Matemática en segundo by Marcela Lalia

Libro del docente

Matemática en segundo Claudia Broitman Horacio Itzcovich Mónica Escobar Verónica Grimaldi Héctor Ponce Inés Sancha

Libro del docente

Matemática en segundo Matemática en segundo es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana S.A., bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo: Coordinación: Claudia Broitman y Horacio Itzcovich Autoría: Claudia Broitman, Mónica Escobar, Verónica Grimaldi, Horacio Itzcovich, Héctor Ponce e Inés Sancha Editora: Andrea Gutiérrez Jefa de edición: Patricia S. Granieri Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich

La realización artística y gráﬁca de esta edición ha sido efectuada por el siguiente equipo: Jefa de arte: Claudia Fano Tapa y diagramación: Alejandro Pescatore Corrección: Paula Smulevich Ilustración: Leonardo Arias y Manuel Lois Documentación fotográﬁca: Leticia Gómez Castro, Teresa Pascual y Nicolas Verdura Fotografía: Archivo Santillana Preimpresión: Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez Gerencia de producción: Gregorio Branca

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

Matemática en segundo : libro del docente / Claudia Broitman ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman y Horacio Itzcovich. - 1a ed. Buenos Aires : Santillana, 2010. 152 p. ; 28x22 cm.

1. Guía Docente. 2. Matemática. I. Broitman, Claudia II. Broitman, Claudia, coord. III. Itzcovich, Horacio, coord. CDD 371.1

Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), C.A.B.A., Argentina. ISBN: 978-950-46-2264-2 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: XXXXXX de 2010.

ISBN 978-950-46-2264-2

Este libro se terminó de imprimir en el mes de XXXXXX de 2010, en XXXXXXXXXXXX, XXXXXXXX, XXXXXXXXX, XXXXXXXXXXXXX, República Argentina.

1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática Para la elaboración de este libro se tuvieron presentes algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática. Los problemas enmarcan el trabajo matemático El trabajo en el aula exige articular los conocimientos que los alumnos tienen disponibles con los nuevos que se pretende enseñar. Para ello es necesario que los niños se enfrenten a ciertos problemas en los que puedan poner en juego sus conocimientos y, a la vez, construir otros nuevos. Este proceso exige elaboraciones y reelaboraciones sucesivas que pueden promoverse desde la enseñanza, apuntando a un acercamiento progresivo desde los conocimientos de los niños hacia los saberes propios de la Matemática. Por ello, en este libro el trabajo central del alumno es la resolución de problemas y la reflexión sobre ellos. Para favorecer este proceso es necesario que los alumnos se enfrenten a situaciones que les presenten cierto grado de dificultad, que sean “verdaderos problemas”. No se espera, entonces, que los resuelvan correctamente desde el primer intento. Por el contrario, es la dificultad del problema la que promueve la posibilidad de aprender algo nuevo. En este libro se presenta una variedad de problemas. Algunos involucran resolver un cálculo para responder una pregunta o completar cuadros, pero en muchas otras oportunidades ponen en juego otra clase de prácticas, por ejemplo, interpretar un procedimiento de resolución, relacionar dos formas de resolución de un mismo problema, analizar la validez de una afirmación, intentar comprender un error, dar información para reproducir un dibujo, copiar una figura, comparar problemas, etcétera. El abordaje de un mismo tipo de problemas durante varias clases propicia avances en las formas de resolución y en la identificación de los conocimientos Para que los niños puedan poner en juego ciertos conocimientos como punto de partida –aun cuando sean erróneos o aproximados– y, a la vez, ponerlos a prueba, modificarlos, ampliarlos y sistematizarlos, será preciso que se enfrenten a una colección de problemas vinculados entre sí. Un trabajo sistemático de varias clases favorece la reorganización de las estrategias de resolución, la reflexión sobre las relaciones con otros conocimientos, el abandono de los ensayos erróneos y la utilización de recursos nuevos. Por ello, en este libro, contemplando la provisoriedad y el largo plazo en los procesos de construcción de conceptos matemáticos en la escuela, las propuestas se organizan en pequeñas secuencias de varias páginas en las que se abordan los mismos tipos de problemas una y otra vez.

Cuando el docente se abstiene de comunicar desde el inicio de una clase el conocimiento a enseñar y los problemas se conciben como punto de partida de la producción de conocimientos, en el aula aparece una variedad de procedimientos de resolución por parte de los niños. Tanto al sumar dos cantidades, saber cómo se llama o se escribe un número, ordenar números, resolver un problema de distancia entre números, como al copiar una ﬁgura, los niños podrán resolver la situación con estrategias variadas según los conocimientos y los recursos que tengan disponibles. Producir recursos nuevos, interpretar otros modos de resolución y establecer relaciones entre ellos es parte del quehacer matemático colectivo que se intenta promover.

