Matemática en tercero by Marcela Lalia

Libro del docente

Matemática en tercero Claudia Broitman Horacio Itzcovich Mónica Escobar Verónica Grimaldi Héctor Ponce Inés Sancha

Libro del docente

Matemática en tercero Matemática en tercero es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana S.A., bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo: Coordinación: Claudia Broitman y Horacio Itzcovich Autoría: Claudia Broitman, Mónica Escobar, Verónica Grimaldi, Horacio Itzcovich, Héctor Ponce e Inés Sancha Editora: Andrea Gutiérrez Jefa de edición: Patricia S. Granieri Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich

La realización artística y gráﬁca de esta edición ha sido efectuada por el siguiente equipo: Jefa de arte: Claudia Fano Tapa y diagramación: Alejandro Pescatore Corrección: Paula Smulevich Ilustración: Leonardo Arias y Manuel Lois Documentación fotográﬁca: Leticia Gómez Castro, Teresa Pascual y Nicolas Verdura Fotografía: Archivo Santillana Preimpresión: Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez Gerencia de producción: Gregorio Branca

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

Matemática en tercero : libro del docente / Claudia Broitman ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman y Horacio Itzcovich. - 1a ed. Buenos Aires : Santillana, 2010. 168 p. ; 28x22 cm.

1. Guía Docente. 2. Matemática. I. Broitman, Claudia II. Broitman, Claudia, coord. III. Itzcovich, Horacio, coord. CDD 371.1

Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), C.A.B.A., Argentina. ISBN: 978-950-46-2266-6 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: enero de 2011.

ISBN 978-950-46-2266-6

Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2011, en FP Compañia Impresora, Beruti 1560, Florida, Buenos Aires, República Argentina.

1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática Para la elaboración de este libro se tuvieron presentes algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática. Los problemas enmarcan el trabajo matemático El trabajo en el aula exige articular los conocimientos que los alumnos tienen disponibles con los nuevos que se pretende enseñar. Para ello es necesario que los niños se enfrenten a ciertos problemas en los que puedan poner en juego sus conocimientos y, a la vez, construir otros nuevos. Este proceso exige elaboraciones y reelaboraciones sucesivas que pueden promoverse desde la enseñanza, apuntando a un acercamiento progresivo desde los conocimientos de los niños hacia los saberes propios de la Matemática. Por ello, en este libro el trabajo central del alumno es la resolución de problemas y la reflexión sobre ellos. Para favorecer este proceso es necesario que los alumnos se enfrenten a situaciones que les presenten cierto grado de dificultad, que sean “verdaderos problemas”. No se espera, entonces, que los resuelvan correctamente desde el primer intento. Por el contrario, es la dificultad del problema la que promueve la posibilidad de aprender algo nuevo a partir de su resolución y de la reflexión sobre lo realizado. En este libro se presentan diferentes clases de problemas. Algunos involucran la resolución de un cálculo para responder a una pregunta o completar cuadros, pero en muchas otras oportunidades ponen en juego otra clase de prácticas, por ejemplo: interpretar una estrategia de resolución, relacionar dos formas de resolución de un mismo problema, analizar la validez de una afirmación, intentar comprender un error, dar información para reproducir un dibujo, copiar una figura, comparar problemas, etcétera. El abordaje de un mismo tipo de problemas durante varias clases propicia avances en las formas de resolución y en la identificación de los conocimientos

Cuando se proponen verdaderos problemas, se favorece el despliegue de diferentes formas de resolución Cuando el docente se abstiene de comunicar desde el inicio de una clase el saber a enseñar y los problemas se conciben como punto de partida de la producción de conocimientos, en el aula se generan buenas condiciones para que aparezca una variedad de procedimientos de resolución por parte de los niños. Tanto cuando se trate de sumar dos cantidades, saber cómo se llama o se escribe un número, ordenarlos, resolver un problema de diferencia entre dos números como de copiar una ﬁgura, los niños podrán resolver la situación con estrategias variadas según los conocimientos y los recursos que tengan disponibles. Producir recursos nuevos, interpretar otros modos de resolución y establecer relaciones entre ellos es parte del quehacer matemático colectivo que se intenta promover.

Para que los niños puedan poner en juego ciertos conocimientos como punto de partida — aun cuando sean erróneos o aproximados — y, a la vez, ponerlos a prueba, modiﬁcarlos, ampliarlos y sistematizarlos, será preciso que se enfrenten a una colección de problemas vinculados entre sí. Un trabajo sistemático de varias clases favorece la reorganización de las estrategias de resolución, la reﬂexión sobre las relaciones con otros conocimientos, el abandono de los ensayos erróneos y la utilización de nuevos recursos. Por ello en este libro, contemplando la provisoriedad y el largo plazo en los procesos de construcción de conceptos matemáticos en la escuela, las propuestas se organizan en pequeñas secuencias de varias páginas en las que se abordan los mismos tipos de problemas una y otra vez.

