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Animate

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Matemática

Recursos para el docente Recursos para el docente de Matemática 5 –Serie Animate–

es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega por el siguiente equipo: Claudia A. David • Alicia E. López • Adriana A. Santos • Gisela B. Serrano Matemática x deporte: Pablo J. Kaczor • Manuel J. Lois Edición: Raquel S. Kalizsky Jefa de edición: María Laura Latorre Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich

Índice Recursos para la planificación, pág. 2 Soluciones de todas las actividades del libro, pág. 9 Matemática x deporte, pág. 23

Jefa de arte: Claudia Fano. Diagramación: Alejandro Pescatore. Corrección: Juan Sosa. Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

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© 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

Matemática 5 : recursos para el docente / Gisela B. Serrano ... [et.al.]. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 56 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-2041-9

ISBN Libro del alumno: 978-950-46-2042-6 ISBN Recursos para el docente: 978-950-46-2041-9 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: octubre de 2008

1. Formación Docente. 2. Matemática. 3. I. Serrano, Gisela B. CDD 371.1

Este libro se terminó de imprimir en el mes de octubre de 2008, en Grafisur S.A., Cortejarena 2943, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, República Argentina.

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Abril

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Abril

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Marzo

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Módulo /tiempo estimado

Circunferencia y círculo.

Construcciones.

Reconocer, diferenciar y trazar circunferencias y círculos.

Construir triángulos y cuadriláteros con regla, escuadra y compás.

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

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Rectas paralelas y perpendiculares.

Reconocer, trazar y diferenciar rectas según su ubicación relativa.

Multiplicación. Propiedades. Algoritmo.

Resolver problemas que aborden distintos sentidos de la multiplicación y de la división.

División. Propiedades. Algoritmo.

Multiplicaciones y divisiones por 10, por 100, por 1 000.

Elaborar y usar estrategias de multiplicación y división por 10, por 100 y por 1 000.

Conocer y utilizar propiedades de la multiplicación y de la división.

El sistema de numeración egipcio.

El sistema de numeración decimal.

Números de 6, 7 y 8 cifras.

Contenidos

Conocer otros sistemas de numeración para comprender mejor el sistema decimal.

Leer y escribir números de 6, 7 y 8 cifras. Explicitar las relaciones subyacentes en el sistema de numeración decimal.

Expectativas de logro

Recursos para la planificación

Construcción de triángulos y cuadriláteros con regla, escuadra y compás, dadas las medidas de uno o más lados.

Reconocimiento y uso del concepto de circunferencia como conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto. Construcción de circunferencias con compás. Reconocimiento y uso del concepto de círculo como conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que el radio.

Reconocimiento y trazado de rectas paralelas y perpendiculares con escuadra y regla.

Análisis del algoritmo de la división: acortamiento de pasos y su explicación. Resolución de divisiones con divisor de dos y tres cifras. Resolución de situaciones problemáticas con el uso de una división entera exacta o inexacta. Reconocimiento de las relaciones entre los componentes de la división para resolver cálculos. Situaciones en las que el análisis del resto modifique el resultado. Estimación de resultados.

Resolución de situaciones problemáticas en las que se pongan en juego las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación. Descomposición de factores de una multiplicación para resolverla. Uso de cálculos conocidos para resolver otros cálculos. Uso de la calculadora.

Resolución de situaciones que impliquen la multiplicación y la división por 10, por 100, por 1 000. Uso de la calculadora. Completamiento de tablas.

Descubrimiento del valor de los símbolos egipcios a partir de un número escrito en sistema decimal y otro en egipcio. Reflexión acerca de las diferencias entre ambos sistemas de numeración.

Lectura y escritura de números de 6, 7 y 8 cifras. Proposición de cálculos que promuevan la aparición de estrategias que involucran descomposiciones de los números en juego usando la calculadora. Descomposición y composición de números, apelando a sumas y multiplicaciones. Lectura de números grandes e interpretación de información en gráficos estadísticos.

Estrategias didácticas


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Junio

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Mayo

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Mayo

5

Mayo

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Suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Construcción de triángulos y cuadriláteros.

Construir triángulos y cuadriláteros usando regla, escuadra, compás y transportador.

Ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice.

Reconocer y diferenciar distintos tipos de ángulos.

Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo para resolver distintas situaciones problemáticas.

Máximo común divisor (MCD).

Construcción de diferentes tipos de triángulos conociendo algunos datos: medida de dos ángulos y un lado; medida de tres ángulos y un lado. Construcción de cuadriláteros a partir de la medida de algunos de sus ángulos y algunos lados. Uso de regla, escuadra, compás y transportador en las construcciones.

Resolución de situaciones problemáticas que requieran la aplicación de la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Reconocimiento y clasificación de triángulos según la medida de sus lados y sus ángulos.

Comparación de ángulos y su medición con transportador. Trazado de ángulos de diferentes amplitudes usando el transportador. Construcción, identificación y caracterización de ángulos consecutivos y adyacentes. Análisis de problemas que impliquen el uso de la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice.

Resolución de situaciones problemáticas que requieren hallar el MCD entre dos o más números.

Resolución de situaciones problemáticas que requieren hallar el MCM entre dos o más números.

Descomposición de un número en sus factores. Clasificación de números en primos y compuestos. Búsqueda de números primos.

Números primos y compuestos.

Mínimo común múltiplo (MCM).

Elaboración de reglas de divisibilidad. Uso de las reglas de divisibilidad para encontrar múltiplos de un número.

Resolución de situaciones problemáticas en las que sea necesario encontrar múltiplos o divisores de un número. Reconocimiento de la multiplicación como inversa de la división exacta. Determinación del resto y el cociente de una división a partir de un producto conocido.

Determinación de situaciones de proporcionalidad y de no proporcionalidad.

Encuentro de la constante de proporcionalidad. Análisis de su significado.

Resolución de problemas de proporcionalidad conocido un par de números que se relacionan o por medio de información presentada en tablas. Uso de las relaciones entre variables para completar tablas.

Reglas de divisibilidad.

Resolver situaciones problemáticas que requieran la búsqueda del MCM o del MCD, o de ambos, entre dos o más números.

Poner en juego las propiedades de la multiplicación y la división, y las nociones de múltiplos y divisores en la resolución de situaciones problemáticas.

Reconocer la multiplicación como inversa de la división exacta.

Múltiplos y divisores.

Constante de proporcionalidad.

Encontrar y usar la constante de proporcionalidad.

Profundizar el conocimiento de la multiplicación y la división.

Tablas.

Proporcionalidad directa.

Resolver situaciones en las que la información se presente en tablas.

Reconocer y resolver situaciones de proporcionalidad.

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Julio

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Junio

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Junio

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Módulo /tiempo estimado

Fracción de una cantidad.

Masa: kilogramo y gramo.

Obtener fracciones de una cantidad.

Reconocer y usar medidas de masa y capacidad en distintas situaciones de la vida cotidiana.

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Capacidad: litro, decilitro y mililitro.

Sumas y restas.

Elaborar estrategias para resolver sumas y restas de fracciones y aplicarlas en diferentes situaciones problemáticas.

Manejar las equivalencias entre las unidades de masa y de capacidad vistas.

Fracciones en la recta numérica.

Fracciones equivalentes.

Sumas y restas de fracciones.

Números mixtos.

Fracciones para repartir y medir.

Contenidos

Representar fracciones en la recta numérica.

Ampliar el repertorio de los sentidos de las fracciones. Reconocer y usar fracciones equivalentes en diferentes contextos.

Resolver cálculos y situaciones que requieran sumar y restar con fracciones.

Comprender algunos de los sentidos de las fracciones.

Expectativas de logro

Recursos para la planificación

Uso del litro, el decilitro y el mililitro en distintos contextos. Resolución de situaciones que impliquen el uso de equivalencias entre esas unidades.

Uso del kilogramo y el gramo en distintas situaciones de la vida cotidiana. Planteo de situaciones problemáticas que requieran expresar cantidades de diferentes maneras. Uso de las equivalencias entre fracciones de kilo y de gramos.

Resolución de cálculos que impliquen la obtención de fracciones de una cantidad dada. Resolución de problemas en los que se requiera calcular la fracción de una cantidad.

Resolución de sumas y restas de enteros y fracciones. Análisis de distintas estrategias de resolución para sumar y restar fracciones con diferente denominador. Resolución de problemas que requieren sumar o restar fracciones, o realizar ambas operaciones.

Ubicar fracciones en la recta numérica conocidos el 0 y el 1.

Comparación de fracciones. Empleo de diferentes recursos para comparar fracciones. Resolución de situaciones en las que sea necesario reconocer y obtener fracciones equivalentes.

Sumas y restas de fracciones de igual denominador. Elaboración de recursos de cálculo mental para resolver algunas sumas o restas de fracciones. Expresar el entero como suma de dos fracciones. Ubicación de fracciones entre 2 números naturales consecutivos.

Traducción de fracción a número mixto y viceversa. Interpretación de números mixtos en distintos problemas.

Resolución de problemas que apelen a las funciones de reparto y medida de las fracciones.

Estrategias didácticas


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Septiembre

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Agosto

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Agosto

Julio

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Realizar construcciones analizando los datos que se presentan.

Construcciones.

Cuadriláteros. Clasificación y propiedades.

Multiplicaciones y divisiones de decimales por 10, 100 y 1 000.

Elaborar estrategias de cálculo para multiplicar y dividir números decimales por 10, 100 y 1 000 en distintos contextos de uso.

Profundizar el conocimiento geométrico. Conocer las propiedades de los cuadriláteros para poder elaborar criterios de clasificación.

Sumas y restas.

Suma y restar números decimales.

Porcentajes.

Representación en la recta numérica.

Representar fracciones decimales y números decimales en la recta numérica.

Calcular porcentajes.

Comparaciones.

Números decimales y fracciones.

Comparar números decimales.

Explorar la notación decimal. Establecer diferencias entre la notación decimal y los números naturales. Utilizar números decimales y fracciones decimales en distintos contextos de la vida cotidiana.

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Interpretación de información para la construcción de figuras. Construcción de trapecios dados dos ángulos y un lado. Construcción de diferentes cuadriláteros a partir de ciertos datos, por ejemplo, sus diagonales o la medida de tres ángulos y un lado.

Reconocimiento y análisis de distintos cuadriláteros para su clasificación. Comparación según sus lados y sus ángulos. Clasificación de cuadriláteros de acuerdo con el paralelismo de sus lados. Análisis de la medida de los ángulos interiores de los cuadriláteros. Búsqueda del valor de la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero. Identificación de ángulos opuestos de un paralelogramo y uso de la propiedad de ser iguales.

Resolución de situaciones problemáticas en las que se requieren calcular porcentajes. Identificación del porcentaje como fracción de denominador 100 y como número decimal.

Uso de la multiplicación por 10, 100 y 1 000 en el completamiento de tablas de proporcionalidad. Búsqueda y elaboración de estrategias para multiplicar y dividir por 10, 100 y 1 000. Resolución de situaciones problemáticas que involucren la multiplicación y la división de decimales por 10, 100 y 1 000. Elaboración de estrategias de cálculo mental para multiplicar y dividir por 10, 100 y 1 000.

Resolución de situaciones que impliquen la suma y la resta de números naturales y una fracción decimal, números naturales y números decimales, y números decimales entre sí.

Representación en la recta numérica de números decimales bajo determinadas condiciones. Interpolación de expresiones decimales entre dos números naturales.

Comparación y ordenamiento de números decimales.

Exploración de la notación decimal utilizando como recurso el dinero. Resolución de situaciones que requieran realizar equivalencias y transformaciones entre fracciones y números decimales. Situaciones de medición que involucren fracciones decimales y exijan cambios de unidades. Lectura y escritura de números decimales.


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Octubre

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Octubre

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Septiembre

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Módulo /tiempo estimado

Proporcionalidad.

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Multiplicar fracciones por números enteros y encontrar la fracción de otra fracción. Resolver situaciones de proporcionalidad que incluyan fracciones.

Multiplicación de fracciones.

Profundizar en el significado de la multiplicación de fracciones. Reflexionar sobre las diferencias entre la multiplicación de fracciones y la multiplicación de números naturales.

Uso de la calculadora para corroborar resultados de multiplicaciones o divisiones.

Cociente decimal entre dos naturales. División de un decimal por un natural.

Promedios.

Reconocimiento y uso del algoritmo de la multiplicación. Estimación de productos de una multiplicación. Resolución de situaciones problemáticas que requieran el uso de la multiplicación entre decimales.

Multiplicación entre decimales.

Resolución de situaciones problemáticas de proporcionalidad directa. Completamiento de tablas. Análisis de tablas. Búsqueda de regularidades.

Resolución de situaciones problemáticas que impliquen la multiplicación de un número natural por una fracción. Búsqueda del dividendo o el factor en diferentes cálculos. Resolución de problemas que requieran la multiplicación de dos fracciones. Resolución gráfica de la multiplicación de un número por una fracción y de fracciones.

Resolución de problemas que impliquen la búsqueda de promedios.

Resolución de situaciones de reparto en las que el resultado sea un cociente decimal. Resolución de situaciones que requieran el uso de divisiones de un decimal por un natural.

Resolución de multiplicaciones de un número natural por un número decimal. Elaboración de argumentaciones. Búsqueda y análisis de diferentes estrategias para operar.

Resolución de situaciones que requieran el cálculo estimativo y su posterior verificación. Realización de estimaciones sobre la longitud de una serie de objetos dados.

Comparación de longitudes expresadas en diferentes unidades. Completamiento de tablas usando la equivalencia entre m y cm. Resolución de situaciones problemáticas que requieran para su resolución sumas o restas, o ambas operaciones, de números enteros y decimales, o decimales solamente. Análisis de la relación entre cm y mm, usando como recurso una regla. Resolución de problemas que requieran la conversión de cm a mm o viceversa. Completamiento de tablas con equivalencias entre m, km y cuadras. Uso del km para calcular distancias. Transformación de fracciones del m, del km, del cm a números decimales. Escritura de medidas que impliquen el pasaje de una unidad de longitud a otra.

Estrategias didácticas

Multiplicación entre naturales y decimales.

Estimaciones.

Longitudes y números decimales: kilómetros, metros, centímetros y milímetros.

Contenidos

Resolver problemas que requieran la obtención y el cálculo de promedios.

Multiplicar y dividir cantidades expresadas con números naturales o decimales, o con ambos, utilizando distintos procedimientos.

Usar como recurso la estimación de longitudes en distintas situaciones de la vida cotidiana.

Conocer y usar las equivalencias entre km, m, cm y dm.

Utilizar distintas unidades de longitud en situaciones cotidianas.

Expectativas de logro

Recursos para la planificación


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Noviembre

18

Noviembre

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Vistas de cuerpos geométricos.

Armado de prismas y pirámides.

Armar cuerpos geométricos a partir de plantillas.

Cuerpos geométricos: prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera.

Reconocer y diferenciar cuerpos geométricos.

Analizar cómo se ve un cuerpo desde distintas posiciones.

El cm2 y el m2.

Áreas.

Perímetros.

Medir áreas con otras superficies como medida. Medir áreas utilizando el cm2 y el m2.

Diferenciar el concepto de perímetro y área.

Calcular el perímetro de diferentes figuras.

Avanzar en el análisis de las figuras.

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Armado de prismas y pirámides usando plantillas. Reconocimiento de la plantilla que corresponde a un cuerpo determinado.

Descripción y reconocimiento de cuerpos geométricos teniendo en cuenta sus características. Análisis de las vistas de un cuerpo cuando se lo observa desde distintas posiciones.

Asociación de cuerpos geométricos con objetos de la realidad. Diferenciación entre cuerpos geométricos que ruedan y los que no lo hacen. Determinación del nombre del cuerpo, y de la forma y la cantidad de caras, vértices y aristas que lo forman.