Cuando se proponen verdaderos problemas, se favorece el despliegue de diferentes formas de resolución

Un problema que en un momento se espera que sea novedoso para los alumnos y les exija elaborar estrategias personales, unas clases después suele resolverse con estrategias más homogéneas a partir del avance producido en el trabajo colectivo. En una misma clase pueden convivir diferentes maneras de representar un mismo problema Durante la exploración de un problema nuevo los niños suelen recurrir a dibujos, representaciones gráﬁcas y simbólicas, cálculos, diagramas, etc. El docente podrá alentar a sus alumnos a producir representaciones propias, aun cuando sean poco económicas o alejadas de las convencionales, invitarlos a analizar la economía de las formas usadas e incluso presentar otros modos de representación (convencionales o no) que no hayan aparecido en la clase. Por ello, en este libro se promueve que, para resolver un problema, los alumnos decidan en cada oportunidad si, por ejemplo, usan dibujos, representan con rayitas ciertas cantidades, escriben números o usan símbolos que representan las operaciones. En el terreno del cálculo podrán decidir qué pasos intermedios registrar y en qué parte del cálculo realizar sus anotaciones. Una cierta heterogeneidad de formas de representación en la clase también es un indicador de que los alumnos toman decisiones respecto de las formas de resolver y registrar cada situación. Una función del trabajo colectivo es analizar la variedad de formas de resolución y representación de un mismo tipo de problemas En algunas de las propuestas de este libro se explicitan momentos de trabajo dirigidos a comunicar, comparar y apropiarse de diferentes formas de resolver los problemas. En otros casos, el trabajo colectivo se sugiere en el texto del docente. Los procedimientos de resolución se tornan en objeto de estudio y de debate, por ejemplo, cuando se propone interpretar procedimientos o ideas habituales infantiles en la voz de unos niños hipotéticos. La intención es aportar otras estrategias que tal vez no hayan aparecido. De algún modo son marcas del tipo de tarea que se pretende instalar en la clase, espacios colectivos de análisis del problema a propósito de la diversidad de formas de abordaje. Interpretar producciones ajenas requiere considerar otros puntos de vista y enriquece la mirada sobre el problema en cuestión.

Analizar errores conjuntamente promueve el avance de los conocimientos Los errores son parte del proceso constructivo, marcas visibles del estado de conocimientos de los niños en un momento determinado. Para superarlos es necesario un trabajo sistemático que, a veces, es de la misma naturaleza que el de la producción de conocimientos nuevos. Algunos de los errores que cometen los niños se fundamentan en explicaciones que tienen su propia lógica. Comprenderla y colaborar en su superación requiere un trabajo colectivo y sistemático. Interpretar errores ajenos es fecundo tanto para los alumnos que cometieron errores similares como para aquellos a los que les es evidente por qué es un error y deben justiﬁcar y explicitar razones. Intercambiar puntos de vista sobre una afirmación permite profundizar ciertos conceptos El debate sobre la validez o no de ciertas aﬁrmaciones o resultados, o sobre la pertinencia de un procedimiento permite que los alumnos retomen aspectos del conocimiento que se aborda desde otro punto de vista. Es importante que los alumnos no solo resuelvan

III

los problemas, sino que tengan ocasión de analizar, en forma colectiva, si ciertas ideas sobre esos problemas son verdaderas o no. Esto implica de algún modo una mayor distancia con el problema e involucra un inicio en un proceso de descontextualización que será fértil para situaciones nuevas. En muchos casos el docente deberá mantener en forma provisoria cierta incertidumbre respecto de la validez de las afirmaciones o los resultados, tanto de los propuestos en el libro como de las primeras opiniones de los alumnos. Podrá poner en duda lo correcto y lo incorrecto con el fin de promover un intercambio de ideas, y posponer la identificación de las soluciones o de las respuestas correctas a la discusión planteada. En este libro a veces se presentan frases expresadas por niños o directamente preguntas que buscan instalar esta clase de trabajo.

