EJERCICIOS
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Sea 2 ~ i ~ n. Entonces n! (n -i)!i!
1 n(n -1) '-=.-= ni
.(n -(i
-1»
1
i!
1 n n -1 -i!n n
ni
n -(i '"
~ 1) n
1
<-i!
De donde
(
)
1 "
1 +n
1
1
1
~2+-+-+"'+~=2+--+ 2! 3!
1 1 <2+-+-+"'+-=2+ 2 2.2
1
1
1 +...+<
n!
1.2
1.2.3
1.2'
n
(1/2 1/2 -1/2" ) =2+ (1-- 1 ) <3 2"-1
1 2"-1
Es decir, 3 es también cota superior del conjunto
{(1
+~)"lnEN}
De la definición de supremo se sigue que e ~ 3.
EJERCICIOS 7.1
En los incisos siguientes,calcúlenselos logaritmos indicados, usando estasaproximaCIones. log 2 = 0.6931, log 3 = 1.0986,log 10 = 2.3025. a) log 4 d) log 9
b) log 15 e) log 12
c) log 8 f) log J3O
g) logi j) log !fi25
h) log %
i) log 0.25
7.2 Sean a, b E~, a, b > O. Pruébese que para todo x e y reales se cumplen las igualdades siguientes,conocidas como leyes de los exponentes. aX
a) ax+Y=aXaY
b) aX-Y=-
c) (aX)Y= aXY= (aY)X e) (a/b)X= ax/bx
d) (a. b)X= axbx
aY
7.3 Con la notación del ejercicio anterior, pruébeseque si x > O,entonces a < b si, y sólo si, aX< bX. Pruébese también que si a > 1, entonces x < y si, y sólo si, aX< bY.