Resolución de situaciones problemáticas que exijan la equivalencia entre diferentes unidades de medida. Uso del cm2 y del m2 como unidades de medida.

Resolución de problemas que requieran la medición del perímetro de diferentes figuras. Resolución de situaciones que involucren una exploración sobre la independencia entre las variaciones del área y del perímetro. Comparación de los perímetros de distintas figuras con igual área. Comparación de las áreas de distintas figuras del mismo perímetro. Resolución de situaciones que pongan en juego la independencia de la medida del área de la forma.


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Soluciones

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Soluciones Las respuestas de la actividad de apertura de cada módulo figuran en la sección Paro y reviso que se encuentra grisada.

Módulo

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Repaso a) El número más grande es 85 432 y el más chico, 23 458. b) El número es 12 470. 1 100 000 + 100 000 + 100 000 + 10 000 +

10 000 + 10 000 + 10 000 + 10 000 + 1 000 + 1 000 + 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100

12 7 decenas de millón; 7 centenas de mil; 7 unidades de

millón; 7 decenas de mil. 13 a) Todos los números están compuestos por las cifras 0, 3 y

5; el 3 ocupa siempre el lugar de las unidades, pero el 5 ocupa una posición diferente en cada número. b) Cinco millones tres, quinientos mil tres, cincuenta millones tres y cincuenta mil tres. 14 Tiene razón Julián. El que dice Julián. Un número mayor po-

dría ser 53 120 000. Se lee cincuenta y tres millones ciento veinte mil.

b) Cuarenta y cinco millones doscientos tres mil setecientos cinco. 4 a) 10; 100 000; 100; 1 000; 10 000; 1.

b) Se escriben más símbolos en el número 99 999: 9 símbolos de 10 000; 9 de 1 000; 9 de 100; 9 de 10 y 9 de 1. En cambio, hay un símbolo que representa a 100 000. 5 Keops mide 146 m y Kefrén 143 m.

La altura de Micerinos se representa con

. 6 a)

× 1 000 54 000 28 000

b) Al multiplicar por 10, las unidades se transforman en decenas, estas en centenas y así. Al hacerlo por 100, se pasa de unidades a centenas, de decenas a un unidades de mil, etcétera. Por eso, multiplicar por 10 equivale a agregar 1 cero; por 100, dos ceros; por 1 000, tres ceros. 7 Son las divisiones de 25 000 por 100, 1 000 y 10, respec-

tivamente. 8 El sistema de numeración egipcio no es posicional y el siste-

ma decimal sí. En el sistema decimal, si dos números tienen diferente cantidad de cifras, siempre es mayor el que tiene más cifras; en el sistema egipcio no siempre es así. 9 a) Argentina: 37 000 000 de habitantes; Bolivia: 8 000 000;

Chile: 15 000 000; Paraguay: 5 000 000 y Perú: 27 000 000. b) Argentina es el país con mayor cantidad de habitantes y Paraguay, con la menor cantidad. c) Chile tiene 10 000 000 de habitantes más que Paraguay. d) La diferencia de habitantes entre Perú y Bolivia es de 19 000 000. 10 Caracol amarillo = 10; caracol rosa = 5; caracol azul = 1.

b) La diferencia es 58 801 744. Se lee cincuenta y ocho millones ochocientos un mil setecientos cuarenta y cuatro. 16 30 000 000 + 4 000 000 + 700 000 + 90 000 + 8 000 +

600 + 3 5 × 1 000 000 + 4 × 1 000 + 7 × 100 + 9 × 10 + 5 × 1 17 12 067 345 < 12 670 345 < 12 706 045

21 607 345 < 21 670 345 < 21 760 345 18 89 009 309; 67 080 000; 30 000 600. 19 423 580: cuatrocientos veintitrés mil quinientos ochenta.

4 235 800: cuatro millones doscientos treinta y cinco mil ochocientos. 42 358 000: cuarenta y dos millones trescientos cincuenta y ocho mil. 20 Los símbolos de desigualdad que van son los de menor,

mayor e igual. 21 Los tres números pueden ser 58 000 501, 48 100 500 y

58 000 540.

Módulo Repaso a) Ramiro recibe $ 1 000 por mes. b) Se necesitan 4 camionetas.

2

1 Los cálculos que sirven para resolver el problema son:

20 × 12 = 12 × 20 = 240 2 a) Los dos tienen razón.

b) Otra forma posible podría ser: 6 × 8 = 48 y 48 × 4 = 192. c) Todos los cálculos tienen el mismo resultado. 3 Una forma posible es:

• 21 35 • 45 72 • 28 63

× × × × × ×

15 = (7 × 3) × (5 × 3) = (7 × 5) × (3 × 3) = 9 = 315 32 = (9 × 5) × (4 × 8) = (9 × 8) × (5 × 4) = 20 = 1 440 18 = (7 × 4) × (9 × 2) = (7 × 9) × (2 × 4) = 8 = 504

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3 a) 1 703 450; 45 203 705; 870 056.

× 100 5 400 2 800

contrar 2 001 304 joyas.

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876 325 + 1 000 000 = 1 876 325 876 325 × 10 = 8 763 250

× 10 540 280

11 Tutansalamito se despertará en el año 3825. Hay que en-

15 a) 67 805 004; 9 003 260.

2 876 325 – 70 000 = 806 325

54 28

.


4 a) Sí, dan el mismo resultado: 1 800.

16 Tienen resto distinto de 0 la división de 124 679 por

b) y c) A cargo del alumno.

543 y también la de 45 789 por 25.

5 (9 + 50) × 12 = 59 × 12 = 9 × 12 + 50 × 12 =

108 + 600 = 708

18 No tiene solución porque falta un dato.

6 3 × 8 × 7 = (4 + 4) × 3 × 7 = 168

8 × 5 × 2 = (4 + 4) × 10 = 80 20 × 2 × 8 = (10 + 10) × 16 = 160 + 160 = 320 7

267 × 3 × 7. Si se olvidara también la tabla del 3 podría resolverlos así: 267 × (7 + 7 + 7). 20 Verdadero, porque 8 es el doble de 4.

9 a) A cargo del alumno.

b) • 4 500 : 15 → 4 500 : 5 = 900 y 900: 3 = 300. • 4 500 : 150 → 4 500 : 10 = 450; 450 : 5 = 90 y 90 : 3 = 30. • 4 500 : 300 → 4 500 : 100 = 45 y 45 : 3 = 15. • 4 500 : 75 → 4 500 : 5 = 900; 900 : 5 = 180 y 180 : 3 = 60.

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286 261 262 24 26 – 23 58 681 – 524 157/

262 1 092

45 – 36 8 – 8

92 495

623 8 82 28 543 – 460 83/

156 142 13 – 9 3 – 3

308 476 8 328 50 52 988 808 180/

11 a) A cada alumno le tocan 4 caramelos.

b) Sí, sobran 4 caramelos. 12 a) No, la cuenta está bien.

b) No dio 15 678 porque faltó sumarle el resto de la división. 13 a) Se necesitan 52 ómnibus.

b) El cociente, 51, no es la respuesta, porque se necesitan 52 ómnibus, o sea, se necesita un micro más para trasladar a los pasajeros que sobran (el resto de la división). 14 a) La caja tenía 329 chicles. 15 3 000 : 60 → 3 000 : 30 = 100 y 100 : 2 = 50.

2 400 : 52 000 88 000 2 200 :

Tiene una sola solución. No tiene solución porque falta el dato de cuánto pesa uno de los tres. 19 Clarisa podría haber hecho el siguiente cálculo:

2 823 12 2 400 200 423 + 30 – 360 5 63 235 – 60 3/

8 a) y b) A cargo del alumno.

10

17 Los cocientes correctos son 120 y 2 472.

16 → 2 400 : 2 = 1 200 y 1 200 : 8 = 150. : 600 → 52 000 : 200 = 260 y 260 : 3 = 86. : 160 → 88 000 : 40 = 2 200 y 4 = 550.

Verdadero, por propiedad distributiva: 8 × 5 = (6 + 2) × 5. Falso, porque el doble del doble de 5 es igual a 2 × 2 × 5. Verdadero, el orden de los factores no altera el producto (propiedad conmutativa). Verdadero porque al aplicar la propiedad distributiva es 8 × 5 = 8 × (2 + 3). 21 Martín se dio cuenta, sin hacer la división, de que ese

cociente no es posible porque nunca podría tener solo 3 cifras; si 19 × 1 000 = 19 000, y este número está próximo a 19 855, entonces el cociente va a tener 4 cifras. 22 Por ejemplo:

45 × 21; 52 × 10; 36 × 110; 125 × 13. 23 36 × (10 + 7) = 360 + 252 = 612

19 × (10 + 4 + 4) = 190 + 76 + 76 = 342 27 × (20 + 3 + 6) = 540 + 81 + 162 = 783 24 345 × (24 × 15) = 124 200 25 11 736 : 18 = 652

11 736 : 72 = 163 11 736 : 9 = 1 304 26 A Mariano le alcanza para 44 guitarras y le sobran $ 180. 27 La panadería necesita 11 bandejas para hornear todo el

pedido. 28 25 × (8 + 12) = 200 + 300 = 500

20 × (16 + 8) = 480 45 300 120 9 30 377 900 60/

7 502 625 1 252 12 2/

29 1 800 : 150 → 1 800 : 10 = 180; 180 : 5 = 36 y

36 : 3 = 12. 3 680 : 40 → 3 680 : 10 = 368 y 368 : 4 = 92. 6 000 : 250 → 6 000 : 10 = 600; 600 : 5 = 120 y 120 : 5 = 24. 30 a) 54 × 24 = 1 296 y 1 296 + 8 = 1 304. La producción de

alfajores es de 1 304. b) Hay que fabricar 16 alfajores más para llenar 55 cajas.

11 Gd. A5_M(01-22).indd 11

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c) Se deberían haber fabricado 1 296 alfajores para que no quedara ninguno suelto.

Módulo

12 • Se dibuja un ángulo recto; con centro en el vértice se

cortan los lados del ángulo con un arco. • Se hace centro en cada uno de los puntos obtenidos y, con el mismo radio, se trazan dos arcos que se corten: así se obtiene el cuarto vértice del cuadrado. • Con una regla se trazan los lados del cuadrado.

3

Repaso a) Por ejemplo, Girasol y Margarita. b) Por ejemplo, Rosal y Crisantemo. c) Crisantemo, Jazmín, Girasol, Margarita y Primavera. d) Jazmín y Azucena. 1 Está mal, porque solo la recta roja pasa por el punto p y es

perpendicular a la azul.

13 V F F F V 14 Mariel, porque solo vemos dibujada parte de una recta. Al

prolongarlas, se cortan. 15 A cargo del alumno. 16 30 cm

2 a), b) y c) A cargo del alumno.

d) Las rectas amarilla y azul son paralelas; las rectas roja y verde son perpendiculares. 3 a) Las rectas rojas son paralelas, las dos forman un ángulo

recto con la azul. b) Sí, son paralelas.

17 a) Un rectángulo; sus ángulos son rectos.

b) Un cuadrado. 18 A cargo del alumno. 19 A cargo del alumno.

4 a) A cargo del alumno.

árbol y caminó alrededor de él manteniendo la soga tensa. Así describió una circunferencia cuyo centro es el árbol.

Repaso a) 3 paquetes.

Paquetes 3 6 Chicles 18 36 b) • 60 • 42 30 litros de nafta. 4 a)

horas min 1 60 4 240 7 420 b) • 780 s

11 • Hay muchas esquinas que cumplen con las condiciones

dadas: donde la calle Orquídea se corta con las calles Margarita, Girasol y Jazmín, y también en la esquina de Violeta y Margarita. • Se debe trazar un círculo con centro en el farol y radio hasta una de las esquinas de la plaza, para que muestre todos los puntos que están a igual o menor distancia del farol que las esquinas de la plaza.

min seg 3 180 5 300 10 600 • 720 min

día horas 2 48 5 120 7 168 • 72 h

5

hormigas 7 13 6 1

9 a) y b) A cargo del alumno. 10 A cargo del alumno.

4 24 • 12

3 24 ovillos de lana.

8 a) Se traza un segmento de 3 cm y se lo mide con el com-

pás; con esa abertura, se pincha una vez en cada extremo del segmento y se traza un arco. El punto obtenido se une con cada extremo del segmento. b) Se puede trazar un segmento de 4 cm y desde cada uno de sus extremos, dos arcos de circunferencia de 3 cm de radio, que se corten formando el tercer vértice.

b) Para 20 chicos.

2 a)

tres circunferencias de igual radio. radio y con centro en B, otra de 4 cm de radio; estas se cortan en dos puntos. b) Se forman dos triángulos rectángulos y un romboide.

b) 9 paquetes.

1 a) 30 gaseosas.

6 a) y b) A cargo del alumno. Tener en cuenta que se parte de 7 a) Con centro en A se traza una circunferencia de 3 cm de

4

patas 42 78 36 6

6 3 budines: 225 g.

5 budines: 375 g.

7

Paquetes Figuritas 3 ×5 15 4 ×5 20 6 ×5 30 9 ×5 45 • A cargo del alumno. • Se divide la cantidad de figuritas por la constante.

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5 Ató un lazo flojo al tronco más o menos cilíndrico de un

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b) “Construí un rectángulo de 2 cm de base y 4 cm de altura y, pegado al lado de 4 cm, un cuadrado de 3 cm de lado; uno de los vértices del cuadrado coincide con uno del rectángulo”.


1 La clave es 528; para encontrarla hay que tener en cuenta

8

pizzas porciones 3 24 4 32 C = 8: cantidad de porciones por pizza.

que la suma de las cifras dé múltiplo de 3 (2, 5 u 8), pero como no pueden repetirse solo queda disponible el 2.

cajas fósforos 4 800 2 400 C = 200: cantidad de fósforos por caja.

2 • Por ejemplo, 95 y 120.

• 1 y 36.

colectivos pasajeros 5 250 3 150 C = 50: cantidad de pasajeros por colectivo.

3 a) La división de 253 por 11 tiene cociente 23 y resto 0; la

división de 253 por 23 tiene cociente 11 y resto 0. b) 11 y 23 son divisores de 253; 253 es múltiplo de 11 y de 23. 4 El 1 es divisor de todos los demás porque cualquier número

9 Por ejemplo: ¿Qué cantidad de lápices trae cada caja?

natural se puede escribir como el producto entre él y 1.

10

5 Todos los divisores de 32 son 1, 2, 4, 8, 16 y 32, y suman 63.

Kilos de Gramos • La otra tabla no es de proporcionalidad. pan de Dormi • La constante 12 = 240 : 20, represen20 240 ta los gramos de Dormi por cada kilo de pan. 35 420 25 300 • 660 g de Dormi. 10 120 • 5 kilogramos de pan. 11 • 9 segundos.

7 Hay que subrayar 4 593 y 81 024. 8 a) Hay que rodear: 18, 30, 36, 42, 66 y 108. 9 60 = 1 × 60 = 2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 15

300 kg C: 1,5. Representa los kilos de pan que se preparan con 1 kg de harina. b) $ 3 $6 C: 0,5. Representa el precio de 1 kg de papas.

10 Los factores primos que componen 84 son 7, 3, 22; asocián-

dolos de diferentes maneras se ve que: 84 = 12 × 7 = 2 × 42 = 3 × 28, además de los productos ya mostrados. 11 a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

b) Es compuesto porque tiene más de dos divisores. c) 84 = 2 × 2 × 3 × 7

13 a) y c) No son relaciones de proporcionalidad.

b) 18 pantalones.

