Quesiti 2005 commentati e risolti by CISIA Redazione Web

IL TEST DI AMMISSIONE ALLE FACOLTÀ DI INGEGNERIA

TUTTI I QUESITI COMMENTATI E RISOLTI

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Contiene i quesiti del 2005

IL TEST DI AMMISSIONE ALLE FACOLTÀ DI INGEGNERIA

TUTTI I QUESITI COMMENTATI E RISOLTI Contiene i quesiti del 2005

Presentazione Il CISIA, sorto nel 2005 come Centro Interuniversitario per l’accesso alle Scuole di Ingegneria e Architettura, è attualmente un Consorzio Interuniversitario che ha esteso la propria sfera d’azione e si occupa sia della predisposizione che dell’attuazione delle prove di ammissione a diverse facoltà delle Università Italiane. Le Scuole di Ingegneria e Architettura continuano comunque ad essere i soggetti di preminente interesse del Consorzio ed un grande numero delle Facoltà di Ingegneria italiane si rivolgono al CISIA per organizzare il test di ammissione. Il Test CISIA, come prova di ingresso nelle Facoltà di Ingegneria, è adottato dai corsi di laurea triennale ad accesso libero; vuole integrare l’esame di diploma di istruzione media superiore, ma non sostituirsi ad esso. Nella maggioranza dei casi la prova ha finalità solo orientative e si inserisce nelle iniziative che le diverse università attuano per l’orientamento in ingresso; solo per alcuni corsi di laurea a numero programmato, dove le domande di iscrizione superano i posti disponibili, il Test è usato in modo selettivo. I risultati conseguiti nel Test possono servire agli studenti per decidere se affrontare o meno una facoltà di ingegneria, ma attualmente servono anche agli Atenei per ottemperare al dettato della legge che prescrive di verificare la presenza di eventuali carenze formative, e di fornire, agli studenti che ne abbiano, gli strumenti necessari per colmarle. Per questo gli Atenei, nei loro regolamenti, indicano il tipo di carenze ed, in genere, definiscono gli Obblighi Formativi Aggiuntivi (OFA) che gli studenti, se carenti, debbono soddisfare. Si tenga presente che in proposito la legge è severa ed impone agli studenti con carenze di colmarle entro il primo anno di studi universitari. È ovvio che l’informazione fornita mediante il test di ammissione, con l’eventuale attribuzione degli OFA, è vitale per gli studenti carenti; non viene impedito loro di immatricolarsi, ma se gravati da OFA avranno un carico didattico piuttosto forte che, per i più deboli di loro, potrebbe risultare eccessivo. Nel caso dei corsi di laurea per i quali gli Atenei hanno imposto il numero programmato, il Test ha valore di concorso di ammissione. Tuttavia, non entrare in graduatoria in posizione utile di solito non impedisce l’immatricolazione nella Facoltà, nel senso che l’immatricolazione è in genere comunque concessa per altri corsi di laurea non troppo dissimili, ma per i quali non sia stabilita nessuna quota massima di immatricolati. Ogni Università o Politecnico, che partecipa al Test CISIA, pubblica i risultati ottenuti dagli studenti che hanno svolto la prova presso le sue sedi. Si tenga presente che, poiché la prova di ammissione per Ingegneria è identica e simultanea sul territorio nazionale, il Test ha valore nazionale non solo dal punto di vista culturale, ma anche da quello amministrativo: al momento dell’iscrizione in uno degli atenei partecipanti alla prova CISIA, lo studente potrà presentare il risultato che ha ottenuto nella sede in cui ha sostenuto la prova. Ovviamente il trasferimento del risultato non è consentito per iscriversi ad un corso di laurea a numero programmato. Questo piccolo volume si propone di offrire un utile riferimento agli studenti intenzionati ad affrontare il Test di Ammissione alle Facoltà di Ingegneria, in modo che sappiano che cosa ci si aspetta da loro ed acquisiscano un minimo di dimestichezza con il tipo di quesiti che troveranno nella prova. Il volume si apre con una breve descrizione delle caratteristiche del Test CISIA in cui vengono illustrate le sezioni in cui è articolata la prova, tipo e numero dei quesiti e tempo a disposizione per affrontarli. Le conoscenze richieste di Matematica e Scienze Fisiche e Chimiche sono dettagliate in appositi sillabi. Vi sono inoltre indicati i tipi di punteggio in cui sono espressi i risultati del Test. A queste prime informazioni, segue una importantissima sezione dedicata alla affidabilità ed alla capacità predittiva del Test che dovrebbe essere letta con molta attenzione, soprattutto dagli studenti che affronteranno la prova di ingresso. Si tratta per loro di comprendere che il risultato

conseguito nel Test è un indicatore statistico fortemente correlato alla futura carriera universitaria; in questo senso potranno trarne utili indicazioni sul grado di impegno a cui sono chiamati per evitare difficoltà e delusioni. Il volume riporta poi interamente un test con tutte le sezioni e tutti i loro quesiti; si tratta del test effettivamente predisposto dal CISIA ed erogato nella prova dell’anno 2005, così come fu presentato ai circa 22 000 candidati che in quell’anno lo affrontarono. In questo modo coloro che intendono cimentarsi nell’intero test, o in una o alcune delle cinque sezioni, potranno farlo secono il tempo prescritto senza essere interrotti o distratti dalla presenza di soluzioni e commenti. Infine il volume riporta l’intero test 2005 risolto e commentato. Ciascuna sezione viene preceduta da una breve introduzione dove, dopo alcune considerazioni di carattere generale, viene fornita la distribuzione statistica dei punteggi ottenuti in quella specifica sezione dai candidati nella prova del 2005. Ciò permette al lettore, che tenti di svolgere i quesiti nel tempo assegnato, di capire dove si sarebbe eventualmente collocato acquisendo un certo punteggio. Insieme ai quesiti vengono presentate le rispettive soluzioni, ciascuna con un relativo commento esplicativo da parte di un esperto. Alla conclusione del commento, relativamente ai candidati della prova del 2005, sono riportate, in termini statistici, le percentuali ottenute da ciascuna delle cinque risposte proposte per il quesito in oggetto, ed infine le percentuali dei candidati che hanno risposto correttamente al quesito o non hanno dato nessuna risposta o hanno risposto in modo errato. Si tratta di dati utili per avere indicazioni sulla difficoltà incontrata nel rispondere al quesito. In proposito, per interpretare correttamente i dati statistici, non si deve dimenticare che i candidati hanno avuto a disposizione per ciascuna sezione trenta minuti, e non di più, ed il tempo, quanto la difficoltà dei quesiti, sono elementi parimenti determinanti nello svolgimento della prova. Gli esperti che hanno curato questo libretto sono professori dell’università o della scuola media superiore che hanno fatto, o continuano a far parte, di gruppi di lavoro a cui è affidata la formulazione dei quesiti. I loro commenti non indicano banalmente la risposta esatta ad ogni quesito, ma spiegano perché quella risposta è esatta e perché ciascuna delle altre è sbagliata. Queste spiegazioni nel loro complesso offrono ai lettori delle linee guida per imparare ad affrontare quesiti a risposte multiple chiuse che, come per il passato, sicuramente ancora negli anni a venire caratterizzeranno la prova CISIA. prof. Claudio Casarosa Direttore del CISIA

Indice Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TEST CISIA

La struttura del test . . . . . . . . . . . Come Ă¨ espresso il risultato del test . . . I sillabi . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematica 1 e 2 . . . . . . . . . Scienze fisiche e chimiche . . . . Prova di ingresso e carriera universitaria

. . . . . .

TEST CISIA â&#x20AC;&#x201C; Versione originale

5 6 7 7 7 8

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il test commentato Logica . . . . . . . . . . . Comprensione verbale . . Matematica 1 . . . . . . . Scienze fisiche e chimiche Matematica 2 . . . . . . . Conclusione . . . . . . . .

41 . . . . . .

. . . . . .

. 43 . 66 . . 81 . 98 . 120 . 130

Parte prima

TEST CISIA

La struttura del test La prova di ingresso per corsi di laurea triennale delle Facoltà di Ingegneria si fonda su un test con caratteristiche che sono praticamente immutate dall’anno 2002 Il test consiste in una serie di quesiti (o esercizi) da affrontare con il metodo della scelta fra cinque risposte chiuse proposte per ogni quesito. Delle cinque risposte una sola è esatta, generalmente una è stravagante o assurda o impossibile, e le altre tre sono errate, ma plausibili. Il Test complessivamente risulta composto da 80 quesiti da affrontare in 2 ore e 30 minuti. La struttura del Test è basata sulla suddivisione dei quesiti in più sezioni tematiche. Le sezioni sono presentate in successione secondo un ordine preciso e debbono essere tassativamente affrontate in tale ordine. Il tempo concesso per affrontare ciascuna sezione è prestabilito e controllato; scaduto il tempo concesso per rispondere ai quesiti della sezione, si deve obbligatoriamente passare alla sezione successiva. Non è permesso in nessun caso tornare indietro alle sezioni precedenti, né si può passare alla sezione successiva prima che il tempo prestabilito sia trascorso. Le sezioni del Test CISIA in cui sono suddivisi i quesiti sono cinque e si succedono nell’ordine riportato qui di seguito. Logica La sezione serve per esaminare le capacità logiche degli studenti; la logica in quanto tale non è materia di studio nelle scuole secondarie, ma si suppone che, alla fine di un percorso formativo lungo tredici anni, i diplomati siano del tutto in grado di sviluppare ragionamenti non contradditori. I quesiti riguardano sia successioni di numeri e/o di figure, disposte secondo ordinamenti da individuare, sia proposizioni seguite da varie affermazioni di cui una soltanto logicamente deducibile dalle premesse contenute nella proposizione di partenza La sezione è composta da 15 quesiti, con 30 minuti concessi per lo svolgimento. Comprensione verbale Questa sezione, invece, serve per controllare la capacità di comprensione dello studente attraverso la lettura di tre brani scritti. I testi, di livello parauniversitario, sono di tipo divulgativo; prevalentemente riguardano argomenti di storia della scienza, di filosofia della scienza, di sociologia. Generalmente non implicano nessuna nozione pregressa, ed, anzi, si chiede agli studenti di rispondere in base a ciò che è scritto nel testo, prescindendo da eventuali informazioni che lo studente possa già avere acquisito precedentemente. Per la sezione il tempo concesso è di 30 minuti, con 5 quesiti per ciascuno dei tre brani per complessivi 15 quesiti. Matematica 1 Questa prima sezione di matematica serve prevalentemente per accertare il possesso delle conoscenze di base di matematica; queste conoscenze sono quelle che sono sviluppate in tutte le scuole primarie e secondarie inferiori e in quasi tutte le scuole secondarie superiori, escludendo le conoscenze di analisi matematica che solitamente vengono impartite nell’ultimo anno dei Licei Scientifici. In particolare sono richieste le nozioni fondamentali di Matematica riportate successivamente nel sillabo della pagina 7. La sezione è costituita da 20 quesiti con un tempo di svolgimento di 30 minuti. Scienze fisiche e chimiche La sezione, la cui importanza non può sfuggire in vista di una possibile immatricolazione in una facoltà di ingegneria, serve a verificare le conoscenze e le competenze acquisite in Chimica e in Fisica secondo i programmi svolti in molte scuole secondarie superiori. È vero che la Fisica e la Chimica verranno riprese nei primi anni delle facoltà di Ingegneria, ma arrivare ai corsi universitari di queste materie senza nessuna preparazione può essere molto controproducente. Ne segue che se la Chimica e/o la Fisica non vengono sviluppate in una qualche scuola, il cui diploma di maturità consente, però, l’accesso alla facoltà di Ingegneria, i diplomati in queste scuole faranno molto bene a prepararsi per affrontare questa sezione del test. In particolare sono richieste le nozioni di Fisica e Chimica 5

riportate successivamente nel sillabo della pagina 7. La sezione è costituita da 20 quesiti con un tempo di svolgimento di 30 minuti. Matematica 2 Questa seconda sezione di matematica serve per verificare le competenze matematiche o, in altri termini, la capacità di usare le nozioni di matematica che si possiedono. Non sempre possedere le conoscenze di matematica, implica saperle usare nell’affrontare problemi effettivi, e perciò questa sezione si propone appunto di verificare questa abilità. Naturalmente le nozioni matematiche di cui si vuole sondare la capacità d’uso sono quelle fondamentali verificate nella precedente sezione di Matematica 1. La sezione è costituita da 10 quesiti con un tempo di svolgimento di 30 minuti.

Come è espresso il risultato del test Il risultato ottenuto da un candidato è basato sul numero di risposte esatte, errate e non date che egli ha conseguito in ogni sezione e nel complesso dell’intero test. Questa informazione è la più elementare possibile e, partendo da questa, le diverse sedi universitarie possono poi attribuire punteggi sia secondo propri criteri sia secondo criteri condivisi. Per questo motivo, nel caso in cui lo studente voglia iscriversi in una sede diversa da quella in cui ha sostenuto la prova, il risultato espresso in termini di numero di risposte esatte, errate e non date per ogni sezione è quello che potrà essere sempre trasferito da sede a sede senza equivoci. Un criterio adottato dal CISIA, e generalmente usato da molte sedi, è quello in cui la valutazione del risultato ottenuto dai candidati è fatta in modalità assoluta. In questa modalità l’individuazione della risposta esatta comporta l’attribuzione di 1 punto, mentre per una risposta sbagliata è attribuito un punteggio di −1/4 di punto, ed infine, per i quesiti a cui non si è data alcuna risposta, non è assegnato alcun punteggio o penalizzazione di sorta. Questo sistema di punteggio in termini statistici neutralizza i punti ottenibili scegliendo, in modo del tutto casuale, una tra le cinque risposte proposte per ciascun quesito e rispondendo poi a caso a tutti i quesiti. Il sistema di punteggio adottato fornisce in modo diretto un valore numerico (con segno) da assumere come punteggio, e per il quale è opportuno distinguere tra: Punteggio di Sezione o Parziale: è la somma algebrica dei punteggi dei quesiti di quella sezione; Punteggio Test o Totale: è la somma algebrica dei punteggi dei quesiti dell’intero Test. Il Punteggio è una grandezza sintetica del tutto espressiva dal punto di vista statistico, soprattutto in caso di popolazioni sufficientemente numerose, ma non è utilizzabile quando invece si desidera assegnare ai candidati una valutazione quanto più possibile insensibile alle inevitabili variazioni di difficoltà che il test presenta per popolazioni di sedi diverse, o di anni diversi. Per questo scopo, presso molte sedi universitarie, si ricorre ad una valutazione fatta in modalità relativa che si traduce in un valore numerico, il Voto Normalizzato, espresso in centesimi o talvolta in millesimi. In questo tipo di elaborazione si usano sostanzialmente gli stessi metodi usati per il GRE (General Requirement Examination) svolto da ETS (Educational Testing Service), prestigioso ente statunitense che ha istituito questo genere di test psicometrici. Come per il punteggio, è opportuno distinguere tra: Voto di Sezione o Parziale: ottenuto rapportando il Punteggio Parziale a quello medio dei migliori punteggi della sezione, in genere i migliori dieci; Voto Test o Totale: ottenuto dalla media pesata dei voti normalizzati di ogni sezione. 6

Esiste infine una ulteriore grandezza, tradizionalmente usata in alcune sedi per stabilire una graduatoria tra i partecipanti al Test di Ingegneria. Essa è nota come Indice Attitudinale ed è ottenuta come media pesata del Voto Test (normalizzato) e del Voto di Maturità riportato nell’esame di Diploma di Istruzione Superiore. Sulla base di studi statistici effettuati in alcune sedi universitarie, i pesi del Voto Test e dell’Esame di Maturità sono quasi unanimemente assunti identici ed uguali a 0,5.

I sillabi Con sillabo (o, latineggiando, syllabus) si intende il programma dettagliato di un insegnamento. In questo caso i sillabi indicati indicano su che cosa verteranno i quesiti di ogni sezione. I quesiti di Logica e di Comprensione verbale sono volti a saggiare le attitudini dei candidati piuttosto che accertare acquisizioni raggiunte negli studi superiori. Esse non richiedono, quindi, una specifica preparazione preliminare.

Matematica 1 e 2 Aritmetica ed algebra Proprietà e operazioni sui numeri (interi, razionali, reali). Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi ed esponenziali. Calcolo letterale. Polinomi (operazioni, decomposizione in fattori). Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado o ad esse riducibili. Sistemi di equazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni razionali fratte e con radicali. Geometria Segmenti ed angoli; loro misura e proprietà. Rette e piani. Luoghi geometrici notevoli. Proprietà delle principali figure geometriche piane (triangoli, circonferenze, cerchi, poligoni regolari, ecc.) e relative lunghezze ed aree. Proprietà delle principali figure geometriche solide (sfere, coni, cilindri, prismi, parallelepipedi, piramidi, ecc.) e relativi volumi ed aree della superficie. Geometria analitica e funzioni numeriche Coordinate cartesiane. Il concetto di funzione. Equazioni di rette e di semplici luoghi geometrici (circonferenze, ellissi, parabole, iperboli, ecc.). Grafici e proprietà delle funzioni elementari (potenze, logaritmi, esponenziali, ecc.). Calcoli con l’uso dei logaritmi. Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Trigonometria Grafici e proprietà delle funzioni seno, coseno e tangente. Le principali formule trigonometriche (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione). Equazioni e disequazioni trigonometriche. Relazioni fra elementi di un triangolo.

Scienze fisiche e chimiche Meccanica Si presuppone la conoscenza delle grandezze scalari e vettoriali, del concetto di misura di una grandezza fisica e di sistema di unità di misura; la definizione di grandezze fisiche fondamentali (spostamento, velocità, accelerazione, massa, quantità di moto, forza, peso, lavoro e potenza); la conoscenza della legge d’inerzia, della legge di Newton e del principio di azione e reazione. Ottica I principi dell’ottica geometrica; riflessione, rifrazione; indice di rifrazione; prismi; specchi e lenti concave e convesse; nozioni elementari sui sistemi di lenti e degli apparecchi che ne fanno uso. 7

Termodinamica Si danno per noti i concetti di temperatura, calore, calore specifico, dilatazione dei corpi e l’equazione di stato dei gas perfetti. Sono richieste nozioni elementari sui principi della termodinamica. Elettromagnetismo Si presuppone la conoscenza di nozioni elementari d’elettrostatica (legge di Coulomb, campo elettrostatico e condensatori) e di magnetostatica (intensità di corrente, legge di Ampère, legge di Ohm e campo magnetostatico). Qualche nozione elementare è poi richiesta in merito alle radiazioni elettromagnetiche e alla loro propagazione. Struttura della materia Si richiede una conoscenza qualitativa della struttura di atomi e molecole. In particolare si assumono note nozioni elementari sui costituenti dell’atomo e sulla tavola periodica degli elementi. Inoltre si assume nota la distinzione tra composti formati da ioni e quelli costituiti da molecole e la conoscenza delle relative caratteristiche fisiche, in particolare dei composti più comuni esistenti in natura, quali l’acqua e i costituenti dell’atmosfera. Simbologia chimica Si assume la conoscenza della simbologia chimica e si dà per conosciuto il significato delle formule e delle equazioni chimiche. Stechiometria Deve essere noto il concetto di mole e devono essere note le sue applicazioni; si assume la capacità di svolgere semplici calcoli stechiometrici. Chimica organica Deve essere nota la struttura dei più semplici composti del carbonio. Soluzioni Deve essere nota la definizione di sistemi acido–base e di pH. Ossido–riduzione Deve essere posseduto il concetto di ossidazione e di riduzione. Si assumono nozioni elementari sulle reazioni di combustione.

