaz de dibujar igual de mal con las dos manos!.
“En la política ocurre como en las Matemáticas: todo lo que no es totalmente correcto está mal” (Edward Kennedy)
“Las Matemáticas son el alfabeto con el que Dios ha escrito el Universo” (Galileo)
En cierta ocasión, el filósofo y matemático galés Bertrand Russell afirmó que de un enunciado falso se podía deducir cualquier cosa. Una de las personas que le escuchaba le preguntó: “¿Quiere usted decir que si 2+2=5 entonces usted es el Papa?” Russell contestó afirmativamente y lo demostró de la siguiente manera: “Si suponemos que 2+2=5 y restamos 2 en cada miembro, entonces obtenemos que 2=3. Invirtiendo la igualdad y restando 1 a cada lado tenemos que 2=1. Como el Papa y yo somos dos y 2=1, entonces el Papa y yo somos uno, luego yo soy el Papa”
“La política es sólo para los hombres. Las ecuaciones son para toda la eternidad” (A. Einstein)
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