12 No. Por ejemplo: 120 es divisible por 10, pero no por 100.

14

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10, 100 o 1 000: termina en 0, 00 o 000, respectivamente.

b) Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez.

• 12 minutos.

12 a) 75 kg

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6 Por 2: termina en 0, 2, 4, 6 u 8; por 5: termina en 0 o 5; por

10 5 6 3

40 20 24 12

15 a)

9 6

250 150 50 100

50 30 10 20

b) 81 54

16 C = 15

400 1 200 C = 11

1 3

4 5 6 7 c) 6 4

No. Por ejemplo: 9 < 11, pero 9 tiene tres divisores (1, 3 y 9), y 11 tiene dos: él mismo y 1. Falso. 27 termina en 7 y no es primo; sus divisores son 1, 3, 9 y 27.

12 15 18 21

13 La divisibilidad tiene que ver con las divisiones exactas, o

1 200 800

sea, con aquellas cuyo resto es 0. 14 • Sí, es útil porque le permite saber sin hacer la cuenta que

C=5

17 La primera tabla y la tercera no son proporcionales. No hay

una constante de proporcionalidad. 18

Tiempo en seg 30 120

Largos de pileta 2 8

Tiempo Largos de en min pileta 1 y 1/2 6 12 48

Módulo

no podrá envasar todos los huevos que puso porque 134 no es divisible por 6. • El número 13 es primo, solo tiene un par de divisores que generan un único rectángulo de lados 13 y 1. El número 12 tiene estos divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12; por eso se pueden armar rectángulos de lados 1 y 12, 2 y 6, o 3 y 4. 15 Cualquier número multiplicado por 15 es múltiplo de él;

como 15 = 3 × 5, entonces también es múltiplo de 3 y de 5.

5

Repaso a) 2 001 b) Hay infinitas respuestas posibles para ambas situaciones. • Basta con que el divisor sea mayor que 5. Por ejemplo: divisor = cociente = 8; entonces el dividendo es 8 × 8 + 5 = 69. • Por ejemplo: divisor 7, cociente 8 y dividendo 7 × 8 = 56.

16 De las seis afirmaciones, hay que tachar la 3.ª, la 5.ª y la 6.ª. 17 Puede apilarlas de a 5, de a 2 y de a 10. 18 Por ejemplo:

a) 21 600

b) 43 125

c) 92 850

19 525; 555 y 585. 20 a) 174

b) 741 o 147. Es imposible que no sea divisible por 3 porque no depende del orden de las cifras sino de su suma.

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14 a) 12

21 Es imposible…

… que sea impar y divisible por 6: porque ser divisible por 6 implica serlo por 2, o sea, debe ser un número par. … que sea divisible por 8, pero no por 4: porque ser divisible por 8 implica serlo por 2 y por 4 a la vez.

b) 9

c) 30

d) 1

e) 6

f) 18

15 Volverán a sonar juntos a las 13 y 30 horas. 16 Hay 1 656 chupetines. 17 12 m. 3 trozos de cable rojo y 4 de azul.

22 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 o 42. 23 Por ejemplo: 801 y 804, respectivamente. 24 210 = 21 × 10 = 3 × 70 = 7 × 2 × 5 × 3; divisores com-

puestos: 21, 10 y 70; primos: 7, 2, 5 y 3. 25 Hay que rodear 12 × 35 que se puede escribir como

(3 × 4) × (5 × 7); las otras dos multiplicaciones no contienen los factores que se piden.

Módulo

7

Repaso a) 110º, 90º, 180º, 70º y 160º. b) Los dos, porque un recto es igual a 90º. 1 A cargo del alumno. 2 Fede se equivoca porque el ángulo rojo mide menos de 90°

Módulo

6

Repaso a) Pueden armarse grupos de 2, 3, 6, 9 o 18 chicos. b) 0 1 a) Malena: 1, 5, 9, 14, 19, 24 y 29 del mes de agosto.

Guillermina: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 y 31 del mes de agosto. b) El 19 de agosto.

y el azul, más de 90°. 3 a) A cargo del alumno.

b) Iguales. 4 a) A cargo del alumno.

b) Los lados opuestos son iguales. c) Un paralelogramo. 5 a), b) y c) Solo un lado.

d) ...comparten solo un lado. 6 Se traza una perpendicular a uno de los lados del ángulo

2 a) 60 alfajores.

b) 12 cajas de 5, 20 cajas de 3 o 15 cajas de 4 alfajores cada una.

rojo que pase por su vértice. 7 Los de la izquierda son adyacentes porque comparten solo

un lado.

3 Dentro de 24 horas.

9 a) A cargo del alumno.

b) MCM (8; 14) = 56 c) MCM (5; 9; 15) = 45

b) Trazando dos rectas secantes. c) A los ángulos que no están pintados.

5 a) Usará 8 páginas.

b) Podrá pegar 5 stickers en cada hoja: 2 de muñecas y 3 de animales.

10 a) El I y el IV.

b) II) 130°, 50° y 50°; III) 110°, 110° y 70º. 11 a) y b) A cargo de los alumnos. Tener en cuenta que hay

6 a) 12 kg

b) Se pueden hacer 3 bolsas de maníes y 4 bolsas de girasol. 7 • Usó un álbum de 25 páginas.

• 2 fotos blanco y negro, y 3 fotos color. • 5 fotos. 8 a) Porque MCM (3; 5) = 15.

b) Sudedito: 5 fotos; Tunuevita: 3 fotos.

muchas respuestas posibles. c) El ángulo azul mide 40°; el verde, 70°. 12 a) A cargo del alumno. b) 80°

c) 180°

13 a) Un ángulo llano; mide 180°.

b) Se intenta que comprueben que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. 14 a) Triángulos rectángulos.

b) 18° c) Cada uno de los ángulos agudos mide 36° y cada obtuso, 108°.

9 a) 30

b) 20

15 a) Solo se puede dibujar el triángulo cuya suma de ángulos

10 70

interiores es 180°. b) Es escaleno obtusángulo.

11 35 caramelos. 12 a) 6

b) 2 grupos de pelotas blancas, 3 de pelotas negras y 4 de multicolores. 13 a) A los 120 segundos, o sea, 2 minutos.

16 El tercer ángulo debe medir 90° para que la suma de los

ángulos interiores sea 180°. 17 a) 45° cada uno.

b) Es un triángulo isósceles.

b) Leo: 2 vueltas; Mariano: 3 vueltas.

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© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

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8 a) No; no; sí. b) 90° cada uno.

4 a) MCM (18; 12) = 36


18 En cada caso, el ángulo exterior marcado con rojo mide lo

mismo que la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. 19 Hay triángulos rectángulos y también equiláteros, además

de rombos, romboides y hexágonos regulares. • Sí. • Sí. • 360°; cada uno de ellos mide 90°.

Al azul hay que dividirlo en 4 partes iguales (cada una repre1 senta ) y sacarle una. 3 Al verde hay que dividirlo en 6 partes iguales (cada una 1 representa ) y sacarle una. 5 6 a) Ente 1 y 2, y entre 4 y 5.

21 Sí, si ambos son rectos.

7

22 a) Verde: 33°; rojo: 147°. 23 120° y 60°. 24 90°; 90°. 25 Cada ángulo con vértice en el centro del círculo: 72°; los

demás ángulos de cada triángulo: 54°. 26 No, porque no forman un ángulo llano. 27 No, porque dos obtusos suman más de 180°.

No. Como la suma de dos rectos da 180°, el tercer ángulo debería ser de 0°. 28 ! 1! 900 ! 280 ! 620                                ! 3 ! 280

! !! ! 1 2!! 5 ! 900                                               4

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1 4

.

3 9 5 5 ; ; y . 4 10 4 9

8 Todas representan la mitad.

b) Son iguales por ser opuestos por el vértice.

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1

2

b) 1 y 4

20 128°

8

Repaso 3 a) < 1 4 6 9 b) Hay distintas opciones. Por ejemplo, mayores que 1: , ; 5 2 1 5 menores que 1: y . 2 11 1 del tangram. 1 a) 16, o sea, A es 16 b) El cuadrado B, el triángulo verde y el paralelogramo rosa. No, no tienen la misma forma. 1 1 3 + = del tangram. c) B + C = 8 4 8 1 7 d) 1− = del tangram. 8 8 2 a) El primero y el segundo cálculo están mal, el tercero, bien. b) A cargo del alumno. 1 1 y de regla. 2 3 1 reglas. En la segunda columna: 2 reglas; 2 y 2 b) Depende de lo que haya recortado cada alumno.

3 a) En la primera columna:

4 Solo es correcta la del triángulo. No son correctas la del

rectángulo y el círculo porque las partes no son iguales; tampoco la del cuadrado, porque no se representa la fracción pedida. 5 Al rectángulo amarillo hay que dividirlo en 3 partes iguales

Todas representan las tres cuartas partes. Todas representan las dos quintas partes. A cargo del alumno. 1 5 y . 9 •2+ 2 2 1 5 • 1+ y . 4 4 • Está bien repartido, porque 5 : 2 es lo mismo que 5 1 = 2+ . 2 2 1 5 • 1 ; . 4 4 1 1 + . 10 a) Por ejemplo: 1 = 2 2 1 3 b) Por ejemplo: 1 = + . 4 4 1 1 1 c) Por ejemplo: 1 = + + . 4 4 2 11 Hay que dividir cada figura en 4 partes iguales y pintar 3.

1 1 1 1 3 = + + = . 2 2 2 2 2 Al rectángulo amarillo: agregarle otros 3 rectángulos iguales a él para completar la torta. Al azul: dividirlo en dos partes iguales, cada una representa un tercio de la torta, y agregar una parte más para completar la torta. 5 2 2 = 1 + =1 3 3 3 1 3 1y L= L. 2 2 13 Entre 0 y 1, porque 1 = . 13 10 15 Entre 2 y 3, o sea, entre y . 5 5 13 9 Hay que rodear y . 3 2 7 7 Por ejemplo, y , respectivamente. 5 2 3 3y L. 4 1 de la figura. 4 5 1 kg de pan o 1 y kg. 4 4

12 Sí, porque 1 + 13

14 15 16

17 18 19 20 21

1 y, como cada una de ellas representa , agregarle una de 4 esas partes.

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9

Repaso 1 3 4 3 5 10 a) Por ejemplo, , , y , , , respectivamente. 2 6 8 3 5 10 3 1 1 1 1 1 1 b) Por ejemplo: + + = + + = 1 . 4 4 4 4 4 2 2 2 1 1 Sí, porque = . 6 3 5 8 11 3 7 11 b) c) d) e) f) 2 a) 3 3 3 4 4 4 1 4 4 5 9 y . + = 3 Sí, porque = 3 12 12 12 12 5 1 1 , porque 5 veces es más que 2 veces . 4 a) 7 7 7 4 b) , porque cada quinto es mayor que cada noveno. 5 9 9 5 c) porque >1y < 1. 8 8 6 7 1 6 1 le falta para llegar a 1 y a le falta para llegar 8 8 7 7 1 1 6 a 1, pero como > ; entonces a le falta más para 7 8 7 7 7 llegar a 1 que a , o sea, es mayor. 8 8 6 Hizo el corte entre la parte violeta y la verde. En la c. 5 A

8 a)

0

1

0

1

0

1

17 12

b)

1 20

c)

12

b) Sí.

2 1 = 6 3

13 Kiara.

2 3

20 21 22 23

10

Módulo

Repaso a) Bebé: 4,5 kg, gaseosa: 2 L, pan de manteca: 200 g, gotero: 2 ml. b) A cargo del alumno. 1 a) Compraría 4 paquetes de 500 g cada uno.

b) Una posibilidad es 2 paquetes de 500 g y 4 de 250 g. 2 No, porque todo el material pesa 5 kg + 250 g. 3 Julián puede llenar el recipiente de 5 kg y luego pasar la ha-

rina al de 2 kg, hasta llenar este envase. Así, en el recipiente de 5 kg quedarán los 3 kg que necesitaba separar. 4 Sí, es verdad. En el visor debe aparecer 480 g. 5 Envases grandes, porque con los envases chicos 2

29 24

3 L 9 10 10 a) 7 b) Es 14. Se puede calcular multiplicando por 2 la tercera parte de 21. 11 a) 8

11 19 b) c) No. 30 30 3 17 a) L b) L 20 20 2 5 1 5 , y , respectivamente. La mayor es . 5 11 6 6 64 y 22, respectivamente. 3 56

19 a)

c) Marcando 3 de las 4 hileras de 5 alumnos cada una; son 12 alumnos. 1 2

costarían aproximadamente $ 7,97.

1 4

L

6 Le quedan 160 ml de antibiótico. 7 Puso 12,5 L de agua y 125 ml de jabón líquido. 8 No es confiable porque un perro tan chiquito no puede pesar

tanto. Pesa 1,600 kg. • Sí, le alcanzará el frasco y le sobrarán 150 ml. 1 1 L = 5 dl; 1 kg = 1 500 g; 250 ml = 0,25 L. 9 2 2 3 1 3 dl = 75 ml; kg = 250 g; 750 g = kg. 4 4 4 10 Puede preparar 37 mates y le sobra yerba.

5 • 1 plato + de otro. 12 13 7 ; . 14 20 20

11 250 g 12 Se llevó las de 720 g y 740 g.

1 se ubica a 2,5 cm del 0 y 4 2 , a 4 cm. 5 16 Diana: 6, Carolina: 9 y Guillermina: 14. 3 (los séptimos son mayores que los novenos). 17 • 7 7 2 1 (si a ambos le descontamos 1, > ). • 5 5 4 8 (porque si buscamos fracciones equivalentes de igual • 11 88 56 56 55 55 55 denominador: == >> > == ). 11 11 77 77 77 77 77 15 Como la unidad mide 10 cm,

13 Lucía comió y bebió más que Mara. 14 Le quedan 0,6 dl. 15 No, se necesitan 640 ml y solo hay 500 ml. 16 No, no es verdad porque se necesitan 2 L y 240 ml, y se

prepararon 2 y medio litros. 17 Compró 505 g de jamón. 18 • Preparó más de 1 litro y medio.

• Preparó 1,625 L.

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b) c)

3 2 queda a 9 cm del 0 y , a 4 cm. 2 3

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

7 a)

18 Como la unidad mide 6 cm,


Módulo Repaso a) No, porque 20 x $ 0,1 = $ 2.

11

b) $ 4,65

1 $ 0,50 2 3,3 kg

31 L b) 0,031 L L 1 000 c) La cantidad de ceros en 1 000 coincide con la cantidad de lugares después de la coma que tiene el número decimal. 25 75 125 ; 0, 75 = ; 0,125 = . 4 0, 25 = 100 100 1  000 5 a) 0,37; 5,18; 2,049; 13,006. b) 13 enteros, 6 milésimos y 37 centésimos. 3 7 3 8 ; 0, 73 = ; 1, 08 = 1+ ; + 6 a) 7, 3 = 7 + 10 10 100 100 5 2 . 4, 52 = 4 + + 10 100 b) 7 enteros, 3 décimos y 73 centésimos.

3 a)

15 22,50 y 27,50. 16 • $ 1,20

• La carpeta Patito. • $ 21,40 • Los números “con coma” se forman con el numerador de la fracción decimal, al que se le dejan tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador. 8 80 y 0, 80 = . 17 a) 0, 8 = 10 100 8 80 b) Sí, porque ; son fracciones equivalentes. = 10 100 18 0,98 L; 1,3 L y 0,75 L. 19

a) b) c)

Con rojo 0,8 0,15 2,99

Con verde 0,008 0,015 1,99

20 $ 2,80 21 0,013 < 0,023 < 0,045 < 0,2 < 0,23 < 1,7

7 13 < 13,804 < 14; 11 < 11,07 < 12; 0 < 0,29 < 1.