Prova di ingresso e carriera universitaria Il Test CISIA per l’accesso alle Facoltà di Ingegneria si è rivelato nel tempo uno strumento di oggettiva affidabilità statistica. Anche se non è sostenibile che una singola prova, basata su quesiti a risposta multipla, sia sufficiente per sondare le capacità intellettive di ordine superiore di un essere umano, è tuttavia assodato che su un grande numero di studenti essa possa fornire indicazioni statisticamente attendibili sulle attitudini per specifici studi come quelli di ingegneria. In altre parole il Test, pur grossolano per sua natura, risulta uno strumento di orientamento del tutto valido e coloro che, appena conseguito il diploma di maturità, si trovano a scegliere fra le numerose facoltà universitarie, possono utilizzarlo per valutare in modo più consapevole se immatricolarsi o meno nelle facoltà di Ingegneria, e comunque per trarne indicazioni sull’intensità dell’impegno che dovranno profondere negli studi per evitare difficoltà e delusioni. Allo scopo è sufficiente che essi tengano presente la capacità predittiva del Test, ovvero come la graduatoria formulata sulla base dei risultati ottenuti sia statisticamente correlabile alla successiva carriera universitaria dei partecipanti alla prova. La capacità predittiva del Test è fondata sul monitoraggio delle carriere effettuato in alcune sedi universitarie, a cui fanno seguito studi statistici sulla correlazione esistente tra carriere universitarie degli studenti e risultato da loro ottenuto nel test. Dal momento che, in conformità all’attuale ordinamento degli studi, esistono differenze rilevanti non solo tra i diversi corsi di laurea in ingegneria, ma anche tra corsi di laurea in ingegneria di identica denominazione appartenenti ad Atenei diversi, è preferibile condurre analisi statistiche distinte per le sedi universitarie, onde evitare rilevanti disomogeneità nei dati da analizzare. Ciò nonostante il monitoraggio delle carriere 8

Figura 1: Suddivisione in decili conferma l’esistenza di una indubbia correlazione statistica con i risultati del test, ed inoltre gli studi di questo tipo, condotti in diverse sedi universitarie, sono tutti concordanti nel confermare una tale correlazione. Per evidenziare la correlazione tra Test e carriera, si opera con la procedura schematizzata nella figura 1. Sulla base dei risultati nel Test è stilata una graduatoria dei partecipanti poi suddivisa in gruppi (quantili) di uguale numerosità; quando sono 10 o 20 si parla rispettivamente di decili o ventili. I gruppi sono numerati in genere in ordine crescente con i risultati, per esempio al primo decile corrispondono i risultati più bassi, al decimo decile quelli più alti. La posizione dello studente è statisticamente identificata dalla appartenenza ad un gruppo, per esempio al primo decile o al secondo e cosi via. Nel corso degli anni viene seguita la carriera accademica degli allievi che dopo la prova di ammissione si iscrivono alla facoltà di ingegneria, rilevando per ciascuno di essi la sequenza degli esami sostenuti e i voti conseguiti. L’analisi statistica di questi dati mostra una indubbia correlazione fra gruppo di appartenenza (per esempio il numero del decile) e il profitto riportato dall’allievo nel corso degli studi, espresso come media dei voti, progressione nell’acquisizione dei crediti, ed eventuale punteggio di laurea. Per dare concretezza a queste affermazioni sarà illustrato qui di seguito uno studio riguardante coloro che, dopo aver partecipato nel 2005 al Test CISIA presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università di Pisa, si sono iscritti a quella facoltà nell’anno accademico 2005-2006; i dati delle loro carriere coprono quattro anni accademici, ovvero il periodo tra l’anno di iscrizione e lo scorso 2009. Si tratta di 904 studenti iscritti su i 1137 che hanno effettivamente partecipato al test del settembre 2005. Il risultato della prova in termini di distribuzione percentuale dei candidati sul Punteggio Test ottenuto è riportato nella figura 2 dove ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Test compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. Naturalmente, poiché i punteggi indicati in ascisse sono quelli che derivano dall’attribuzione di un punto per ogni risposta giusta e di −0,25 punti per ogni risposta errata, teoricamente essi potrebbero variare tra −20

Figura 2: Distribuzione dei punteggi del test 2005 a Pisa e +80 punti. In realtà si hanno minime percentuali di candidati che ottengono punteggi complessivi negativi e praticamente nessuno totalizza punteggi inferiori a −5. A partire dal Punteggio Test ottenuto dai circa 900 immatricolati è stata formata una graduatoria e quindi si è operata una suddivisione in decili, ciascuno mediamente costituito da 90 studenti, ordinandoli in modo crescente secondo il rispettivo valore medio del Punteggio Test. Nella figura 3 sono riportati per ogni decile i rispettivi valori medi del Punteggio Test e le distribuzioni percentuali sia degli studenti laureati entro l’anno 2009, sia di coloro che alla medesima data hanno abbandonato gli studi o comunque non hanno sostenuto alcun esame. Premesso che il tempo legale per conseguire il primo livello di laurea è di tre anni, la figura mostra che, dopo quattro anni di studi, i laureati sono in massima parte studenti che nella prova di ammissione si erano classificati nei quattro decili più alti; più precisamente su 100 laureati oltre 64 appartengono a questi decili.

Figura 3: Carriera degli studenti a Pisa in base al decile di appartenenza 10

Figura 4: Voti medi e crediti medi superati in quattro anni daglli studenti immatricolati a Pisa nel 2005 Viceversa gli studenti che non hanno sostenuto esami o hanno abbandonato gli studi appartengono per la maggior parte ai quattro decili più bassi: su 100 “abbandoni” 68 provengono da questi decili. I dati relativi all’acquisizione di crediti formativi, ed alla media dei voti ottenuti negli esami durante i quattro anni di studio, sono riportati nella figura 4 e confermano le indicazioni precedenti. Da osservare che in termini di crediti acquisiti la differenza tra i decili alti e quelli bassi è molto notevole e, dal momento che un intero anno di studi ammonta a 60 crediti complessivi, gli studenti del decile più basso si trovano dopo quattro anni dall’iscrizione a circa la metà degli studi che avrebbero dovuto compiere in tre, con una media dei voti ottenuti negli esami di profitto intorno ai 22 trentesimi. Ammesso che si possa procedere per per proporzionalità diretta, se quegli studenti mediamente hanno superato 80 crediti in 4 anni, occorreranno loro 9 anni per terminare il triennio; la prospettiva è “terrificante”! In conclusione, grazie alla sua predittività, il Test CISIA non presenta tanto le caratteristiche di una “prova a soglia”, quanto mostra la capacità di discriminare gli studenti in modo del tutto rispondente ad un’efficace azione di orientamento. La prova di ammissione, limitatamente alla sola finalità orientativa, ha un suo oggettivo valore intrinseco, sul quale tutti coloro che intendono seguire gli studi in ingegneria sono invitati a riflettere attentamente. Una volta affrontata la prova, si dovrebbe meditare con molta attenzione sul risultato conseguito, specialmente se esso si colloca nella parte più bassa della graduatoria. L’iscrizione dello studente alla facoltà di ingegneria in questo caso dovrà essere accompagnata dalla consapevolezza che gli sono richiesti uno sforzo ed un impegno senza i quali il successo negli studi è altamente improbabile. Lo studente è comunque invitato a non dimenticare che le analisi statistiche, per loro natura, prescindono dalle singole individualità e che quindi il suo risultato potrebbe essere influenzato dalle condizioni e dal modo in cui egli ha affrontato la prova: nessuno può essere miglior giudice di se stesso sulla attendibilità del risultato che ha conseguito.

Parte seconda

TEST CISIA 1o settembre 2005 Versione originale

Premessa Nelle pagine seguenti è interamente riportato il Test erogato nella prova del 1 settembre 2005. Si è scelto di riprodurne fedelmente la forma di stampa, ma si è fatta eccezione per la colorazione delle pagine che nell’originale contraddistingue le diverse sezioni tematiche e che svolge solo un ruolo di controllo visivo per le commissioni che in aula sovraintendono al corretto svolgimento della prova. La riproduzione della prova tal quale, senza che alla fine di ogni quesito sia segnalata la sua soluzione o sia introdotto un qualche commento sulle nozioni coinvolte, permette al lettore che lo voglia di cimentarsi nella soluzione di una o più sezioni tematiche, ed eventualmente di affrontare l’intero test. Naturalmente, nel caso che sia soltanto la curiosità a spingere il lettore a una tale impresa, non è necessario seguire particolari regole nello svolgimento dell’esercizio. Viceversa, qualora il lettore voglia attuare una simulazione realistica di una prova di accesso alla facoltà di ingegneria, deve ricordare che tanto il tempo assegnato per rispondere, quanto la diversa difficoltà che presentano i quesiti, hanno entrambi una influenza determinante sul risultato ottenuto dai partecipanti alla prova reale. È dunque essenziale che sia rispettato rigorosamente, per ogni sezione, il tempo assegnato (trenta minuti) per rispondere ai quesiti. In questo modo, mediante la consultazione delle soluzioni riportate nell’ultima parte del volume, sarà possibile assumere come verosimile il risultato raggiunto nella simulazione in termini di risposte corrette, errate e non date. Il numero delle risposte corrette, errate e non date potrà poi essere tradotto facilmente dal lettore in un suo Punteggio Test che, mediante l’uso di un diagramma quale quello della figura 3, indicherà approssimativamente a quale decile egli sarebbe appartenuto se avesse partecipato nel 2005 alla prova, in questo caso, nella sede universitaria di Pisa. Ne trarrà infine la informazione statistica più importante su quale avrebbe potuto verosimilmente essere la sua successiva carriera universitaria.

LOGICA 1.

Giocando a Risiko Giulio Cesare ha vinto più di suo nipote Augusto, ma non di Napoleone. Alessandro Magno ha vinto meno di Carlo Magno, ma più di Napoleone. Chi ha vinto di meno? A. B. C. D. E.

Carlo Magno Alessandro Magno Napoleone Augusto Giulio Cesare

Il tenente Piccione, nel corso delle sue indagini su un assassinio, ha appurato questi due fatti: • se X ha accoltellato la vittima, allora X è mancino; • se Y ha accoltellato la vittima, allora Y è l’assassino. Quale di queste deduzioni è corretta? A. Il commissario Piccione accerta che il signor Bianchi non è mancino e ne deduce che non è l’assassino B. L’assassino ha accoltellato la vittima C. Il commissario Piccione accerta che il signor Rossi è mancino e ne deduce che è l’assassino D. Il commissario Piccione accerta che il signor Bianchi non è mancino e ne deduce che non ha accoltellato la vittima E. Il commissario Piccione accerta che il signor Rossi è mancino e ne deduce che ha accoltellato la vittima

Il Re non rispettò il consiglio del Gran Ciambellano di opporsi alla celebrazione del matrimonio della Principessa dal Collo di Cigno con il rospo che amava, qualora i giovani insistessero per celebrare il rito nella Basilica di Superga. Le principesse, almeno quelle delle favole, seguono la volontà paterna. Che cosa ne deducete? A. La principessa ed il rospo potranno sposarsi, se lo desidereranno, nella Basilica di Superga B. La principessa ed il rospo non si sposeranno C. La principessa ed il rospo potranno sposarsi, ma non nella Basilica di Superga D. I dati del problema non autorizzano a concludere la veridicità di alcuna delle interpretazioni proposte E. La principessa ed il rospo si sposeranno necessariamente nella Basilica di Superga

La frase Sul tavolo ci sono due bicchieri implica che sul tavolo

A. ci sono due bicchieri e una bottiglia B. non ci sono bottiglie C. ci sono due bicchieri e due tazzine da caffè D. c’è un bicchiere E. non ci sono tre bicchieri Quesito N. 1 5. Quale dei quadrati numerati da 1 a 5 sostituisce correttamente il riquadro contenente il Quale figura la sequenza ? punto completa interrogativo? 9

A. B. C. D. E.

A. 1 2 B. 3 C. 4 D. 5 E.

Il quadrato 5 Il quadrato 3 Il quadrato 1 Il quadrato 2 Il quadrato 4

144

100

Per numerare le pagine di un libro sono state usate in totale 3301 cifre. Le pagine del libro sono: A. B. C. D. E.

tra 1500 e 2000 tra 2000 e 3000 meno di 1000 più di 3000 tra 1000 e 1500

Si legge sull’autobus I passeggeri sono tenuti a pagare un ulteriore biglietto per ogni bagaglio che superi le seguenti dimensioni: 50 cm × 30 cm × 25 cm. Chi legge comprende che, in base a questa norma, si debba pagare un ulteriore biglietto per un oggetto di qualunque forma che occupi uno spazio il cui volume è superiore a quello occupato dal bagaglio sopra descritto. Egli deduce quindi che: A. si deve pagare un biglietto per un pallone del diametro di 20 cm B. si deve pagare un biglietto per un bastone lungo 90 cm e con il diametro di 2 cm se tenuto orizzontalmente C. si deve pagare un biglietto per un bastone lungo 90 cm e con il diametro di 2 cm D. si deve pagare un biglietto per un oggetto che supera 50 cm di lunghezza oppure 30 cm di altezza oppure 25 cm di spessore E. si deve pagare un biglietto per un oggetto che supera 50 cm di lunghezza e 30 cm di altezza e 25 cm di spessore

Indicare quanti numeri diversi si possono ottenere da somme algebriche di questo tipo ±1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 utilizzando tutte le cifre da 1 a 5 e al variare di tutte le possibili scelte dei segni + o − (ad esempio: −1 − 2 + 3 + 4 + 5, 1 + 2 − 3 + 4 + 5, . . . ). A. B. C. D. E.

20 24 31 16 32

Quesito N. 4 9. figura Quale completa delle figure Quale la numerate sequenza da ? 1 a 5 sostituisce correttamente il riquadro contenente il punto interrogativo? 15 9

144

12 4

4 8

6 3

4 8

6 3

120 66

A. B. C. D. E.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

10.

Il ministro dell’economia di Matlandia afferma:

6 6

18 12

6 6

La figura 2 La figura 3 La figura 4 La figura 5 La figura 1

Se il bilancio non sarà tagliato, allora nel prossimo anno 2006 i prezzi rimarranno stabili se e soltanto se aumenteremo tutte le tasse Ammessa l’assoluta verità di questa affermazione e fondandosi solo su di essa, che cosa può essere accaduto a Matlandia nel 2006? A. B. C. D. E.

Il bilancio non fu tagliato; tutte le tasse furono aumentate e i prezzi rimasero stabili Il bilancio non fu tagliato; tutte le tasse furono aumentate e i prezzi crebbero Il bilancio non fu tagliato; le tasse non furono aumentate e i prezzi rimasero stabili Il bilancio non fu tagliato; furono aumentate le tasse solo sugli stipendi degli impiegati dello Stato e i prezzi rimasero stabili Il bilancio non fu tagliato, e i prezzi crebbero comunque

11.

Quale fra le seguenti affermazioni è sicuramente falsa? A. Chi respira è vivo. Piero non respira, dunque Piero è morto B. Nessun parigino è italiano; tutti i parigini parlano francese; ma non è vero che nessun italiano parla francese. C. Un quadrato è sempre un rombo D. Ciò che è scritto in A. è falso E. Ogni professore ha un registro. Mario non ha registro, dunque Mario non è professore

12.

Al termine di una seduta di allenamento della Nazionale, Totti e Buffon fanno la seguente scommessa: Totti tirerà 12 rigori e Buffon cercherà di pararli. Per ogni rigore parato Totti darà 50 euro a Buffon mentre per ogni rigore segnato Buffon darà 40 euro a Totti. Dopo di ciò viene eseguita la serie di rigori al termine della quale Totti deve ricevere da Buffon 120 euro. Quanti rigori ha parato Buffon? A. B. C. D. E.

13.

9 5 6 4 12

Una famosa congettura afferma che i numeri primi q tali che q + 2 è un numero primo sono infiniti. Confutare questa affermazione equivale a provare che A. per ogni intero positivo n e per ogni numero primo q con q > n il numero q + 2 non è primo B. esistono un intero positivo n e un numero primo q con q > n tali che il numero q + 2 non è primo C. per ogni intero positivo n esiste un numero primo q con q > n tale che il numero q + 2 non è primo D. esiste un intero positivo n tale che, qualunque sia il numero primo q con q > n, il numero q + 2 non è primo E. esiste un intero positivo n tale che, per ogni numero (primo e non primo) m con m > n, il numero m + 2 non è primo

14.

Considero una tabella quadrata formata da 4 numeri diversi e disposti in 2 righe ciascuna composta da 2 numeri: ! a b c d Siano: • r1 il più piccolo dei numeri della prima riga • r2 il più piccolo dei numeri della seconda riga • R il maggiore tra r1 ed r2 • K1 il più grande dei numeri della prima colonna • K2 il più grande dei numeri della seconda colonna • k il minore tra K1 e K2 Allora possiamo concludere che: A. B. C. D. E.

15.

R<k R=k R>k R≥k R≤k

Di una famiglia si sa che: • almeno un maschio non è celibe • tutti i laureati sono celibi • non è vero che almeno un maschio non è maggiorenne. Solo una delle seguenti proposizioni è deducibile dalle premesse. Quale? A. B. C. D. E.

Nessun maggiorenne non è coniugato Tutti i celibi sono laureati Almeno un maggiorenne è coniugato Almeno un celibe non è maggiorenne Almeno un maggiorenne non è coniugato

COMPRENSIONE VERBALE

ISTRUZIONI

In questa prova vengono presentati uno o più brani, tratti da vari testi; non è stata apportata alcuna modifica, se non l’eliminazione di riferimenti non essenziali; essi quindi rispecchiano lo stile personale del loro autore e del periodo storico in cui egli visse. Ciascuno dei brani presentati è seguito da cinque quesiti riguardanti il suo contenuto. Per ogni quesito sono previste cinque risposte differenti, contrassegnate con le lettere A, B, C, D, E. Per ogni quesito scegliete fra le cinque risposte o affermazioni quella che ritenete corretta in base soltanto a ciò che risulta esplicito o implicito nel brano, cioè solo in base a quanto si ricava dal brano e non in base a quanto eventualmente sapete già sull’argomento.

TESTO I

I buchi neri Gli effetti gravitazionali a densità maggiori di quella corrispondente ad una stella di neutroni] diventano così intensi da prevalere su tutto. La teoria gravitazionale newtoniana è allora del tutto inadeguata a trattare il problema e dobbiamo rivolgerci alla teoria della relatività generale di Einstein. Nel fare ciò siamo portati ad un modello così strano che in confronto persino una stella di neutroni sembra una banalità. Questo nuovo modello presentato originariamente da Oppenheimer e Hartland Snyder ha meritato l’appellativo di “buco nero”. Un buco nero è una regione dello spazio entro cui è “caduta” una stella (o un insieme di stelle o di altri corpi) e dal quale non può sfuggire né luce, né materia, né segnali di qualsiasi tipo. La teoria della relatività generale ha un importante ruolo nella teoria delle stelle di neutroni ancor prima che si raggiungano le condizioni limite del buco nero. La teoria è riuscita bene nella descrizione di stelle di dimensioni e densità enormemente diverse e quindi, da questo punto di vista, in pratica non ci dovrebbe essere motivo di dubitare della insignificante estrapolazione necessaria per comprendere anche il caso del buco nero. Tale opinione non è però del tutto giusta. La parte della fisica teorica su cui si basa la descrizione dettagliata di un buco nero, cioè la teoria della relatività generale, non ha avuto un ruolo insostituibile nell’astronomia osservazionale. Bisogna prendere seriamente in considerazione la possibilità che la teoria della relatività sia sbagliata. Le prove sperimentali della relatività generale portate a termine con successo non sono ancora molto numerose e, sebbene i dati sperimentali e la teoria non siano in contrasto, questi dati non convergono in modo conclusivo verso la relatività generale. Bisogna però dire che la teoria della relatività generale è un’ottima teoria; essa è quasi certamente la più soddisfacente teoria gravitazionale di cui possiamo disporre. Per di più la teoria scalare–tensoriale di Brans–Dicke–Jordan, che può essere considerata come la più seria rivale della teoria della relatività generale, porta alla stessa idea del buco nero che si ha dalla teoria di Einstein. Persino secondo la teoria newtoniana può generarsi una situazione simile a quella del buco nero. Gia nel 1798 Pierre Simon de Laplace aveva infatti previsto, proprio in base alla meccanica newtoniana, che un corpo di massa e concentrazione sufficienti sarebbe stato invisibile poiché la velocità di fuga alla sua superficie sarebbe superiore alla velocità della luce. Perciò un fotone, o una particella di luce, emessa radialmente sulla superficie ricadrebbe su questa stessa e non potrebbe quindi sfuggire e venire osservata a grande distanza. Dopo aver fatto queste osservazioni, restringerò comunque la discussione a considerazioni comprese tutte entro i limiti della teoria generale della relatività. Per cominciare esamineremo l’attuale modello standard di buco nero. Il buco nero è caratterizzato da una superficie sferica il cui raggio è proporzionale alla massa del buco. Questa superficie è detta “orizzonte assoluto dell’evento”; la proprietà che la definisce è che i segnali emessi all’interno non possono sfuggire, mentre da qualsiasi punto esterno ad essa i segnali possono essere emessi e sfuggire. Le dimensioni della sfera per ogni massa, cioè il raggio dell’orizzonte assoluto, si può calcolare moltiplicando il doppio della massa per la costante universale di gravitazione e dividendo il risultato per il quadrato della velocità della luce (2mG/c2 ). Facendo il calcolo per il Sole ne risulta che questo dovrebbe collassare in una sfera del diametro di 6,4 chilometri: l’orizzonte dell’evento assoluto sarebbe appunto la superficie di questa sfera di 6,4 chilometri. Il copro al cui collasso era dovuta l’esistenza del buco nero è sprofondato all’interno dell’orizzonte assoluto. Il campo è diventato così potente che la luce stessa viene attratta all’interno indipendentemente dalla direzione in cui è stata emessa. Fuori dall’orizzonte assoluto la luce, se diretta in modo appropriato verso l’esterno, può sfuggire. Quanto più il punto di emissione è vicino 21

all’orizzonte assoluto, tanto più il fronte d’onda del segnale emesso viene spostato all’indietro verso il centro del buco nero. Intuitivamente possiamo pensare a questo spostamento come dovuto all’effetto dell’attrazione gravitazionale sul moto della luce: la luce viaggia più facilmente in direzione del centro di gravità del buco nero che non verso l’esterno. All’interno dell’orizzonte assoluto dell’evento l’attrazione è diventata così intensa da rendere assolutamente impossibile il moto verso l’esterno. Sull’orizzonte stesso la luce può “segnare il tempo” mantenendosi per l’eternità sempre alla stessa distanza dal centro del buco.