Analicemos el problema 3 de la página 50. Evidentemente esta situación es compleja para los niños, dado que se propone antes de presentar la multiplicación. Será necesario que el docente estimule el intento de explorar este problema, generando un clima de trabajo propicio para el ensayo, la búsqueda, el cambio de recursos. Este problema, como otros, admite estrategias de resolución bien diferentes. Veamos algunas. Ciertos alumnos podrían responder directamente de manera errónea 3 + 5 = 8, “acostumbrados” a problemas en los que hay que sumar o restar. Tal vez este problema no les “suene” a resta y sumen, sin detenerse a analizar con más detalle el enunciado presentado. Otros niños podrán realizar esquemas que representen cada una de las 5 aulas y dibujar dentro de cada figura tres cuadraditos que indiquen las ventanas. Luego contarán una por una las ventanas y podrán responder 14 o 16 por alguna confusión en el control de los objetos contados. Algunos de estos mismos niños volverán a dibujar otras 6 aulas para reproducir otra vez el esquema para la parte b) y confundirse de nuevo en el conteo, respondiendo 17 o 19, por ejemplo. Otros niños realizarán esquemas pero dentro de cada rectángulo o cuadrado que representa el aula pondrán el número 3, cada vez para cada “aula”. Luego podrán hacer un conteo y sobreconteo, por ejemplo, 3, 6, 9 (recurriendo a las sumas memorizadas), y después seguirán con sobreconteo: 10, 11 y 12; 13, 14 y 15. Tal vez se apoyen en palitos que dibujan o en los dedos, o bien en el “tono” con el que dicen en voz alta cada grupo de 3. Para la pregunta b), es factible que algunos de estos alumnos vuelvan a dibujar las aulas, esta vez 6, y pongan de nuevo el 3 en cada una, para obtener otra vez el total por medio del conteo o el sobreconteo, o bien sumas reiteradas. Algunos de estos niños tal vez identifiquen que para la pregunta b) es posible averiguar el total si solo se agrega un dibujo más y un 3, o tres ventanas adentro, y se usa la respuesta de la pregunta a) para averiguar la de b). Otros directamente escribirán 3 3 3 3 3 o 3 + 3 + 3 + 3 + 3, y tanto unos como otros podrán averiguar el total por sumas sucesivas o por sobreconteo, o bien escribiendo un 6 al unir dos 3, un 9 al unir tres 3, luego sumando 9 y 6 por diversas estrategias, o bien 6 y 6, y luego 3 más. Alguno de estos niños identificará para la pregunta b) que es posible agregar un 3 más, y usarán la respuesta de a) para averiguar b). Tal vez algunos escriban “5 veces 3” y usen las mismas estrategias de conteo, sobreconteo o cálculo que se mencionaron. Asimismo, es factible que algún alumno escriba 5 × 3 y 6 × 3 para representar la respuesta a cada parte del

Un ejemplo ayuda a desplegar las ideas anteriores

problema. Tanto en uno como en otro caso algunos reconocerán que el resultado obtenido para a), el número 15, es útil para averiguar el de b) y sumen o cuenten a partir de allí. También es posible que estas estrategias aparezcan combinadas entre sí, o que algunos alumnos inicien la resolución por medio de una manera y cambien a otra más económica en la mitad del problema, o para la segunda parte. Luego de un primer intento de resolución individual el docente podrá promover un espacio de intercambio en el que algunos alumnos expliquen o muestren las estrategias usadas. El docente podría, mientras los alumnos muestran o cuentan, dibujar o escribir en el pizarrón, de manera esquemática, los dibujos o los cálculos usados por los niños para que puedan analizarse y compararse. En primer lugar podría preguntar acerca de los resultados obtenidos, si les parece que hay algunos que no son correctos y por qué. El análisis de los errores individuales será rico para toda la clase, ya que permitirá discutir por qué este problema no puede resolverse con 3 + 5, pensar en qué problemas la respuesta puede hallarse con ese cálculo y compararlos. También permitirá retomar los errores de cálculo y conteo, y recordar algunas estrategias que posibilitan controlarlos o verificarlos. Se podría sugerir el uso de la calculadora o bien discutir estrategias diferentes para verificar el cálculo. Luego de que los niños compararon las distintas maneras en que resolvieron la situación, el docente podría avanzar hacia la elaboración conjunta de una síntesis de las estrategias usadas, por ejemplo, escribiendo en un cartel o en el pizarrón: “En este problema en que se repite muchas veces el 3 podemos dibujar, contar, hacer rayitas, sumar muchas veces 3 o escribir 5 veces 3”. Asimismo, podría evaluar la pertinencia de incluir el símbolo × con la escritura 5 × 3, o postergarlo para unas clases más adelante. Creemos que los debates sobre los errores, las maneras de representar la situación, los recursos de cálculo y las escrituras simbólicas que es posible usar son muy fértiles para todos los alumnos, tanto para los que están más alejados de la multiplicación y sumaron 3 y 5, como para aquel que tal vez escribió directamente 3 × 5 y obtuvo la respuesta correcta usando una escritura simbólica económica y convencional. Veamos entonces cómo varían los roles del docente en diferentes instancias de la clase. En un momento se abstiene de dar la solución o sugerir la estrategia óptima, mientras los niños exploran el problema y lo resuelven como pueden. En otro momento propicia un intercambio sobre las formas de resolución usadas y los resultados obtenidos. Invita a debatir acerca de estrategias posibles. Las producciones individuales se someten a análisis colectivo sin importar quién es el autor. Al final de la clase propone sintetizar “conclusiones” para resolver este problema, para darle estatuto de un nuevo conocimiento de esa clase, que se reutilizará en otros problemas. Notemos que los conocimientos del “final” de la clase son muy distintos que los que se pusieron en juego en un primer momento. Los conocimientos individuales –errores y aciertos– se hicieron públicos. Las estrategias usadas implícitamente se nombraron, compararon, identificaron; algunas incluso se abandonaron, otras se transformaron, y se inventaron algunas nuevas. Este problema es apenas un eslabón de una colección de problemas similares, cuyo estudio permitirá aproximarse de manera progresiva al estudio de la multiplicación.