Un problema que en un momento se espera que sea novedoso para los alumnos y les exija elaborar estrategias personales, unas clases después suele resolverse con estrategias más homogéneas a partir del avance producido en el trabajo colectivo. En una misma clase pueden convivir diferentes maneras de representar un mismo problema Durante la exploración de un problema nuevo, los niños suelen recurrir a dibujos, representaciones gráﬁcas, simbólicas, cálculos, diagramas, etc. El docente podrá alentar a sus alumnos para que produzcan representaciones propias, aun cuando sean poco económicas o alejadas de las convencionales, e invitarlos a analizar la conveniencia de las formas usadas e incluso presentar otros modos de representación (convencionales o no) que no hayan aparecido en la clase. Por ello, en este libro se promueve que, para resolver un problema, los alumnos decidan en cada oportunidad si, por ejemplo, usan dibujos, representan con rayitas ciertas cantidades, escriben números o usan símbolos que representan las operaciones. En el terreno del cálculo podrán decidir qué pasos intermedios registrar y en qué parte del cálculo realizar sus anotaciones. Una cierta heterogeneidad de formas de representación en la clase también es un indicador de que los alumnos toman decisiones respecto de las formas de resolver y registrar cada situación. Una función del trabajo colectivo es analizar la variedad de formas de resolución y representación de un mismo tipo de problemas En algunas de las propuestas de este libro se explicitan momentos de trabajo dirigidos a comunicar, comparar y apropiarse de diferentes formas de resolver los problemas. En otros casos, el trabajo colectivo se sugiere en el texto del docente. Los procedimientos de resolución se tornan en objeto de estudio y de debate, por ejemplo, cuando se propone interpretar procedimientos o ideas habituales infantiles en la voz de unos niños hipotéticos. La intención es aportar otras estrategias que tal vez no hayan aparecido. De algún modo son marcas del tipo de tarea que se pretende instalar en la clase, espacios colectivos de análisis del problema a propósito de la diversidad de formas de abordaje. Interpretar producciones ajenas requiere considerar otros puntos de vista y enriquece la mirada sobre el problema en cuestión.

Analizar errores conjuntamente promueve el avance de los conocimientos Los errores son parte del proceso constructivo, marcas visibles del estado de conocimientos de los niños en un momento determinado. Para superarlos es necesario un trabajo sistemático que, a veces, es de la misma naturaleza que el de la producción de nuevos conocimientos. Algunos de los errores que cometen los niños se fundamentan en explicaciones que tienen su propia lógica. Comprenderla y colaborar en su superación requiere un trabajo colectivo y sistemático. Interpretar errores ajenos es fecundo tanto para los alumnos que produjeron errores similares como para aquellos a los que les es evidente por qué es un error, ya que los invita a justiﬁcar y explicitar razones. Intercambiar puntos de vista sobre una afirmación permite profundizar ciertos conceptos El debate sobre la validez o no de ciertas aﬁrmaciones o determinados resultados, o acerca de la pertinencia de un procedimiento permite que los alumnos retomen, desde otro punto de vista, aspectos del conocimiento que se está abordando. Es importante que ellos

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no solo resuelvan los problemas, sino que tengan ocasión de analizar, en forma colectiva, si ciertas ideas sobre esos problemas son verdaderas o no. Esto implica de algún modo una mayor distancia con el problema e involucra un inicio en un proceso de descontextualización que será fértil para situaciones nuevas. En muchos casos el docente deberá mantener en forma provisoria cierta incertidumbre respecto de la validez de las afirmaciones o los resultados, tanto de los propuestos en el libro como de las primeras opiniones de los alumnos. Podrá poner en duda lo correcto y lo incorrecto con el fin de promover un intercambio de ideas, posponiendo la identificación de las soluciones o de las respuestas correctas a la discusión planteada. En este libro a veces se presentan frases expresadas por niños o directamente preguntas que buscan instalar esta clase de trabajo.

Analicemos el problema 1 de la página 26: Evidentemente esta situación es de cierta complejidad para los niños, dado que se propone antes de presentar la división. Será necesario que el docente estimule el intento de explorar este problema por sus propios medios, generando un clima de trabajo propicio para el ensayo, la búsqueda, el cambio de recursos en la mitad de la resolución del problema. Esta, como otras situaciones, admite estrategias de resolución bien diferentes. Algunos alumnos podrían responder por error 25 — 5 = 20, “acostumbrados” a problemas en los que hay que sumar o restar. Tal vez este caso no les “suene” a suma y resten, sin detenerse a analizar con más detalle el enunciado presentado. Algunos niños podrán dibujar los billetes de $ 5 y contar de 5 en 5 hasta llegar a 25. Otros podrán dibujar 25 monedas de $ 1 y agruparlas de a 5, formando 5 grupos. Otros alumnos podrán realizar sumas 5 + 5 e ir probando cuántos 5 agregar para llegar a 25. Otros podrán hacer un doble conteo, por ejemplo, con una mano contar los 5 y con la otra cuántos 5 van contando. Algunos niños restarán a 25 sucesivos 5 hasta llegar a 0. Otros contarán o descontarán de 5 en 5 y escribirán 5 - 10 - 15 - 20 - 25 o 25 - 20 - 15 - 10 - 5. Algunos reconocerán la multiplicación 5 × 5 = 25 y otros tal vez escriban 5 veces 5 = 25. En todos los casos puede ocurrir que duden acerca de “dónde” está la solución al problema, mientras que otros reconozcan en esas escrituras y cálculos la cantidad de días. También es posible que algún niño reconozca la división y escriba 25 : 5 o 25 ÷ 5 para representar el modo en que buscó el resultado del problema. Estas estrategias a veces aparecen combinadas entre sí. Luego de un primer intento de resolución individual, el docente podrá promover un espacio de intercambio en el que algunos alumnos expliquen o muestren las estrategias usadas. El docente podría, mientras los alumnos muestran o cuentan, dibujar o escribir en el pizarrón, esquemáticamente, los dibujos o los cálculos usados por los niños para que puedan analizarse y compararse. En primer lugar podría preguntar acerca de los resultados obtenidos, si les parece que hay algunos que no son correctos y por qué. El análisis de los errores individuales será rico para toda la clase, ya que permitirá discutir sobre por qué este problema no puede resolverse con 25 — 5 o con 25 + 5, pensar qué problemas sí podrían resolverse con esos cálculos y compararlos. El docente también podrá retomar los errores de cálculo o conteo. Podría sugerir el uso de la calculadora o bien discutir estrategias diferentes para veriﬁcar los cálculos.