QUESITI RELATIVI AL TESTO I

16.

Collassando nella condizione di buco nero, il Sole A. B. C. D. E.

17.

Da un buco nero la luce A. B. C. D. E.

18.

è proporzionale alla distanza dall’osservatore coincide con il limite della galassia di appartenenza è proporzionale alla massa coincide con il limite dell’universo è uguale per tutti i buchi neri

La teoria della relatività generale A. B. C. D. E.

20.

è più brillante sull’orizzonte assoluto esce con una velocità inferiore a 300 000 km/s viene emessa irregolarmente non viene emessa viene emessa a intervalli regolari

Il raggio dell’orizzonte assoluto A. B. C. D. E.

19.

diventerebbe più visibile perderebbe una parte della sua massa ridurrebbe le sue dimensioni perderebbe la sua gravità si dilaterebbe enormemente

ha avuto moltissime conferme sperimentali non riguarda le stelle di neutroni era già nota a Newton non è stata confermata da molte prove sperimentali non ha nulla a che fare con l’esperienza

L’esistenza di un buco nero A. B. C. D. E.

è affermata in base alla teoria della relatività generale è osservabile da un satellite artificiale era già nota dall’antichità è osservabile con un normale telescopio costituisce una ipotesi fantasiosa

TESTO II

Nazioni e stati La situazione venutasi a creare fra le due guerre ci fornisce pertanto l’opportunità piuttosto eccezionale di valutare limiti e potenziale del nazionalismo degli Stati–nazione. Tuttavia, prima di prenderli in esame, consideriamo brevemente il reale assetto del sistema Stati–nazione in cui fu fatta rientrare l’Europa dal trattato di Versailles e da quelli ad esso correlati; aggiungendovi, per pertinenza e convenienza, anche il trattato anglo–irlandese del 1921. E basta un rapido sguardo a questa realtà per rendersi immediatamente conto dell’impraticabilità del principio wilsoniano di far coincidere frontiere statali e frontiere di nazionalità e lingua. Infatti, i trattati di pace posteriori al 1918 applicarono effettivamente questo principio, almeno nella misura del possibile, salvo nel caso di alcune decisioni di tipo politico–strategico relative alle frontiere della Germania, più alcune concessioni piuttosto riluttanti all’espansionismo dell’Italia e della Polonia. In ogni caso, né in Europa né in qualsiasi altro luogo, è mai stato fatto, né prima né dopo, un analogo sistematico tentativo di ridisegnare la cartina politica sulla scorta dei tracciati nazionali. Solo che, molto semplicemente, la cosa non funzionò. Perché inevitabilmente, stante la distribuzione dei popoli, la maggior parte dei nuovi Stati edificati sulle rovine dei vecchi imperi risultarono altrettanto “multinazionali” delle vecchie “prigioni delle nazioni” che avevano sostituito. Rientrano in questa categoria Cecoslovacchia, Polonia, Romania, e Iugoslavia. Mentre le minoranze tedesche, slovene e croate dell’Italia vennero per così dire a prendere il posto delle minoranze italiane nell’Impero asburgico. Così il cambiamento più rilevante consistette nel fatto che gli Stati erano adesso mediamente più piccoli e che i “popoli oppressi” al loro interno, adesso li si chiamava “minoranze oppresse”. La conseguenza del tentativo di creare un continente armoniosamente suddiviso in un sistema coerente di Stati territoriali, ciascuno abitato da popolazioni omogenee e con caratteristiche proprie sul piano etnico e linguistico, fu l’espulsione in massa e lo sterminio delle minoranze. Questa, in sostanza, fu la crudele reductio ad absurdum del nazionalismo nella sua versione territorialistica, sebbene non se ne sia avuta completa dimostrazione sino agli anni 1940. Tuttavia, ai confini meridionali d’Europa, l’espulsione in massa e il genocidio cominciarono già durante e subito dopo la prima Guerra Mondiale: non appena i Turchi inaugurarono la politica di estirpazione in massa degli Armeni nel 1915 e, in seguito alla guerra greco–turca del 1922, espulsero tra il milione e trecentomila e il milione e mezzo di Greci dalle terre che abitavano dall’epoca di Omero. Successivamente, Adolf Hitler, applicando sino alle estreme conseguenze i principi del nazionalismo wilsoniano, pianificò il trasferimento in Germania dei Tedeschi che non vivevano all’interno dei confini della madrepatria, come per esempio quelli del Sudtirolo italiano, e, com’è noto, avviò alla soluzione finale l’eliminazione degli Ebrei. Dopo la seconda Guerra Mondiale, verificatasi in pratica la scomparsa degli Ebrei da quella vasta fascia di territorio europeo compresa fra la Francia e l’interno dell’Unione Sovietica, venne il turno dei Tedeschi ad essere espulsi in massa, in particolare dalla Polonia e dalla Cecoslovacchia. Così, la nazione territorialmente omogenea risultò un programma la cui realizzazione poteva essere opera esclusivamente di barbari o, se non altro, avvenire solo con gli strumenti della barbarie.

QUESITI RELATIVI AL TESTO II

21.

Gli stati nazionali usciti dalla conferenza di Versailles A. B. C. D. E.

22.

Il principio wilsoniano postulava A. B. C. D. E.

23.

univano alla Germania considerevoli minoranze riunivano nella Germania tutte le popolazioni tedesche stabilivano una riunione perpetua tra Germania e Austria rispettavano perfettamente il principio nazionale infrangevano il principio nazionale per ragioni politico–militari

L’eliminazione degli Ebrei A. B. C. D. E.

25.

organizzazioni federali come negli USA organismi rappresentativi delle singole nazionalità stati multinazionali coincidenza fra frontiere statali e nazionalità confini statali indipendenti dalla nazionalità

Nel caso della Germania i trattati di pace A. B. C. D. E.

24.

rispecchiavano gli interessi delle nazioni vinte erano del tutto indifferenti ai valori nazionali erano in realtà plurinazionali garantivano gli interessi di ogni gruppo nazionale realizzavano perfettamente il principio wilsoniano

nacque da una interpretazione razzista della nazionalità non si estese oltre la Germania non ebbe legami con il totalitarismo non fu dovuta a questioni politiche è una conseguenza automatica del principio nazionale

Negli stati nazionali A. B. C. D. E.

le minoranze erano tutelate e protette la lingua delle minoranze era tutelata nessun individuo era discriminato le minoranze erano oppresse ogni gruppo nazionale aveva pari diritti

TESTO III

Induzione e falsificazione Il criterio di demarcazione inerente alla logica induttiva — cioè il dogma positivistico del significato — è equivalente alla richiesta che tutte le asserzioni della scienza empirica (ovvero tutte le asserzioni “significanti”) debbano essere passibili di una decisione conclusiva riguardo alla loro verità e falsità; diremo che devono essere decidibili in modo conclusivo. Ciò significa che la loro forma deve essere tale che sia il verificarle sia il falsificarle debbano essere logicamente possibili. Così Schlick dice: “. . . un’asserzione autentica deve essere passibile di verificazione conclusiva”; e Waismann afferma ancor più chiaramente: “Se non è in alcun modo possibile determinare se un’asserzione è vera, allora l’asserzione non ha alcun significato. Infatti il significato di un’asserzione è il metodo della sua verificazione”. Ora, secondo me, non esiste nulla di simile all’induzione. È pertanto logicamente inammissibile l’inferenza da asserzioni singolari “verificate dall’esperienza” (qualunque cosa ciò possa significare) a teorie. Dunque le teorie non sono mai verificabili empiricamente. Se vogliamo evitare l’errore positivistico, consistente nell’eliminare per mezzo del nostro criterio di demarcazione i sistemi di teorie delle scienze della natura, dobbiamo scegliere un criterio che ci consenta di ammettere, nel dominio della scienza empirica, anche asserzioni che non possono essere verificate. Ma io ammetterò certamente come empirico, o scientifico, soltanto un sistema che possa essere controllato dall’esperienza. Queste considerazioni suggeriscono che, come criterio di demarcazione, non si deve prendere la verificabilità, ma la falsificabilità di un sistema. In altre parole: da un sistema scientifico non esigerò che sia capace di essere scelto, in senso positivo, una volta per tutte; ma esigerò che la sua forma logica sia tale che possa essere messo in evidenza, per mezzo di controlli empirici, in senso negativo; un sistema empirico deve poter essere confutato dall’esperienza. (Così l’asserzione “Domani pioverà o non pioverà” non sarà considerata un’asserzione empirica, semplicemente perché non può essere confutata, mentre l’asserzione “Qui domani pioverà” sarà considerata empirica). Contro il criterio di demarcazione che ho proposto qui si possono sollevare diverse obiezioni. In primo luogo può sembrare piuttosto sciocco il suggerire che la scienza, la quale dovrebbe darci informazioni positive, si debba caratterizzare dicendo che soddisfa un criterio negativo, come la confutabilità. Ancora: si potrebbe tentare di rivolgere contro me stesso le critiche che ho rivolto al criterio di demarcazione induttivistico: potrebbe infatti sembrare che contro la falsificabilità come criterio di demarcazione sia possibile sollevare critiche simili a quelle che io, per parte mia, ho sollevato contro la verificabilità. Questo attacco non può darmi noia. La mia proposta si basa su una asimmetria tra verificabilità e falsificabilità, asimmetria che risulta dalla forma logica delle asserzioni universali. Queste infatti non possono mai essere derivate da asserzioni singolari. Di conseguenza è possibile, per mezzo di inferenze puramente deduttive (con l’aiuto del modus tollens della logica classica), concludere dalla verità di asserzioni singolari alla falsità di asserzioni universali. Un tale ragionamento, che conclude alla falsità di asserzioni universali, è il solo tipo di inferenza strettamente deduttiva che proceda, per così dire, nella “direzione induttiva”; cioè da asserzioni singolari ad asserzioni universali.

QUESITI RELATIVI AL TESTO III

26.

Il vero criterio di demarcazione A. B. C. D. E.

27.

Il criterio di demarcazione serve per distinguere A. B. C. D. E.

28.

nella pretesa di passare da asserti particolari a teorie universali in una eccessiva fiducia nella logica nel trascurare la verificazione nell’accettare verità astratte nella negazione dell’esperienza

Da asserzioni particolari A. B. C. D. E.

30.

la scienza e la metafisica il particolare dall’universale verità e falsità le teorie scientifiche da quelle non scientifiche gli empiristi dai razionalisti

L’errore dell’induzione sta A. B. C. D. E.

29.

è la verificabilità empirica ha una base esclusivamente universale deriva da constatazioni particolari deriva da esperimenti ripetuti è la falsificabilità

si può per inferenza deduttiva stabilire la falsità di asserti universali non si possono conoscere nuovi fenomeni si può per inferenza induttiva convalidare una teoria si può costruire una nuova teoria non si possono ottenere informazioni

L’affermazione “domani pioverà o non pioverà” è infalsificabile perché A. B. C. D. E.

non ha basi attendibili è sicuramente falsa la meteorologia non è una scienza esatta la scienza non prevede fatti singoli è vera in ogni caso

MATEMATICA 1 31.

Rispetto a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy la distanza del punto di coordinate (−4,2) dalla retta di equazione x = 2 è: A. B. C. D. E.

32.

La scomposizione in fattori primi del numero 3013 è: A. B. C. D. E.

33.

−2 2 −6 6 4

215 · 312 · 713 213 · 313 · 513 3013 613 · 513 impossibile

Sia a un numero reale maggiore di 1. L’espressione numerica s √ a2 a loga a5/2 è uguale a: A. B. C. D. E.

34.

−1 a e 0 +1

Una squadra di operai deve asfaltare una piazzola circolare. Arrivata sul posto, scopre che la piazza ha diametro doppio del previsto. Quanto asfalto serve, rispetto a quello preventivato? A. B. C. D. E.

Non si può rispondere se non si conosce o il raggio previsto o quello effettivo Una quantità π2 volte quella prevista Il doppio Il quadruplo Una quantità 2π volte quella prevista 28

35.

Un motociclista accorto, in un suo viaggio di 600 km, fa uso anche della ruota di scorta, in maniera che alla fine del viaggio le tre ruote subiscano la stessa usura. Quanti chilometri avrà percorso ogni ruota alla fine del viaggio? A. B. C. D. E.

36.

Sia A l’insieme dei numeri interi positivi dispari o primi. Allora è vero che: A. B. C. D. E.

37.

350 km 400 km 450 km 500 km 200 km

12 ∈ A 98 ∈ A 13 < A 2∈A 3<A

Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy i punti del piano diversi dal punto (−1, 2) sono tutti e soli i punti (x,y) tali che: A. y , 2 B. xy , −2 C. x , −1 D. x , −1 oppure y , 2 E. x , −1 e y , 2

38.

Rispetto a un riferimento cartesiano ortogonale Oxy l’equazione dell’asse del segmento di estremi (0,0) e (2,2) è: A. x − y = 2 B. x = 1 C. y = x D. x + y = 2 E. y = 1

39.

Se a e b sono numeri reali tali che a2 + b2 = 0 allora si può concludere che certamente è: A. B. C. D. E.

a>b a b < −1 a+b=1 a+b=0 ab > 0

40.

La disequazione cos x + sin x ≥

√ 2 è verificata nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π per:

A. ogni x π B. x = − 4 C. almeno un valore di x tale che π/2 < x < π π D. x = 4 E. nessun x 41.

Rispetto a un √ sistema di √ riferimento cartesiano ortogonale Oxy, è data la circonferenza di equazione 3x2 + 3y2 − 2x − 2y = 0. Allora il suo raggio è: √ A. 2/3 B. 3 √ C. 3 D. 1 E. 2

42.

In un parallelogramma di perimetro 2p si ha che: A. B. C. D. E.

almeno una diagonale ha lunghezza pari a p ogni diagonale ha lunghezza minore di p ogni diagonale ha lunghezza maggiore di p la somma delle lunghezze delle diagonali è minore di p una diagonale ha lunghezza maggiore di p, l’altra minore di p

43.

Dato un esagono regolare di lato L, l’area del rettangolo che ha due lati coincidenti con due lati paralleli dell’esagono è uguale a: √ A. 2 2L2 √ 2 B. 3L C. quella del cerchio circoscritto all’esagono D. 2L2 E. quella del cerchio inscritto nell’esagono

44.

L’equazione

√ A. B. C. D. E.

x2 − x = 0 è verificata:

solo per x = −1 solo per x ≥ 0 solo per x = 0 solo per x = 1 per ogni valore reale di x

45.

Un numero razionale compreso fra A. B. C. D. E.

46.

√ √ 5 e 8 è:

2,52 1,98 3,01 √ √ 5 · 8 /2 √ √ 5 + 8 /2

L’espressione

π π 2 sin − cos 12 12

è anche uguale a: √ A. 1 − 3/2 B. 3/2 √ C. 1 − 2/2 D. 1/2 E. 1 47.

Una sfera è inscritta in un cubo; il rapporto fra il volume della sfera e quello del cubo è: A. B. C. D. E.

48.

Un triangolo equilatero è inscritto in una circonferenza; il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il perimetro del triangolo è: A. B. C. D. E.

49.

π/4 π/6 2π/3 4π/3 π/2

4π/3 π/3 √ 3π/2 √ 2 3π/9 √ 2π/ 3

L’equazione in campo reale x4 + 3x2 − 4 = 0 ha: A. B. C. D. E.

due soluzioni positive e nessuna soluzione negativa nessuna soluzione una soluzione positiva e una soluzione negativa due soluzioni negative e nessuna soluzione positiva due soluzioni positive e due soluzioni negative

50.

Lâ&#x20AC;&#x2122;equazione x2 â&#x2C6;&#x2019; 3|x| + 2 = 0 ha: A. B. C. D. E.

quattro soluzioni tre soluzioni due soluzioni una sola soluzione nessuna soluzione

SCIENZE 51.

Una particella si muove di moto circolare uniforme sotto l’azione di una forza centripeta. Volendo raddoppiare il raggio della traiettoria senza modificare il modulo della velocità occorre moltiplicare la forza per un fattore A. B. C. D. E.

52.

Gli atomi che costituiscono un solido: A. B. C. D. E.

53.

scorrono l’uno sull’altro ruotano con orbite fisse sono assolutamente immobili vibrano attorno alla loro posizione d’equilibrio si muovono di moto rettilineo uniforme

Due buste di plastica di massa trascurabile contengono ciascuna 15 mele e sono poste su di un tavolo ad una certa distanza. Se 10 mele vengono trasferite da una busta all’altra, la forza di attrazione gravitazionale tra le due buste: A. B. C. D. E.

54.

1 1/2 3 1/3 2

aumenta, divenendo i 5/3 di quella prima del trasferimento si riduce ai 5/9 di quella prima del trasferimento rimane invariata aumenta, divenendo i 3/2 di quella prima del trasferimento si riduce ai 2/5 di quella prima del trasferimento

L’impulso di una forza costante può essere calcolato come: A. B. C. D. E.

Il prodotto tra la forza e l’intervallo di tempo durante il quale essa agisce Il prodotto tra la forza e lo spazio percorso Il rapporto tra la forza e lo spazio percorso Il prodotto della forza per la velocità Il rapporto tra la forza e l’intervallo di tempo durante il quale essa agisce

55.

La quantità di moto di un pendolo oscillante: A. B. C. D. E.

56.

La legge oraria s(t) di un moto rettilineo, illustrata nel piano cartesiano Ots da un ramo di parabola con concavità verso l’alto, indica: A. B. C. D. E.

57.

da un numero di fasi dipendente dalla temperatura e dalla pressione da un numero di fasi dipendente dalla pressione da tante fasi quante sono le specie chimiche che la costituiscono da un numero di fasi variabile con la temperatura da una sola fase indipendentemente dal numero delle specie chimiche che la costituiscono

Una macchina termica, che lavora compiendo un ciclo tra due sorgenti, trasferisce alla sorgente più fredda un’energia pari a 3 volte il lavoro compiuto. Qual è l’efficienza della macchina? A. B. C. D. E.

59.

un moto ad accelerazione uniformemente crescente un moto con velocità costante un moto con velocità positiva un moto con spostamento positivo un moto ad accelerazione costante

Una soluzione è definita come un sistema costituito: A. B. C. D. E.

58.

è sempre diretta verso il punto di sospensione è massima in modulo nel punto più basso della traiettoria è sempre costante si conserva nel tempo costante in modulo, ma non in direzione

0,9 1,33 0,33 0,67 0,25

Un contenitore rigido contiene aria alla pressione atmosferica e alla temperatura di 27 ◦C. Viene scaldato finché la pressione dell’aria raddoppia. Quale temperatura ha raggiunto? A. B. C. D. E.

216 ◦C 54 ◦C 573 ◦C 327 ◦C non si può rispondere perché non è noto il volume iniziale

60.

La seguente reazione: As2 O3 + HCl → AsCl3 + H2 O, opportunamente bilanciata, si scrive: A. B. C. D. E.

61.

As2 O3 + 6HCl = 2AsCl3 + 3H2 O As2 O3 + 3HCl = AsCl3 + 3H2 O As2 O3 + HCl = 2AsCl3 + H2 O As2 O3 + 9HCl = 2AsCl3 + 5H2 O As2 O3 + HCl = AsCl3 + H2 O

Quale delle seguenti affermazioni è vera? La conducibilità termica di un materiale A. B. C. D. E.

