52 Expresiones Algebraicas i.) Si ∆ < 0 entonces −
∆ > 0, por lo que P (x) 6= 0,∀x ∈ IR 4a2
Debe aqu´ı se deduce que P (x) no tiene ceros reales y por lo tanto P (x) no es factorizable (ver la consecuencia del teorema del factor anotado en la pagina anterior). ii.) Si ∆ = 0 entonces por (∗) "µ # ¶2 b 0 P (x) = a x + − 2 2a 4a "µ # ¶2 b = a x+ −0 2a µ ¶2 b = a x+ 2a o sea: ¶2 µ b Si ∆ = 0 entonces ax + bx + c = = a x + 2a 2
iii.) Si ∆ > 0 entonces volviendo a (∗) tenemos que: "µ # ¶2 b ∆ P (x) = a x + − 2 2a 4a à !2 r µ ¶2 ∆ b = a x + − 2a 4a2 "µ # "µ # ¶ r ¶ r b ∆ b ∆ = a x+ + x+ − 2a 4a2 2a 4a2 " √ #" √ # b+ ∆ b− ∆ = a x+ x+ 2a 2a " à à √ !# " √ !# −b − ∆ −b + ∆ = a x− x− 2a 2a √ √ −b − ∆ −b + ∆ = a(x − α)(x − β) donde α = ,β = 2a 2a o sea: √ √ −b − ∆ −b + ∆ , β = Si ∆ > 0 entonces: ax + bx + c = a(x − α)(x − β) donde α = 2a 2a 2
Ejemplo 42 Factorice (si es posible) cada una de las siguientes expresiones: a.) − 2x2 + 3x − 4
b.) x2 + 4
c.) − 4x2 + 20x − 25