500 matemática resolvidas

r = x - 21 e r = 55 - x (numa Progressão Aritmética, a razão é sempre dada pela diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor!)

76 = 38 Agora, é só IGUALAR as duas equações: x - 21 = 55 - x ⇒ 2.x = 55 + 21 ⇒ 2.x = 76 ⇒ x = 2 Resposta: letra e.

376) Uma torneira, trabalhando sozinha, enche um tanque em 3 horas. Outra torneira, também trabalhando sozinha, enche o mesmo tanque em 6 horas. Um ralo esvazia o tanque em 12 horas.

Com as duas torneiras mais o ralo, abertos ao mesmo tempo, o tanque ficará cheio em: a) 2 h e 40 min b) 5 h c) 7 h e 30 min d) 3 h e) 2 h e 24 min Solução: Devemos utilizar aqui o “Método da Redução à Unidade”. Iremos “resumi-lo” da seguinte maneira: “O somatório dos INVERSOS dos tempos individuais é igual ao inverso do tempo conjunto”.

1 1 1 1 Assim: (tirando-se o MMC de ambos os membros da equação) ⇒ + − = 3 6 12 x 4 x + 2x − x 12 , que resulta em: = 12x 12x 12 = 2,4 h . Novamente lançamos aqui o ALERTA para a conversão de fração de hora 5x = 12 ⇒ x = 5 em minutos. Observe que 2,4 h NÃO É 2 h e 40 minutos!!! A fração 0,4 h corresponde a 24 minutos (faça uma regrinha de três e comprove!).

Resposta: letra e.

377) Numa biblioteca, cada pessoa presente cumprimentou todas as outras, havendo, ao todo, 105 apertos de mão. Quantas pessoas havia na biblioteca? a) 21. b) 10 c) 15 d) 35 e) impossível.

Solução: Vamos indicar duas formas de resolver o problema: 1) Se tivermos “x” pessoas na biblioteca, cada uma das “x” pessoas irá apertar a mão de outras “(x 1)” pessoas. O destaque na palavra “cada” não foi por acaso: as palavras “CADA” e “DE” em matemática significam MULTIPLICAÇÃO. Desse modo, deveremos realizar o produto x.(x - 1).

Entretanto, são necessárias DUAS pessoas para UM aperto de mão. O produto que realizamos está contando o DOBRO dos apertos de mão realizados. Disto tudo, então, irá resultar: x.( x − 1) = 105 ⇒ x2 − x − 210 = 0 . As raízes são: 15 e -14. A resposta negativa obviamente não 2 serve! Então o resultado é: 15 pessoas.

2) Como segunda solução, basta pensarmos que, se a cada duas pessoas resulta um aperto de mão, deveremos COMBINÁ-LAS duas a duas para ter a solução do problema: n!

Desenvolvendo o fatorial do numerador, teremos: = 105 .

Cn,2 = 2 !× (n − 2)! n × (n − 1) × (n − 2)! = 210 . Simplificando, vem: n. (n - 1) = 210 (que resulta numa equação do (n − 2)! segundo grau idêntica à da solução 1).

Resposta: letra c.

378) Uma lata cilíndrica com 10 cm de diâmetro e altura de 13 cm contém um líquido que ocupa 2/3 de sua capacidade. O volume de líquido que a lata contém, em mililitros, é aproximadamente igual a: a) 680 b) 740 c) 1.020 d) 1.085 e) 1.205 Solução: A equivalência entre a medida de volume e capacidade é: 1 dm3 = 1 litro. O problema solicitou o cálculo em mililitros! Convertendo as unidades: 10 cm = 1 dm; 13 cm = 1,3 dm.

Calculando o volume da lata: V = π . r2 . h ⇒ V = π . 0,52 . 1,3 = 1,0205 dm3 ou 1,0205 litros, ou ainda: 2 1020,5 mililitros. Mas apenas 2/3 desse volume está na lata, ou .1020,5 = 680 mililitros, 3 aproximadamente.

Resposta: letra a.

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