22 Como la unidad mide 3 cm, los décimos se marcan cada 3 mm.

8 a) 7,03 < 7,035 < 7,125 < 7,9

23 Todos son iguales a un décimo.

b) Todos tienen parte entera 7; los números 7,03 y 7,035 tienen la cifra de los décimos y de los centésimos iguales, pero 7,03 tiene la cifra de los milésimos igual a 0 mientras que 7,035 tiene un 5. Así que 7,03 < 7,035. c) Es el que tiene la mayor cifra en el lugar de los décimos.

24

9 a), b) y c) A cargo del alumno. En b) hay que tener en cuen-

2 + 0,6 + 0,07

9,07

9 + 0,07

5,3

5 + 0,3

4,008

4 + 0,008

1,205

1 + 0,2 + 0,005

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ta cuánto mide la unidad. 10 a) Las sumas: 2,1; 3,1; 4,1; 6,6; 13,7.

Las restas: 0,4; 1,4; 2,4; 3,7; 9,6. b) Por ejemplo: 3,2 + 0,9 = 3,2 + (1 – 0,1) = 4,2 – 0,1 = 4,1 3,2 + 0,9 = 3,2 + 0,8 + 0,1 = 4 + 0,1 = 4,1 4,6 – 0,9 = 4,6 – 1 + 0,1 = 3,6 + 0,1 = 3,7 4,6 – 0,9 = 4,6 – 0,6 – 0,3 = 4 – 0,3 = 3,7 c) Depende de los procedimientos que hayan surgido.

6 7 + 10 100 7 9+ 100 3 5+ 10 8 4+ 1 000 2 5 1+ + 10 1 000 2+

2,67

25 $ 1,20 26 A cargo del alumno. Como la unidad mide 2 cm, los décimos

se marcan cada 2 mm.

Módulo

11 a) • 0,5 + 0,3 = 0,8 (cálculo directo sumando 5 y 3).

5 3 8 • 0, 5 + 0, 3 = + = 10 10 10 • 1,3 + 2,85 = 1 + 0,15 + 0,15 + 2,85 = 1 + 0,15 + 3 = 4,15 • 1,3 + 2,85 = 1 + 2 + 0,3 + 0,85 = 3 + 0,3 + 0,7 + 0,15 = 4,15 • 2,4 – 1,2 = 2,4 – 1 – 0,2 = 1,4 – 0,2 = 1,2 24 12 12 • 2, 4 −1, 2 = − = = 1, 2 10 10 10 • 3,72 – 1,7 = 3,72 – 1 – 0,7 = 2,72 – 0,7 = 2,02 • 3,72 – 1,7 = 3 – 1 + 0,72 – 0,7 = 2 + 0,02 = 2,02 b) A cargo de los alumnos.

12 3,15 m 13 Sí, ya que es de $ 6,70. 14 El primero, porque para sumar o restar hay que encolumnar

las unidades con las unidades, los décimos con los décimos y así sucesivamente.

Gd. A5_M(01-22).indd 17

267 100 907 100 53 10 4 008 1  000 1  205 1  000

12

Repaso a) 70 tapitas. b) 4 páginas. 1

× 100 13 1 300 28 2 800 26 2 600 7,5 750 0,94 94 230 75,8 612 4 3,2

: 10

× 1 000 0,005 5 14 000 14 000 000 0,00289 2,89 0,0671 67,1 482 482 000

23 7,58 61,2 0,4 0,32

17 11/18/08 1:59:02 PM


Módulo

2 Si multiplico por 10, 100 o 1 000, “corro la coma a la dere-

cha” 1, 2 o 3 lugares, respectivamente. Si divido por 10, 100 o 1 000, “corro la coma a la izquierda” 1, 2 o 3 lugares, respectivamente. 3 A cargo del alumno.

Repaso a) Es la figura que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. b) Deben dibujar un trapezoide, un rectángulo y un cuadrado. 1 Seis trapecios pintados de anaranjado.

b) $ 50

5 Todos los alfajores juntos pesan 500 g y cada bocadito 6 g.

2 Tiene dos ángulos rectos. Es un trapecio rectángulo.

6 300 ml

3 a) A cargo del alumno.

7 a) Por 10, 100 y 1 000 en la primera columna y por 0,1;

0,01 y 0,001 en la segunda. b) Les sucede lo que dice Caro a las que se multiplican por 10, 100 y 1 000; a las que no, son por 0,1; 0,01 y 0,001 donde “se corre la coma hacia la izquierda”. 8 a) $ 60 y $ 75, respectivamente.

1 b) A cargo de alumno. A recordar: 50% = . 10 1 1 = 0,1 25% = = 0,25 9 10% = 2 2 1 1 = 0,75 40% = = 0,4 75% = 4 2 b) 192; 80%. 10 a) 48 11 • Sí, ya que son 600 ml.

• 100 ml = 1 dl, con lo cual tiene que medir 3 dl. • 2,25 dl • Por 4. 1 × 400 12 4 0,007 0,07 0,7 7 70

700 : 1 000 700 : 100 700 : 10 70 : 1 000 70 : 10 000

14 1 820; 1 820; 18 200.

4 Estos son los cuadriláteros que quedan en cada sector:

paralelogramos: 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15 y 16; trapecios: 9, 4 y 6; trapezoides: 13; romboides: 2 y 11. Cuatro ángulos iguales: rectángulo. Cuatro lados iguales: rombo. Cuatro ángulos y cuatro lados iguales: cuadrado. a) Los trapecios tienen un par de lados paralelos y los trapezoides, ninguno. b) Porque tienen sus cuatro ángulos iguales y sus cuatro lados iguales. c) Iguales. d) Trapecio isósceles. Mi machete: Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos iguales y paralelos. 5 a) Rocío: cuadrado; Valentina: rombo.

b) Ambos armaron un paralelogramo común, con distintos ángulos. c) No es un paralelogramo; es un romboide. 6 Alejo tiene razón: la suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero es 360°, porque es igual a la suma de los ángulos interiores de los dos triángulos que lo forman. 7 a) A cargo del alumno.

18,2; 1,82; 1,82.

15 98; 2,3; 0,17 y 0,06. 16 Entre 23 y 24 L, porque 1 L = 10 dl. 17 Hay muchas formas de colorear posibles, pero en todas de-

berán quedar 30 cuadraditos verdes, 50 azules y 20 rojos. 1 . 18 a) Correcta, porque 10% = 2 b) No es correcta; el 50% de 10 es la mitad, o sea, 5, y no 2. c) No es correcta, debe dividir por 100. 1 d) Correcta, porque 25% = . 4 b) 1 000 c) 100 d) 1 000 19 a) 100 20 37,4 y 3 740, respectivamente. 21 $ 6,30

b) Se puede calcular el cuarto ángulo restando de 360° la suma de los otros tres. 8 a) Se forma un ángulo de 360°, porque cualquier cuadriláte-

ro puede pensarse como formado por dos triángulos. b) A cargo del alumno. 9 a) A cargo del alumno.

b) Los ángulos a y d miden 90º cada uno, y el c mide 60º. 10 Todos los ángulos agudos del dibujo son iguales al ángulo

de 60°. Uno de ellos, por ser opuesto por el vértice al ángulo rojo; los demás, porque todos los rombos de la figura son iguales y los ángulos que se corresponden, también lo son. Además, todos los ángulos obtusos miden 120°, pues cada uno de ellos es adyacente a un ángulo de 60º. 11 En el rombo, como en los demás paralelogramos, los ángu-

los opuestos miden lo mismo. 12 a) A cargo del alumno.

b) Los ángulos b y d miden 50° cada uno. Los ángulos a y c miden 130°. c) Los ángulos a y b suman 180°, y los ángulos c y d también.

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13

b) Dos pares de lados iguales. Dos ángulos iguales. Diagonales perpendiculares; se cortan formando 4 ángulos iguales.

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4 a) $ 5

13


7 El lado mayor mide 80 cm y el menor, 40 cm.

13 a) A cargo del alumno.

8

b) Un trapezoide.

Sr. Casinada Sra. Pasos Sra. Camino Sr. Corredor Sr. Cansado

14 El cuadrilátero que cumple las tres propiedades es el rom-

boide, pintado de amarillo. Los demás cuadriláteros son el trapecio rectángulo, el cuadrado y el rombo. 15 a) Además del ángulo de 48°, tiene dos ángulos rectos y

otro de 132°. b) 60° y 120°.

miden lo mismo y los ángulos opuestos, también. 17 La figura está formada por 5 paralelogramos, tres tipo A,

cuyos lados miden 1,5 cm y 3 cm, y el ángulo comprendido, 72º, y otros dos, tipo B, iguales entre sí: sus lados miden 1,5 cm y sus ángulos respectivos miden lo mismo que los del paralelogramo grande. Están dispuestos como en un rompecabezas, formando un único paralelogramo de lados 6 cm y 3 cm, de esta forma: un paralelogramo tipo A apoyado sobre su lado menor; a continuación, formando ángulos adyacentes, un paralelogramo B, y pegado a este –por su lado menor y formando ángulos adyacentes–, otro tipo A. Los otros dos paralelogramos se disponen, primero el A y luego el B, completando el rompecabezas. 18 El ángulo opuesto al coloreado también mide 60°, y los

otros dos, 120° cada uno. 19 No, no puede ser verdad, ya que la suma de cuatro ángulos

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obtusos es mayor que 360°. 20 a) Obtiene un rombo; sus cuatro lados son iguales.

b) Si une los triángulos por los lados iguales, obtiene un romboide o un paralelogramo común. 21 Un triángulo isósceles más pequeño y un trapecio isósceles. 22 Todos los paralelogramos comunes tienen dos ángulos de

70º y dos de 110º; los rombos tienen dos de 40º y dos de 140º, y los triángulos tienen uno de 40º y dos de 70º. 23 Solo es posible en el cuarto caso, porque la suma de los

ángulos interiores da 360°.

Módulo

14

Repaso La formación quedó así: Nora, Albertito, Diana y Juan. 1 Fernando, porque 1 metro y medio es 1,50 m

y 1,50 m > 1,25 m > 1,05 m. 2

0,8 1 0,75 0,12 0,25 80 100 75 12 25

3 2,475 m

2,5

5

m

1 000

3 500

2 500

5 000

500

Cuadras

10

35

25

50

5

2

10 La ciudad más cercana, “Pantanos peligrosos”, está a

23 km y la más lejana, “Ciudad Perdida”, a 28 km. 11 a) A cargo del alumno. La idea es que los alumnos relacionen la

longitud del lado menor con la del lado mayor sin realizar mediciones. Podrán decir, por ejemplo, que el lado mayor mide más del doble del lado menor, en ese caso la cantidad de hilo estimada será más de 12 cm. Otra posibilidad es que estimen la medida del lado mayor como el triple del lado menor, entonces la cantidad de hilo necesaria sería de 16 cm. b) La cantidad exacta de hilo es de 12,6 cm. 12 Los alumnos podrán proponer medir con pasos, baldosas,

carpetas, lápices, etc. Se podrá continuar reflexionando acerca de los instrumentos más adecuados, y las ventajas y desventajas de los convencionales y los que no lo son. 13 • Ariel no está conforme porque el listón que él necesita

tiene que medir 1,5 m y el que encargó mide 1,25 m, o sea, 25 cm menos. • Sí. • La idea es que los alumnos puedan, en la explicación, hacer referencia a que 1 m con 25 es equivalente a 1,25 m y es menor que 1,5 m. • Porque en el pedido las medidas de las placas figuran en centímetros y en el cartel de la maderera están en metros. 1 m = 100 cm 1 1 • m = 0,25 m = 25 cm 14 a) y b)• m = 0,5 m = 50 cm 2 4 1 1 km = 0,25 km = 250 m • km = 0,5 km = 500 m • 2 4 1 1 • cm = 0,5 cm = 5 mm • cm = 0,25 cm = 2,5 mm 2 4 15 No; la otra parte mide 93 cm = 0,93 m. 16 135,5 cm 17 15,68 km 18 500 19 1,58 m 20 0,8 km 21 a) y b) A cargo del alumno. 22 1,57 m

24 82,26 m

5 11,8 m

Gd. A5_M(01-22).indd 19

3,5

23 7 mm

4 1,72 m

6 • 1 cm = 10 mm

1

9 Para el rombo necesitará 2,6 m y para el romboide, 2,3 m.

16 No, la información es suficiente porque los lados paralelos

Metros Centímetros

1

km

• 1 mm =

1 cm = 0,1 cm 10

19 11/18/08 1:59:04 PM


Repaso a) Al multiplicar por 10, la cifra de la unidad se “corre” al lugar de las decenas, esta al de las centenas, y así; al dividir por 10, la unidad se “corre” al lugar de los décimos, este al de los centésimos, etcétera. El mismo razonamiento se aplica para multiplicar por 100 (2 lugares de corrimiento) o por 1 000 (3 lugares). b) Se “corren” así: 857,4; 8 574; 85 740. 8,574; 0,8574; 0,08574.

16 • La bolsa de “Boquita dulce”, $ 24.

• Choquis: $ 0,65 y Dulcineos: $ 0,70. • $ 195,20. • A veces con la división entera alcanza, ya que los objetos o las personas con los que se trabaja en el problema no pueden subdividirse. 17 65 monedas. 18 0,011 cm 19 a) $ 18,50

b) $ 92,50

1 a) 3,7 → 37 : 10 = 3,7

20 Aproximadamente 3,52 kg.

0,37 → 37 : 100 = 0,37 0,037 → 37 : 1 000 = 0,037 b) Multiplicar por 0,1; 0,01 o 0,001 es lo mismo que dividir por 10, 100 o 1 000, respectivamente. 2 1 = , podemos hacer 30 : 5. 2 Como 10 5 3 No, porque 1,7 × 5 = 8,5 que es menor que 9,5.

21 a) $ 38,60

b) $ 48,25

22 $ 39,30 23 28 : 4 = 7; 12 : 10 = 1,2; 23 : 5 = 4,6. 24 $ 1,075 25 22,5 años.

4 6 bocaditos.

Módulo

5 a) 40,8; 44,8; 23,4; 70,2.

b) • 18 décimos. • 4 × 6 = 24, son 24 unidades. • Porque 8 son décimos y 4 son unidades. 4,3 × 6 + 1,8 24 25,8 6 a) $ 4,25.

b)

3,8 × 1,7 + 2,66 3,8 6,46

8 a) Entre 3 y 6; entre 56 y 64; entre 36 y 39; entre 44 y 49.

Para estimar se pueden tomar los redondeos de los factores a números enteros (por exceso y por defecto). b) A cargo de los alumnos. 9 a) Por mitades

b) 1,5

c) 0,75

10 Le doy $ 6 a cada una y me sobra $ 1, que son 100 centa-

vos, así que le puedo dar 25 centavos más a cada una. 11 15,5 y 7,25, respectivamente. 12 a) $ 3,36.

Repaso

b) No, porque es más cara.

13 6,5 14 12,8 cm 15 a) No se sabe.

b) $ 2,50. c) No, no le alcanza.

1 de torta, porque hasta ese momento 4 1 1 3 6 3 había comido + + = = . 8 4 8 8 4 b) 3 autos → 12 ruedas; 5 autos → 20 ruedas. 1 5× 4 1 1 a) 2; . b) 4; . 2 4 2 c) Por ejemplo, 8 × 2 : 3 y 8 × . 3 5 d) Por ejemplo, 9 × 5 : 18 y 9 × . 18 8 alfajores. 2 1 × × 96 000 = 16 000 3 4 2 8 a) 4 × = 3 3 2 2 4 b) × = 5 3 15 a) Sí, le quedó

1 2

7 El cálculo da 56,875, o sea, abonará $ 56,90.

16

3 4 5

6 a)

7 1 kg = 3 kg 2 2

b)

7 3 kg = 1 kg 4 4

c) Para 3, 8 y 11 comensales, respectivamente, la cantidad 3 11 , y la de achuras (en kg) es de carne (en kg) es , 4 y 2 2 3 11 ,2y . 4 4 d) Son de proporcionalidad directa. Siempre se multiplica la cantidad de comensales por un mismo número para obtener la cantidad de kilos a comprar. En el primer 1 caso, por (kilos de carne por comensal) y en el 2 1 segundo, por (kilos de achuras por comensal). 4

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15

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Módulo


7 $ 4, $ 20 y $ 50.