62.

si può misurare in si può misurare in si può misurare in si può misurare in si può misurare in

Wm−2 K−1 Nm−1 K−1 Js−1 m−2 K−1 Wm−1 K−1 Ws−1 m−2 K−1

Un ingegnere afferma con orgoglio di avere costruito un motore termico che funziona fra le temperature di 200 ◦C e 50 ◦C con un rendimento di 0,35. Si può dire che: A. Il rendimento ottenuto è eccellente B. L’ingegnere non ha ragione di vantarsi perché con tali temperature disponibili il rendimento ottenuto è scarso C. Un tale motore non può esistere perché il rendimento dichiarato è al di sotto del minimo imposto dal II principio della termodinamica D. Un tale motore non può esistere perché il rendimento dichiarato è al di sopra del massimo consentito dal II principio della termodinamica E. Si tratta del valore di rendimento fissato obbligatoriamente per un motore termico avendo a disposizione le due temperature indicate

63.

Un circuito è costituito da una batteria da 36 V, un gruppo di due resistenze in parallelo da 6 Ω e da 3 Ω rispettivamente, una resistenza in serie di valore R sconosciuto. In queste condizioni la corrente circolante è 3 A. Assumendo che la resistenza interna della batteria sia trascurabile, il valore della resistenza R è: A. B. C. D. E.

10 Ω 2Ω 12 Ω 18 Ω 4Ω

64.

Un condensatore di capacità 100 µF è carico alla tensione di 2 kV; un induttore di induttanza 25 H è percorso da una corrente continua di 4 A. Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. L’energia accumulata nel condensatore è maggiore di quella accumulata nell’induttore B. Il confronto tra le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore non è possibile se non si conoscono le geometrie dell’induttore e del condensatore C. Le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore non sono confrontabili perché sono di natura diversa D. Le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore sono uguali E. L’energia accumulata nell’induttore è maggiore di quella accumulata nel condensatore

65.

Due conduttori, il primo di rame Cu (resistività % = 1,7 × 10−8 Ωm) ed il secondo di platino Pt (resistività % = 11,7 × 10−8 Ωm) hanno lunghezza uguale e sezione rispettivamente, 1 cm2 ed 8 cm2 . Quali delle seguenti affermazioni è corretta? A. B. C. D. E.

66.

la resistenza dei due conduttori è la stessa poiché hanno uguale lunghezza il conduttore in Cu ha minor resistenza perché ha minor sezione il conduttore in Pt ha resistenza minore perché la sua sezione è maggiore il conduttore in Pt ha resistenza minore perché il rapporto resistività/sezione è minore il conduttore in Cu ha minor resistenza perché ha minor resistività

Una quantità di carica Q viene depositata su un conduttore isolato costituito da una sfera piena dotata di una cavità sferica al suo interno. In condizioni statiche la carica si distribuirà: A. Sulle due superfici interna ed esterna, proporzionalmente alla loro superficie B. La carica non rimane sul conduttore ma viene immediatamente dispersa nell’atmosfera per effetto “corona” C. Uniformemente sulla superficie interna della cavità D. Uniformemente nel volume del metallo E. Uniformemente sulla superficie esterna della sfera

67.

Quale di questi fenomeni relativi alla propagazione ondulatoria non può essere messa in luce utilizzando onde sonore? A. B. C. D. E.

Rifrazione Interferenza Polarizzazione Riflessione Diffrazione

68.

Indicare come cambiano la velocità v e la lunghezza d’onda λ della luce quando questa passa dall’aria al vetro. A. B. C. D. E.

69.

Le macchie di olio nelle pozzanghere danno luogo a strisce colorate. Questo fenomeno è dovuto: A. B. C. D. E.

70.

v aumenta e λ aumenta v diminuisce e λ aumenta v aumenta e λ non cambia v aumenta e λ diminuisce v diminuisce e λ diminuisce

alla combinazione di interferenza e diffrazione alla differenza in riflettività tra acqua ed olio al fatto che il cielo diffonde tutti i colori e l’olio ne riflette solo alcuni all’interferenza tra le interfacce dello strato sottile di olio con l’acqua e l’aria alla diffrazione della luce

Un oggetto è posto a 60 cm da una lente convergente. L’immagine prodotta dalla lente è rovesciata e ha una dimensione pari alla metà dell’oggetto. Qual è la lunghezza focale della lente? A. B. C. D. E.

60 cm 45 cm 30 cm 20 cm 90 cm

MATEMATICA 2 71.

L’equazione cos2 x − cos x − 2 ≥ 0 è verificata per: A. nessun valore reale di x B. x = π + 2kπ per ogni k intero C. x = 2kπ per ogni k intero D. qualunque valore reale di x E. x = 3kπ per ogni k intero

72.

Un foglio di carta di forma quadrata viene piegato in due parti uguali in modo da formare due rettangoli sovrapposti. Sapendo che il perimetro del rettangolo è di 12 cm, qual è l’area del quadrato originario? A. B. C. D. E.

73.

Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, consideriamo i punti A = (1,0) e B = (0,2). Per quale scelta del punto C il triangolo ABC non è rettangolo? A. B. C. D. E.

74.

9 cm2 36 cm2 24 cm2 72 cm2 16 cm2

C C C C C

= (0, − 1/2) = (−1,0) = (1,2) = (−4,0) = (0,0)

L’equazione |x − 1| = 1 − |x| ha A. B. C. D. E.

esattamente due soluzioni esattamente tre soluzioni esattamente quattro soluzioni infinite soluzioni nessuna soluzione

√ 75.

Per quali x reali è verificata la disequazione

x2 − 1 > 2x ?

A. x ≥ −1 B. x ≤ −1 C. −1 < x < 1 D. per nessun x reale E. x ≥ 1 76.

Aldo, Bea, Carlo, Dario, Ebe, Franco vanno in treno e trovano uno scompartimento a sei posti libero. Considerando che Aldo e Bea devono stare vicino al finestrino, quanti modi diversi hanno i sei amici di disporsi nello scompartimento? A. B. C. D. E.

77.

48 4 240 8 10

In un paese in cui ogni cittadino è tenuto a pagare in tasse il 25% del proprio reddito, un anno l’aliquota viene abbassata al 20 %. Viene però contestualmente introdotta una tassa una tantum di 1000 € che ogni contribuente è tenuto a pagare. Si può dire che in quello stesso anno, in rapporto a questa operazione: A. i cittadini con un reddito superiore a 25 000 € hanno dovuto pagare un importo maggiorato di un quinto rispetto a quello che avrebbero dovuto pagare secondo le norme dell’anno precedente B. il peso fiscale è rimasto invariato per tutti C. solo i cittadini con un reddito superiore a 10 000 € sono stati avvantaggiati D. i cittadini con un reddito superiore a 25 000 € sono stati avvantaggiati E. solo i cittadini con un reddito inferiore a 20 000 € sono stati avvantaggiati

78.

Rispetto ad un riferimento cartesiano ortogonale Oxy del piano, l’equazione (x − 1)2 − y2 = 0 individua: A. B. C. D. E.

due rette incidenti una parabola due soli punti una circonferenza due rette parallele

79.

Una quantitĂ di liquido che riempie una sfera di raggio K viene travasata in cilindri aventi diametro di base K ed altezza K. Qual Ă¨ il numero minimo di cilindri che occorrono per compiere questa operazione? A. B. C. D. E.

80.

5 6 3 9 4

In un gruppo di 100 persone 51 parlano inglese, 36 francese, delle quali 12 sia inglese che francese. Quante di loro non parlano nĂŠ inglese nĂŠ francese? A. B. C. D. E.

49 15 29 13 25

Parte terza

Il test commentato

Premessa In questa parte è nuovamente riportato il Test erogato nella prova del 1o settembre 2005, ma, a differenza di quanto fatto in precedenza, ogni quesito è ora accompagnato da un breve commento e dalla sua soluzione. Ogni sezione tematica del test è preceduta da una introduzione che ne illustra in maniera sintetica le caratteristiche generali. Dopo aver ricordato, per la particolare sezione di cui si parla, sia il numero di quesiti che il tempo concesso per rispondere, viene riportato il risultato ottenuto in quella sezione dai circa 22 000 candidati che parteciparono alla prova del 1o settembre 2005. Il risultato è presentato sotto forma di diagramma a barre come distribuzione percentuale in cui ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale di sezione compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. L’informazione statistica in veste grafica consente una valutazione rapida, anche se approssimata, della difficoltà della sezione e, a chi abbia effettuato una simulazione del test, dà modo di individuare a quale segmento della popolazione avrebbe potuto appartenere avendo conseguito uno specifico Punteggio Parziale. Dopo l’introduzione vengono riportati i quesiti della sezione; per ognuno, per facilitarne la consultazione, viene di nuovo presentata la formulazione originale, e quindi viene data la soluzione accompagnata da un commento più o meno esteso, dove è spiegato perché una certa risposta è quella esatta e perché ciascuna delle altre è sbagliata. Una lettura attenta dei commenti è dunque caldamente raccomandata. Se ne possono trarre indicazioni metodologiche utili per affrontare il tipo di quesiti caratteristici del test. Infine a chiusura del quesito vengono forniti in forma percentuale i dati statistici che lo caratterizzano. In particolare quanti studenti hanno percentualmente dato risposte corrette o errate o non hanno dato alcuna risposta, inoltre per ognuna delle cinque risposte offerte viene dato la percentuale di studenti che l’hanno indicata come risposta esatta. Questi dati indicano ovviamente il grado di difficoltà presentata dal quesito e mostrano come gli errori commessi si siano distribuiti tra le risposte non corrette ed eventualmente quale errore sia dunque il più frequente, tutte informazioni di indubbio interesse per chi abbia scelto di attuare una simulazione realistica del test con lo scopo di avere indicazioni sulla propria preparazione. Alla conclusione dell’intero test commentato e risolto, quale informazione sintetica relativa all’intera prova, viene presentato il risultato ottenuto nel test complessivo dai circa 22 000 partecipanti alla prova del 1o settembre 2005. Anche in questo caso, come per ogni singola sezione, il risultato è presentato sotto forma di diagramma a barre. Per mezzo di questo diagramma chi abbia effettuato una simulazione del test ha modo di individuare a quale segmento della popolazione sarebbe appartenuto sulla base del Punteggio Test totale che ha totalizzato nella simulazione.

LOGICA Commenti e soluzioni a cura di Marco Pavone Introduzione I quesiti logici sono di diversa natura e non esiste un solo metodo per affrontarli. Nello stesso tempo, a seconda del genere di quesito, grafico, proposizionale, sequenziale, eccetera, l’approccio può essere genericamente quello dell’esclusione delle risposte sicuramente false, per poi concentrarsi su quelle che potrebbero essere vere. Talvolta invece è meglio concentrarsi sulla ricerca della risposta giusta, piuttosto che procedere per esclusione. Dipende dai quesiti e dalla loro formulazione. Questa sezione consiste di 15 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 22 000 candidati nella prova del 1 settembre 2005 è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella Sezione di Logica compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse

Percentuale dei candidati per Punteggio Parziale ottenuto nella Sezione di Logica Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −3,75 e 15 punti, mentre il punteggio medio è collocato approssimativamente intorno a 4 punti (3,71 per la precisione).

Giocando a Risiko Giulio Cesare ha vinto più di suo nipote Augusto, ma non di Napoleone. Alessandro Magno ha vinto meno di Carlo Magno, ma più di Napoleone. Chi ha vinto di meno? A. B. C. D. E.

Carlo Magno Alessandro Magno Napoleone Augusto Giulio Cesare

Soluzione Introduciamo la seguente notazione: data una qualsiasi coppia di giocatori X e Y, scriviamo X < Y se Y ha vinto più di X e Y ≤ X se Y non ha vinto più di X (ovvero, equivalentemente, se Y ha vinto meno di X oppure tanto quanto X). Allora le ipotesi esposte nel quesito possono essere riformulate, nell’ordine, come segue: A < GC, GC ≤ N, AM < CM, N < AM (dove si intende che A = Augusto, GC = Giulio Cesare, N = Napoleone, AM = Alessandro Magno e CM = Carlo Magno). In forma più concisa, A < GC ≤ N < AM < CM, da cui si deduce che Augusto ha vinto meno di tutti. Concludiamo quindi che la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 1 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

10.17% 2.50% 2.82% 80.75% 2.19%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

80.75% 1.56% 17.68%

Soluzione Una volta accertato che Bianchi non è mancino, il tenente Piccione può dedurre che Bianchi non può avere accoltellato la vittima, perché, come risulta dalle indagini, chiunque l’abbia fatto è necessariamente mancino. Pertanto la risposta esatta è la D. Facciamo adesso un passo indietro ed esaminiamo più attentamente il quadro generale delle indagini, per potere analizzare ad una ad una le risposte proposte e valutare la loro veridicità. I due fatti appurati dal tenente Piccione possono essere riformulati, rispettivamente, come segue: • O la vittima non è stata accoltellata, o è stata accoltellata da un mancino (o da più mancini); • O la vittima non è stata accoltellata, o è stata accoltellata dall’assassino (non necessariamente unico). Questi due fatti, considerati insieme, ci fanno concludere che siamo in presenza di uno (e necessariamente uno solo) dei due seguenti scenari: I. La vittima non è stata accoltellata (e dunque è stata assassinata con modalità diverse dall’accoltellamento). II. Una o più persone hanno accoltellato la vittima. Tali persone sono tutte mancine e sono tutte ugualmente responsabili della morte della vittima. La conclusione precedente lascia aperte varie possibilità, tutte compatibili con le indagini svolte dal tenente. Ad esempio, nello scenario II, è possibile che qualcuno, necessariamente mancino, abbia accoltellato la vittima in modo non mortale, uccidendola poi per avvelenamento, soffocamento o altro, così come è possibile che qualcuno, necessariamente mancino, abbia accoltellato la vittima in modo mortale. Un’altra possibilità è che qualcuno, mancino o non mancino, abbia assassinato 45

la vittima senza accoltellarla; questa ipotesi, che è ovviamente compatibile con lo scenario I, è in realtà compatibile anche con lo scenario II, perché è possibile che esista (almeno) un’altra persona, mancina e corresponsabile dell’omicidio, che abbia invece accoltellato la vittima. Possiamo quindi concludere, anzitutto, che la risposta B non è corretta. Si noti bene che non stiamo affermando che l’assassino non abbia accoltellato la vittima (ciò non potremo mai saperlo, in base ai soli fatti appurati dal tenente), ma soltanto che non è possibile dedurre con certezza, a partire dalle sole ipotesi, che l’abbia fatto. Il lettore presti particolare attenzione al fatto che la domanda posta nel quesito non è “Quale delle seguenti affermazioni è vera?”, ma “Quale di queste deduzioni è corretta?”. In altre parole, la risposta corretta è quell’unica conclusione che si può dedurre con certezza a partire dalle ipotesi date. Se il signor Rossi è mancino, il fatto che abbia accoltellato la vittima o non l’abbia accoltellata è compatibile, in ogni caso, con almeno uno dei due scenari descritti precedentemente. Pertanto la risposta E non è corretta. Similmente non è corretta neanche la risposta C, perché, sempre nell’ipotesi che il signor Rossi sia mancino, il fatto che Rossi sia o non sia l’assassino è compatibile sia col primo, sia col secondo scenario. La risposta D, invece, è corretta: infatti, se Bianchi non è mancino, allora Bianchi non può avere accoltellato la vittima, in quanto sappiamo che chiunque l’abbia fatto è necessariamente mancino. Infine la risposta A non è corretta, perché il fatto che Bianchi non sia mancino lascia aperta sia l’ipotesi che Bianchi abbia assassinato la vittima (senza accoltellarla), sia l’ipotesi che Bianchi non l’abbia assassinata. Quindi la risposta esatta è la D. Una volta individuata la correttezza della deduzione D, il lettore può indicare direttamente che la risposta esatta è D, senza neanche leggere le altre risposte, così come può dare la risposta D, senza neanche leggerla, una volta appurato che le risposte A, B, C ed E siano incorrette. Si noti, in ne, che un modo alternativo di dimostrare che la risposta E non è quella esatta è notare che, se lo fosse, allora lo sarebbe anche la risposta C, la qual cosa contraddirebbe la premessa iniziale, secondo cui ogni quesito ammette sempre una e una sola risposta esatta. NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 2 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

3.29% 43.66% 3.91% 12.99% 14.24%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

12.99% 21.91% 65.10%

Soluzione Si evince dal testo che il Re, non opponendosi alla celebrazione del matrimonio, lascia ai giovani la facoltà di decidere liberamente. Escludiamo quindi qualsiasi risposta che comporti da parte degli sposi una decisione obbligata e scegliamo come esatta la risposta A, secondo la quale i giovani, se lo vorranno, potranno sposarsi nella Basilica di Superga. A differenza che nel caso precedente, questo è uno di quei quesiti per i quali conviene dare la risposta alla domanda in modo autonomo, cioè prima di leggere le cinque soluzioni proposte. Le premesse contenute nel testo, infatti, consentono di dare una riposta senza lasciarsi influenzare dalle soluzioni proposte. Vediamo allora di riassumere tali premesse in modo equivalente, ma più facilmente comprensibile. Il consiglio che il Gran Ciambellano dà al Re non è di opporsi alle nozze, ma di farlo unicamente nel caso in cui i giovani insistano per sposarsi a Superga. È evidente, del resto, che tale consiglio possa essere rispettato o non rispettato, da parte del Re, unicamente nel caso in cui i giovani insistano per sposarsi a Superga; qualora, invece, i giovani chiedano di sposarsi altrove, o addirittura rinuncino a sposarsi, il Re non può né rispettare il consiglio del Gran Ciambellano, né non rispettarlo. Detto questo, ciò che sappiamo è che il Re non rispetta il consiglio del Gran Ciambellano. Ciò, quindi, vuol dire che, dopo l’insistenza dei giovani per sposarsi a Superga, il Re non si oppone alla celebrazione del matrimonio. I dati del problema ci autorizzano dunque a concludere che la volontà del Re è di non opporsi alla celebrazione del matrimonio. Ora “non opporsi al matrimonio” non significa “favorire il matrimonio” o “disporre affinché si celebri il matrimonio” o “disporre affinché si celebri il matrimonio a Superga”, ma semplicemente non impedire il matrimonio in alcun caso. In definitiva, la volontà del Re è quella di lasciare liberi gli sposi di decidere cosa vogliono fare. Le possibilità sono: decidere di non sposarsi più; decidere di sposarsi a Superga; decidere di sposarsi, ma non a Superga. Qualunque cosa i giovani decidano, il Re asseconderà il loro desiderio. È dunque falso che la principessa e il rospo debbano necessariamente non sposarsi (B), così come è falso che debbano sposarsi necessariamente nella Basilica di Superga (E), così come, infine, è falso che potranno sposarsi, ma non a Superga (C). È possibile invece dedurre dalle premesse che i

giovani, se lo vorranno, potranno sposarsi a Superga, il che dimostra anche che l’affermazione D è falsa. Concludiamo quindi che la risposta esatta è la A. Risultati percentuali relativi al quesito 3 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

68.54% 1.10% 6.73% 2.97% 11.42%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

68.54% 9.23% 22.22%

La frase Sul tavolo ci sono due bicchieri implica che sul tavolo A. B. C. D. E.

ci sono due bicchieri e una bottiglia non ci sono bottiglie ci sono due bicchieri e due tazzine da caffè c’è un bicchiere non ci sono tre bicchieri

Soluzione Se sul tavolo ci sono due bicchieri, allora si può dedurre che sul tavolo c’è un bicchiere. Quindi la risposta esatta è la D. Quesiti di questo tipo richiedono soprattutto, da parte del lettore, la consapevolezza che il significato di una data frase, nel contesto della logica, non corrisponde necessariamente all’interpretazione che di quella frase si dà abitualmente nel linguaggio comune. Se infatti, in quest’ultimo, una frase può essere interpretata in modo non univoco, anche per via di eventuali fatti già noti o di supposizioni sottintese, lette tra le righe ma non esplicitate direttamente, nel linguaggio della logica una frase ha un significato “tecnico” ben preciso, univoco e che esclude tutto ciò che non sia contenuto esplicitamente nel testo della frase stessa. Nel caso specifico del quesito in questione, la frase “sul tavolo ci sono due bicchieri” potrebbe essere interpretata, nel linguaggio comune, come “sul tavolo ci sono esattamente due bicchieri, non uno di più, non uno di meno”, oppure “sul tavolo ci sono due bicchieri, ma non c’è nient’altro” e così via. Nel linguaggio della logica, invece, la frase “sul tavolo ci sono due bicchieri” è semplicemente un’abbreviazione per “sul tavolo ci sono almeno due bicchieri”, così come “sul tavolo c’è un bicchiere” è un’abbreviazione per “sul tavolo c’è almeno un bicchiere”. In definitiva, se sappiamo che “sul tavolo ci sono due bicchieri”, allora l’unica cosa che possiamo dedurre con certezza è che sul tavolo ci sono alcuni bicchieri e che questi bicchieri sono almeno due, ma null’altro possiamo dire. Non sappiamo se, oltre ai bicchieri, ci siano bottiglie (A, B) o tazzine da caffé (C) o altro, né possiamo dire se i bicchieri siano esattamente due o più di due (E). L’unica conclusione certa è che, se sul tavolo ci sono almeno due bicchieri, allora, a maggior ragione, sul tavolo c’è almeno un bicchiere. Concludiamo quindi che la risposta esatta è la D.

