´ ´ POR INDUCCION ´ MATEMATICA ´ EL METODO DE DEMOSTRACION
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1 3 Figura 1 Tampoco las verificaciones, para un n´ umero grande de casos, nos garantiza la veracidad de una afirmaci´on intuida, pues ya vimos en el cap´ıtulo anterior que la f´ormula p = n2 − 79n + 1601 es v´alida para calcular n´ umeros primos, si n toma valores menores que 80, pero para valores de n mayores ya no es v´alida. La dificultad radica en que una afirmaci´on en la que est´en involucrados los n´ umeros naturales, debe ser cierta para todos ellos y puesto que ´estos son infinitos, no podemos comprobarla en todos los casos. Las argumentaciones que surgieron al examinar el problema, tampoco son aceptadas como prueba de una afirmaci´on donde est´en involucrados todos los n´ umeros naturales. Por ejemplo, cuando nos preguntamos por el n´ umero de cuadrados que se pueden distinguir en un cuadrado de lado n (figura 4, secci´on 5.7), observamos que: 1. Podemos ubicar un cuadrado de lado n. 2. De manera similar a la anterior podemos encontrar 4 cuadrados de lado n − 1, pues s´olo hay cuatro posiciones distintas posibles de un cuadrado de lado n − 1, dentro de un cuadrado de lado n. 3. Tambi´en hay 9 maneras distintas de colocar un cuadrado de lado n − 2 dentro de un cuadrado de lado n, y ya estamos listos para dar el salto: “Existen en total 12 + · · · + n2 cuadrados en un cuadrado de lado n” 205