5 a) Deben estar pintadas del mismo color las figuras de bor-

1 del diario. 24 8 • del diario. 15

8 • Media página.

4 de página. 5

• 9

• Una página. •

8 de página. 5

Peso del envase (en kg)

3 4

1

1 2

5 8

Cantidad de masitas

48

64

32

40

des naranja y lila; sus perímetros son 22 y 14, respectivamente. b) El área de la figura de borde fucsia es 14 cuadraditos o 28 triangulitos, y el área de la de borde celeste, 19 cuadraditos o 38 triangulitos. 6 a) Armó 3 rectángulos con estas medidas:

1 cm × 20 cm; 2 cm × 10 cm; 4 cm × 5 cm. b) No, no está bien el razonamiento de Nati. Los perímetros de los rectángulos son 42 cm, 24 cm y 18 cm, respectivamente. Conclusión: varias figuras pueden tener la misma área y distinto perímetro.

10 48 L 11 Observación: puede

completarse también con fracciones equivalentes.

7 A cargo de los alumnos. 8 a) Área del cuadrado = 36 m2.

Área del triángulo = 18 m2. b) Sí, porque con dos triángulos como el dibujado se forma un cuadrado.

5 del paredón. 21 13 a) $ 3,50 12

b) $17,50

9 Mide 5 m de lado. Se espera que la explicación dé cuenta del

14 22,5 cm 15 En la primera,

dad directa. 15 5 4 , , . 16 8 8 15

y 2 = . La otra tabla no es de proporcionalix 3

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18

3

y

8

27 8 9

10 En el caso del cuadrado y el rectángulo la idea es que pue-

dan relacionar la medida de los lados con el resultado final y proponer una multiplicación; en el caso del triángulo, que la piensen como la mitad del rectángulo de igual base y altura.

17

x

procedimiento utilizado, por ejemplo, la realización de gráficos o cálculos, y la búsqueda del resultado por ensayo y error.

9 2

12

12

32

11 • 26 m

1 12

Módulo

17

Repaso 1,08 m < 1,80 m < 10,8 m < 18 m

• La cuarta parte de 36 m2 es 9 m2; una respuesta posible es un cantero de 1 m de ancho y 9 m de largo. • Porque el patio tiene forma rectangular, entonces dos lados miden 9 m y los otros dos 4 m. También podría haber hecho este otro cálculo: (9 x 2) + (4 x 2) = 18 + 8 = 26 m. • Tiene que tener un área de 12 m2, o sea, puede medir 6 m de largo por 2 m de ancho. 12 No, porque las figuras no tienen el mismo perímetro. 13 a) y b) A cargo del alumno.

1 1 936,20 m

14 9 cuadraditos = 18 triangulitos.

2 El perímetro de la L es 7,2 cm y el de la T, 12 cm.

15 Superficie de la cruz: 720 m2, cantidad de varilla necesaria:

3 En algunos casos sí. Por ejemplo, el rectángulo tiene mayor

perímetro que el cuadrado ya que sus lados mayores miden más que los del cuadrado; también el rombo tiene un perímetro menor que el romboide, porque los lados mayores de este miden más que los lados del rombo. Para afirmar que el perímetro del rombo es menor que el del cuadrado hay que comparar las medidas de sus lados; lo mismo ocurre entre el romboide y el cuadrado, y entre el romboide y el rectángulo. 4 a) Perímetro figura roja: 16.

Perímetro figura verde: 20. b) Área figura roja: 13 cuadraditos Área figura verde: 16 cuadraditos. c) A cargo de los alumnos.

144 m. 16 Rectángulo: 16 cm de perímetro y 15 cm2 de área.

Triángulo: 13,8 cm de perímetro y 7,5 cm2 de área. 17 a) 20 m2

b) Por ejemplo, 4 m × 5 m. 18 Su área actual (8 m2) sí mide el doble que antes de la refor-

ma (4 m2); su contorno, en cambio, pasó de 8 m a 12 m. 19 a) Se usaron 84 metros de alambre.

b) Se sembraron 20 m2.

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11/18/08 1:59:06 PM


Módulo

18

Repaso a) Cubo. b) La esfera.

8 Si en un vértice concurren 4 aristas la plantilla no sirve (azul

y lila); tampoco si tienen solo un vértice en el que concurren 3 aristas (violeta). 9 • Las huellas pueden corresponderse así: la del rectángulo

con el prisma amarillo o el verde; la del triángulo con la base del prisma verde o con la pirámide; la del cuadrado con el cubo o las bases de la pirámide o del prisma amarillo; la del círculo con las bases del cono o el cilindro. • Prisma de base rectangular, prisma de base cuadrada, esfera, pirámide de base cuadrada, cono, prisma de base triangular, cilindro. • Por ejemplo, el cubo y la pirámide de base cuadrada; el cilindro y el cono.

1 Pueden rodar los cuerpos indicados con 1, 3, 4, 5 y 8. 2 El ladrillo y la caja de fósforos a prismas de base rectangu-

lar; el dado al cubo; la latita y el caño a cilindros; el cucurucho de helado y el bonete a conos; la pompa de jabón y la naranja a esferas. 3 El triángulo que es base del prisma, el círculo máximo de

la esfera, el cuadrado correspondiente a la base y un punto central correspondiente al vértice de la pirámide, el círculo que es base del cilindro y el rectángulo que es base del prisma. 4 La caras laterales de la pirámide son triángulos y las de los

prismas estudiados, rectángulos.

b) Pirámide de base cuadrada; prisma de base cuadrada. 11 Cilindro, cono, esfera. 12 Cartel amarillo: prisma de base triangular.

Cartel azul: pirámide de base triangular.

6

N.° de caras

N.° de aristas

N.° de vértices

6

12

8

5

9

6

4

6

4

7 Numerando las plantillas y los cuerpos, de izquierda a

derecha, se corresponden la primera plantilla con el tercer cuerpo, la segunda con el cuarto, la tercera con el primero y la cuarta con el segundo.

13 Un prisma de base cuadrada. 14 Tres, cuatro y cinco caras laterales, respectivamente. 15

16 8 caras; 12 aristas; 6 vértices; ninguna cara es cuadrada. 17 5 caras; 3 rectangulares y 2 triangulares. 18 a) La pirámide.

b) La esfera.

19 Cuerpo de la izquierda: se armó con un cono, un cilindro y

un prisma de base cuadrada; el otro, con una pirámide de base cuadrada y un cubo.

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© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

base cuadrada tiene 5 vértices, 8 aristas y 5 caras.

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

5 El cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras; la pirámide de

Prisma de base rectangular Prisma de base triangular Pirámide de base triangular

10 a) El cono y el cilindro, respectivamente.


A I C Á M T E A T M

Apun­ta a aten­der la di­ver­si­dad de ni­ve­les de los alum­nos y tie­ne la es­truc­tu­ra de una re­vis­ta.

Es­tá di­vi­di­do en sie­te sec­cio­nes e in­clu­ye otras ac­ti­vi­da­des lú­di­cas que los chi­cos pue­ den de­sa­rro­llar “por de­por­te”. Ca­da sec­ción tie­ne dos par­tes: Ma­ti­mun­do y Ma­ti­jue­gos. En Ma­ti­mun­do se pre­sen­tan co­men­ta­rios, no­ti­cias, cu­rio­si­da­des, cuen­tos, ilu­sio­nes óp­ti­ cas, re­fe­ren­cias his­tó­ri­cas, etc., con el ob­je­ti­vo de que los chi­cos lean por el placer de leer, se di­vier­tan y se per­ca­ten de que “la Ma­te­má­ti­ca es­tá en to­das par­tes”. En Ma­ti­jue­gos se pre­sen­tan jue­gos, ac­ti­vi­da­des que tien­den al de­sa­rro­llo de ha­bi­li­da­des cog­ni­ti­vas y de in­te­li­gen­cias múl­ti­ples, acer­ti­jos, tru­cos, so­pas de le­tras, cru­ci­gra­mas, enig­ mas ló­gi­cos, rom­pe­ca­be­zas, adi­vi­nan­zas, se­cuen­cias ló­gi­cas, cons­truc­cio­nes va­rias (ple­ga­ dos, cuer­pos geo­mé­tri­cos, etc.) y pen­sa­mien­to la­te­ral. Por úl­ti­mo se pre­sen­tan, ba­jo el tí­tu­lo En­tre­na­mien­to olím­pi­co, ac­ti­vi­da­des un po­co más com­ple­jas, que de al­gu­na ma­ne­ra se vin­cu­lan con las que sue­len apa­re­cer en las Olim­pía­ das Ma­te­má­ti­cas. No fue­ron pen­sa­das “pa­ra una eli­te”, si­no pa­ra que pue­dan re­sol­ ver­las to­dos los chi­cos.

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Sección I

M A T I M U ND O Un número muy grande ¿Al­gu­na vez tu­vis­te que or­de­nar tus li­bros en un es­tan­te? ¿Pen­sas­te de cuán­tas for­mas lo po­drías ha­cer? Pa­ra que te des una idea, si so­lo tu­vie­ras 4 li­bros, po­drías aco­mo­dar­los de 24 ma­ne­ ras, pe­ro si tu­vie­ras 13 li­bros po­drías ha­cer­ lo… ¿de cien for­mas dis­tin­tas, de mil? No, de mu­chí­si­mas más, exac­ta­men­te de 6 227 020 800 for­mas dis­tin­tas.

Otro número muy grande Su­pon­ga­mos que en un par­ti­do de aje­ drez, ca­da ju­ga­dor en su tur­no pue­de ele­gir en­tre 20 ju­ga­das dis­tin­tas. Si dos ju­ga­do­res se pu­sie­ran a ju­gar e hi­cie­ran so­lo cua­tro ju­ga­das ca­da uno, ¿cuán­tos par­ti­dos dis­tin­tos po­drían ju­gar? ¡Na­da me­nos que vein­ti­cin­co mil seis­cien­tos mi­llo­nes!

Contar Ha­ce ya mu­cho tiem­po era ne­ce­sa­rio con­tar. Un pas­tor, por ejem­plo, ¿có­mo ha­brá he­cho pa­ra sa­ber cuán­tas ove­jas te­nía en su re­ba­ño? Se­gu­ra­men­te ha­brá guar­da­do una pie­dri­ta por ca­da ove­ja; y así po­dría con­tro­lar al día si­guien­te si es­ta­ban to­das sus ove­jas o le fal­ta­ba al­gu­na. Es pro­ba­ble que al­gún pas­tor que hu­bie­ra jun­ta­do mu­chas pie­dri­tas ha­ya pen­sa­do: “Pa­ra no usar tan­tas, pue­do reem­pla­zar diez pie­dri­tas por una so­la de otro ta­ma­ño o co­lor”. La imagen mues­tra có­mo ha­bría he­cho ese pas­tor pa­ra sa­ber que te­nía 34 ove­jas en su re­ba­ño.

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¿Cálculos con piedras? Pa­re­ce im­po­si­ble, ¿no es cier­to? Sin em­bar­ go, an­tes de que los números se es­cri­bie­ran co­mo lo ha­ce­mos hoy, los cál­cu­los se ha­cían con el ába­co: agre­gan­do, qui­tan­do o cam­bian­ do de lu­gar pie­dri­tas pues­tas en fi­las o en una su­per­fi­cie con ra­nu­ras. En la ilus­tra­ción po­dés ver có­mo se cal­cu­la­ba 421 + 201 = 622, en don­de las fi­las de arri­ba ha­cia aba­jo co­rres­pon­ den a las cen­te­nas, de­ce­nas y uni­da­des. ¿Y sa­bés co­mo se de­cía “pie­dri­ta” en la­tín? Se de­cía “cal­cu­lus”; de allí pro­vie­ne nues­tra pa­la­bra cál­cu­lo.

Los números mayas Los ma­yas eran un pue­blo que ha­bi­ta­ba en Amé­ ri­ca Cen­tral, an­tes de la lle­ga­da de los es­pa­ño­les. En su sis­te­ma de nu­me­ra­ción no agru­pa­ban las uni­da­des de a 10, co­mo no­so­tros, si­no de a 20: uni­dad, vein­te­na, vein­te­na de vein­te­nas... Fi­ja­te en la ilus­tra­ción: el nú­me­ro 20 es­tá re­pre­sen­ta­do con el sig­no 1 y, de­ba­jo de él, el sig­ no 0 pa­ra re­pre­sen­tar una vein­te­na y ce­ro uni­da­ des.

Es­te es un an­ti­guo ma­nus­cri­to ma­ya, en el que se pue­den ver sig­nos nu­mé­ri­cos jun­ to a los di­bu­jos.

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Si ordenás de menor a mayor los números de los carteles, con la letra inicial de cada uno te quedará formado el nombre de uno de los más famosos matemáticos de la Antigüedad.

Caminos que

MA T I J U EG OS

El nombre escondido

no se cruzan Tres ve­ci­nos com­par­ten un pe­que­ño par­que cer­ca­do. Pa­ra po­der sa­lir, el ve­ci­no de la ca­sa con te­cho ro­jo cons­tru­yó un ca­mi­no has­ta la sa­li­da ro­ja, el de la ca­sa con te­cho azul cons­tru­yó otro has­ta la sa­li­da azul, y el de la ca­sa con te­cho ama­ri­llo hi­zo uno has­ta la sa­li­da ama­ri­lla. Nin­gu­no de los tres ca­mi­nos se cru­zan. ¿Po­dés di­bu­jar­los? Adap­ta­ción de un pro­ble­ma de Sam Loyd, cé­le­bre au­tor nor­tea­me­ ri­ca­no de pro­ble­mas de aje­drez y de in­ge­nio, quien lo hi­zo en 1850 cuan­do só­lo te­nía nue­ve años de edad.

a d ­ i ­ d n o ­ c s e a ­ t n Cue ­ i­ca r­queol­óg

­vac­ ión a a c ­ x e a n u n E a con lo r ­ d ie p a ­ t s e se enc­ on­tró a. ¿Qué ­ m u s a n u r se que par­ e­ce sig­no, a ­ d a c a e ­ d n ­o sp dí­gi­to co­rre rect­ a? ­ r o c s e a m ­ u si la s 26

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Los puentes de la ciudad Esta ciudad está dividida por el río Azul, que tiene una pequeña isla en su centro. Hace muchos años que sus ocho puentes unen la isla y las orillas del río, dispuestos tal como se ve en la ilustración. Una vez se planteó el problema de hacer un recorrido que cruzara los ocho puentes sin pasar dos veces por el mismo lugar. ¿Es posible o no? Si hubiera más de una solución, ¿cuál sería el recorrido más corto?

El juego de los cuadraditos Sólo necesitan papel cuadriculado y un lápiz de distinto color para cada jugador. 1) Se marcan 16 pun­ tos en una hoja de papel, dispuestos como en la figura.

2) Cada jugador, por tur­ no, une dos puntos contiguos cualesquiera, con un trazo recto, horizontal o vertical.

3) El jugador que con su trazo complete un cuadradito, se anotará un punto y tendrá derecho a jugar otra vez.

4) Gana el jugador que complete más cuadradi­ tos. En este dibujo, el que jugó con lápiz azul ganó por 5 a 4.

