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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Momento
de masa de una varilla
rectilínea
Considérense n partículas alineadas cuyas masas están representadas por m,{i = 1,2, ..., n). Oriéntese la recta que contiene a las partículas, fijese sobre ella un origen O y asígnense abscisas a cada punto de esta recta. Se denomina momento de masa del sistema de n partículas respecto a O a la suma n i M = L mixi, i= 1 donde Xi es la abscisa de la i-ésima partícula. En el caso de una varilla no homogénea se toma una partición P = {a = Xo< < Xl < ...< Xn = b}. La parte comprendida en el intervalo [Xi-l, xJ se toma como una partícula localizada en un punto ~i E [Xi-l, Xi]. En este punto, la masa aproximada de esta partícula es P(~J(Xi -Xi-l)
(véase Secoanterior). Así pues, en este caso, n L [P(~J(Xi -Xi-l)], i= 1
es aproximadamente igual al momento de masa del conjunto de las partículas que se han considerado; si tomamos el límite de esta última suma cuando ~ p-. O, se obtendrá entonces lo que se llama el momento de masa de la varilla, o sea, n M = lím L XiP(~J ~Xi; AP-+o i=1
esto es, M = fab xp(x)dx,
dada una continuidad de p.
Centro de masa de una varilla Si se considera de nuevo un sistema de partículas alineadas, el centro de masa de ese sistema es el punto Cw, tal que el momento de masa del sistema respecto a cualquier punto O, es igual al producto de la masa total y la abscisa X, respecto a este origen O, del punto Cw. Para el caso de la varilla ejemplificado