Risultati percentuali relativi al quesito 4 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

0.63% 3.76% 0.00% 25.98% 67.29%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

25.98% 2.35% 71.67%

Quesito N. 1 5. Quale dei quadrati numerati da 1 a 5 sostituisce correttamente il riquadro contenente il Quale figura la sequenza ? punto completa interrogativo? 9

A. B. C. D. E.

A. 1 2 B. 3 C. 4 D. 5 E.

144

100

Il quadrato 5 Il quadrato 3 Il quadrato 1 Il quadrato 2 Il quadrato 4

Soluzione Osservando la sequenza dei riquadri che ci vengono presentati prima del punto interrogativo, ci accorgiamo che in ogni riquadro il numero dei quadrati grigi è un quadrato perfetto (16, 9, 4) e che il numero contenuto in ognuno dei quadrati grigi è anch’esso un quadrato perfetto (9, 16, 36). Inoltre, procedendo da sinistra verso destra, il primo numero diminuisce, mentre il secondo aumenta. Ci aspettiamo quindi che l’ultimo riquadro a destra, raffigurante il punto interrogativo, debba contenere un solo quadrato grigio (perché l’unico quadrato perfetto minore di 4 è 1) e che tale quadrato debba contenere, al suo interno, un quadrato perfetto maggiore di 36. Escludendo, quindi, i riquadri 1 e 2, prendiamo in considerazione unicamente i quadrati 3, 4 e 5. Notiamo infine che la somma di tutti i numeri all’interno di ogni riquadro della sequenza è uguale a 144. Questa condizione è soddisfatta soltanto dal quadrato 4. Concludiamo quindi che la risposta esatta è la E.

Risultati percentuali relativi al quesito 5 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

4.54% 23.94% 12.36% 0.78% 43.51%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

43.51% 14.87% 41.63%

Per numerare le pagine di un libro sono state usate in totale 3301 cifre. Le pagine del libro sono: A. B. C. D. E.

tra 1500 e 2000 tra 2000 e 3000 meno di 1000 più di 3000 tra 1000 e 1500

Soluzione Per numerare le pagine di un libro che contiene precisamente 1000, 1500, 2000, 3000 pagine occorrono, rispettivamente, 2893, 4893, 6893, 10893 cifre. Poiché nel caso del libro in questione sono state usate 3301 cifre, si può concludere che il libro ha un numero di pagine compreso tra 1000 e 1500 e che quindi la risposta esatta è la E. Le cifre utilizzate per numerare le prime 9 pagine di un libro sono tante quante sono le pagine stesse, cioè 9, in quanto ogni pagina viene numerata con un’unica cifra. Invece le cifre utilizzate per numerare le pagine di un libro dalla pagina 10 alla pagina 99 sono esattamente il doppio rispetto al numero delle pagine, in quanto ogni pagina viene numerata con due cifre; poiché tali pagine sono in tutto 90, le cifre utilizzate per numerarle sono in tutto 180 (si noti che il numero 90 può essere ottenuto, ad esempio, sottraendo da 99 le 9 pagine già considerate precedentemente). Questo tipo di ragionamento ci consente, più in generale, di calcolare il numero delle cifre utilizzate per numerare le pagine di un libro, sapendo quante sono in tutto le pagine del libro. Il quesito che stiamo affrontando, invece, riguarda il problema inverso, cioè la determinazione del numero di pagine di un libro sapendo che le cifre usate per numerarle sono in tutto 3301. In realtà non ci viene chiesto di calcolare il numero esatto di pagine, ma, più semplicemente, di dire dove tale numero si colloca, prendendo come punti di riferimento i numeri 1000, 1500, 2000 e 3000. La prima opzione proposta (se consideriamo le opzioni in ordine crescente di pagine) è che il libro abbia meno di 1000 pagine, cioè che ne abbia al più 999. Ora le cifre utilizzate per numerare le pagine di un libro dalla pagina 100 alla pagina 999 sono esattamente il triplo rispetto al numero delle pagine, in quanto ogni pagina viene numerata con tre cifre; poiché tali pagine sono in tutto 900, le cifre utilizzate per numerarle sono in tutto 2700. Ciò, insieme ai conti fatti precedentemente, ci porta alla conclusione che per numerare le pagine di un libro con 999 pagine occorrono esattamente 2700+180+9 = 2889 cifre. Poiché nel quesito si parla di un libro per il quale sono state utilizzate 3301 cifre, concludiamo che il libro in questione ha più di 999 pagine (cioè ha almeno 1000 pagine). Esaminiamo allora, procedendo nell’ordine, la seconda opzione, cioè che il libro abbia almeno 1000 pagine, ma meno di 1500. Le cifre usate per numerare le pagine di un libro dalla pagina 1000 50

alla pagina 1499 sono esattamente il quadruplo rispetto al numero delle pagine, in quanto ogni pagina viene numerata con quattro cifre; poiché tali pagine sono in tutto 500, le cifre utilizzate per numerarle sono in tutto 2000. Ciò, insieme ai conti fatti precedentemente, ci porta alla conclusione che per numerare le pagine di un libro con 1499 pagine occorrono esattamente 2000+2889 = 4889 cifre. Poiché nel libro in questione (che, come già sappiamo, ha almeno 1000 pagine) sono state usate solo 3301 cifre, concludiamo che le pagine del libro sono meno di 1499 (e dunque anche meno di 1500). A questo punto non è più necessario esaminare le tre rimanenti opzioni. In definitiva la risposta esatta è la E. È in realtà possibile, anche se non richiesto, calcolare il numero esatto di pagine del libro. Il ragionamento precedente, infatti, ci dice che per numerare le pagine di un libro con 1000 pagine occorrono esattamente 2889 + 4 = 2893 cifre e che per numerare le pagine di un libro con 1000 + n pagine occorrono esattamente 2893 + 4n cifre (purché, naturalmente, n sia al più 8999, in modo tale che il libro abbia al più 9999 pagine). Poiché le cifre utilizzate sono in tutto 3301, calcoliamo n risolvendo l'equazione di primo grado NOTA

2893 + 4n = 3301. Si ha 4n = 3301 − 2893 = 408, da cui n = 408/4 = 102. Pertanto il libro ha precisamente 1102 pagine. Risultati percentuali relativi al quesito 6 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

18.78% 5.01% 11.42% 12.99% 26.76%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

26.76% 25.04% 48.20%

Soluzione Se un bagaglio supera 50 cm di lunghezza e 30 cm di altezza e 25 cm di spessore, allora esso supera in ognuna delle tre dimensioni il limite massimo imposto dal cartello. In particolare, esso occupa uno spazio il cui volume è necessariamente superiore a quello occupato da un bagaglio di dimensioni 50 cm cm × 25 cm. Pertanto la risposta esatta è la E. Il cartello che si legge sull’autobus descrive la norma standard che viene realmente applicata dalla maggior parte delle aziende di trasporto. Abitualmente essa va interpretata nel senso che va pagato un ulteriore biglietto per ogni bagaglio che superi anche una sola delle dimensioni indicate (50 cm di lunghezza oppure 30 cm di altezza oppure 25 cm di spessore). Il lettore, però, presti particolare attenzione a quanto segue: ciò che viene chiesto nel quesito non è di tenere conto della corretta interpretazione della norma, ma di analizzare il punto di vista di un passeggero che, impropriamente, interpreti il cartello nel senso che gli unici bagagli per i quali si richiede il pagamento di un biglietto aggiuntivo sono quelli il cui volume sia superiore a 50 cm · 30 cm · 25 cm = 37500 centimetri cubici. Premesso questo punto di vista, si chiede di specificare che cosa deduce tale passeggero. Qualsiasi oggetto che superi 50 cm di lunghezza e 30 cm di altezza e 25 cm di spessore ha un volume superiore a 50 cm · 30 cm · 25 cm = 37500 centimetri cubici, il che comporta, secondo il passeggero, il pagamento di un ulteriore biglietto. Ciò, di per sé, ci permette già di concludere che l’unica risposta esatta non può che essere la E. Tuttavia, per completezza, analizziamo anche la veridicità delle altre risposte proposte. Un pallone di 20 cm di diametro ha un volume inferiore a quello di un cubo di 20 cm di lato, il quale, a sua volta, ha un volume pari a 20 cm · 20 cm · 20 cm = 8000 centimetri cubici. Un bastone lungo 90 cm e con il diametro di 2 cm ha un volume inferiore a quello di un parallelepipedo di dimensioni 90 cm × 2 cm × 2 cm, il quale, a sua volta, ha un volume pari a 90 cm · 2 cm · 2 cm = 360 centimetri cubici. In entrambi i casi, e comunque venga tenuto il bastone (orizzontalmente, verticalmente o in altri modi), il volume non supera i 37500 centimetri cubici, per cui il passeggero in questione deduce che non è necessario acquistare un ulteriore biglietto. Dunque le risposte A, B e C sono errate. Risulta errata, infine, anche la risposta D, perché, ad esempio, il bastone considerato precedentemente supera i 50 cm di lunghezza ma, come già osservato, ha un volume che non supera i 37500 centimetri cubici e che dunque non comporta, secondo il passeggero, il pagamento di un biglietto aggiuntivo. Dunque la risposta esatta è la E. Risultati percentuali relativi al quesito 7 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

1.10% 0.63% 1.56% 11.58% 73.08%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

73.08% 12.05% 14.87%

20 24 31 16 32

Soluzione Calcolando ad una ad una tutte le somme, al variare di tutte le possibili scelte dei segni + e −, si trova che i numeri diversi che si possono ottenere sono complessivamente 16. Quindi la risposta esatta è la D. Come nel quesito n. 3, conviene ragionare sulla domanda senza leggere le risposte proposte. Chiariamo anzitutto che la domanda non è quante somme formalmente diverse si possano ottenere utilizzando tutte le cifre 1, 2, 3, 4, 5, al variare dei segni + e −, ma quanti numeri diversi si possono ottenere, contando una volta sola qualsiasi numero che possa essere espresso come somma in almeno due modi diversi. Ad esempio, le somme −1 − 2 + 3 + 4 + 5 e +1 + 2 − 3 + 4 + 5, sebbene formalmente diverse, vanno contate una volta sola, in quanto in entrambi i casi il risultato della somma è uguale a 9. Il modo più sicuro, ma forse anche più lento (e, certamente, meno ingegnoso) per risolvere l’esercizio è calcolare esplicitamente tutte le 25 = 32 somme, al variare di tutte le possibili scelte dei segni + e −, e contare quanti sono i numeri effettivamente diversi che si possono ottenere come risultato. Facendo questa verifica, si trova che i numeri che si possono ottenere sono in tutto 16. Si trova anche, per la cronaca, che i numeri −15, 15, −13, 13, −11 e 11 possono essere ottenuti come somma in un unico modo, mentre ognuno degli altri dieci può essere ottenuto in almeno due modi diversi. La “fatica” può essere dimezzata se si osserva in anticipo che i numeri in questione si presentano a coppie di opposti, in quanto l’opposto di ogni somma delle cifre 1, 2, 3, 4, 5, con segni + e −, è ancora una somma delle cifre 1, 2, 3, 4, 5, con segni + e −. Ad esempio, −(−1 + 2 + 3 − 4 + 5) = +1 − 2 − 3 + 4 − 5. Ciò vuol dire che, anziché calcolare tutte e 32 le somme, è sufficiente calcolarne solo 16, ad esempio soltanto le somme in cui la cifra 5 è sempre preceduta dal segno +: prendendo gli opposti dei numeri così ottenuti si otterranno i risultati di tutte le somme rimanenti, cioè delle somme in cui la cifra 5 è sempre preceduta dal segno −. Un’altra osservazione, che può ridurre i tempi di calcolo, è notare che i numeri ottenuti come somme sono tutti numeri dispari, in quanto 2 e 4, preceduti dal + o dal −, sono numeri pari, mentre 1, 3 e 5, preceduti dal + o dal −, sono numeri dispari; essendo noto che sommando due numeri pari 53

o due numeri dispari si ottiene sempre un numero pari, mentre sommando un numero pari e un numero dispari si ottiene sempre un numero dispari, concludiamo che ognuna delle nostre somme, qualunque sia la scelta dei segni, è somma di due numeri pari e di tre numeri dispari ed è dunque uguale ad un numero dispari. Utilizzando questa informazione e l’osservazione precedente sulle coppie di opposti, insieme al fatto che il più grande numero ottenibile è +1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, concludiamo che i numeri ottenibili sono, al massimo, tutti i numeri dispari da 1 a 15 (che sono in tutto otto) insieme con i loro opposti, per un totale di sedici numeri. Per dimostrare che i numeri ottenibili come somma sono in tutto precisamente 16, basta ora dimostrare che gli otto numeri dispari da 1 a 15 possono tutti essere ottenuti come somma (da ciò seguirà che anche gli otto numeri dispari da −15 a −1, essendo opposti dei precedenti, possono essere tutti ottenuti come somma). Abbiamo già visto che 15 si ottiene nella forma +1 + 2 + 3 + 4 + 5. Osserviamo ora che l’effetto di modificare un solo segno + in − nella somma precedente, lasciando invariati i rimanenti quattro segni +, è quello di sottrarre da 15 il doppio della cifra corrispondente al cambio di segno. Ad esempio, sostituendo +3 con −3 nella somma precedente, l’effetto è di sottrarre 6 rispetto al risultato ottenuto con il segno +, per cui il nuovo risultato sarà 15 − 6 = 9. Infatti si ha +1 + 2 − 3 + 4 + 5 = (+1 + 2 + 3 + 4 + 5) − 3 − 3 = 15 − 6 = 9. Poiché la modifica del + in − può essere fatta per ognuna delle cinque cifre 1, 2, 3, 4, 5, concludiamo che possiamo ottenere come somma i numeri 15 − 2, 15 − 4, 15 − 6, 15 − 8 e 15 − 10, rispettivamente, cioè 13, 11, 9, 7 e 5. Ma ora possiamo ripartire dall’ultima di queste somme, cioè +1 + 2 + 3 + 4 − 5 = 5 e ripetere lo stesso ragionamento: trasformando in − il segno + posto di fronte alla cifra 1 otteniamo 5 − 2 = 3, mentre trasformando in − il segno + posto di fronte alla cifra 2 otteniamo 5 − 4 = 1. In tal modo abbiamo ottenuto come somma tutti e otto i numeri dispari da 1 a 15, come volevasi dimostrare. I ragionamenti precedenti ci suggeriscono in realtà un algoritmo estremamente veloce per ottenere la soluzione. Cominciamo col considerare le somme in cui l’unico addendo è la cifra 1, preceduta dal segno + o −. I numeri ottenuti saranno −1 e 1. Adesso consideriamo le somme in cui gli unici addendi sono 1 e 2, dove però la cifra 2 è sempre preceduta dal segno +, mentre la cifra 1 è preceduta dal segno + o −. Ciò corrisponde a sommare 2 ai numeri ottenuti precedentemente, cioè a −1 e 1, per cui si otterranno i numeri 1 e 3. Ora le somme in cui gli unici addendi sono 1 e 2, dove però la cifra 2 è sempre preceduta dal segno −, saranno precisamente gli opposti dei numeri precedenti, cioè di 1 e 3, per cui, complessivamente, le somme ottenibili con le sole cifre 1 e 2 (e i segni + e −) sono −3, −1, 1 e 3. Similmente, le somme ottenibili con le sole cifre 1, 2 e 3 (e i segni + e −) si ottengono prima sommando 3 ai quattro numeri precedenti, ottenendo così 0, 2, 4 e 6, e poi aggiungendo anche gli opposti dei numeri ottenuti, il che ci porta ai numeri −6, −4, −2, 0, 2, 4 e 6. Sommando ora 4 a questi numeri e poi prendendo anche gli opposti delle somme ottenute si arriva a −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8 e 10, che sono precisamente le somme ottenibili con le cifre 1, 2, 3 e 4 (e i segni + e −). Infine, sommando 5 a questi numeri e prendendo poi anche gli opposti dei numeri ottenuti, si ottengono tutti i numeri dispari da −15 a 15; questi numeri, per costruzione, sono precisamente tutte le somme ottenibili con le cifre 1, 2, 3, 4 e 5 (e i segni + e −), come dimostrato precedentemente. L’algoritmo precedente può essere iterato quante volte si vuole e ci porta ad ottenere il seguente risultato generale: dato qualsiasi numero positivo n, e posto m = 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n (che, com’è noto, è uguale a n(n + 1)/2), le somme algebriche del tipo ±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± (n − 1) ± n sono precisamente tutti i numeri pari da −m a m se m è pari, tutti i numeri dispari da −m a m se m è dispari. L’ultimo metodo, che qui proponiamo, risulterà probabilmente più “naturale” per tutti coloro che hanno un minimo di familiarità con i numeri binari, ovvero con la numerazione in base 2. La premessa di questo metodo è il fatto che la quantità richiesta rimane invariata se ad ognuna delle 32 somme con i segni + e − sommiamo 15, cioè se, equivalentemente, sommiamo +1 + 2 + 3 + 4 + 5. 54

L’effetto di questa “traslazione” è di passare da somme in cui possono comparire i segni + e − a somme in cui può comparire soltanto il segno + e in cui le cifre da sommare, stavolta non necessariamente tutte, sono 2, 4, 6, 8 e 10. Ad esempio, +1 − 2 − 3 + 4 − 5 +(+1 + 2 + 3 + 4 + 5) = +1 + 1 + 4 + 4 = +2 + 8. Il quesito allora può essere riformulato, in modo equivalente, chiedendo quanti sono i numeri che possono essere ottenuti sommando una qualsiasi combinazione delle cifre 2, 4, 6, 8 e 10 (sempre col segno +), includendo anche l’eventualità che nessuna di queste cifre venga considerata nella somma, ovvero prendendo in considerazione anche la somma nulla (che proviene, a sua volta, dalla somma −1 − 2 − 3 − 4 − 5 +(+1 + 2 + 3 + 4 + 5)). Chi ha familiarità con i numeri binari sa che ognuno dei 24 = 16 numeri da 0 a 15 (= 1 + 2 + 4 + 8) può essere scritto (in modo unico) come somma di una opportuna combinazione (eventualmente “vuota”) delle cifre 1, 2, 4 e 8 e che, quindi, escludendo l’utilizzo della cifra 1, ogni numero pari da 0 a 15 può essere scritto (in modo unico) come somma di una opportuna combinazione delle cifre 2, 4 e 8. In altre parole, le somme che utilizzano come addendi le cifre 2, 4 e 8 producono tutti e soli i numeri 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 e 14 (ad esempio, 10 = 2 + 8). Se ammettiamo la possibilità di utilizzare anche la cifra 6, allora ai numeri precedenti dobbiamo aggiungere anche quelli che da essi si possono ottenere sommando 6, cioè 6, 8, 10, 12, 14 (già considerati precedentemente), 16, 18 e 20. Quindi le somme che utilizzano come addendi le cifre 2, 4, 6 e 8 producono (stavolta in modo non unico) tutti e soli i numeri 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 e 20. Infine, introducendo la possibilità di utilizzare anche la cifra 10, ai numeri precedenti vanno aggiunti anche quelli che da essi si possono ottenere sommando 10 e che non sono già stati considerati, cioè i numeri 22, 24, 26, 28 e 30. In definitiva, i numeri che possono essere ottenuti sommando una qualsiasi combinazione (eventualmente “vuota”) delle cifre 2, 4, 6, 8 e 10 sono tutti e soli i numeri pari da 0 a 30, che sono in tutto 16. Qualunque sia il metodo usato, concludiamo in ogni caso che la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 8 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

10.02% 10.02% 5.63% 6.57% 15.02%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

6.57% 52.74% 40.69%

Quesito N. 4 9. figura Quale completa delle figure Quale la numerate sequenza da ? 1 a 5 sostituisce correttamente il riquadro contenente il punto interrogativo? 15 9

144

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

12 4

4 8

6 3

120 66

24 6

48 72

A. B. C. D. E.

4 8

6 3

6 6

18 12

6 6

La figura 2 La figura 3 La figura 4 La figura 5 La figura 1

Soluzione In sequenza ci vengono presentati, nell’ordine, un triangolo, un quadrato e poi nuovamente un triangolo. Ci aspettiamo quindi che l’ultimo riquadro a destra, a completamento della sequenza, debba contenere un quadrato. Escludiamo quindi i due esagoni, cioè le figure 3 e 5, e prendiamo in considerazione unicamente i tre quadrati corrispondenti alle figure 1, 2 e 4. Notiamo poi che, nella sequenza data, i numeri che compaiono nel terzo riquadro compaiono tutti nel primo riquadro: ci aspettiamo quindi che la figura richiesta contenga soltanto numeri che compaiono già nel secondo riquadro, posto tra i due triangoli. Questa condizione è soddisfatta soltanto dalle figure 2 e 4. Escludiamo quindi la figura 1. Notiamo infine che i numeri che contrassegnano i lati del triangolo a sinistra si ritrovano tutti all’interno del triangolo a destra; similmente, ci aspettiamo che i numeri che contrassegnano i lati del quadrato posto tra i due triangoli, cioè 4, 8, 12 e 16, si ritrovino tutti all’interno del quadrato che ci viene chiesto di individuare. Poiché tale condizione è soddisfatta dal quadrato della figura 2, ma non da quello della figura 4, concludiamo che la risposta esatta è la A. Risultati percentuali relativi al quesito 9 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

17.21% 2.66% 23.00% 0.63% 6.42%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

17.21% 50.08% 32.71%

10.

