Aptdo. 7.4. Sistemas con Ligaduras
7.29
m B
y
G
m A
Figura 7.6: Sistema de dos part´ıculas A y B, unidas r´ıgidamente, con cuchillo en el apoyo de A que materializa un enlace anhol´onomo.
θ R x
´ n: La ecuaci´on de ligadura anhol´onoma (7.3) era Solucio l −x˙ sen θ + y˙ cos θ − θ˙ = 0. 2
(7.65)
Los coeficientes son l Ax = − sen θ; Ay = cos θ; Aθ = − . 2 La lagrangiana, correspondiente en este caso u ´nicamente a la energ´ıa cin´etica, vale 1 L = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) + ml2 θ˙2 . 4 Las ecuaciones de Lagrange, empleando un multiplicador λ para la restricci´on, resultan 2m¨ x = −λ sen θ; (7.66) 2m¨ y = λ cos θ; (7.67) 1 2¨ l (7.68) ml θ = −λ . 2 2 Estas tres ecuaciones, junto con la de la restricci´on (7.65), sirven para resolver las cuatro inc´ognitas (x, y, θ, λ). Es posible eliminar el multiplicador λ, cuyo ¨ en las otras dos ecuaciones: valor a partir de (7.68) vale λ = −mlθ, y 2¨ x = lθ¨ sen θ; 2¨
= −lθ¨ cos θ;
(7.69)
de esta forma, el problema queda planteado mediante estas dos ecuaciones, junto con la restricci´on (7.65), para las inc´ognitas (x, y, θ). Las ecuaciones de Newton/Euler correspondientes al balance de cantidad de movimiento y momento cin´etico en G, funci´on de la reacci´on R normal a la cuchilla, resultan: 2m¨ x = −R sen θ; (7.70) 2m¨ (7.71) y = R cos θ; 1 2¨ l ml θ = −R . (7.72) 2 2 Se aprecia inmediatamente que coinciden exactamente con las ecuaciones (7.66-7.68) con λ = R.