ARTÍCULOS Y REPORTAJES El problema se resuelve si entre ambas pirámides incorporamos la teselación triangular del cilindro que se muestra a continuación, que además, si se observa con cuidado, concluimos sin dificultad que es la única posible. Se trata ahora de un poliedro regular de veinte caras triangulares, que recibe el nombre de icosaedro. El siguiente polígono regular en complejidad es el cuadrado, y claramente, la única posibilidad cóncava es el caso en el que tres cuadrados compartan un vértice, que por supuesto, corresponde al cubo, también llamado hexaedro, dado que se trata de un poliedro regular con seis caras cuadradas.
El hexágono regular proporciona una teselación plana, en la que cada vértice es compartido por tres hexágonos, como en el caso de un panal de abejas. Entonces, la última de las posibilidades cóncavas es el pentágono regular, pues es la única teselación esférica posible que consiste de un poliedro en el que cada vértice es compartido por tres pentágonos. Cada arista de cada pentágono es común con otro de ellos, por lo que cada pentágono debe tener cinco pentágonos vecinos. Un pentágono y sus cinco “vecinos” constituyen un “hemisferio” pentagonal, y dos de ellos son suficientes para completar un poliedro regular de doce caras pentagonales, que recibe el nombre de dodecaedro El análisis previo confirma algo que ya era conocido de los geómetras griegos de la antigüedad: existen exactamente cinco poliedros regulares. Estos cuerpos son conocidos desde entonces como los sólidos platónicos, y jugaron un papel muy importante en el desarrollo de las ideas en los siglos posteriores a la cúspide de la civilización helénica. El sólido platónico con un mayor número de caras es el icosaedro con 20, pero sus caras son las menos “circulares”. El dodecaedro tiene las caras de mayor “circularidad”, pero tiene únicamente doce. El cuerpo que se obtiene tiene la misma configuración que la molécula de carbono conocida como fullereno. Calculemos el número de piezas necesarias para construir el fullereno. El dodecaedro tiene 12 caras pentagonales, lo que hace un total de 60 vértices, pero cada uno de ellos es compartido por tres caras, por lo que el dodecaedro tiene 60/3=20 vértices. Si “pegamos” un hexágono en cada lado de cada pentágono necesitaremos 60 pentágonos, pero al igual que en el caso del razonamiento anterior, cada hexágono es compartido por tres pentágonos, por lo que necesitaremos un total de 20 hexágonos. El fullereno tiene entonces 12 pentágonos y 20 hexágonos, al igual que la mejor pelota de balompié jamás construida en lo geométrico: el modelo “telstar“ usado tanto en el mundial futbolero de México 1970, al igual que en el de Alemania 74. Una mejora tecnológica dio origen al modelo ”tango” que conservó la geometría del “telstar”, y que fuera pieza fundamental en los campeonatos de Argentina 78 y España 82.
Al incorporar la tecnología al diseño eficiente de un balón de fútbol, se llegó a la conclusión de que un poliedro con un mayor número de caras de mayor redondez ya no podría ser regular. El hexágono es “más redondo” que el pentágono, pero no se admite en teselaciones esféricas. Una solución intermedia es usar el dodecaedro como base, separar sus caras e insertar hexágonos en los espacios que se producen entre ellos.
Este diseño básico se mantuvo hasta el mundial de Alemania 2006, pasando por el “azteca” de México 86, el “estrusco” de Italia 90, el “questra” de Estados Unidos 94, el “tricolore” de Francia 98 y el “fevernova” de Corea 2002. En Alemania 2006 se ensaya con el “tamgeist” y en Sudáfrica 2010 con el “javulani” con los ya conocidos pésimos resultados, ambos con diseños teselares de caras con lados no rectos. El balón con el que se jugará Brasil 2014, llamado “brazuca” tiene un diseño novedoso cuyo comportamiento físico es todavía un enigma. Veremos para entonces qué tiene que decirnos la nueva geometría. Artículos y reportajes
Referencias
Neumann, Peter; Stoy, Gabrielle; Thompson, Edward. Groups and Geometry. Oxford Science Publications, Oxford, 1992. Pérez, Juan Antonio. Galería Matemática. Editorial Iberoamérica. México, 2002. Stewart, Ian. Historia de las Matemáticas. Editorial Crítica, Barcelona, 2007. http://es.wikipedia.org/wiki/Balones_de_la_Copa_Mundial_de_Fútbol
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