Il ministro dell’economia di Matlandia afferma: Se il bilancio non sarà tagliato, allora nel prossimo anno 2006 i prezzi rimarranno stabili se e soltanto se aumenteremo tutte le tasse Ammessa l’assoluta verità di questa affermazione e fondandosi solo su di essa, che cosa può essere accaduto a Matlandia nel 2006? A. B. C. D. E.

Soluzione Se nel 2006 il bilancio non fu tagliato, se tutte le tasse furono aumentate e se i prezzi rimasero stabili, allora la previsione del ministro dell’economia risulta confermata. Quindi la risposta esatta è la A. La premessa è che sia vera l’affermazione “Se P, allora Q”, dove P e Q sono le affermazioni “Il bilancio non sarà tagliato” e “Nel prossimo anno 2006 i prezzi rimarranno stabili se e soltanto se aumenteremo tutte le tasse”, rispettivamente. Equivalentemente, la premessa è che si verifichi una (e necessariamente una sola) delle due seguenti circostanze: P è falsa (indipendentemente dal fatto che Q sia vera o falsa); P e Q sono entrambe vere. Poiché in tutte e cinque le risposte proposte si suppone che il bilancio non fu tagliato, cioè che P sia vera, la risposta esatta sarà l’unica in cui si afferma che Q è vera. Ora Q, a sua volta, è un’affermazione del tipo “R se e soltanto se S”, dove R e S sono le affermazioni “Nel prossimo anno 2006 i prezzi rimarranno stabili” e “aumenteremo tutte le tasse”, rispettivamente. Il fatto che Q sia vera è equivalente, per definizione, al fatto che R e S siano entrambe vere oppure entrambe false, cioè al fatto che i prezzi rimangano stabili e tutte le tasse vengano aumentate, o che i prezzi non rimangano stabili e non tutte le tasse vengano aumentate. Nessuna di queste possibilità si verifica nelle risposte B, C, D, E, mentre la risposta A è equivalente, precisamente, alla prima delle due possibilità. Si noti che la risposta E afferma che i prezzi crebbero indipendentemente dal fatto che le tasse venissero o meno aumentate, tutte o in parte, il che è in contraddizione con il fatto che Q sia vera. Dunque la risposta esatta è la A. Risultati percentuali relativi al quesito 10 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

80.44% 3.29% 3.60% 0.94% 3.44%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

80.44% 8.29% 11.27%

11.

Soluzione L’affermazione A è falsa, poiché dalla premessa che chi respira è vivo si può solo concludere che, se Piero respira, allora Piero è vivo, ovvero, equivalentemente, che se Piero è morto allora Piero non respira (in quanto, se Piero respirasse, allora sarebbe vivo). Ma il fatto che Piero non respira non comporta necessariamente che Piero sia morto, perché la premessa “chi respira è vivo” non comporta, di per sé, anche il fatto che chi è vivo respira: Piero, infatti, potrebbe trattenere il respiro pur essendo vivo. Questa conclusione ci consente di concludere immediatamente che la risposta esatta è la A, senza bisogno di analizzare le altre. Tuttavia, per completezza di ragionamento e per escludere la possibilità che possano esserci altre affermazioni false, esaminiamo anche le altre risposte proposte. È necessario precisare, anzitutto, a proposito delle risposte A, B ed E, che la domanda che ci viene posta è se le deduzioni in esse contenute siano logicamente corrette o incorrette, indipendentemente dalla veridicità delle singole affermazioni in esse contenute. In generale, un’affermazione del tipo “Ogni entità di tipo Y è anche di tipo Z; x è di tipo Y, quindi x è di tipo Z” va qui intesa nel senso seguente: “supposto vero che ogni entità di tipo Y sia anche di tipo Z, e supposto vero che x sia di tipo Y, allora x è di tipo Z”. Questa deduzione è in ogni caso corretta, indipendentemente dal fatto che ogni entità di tipo Y sia o meno di tipo Z e dal fatto che x sia o meno di tipo Y. La logica, infatti, è soprattutto la scienza delle deduzioni, cioè di quei ragionamenti in virtù dei quali, a partire da certe premesse, supposte vere, sia possibile ricavare correttamente certe conclusioni. Ad esempio, la deduzione “Ogni elefante è un anfibio. Dumbo è un elefante, dunque Dumbo è un anfibio” è corretta, anche se non è vero che ogni elefante sia un anfibio e indipendentemente dal fatto che Dumbo sia o meno un elefante. Fatta questa precisazione, analizziamo ad una ad una le quattro risposte E, B, C, D. Supposto vero che ogni professore abbia un registro, se Mario non ha un registro allora non può essere un professore (perché, se lo fosse, allora avrebbe un registro). Dunque l’affermazione E è vera. Indipendentemente da cosa si intenda precisamente per “parigino” e per “italiano”, la premessa che si suppone vera è che ogni “parigino”non è “italiano” e che ogni “parigino” parla francese. Le conclusioni che si possono trarre da questa premessa sono che chi è italiano non è parigino e chi non parla francese non è parigino. Inoltre, ad esempio, si potrebbe concludere che se Jean è parigino, allora Jean non è italiano e parla francese. L’affermazione B dice correttamente che dalla premessa, invece, non si può concludere che nessun italiano parla francese; la premessa, infatti, dice che ogni parigino parla francese, ma non che chi non è parigino (e dunque anche chi è italiano) non parla francese. Dunque l’affermazione B è vera. È vero anche il fatto che ogni 58

quadrato è un rombo, in quanto un quadrato, essendo un quadrilatero avente i lati della stessa lunghezza e a due a due paralleli, è, per definizione, un rombo. Pertanto l’affermazione C è vera. Infine, essendo stato dimostrato che l’affermazione A è falsa, che è precisamente quanto viene affermato in D, concludiamo che anche l’affermazione D è vera. Dunque la risposta esatta è la A. Risultati percentuali relativi al quesito 11 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

12.

13.77% 6.42% 17.37% 47.42% 4.38%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

13.77% 10.64% 75.59%

9 5 6 4 12

Soluzione Possiamo procedere in diversi modi. Similmente a quanto già affermato per il quesito n. 8, un metodo efficace ma poco ingegnoso di risolvere il problema è quello di calcolare esplicitamente, un caso alla volta, la quantità di euro che Totti dovrebbe ricevere da Buffon, o dare a Buffon, nel caso in cui i rigori parati fossero stati 4, 5, 6, 9 o 12. Fatti i calcoli, si trova che che nei primi due casi Totti dovrebbe ricevere da Buffon 120 euro e 30 euro, rispettivamente, mentre negli ultimi tre casi Totti dovrebbe dare a Buffon 60 euro, 330 euro e 600 euro, rispettivamente. Quindi la risposta esatta è la D. Per ridurre il numero dei calcoli basta in realtà osservare che Totti paga, per ogni rigore parato, più di quanto riceve per ogni rigore segnato; poiché alla fine Totti riceve da Buffon 120 euro, concludiamo che il numero dei rigori segnati è stato necessariamente superiore al numero dei rigori parati e che quindi, essendo stati tirati in tutto 12 rigori, il numero dei rigori parati è stato necessariamente inferiore a 6. Leggendo le risposte proposte, l’unica possibilità è che Buffon abbia parato 4 o 5 rigori. Facendo i calcoli nel primo di questi due casi, troviamo che Totti riceve precisamente 120 euro da Buffon e concludiamo dunque che i rigori parati sono stati esattamente 4. Se invece, nell’ipotesi di 4 rigori parati, avessimo trovato una conclusione diversa, allora, per esclusione, avremmo concluso che i rigori parati sarebbero stati esattamente 5, in quanto è noto che ogni quesito di questo test ammette precisamente una e una sola risposta esatta. 59

Esponiamo ora due metodi basati più sul ragionamento che sui calcoli. Il primo metodo, che è quello che avrebbero usato i nostri antenati fino al medioevo, è il “metodo di falsa posizione” (o regula falsi, già utilizzato dagli egizi), che consiste nell’attribuire momentaneamente un valore arbitrario al numero di rigori parati e nel correggere successivamente tale valore in modo tale da pervenire al valore corretto. Poiché il numero di rigori parati può andare da 0 a 12, analizziamo cosa sarebbe successo nel caso “medio” in cui i rigori parati fossero stati esattamente 6, tanti quanti i rigori segnati. In tal caso Totti avrebbe dato a Buffon 50 · 6 = 300 euro e avrebbe ricevuto da Buffon 40 · 6 = 240 euro. In tale scenario, pertanto, Totti avrebbe dato 300 − 240 = 60 euro a Buffon al termine della serie di rigori. Poiché invece Totti ha ricevuto da Buffon 120 euro, concludiamo che il numero di rigori segnati è stato maggiore di 6. Per ogni rigore segnato in più (rispetto ai 6 considerati in precedenza), e che prima era stato conteggiato come parato, bisogna attribuire 40 euro a Totti e toglierne altri 50 a Buffon, cioè, in definitiva, bisogna dare 90 euro in più a Totti. Poiché Totti aveva un bilancio (negativo) di −60 euro nell’ipotesi di 6 soli rigori segnati, mentre sappiamo che alla fine il suo bilancio è stato di +120 euro, bisogna attribuire 180 euro in più a Totti, il che, per il ragionamento precedente, corrisponde al fatto che Totti ha segnato altri 2 rigori oltre ai 6 ipotizzati inizialmente. Pertanto Totti ha segnato 8 rigori, cioè, equivalentemente, Buffon ha parato 4 rigori. Il secondo metodo, storicamente più moderno, è quello di affrontare il problema trasformandolo in un’equazione di primo grado. Se denotiamo con n il numero di rigori parati da Buffon, allora i rigori segnati sono stati 12 − n e, in base alle regole del gioco, la quantità di euro che Totti riceve da Buffon, al termine della serie di rigori, è pari a 40 · (12 − n) − 50 · n = 480 − 40 · n − 50 · n = 480 − 90 · n. D’altra parte sappiamo che, alla fine, Totti riceve da Buffon 120 euro, da cui deduciamo che 480 − 90 · n = 120, cioè 90 · n = 480 − 120 = 360, da cui n = 360/90 = 4. Dunque la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 12 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

13.

31.77% 1.72% 3.91% 37.40% 3.44%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

37.40% 21.75% 40.85%

Una famosa congettura afferma che vi sono infinite coppie (p, q) di numeri primi tali che p = q + 2. Confutare questa affermazione equivale a mostrare che: A. per ogni intero positivo n e per ogni numero primo q con q > n il numero q + 2 non è primo B. esistono un intero positivo n e un numero primo q con q > n tali che il numero q + 2 non è primo C. per ogni intero positivo n esiste un numero primo q con q > n tale che il numero q + 2 non è primo D. esiste un intero positivo n tale che, qualunque sia il numero primo q con q > n, il numero q + 2 non è primo E. esiste un intero positivo n tale che, per ogni numero (primo e non primo) m con m > n, il numero m + 2 non è primo 60

Soluzione Confutare la congettura data vuol dire, per definizione, dimostrare che la negazione della congettura è vera. Quindi il quesito ci chiede di determinare quale delle cinque affermazioni proposte sia equivalente alla negazione della congettura data. A sua volta, la negazione della congettura equivale a dire che i numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, sono al più in numero finito, ovvero che, prendendo in considerazione numeri positivi, via via sempre più grandi, da un certo momento in poi non si incontrano più numeri primi con la proprietà descritta nella congettura. Ciò, a sua volta, equivale a dire che la risposta esatta è la D. Poiché leggere ed analizzare tutte le risposte può comportare un grande dispendio di tempo (relativamente alla mezz’ora di tempo che si ha a disposizione per risolvere tutti e 15 i quesiti), conviene confutare in modo diretto l’affermazione data, senza leggere le soluzioni proposte, e infine andare direttamente, “a botta sicura”, ad individuare la risposta equivalente alla soluzione ottenuta. La congettura data dice che “i numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, sono infiniti”. La negazione di questa affermazione è, come precedentemente osservato, “i numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, sono al più in numero finito”. In altre parole, la negazione della congettura è equivalente al fatto che i numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, non esistono affatto oppure tra di essi ne esiste uno più grande di tutti. Denotato tale numero con n, esso sarebbe un intero positivo e sarebbe tale che qualsiasi numero primo, più grande di esso, non avrebbe più la proprietà in questione. In definitiva, se la negazione della congettura fosse vera, allora, in entrambi i casi (cioè anche nel caso in cui i numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, non esistessero affatto), esisterebbe un intero positivo n tale che, per qualsiasi numero primo q > n, q + 2 non è primo, il che è esattamente quanto viene affermato nella risposta D. Viceversa, se l’affermazione D fosse vera, allora i numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, non esisterebbero affatto oppure sarebbero tutti compresi tra 1 e n e, dunque, sarebbero al più in numero finito, il che è precisamente la negazione della congettura. L’affermazione D, quindi, è equivalente alla negazione della congettura e, pertanto, può essere scelta come risposta esatta. Per maggiore completezza, analizziamo anche le altre soluzioni proposte. Se fosse vera la A, allora, scelto in particolare n = 1, sarebbe vero che, per ogni numero primo q > 1, il numero q + 2 non è un numero primo. Ma poiché per definizione tutti i numeri primi sono maggiori di 1, ciò equivarrebbe a dire che non esistono numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, mentre la negazione della congettura non dice che tali numeri non esistono, ma soltanto che essi sono (al più) in numero finito. La soluzione B afferma l’esistenza di almeno un numero primo q che gode della proprietà in questione. Ciò è compatibile sia con l’ipotesi che la congettura sia vera, sia con l’ipotesi che la congettura sia falsa; dunque l’affermazione B non è equivalente alla confutazione della congettura. L’affermazione C, invece, è equivalente al fatto che la congettura sia vera: infatti, il fatto che, dato qualsiasi intero positivo n, si possa trovare un numero primo q > n tale che q + 2 non sia primo, è equivalente precisamente al fatto che i numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, sono infiniti. Infine, per quanto riguarda l’affermazione E, lo stesso ragionamento con cui abbiamo dimostrato che l’affermazione D è equivalente a “i numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, sono al più in numero finito”, mostra anche che l’affermazione E è equivalente a “i numeri positivi m, tali che m + 2 è un numero primo, sono al più in numero finito”. Ora l’insieme A dei numeri primi q, tali che q + 2 è un numero primo, è contenuto nell’insieme B dei numeri positivi m, tali che m + 2 è un numero primo. Se l’insieme A è finito, allora non è detto che l’insieme B, che lo contiene, sia anch’esso finito. In altre parole, D potrebbe essere vera senza che lo sia E, per cui D ed E non sono equivalenti. Poiché D è equivalente alla negazione della congettura, concludiamo che E, invece, non lo è. In definitiva, la risposta esatta è la D. 61

Risultati percentuali relativi al quesito 13 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

14.

2.03% 9.23% 4.85% 5.48% 2.35%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

5.48% 76.06% 18.47%

R<k R=k R>k R≥k R≤k

Soluzione Il quesito ci chiede di determinare quale relazione d’ordine sia sempre vera tra R e k per qualsiasi scelta dei 4 numeri a, b, c e d, purché diversi tra loro. Nel caso particolare in cui a = 1, b = 3, c = 2 e d = 4, si ha r1 = 1, r2 = 2, K1 = 2 e K2 = 4, da cui R = 2 e k = 2. In questo caso, quindi, vale R = k. Ne segue che le risposte A e C sono errate. Se invece a = 1, b = 3, c = 4 e d = 2, allora si ha r1 = 1, r2 = 2, K1 = 4 e K2 = 3, da cui R = 2 e k = 3. In questo caso, quindi, vale R < k. Ne segue che le risposte B e D sono errate e che dunque, per esclusione, soltanto la risposta E può essere quella esatta. Vale quindi R ≤ k. Per completezza, e per un’ulteriore conferma, diamo ora una dimostrazione diretta del fatto che R ≤ k. Siano dati 4 numeri distinti a, b, c e d, disposti in una tabella quadrata come descritto nel testo del quesito. Se R = k, allora vale anche R ≤ k. Supponiamo quindi che R , k. Se R e k si trovano nella stessa riga, allora R < k, in quanto, per definizione, R è il più piccolo dei numeri della propria riga. Similmente, se R e k si trovano nella stessa colonna, allora R < k, in quanto, per definizione, k è il 62

piĂš grande dei numeri della propria colonna. Se infine R e k non si trovano nĂŠ nella stessa riga, nĂŠ nella stessa colonna, allora, denotando con x il numero che si trova nella stessa riga di R e nella stessa colonna di k, vale R < x < k per definizione di R e di k. In tutti i casi, quindi, vale R â&#x2030;¤ k. In alternativa, si ragioni come segue. Denotiamo con m e M il piĂš piccolo e il piĂš grande tra i numeri a, b, c e d, rispettivamente, e con n e N i due numeri rimanenti, denotando con n precisamente il minore tra i due. Allora vale m < n < N < M. Se m e n si trovano in due righe diverse, allora ognuno di essi Ă¨ il piĂš piccolo dei numeri della propria riga e dunque, per definizione, R = n, dato che n Ă¨ il maggiore tra m e n. Inoltre k â&#x2030;Ľ n, perchĂŠ, se k fosse uguale a m, allora k non potrebbe essere il piĂš grande dei numeri della propria colonna. Quindi k â&#x2030;Ľ R. Se invece m e n si trovano nella stessa riga, allora anche N e M si trovano nella stessa riga. Quindi r1 e r2 sono uguali a m e a N (non necessariamente in questâ&#x20AC;&#x2122;ordine), per cui R = N. PoichĂŠ infine m e n si trovano in colonne diverse, e poichĂŠ nessuno di essi Ă¨ il piĂš grande dei numeri della propria colonna, K1 e K2 sono uguali a N e a M (non necessariamente in questâ&#x20AC;&#x2122;ordine), per cui k = N. Quindi k = R. In entrambi i casi, dunque, vale R â&#x2030;¤ k. In definitiva, la risposta esatta Ă¨ la E. Similmente a quanto giĂ a ermato per i quesiti n. 8 e n. 12, un metodo e cace (seppure poco ingegnoso e, in questo caso, anche poco veloce) per risolvere il problema Ă¨ quello di esaminare ad una ad una tutte le possibili tabelle, al variare delle 24 possibili relazioni d'ordine tra a, b, c e d (ad esempio, d < b < c < a, a < c < b < d, c < a < d < b e cosĂŹ via) e di veri care, per ognuna di esse, la validitĂ della relazione R â&#x2030;¤ k. Questa veri ca risulta in realtĂ sempli cata se osserviamo che, poichĂŠ R e k rimangono invariati se invertiamo la posizione delle due righe o delle due colonne della tabella, possiamo sempre supporre che a sia il piĂš piccolo dei quattro numeri. BasterĂ allora esaminare unicamente i sei casi a < b < c < d, a < b < d < c, a < c < b < d, a < c < d < b, a < d < b < c, a < d < c < b, che corrispondono, rispettivamente, alle tabelle ! ! ! ! ! ! m n m n m N m M m N m M N M M N n M n N M n N n NOTA

dove m < n < N < M. Lasciamo al lettore la veri ca della relazione R â&#x2030;¤ k per ognuna delle sei tabelle. Risultati percentuali relativi al quesito 14 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

9.86% 13.62% 9.08% 5.01% 8.61%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

8.61% 53.83% 37.56%

15.

