Aptdo. 9.4. El P´endulo Esf´erico
9.25
obteni´endose al eliminar θ una ecuaci´on c´ ubica en u: H2 2g 2E 2 2 u˙ = (1 − u ) − + u = f (u). ml2 l m2 l4 Esta ecuaci´on posee tres soluciones reales para f (u) = u˙ 2 = 0, correspondientes a puntos de m´aximo o m´ınimo de u. De ellas, dos y s´olo dos est´an comprendidas entre u = 1 y u = −1, rango de validez del cambio de variable anterior. En efecto, ha de existir un intervalo de validez f´ısica en que f (u) > 0, ya que en el movimiento real u˙ 2 > 0 es intr´ınsecamente positivo. Sin embargo en u = ±1, f (u) < 0; luego dentro del intervalo considerado, debe haber dos puntos en que f (u) = 0.
Figura 9.13: La trayectoria del p´endulo esf´erico se sit´ ua entre dos valores extremos, m´aximo y m´ınimo, de la nutaci´on. El m´ınimo (punto m´as bajo de la trayectoria) est´a necesariamente por debajo del punto O, es decir, por debajo del ecuador de la esfera.
OA bJ
J
θJ
θmin
J J mJx
θmax Por ello, al igual que ocurr´ıa en la peonza sim´etrica (ver apartado 9.3.1 y figura 9.9), la nutaci´on θ oscilar´a comprendida entre dos valores extremos, θmin y θmax . Se puede demostrar que en el p´endulo el m´ınimo de θ necesariamente debe estar por debajo del punto de apoyo O, es decir, 0 ≤ θmin ≤ π/2. En efecto, obtengamos la ecuaci´on de Lagrange en θ: ∂L d ∂L ¨ = ml2 ψ˙ 2 sen θ cos θ − mgl sen θ, = ml2 θ; dt ∂ θ˙ ∂θ resultando ml2 θ¨ = ml2 ψ˙ 2 sen θ cos θ − mgl sen θ. Para π/2 < θ < π se verifica sen θ > 0, cos θ < 0; por tanto de la ecuaci´on de Lagrange anterior se deduce que en este intervalo θ¨ < 0, lo que hace imposible que exista un m´ınimo dentro de ´el (asociado a θ¨ > 0). El m´ınimo de θ ha de estar necesariamente entre 0 y π/2, como quer´ıamos demostrar (figura 9.13).