2. Organización del libro El libro está estructurado en cuatro partes. Cada una de ellas está pensada para trabajar durante alrededor de dos meses de clase. Las partes son: Primera parte Números y operaciones I Espacio Segunda parte Números y operaciones II Figuras geométricas Tercera parte Números y operaciones III Cuerpos geométricos Cuarta parte Números y operaciones IV Medida

Otros problemas, como el siguiente, proponen discutir la validez de ciertas ideas:

A veces exigen seleccionar recursos que podrían ser valiosos para resolver situaciones nuevas:

Dentro de cada parte, los temas se inician con una portada que contiene información para que el docente lea en voz alta. A veces se incluyen datos históricos acerca del origen de ese conocimiento, en otras ocasiones se relatan anécdotas de pueblos o de matemáticos en torno del tema de la sección. Junto con este texto se ofrece una imagen o una viñeta humorística vinculada con el tema. En el cuerpo de cada parte se proponen colecciones de problemas que abarcan una o dos páginas bajo cada título. Cuando no hay una indicación al respecto, se considera que los problemas pueden resolverse desde el trabajo individual, y por ello están formulados en singular. Son espacios para que cada alumno pueda enfrentarse a los desafíos desde los conocimientos de los que dispone. Algunos de esos problemas se proponen para resolver en parejas, en grupos o entre todos, según el nivel de complejidad y el tipo de interacciones que requieren. Como ya se mencionó, los problemas que constituyen el cuerpo de cada propuesta involucran diferentes tipos de tareas. En este caso el problema exige estimar el resultado de un cálculo, sin recurrir a su resolución:

En otros casos, como en este ejemplo, exigen reﬂexionar sobre las características de una ﬁgura:

O bien, anticipar los efectos de una transformación:

Asimismo, en otros se exige desentrañar las informaciones que provienen de un portador:

En este libro se presentan instancias colectivas bajo el título Una vuelta de tuerca entre todos. En algunos casos se busca que los alumnos expliciten y sistematicen las diferentes estrategias posibles para la resolución de un problema. Por ejemplo:

En ocasiones se propone el análisis de errores más o menos usuales:

En otros casos se promueve un espacio de reorganización y sistematización a partir de discutir la validez de ciertas aﬁrmaciones o estrategias. Por ejemplo:

A veces se proponen problemas un poco más complejos sobre el mismo contenido tratado con la intención de explorar relaciones nuevas.

VII

A lo largo del trabajo, en ciertos momentos, resulta necesario establecer ciertas convenciones propias del saber matemático. Ese es el caso de un vocabulario especíﬁco, de una deﬁnición, de algunos símbolos. Estas informaciones se presentan bajo el título Machete. Están pensadas para que se las lea de manera colectiva y sean fuente de consulta en diferentes oportunidades.

Números y operaciones I Las primeras actividades apuntan a favorecer el uso y la exploración de los números en amplios intervalos de la serie de manera simultánea. La intención para este eje no es el dominio de la lectura y la escritura, sino más bien la exploración de números de diferentes tamaños, y sus diversos usos, contextos y funciones posibles. Algunos problemas suponen revisitar la serie numérica hasta el 100 posiblemente estudiada por los niños en primer grado. Se les propone ordenar números, leerlos y escribirlos usando diferentes contextos y portadores de información numérica, como metros, cuadros de números, etc. Luego se extiende el estudio de los números hasta el 1.000, buscando explorar y explicitar algunas regularidades. Se trata de que los niños puedan reutilizar los conocimientos elaborados a partir del estudio de los números del 0 al 100 hacia otras porciones de la serie. Algunos problemas se presentan en cuadros con números ordenados, otros por medio de la representación en la recta numérica. Por otro lado, se abordan las operaciones de suma y resta sin necesidad aún de exigir el registro del cálculo o el uso de cuentas. Se espera que los niños resuelvan los primeros problemas de distintas formas: conteo, dibujos u otra representación, registro de algunos números, etc. Algunos problemas revisten mayor complejidad, ya que involucran más de dos cantidades. Luego se apunta a que comiencen a identiﬁcar los cálculos que resuelven los problemas a pesar de haber utilizado otras estrategias. De manera intercalada se inicia la construcción de un repertorio de cálculos de suma y resta memorizados, tales como sumas de iguales (por ejemplo, 5 + 5, 6 + 6), sumas de números redondos con dígitos (por ejemplo, 30 + 4, 50 + 8), sumas de números redondos (por ejemplo, 20 + 30, 40 + 20). Algunos problemas proponen que los alumnos comiencen a usar cálculos conocidos (por ejemplo, 10 + 10 = 20) para resolver cálculos “nuevos” (por ejemplo, 16 + 13). En varias de estas páginas se propicia el uso de la calculadora para resolver problemas o para veriﬁcar el resultado de cálculos. De manera simultánea se presentan algunas actividades que apuntan a realizar estimaciones mediante el redondeo (por ejemplo, para 28 + 29, pensar 30 + 30). Espacio Los niños utilizan el espacio y construyen un conjunto de conocimientos prácticos que les permiten dominar sus desplazamientos. Se trata de adquisiciones espontáneas en su proceso de construcción de nociones espaciales que no exigen necesariamente alguna conceptualización o toma de conciencia. Los problemas matemáticos relacionados con el espacio, en cambio, están ligados a la representación. La matemática implica una abstracción de la realidad y su potencia reside en que la representación forma parte de la modelización. No es la realidad en sí pero permite tomar decisiones y resolver problemas anticipándose a las acciones físicas.

