Aptdo. 9.1. Movimiento por inercia; Descripci´on de Poinsot.
9.5
un s´olido de revoluci´on, seg´ un la expresi´on (9.4) el eje de Ω genera un cono de revoluci´on. En este caso particular, el m´odulo de Ω s´ı es constante, aunque su direcci´on no lo ser´a en general. Es f´acil ver que el cono fijo tambi´en es de revoluci´on en este caso, por lo que el movimiento se reduce a la rodadura de un cono circular (de eje el de revoluci´on del s´olido, k) sobre otro cono circular (de eje la direcci´on invariante, K). Ejemplo 9.1: Sea un cilindro macizo homog´eneo de radio r, altura h y masa m, que se mueve libremente en el campo gravitatorio simplificado. Se le pone en movimiento comunic´andole una velocidad inicial de rotaci´on que forma 45◦ con el eje del cilindro, y cuya componente seg´ un dicho eje vale ω. Describir el movimiento del s´olido. ´ n: Los momentos principales de inercia son: Solucio 1 1 A = B = mr2 + mh2 ; 4 12
1 C = mr2 . 2
La velocidad de rotaci´on inicial es Ω0 = (ω, 0, ω), luego 1 H O = Aω i + Cω k; T = (Aω 2 + Cω 2 ); 2 √ 1 H = ω A2 + C 2 ; K = √ (A i + C k). A2 + C 2 Por lo tanto, la matriz de coeficientes del cono del cuerpo (cf. ecuaci´on (9.4)) es 1 0 0 A = 2T I 2O − H 2 I O = AC(A − C)ω 2 0 1 0 . 0 0 −1 Se trata de un cono de revoluci´on, con v´ertice en el centro del cilindro y cuyo eje lleva la direcci´on k. El semi´angulo c´onico es cos α1 = k ·
1 Ω0 =√ Ω0 2
⇒
α1 =
π . 4
Por otra parte, el cono fijo es igualmente un cono de revoluci´on, cuyo eje lleva la direcci´on de K y el semi´angulo c´onico es cos α1 = K ·
Ω0 A+C . =√ √ Ω0 2 A2 + C 2
A su √ vez, el elipsoide de inercia ser´a de revoluci´on con semiejes √ (1/ A, 1/ C), siendo su ecuaci´on Ax2 + Ay 2 + Cz 2 = 1. El vector velocidad angular, en el sistema de referencia del cuerpo, permanece sobre un elipsoide homot´etico al de inercia, de ecuaci´on Ap2 + Aq 2 + Cr2 = 2T. (Siendo (p, q, r) las componentes de Ω.)