Un ejemplo ayuda a desplegar las ideas anteriores

Luego de que los niños compararon las distintas maneras en que resolvieron la situación, el docente podría avanzar hacia la elaboración conjunta de una síntesis de las estrategias usadas, por ejemplo, escribiendo en un cartel o en el pizarrón: “En este problema podemos sumar muchos 5, restar muchas veces 5 a 25, contar de 5 en 5 desde 0 o descontar de 5 en 5 desde 25, multiplicar 5 × 5 o pensar en 5 veces 5”. Podría evaluar la pertinencia de incluir o no el símbolo ÷ con la escritura 25 : 5 o postergarlo para otro momento del año, como se propone en el libro. Creemos que el debate sobre los errores, las maneras de representar la situación, los recursos de cálculo y las escrituras simbólicas que se pueden usar son muy fértiles para todos los alumnos, tanto para el que sumó o restó ambas cantidades, como para aquel que tal vez escribió directamente 25 : 5 y obtuvo la respuesta correcta mediante una escritura simbólica económica y convencional. Veamos entonces cómo varían los roles del docente en diferentes instancias de la clase. En un momento se abstiene de dar la solución o sugerir la estrategia óptima, mientras los niños exploran y resuelven el problema. En otro momento propicia un intercambio sobre las formas de resolución usadas y los resultados obtenidos. Invita a debatir acerca de posibles estrategias. Las producciones individuales se someten a análisis colectivo sin importar quién es el autor de cada una. Al final de la clase propone sintetizar conclusiones para resolver este problema, que se reutilizarán en otros problemas. Notemos que los conocimientos del final de la clase son distintos que los que se pusieron en juego en un primer momento. Los conocimientos individuales —errores y aciertos— se hicieron públicos. Las estrategias usadas implícitamente se nombraron, compararon, identificaron; algunas incluso se abandonaron, otras se transformaron y algunas nuevas se inventaron. Este es apenas un eslabón de una colección de problemas similares cuyo estudio permitirá aproximarse en forma progresiva a los problemas de reparto y partición. Hemos seleccionado un problema para ejemplificar las ideas desplegadas antes, pero esta clase de análisis puede realizarse para otros problemas del libro.

2. Organización del libro Este libro está estructurado en cuatro partes. Cada una de ellas está pensada para trabajar durante alrededor de dos meses de clase. Las partes son: Primera parte Números y operaciones I Espacio Segunda parte Números y operaciones II Figuras geométricas Tercera parte Números y operaciones III Cuerpos geométricos Cuarta parte Números y operaciones IV Medida

Otros problemas, como el siguiente, proponen discutir la validez de una aﬁrmación:

A veces exigen usar unos resultados para averiguar otros:

Dentro de cada parte los temas se inician con una portada que contiene información para que el docente lea en voz alta. A veces se incluyen datos históricos acerca del origen de ese conocimiento, en otras ocasiones se relatan anécdotas de pueblos o de matemáticos en torno del tema de la sección. Junto con este texto se ofrece una imagen o viñeta humorística vinculada con el tema. En el cuerpo de cada parte se proponen colecciones de problemas que abarcan una o dos páginas bajo cada título. Cuando no hay una indicación al respecto, se considera que los problemas pueden resolverse desde el trabajo individual y por ello están formulados en singular. Son espacios para que cada alumno pueda enfrentarse a los desafíos desde los conocimientos de los que dispone. Algunos problemas se proponen para resolverse en parejas, en grupos o entre todos, según el nivel de complejidad y el tipo de interacciones que requieren. Como ya se mencionó, los problemas que constituyen el cuerpo de cada propuesta involucran diferentes tipos de tareas. En este caso se solicita estimar el resultado de un cálculo, sin recurrir a su resolución:

En otros casos, como en este ejemplo, exigen reﬂexionar sobre las características de una ﬁgura:

A veces se propone interpretar procedimientos ajenos, como en esta situación:

En este libro se presentan instancias colectivas bajo el título Una vuelta de tuerca entre todos. En esta sección, presente al ﬁnal de muchas páginas, se propician diferentes tipos de actividades. En algunos casos se busca que los alumnos sistematicen las relaciones que se pusieron en juego en cierta clase de problemas:

En ocasiones se propone el análisis de errores más o menos usuales:

En ciertos casos se busca involucrar a los alumnos en el análisis de diversos procedimientos de resolución de un mismo problema:

En otros se promueve un espacio de reorganización y sistematización a partir de discutir la validez de ciertas aﬁrmaciones o determinadas estrategias. Por ejemplo:

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A veces se proponen problemas un poco más complejos sobre el mismo contenido tratado con la intención de explorar relaciones nuevas. Por ejemplo:

A lo largo del trabajo a veces resulta necesario establecer ciertas convenciones propias del saber matemático. Tal es el caso de un vocabulario especíﬁco, una deﬁnición, algunos símbolos. Estas informaciones se presentan bajo el título Machete. Están pensadas para que se las lea de manera colectiva y sean fuente de consulta en diferentes oportunidades. Por ejemplo:

Números y operaciones I Esta parte se inicia con una colección de problemas de suma y resta con la finalidad de recuperar los conocimientos que los alumnos suelen tener disponibles. Se trata de habilitar el despliegue de diversas estrategias, identificando y comparando los cálculos que resuelven cada situación. Se propicia el análisis acerca de que cada problema se puede resolver con más de un cálculo diferente. Muchos problemas se presentan con números “redondos” para favorecer el uso de cálculos mentales mediante diferentes composiciones y descomposiciones. Luego se presenta una nueva colección de problemas que involucran varias sumas y restas, con la intención de discutir acerca de los diversos modos de organizar los cálculos para resolverlos. Otras situaciones apuntan a que los alumnos analicen la relación entre la suma y la resta en situaciones que involucran una diferencia entre números. En muchos casos se avanza sobre el análisis de las relaciones entre cálculos y problemas. Se presentan actividades para que los niños exploren estrategias de cálculo mental, identifiquen qué cálculos de los que saben les pueden servir para resolver otros y usen la calculadora para verificar los resultados. Estos cálculos permiten establecer relaciones con el sistema de numeración, ya que involucran descomposiciones aditivas apoyándose en los números “redondos”. En algunos problemas se invita a trabajar con el cálculo estimativo con la intención de que los alumnos aprendan a controlar si son posibles o no los resultados obtenidos por medio de otras estrategias. El análisis de algoritmos de suma y resta es objeto de trabajo en otras páginas, en las que inclusive se abordan algunos de los errores que habitualmente producen los niños. Se presentan de manera intercalada problemas para trabajar sobre la numeración. Al inicio se propicia que los niños tengan oportunidad de volver sobre un rango numérico que es probable que ya conozcan a partir del trabajo de años anteriores: los números hasta el 1.000. Sobre ellos se proponen problemas de lectura, escritura y orden. Otro conjunto de páginas avanza sobre el estudio de un nuevo rango numérico: los números hasta el 10.000. La recta numérica, los cuadros con números y diferentes contextos de uso social funcionan como soporte para explorar esta porción de la serie numérica.

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A continuación sintetizamos los recorridos que se proponen en cada parte del libro.

El estudio de la multiplicación se retoma a partir de problemas que involucran series proporcionales para que los alumnos resuelvan por medio de diversas estrategias, reﬂexionen sobre ellas y reconozcan —a partir del trabajo que seguramente habrán iniciado en 2.º grado— escrituras multiplicativas. Por último se presenta una colección de problemas de reparto y partición que apuntan al despliegue de diversas estrategias, como conteo, dibujos, sumas, restas o multiplicaciones.

Espacio El trabajo se inicia con problemas que demandan que los alumnos interpreten planos y se vinculen por su intermedio, quizás por primera vez, con algunas representaciones simbólicas convencionales, como la señalización de lugares públicos. Otras situaciones involucran analizar diferentes clases de representaciones planas, como fotos aéreas y satelitales, y compararlas con el punto de vista de los planos. Finalmente se avanza con situaciones que exigen elaborar recorridos y realizar dibujos sobre el plano. Números y operaciones II En esta parte se proponen problemas de suma y resta que involucran diferentes desafíos: interpretar y buscar información presentada en forma de cuadros, seleccionar los datos pertinentes y los cálculos que permiten resolver las distintas preguntas planteadas, tratar con sentidos más complejos de estas dos operaciones y favorecer estrategias de cálculo mental y con calculadora. Para el estudio del sistema de numeración se plantean problemas que ponen en juego las regularidades de la serie numérica en el contexto del orden. El uso de la organización de la información en cuadros o en la recta numérica favorece este estudio. Se avanza en este trabajo a partir de otros problemas que tienen como objetivo la elaboración de escalas en situaciones contextualizadas que se centran en las modiﬁcaciones que se producen en las escrituras numéricas: qué cifras cambian, cuáles no se modiﬁcan, qué relaciones se pueden establecer entre los números que se suman o restan, etcétera. Otra colección de páginas avanza sobre el tratamiento de la multiplicación. Se busca que los alumnos establezcan relaciones entre problemas que involucran sumas, restas y multiplicaciones poniendo en juego la relación entre problemas y cálculos. Los sentidos de la multiplicación que se abordan son variados. En principio se trata de series proporcionales mediante las cuales se organizan cuadros con multiplicaciones. El uso de estos cuadros favorecerá que los alumnos se familiaricen con los resultados y establezcan relaciones entre ellos. Luego se introduce un sentido nuevo de la multiplicación: las organizaciones rectangulares. Es esperable que para resolver esta clase de situaciones los niños desplieguen estrategias variadas y avancen de manera progresiva hacia el reconocimiento de la multiplicación. Otro conjunto de propuestas aborda la exploración de la tabla pitagórica. Se apunta a instalar un repertorio de multiplicaciones que los niños memorizarán en forma gradual. En ese proceso les será un recurso útil apelar a ciertas relaciones numéricas apoyadas en las propiedades de la multiplicación. Estos recursos servirán también para avanzar en el establecimiento de relaciones entre la multiplicación y la división, así como en la multiplicación por 10, 100 y 1.000, y su relación con el sistema de numeración. Por último se retoman los problemas de reparto y partición tanto para avanzar en el despliegue de diferentes recursos para su resolución como para promover el análisis y el uso de la tabla pitagórica.