VIII

A continuación se sintetizan los recorridos que se proponen en cada parte del libro.

En este libro se propone centrar los problemas primero en la interpretación de dibujos que representan espacios físicos, realizados desde distintos puntos de vista. Luego se presentan problemas que exigen interpretar planos de habitaciones, lugares de esparcimiento o barrios, analizando las informaciones que portan y los diferentes modos de presentarlas. También se incorpora el análisis, la descripción o el dibujo de recorridos en los planos. En otros problemas se propone que los alumnos incluyan algunos dibujos de objetos en esos planos, lo que les exigirá imaginar los objetos desde arriba y utilizar algunas convenciones para su producción. Números y operaciones II Esta parte se inicia con una colección de problemas de suma y resta, de manera que los alumnos avancen en la resolución y la identificación de los cálculos pertinentes. Las cantidades elegidas favorecen la utilización de estrategias de cálculo mental. Posteriormente se retoma el trabajo en torno del orden de los números a partir de algunas características del sistema de numeración y del uso de la recta numérica como portador de nombres y secuencia de números. Estos conocimientos abonan también al trabajo sobre el cálculo mental, de manera de favorecer el establecimiento de relaciones apoyadas en la suma y la resta con la finalidad de que los alumnos dispongan de un mayor dominio de cierto repertorio de cálculos. El tratamiento de estas operaciones se profundiza al proponer problemas en los que la información se provee en diferentes portadores y los alumnos deben enfrentarse al desafío de seleccionar datos e identificar las operaciones que permiten arribar a las respuestas. En diferentes páginas se retoma el estudio del sistema de numeración, en busca de que los alumnos se enfrenten con problemas que ponen en juego ciertas regularidades que se verifican en los números hasta el 1.000, así como cuestiones vinculadas con el orden, la lectura y la escritura. Una vez más estos conocimientos funcionan como soporte para el despliegue de estrategias de cálculo. La calculadora es una herramienta que permite dilucidar algunas de estas cuestiones. Estas relaciones permiten, en páginas siguientes, volver en mejores condiciones sobre el estudio de un conjunto de problemas de suma y resta de diferentes sentidos en contextos variados. Los recursos de cálculo mental, la selección de información presentada en diferentes contextos y formatos (como tablas, cuadros) y la toma de decisiones sobre los cálculos a realizar son los motivos de trabajo de los problemas de las páginas siguientes. A su vez se busca que los alumnos comiencen a reconocer que algunos resultados de sumas y restas que pueden estar disponibles son fértiles para resolver otros cálculos. Las últimas páginas de esta parte tienen el propósito de iniciar a los niños en el estudio de la multiplicación, aunque aún no se pretende instalar el uso de notaciones convencionales (cuestión que se abordará en la parte siguiente). Se espera entonces que los alumnos desplieguen recursos variados para la resolución de problemas que involucran series proporcionales. Se tiene la misma intención con los problemas que proponen repartos y particiones para los que no se espera que los alumnos utilicen la estrategia “experta” de la cuenta de dividir, sino diversos recursos, como contar, dibujar, sumar, restar, dibujar alternando con números, etcétera. Figuras geométricas Con los problemas de esta parte la intención es que los alumnos identifiquen algunas características de las figuras, como cantidad de lados, lados iguales y distintos, líneas