Entrenamiento olímpico Fabiana escribió en el pizarrón un número de cinco cifras terminado en 42. Cecilia borró el 2 final y escribió un 7 al prin­ cipio. El nuevo número que quedó escrito resultó ser el doble del anterior. ¿Cuál fue el número que escribió Fabiana? ¿Y el que quedó después?

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Sección II

M A T I M U ND O Arte y geometría Mu­chos ar­tis­tas uti­li­za­ron las for­ mas geo­mé­tri­cas en sus obras. En­tre ellos, el fa­mo­so pin­tor ru­so Was­sily Kan­dinsky. Kan­dinsky sos­te­nía que hay una equi­va­len­cia en­tre los so­ni­dos mu­si­ ca­les y los co­lo­res, y en­tre es­tos y las emo­cio­nes. In­cor­po­ró las for­mas geo­mé­tri­cas a su pin­tu­ra, con­ven­ci­ do de que re­sal­ta­ban o ate­nua­ban el efec­to de los co­lo­res, se­ña­lan­do pun­tos im­por­tan­tes del cua­dro. En es­te cua­dro su­yo ve­mos Composición VIII (W. Kandinsky, 1923) se­can­tes, pa­ra­le­las y per­pen­di­cu­la­ res, así co­mo trián­gu­los, cua­dri­lá­te­ ros y otras fi­gu­ras geo­mé­tri­cas.

¡Que no te engañe la vista! Una tí­pi­ca ilu­sión óp­ti­ca con­sis­ te en ver tor­ci­do lo que en rea­li­dad es­tá de­re­cho. A pri­me­ra vis­ta, cual­quie­ra di­ría que las lí­neas ro­jas del es­que­ma es­tán cur­va­das. Sin em­bar­go, son rec­tas pa­ra­le­las y per­pen­di­cu­la­res.

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Pirámides y obeliscos Las pri­me­ras pi­rá­mi­ des y los obe­lis­cos apa­ re­cie­ron en el an­ti­guo Egip­to. Mu­chos si­glos des­pués las ciu­da­des mo­der­nas con­ti­núan con esa tra­di­ción; por ejem­ plo, el obe­lis­co de Bue­ nos Ai­res y la pi­rá­mi­de del mu­seo del Louv­re, en Pa­rís.

Pirámide del Louvre

Obelisco de Buenos Aires

Si nos ha­blan de las pi­rá­mi­des de Egip­to, to­dos pen­sa­mos en la Gran Pi­rá­mi­de de Keops y en sus cua­tro ca­ras trian­ gu­la­res; ca­da una es un trián­gu­lo que tie­ne... ¡ca­si dos cua­dras de al­tu­ra! Una pie­dra que se des­pren­die­se des­de la pun­ta de esa pi­rá­mi­de tar­da­ría en lle­gar a la are­na más tiem­po que si ca­ye­se des­de el pi­so 80 de un edi­fi­cio.

En Egip­to tam­bién se pue­de ver la “pi­rá­mi­de que­ bra­da” que man­dó a cons­truir el pa­dre del fa­raón Keops. En rea­li­dad, es co­mo un gi­gan­tes­co obe­lis­co acha­ta­do: no tie­ne cua­tro ca­ras la­te­ra­les, si­no ocho: las su­pe­rio­res son trian­gu­la­res y las in­fe­rio­res tie­nen for­ma de tra­pe­cio.

“Pirámide quebrada”, del padre del faraón Keops Así es cada cara lateral

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MA T I J U EG OS

PE COCOS NUMÉRICO M RO

Mirá cómo se forma el número 22 operando con nueve números 2:

(2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 – 2 : 2) × 2 = 22 Ahora formá vos el número 22, pero operando con siete números 2:

2

2

2

2

2

2

2 = 22

TRIÁNGULOS CON CHISPA Con 12 fós­fo­ros igua­les ar­má un trián­gu­lo acu­tán­gu­lo. ¿Po­drías ar­mar un trián­gu­lo rec­tán­gu­lo con los mis­mos fós­fo­ros?

Cruciángulo 1

5

2

3 7

4

9 6

Ver­ti­ca­les: 1. Rec­tas que se cor­tan for­man­do cua­tro án­gu­los igua­les. 3. Trián­gu­lo con un án­gu­lo rec­to. 5. Án­gu­lo de me­dio gi­ro. 7. Fi­gu­ra de tres la­dos. 9. Án­gu­los que for­man dos per­ pen­di­cu­la­res. Ho­ri­zon­ta­les: 2. Rec­tas que no se cor­tan. 4. Rec­tas que se cor­tan en un pun­to. 6. Fi­gu­ra de cua­tro la­dos. 8. Trián­gu­lo con sus tres án­gu­los agu­dos. 10. Án­gu­lo ma­yor que un rec­to y me­nor que un lla­no.

8

10

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Magia numérica De­ci­le a un ami­go que eli­ja un nú­me­ro cual­quie­ra de

• Que te di­ga el re­sul­ta­do (4).

dos ci­fras y las in­vier­ta (por ejem­plo: 73 y 37). Vos vas

• Men­tal­men­te su­má los re­sul­ta­dos y di­vi­di­los por 2:

a adi­vi­nar am­bos nú­me­ros.

(10 + 4) : 2 = 7 ✓ És­te es uno de los dí­gi­tos a adi­vi­nar. • Men­tal­men­te res­tá los re­sul­ta­dos y di­vi­di­los por 2:

• Pe­di­le que con una cal­cu­la­do­ra su­me am­bos nú­me­

(10 – 4) : 2 = 3 ✓ És­te es el otro dí­gi­to.

ros y que di­vi­da por 11. En el ejem­plo:

(73 + 37) : 11 = 10.

• En­ton­ces po­drás de­cir­le que los nú­me­ros que eli­gió

• Que te di­ga el re­sul­ta­do (10).

son 73 y 37.

• Aho­ra pe­di­le que res­te los nú­me­ros que pen­só y di­vi­da el re­sul­ta­do por 9: (73 – 37) : 9 = 4.

Pirámide de números Observá estas dos pirámides. ¿Cómo siguen? 1 × 10 + 1 = 11 11 × 10 + 1 = 111 111 × 10 + 1 = 1 111 1 111 × 10 + 1 = 11 111 11 111 × 10 + 1 = 111 111 111 111 × 10 + 1 = 1 111 111

1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1 111 1 234 × 9 + 5 = 11 111 12 345 × 9 + 6 = 111 111 123 456 × 9 + 7 = 1 111 111

Entrenamiento olímpico En los in­ men­ sos cam­ pos de La Pam­ pa, Na­ huel y Aye­ lén con­ ta­ ron cuán­ tas ove­ jas y ñan­ dúes tie­ nen. Pe­ ro ca­ da uno lo hi­ zo a su ma­ ne­ ra: Na­ huel con­ tó 192 pa­ tas y Aye­ lén con­ tó 60 ca­ be­ zas. ¿Cuán­ tos ani­ ma­ les de ca­ da cla­ se hay?

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Sección III

M A T I M U ND O ¿Más gigante que un enorme diplodocus? Hay un ani­mal más gran­de que ca­si to­dos los di­no­sau­rios co­no­ci­ dos: es la ba­lle­na azul, que al­can­ za los 30 m de lar­go y pe­sa... ¡150 to­ne­la­das! ¡Es co­mo el pe­so de 100 au­to­mó­vi­les jun­tos! Só­lo el ar­gen­ti­no­sau­rio, el más gran­de de los di­no­sau­rios des­cu­ bier­tos, me­día 10 m más que esa ba­lle­na. Pe­ro pe­sa­ba 50 to­ne­la­das me­nos. No que­dan du­das: la ba­lle­na azul es la rei­na de los gi­gan­tes.

Teotihuacán “¡La cons­tru­ye­ron los Dio­ses!”, di­je­ron los az­te­cas. Por­que la ciu­dad me­ji­ca­na de Teo­ti­hua­cán es tan im­po­nen­te que lle­gó a te­ner más de 100 000 ha­bi­tan­tes. Tan­tos co­mo tie­ ne hoy la ciu­dad de Men­do­za. En Teo­ti­hua­cán es­tá la Ave­ni­da de los Muer­tos, un ca­mi­no ro­dea­do de tem­plos que co­nec­ta las gi­gan­tes­cas pi­rá­mi­des de la Lu­na y del Sol. Es­ta úl­ti­ma, tan al­ta co­mo un edi­fi­cio de 20 pi­sos, tie­ne una ba­se ca­si igual a la de la Gran Pi­rá­mi­de egip­cia. Al­gu­nos es­tu­dio­sos ase­gu­ran que las me­di­das de es­ta ciu­dad es­tán re­la­ cio­na­das con el ra­dio te­rres­tre y con otras dis­tan­cias en­tre el Sol, la Tie­rra y las es­tre­llas. La impresionante Pirámide del Sol

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Autos sorprendentes

En los años ’60 tuve un auto parecido. La única puerta estaba al frente del auto, y al abrirla... ¡giraba con volante y todo!

Una mi­nia­tu­ra Uno de los au­to­mó­vi­les más pe­que­ños que hay es el Peel. No tie­ne mar­cha atrás y só­lo mi­de 134 cm de lar­go. ¡Com­pa­rá­ su longitud con tu al­tu­ra!

Sin con­ta­mi­nar En 1988 el Sun­ray­cer ob­tu­vo la me­jor mar­ca de ve­lo­ci­dad pa­ra un ve­hí­cu­lo im­pul­sa­do por ener­gía so­lar: ca­si 80 km por ho­ra. Co­mo la ve­lo­ci­dad má­xi­ma per­mi­ti­da en la ciu­dad es de 60 km/h, se po­dría an­dar con es­te au­to sin en­tor­pe­cer el trán­si­ to y, más im­por­tan­te aún, sin con­ta­mi­nar.

El Día Uni­ver­sal de la Si­me­tría El 20/02/2002 se ce­le­bró el Día Uni­ver­sal de la Si­me­tría. Fue un even­to or­ga­ni­za­do en to­do el mun­do por gen­te que ama los jue­gos de in­ge­nio, co­mo los pa­lín­dro­mos: fra­ses que se leen igual de ade­lan­te pa­ra atrás que de atrás pa­ra ade­lan­te. Por ejem­plo: “ATAR A LA RA­TA”. Fi­ja­te que a las 20:02 de esa fe­cha se for­mó un pa­lín­dro­mo: 20/02/2002, 20:02. El acon­te­ci­mien­to “pa­lín­dro­mo” an­te­rior ocu­rrió el 11/11/1111, a las 11:11. Y el úl­ti­mo que que­da se­rá el del 21/12/2112 (¿por qué el úl­ti­mo?). No fal­ta tan­to tiem­po. A pro­pó­si­to, ¿qué pen­sás ha­cer ese día a las 21:12?

Simetrías en la Naturaleza

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MA T I J U EG OS

INGENIO CON FÓSFOROS Con un nú­me­ro com­pues­to de fós­fo­ros (12) se ar­mó un nú­me­ro pri­mo de cua­dra­dos (3). Mo­vé un nú­me­ro pri­mo de fós­fo­ros de la fi­gu­ra y lo­grá un nú­me­ro com­pues­to de cua­dra­dos igua­les.

Sopa de unidades

En es­ta so­pa de le­tras, las pa­la­bras del lis­ta­do pue­den es­tar es­cri­tas en for­ma ho­ri­zon­tal, ver­ti­cal o dia­go­nal, del de­re­cho o del re­vés. ¡En­con­tra­las!

O O O O O K B L H E R J R O

R T I L M A R G M A R G O X B M R T E M U I S M Q G Q E B S R J A L V A T F C N Q Y E E T C I M E B O Z R T E M

O O I I I V U W T D A S O O

L L L N L O G I S R O P Y L

A I I U I D M U G O K N O I

K K M T M E F O D Y M R S K

W A O O T K T N E G T T J Z

R C D R S C U P V E R J I F

U H O K E G E U M H L A Z P

A R O H E Z Z Q L K W E M R

H V M S Q S S O Q K X K Y O

CENTÍMETRO GRADO GRAMO HECTOGRAMO HORA KILOGRAMO KILÓMETRO LITRO METRO MILIGRAMO MILÍMETRO MINUTO SEGUNDO

El truco de los vasos Co­lo­cá so­bre la me­sa seis va­sos, uno al la­do del otro, y lle­na­los con agua, uno sí uno no, co­mo mues­tra el di­bu­jo. ¿Có­mo ha­rías pa­ra con­se­guir tres va­sos va­cíos de un la­do y tres lle­nos del otro, mo­vien­do un so­lo va­so? ¡Aho­ra, im­pre­sio­ná a tu fa­mi­lia! 34

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TRINUMÉRICO

LA RUEDA MÁGICA

Con 9 dígitos distintos se forman tres números horizontales y tres verticales. Descubrilos.

Mirá el punto negro que está en el centro de la figura, y acercá y alejá el libro de tu vista. ¿Qué ocurre?

a

b

c

b c

Números horizontales a) Sus tres dígitos son primos y la suma de los dos primeros da 5. b) Es par y el producto de sus dígitos es 56. c) Es menor que 80. Números verticales a) Dos de sus dígitos son primos y el producto de ellos da 14. b) El producto de sus dígitos es divisible por 9. c) Es divisible por 4.

Entrenamiento olímpico ¿Cómo sigue?

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Sección IV

M A T I M U ND O ¿Los antiguos egipcios usaban fracciones? Cla­ro que sí, y es­ta­mos ha­blan­do de unos 3 000 años an­tes de Cris­to. Pe­ro usa­ban só­lo las frac­cio­nes de nu­me­ra­dor 1, co­mo 1 ; 1 ; 1 ; 1 .... y, co­mo ca­so es­pe­cial, 2 . 2 3 4 5 3 Pa­ra 1 y 2 di­bu­ja­ban sig­nos es­pe­cia­les, co­mo 2 3 ve en la ilus­tra­ción; pa­ra las de­más usa­ban el sig­no se , que sig­ni­fi­ca­ba “par­te”, y de­ba­jo de él po­nían el va­lor nu­mé­ri­co del de­no­mi­na­dor.

¿Có­mo es­cri­bían las frac­cio­nes con otros nu­me­ra­do­res? Sim­ple­men­te co­mo la su­ma de dos frac­cio­nes dis­tin­tas; por ejem­plo, 3 lo hu­bie­ran re­pre­sen­ta­do co­mo 1 + 1 . 4 2 4

Escriba

¿Horas que duran distinto? Por ex­tra­ño que pa­rez­ca, el día no siem­pre se di­vi­dió en 24 ho­ras igua­les. Hu­bo una épo­ca en la que a la ho­ra se la con­si­de­ra­ba co­mo 1 12 del tiem­po trans­cu­rri­do en­tre la sa­li­da y la pues­ta del Sol y, por lo tan­to, va­ria­ba se­gún la épo­ca del año: más cor­ta du­ran­te el in­vier­no y más lar­ga en el ve­ra­no. ¿Cuá­les pre­fe­rís?

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El cetro de los reyes de la China Jor­ge Luis Bor­ges men­cio­na, en una de sus obras, una an­ti­gua le­yen­da chi­na que ha­bla del ce­tro de los re­yes de Liang. Es­te era ase­rra­do por la mi­tad por ca­da nue­ vo rey, o sea que el se­gun­do rey se que­dó con la mi­tad del ce­tro ori­gi­nal; el ter­ce­ro, con la cuar­ta par­te del ori­gi­nal, y así su­ce­si­va­men­te. El ce­tro per­sis­te aún, re­du­ci­do a un fi­no dis­ co de ma­de­ra.