Números y operaciones III El capítulo se inicia con algunas páginas que presentan problemas de suma y resta, muchos de ellos con números “redondos” que favorecen el uso de cálculos mentales, y otros en los que es posible realizar cálculos estimativos. Nuevos problemas involucran sumas y multiplicaciones con la intención de poner en juego la relación entre problemas y cálculos, y recuperar la idea de que un mismo problema puede resolverse por medio de distintos cálculos y que un mismo cálculo permite resolver distintos problemas. Se inaugura el estudio de un nuevo sentido de los problemas multiplicativos: aquellos en los que hay que realizar el conteo de los pares que resulta de combinar elementos de diferentes colecciones. En estos problemas los niños podrán usar distintas estrategias y establecer relaciones con la multiplicación. Asimismo, se presenta otro conjunto de situaciones con la intención de que los alumnos avancen en el estudio del valor que tienen las cifras según la posición que ocupan en una escritura numérica. Con ese ﬁn se abordan problemas en el contexto del dinero (para algunos se usan billetes ley 18.188 de modo de favorecer el análisis en términos de descomposiciones en 1.000, 100, 10 y 1) y se presentan actividades en el contexto de la calculadora, que involucran un análisis del funcionamiento de los números que se empieza a independizar del contexto y permite centrar la atención en la información que brindan las escrituras numéricas. Se amplía el estudio de la multiplicación mediante problemas que involucran series proporcionales y habilitan diferentes procedimientos de resolución, entre ellos, el cuadro con multiplicaciones. Otras actividades propician el trabajo con el cálculo mental y el cálculo estimativo, avanzando en el estudio de las relaciones entre productos. Se presentan luego diversos algoritmos para la multiplicación buscando el establecimiento de vínculos entre cálculos mentales y algorítmicos. Algunos problemas requieren incluso seleccionar el recurso de cálculo más conveniente en función de los números involucrados. Hacia el final del capítulo se retoma el trabajo sobre el valor posicional del sistema de numeración, pero ahora se apunta a la descomposición de un número, ya no solo de manera aditiva, sino que se incorpora la multiplicación y la división por 10, 100 y 1.000.

Figuras geométricas Se inicia el estudio de las características de algunas figuras geométricas a partir de situaciones que exigen reproducir figuras usando regla y escuadra. Esta clase de problemas abona que los alumnos puedan centrarse sobre ciertas particularidades de cada figura (la longitud de sus lados, la igualdad entre ellos, etc.) y de los instrumentos utilizados (cómo la escuadra permite trasladar cierta clase de ángulos, el uso de la regla para transportar segmentos y sus medidas). Algunas reproducciones exigen agrandar o achicar los dibujos preservando la forma. Otras propuestas buscan explorar las relaciones entre rectángulos, cuadrados y triángulos a partir de situaciones de superposición y plegado. Los alumnos deberán anticipar los efectos posibles en función de los pliegues y las formas de las hojas. Para profundizar en las características de las figuras, se ofrecen situaciones que involucran la descripción. Esta clase de problemas incluye la interpretación o la producción de informaciones para reconocer una figura entre otras y promueve el uso de un vocabulario específico. Otros problemas que permiten indagar sobre características de ciertas figuras implican la elaboración o la interpretación de instructivos para reconocer o construir una figura. Este tipo de situaciones propicia el análisis de cierta información que porta el nombre de una figura y lo relaciona con algunos de sus elementos y características.

Un objeto de estudio central en este capítulo es la división. Se presentan nuevos problemas de reparto y partición para que los alumnos resuelvan mediante diferentes procedimientos, entre ellos, el cálculo mental. Luego se presenta la escritura de la división para resolver problemas y cálculos, pero sin requerir aún el uso de “cuentas” para dividir, sino que se apunta a que los alumnos desplieguen estrategias de cálculo mental apoyándose en sumas, restas o multiplicaciones. Por otro lado se propicia el recurso de la calculadora y el uso de billetes para favorecer un trabajo exploratorio y un control de los resultados que se van obteniendo por medio del cálculo mental de divisiones. Por último se presenta una colección de problemas que involucran las cuatro operaciones y ponen en juego la relación entre problemas y cálculos.