Números y operaciones III Esta parte se inicia con una colección de problemas con los que se intenta que los niños puedan analizar el valor que tienen las cifras según la posición que ocupan en una escritura numérica. El contexto del dinero resulta un buen soporte para realizar esta tarea. Se continúa con otra colección de problemas que retoma la suma pero en este caso con la finalidad de distinguir aquellos en los que los mismos números se repiten de aquellos en los que se suman números distintos. Las cantidades elegidas para estos problemas favorecen la utilización de estrategias de cálculo mental. Este trabajo se constituirá en punto de apoyo para avanzar en el estudio de la multiplicación. El valor posicional de las cifras vuelve a tratarse, pero, en este caso, apoyado en el uso de la calculadora, explorando cómo se “transforman” las cifras a partir de sumar o restar ciertas cantidades. Luego se proponen problemas para trabajar sobre el cálculo estimativo. La estimación permite anticipar cuánto darán aproximadamente los cálculos y resulta útil para controlar luego si son posibles o no los resultados obtenidos por medio de otras estrategias. El contexto del dinero vuelve a proponerse como una fuente de apoyo para pensar sobre los cálculos y los aspectos recursivos del sistema de numeración, en el camino hacia el estudio de algunos procedimientos algorítmicos para la suma y la resta, cuestión que se propicia en las páginas siguientes. Una nueva mirada sobre problemas que involucran el cálculo estimativo de sumas y restas pero con números más grandes permitirá avanzar sobre las estrategias y el control de los resultados obtenidos. En las páginas siguientes se propone comparar diferentes estrategias posibles para resolver una misma resta. El análisis planteado busca que los alumnos reflexionen sobre el funcionamiento de los procedimientos de resolución y, a la vez, identifiquen la existencia de distintas maneras de abordar un mismo cálculo. Este trabajo se profundiza apelando también aquí al contexto del dinero, que habilita una aproximación a las descomposiciones propias de algunos algoritmos para restar. Posteriormente se retoman problemas del campo multiplicativo con la finalidad de discutir las diferentes formas de registrar los cálculos, y se instala el uso del símbolo de la multiplicación. Se avanza también en la diferenciación entre problemas multiplicativos y problemas aditivos.

que dividen la figura, figuras adentro de otras, etc. Para ello se presentan diferentes tipos de situaciones. Las primeras se vinculan con la posibilidad de identificar una figura entre otras a partir de preguntas y respuestas sobre sus características. En otros casos el desafío consiste en “armar” figuras a partir del plegado de papeles. Esta tarea demanda anticipar el efecto de cada pliegue, de manera que, al desplegar el papel, se visualice la figura solicitada. Otro tipo de desafío lo promueve el copiado de figuras, en este caso, en papel cuadriculado. El análisis de los motivos por los que se logra la copia se relaciona con algunas propiedades que caracterizan la figura en cuestión. Esta parte finaliza con problemas que vuelven a demandar la explicitación de ciertas características de figuras a partir de su descripción. En todos estos problemas es esperable que los alumnos tengan ciertas dificultades para explicitar las relaciones que tuvieron en cuenta. Parte del trabajo posterior a cada tanda de problemas involucra la posibilidad de incorporar cierto vocabulario, de manera de ir avanzando en la caracterización de las figuras.

Esta parte ﬁnaliza con problemas nuevos de reparto y partición retomando lo trabajado en la segunda parte. Se espera que los niños desplieguen diversos recursos: contar, dibujar, sumar, restar y ahora también multiplicar, pero no se propone la utilización del símbolo de la división ni de “cuentas de dividir”.

Cuerpos geométricos Con estas páginas se busca que los alumnos identifiquen diferentes características de los cuerpos geométricos. Algunas situaciones apuntan a que los niños tomen conciencia de propiedades sobre las que no suelen prestar particular atención, propiedades provisoriamente “no tan visibles”, y que las puedan poner en palabras. Para abordar esta cuestión, se presentan algunos problemas en torno a juegos de adivinación o de pistas, que exigen aportar o analizar ciertas características para determinar de qué cuerpo se trata, o qué características permiten identificar un cuerpo específico. Otros problemas avanzan sobre las particularidades de las caras de los cuerpos a partir de la necesidad de cubrirlos con figuras. Se trata de que los alumnos identifiquen qué figuras son pertinentes y cuántas son necesarias. Luego se proponen problemas que involucran tratar con las aristas y los vértices, imaginando o construyendo el “esqueleto” de algunos cuerpos. Esta clase de problemas apunta a que los alumnos empiecen a considerar la cantidad y la variedad de elementos de ciertos cuerpos geométricos. Números y operaciones IV Esta parte se inicia con problemas de suma y resta que involucran sentidos más complejos de los que los niños resolvieron en las partes anteriores. Se apunta a la discusión sobre la diversidad de formas de resolución, ya que es probable que los alumnos no reconozcan de inmediato la suma o la resta en estos sentidos nuevos. Posteriormente se retoman los recursos de cálculo de suma y resta, apuntando a que convivan y se combinen cálculos mentales, estimativos, con calculadora y algorítmicos, según los números en juego. En páginas siguientes se avanza con la multiplicación, con la finalidad de sistematizar la búsqueda de resultados de multiplicaciones. La organización en tablas y cuadros permite analizar algunas características de estos cálculos. Si bien los problemas propuestos habilitan el uso de sumas, conteo, multiplicaciones, cálculo de dobles o triples, etc., se propicia fundamentalmente el análisis y la comparación de las estrategias que permitan establecer relaciones entre tablas. En páginas siguientes se avanza en el uso de diferentes recursos de cálculo y el análisis de la conveniencia de elegir uno u otro, según los números involucrados. El cálculo estimativo será un recurso que podrá usarse como medio de anticipación y control de resultados obtenidos mediante cálculos mentales o algorítmicos. Se continúa con problemas que apuntan a ampliar el repertorio disponible de resultados de cálculos multiplicativos por parte de los alumnos, recuperando el trabajo con dobles y mitades de números “redondos”. A su vez se proponen otros problemas multiplicativos con sentidos nuevos: los que involucran organizaciones rectangulares en términos de “filas y columnas”, y los que involucran establecer la cantidad de elementos que resulta de combinar colecciones. Al ser un nuevo tipo de problemas, es esperable que los niños vuelvan a utilizar estrategias más diversificadas, como dibujar, hacer cuadros, diagramas, flechas o marcas, listar todas las combinaciones, hacer sumas sucesivas. Se propone como