Nessun maggiorenne non è coniugato Tutti i celibi sono laureati Almeno un maggiorenne è coniugato Almeno un celibe non è maggiorenne Almeno un maggiorenne non è coniugato

Soluzione La prima ipotesi dice che almeno un maschio è coniugato. La terza ipotesi, d’altra parte, afferma che i maschi della famiglia sono tutti maggiorenni. Se ne deduce che almeno un maggiorenne è coniugato. Quindi la risposta esatta è la C. Il quesito può essere formalmente semplificato e, probabilmente, anche più facilmente compreso, se lo inquadriamo in un contesto insiemistico. Definiamo MS = insieme di tutti i maschi della famiglia; CE = insieme di tutti i celibi (maschi) della famiglia; LA = insieme di tutti i laureati (maschi e femmine) della famiglia; MG = insieme di tutti i maggiorenni (maschi e femmine) della famiglia. Allora le tre ipotesi del problema possono essere riformulate, rispettivamente, come segue: 1. In MS esiste almeno un elemento che non sta in CE. 2. Ogni elemento di LA è anche elemento di CE, cioè LA è un sottoinsieme di CE. 3. Non è vero che in MS esiste almeno un elemento che non sta in MG. Equivalentemente, ogni elemento di MS è anche elemento di MG, cioè MS è un sottoinsieme di MG. Esaminiamo ora, ad una ad una, le cinque soluzioni proposte, riformulandole in linguaggio insiemistico. L’affermazione A dice che nessun maggiorenne è celibe, cioè che non esistono elementi di MG che siano anche elementi di CE. Poiché MS è un sottoinsieme di MG, ciò dice anche, in particolare, che non esistono elementi di MS che stanno in CE, ovvero, equivalentemente, che ogni elemento di MS non sta in CE. Ma ciò non può essere dedotto dalle premesse, perché ciò che si sa è soltanto che almeno un elemento di MS non sta in CE, non che ogni elemento di MS non ci sta. L’affermazione B dice che CE è sottoinsieme di LA, mentre, date le premesse, ciò che si sa è soltanto che LA è sottoinsieme di CE. L’affermazione D dice che in CE esiste almeno un elemento 64

che non sta in MG. Ciò è falso, poiché CE è sottoinsieme di MS , che a sua volta è sottoinsieme di MG, per cui CE è sottoinsieme di MG, cioè ogni elemento di CE è anche elemento di MG. L’affermazione E, infine, dice che almeno un maggiorenne è celibe, cioè che nell’insieme MG esiste almeno un elemento che sta in CE. Del resto abbiamo appena osservato che CE è sottoinsieme di MG, per cui l’affermazione E è equivalente ad affermare che l’insieme CE non è vuoto, il che non può essere dedotto dalle premesse: ciò che si sa è soltanto che esiste almeno un elemento di MS (e quindi anche di MG) che non sta in CE, non che esiste almeno un elemento di MG che ci sta. Dunque le risposte A, B, D ed E sono errate e quindi, per esclusione, la risposta esatta è la risposta C. D’altra parte l’affermazione C dice che esiste almeno un elemento di MG che non sta in CE; ciò è vero, poiché l’ipotesi 1, unitamente all’ipotesi 3, dice che esiste almeno un elemento dell’insieme MS , e quindi anche dell’insieme MG, che non sta in CE. In definitiva, la risposta esatta è la C. Risultati percentuali relativi al quesito 15 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

1.88% 13.93% 29.42% 8.76% 11.58%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

29.42% 34.43% 36.15%

COMPRENSIONE VERBALE Commenti e soluzioni di Gianfranco Caletti Introduzione Un testo è una cosa materiale, statica; esso diventa vivo quando qualcuno lo legge, lo comprende, lo interpreta, lo rielabora, operazioni strettamente congiunte, ognuna delle quali è la premessa di quella seguente. È evidente quindi l’importanza della comprensione di un testo per chiunque voglia confrontarsi con i prodotti di una cultura elevata e affrontare gli studi superiori, specialmente in una facoltà universitaria di carattere scientifico. I test di comprensione verbale hanno appunto lo scopo di accertare, nei candidati all’iscrizione universitaria, il livello di questa capacità. Non si tratta quindi di un esame (che ha sempre un valore prevalentemente consuntivo) ma di una indagine che, unitamente agli altri test, ha un valore soprattutto predittivo. Ai candidati viene detto, di conseguenza, che debbono attenersi, nell’esecuzione della prova, a quanto è contenuto nel testo, indipendentemente da informazioni o notizie pregresse e dalla loro condivisione o meno con tale contenuto. I tre testi proposti sono di ambiti diversi. Il primo è di ambito cosmologico e tratta una problematica che è stata centrale negli studi di astrofisica della seconda metà del ventesimo secolo e che continua ad essere di attualità, come è provato dal recente libro di L. Susskind. L’autore, un astrofisico americano, ha delineato con chiarezza il processo che ha portato alla scoperta dei buchi neri, delineando le loro fondamentali caratteristiche in un modo che resta sostanzialmente valido anche dopo le ultime acquisizioni. Il secondo testo è di ambito storico e tratta del rapporto tra stato e nazionalità che il presidente americano Wilson pose al centro dei lavori della conferenza di Versailles, al termine del I conflitto mondiale. L’autore, uno dei maggiori storici inglesi, esamina la questione con critica oggettività, mantenendosi al di sopra delle roventi polemiche che accompagnarono l’iniziativa wilsoniana e che purtroppo risorgono anche oggi quando il problema si ripresenta in diverse aree del mondo. Il terzo testo, di ambito epistemologico, è tratto dall’opera maggiore di K. Popper e discute il concetto di falsificazione sia come criterio di validazione a livello teorico sia come criterio di demarcazione. Popper mostra anche in questo brano la sua peculiare lucidità espositiva. Per maggiore chiarezza nella discussione delle risposte, i testi qui riprodotti sono stati dotati della numerazione dei periodi in modo che le soluzioni dei quesiti possano farvi riferimento così da evitare inutili ripetizioni o circonlocuzioni di difficile comprensione. La sezione consiste di 15 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 22 000 candidati nella prova del 1o settembre 2005 è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale

Percentuale dei candidati per Punteggio Parziale ottenuto nella Comprensione Verbale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella Sezione di Comprensione Verbale compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. Il Punteggio Parziale puĂ˛ variare teoricamente tra â&#x2C6;&#x2019;3,75 e 15 punti, mentre il punteggio medio Ă¨ approssimativamente superiore agli 8 punti (8,09 per la precisione).

TESTO I

I buchi neri 1 Gli

effetti gravitazionali a densità maggiori di quella corrispondente ad una stella di neutroni] diventano così intensi da prevalere su tutto. 2 La teoria gravitazionale newtoniana è allora del tutto inadeguata a trattare il problema e dobbiamo rivolgerci alla teoria della relatività generale di Einstein. 3 Nel fare ciò siamo portati ad un modello così strano che in confronto persino una stella di neutroni sembra una banalità. 4 Questo nuovo modello presentato originariamente da Oppenheimer e Hartland Snyder ha meritato l’appellativo di “buco nero”. 5 Un buco nero è una regione dello spazio entro cui è “caduta” una stella (o un insieme di stelle o di altri corpi) e dal quale non può sfuggire né luce, né materia, né segnali di qualsiasi tipo. 6 La teoria della relatività generale ha un importante ruolo nella teoria delle stelle di neutroni ancor prima che si raggiungano le condizioni limite del buco nero. 7 La teoria è riuscita bene nella descrizione di stelle di dimensioni e densità enormemente diverse e quindi, da questo punto di vista, in pratica non ci dovrebbe essere motivo di dubitare della insignificante estrapolazione necessaria per comprendere anche il caso del buco nero. 8 Tale opinione non è però del tutto giusta. 9 La parte della fisica teorica su cui si basa la descrizione dettagliata di un buco nero, cioè la teoria della relatività generale, non ha avuto un ruolo insostituibile nell’astronomia osservazionale. 10 Bisogna prendere seriamente in considerazione la possibilità che la teoria della relatività sia sbagliata. 11 Le prove sperimentali della relatività generale portate a termine con successo non sono ancora molto numerose e, sebbene i dati sperimentali e la teoria non siano in contrasto, questi dati non convergono in modo conclusivo verso la relatività generale. 12 Bisogna però dire che la teoria della relatività generale è un’ottima teoria; essa è quasi certamente la più soddisfacente teoria gravitazionale di cui possiamo disporre. 13 Per di più la teoria scalare–tensoriale di Brans–Dicke–Jordan, che può essere considerata come la più seria rivale della teoria della relatività generale, porta alla stessa idea del buco nero che si ha dalla teoria di Einstein. 14 Persino secondo la teoria newtoniana può generarsi una situazione simile a quella del buco nero. 15 Già nel 1798 Pierre Simon de Laplace aveva infatti previsto, proprio in base alla meccanica newtoniana, che un corpo di massa e concentrazione sufficienti sarebbe stato invisibile poiché la velocità di fuga alla sua superficie sarebbe superiore alla velocità della luce. 16 Perciò un fotone, o una particella di luce, emessa radialmente sulla superficie ricadrebbe su questa stessa e non potrebbe quindi sfuggire e venire osservata a grande distanza. 17 Dopo aver fatto queste osservazioni, restringerò comunque la discussione a considerazioni comprese tutte entro i limiti della teoria generale della relatività. 18 Per cominciare esamineremo l’attuale modello standard di buco nero. 19 Il buco nero è caratterizzato da una superficie sferica il cui raggio è proporzionale alla massa del buco. 20 Questa superficie è detta “orizzonte assoluto dell’evento”; la proprietà che la definisce è che i segnali emessi all’interno non possono sfuggire, mentre da qualsiasi punto esterno ad essa i segnali possono essere emessi e sfuggire. 21 Le dimensioni della sfera per ogni massa, cioè il raggio dell’orizzonte assoluto, si può calcolare moltiplicando il doppio della massa per la costante universale di gravitazione e dividendo il risultato per il quadrato della velocità della luce (2mG/c2 ). 22 Facendo il calcolo per il Sole ne risulta che questo dovrebbe collassare in una sfera del diametro di 6,4 chilometri: l’orizzonte dell’evento assoluto sarebbe appunto la superficie di questa sfera di 6,4 chilometri. 23 Il corpo al cui collasso era dovuta l’esistenza del buco nero è sprofondato all’interno dell’orizzonte assoluto. 24 Il campo è diventato così potente che la luce stessa viene attratta all’interno indipendentemente dalla direzione in cui è stata emessa. 25 Fuori dall’orizzonte assoluto la luce, se 68

diretta in modo appropriato verso l’esterno, può sfuggire. 26 Quanto più il punto di emissione è vicino all’orizzonte assoluto, tanto più il fronte d’onda del segnale emesso viene spostato all’indietro verso il centro del buco nero. 27 Intuitivamente possiamo pensare a questo spostamento come dovuto all’effetto dell’attrazione gravitazionale sul moto della luce: la luce viaggia più facilmente in direzione del centro di gravità del buco nero che non verso l’esterno. 28 All’interno dell’orizzonte assoluto dell’evento l’attrazione è diventata così intensa da rendere assolutamente impossibile il moto verso l’esterno. 29 Sull’orizzonte stesso la luce può “segnare il tempo” mantenendosi per l’eternità sempre alla stessa distanza dal centro del buco.

Il testo tratta di un gruppo di oggetti molto discussi dalla ricerca cosmologica i buchi neri delineandone alcune caratteristiche. I concetti coinvolti sono quelli di massa, forza gravitazionale, velocità della luce. Il riferimento alla relatività generale si limita al suo status epistemologico. Nel suo complesso il testo si propone di fare il punto sulla ricerca cosmologica in oggetto. NOTA

16.

Collassando nella condizione di buco nero, il Sole A. B. C. D. E.

diventerebbe più visibile perderebbe una parte della sua massa ridurrebbe le sue dimensioni perderebbe la sua gravità si dilaterebbe enormemente

Soluzione La risposta E è evidentemente errata: il collasso implica una contrazione non una dilatazione. La risposta B è errata: il collasso provoca la contrazione del volume occupato dalla massa, non la sua diminuzione della massa. Si aggiunga che dire genericamente parte, senza quantificazione, è comunque inesatto. Altrettanto errata è la risposta D: collassando, la gravità non va persa, anzi il campo gravitazionale aumenta di intensità. La risposta A è inesatta o meglio impropria: il testo non fa alcun cenno a variazioni di luminosità o visibilità in funzione del collasso. La risposta C è quella corretta, come si deduce anche dallo stesso concetto di collasso. Risultati percentuali relativi al quesito 16 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

2.19% 5.79% 61.03% 8.45% 6.26%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

61.03% 16.28% 22.69%

17.

Da un buco nero la luce A. B. C. D. E.

è più brillante sull’orizzonte assoluto esce con una velocità inferiore a 300 000 km/s viene emessa irregolarmente non viene emessa viene emessa a intervalli regolari

Soluzione La risposta esatta è D, come si evince sia dal periodo 15 che dal periodo 20. Ne deriva l’inesattezza delle risposte C ed E perché entrambe postulano una emissione di luce. Errata risulta pure la risposta B in quanto la teoria postula una impossibilità di fuga e non un rallentamento della luce. La risposta A è invece inesatta perché all’interno dell’orizzonte assoluto la luce non viene emessa, mentre sull’orizzonte (periodo 20) si postula una invarianza della distanza della luce dal centro e, quindi, una invarianza di luminosità. Risultati percentuali relativi al quesito 17 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

18.

5.16% 2.03% 5.32% 76.37% 2.50%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

76.37% 8.61% 15.02%

Il raggio dell’orizzonte assoluto A. B. C. D. E.

Soluzione La risposta D è chiaramente assurda: se il raggio del buco nero coincidesse con il limite dell’universo, tutto sarebbe assorbito in un unico punto. Analoga è la ragione della inesattezza della risposta B perché essa postula una assoluta contrazione dell’intera galassia. La risposta A presuppone la varianza del raggio dell’orizzonte in funzione di un fattore esterno, come la distanza di un osservatore, e questo in contrasto con la sua assolutezza; inoltre nel testo non si implica mai un rapporto tra buco nero e osservazione. La falsità della risposta E si deduce dal periodo 17 che collega il raggio dell’orizzonte assoluto (del cui calcolo fornisce la formula) alla massa del buco nero. 70

La risposta corretta è quindi la C. Risultati percentuali relativi al quesito 18 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

19.

0.78% 1.10% 91.24% 0.47% 0.63%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

91.24% 5.79% 2.97%

La teoria della relatività generale A. B. C. D. E.

ha avuto moltissime conferme sperimentali non riguarda le stelle di neutroni era già nota a Newton non è stata confermata da molte prove sperimentali non ha nulla a che fare con l’esperienza

Soluzione La risposta B è chiaramente sbagliata perché contraddittoria con quanto affermato ai periodi 6 e 7. La risposta C è errata per quanto affermato nel periodo 15. La risposta A è sbagliata perché in contrasto con il periodo 11. (Le prove sperimentali della relatività generale. . . non sono ancora molto numerose) e ancora più chiaramente col periodo 10. Ciò rende inesatta la risposta E. Perciò la risposta D è quella esatta. Risultati percentuali relativi al quesito 19 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

20.

6.57% 1.25% 2.97% 82.16% 1.88%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

L’esistenza di un buco nero A. B. C. D. E.

82.16% 5.16% 12.68%

Soluzione La risposta C è errata: il riferimento storico più lontano si ferma a Laplace (periodo 15). Le risposte B e D sono errate perché non tengono conto della impossibilità per la luce di sfuggire dal buco nero, il che lo rende inosservabile direttamente. La risposta E è chiaramente fuori quadro (anche se la fantasia ha un certo spazio nella ricerca). La risposta esatta è quindi la A. Risultati percentuali relativi al quesito 20 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

74.96% Risposte giuste: 1.72% Risposte nulle: 8.14% Risposte errate: 1.25% 1.10% TESTO II

74.96% 12.83% 12.21%

Nazioni e stati 1 La

situazione venutasi a creare fra le due guerre ci fornisce pertanto l’opportunità piuttosto eccezionale di valutare limiti e potenziale del nazionalismo degli Stati–nazione. 2 Tuttavia, prima di prenderli in esame, consideriamo brevemente il reale assetto del sistema Stati–nazione in cui fu fatta rientrare l’Europa dal trattato di Versailles e da quelli ad esso correlati; aggiungendovi, per pertinenza e convenienza, anche il trattato anglo–irlandese del 1921. 3 E basta un rapido sguardo a questa realtà per rendersi immediatamente conto dell’impraticabilità del principio wilsoniano di far coincidere frontiere statali e frontiere di nazionalità e lingua. 4 Infatti, i trattati di pace posteriori al 1918 applicarono effettivamente questo principio, almeno nella misura del possibile, salvo nel caso di alcune decisioni di tipo politico–strategico relative alle frontiere della Germania, più alcune concessioni piuttosto riluttanti all’espansionismo dell’Italia e della Polonia. 5 In ogni caso, né in Europa né in qualsiasi altro luogo, è mai stato fatto, né prima né dopo, un analogo sistematico tentativo di ridisegnare la cartina politica sulla scorta dei tracciati nazionali. 6 Solo che, molto semplicemente, la cosa non funzionò. 7 Perché inevitabilmente, stante la distribuzione dei popoli, la maggior parte dei nuovi Stati edificati sulle rovine dei vecchi imperi risultarono altrettanto “multinazionali” delle vecchie “prigioni delle nazioni” che avevano sostituito. 8 Rientrano in questa categoria Cecoslovacchia, Polonia, Romania, e Iugoslavia. 9 Mentre le minoranze tedesche, slovene e croate dell’Italia vennero per così dire a prendere il posto delle minoranze italiane nell’Impero asburgico. 10 Così il cambiamento più rilevante consistette nel fatto che gli Stati erano adesso mediamente più piccoli e che i “popoli oppressi” al loro interno, adesso li si chiamava “minoranze oppresse”. 11 La conseguenza del tentativo di creare un continente armoniosamente suddiviso in un sistema coerente di Stati territoriali, ciascuno abitato da popolazioni omogenee e con caratteristiche proprie sul piano etnico e linguistico, fu l’espulsione in massa e lo sterminio delle minoranze. 12 Questa, in sostanza, fu la crudele reductio ad absurdum del nazionalismo nella sua versione territorialistica, sebbene non se ne sia avuta completa dimostrazione sino agli anni 1940. 13 Tuttavia, ai confini meridionali d’Europa, l’espulsione in massa e il genocidio cominciarono già durante e subito dopo la prima Guerra Mondiale: non appena i Turchi inaugurarono la politica di estirpazione in massa degli Armeni nel 1915 e, in seguito alla guerra greco–turca del 1922, espulsero tra il milione e trecentomila e il milione e mezzo di Greci dalle terre che abitavano dall’epoca di Omero. 14 Successivamente, Adolf Hitler, applicando sino alle estreme conseguenze i principi del 72

nazionalismo wilsoniano, pianificò il trasferimento in Germania dei Tedeschi che non vivevano all’interno dei confini della madrepatria, come per esempio quelli del Sudtirolo italiano, e, com’è noto, avviò alla soluzione finale l’eliminazione degli Ebrei. 15 Dopo la seconda Guerra Mondiale, verificatasi in pratica la scomparsa degli Ebrei da quella vasta fascia di territorio europeo compresa fra la Francia e l’interno dell’Unione Sovietica, venne il turno dei Tedeschi ad essere espulsi in massa, in particolare dalla Polonia e dalla Cecoslovacchia. 16 Così, la nazione territorialmente omogenea risultò un programma la cui realizzazione poteva essere opera esclusivamente di barbari o, se non altro, avvenire solo con gli strumenti della barbarie. Il testo ruota sui concetti di Stato e Nazione (intesa come una comunità omogenea per etnia, cultura e linguaggio) e sul loro rapporto, nonché sui subconcetti di Stato nazionale (o uninazionale) e Stato multinazionale. Il riferimento storico è all'intervento del Presidente W. Wilson alla Conferenza di Versailles. Il signi cato generale del testo è il seguente: il tentativo wilsoniano di far coincidere Stati e Nazioni non solo non riuscì, ma ebbe conseguenze opposte. NOTA

21.

Gli stati nazionali usciti dalla conferenza di Versailles A. B. C. D. E.

Soluzione La risposta E è errata perché contraddittoria a quanto asserito nel periodo 5 e al periodo 6. Di conseguenza è sbagliata la risposta D: al periodo 10 si parla di minoranze oppresse. La risposta A è incongrua: gli interessi rispettati erano quelli dei vincitori, non quelli dei vinti. La risposta B è errata perché nella sua genericità non tiene conto che negli Stati plurinazionali il nazionalismo dell’etnia dominante era più che rispettato. La risposta esatta è quindi la C. Risultati percentuali relativi al quesito 21 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

6.26% 6.73% 59.62% 3.29% 8.14%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

59.62% 15.96% 24.41%

22.

Il principio wilsoniano postulava A. B. C. D. E.