Cuerpos geométricos Los primeros problemas buscan que los alumnos empiecen a caracterizar algunos cuerpos geométricos a partir del reconocimiento de ciertos atributos: cantidad y forma de caras, cantidad e igualdad de sus aristas, y cantidad de vértices. En algunas páginas se busca profundizar en la cantidad de aristas y su longitud y la cantidad de vértices a partir de actividades de construcción de “esqueletos” de los cuerpos. En esta clase de problemas se promueve una anticipación progresiva de sus elementos, cuya validez podrá ser verificada por los alumnos por medio de la construcción. Otra colección de problemas promueve realizar o anticipar construcciones para que los alumnos focalicen la atención en la forma de las caras de los cuerpos. En este caso se utilizarán las figuras geométricas recortables del final del libro en actividades de cubrimiento. El trabajo con los desarrollos planos de cuerpos geométricos permite profundizar el análisis de la cantidad y la forma de las caras de cada uno de los cuerpos seleccionados, a la vez que introduce a los alumnos en nuevas formas de representación de estos objetos. Algunos problemas exigen debatir sobre la validez de ciertos desarrollos planos analizando la ubicación relativa de las caras. Números y operaciones IV Esta parte se inicia con diferentes problemas que involucran sumas y restas. Los números elegidos y el contexto del dinero en que son tratados propician el uso de recursos de cálculo mental por parte de los alumnos. En algunas oportunidades se propone el uso de la calculadora, bajo ciertas condiciones, para favorecer el análisis de la relación entre los cálculos y el sistema de numeración. Otros problemas que se presentan a los alumnos buscan el establecimiento de relaciones entre multiplicaciones y divisiones, en tanto operaciones inversas, particularmente el hecho de que si se conoce el resultado de un producto, se conoce al mismo tiempo el resultado de dos divisiones. Se avanza también en los diferentes sentidos que podrían adquirir estas operaciones, a partir de identificar problemas que se resuelven con una u otra. El trabajo con la división se continúa con una nueva colección de problemas, en los que la finalidad principal reside en que los alumnos decidan “qué hacer con el resto” en función del contexto. En algunos casos es “lo que sobra”; en otras situaciones modifica la respuesta al problema (ya que se debe considerar el resto y no solo el cociente); en otros casos el resto “se puede seguir repartiendo” hasta obtener medios o cuartos. El estudio de las relaciones entre multiplicación y división, de los cálculos mentales y del análisis del resto de una división genera mejores condiciones para que los alumnos se enfrenten ahora a un nuevo desafío: resolver problemas que implican aproximarse a

la escritura y la organización de la “cuenta de dividir”, así como al análisis y la comprensión de diferentes algoritmos. En este marco también se propone el cálculo estimativo de divisiones que permite controlar los resultados obtenidos con otros recursos de cálculo. Posteriormente se proponen otros problemas que permiten “agrandar” el sentido de la división: aquellos en los que se trata de determinar cuántas veces entra un número dentro de otro y cuánto sobra. A estos se los conoce también como problemas de iteración, ya que se asemejan a aquellos en los que hay una unidad de medida y se debe medir, es decir, se debe determinar cuántas veces entra esa unidad en el objeto a medir. En este nivel de la escolaridad este tipo de problemas es exploratorio e involucra números relativamente pequeños. Otros problemas que se proponen a los alumnos implican tratar con la multiplicación y la división por 10, 100 y 1.000. La reﬂexión sobre estos cálculos permitirá que los niños profundicen sus conocimientos sobre las relaciones multiplicativas involucradas en la escritura de los números y en el valor posicional de las cifras. Por último se proponen nuevas situaciones que demandan recurrir a diversas estrategias para resolver problemas de división y multiplicación. Se busca promover el uso del cálculo mental, la estimación, la calculadora y los algoritmos, en función del contexto, de los números involucrados y de las relaciones establecidas. En algunas oportunidades los problemas demandan tratar con las cuatro operaciones.

Medida Esta parte se inicia con diferentes problemas que implican comparar o determinar longitudes, apelando al uso de la regla, el metro y las unidades más usuales: metro, centímetro y milímetro. Este trabajo avanza en las relaciones que hay entre ellas. Un tratamiento similar se propone para las medidas de peso por medio de problemas que involucran comparar o determinar pesos y utilizar unidades de medida de uso social: kilogramo y gramo. Algunos de los problemas demandan que los alumnos traten con medios y cuartos de estas unidades, pero no se trata de estudiar las fracciones, sino de hacer circular notaciones frecuentes cuando se requiere identiﬁcar el peso de distintos objetos. Con las mismas intenciones que las descriptas se proponen problemas que involucran la capacidad, avanzando en la relación entre litros, medios litros, cuartos de litro y centímetros cúbicos, en el contexto de los envases de bebida. Para estos atributos, también se proponen problemas que demandan estimar medidas con la ﬁnalidad de avanzar en la conceptualización de esta noción.