Medida El trabajo se inicia con la medida a partir de diferentes problemas que apuntan a que los niños reflexionen sobre la necesidad de utilizar instrumentos diversos según qué atributos se quieren medir (longitud, capacidad, peso). Se promueve que los alumnos puedan tener la experiencia de medir efectivamente longitudes, capacidades y pesos con los instrumentos de medición de uso social, como reglas, metros, balanzas, etc. Aprender a medir significa apropiarse de una multiplicidad de conocimientos muy diversos; por ejemplo, determinar si es suficiente con una estimación o si es necesario realizar una medición efectiva para tener una medida más ajustada, determinar con qué unidad es conveniente medir y con cuál expresar el resultado de una medida, qué instrumento es más pertinente utilizar, etc. Muchos de los problemas propuestos demandan empezar a considerar estas cuestiones. Luego se propone centrar la atención en el uso de la regla como instrumento de medición, y en la identificación del centímetro como unidad de medida. Otros problemas buscan avanzar hacia el establecimiento del metro como unidad de medida y las relaciones entre el centímetro y el metro. Será interesante que los alumnos tengan oportunidades de medir efectivamente con la regla diferentes objetos antes o en forma simultánea con los problemas de estas páginas. Estas unidades de medida estarán también al servicio de resolver problemas que demanden estimaciones. Un trabajo similar se propone en torno a las medidas de peso y capacidad utilizando algunas unidades de uso social habitual e introduciendo cuartos y medios. Por último se presenta una colección de problemas que apuntan a la circulación en la clase de los conocimientos sobre minutos, horas y días.

XII

parte del trabajo avanzar en el reconocimiento de la multiplicación como una operación pertinente para la resolución de estos problemas. Posteriormente se propone un análisis acerca de la posibilidad de recurrir a cálculos “conocidos” para buscar el resultado de otros “desconocidos”, así como la idea de que un mismo cálculo permite resolver distintos problemas. Otras páginas tienen como objetivo iniciar a los alumnos en el análisis de algunas regularidades de la multiplicación por la unidad seguida de ceros. No se espera que el docente enseñe que “se agregan ceros”, sino que los alumnos exploren, por medio del cálculo mental, algunas relaciones numéricas y construyan un repertorio de cálculos más amplio. Se presenta un nuevo tipo de problemas con ﬁnes exploratorios: los que involucran números de mayor cantidad de cifras. Será interesante que los alumnos trabajen en pequeños grupos y puedan entablar discusiones en torno de las ideas que vayan teniendo sobre esta porción de la serie numérica que aún no dominan. Se presenta información sobre la escritura y el nombre de algunos números en particular, de modo que puedan apoyarse en esta información y establecer relaciones como “si se dice parecido, se escribe parecido”, y viceversa. También se proponen problemas para comparar números de distinta cantidad de cifras, con la intención de que los alumnos pongan en juego conocimientos como “si tiene más cifras es más grande”, que les permiten ordenarlos aun si no conocen el nombre de los números ni la cantidad que representan. Esta parte ﬁnaliza con una colección de problemas de reparto y partición para que los alumnos resuelvan por medio de los diversos recursos con los que cuentan hasta el momento, ya que no se espera que utilicen el símbolo ni los cálculos para dividir. También se podrá promover la relación con el trabajo realizado sobre repertorios multiplicativos.

3. Índice de contenidos NÚMEROS Y OPERACIONES I Numeración. Uso social de los números. Exploración de la diversidad de funciones.. . . . . . . . . . 6-7 Numeración. Lectura, escritura y orden de números hasta el 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-9 Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta por medio de procedimientos diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11 Numeración. Regularidades de la serie escrita de números hasta el 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta por medio de procedimientos diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Operaciones. Repertorio de sumas y restas. Utilización de cálculos conocidos para resolver otros.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15 Operaciones. Problemas de suma y resta de diversos sentidos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Operaciones. Uso de la calculadora para verificar el resultado de cálculos y resolver problemas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Numeración. Serie numérica del 100 al 200. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Numeración. Regularidades de los números hasta el 1.000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-21 Operaciones. Utilización de cálculos conocidos para resolver otros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ESPACIO Espacio. Análisis de las representaciones de objetos desde distintos puntos de vista.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26-27 Espacio. Interpretación y producción de planos para comunicar posiciones y trayectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28-30 NÚMEROS Y OPERACIONES II Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta por medio de procedimientos diversos y análisis de enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta por medio de procedimientos diversos e invención de problemas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Numeración. Orden de los números hasta el 1.000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36-37