Las pulgadas

Imagen ampliada

En mu­chos paí­ses de ha­bla in­gle­sa no mi­den las lon­gi­tu­des co­mo no­so­tros; usan otras uni­da­des, co­mo la pul­ga­da (una pul­ga­da mi­de al­go más de 2,5 cm). Y tie­nen re­glas gra­dua­das en frac­cio­ nes de pul­ga­da. En la ilus­tra­ción se ve una va­ri­lla que mi­de 3 de pul­ga­da. 4

¿Quién vive dónde?

¿Sa­bías que apro­xi­ma­da­men­te un ter­cio de la po­bla­ción to­tal de nues­tro país vi­ve en la Re­gión Me­tro­po­li­ta­na y otro ter­cio, en la Re­gión Pam­pea­na? La Re­gión Pa­ta­gó­ni­ca ocu­pa al­go más de 9 de la su­per­fi­cie to­tal 20 de nues­tro país, pe­ro en ella so­lo vi­ve 1 de nues­tra po­bla­ción. 20

Población

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¿CÓMO

MA T I J U EG OS

HACÉS? Es­tás de cam p ­ a­ment­o y n ec­ e­si­tás me­dio lit­ro d e agua pa­ra pre­pa­rar pu­ré ins­tan­tá­n eo; so­lo te­nés d os jar­ ros, uno de dos li­t ros y me­dio, y otro de un li­tro y me­d io de ca­pa­ci­da d. ¿Có­mo po­dés ha­cer pa­ra te­n er exac­ ta­men­te me­dio lit­ro en uno de ellos?

El túnel quebrado Jue­go pa­ra dos o más ju­ga­do­res

• Ha­ce fal­ta un da­do co­mún y una fi­cha de dis­tin­to co­lor pa­ra ca­da ju­ga­dor. • En ca­da tur­no lan­zás el da­do. Por ejem­plo, si sa­le el 4, sos due­ño de 1 la frac­ción y avan­zás 4 ca­si­llas. 4 1 Si sa­le el 5, sos due­ño de y 5 avan­zás 5 ca­si­llas. Si sa­le el 1, sos due­ño de la 1 frac­ción y avan­zás 1 ca­si­lla. 1 • Si tu frac­ción es igual a la que es­tá en la ca­si­lla, te que­dás en ella. Si es ma­yor, avan­zás has­ta la si­guien­te ca­si­lla de igual co­lor; si es me­nor, re­tro­ce­dés has­ta la ca­si­ lla más pró­xi­ma de igual co­lor. • Si en los avan­ces o re­tro­ce­sos no hay una ca­si­lla de igual co­lor, lle­gás a la Sa­li­da o a la En­tra­da. • Ga­na el que lle­ga pri­me­ro a la Sa­li­da.

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EL JUEGO DE CLAVAS En la Edad Me­dia era muy po­pu­lar el jue­go de cla­vas. Se co­lo­ca­ban do­ce cla­vas en fi­la, co­mo se ve en la ilus­ tra­ción, y se de­rri­ba­ban con una pe­que­ña bo­cha que arro­ja­ban por tur­no. Un ju­ga­dor ex­per­to po­día ele­gir en­tre de­rri­bar una cla­va cual­quie­ra o bien dos a la vez, siem­pre que es­tu­vie­ran una al la­do de la otra. Per­día la par­ti­da el ju­ga­dor al que le to­ca­ba de­rri­bar la úl­ti­ma cla­va. Ju­gá con un com­pa­ñe­ro con lá­piz y pa­pel. Tra­cen 12 lí­neas, la pri­me­ra al­go se­pa­ra­da de las res­tan­tes, y ta­chen por tur­no una lí­nea cual­quie­ra, o bien dos lí­neas que es­tén una al la­do de la otra. Pier­de el que se que­da con la úl­ti­ma lí­nea por ta­char. En la ilus­tra­ción se ve una par­ti­da ya em­pe­za­da.

¿CUÁNTAS PORCIONES? ¿Cuál es la ma­yor can­ti­dad de por­cio­nes en que se pue­de di­vi­dir es­ta tor­ta con cua­tro cor­tes rec­tos? ¡Ojo! No es ne­ce­sa­rio que las por­cio­nes sean de igual for­ma o ta­ma­ño, pe­ro pa­ra ha­cer los cor­tes siem­pre hay que apo­yar el cu­chi­llo so­bre la par­te su­pe­rior de la tor­ta.

Entrenamiento olímpico ¿Cuántos rectángulos hay en esta figura?

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M A T I MU ND O Sección V

Las mo­ne­das en la an­ti­gua Ro­ma ¿Sa­bés de dón­de pro­vie­nen las pa­la­bras mo­ne­da y di­ne­ro? Cuan­do los an­ti­guos ro­ma­nos co­men­za­ ron a uti­li­zar el me­tal co­mo for­ma de pa­go, lo acu­ña­ron en el tem­plo de la dio­sa Ju­no Mo­ne­ta, y de ahí el nom­bre de mo­ne­da. La pri­me­ra mo­ne­da fue de bron­ce y se la lla­mó as. Más ade­lan­te apa­re­cie­ron las mo­ne­das de pla­ta co­mo el de­na­rio (de don­de de­ri­va la pa­la­bra di­ne­ro), el ses­ter­cio y el du­pon­dio, y tam­bién crea­ron el de­na­rio de oro.

Dupondio, valía 2 ases.

Denario de oro, valía 100 sestercios. As.

Sestercio, valía 0,25 denarios Este relieve de piedra muestra a un carnicero cor­ de plata. tando carne con una cuchilla. La mujer sentada es una clienta con la lista de compras en la mano.

Denario de plata, valía 10 ases.

Ima­gi­ne­mos un diá­lo­go que pu­die­ ron ha­ber te­ni­do so­bre el pa­go que le hi­zo Ju­lio Cé­sar a sus sol­da­dos: —¿Se en­te­ró? Ju­lio Cé­sar de­cre­tó un pre­mio de 20 000 ses­ter­cios pa­ra ca­da uno de sus sol­da­dos. —Sí, sí, me en­te­ré, por eso Ro­ma les pa­gó con 200 de­na­rios de oro.

¿Más lento que una tortuga? Si una tor­tu­ga gi­gan­te co­rrie­se una ca­rre­ra con­tra un ca­ra­col, le ga­na­ría y por mu­cho. ¿Sa­bés a qué ve­lo­ci­dad se mue­ven es­tos ani­ma­ les? El ca­ra­col re­co­rre 0,05 km en una ho­ra (me­dia cua­dra), mien­tras que la tor­tu­ga ha­ce más de 5 ve­ces esa dis­tan­cia: 0,27 km en una ho­ra (unas dos cua­dras y me­dia). Y una ara­ña es ca­si 7 ve­ces más rá­pi­da que la tor­tu­ga: re­co­rre 1,8 km en una ho­ra (ca­si 20 cua­dras).

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¡Tantas cosas distintas con el mismo nombre! Sí, to­das con el nom­bre de tra­pe­cio, por­ que tie­nen la for­ma de ese cua­dri­lá­te­ro. Tam­bién la es­tre­lla múl­ti­ple θ (the­ta) re­ci­be el nom­bre vul­gar de El tra­pe­cio y for­ma parte de la gran ne­bu­lo­sa si­tua­ da en la cons­te­ la­ción de Orión.

Nebulosa de Orión Trapecio

Mu­cho más cer­ca de la Tie­rra, di­vir­tien­do a chi­cos y gran­des, los tra­pe­cios se me­cen al rit­mo de la ban­da del cir­co mien­tras ha­bi­li­do­sos gim­ nas­tas nos qui­tan la res­pi­ra­ción con ca­da pi­rue­ta.

En nues­tro cuer­po, un mús­cu­lo que for­ma par­te de la es­pal­da y el cue­llo, y tam­bién un hue­so de la ma­no re­ci­ ben es­te mis­mo nom­bre: tra­pe­cio.

Superbicis

La bi­ci­cle­ta más lar­ga del mun­do se cons­tru­yó en 1988 y fue ma­ne­ja­da por cua­tro ci­clis­tas a la vez. ¿Sa­bés cuán­to mi­dió? 22,24 m, al­go así co­mo la al­tu­ra de un edi­fi­cio de 7 pi­sos. Si es­ta­cio­na­ras 5 bi­ci­cle­tas co­mo es­tas una de­trás de otra jun­to al cor­dón de la ve­re­da, ocu­pa­rían al­go más de una cua­dra. Y la bi­ci­cle­ta de rue­das más gran­des es la Fran­kency­cle. Su rue­da de­lan­te­ra tie­ne 3,05 m de diá­me­tro. ¿Po­dés ima­gi­nár­te­lo? Es co­mo si la rue­da fue­ra… ¡tan al­ta co­mo una ca­sa de un pi­so!

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¿Cuál

MA T I J U EG OS

sigue? 2

4

8

... 0,4

0,6

0,8

....

............

CIONA IEN TOS!! A ­ M ¡¡ES T 1

7 8

11

12

4

SALIDA

9 13

5

3 10

2

¿Cuál es ntidad a c r o n e m la s de pliegue hacer e u q y a h que er... n e t b o a r a p

6 14

¿Cómo haré para sacar el auto número 5?

ril­o. o” y des­cu­b t ­ n ie ­ m a n ­ io ng­ u­ st­ac­ ut­os” (rect­á a “ ­ ri­cá un “e 4 1 Fab á j ­ u b ­ e­ra­los. ar­tul­i­na di­ ­los y num a t r­ o ➜ En una c ­ c e R ). on 36 x 1,5 cm ­na­mient­o, c los de 3 cm io c ­ a t ­ s e l e ­ ién mb ­ o. ➜ Di­bu­já ta cm de lad ,7 1 e d s o hac­ ia t ­ ra­di­ cuad adel­an­te o ia c ­ a h s o t ­ u sa ­ e­ro 5 del ➜ Mo­vé lo r el núm a c ­ a s r ra g ­ lo atrás hast­a ­ a­mien­to. es­tac­ ion

ulos ...4 triáng iguales?

ados ...4 cuadr iguales?

gu...2 rectán s? los iguale

gu...16 trián s? los iguale

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11

12

1

10

SUMAS IGUALES

2 3

9 8

4 7

6

Di­vi­dí la es­fe­ra del re­loj en seis sec­to­res, de mo­do que la su­ma de los nú­me­ros que ha­ya en ca­da uno sea la mis­ma.

5

¿Podés dibujarlas sin levantar ? l e l p e a d p z i p á el l

Je­ro­glí­fi­co És­tos son los je­ro­glí­fi­cos de un nú­me­ro de­ci­mal me­nor que 1. Si ca­da dí­gi­to se reem­pla­za­ra por el que no­so­tros usa­mos, po­drías mi­rar­lo en un es­pe­jo y... ¡se­gui­rías vien­do el mis­mo dí­gi­to! ¿De qué nú­me­ro de­ci­mal se tra­ta? No ol­vi­ des que uno de los je­ro­glí­fi­cos re­pre­sen­ta la co­ma de­ci­mal.

Entrenamiento olímpico Con el rombo rojo y los paralelogramos verde y azul se armó un rombo que tiene un perímetro de 36 cm. Además, el perímetro de la figura roja es de 28 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura azul? ¿Y el de la verde?

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Sección VI

M A T I M U ND O Un cuento con camellos Un an­cia­no que cru­za­ba el de­sier­to en su vie­jo ca­me­llo se en­con­ tró en un oa­sis con tres jó­ve­nes que dis­cu­tían. Uno de ellos le di­jo: —Ve­ne­ra­ble an­cia­no, so­mos tres her­ma­nos. Nues­tro pa­dre nos de­jó co­mo he­ren­cia es­tos 17 ca­me­llos y dis­pu­so que al ma­yor le co­rres­pon­die­ra la mi­tad de los ca­me­llos, al del me­dio la ter­ce­ra par­ te y al me­nor la no­ve­na par­te, pe­ro ve­mos que no es po­si­ble di­vi­dir así es­ta can­ti­dad de ca­me­llos. El an­cia­no des­mon­tó, co­lo­có su vie­jo ca­me­llo jun­to a los de­más, y les di­jo a los jó­ve­nes: —Bien, pro­cu­ra­ré ayu­da­ros. Dad­me de co­mer y be­ber mien­tras re­fle­xio­no so­bre tan di­fí­cil pro­ble­ma. Una vez que hu­bo co­mi­do y be­bi­do, les di­jo a los her­ma­nos: —Con el agre­ga­do de mi ca­me­llo, aho­ra hay 18 ca­me­llos en to­tal, por lo tan­to al ma­yor le co­rres­pon­de la mi­tad— y apar­tó 9 ca­me­llos y se los dio al ma­yor. —Al del me­dio le co­rres­pon­de la ter­ce­ra par­te de los 18 ca­me­ llos— y se­pa­ró 6 ca­me­llos pa­ra el her­ma­no del me­dio. —Y pa­ra el her­ma­no me­nor se­rán es­tos 2 ca­me­llos, la no­ve­na par­te de los 18. Los ani­ ma­les se han re­par­ti­do tal co­mo lo dis­pu­so vues­tro pa­dre, y so­bró es­te her­mo­so ca­me­llo jo­ven que se­rá pa­ra mí. Y di­cien­do así mon­tó y se ale­jó, de­jan­do a los tres her­ma­nos ad­mi­ra­dos de la sa­bi­du­ría del an­cia­no. ¿Có­mo fue po­si­ble es­to? Por­que 1 + 1 + 1 no es igual a 1, si­no a 17 ; por lo tan­to, al agre­gar un ca­me­llo, 2 9 18 3 los her­ma­nos re­ci­ben 9 ; 6 y 2 de los 18 y so­bra uno. 18 18 18

Las cifras a través del tiempo Las ci­fras de nues­tro sis­te­ma de nu­me­ra­ción se in­ven­ta­ron en la In­dia en el si­glo V de nues­tra era. De la In­dia pa­sa­ron a Ara­bia, de allí al nor­te de Áfri­ca, lue­go a Es­pa­ña y fi­nal­men­te lle­ga­ron al res­to de Eu­ro­pa al­re­de­dor del si­glo XII. Mi­rá có­mo cam­bia­ron su for­ma a lo lar­go de es­te via­je que du­ró ¡más de ocho­cien­tos años!

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Números quebrados La pa­la­bra “frac­ción” pro­vie­ne de una pa­la­bra la­ti­na que sig­ni­fi­ca rom­per, que­brar. Por eso, ha­ce mu­chos años, en tiem­pos de tus abue­los, a las frac­cio­nes tam­bién se las lla­ma­ba “nú­me­ros que­bra­dos”. ¿Lo sa­bías?

¿Cualquier forma sirve? ¿Siem­pre se pue­de em­bal­do­sar un pa­tio con bal­do­sas igua­les, sin de­jar es­pa­cios li­bres en­tre ellas?

A ve­ces se pue­de y a ve­ces no, se­gún la for­ma de las bal­do­sas. Con bal­do­sas trian­gu­la­res es po­si­ble, y con bal­do­sas en for­ma de cua­dri­lá­te­ ro, tam­bién; con pen­ta­go­na­les regulares no se pue­de y con he­xa­go­na­les, sí.

¿Y si usa­mos bal­do­sas si­mé­tri­cas, co­mo la ima­gen en un es­pe­jo? Mi­rá es­tos dos di­bu­jos, del ar­tis­ta ho­lan­dés M. C. Es­cher. To­do el pla­no es­tá re­cu­bier­to sin que que­de nin­gún es­pa­cio li­bre.

Symmetry Drawing B

Simmetry Drawing A

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MA T I J U EG OS

El collar

Azulejos La cua­drí­cu­la que es­tá so­bre la pa­red mi­de 20 cm de al­to por 60 cm de lar­go. Pa­ra re­ves­tir­la se dis­po­ne de seis azu­le­jos de 20 cm de al­to por 10 cm de lar­go.