XII

3. Índice de contenidos NÚMEROS Y OPERACIONES I Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta por medio de distintas estrategias. . . . . . . . . . . . . . 6-7 Numeración. Serie numérica hasta el 1.000. Lectura, escritura y orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-9 Operaciones. Problemas de suma y resta. Análisis de los cálculos posibles para cada problema. . . . . . . . . . . 10 Numeración. Serie numérica hasta el 1.000. Lectura, escritura y orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Numeración. Serie numérica hasta el 10.000. . . . . . . . .12 Operaciones. Problemas de suma y resta que involucran varios pasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Operaciones. Problemas de suma y resta. Análisis de los cálculos posibles para cada problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15 Numeración. Escritura, lectura y orden de números hasta el 10.000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-17 Numeración y operaciones. Uso de algunos cálculos para resolver otros.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-19 Numeración. Serie numérica hasta el 10.000.. . . . . . . .20 Operaciones. Estrategias de cálculo estimativo de sumas y restas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Operaciones. Algoritmos de suma y de resta. Análisis de la conveniencia de diferentes estrategias de cálculo según los números involucrados.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Operaciones. Resolución de problemas multiplicativos por medio de distintas estrategias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23-25 Operaciones. Resolución de problemas de reparto por medio de diversos procedimientos. . . . . . 26

Operaciones. Problemas de suma, resta y multiplicación: relación entre problemas y cálculos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Operaciones. Análisis de los cálculos posibles para resolver problemas que involucran varias operaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Operaciones. Resolución de problemas multiplicativos de series proporcionales y reflexión sobre estrategias de cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Operaciones. Problemas multiplicativos de series proporcionales presentados en cuadros de doble entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Operaciones. Resolución de problemas de reparto y partición por medio de diversos procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Operaciones. Problemas multiplicativos de organizaciones rectangulares.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Operaciones. Relación entre datos, cálculos y problemas multiplicativos de sentidos diversos.. . . . . . . 50 Operaciones. Análisis de relaciones numéricas en la tabla pitagórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51-52 Operaciones. Resolución de problemas usando el cuadro con multiplicaciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Operaciones. Análisis de relaciones numéricas en la tabla pitagórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54-55 Operaciones. Resolución de problemas de reparto y partición usando la tabla pitagórica. . . . . .56 Operaciones. Multiplicación por la unidad seguida de ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57-58

ESPACIO Espacio. Análisis de planos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30-31 Espacio. Interpretación y elaboración de recorridos en planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32-33 Espacio. Interpretación y producción de planos. . . . . . 34

FIGURAS GEOMÉTRICAS Geometría. Reproducción de figuras en papel cuadriculado y en hoja lisa con regla y escuadra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62-63 Geometría. Reproducción de figuras en diferente escala.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Geometría. Identificación de relaciones entre figuras.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Geometría. Identificación de relaciones entre rectángulos, cuadrados y triángulos. . . . 66-67 Geometría. Análisis de algunas características de figuras geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Geometría. Descripción de figuras a partir de algunas de sus características.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69-70

NÚMEROS Y OPERACIONES II Operaciones. Problemas de suma y resta con información presentada en cuadros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Operaciones. Problemas de suma y resta que involucran sentidos más complejos. . . . . . . . . . 39-40 Numeración. Orden de la serie numérica hasta el 10.000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Numeración. Problemas con series numéricas ascendentes y descendentes.. . . . . . . . 42-43

XIII

CUERPOS GEOMÉTRICOS Geometría. Exploración de características de cuerpos geométricos. . . 100-101 Geometría. Análisis de vértices y aristas en problemas de construcción de cuerpos geométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102-103

XIV

Geometría. Desarrollos planos de cuerpos geométricos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104-106 NÚMEROS Y OPERACIONES IV Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta por medio de cálculos mentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112-113 Numeración y operaciones. Estrategias de cálculo mental y con calculadora para sumas y restas. . . . . . . . 114 Operaciones. Estrategias de cálculo. Relaciones entre la multiplicación y la división. . . . . . . 115 Operaciones. Problemas que involucran relaciones entre multiplicación y división. . . . . . . 116-117 Operaciones. Problemas de reparto y partición. Análisis del resto y partición en medios y cuartos. . . .118 Operaciones. Problemas de reparto y partición. Análisis del resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 Operaciones. Análisis de diferentes algoritmos para dividir.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120-122 Operaciones. Cálculo estimativo de divisiones. . . . . 123 Operaciones. Problemas de división que involucran iteraciones.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124 Operaciones. Multiplicaciones y divisiones por 10, 100 y 1.000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 Operaciones. Estrategias de cálculo estimativo, mental y con calculadora para resolver divisiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 Numeración y operaciones. Relación entre la división por potencias de diez y el valor posicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 Numeración. Análisis del valor posicional para determinar el cociente y el resto al dividir por potencias de diez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128-129 Operaciones. Problemas de varios pasos.130-131 Operaciones. Resolución de problemas de varios pasos con las cuatro operaciones. . . . . . . . . . . . .132 MEDIDA Medida. Relaciones entre metros, centímetros y milímetros. Uso de la regla y el metro. . . . . . 136-137 Medida. Relación entre kilogramo y gramo. Utilización de medios y cuartos kilos.. . . . . . . . . . 138-139 Medida. Relación entre litros y centímetros cúbicos. Utilización de medios y cuartos litros.. . . . . . . . . . . . 140-141 Medida. Relaciones entre hora, media hora, un cuarto de hora y minutos. Lectura de la hora. . . .142