Operaciones y sistema de numeración. Ampliación y sistematización del repertorio de sumas y restas. Utilización de cálculos conocidos para resolver otros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta que presentan los datos en contextos variados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Numeración. Regularidades de los números hasta el 1.000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40-41 Operaciones. Selección de recursos de cálculo más convenientes en función de los números involucrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42-43 Operaciones. Problemas de suma y resta de diversos sentidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44-45 Numeración. Serie numérica hasta el 1.000. Lectura y escritura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Operaciones y numeración. Cálculos mentales de sumas y restas. Uso de la calculadora para verificar resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Operaciones. Resolución de problemas de suma y resta que exigen interpretar información organizada en tablas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Operaciones. Utilización de cálculos conocidos para resolver otros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Operaciones. Resolución de problemas que involucran series proporcionales por medio de diversos procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50-51 Operaciones. Resolución de problemas de partición y de reparto equitativo y no equitativo por medio de diversos procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 FIGURAS GEOMÉTRICAS Geometría. Análisis de algunas características de figuras geométricas. . . . . . . . . . . 56-57 Geometría. Identificación de relaciones entre figuras geométricas a partir de actividades de plegado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58-59 Geometría. Reproducción de figuras geométricas a partir del análisis de sus características. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60-61 Geometría. Descripción de figuras a partir de algunas de sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

XIII

CUERPOS GEOMÉTRICOS Geometría. Identificación de un cuerpo a partir de sus propiedades geométricas. . . . . . . . . . 88-89 Geometría. Establecimiento de relaciones entre diversas figuras y las caras de algunos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90-91 Geometría. Reproducción de cuerpos geométricos a partir del análisis de vértices y aristas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92-93 Geometría. Caracterización de cuerpos geométricos en función de sus elementos y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

XIV

Números y operaciones IV Operaciones. Problemas de suma y resta de sentidos diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 Operaciones. Estrategias de cálculo de suma y resta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 Operaciones. Estrategias de cálculo. Análisis de algoritmos de la suma y la resta. . . . . . .102 Operaciones. Problemas de suma y resta de sentidos diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 Operaciones. Iniciación en la construcción de un repertorio multiplicativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104-105 Operaciones. Análisis de la conveniencia de diferentes estrategias de cálculo según los números involucrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 Operaciones. Ampliación del repertorio de cálculos multiplicativos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Operaciones. Problemas multiplicativos de organizaciones rectangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 Operaciones. Problemas de series proporcionales, de organizaciones rectangulares y de partición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 Operaciones. Resolución de problemas multiplicativos de combinatoria por medio de diferentes procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110-111 Operaciones. Multiplicación por la unidad seguida de ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 Operaciones. Multiplicación por múltiplos de la unidad seguida de ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 Numeración. Exploración de regularidades y relaciones entre las series numéricas oral y escrita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114-115 Operaciones. Resolución de problemas de reparto y partición por medio de diversos procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 MEDIDA Medida. Unidades e instrumentos de medición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120-121 Medida. Uso de la regla. El centímetro como unidad de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 Medida. El metro como unidad de medida. Relaciones entre metro y centímetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 Medida. Estimación de medidas de longitud. . . . .124 Medida. Medidas de peso y capacidad. Utilización de medios y cuartos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 Medida. Medidas de tiempo. Horas y minutos. . . . . . .126

NÚMEROS Y OPERACIONES III Numeración. Análisis del valor posicional en el contexto del dinero.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66-67 Operaciones. Resolución de problemas de suma y de series proporcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68-69 Numeración. Análisis del valor posicional en el contexto de la calculadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70-71 Operaciones. Estrategias de cálculo estimativo de sumas y restas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Numeración y operaciones. Análisis de diferentes descomposiciones aditivas para resolver cálculos de suma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73-74 Operaciones. Exploración del funcionamiento de un algoritmo para sumar. . . . . . . 75 Numeración. Análisis del valor posicional. . . . . . . . . . . . . 76 Operaciones. Estrategias de cálculo estimativo de sumas y restas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Numeración y operaciones. Análisis de diferentes descomposiciones aditivas para resolver cálculos de resta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78-79 Operaciones. Exploración del funcionamiento de un algoritmo para restar. . . . . . . . 80 Operaciones. Problemas de series proporcionales. Utilización del símbolo de la multiplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Operaciones. Escrituras aditivas y multiplicativas para problemas de series proporcionales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Operaciones. Problemas de series proporcionales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Operaciones. Resolución de problemas de reparto y partición por medio de diversos procedimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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