Si con es­tos cin­co tro­zos de ca­de­ na tu­vie­ras que ha­cer un co­llar ce­rra­do con es­la­bo­nes gran­des y chi­cos al­ter­na­dos, ¿cuál es la me­nor can­ti­dad de es­la­bo­nes que ten­drías que cor­tar y vol­ver a sol­ dar? (¿Es­tás se­gu­ro? A lo me­jor son me­nos de los que pen­sas­te).

¿Po­dés en­con­trar 5 for­ mas dis­tin­tas de dis­po­ ner los azu­le­jos?

¿Cuál sigue? ¿Cuál de estas cuatro fichas ... hay que poner acá?

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Caja mágica En ca­da ga­ve­ta de la ca­ja fuer­te va una de las nue­ve bol­si­tas con mo­ne­das, de mo­do que los re­sul­ta­dos de las su­mas ho­ri­zon­ta­les, ver­ti­ca­les y de las dos dia­go­na­les sean igua­les. Tres de las bol­si­tas ya es­tán en su lu­gar. ¿Dón­de van las otras seis?

La pirámide des plega da Una de las cuatro pirámides de papel se desarmó y quedó así: ¿Cuál es?

Entrenamiento olímpico Leé el diá­ lo­ go que tu­ vie­ ron un clien­ te y una ca­ je­ ra de un ban­ co. —Se­ ño­ ri­ ta, por fa­ vor, ¿pue­ de dar­ me cam­ bio de 1 pe­ so en mo­ ne­ das? —Lo sien­ to, se­ ñor, con las mo­ ne­ das que ten­ go no pue­ do cam­ biar­ le 1 pe­ so. —¿Pue­ de cam­ biar­ me, en­ ton­ ces, 50 cen­ ta­ vos? —No se­ ñor, no pue­ do. Tam­ po­ co pue­

do cam­ biar­ le 25 cen­ ta­ vos ni 10 cen­ ta­ vos. Ni si­ quie­ ra pue­ do cam­ biar­ le 5 cen­ ta­ vos. —¿Es que no tie­ ne mo­ ne­ das? —Sí, se­ ñor, ten­ go exac­ ta­ men­ te 1 pe­ so con 19 cen­ ta­ vos en mo­ ne­ das y nin­ gu­ na de ellas es de 1 pe­ so. ¿Cuán­ tas mo­ ne­ das te­ nía la ca­ je­ ra del ban­ co y de qué va­ lor eran?

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Sección VII

MA T I

U

O

Los ciclistas gemelos A sim­ple vis­ta pa­re­cie­ra que uno de los ci­clis­tas es pro­por­cio­nal­men­te más gran­de que el otro; sin em­bar­go, aun­que no lo creas, son igua­les. Se tra­ta de una ilu­sión óp­ti­ca.

¿Me das una mano? En la An­ti­güe­dad no me­dían las lon­gi­tu­des co­mo no­so­tros, que usa­mos el me­tro, si­no que uti­ li­za­ban di­ver­sas par­tes del cuer­po co­mo uni­dad: el de­do, el pal­mo, el co­do, el pie, la pul­ga­da. Co­mo va­ria­ban de una per­so­na a otra, se es­ta­ ble­ció una me­di­da fi­ja pa­ra el pal­mo (al­re­de­dor de 21 cm) y lo mis­mo se in­ten­tó pa­ra el pie, aun­que ca­da re­gión lo me­día dis­tin­to (en­tre 28 y 30 cm). Esas me­di­das res­pe­ta­ban las si­guien­tes re­la­cio­ nes: 1 1 pal­mo = 12 de­dos = co­do 2 1 pie = 12 pul­ga­das

pal­mo

codo

Medí mi estatura con mi propio brazo y me dio 3 codos, 1 palmo y 10 dedos; o sea, 94 dedos en total. ¿De cuántos dedos será tu estatura?

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El antiguo arte de doblar papel

En japonés, origami significa Ya por el año 1000 apa­re­ció en Ja­pón un li­bro que ha­bla­ba de la "papel plegado". ex­traor­di­na­ria for­ma en que se ple­ga­ban los pa­pe­les es­cri­tos con poe­ mas y car­tas de amor. En las bo­das se uti­li­za­ban ori­ga­mis con for­ma de ma­ri­po­sa ma­cho y hem­bra, y has­ta los gue­rre­ros ofre­cían ori­ga­mis en los tem­plos pa­ra te­ner suer­te en el com­ba­te. El ar­te del ori­ga­mi se po­pu­la­ri­zó en to­do Ja­pón y lue­go lle­gó a Oc­ci­den­ te, don­de mu­chos ma­te­má­ti­cos lo con­si­de­ra­ron apro­pia­do pa­ra la en­se­ñan­za de la Geo­me­tría. To­do lo que se ne­ce­si­ta pa­ra ha­cer ori­ga­mi es pa­pel y... ¡un po­co de pa­cien­cia!

Mirá cómo se hace un molinete: 1. Se to­ma un pa­pel cua­dra­do y se mar­can los 8 do­ble­ces que se ven en la fo­to (3 ho­ri­zon­ ta­les, 3 ver­ti­ca­les y 2 dia­go­na­les).

2. Se to­man las 4 pun­tas co­mo si fue­ra un pas­ te­li­to.

3. Se plie­gan pa­ra for­mar el mo­li­ne­te.

4. Se le cla­va un al­fi­ler o un alam­bre­ci­to en el cen­tro. Si lo soplás, podrás ver cómo gira.

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MA T I J U EG OS

Sopa con verso L A T I P R O P Es­ta so­pa de le­tras ocul­ta un ver­so acer­ A L I D A D L I ca de la pro­por­cio­ O M A X N O B L na­li­dad. O O X B M U Z W

Pa­ra des­cu­brir­lo, te­nés que leer ca­da ren­glón en for­ma ho­ri­zon­tal, de iz­quier­da a de­re­cha. Ayu­di­ta: el ver­so se for­ ma con 18 pa­la­bras (va­rias son mo­no­sí­la­bos).

P K B L H P R J R O

O U Q B E L Q T W H

La enamorada misteriosa

R Q U E L I S M V A T R I P L S D A W I L V P T S E C N D R Q E E A L C I M S P B O Z O L T E L X L

I L E U G O K N E D

O K E T M X F O D Y M R H O

R C H E T D O R T S K C T L N P E V G E T R D O J I B L

I S O K G G E U T H L B Z E

O R O H E Z Z Q R J W L D R

N V M S Q S S O I K X E A O

Con ocho fósforos

Una chi­ca que es­tá ena­mo­ra­da de Lu­cas le en­vió en se­cre­to es­te di­bu­jo jun­to con una no­ti­ta en la que le de­cía: “Si que­rés sa­ber quién soy, des­cu­brí las le­tras que se es­con­den en el rom­pe­ca­be­zas”.

Conseguí 8 fósforos y formá esta figura. Después mové algunos fósforos para con­ seguir otra figura que tenga el mismo perímet­ ro, pero el doble de área.

¿Có­mo se lla­ma la ena­mo­ra­da?

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Laberinto para dos • Par­ti­ci­pan dos ju­ga­do­res, ca­da uno con un lá­piz de dis­tin­to co­lor. • El ju­ga­dor que en­tra en A de­be sa­lir por B, y vi­ce­ver­sa. • Por tur­no, ca­da ju­ga­dor arro­ja un da­do y avan­za tan­tos cua­dra­di­tos co­mo in­di­ca el da­do. • Un ju­ga­dor no pue­de cru­zar o re­co­rrer par­te del ca­mi­no del otro, sal­vo en las zo­nas blancas. Sí pue­de de­san­dar el ca­mi­no he­cho o par­te de él. • Ga­na el que lle­ga pri­me­ro a la sa­li­da que le co­rres­pon­de.

Por un pe­li­to Hay que pin­tar­les el pe­lo a to­das las mu­ñe­cas, pe­ro ¡ojo!, só­lo hay ru­bias y mo­ro­chas y ca­da mo­ro­cha de­be es­tar en con­tac­to con dos ru­bias. ¿Po­drás ha­cer­lo?

Entrenamiento olímpico Conseguí un papelito cuadrado. Con dos do­ ble­ ces ar­ má otro cua­ dra­ do que ten­ ga la mi­ tad del pe­ rí­ me­ tro del ori­ gi­ nal. La nue­ va área es: tad de la ori­ gi­ nal la mi­

De­ sar­ má los do­ ble­ ces an­ te­ rio­ res y con nue­ vos plie­ gues for­ má un cua­ dra­ do que ten­ ga la mi­ tad del área del ori­ gi­ nal. El nue­ vo pe­ rí­ me­ tro es: gi­ nal igual al ori­

ble de la ori­ gi­ nal el do­

tad del ori­ gi­ nal la mi­

to de la ori­ gi­ nal un cuar­

ter­ me­ dio en­ tre el ori­ gi­ nal y in­ su mi­ tad 51

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S O L U C I ON E S MA T I J U EG OS

PI­RÁ­MI­DE DE NÚ­ME­ROS 1 111 111 × 10 + 1 = 11 111 111 1 234 567 × 9 + 8 = 11 111 111

Sección I EL NOM­BRE ES­CON­DI­DO: E U C L I D E S CA­MI­NOS QUE NO SE CRU­ZAN

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO 36 ove­jas y 24 ñan­dúes. Sección III IN­GE­NIO CON FÓS­FO­ROS Una so­lu­ción po­si­ble es mo­ver 3 fós­fo­ros y ar­mar 4 cua­dra­dos.

CUEN­TA ES­CON­DI­DA: 9 801+ 199 = 10 000 LOS PUEN­TES DE LA CIU­DAD: Co­mo en el pro­ble­ma no se pi­de el pun­to de ini­cio ni el pun­to fi­nal del re­co­rri­do, hay mu­chas so­lu­cio­nes po­si­bles. El re­co­rri­do di­bu­ja­do es el más cor­to de to­dos.

SO­PA DE UNI­DA­DES

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO El nú­me­ro que es­cri­bió Fa­bia­na fue 36 842; el que que­dó des­pués fue 73 684. Sección II ROM­PE­CO­COS NU­MÉ­RI­CO Una so­lu­ción po­si­ble es: (2 + 2 + 2 + 2 + 2) × 2 + 2 = 22 TRIÁN­GU­LOS CON CHIS­PA

O R O M O M O O O R K U B Q L B H A E T R Q J T R E O R

T I A R A R X B T E I S G Q S R L V F C Y E C I B O T E

L O L A K W R G O L I K A C G I L I M O D M I N U T O R M I L I M T S M V O D E K C E U G M F T U J W I U O N P A T S G D E V N D R O Y G E E A O K M T R M S P N R T J Z O Y O S J I M O L I K Z F

U A H H R V O O M K H S E E Q G Z S E Z S U Q O M L Q H K K L W X A E K Z M Y P R O

¿JUN­TOS O AL­TER­NA­DOS? Con­tan­do des­de la derecha: va­ciá el se­gun­do va­so en el quin­to y vol­ve­lo a su lu­gar. TRI­NU­MÉ­RI­CO a

CRU­CIÁN­GU­LO Verti ­ ca ­ ­les 1. Per­pen­di­cu­la­res 3. Rec­tán­gu­lo 5. Lla­no 7. Trián­gu­lo 9. Rec­tos

Ho­ri­zon­ta­les 2. Pa­ra­le­las 4. Se­can­tes 6. Cua­dri­lá­te­ro 8. Acu­tán­gu­lo 10. Ob­tu­so

b c

2

b

3

c

5

7

1

8

0

6

4

LA RUE­DA MÁ­GI­CA Da la sen­sa­ción de gi­rar.

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EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO

Sección IV ¿CÓ­MO HA­CÉS? Lle­nás el ja­rro más chi­co; vol­cás to­do su con­te­ni­do en el gran­de; vol­vés a lle­nar el ja­rro pe­que­ño y con su con­te­ni­do lle­nás por com­ple­to el ja­rro gran­de. Así te que­dó 1 L en el ja­rro más chi­co. 2 ¿CUÁN­TAS POR­CIO­NES? Se pue­den ob­te­ner 11 por­cio­nes con 4 cor­tes rec­tos co­mo los de la fi­gu­ra. El mé­to­do con­sis­te en tra­zar una rec­ta, lue­go otra que cor­te la pri­me­ra, des­pués otra que cor­te las otras dos y, por úl­ti­mo, otra que cor­te las otras tres.

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO En la fi­gu­ra hay 40 rec­tán­gu­los. En es­te ti­po de pro­ ble­mas es con­ve­nien­te con­tar­los así: “De 1 rec­tán­ gu­lo de al­to por 1 de lar­go hay 10 rec­tán­gu­los; de 1 de al­to por 2 de lar­go hay 7 rec­tán­gu­los; de 1 de al­to por 3 de lar­go hay 4 rec­tán­gu­los, ...”.

¿CUÁL ES LA ME­NOR CAN­TI­DAD DE PLIE­GUES QUE HAY QUE HA­CER PA­RA OB­TE­NER… ...4 TRIÁN­GU­LOS IGUA­LES? 2 PLIE­GUES. ...4 cua­dra­dos igua­les? 2 plie­gues. ...2 rec­tán­gu­los igua­les? 1 plie­gue. ...16 trián­gu­los igua­les? 4 plie­gues . SU­MAS IGUA­LES

Sección V ¿CUÁL SI­GUE?

¿PO­DÉS DI­BU­JAR­LAS SIN LE­VAN­TAR EL LÁ­PIZ DEL PA­PEL?

¡¡ES­TA­CIO­NA­MIEN­TOS!!

JE­RO­GLÍ­FI­CO: 0,88. EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO Pe­rí­me­tro fi­gu­ra azul: 22 cm. Pe­rí­me­tro fi­gu­ra ver­de: 18 cm.

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Sección VI

Sección VII

EL CO­LLAR La so­lu­ción apa­ren­te es cor­tar los es­la­bo­nes que es­tán en el ex­tre­mo de ca­da uno de los cin­co pe­da­ ci­tos de ca­de­na, pe­ro se pue­den cor­tar los cua­tro es­la­bo­nes del más cor­to y usar­los pa­ra unir con ellos los cua­tro pe­da­ci­tos res­tan­tes.

VER­SO EN SO­PA “La pro­por­cio­na­li­dad es no­ble, por­que al tri­ple le da el tri­ple y al do­ble le da el do­ble”.

AZU­LE­JOS En rea­li­dad pue­den dis­po­ner­se de es­tas 13 for­mas dis­tin­tas:

CON OCHO FÓS­FO­ROS Una so­lu­ción po­si­ble

LA ENA­MO­RA­DA MIS­TE­RIO­SA Se lla­ma Ce­les­te.

POR UN PE­LI­TO Una so­lu­ción po­si­ble

EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO Al­gu­nas so­lu­cio­nes po­si­bles son:

¿CUÁL SI­GUE? La fi­cha que si­gue es la de do­ble tres. CA­JA MÁ­GI­CA Fi­la su­pe­rior: 0,20; 0,90 y 0,40. Fi­la cen­tral: 0,70; 0,50 y 0,30. Fi­la in­fe­rior: 0,60: 0,10 y 0,80.

La nue­va área es un cuar­to de la ori­gi­nal. LA PI­RÁ­MI­DE DES­PLE­GA­DA Es la cuar­ta. EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO La ca­je­ra te­nía una mo­ne­da de $ 0,50, una de $ 0,25, cua­tro de $ 0,10 y cua­tro de $ 0,01.

El nue­vo pe­rí­me­tro es in­ter­me­dio en­tre el ori­gi­nal y su mi­tad.

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Animate Matemática 5  

Orientaciones didácticas para el uso del libro

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