NÚMEROS Y OPERACIONES III Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta por medio de distintas estrategias de cálculo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Operaciones. Resolución de problemas de suma y multiplicación. Análisis de los cálculos posibles para cada problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78-79 Operaciones. Resolución de problemas multiplicativos que involucran el recuento de combinaciones por medio de diferentes procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80-81 Numeración. Análisis del valor posicional en el contexto del dinero.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82-83 Operaciones. Resolución de problemas multiplicativos por medio de cálculos mentales. . . . 84 Operaciones. Estrategias de cálculo mental de multiplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Operaciones. Análisis de diferentes algoritmos para multiplicar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Operaciones. Diversas estrategias de cálculo multiplicativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Numeración. Análisis del valor posicional en el contexto de la calculadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88-89 Numeración. Análisis del valor posicional. Descomposición multiplicativa de un número. . . . . . 90 Numeración y operaciones. Relaciones entre la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros y el valor posicional.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Operaciones. Resolución de problemas de reparto y partición por medio de estrategias de cálculo mental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Operaciones. Iniciación en la escritura de la división para resolver problemas y cálculos. . . . . . . . . 93 Operaciones. Cálculo mental de divisiones. . . . . . . . . 94 Operaciones. Problemas de suma, resta, multiplicación y división. Relación entre problemas y cálculos. . . . . . . . . . . . 95 Operaciones. Resolución de problemas de suma, resta, multiplicación y división. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4. Sugerencias bibliográficas AA VV. Enseñar matemática - Formación Docente. Buenos Aires, Tinta Fresca, 2006. Broitman, C. Estrategias de cálculo con números naturales. Segundo ciclo EGB. Buenos Aires. Santillana, 2005. Broitman. C. La Enseñanza de las Operaciones en el Primer Ciclo. Buenos Aires, Novedades Educativas, 1999. Broitman, C. e Itzcovich, H. “Geometría en los primeros grados de la escuela primaria: problemas de su enseñanza, problemas para su enseñanza”. En: Panizza, M. (comp.) Enseñar matemática en el Nivel Inicial y primer ciclo de la EGB. Análisis y Propuestas. Buenos Aires, Paidós, 2003. Broitman, C. e Itzcovich, H. El estudio de las ﬁguras y de los cuerpos geométricos. Propuestas para su enseñanza. Buenos Aires, Novedades Educativas, 2002. Brousseau, G. Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Buenos Aires, Libros del Zorzal, 2007. Carraher, T., Carraher, D. y Schliemann, A. En la vida diez, en la escuela cero. México, Siglo XXI, 1991. Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Barcelona, ICE-Horsori, 1997. Dirección de Currícula. Diseño Curricular Primer Ciclo. Matemática. Secretaría de Educación. GCBA, 2004. Disponible en: www.buenosaires.gov.ar. Dirección Provincial de Educación Primaria. Diseño Curricular para la Educación Primaria. Pcia. de Bs. As., DGCyE, 2007. Disponible en www.abc.gov.ar. Dirección de Educación General Básica. Orientaciones Didácticas para la Enseñanza de los Números en el Primer Ciclo de la EGB. DGCyE. Pcia. de Bs. As., 2001. Disponible en: www.abc.gov.ar. Dirección de Educación General Básica. Aportes didácticos para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB. DGCyE. Pcia. de Buenos Aires, 2001. Disponible en: www.abc.gov.ar. Dirección de Educación General Básica. Orientaciones Didácticas para la Enseñanza de la Multiplicación en los tres ciclos de la EGB. DGCyE. Pcia. de Buenos Aires, 2001. Disponible en: www.abc.gov.ar. Dirección de Educación General Básica. Orientaciones Didácticas para la Enseñanza de la División en los Tres Ciclos de la EGB. DGCyE. Pcia. de Buenos Aires, 2001. Disponible en: www.abc.gov.ar. Dirección Provincial de Educación Primaria. La enseñanza del cálculo en 1º año. Pcia. de Bs. As., DGCyE, 2008. Disponible en: www.abc.gov.ar. Ferreiro, E. “El cálculo escolar y el cálculo con dinero en situación inﬂacionaria”. En: Proceso de alfabetización. La alfabetización en proceso. Buenos Aires, CEAL,1986. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educación. Dirección de Currícula (2006): Cálculo Mental con Números Naturales. Apuntes para la enseñanza. Disponible en www.buenosaires.gov.ar. Grimaldi, V. Los algoritmos de cálculo en la historia de la Matemática y en la escuela. Revista 12ntes, papel y tinta para el día a día en la escuela, 2010; N° 33; 10/10. Itzcovich, H. (coord.) La Matemática escolar. Las prácticas de enseñanza en el aula. Buenos Aires, Aique, 2007. Lerner D. La matemática en la escuela aquí y ahora. Buenos Aires, Aique, 1992. Lerner, D., Sadovsky, P. y Wolman, S. “El sistema de numeración: un problema didáctico”. En: Parra, C. y Saiz, I. (comps.) Didáctica de matemáticas. Buenos Aires, Paidós, 1994.

XVI

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