Soluzione La risposta E è errata perché contraddittoria a quanto detto nel periodo 3 (il principio wilsoniano di far coincidere frontiere statali e frontiere di nazionalità e lingue). Di conseguenza risulta errata anche la risposta C. La risposta A è inesatta perché l’ordinamento federale è neutro rispetto al carattere uni/multinazionale dello Stato, quindi non conseguiva dal principio politico di Wilson. La risposta B è troppo generica in quanto non specifica il tipo di organismo: è ovvio infatti che organismi rappresentativi delle singole nazionalità potrebbero sussistere anche in uno Stato multinazionale. La risposta esatta è pertanto la D. Risultati percentuali relativi al quesito 22 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

23.

0.94% 1.88% 0.78% 91.71% 2.03%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

91.71% 2.66% 5.63%

Nel caso della Germania i trattati di pace A. B. C. D. E.

Soluzione La risposta B è errata perché contrasta con quanto detto nel periodo 4, nel periodo 9 righi 1516 (minoranza tedesca in Italia) e nel periodo 14. Questo implica l’inosservanza nel caso della Germania del principio di nazionalità e, quindi, l’inesattezza della risposta D. Ne consegue anche l’inesattezza della risposta C. Se lo Stato tedesco non riuniva tutti i tedeschi, tanto meno si vedeva assegnare nuove minoranze. Ciò non implica che non ne contenesse storicamente alcune (ad esempio gli Ebrei). 74

La risposta esatta è la E che non solo attesta l’inosservanza del principio nazionalistico, ma ne chiarisce anche le cause (già adombrate al periodo 4 salvo nel caso di alcune decisioni di tipo politico-strategico). Risultati percentuali relativi al quesito 23 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

24.

10.02% 10.33% 0.47% 2.97% 62.13%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

62.13% 14.08% 23.79%

L’eliminazione degli Ebrei A. B. C. D. E.

Soluzione Non avendo alla propria base il corretto intendimento di teorie nazionaliste, ne deriva che l’antisemitismo nasceva anche da ragioni politiche, contrariamente a quanto asserito dalla risposta D, che risulta quindi errata. La menzione di Hitler attesta il legame totalitarismo-antisemitismo e, quindi, l’erroneità della risposta C. La risposta B è storicamente inesatta e si scontra con quanto sostenuto nel penultimo periodo. Il principio nazionalistico non comportava la cosiddetta soluzione finale, che deriva da un’aberrante interpretazione razzistica di tale principio. Perciò è esatta la risposta A e, di conseguenza, la risposta E è errata. Risultati percentuali relativi al quesito 24 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

25.

71.83% 0.47% 0.31% 0.78% 21.91%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

Negli stati nazionali A. B. C. D. E.

le minoranze erano tutelate e protette la lingua delle minoranze era tutelata nessun individuo era discriminato le minoranze erano oppresse ogni gruppo nazionale aveva pari diritti 75

71.83% 4.69% 23.47%

Soluzione Le risposte A e E, che sono incompatibili con la D e con la tesi fondamentale del testo, sono errate. La risposta B è errata perché la mancata tutela di una minoranza implica la mancata tutela dei suoi caratteri distintivi, in primis del linguaggio. Infine la risposta C è errata perché l’oppressione di una minoranza implica necessariamente la discriminazione di un gruppo più o meno consistente di individui. La risposta esatta è la D: si vedano i periodi 10 e 11. Risultati percentuali relativi al quesito 25 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

1.10% Risposte giuste: 0.63% Risposte nulle: 1.10% Risposte errate: 86.85% 1.88% TESTO III

86.85% 8.45% 4.69%

Induzione e falsificazione 1 Il

criterio di demarcazione inerente alla logica induttiva — cioè il dogma positivistico del significato — è equivalente alla richiesta che tutte le asserzioni della scienza empirica (ovvero tutte le asserzioni “significanti”) debbano essere passibili di una decisione conclusiva riguardo alla loro verità e falsità; diremo che devono essere decidibili in modo conclusivo. 2 Ciò significa che la loro forma deve essere tale che sia il verificarle sia il falsificarle debbano essere logicamente possibili. 3 Così Schlick dice: “. . . un’asserzione autentica deve essere passibile di verificazione conclusiva”; e Waismann afferma ancor più chiaramente: “Se non è in alcun modo possibile determinare se un’asserzione è vera, allora l’asserzione non ha alcun significato. 4 Infatti il significato di un’asserzione è il metodo della sua verificazione”. 5 Ora, secondo me, non esiste nulla di simile all’induzione. 6 È pertanto logicamente inammissibile l’inferenza da asserzioni singolari “verificate dall’esperienza” (qualunque cosa ciò possa significare) a teorie. 7 Dunque le teorie non sono mai verificabili empiricamente. 8 Se vogliamo evitare l’errore positivistico, consistente nell’eliminare per mezzo del nostro criterio di demarcazione i sistemi di teorie delle scienze della natura, dobbiamo scegliere un criterio che ci consenta di ammettere, nel dominio della scienza empirica, anche asserzioni che non possono essere verificate. 9 Ma io ammetterò certamente come empirico, o scientifico, soltanto un sistema che possa essere controllato dall’esperienza. 10 Queste considerazioni suggeriscono che, come criterio di demarcazione, non si deve prendere la verificabilità, ma la falsificabilità di un sistema. 11 In altre parole: da un sistema scientifico non esigerò che sia capace di essere scelto, in senso positivo, una volta per tutte; ma esigerò che la sua forma logica sia tale che possa essere messo in evidenza, per mezzo di controlli empirici, in senso negativo; un sistema empirico deve poter essere confutato dall’esperienza. (12 Così l’asserzione “Domani pioverà o non pioverà” non sarà considerata un’asserzione empirica, semplicemente perché non può essere confutata, mentre l’asserzione “Qui domani pioverà” sarà considerata empirica). 13 Contro il criterio di demarcazione che ho proposto qui si possono sollevare diverse obiezioni. 14 In primo luogo può sembrare piuttosto sciocco il suggerire che la scienza, la quale dovrebbe darci informazioni positive, si debba caratterizzare dicendo che soddisfa un criterio negativo, come la confutabilità. 76

15 Ancora:

si potrebbe tentare di rivolgere contro me stesso le critiche che ho rivolto al criterio di demarcazione induttivistico: potrebbe infatti sembrare che contro la falsificabilità come criterio di demarcazione sia possibile sollevare critiche simili a quelle che io, per parte mia, ho sollevato contro la verificabilità. 16 Questo attacco non può darmi noia. 17 La mia proposta si basa su una asimmetria tra verificabilità e falsificabilità, asimmetria che risulta dalla forma logica delle asserzioni universali. 18 Queste infatti non possono mai essere derivate da asserzioni singolari. 19 Di conseguenza è possibile, per mezzo di inferenze puramente deduttive (con l’aiuto del modus tollens della logica classica), concludere dalla verità di asserzioni singolari alla falsità di asserzioni universali. 20 Un tale ragionamento, che conclude alla falsità di asserzioni universali, è il solo tipo di inferenza strettamente deduttiva che proceda, per così dire, nella “direzione induttiva”; cioè da asserzioni singolari ad asserzioni universali. NOTA Il concetto centrale nel testo di Popper è quello di criterio di demarcazione. Ne vengono distinti due tipi: un criterio di demarcazione empirico, fondato sull'induzione, e un criterio di demarcazione logico, fondato sulla falsi cabilità. L'intento complessivo del testo è la critica alla pretesa di ridurre al procedimento induttivo sia la formulazione sia la validazione di teorie scienti che. Il riferimento storico (implicito) è al Neopositivismo (anni 20 del Novecento e al dibattito epistemologico conseguente).

26.

Il vero criterio di demarcazione A. B. C. D. E.

è la verificabilità empirica ha una base esclusivamente universale deriva da constatazioni particolari deriva da esperimenti ripetuti è la falsificabilità

Soluzione Essendo un principio metodologico, il criterio di demarcazione nasce da considerazioni logiche e da riflessioni epistemologiche, quindi non deriva da una serie di esperienze (erroneità della risposta D), né da constatazioni particolari (erroneità della risposta C). Il criterio di demarcazione ha un valore universale, mentre alla sua base possono stare considerazioni particolari e nella sua applicazione rientra sempre (si veda perciò il periodo 17) la verità di asserzioni particolari. La risposta B risulta quindi inesatta. Si può parlare di verificabilità empirica a proposito di dati o asserti o protocolli, non relativamente a un criterio che utilizza una pura inferenza logica e considera l’asserto particolare non per sé o per la sua verifica ma per il suo rapporto di conferma o disconferma di un asserto teorico universale. Quindi la verificazione empirica di per sé non realizza il vero criterio di demarcazione. La risposta A è pertanto errata. La risposta esatta è la E, come si evince chiaramente dal periodo 10.

Risultati percentuali relativi al quesito 26 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

27.

25.35% 2.35% 1.41% 4.54% 51.49%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

51.49% 14.87% 33.65%

Il criterio di demarcazione serve per distinguere A. B. C. D. E.

la scienza e la metafisica il particolare dall’universale verità e falsità le teorie scientifiche da quelle non scientifiche gli empiristi dai razionalisti

Soluzione La risposta A è errata perché nel testo non si parla di metafisica, termine che andrebbe comunque precisato. La risposta E è ugualmente inesatta: le diversità tra empirismo e razionalismo vanno ben oltre il criterio di demarcazione, inoltre i due termini indicano scuole di pensiero molto complesse e non possono essere fatti semplicemente coincidere con le posizioni discusse nel testo. La risposta C è impropria perché è nello stesso tempo troppo generica (di quale verità e falsità si tratta?) e troppo assolutista, ponendo tra verità e falsità un’assoluta opposizione, senza possibilità intermedie. La risposta B è errata in quanto il criterio di demarcazione può applicarsi sia ad asserti particolari sia ad asserti universali e, quindi, non può esserne il fattore discriminante. Quindi la risposta esatta è la D, come anche implicito nel periodo 14. Risultati percentuali relativi al quesito 27 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

28.

1.25% 3.29% 48.67% 22.07% 2.66%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

22.07% 22.07% 55.87%

L’errore dell’induzione sta A. B. C. D. E.

Soluzione L’errore non sta nella negazione dell’esperienza (risposta E, errata) e neppure, al contrario, nel riconoscere come validi solo gli asserti astratti (risposta D errata), il cui rifiuto è implicito in un induttivismo radicale. Tale impostazione epistemologica, pur non rifiutando interamente la logica, ne subordina il valore al dato empirico. Questo rende erronea la risposta B. Gli induttivisti non trascurano la verificazione anzi dicono che il significato di un termine sta nella sua verificazione (periodo 2). Non possiamo quindi imputare agli induttivisti come errore la non importanza della verificazione. La risposta C è pertanto inesatta. La risposta esatta è la A: il testo afferma al periodo 6 che è logicamente inammissibile l’inferenza da asserzioni particolari. . . a teorie, e al periodo 18 che asserzioni universali non possono mai essere derivati da asserzioni singolari. Risultati percentuali relativi al quesito 28 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

29.

35.21% 4.07% 6.57% 6.26% 10.02%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

35.21% 37.87% 26.92%

Da asserzioni particolari A. B. C. D. E.

Soluzione Premesso che per una questione di logica elementare bisogna fare particolare attenzione alle risposte che cominciano con Non, è ovvio che le risposte E e B sono errate. Infatti qualsiasi asserto particolare, che non sia assurdo, può convogliare una informazione e può portare alla conoscenza di nuovi fenomeni, il che tuttavia non lo giustifica come base di asserti universali né come criterio di demarcazione. L’impossibilità di un esame esaustivo di tutti i casi particolari rende scorretto il passaggio ad affermazioni universali (periodo 3). Una verifica empirica della validità di una teoria non è ammissibile, il che rende erronea la risposta C. Tanto meno, quindi, asserzioni particolari possono da sole costruire una nuova teoria (erroneità della risposta D). A parte la loro funzione, che qui non viene tematizzata, come base di ipotesi, gli asserti particolari, fondati sull’esperienza, assumono la funzione nel rapporto con una teoria, di conferma o disconferma (periodo 19) di questa e dei suoi asserti universali. La risposta esatta è, quindi, la A. La possibilità di tale rapporto, ossia la falsificabilità, si conferma come il vero criterio di demarcazione.

Risultati percentuali relativi al quesito 29 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

30.

41.94% 2.35% 5.95% 2.50% 2.50%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

41.94% 44.76% 13.30%

L’affermazione “domani pioverà o non pioverà” è infalsificabile perché A. B. C. D. E.

non ha basi attendibili è sicuramente falsa la meteorologia non è una scienza esatta la scienza non prevede fatti singoli è vera in ogni caso

Soluzione Posto che la falsificabilità consiste (periodo 12) nella possibilità, per mezzo di inferenze puramente deduttive, di concludere alla falsità di asserti universali, a rendere infalsificabile l’affermazione in oggetto non è la presunta mancanza di basi, quindi la risposta A è errata. La verità o meno dell’affermazione è indipendente dallo status epistemologico della meteorologia, contro quanto asserito dalla risposta C, che è quindi falsa. La risposta D è inesatta: almeno in molti casi la scienza può prevedere fatti singoli (per esempio domani pioverà) ma comunque questo non rende infalsificabile il nostro asserto. Fra le risposte B ed E, essendo mutuamente esclusive perché contrarie l’una dell’altra, solo una può essere corretta. L’asserto in esame afferma entrambe le corna di una endiadi esaustiva (due concetti coordinati, mutuamente esclusivi, che esauriscono tutti i casi possibili); ciò la rende infalsificabile e quindi rende esatta la risposta E. Risultati percentuali relativi al quesito 30 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

25.98% 0.94% 3.44% 1.72% 53.21%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

53.21% 14.71% 32.08%

MATEMATICA 1 Commenti e soluzioni a cura di Gioconda Moscariello e Antonia Passarelli Introduzione La sezione di Matematica 1 è dedicata prevalentemente all’accertamento delle conoscenze acquisite in relazione a quanto sinteticamente richiesto nel sillabo della pagina 7. Le soluzioni ai quesiti di questa sezione richiedono perciò nozioni e metodi generali appresi nelle scuole superiori; all’occorrenza, può essere talvolta necessario far uso di qualche formula tra quelle più semplici che costituiscono, o almeno dovrebbero costituire, il bagaglio matematico di coloro che abbiano conseguito un diploma di scuola media superiore. Questa sezione consiste di 20 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. La sezione consiste di 20 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 22 000 candidati nella prova del 1o settembre 2005 è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella Sezione di Matematica 1 compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse.

Percentuale dei candidati per Punteggio Parziale ottenuto nella sezione Matematica 1 Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −5 e 20 punti, mentre il punteggio medio è un po’ superiore superiore ai 5 punti (5,61 per la precisione).

31.

Rispetto ad un sistema cartesiano Oxy la distanza del punto di coordinate (−4, 2) dalla retta di equazione x = 2 è: A. B. C. D. E.

−2 2 −6 6 4

Soluzione La distanza di un punto da una retta è per definizione la misura del segmento di perpendicolare tracciata dal punto sulla retta. Poiché la retta di equazione x = 2 è parallela all’asse delle y, ogni retta ad essa perpendicolare sarà parallela all’asse delle x. L’unica retta che passa per il punto (−4, 2) ed è parallela all’asse delle x è la retta di equazione y = 2. Tale retta incontra la retta x = 2 nel punto di coordinate (2, 2). Pertanto la distanza dal punto (−4, 2) dalla retta x = 2 coincide con la misura del segmento gli estremi (−4, 2), (2, 2). Tale misura, essendo le ordinate dei due punti in questione coincidenti, è data dal valore assoluto della differenza tra le loro ascisse. Calcolando esplicitamante abbiamo che |2 − (−4)| = 6 e dunque la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 31 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

32.

3.29% 5.01% 8.29% 69.17% 5.01%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

69.17% 9.23% 21.60%

La scomposizione in fattori primi del numero 3013 è: A. B. C. D. E.

215 312 713 213 313 513 3013 613 513 impossibile

Soluzione Ricordiamo che scomporre un numero in fattori primi significa esprimerlo come prodotto di potenze di numeri primi (non banali), cioè di numeri divisibili solo per 1 o per se stessi diversi da 1. Ricordiamo inoltre che sussite la seguente proprietà delle potenze (a · b)γ = aγ · bγ 82

Poiché la scomposizione in fattori primi del numero 30 è data da 30 = 2 · 3 · 5 si ha che 3013 = 213 · 313 · 513 Pertanto la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 32 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

33.

0.94% 64.01% 5.16% 3.91% 5.48%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

64.01% 20.50% 15.49%

Sia a un numero reale maggiore di 1. L’espressione numerica s √ a2 a loga 5 a2 è uguale a: A. B. C. D. E.

−1 a e 0 +1

Soluzione Utilizzando le proprietà delle potenze: 1

an =

√ n a

an · am = an+m an = an−m am riscriviamo l’ espressione assegnata come segue v v t t s √ 1 5 a2 a a2 a 2 a2 loga = loga = loga = loga 1 5 5 5 a2 a2 a2 D’altra parte ricordiamo che loga b è per definizione il numero reale y tale che ay = b. Quindi loga 1 = 0 83

poiché a0 = 1. Dunque concludiamo che la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 33 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

34.

2.97% 3.91% 3.91% 36.62% 8.76%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

36.62% 43.82% 19.56%

Una squadra di operai deve asfaltare una piazza circolare. Arrivata sul posto scopre che la piazza ha diametro doppio del previsto. Quanto asfalto serve rispetto a quello preventivato? A. B. C. D. E.

Non si può rispondere se non si conosce il raggio previsto o quello effettivo. Una quantità π2 volte quella prevista Il doppio Il quadruplo Una quantità 2π volte quella prevista

Soluzione Ricordiamo che l’area di un cerchio di raggio r è data dalla formula πr2 . Se il diametro della piazzola è doppio del previsto, il raggio della piazzola è doppio del previsto. Dunque l’area sarà data da π(2r)2 = 4πr2 Pertanto l’ area del cerchio di raggio doppio ha area quadrupla e concludiamo che la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 34 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

35.

3.29% 4.38% 18.15% 56.03% 9.23%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

56.03% 8.92% 35.05%

Un motociclista accorto, in un suo viaggio di 600 km, fa uso anche della ruota di scorta in maniera che alla fine del viaggio le tre ruote subiscano la stessa usura. Quanti chilometri avrà percorso ogni ruota alla fine del viaggio? A. B. C. D. E.

350 km 400 km 450 km 500 km 200 km 84

Soluzione Poiché si vuole che ogni ruota abbia la stessa usura, essa dovrà percorrere un tratto di strada pari ad un terzo del percorso totale moltiplicato per due. Detta x l’usura di ciascuna ruota si avrà allora che x=

2 600 km = 400 km 3

Quindi la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 35 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

36.

3.13% 55.71% 2.19% 0.16% 29.73%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

55.71% 9.08% 35.21%

Sia A l’ insieme dei numeri interi positivi dispari o primi. Allora è vero che: A. B. C. D. E.

12 ∈ A 98 ∈ A 13 < A 2∈A 3<A

Soluzione Dalla definizione abbiamo che un numero appartiene all’insieme A se è un numero intero dispari (cioè non divisibile per 2) oppure primo (cioè divisibile solo per 1 e per se stesso). Allora osserviamo che la risposta esatta è la D. Infatti 2 ∈ A in quanto il numero 2 è primo, pur essendo pari. Tutte le altre risposte sono false, in quanto 12 e 98 essendo pari non appartengono ad A mentre 3 e 13 sono dispari e dunque appartengono ad A. Risultati percentuali relativi al quesito 36 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

1.25% 2.50% 5.63% 76.84% 2.35%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

76.84% 11.42% 11.74%

37.

Rispetto ad un piano cartesiano Oxy i punti del piano diversi dal punto (−1,2) sono tutti e soli i punti (x,y) tali che: A. y , 2 B. xy , −2 C. x , −1 D. x , −1 oppure y , 2 E. x , −1 e y , 2

Soluzione Due punti del piano cartesiano Oxy coincidono se e solo se hanno le stesse coordinate. Dunque i punti del piano cartesiano Oxy diversi dal punto (−1,2) sono tutti e soli i punti che hanno o l’ascissa diversa da −1 oppure l’ ordinata diversa da 2. Pertanto la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 37 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

38.

0.31% 1.56% 0.31% 27.86% 56.49%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

27.86% 13.46% 58.69%

Rispetto ad un piano cartesiano Oxy l’equazione dell’asse del segmento di estremi (0,0) e (2,2) è: A. x − y = 2 B. x = 1 C. y = x D. x + y = 2 E. y = 1

Soluzione Il segmento di estremi (0,0) e (2,2) appartiene alla retta di equazione y = x. Ciò si ricava facilmente osservando che tutte e sole le rette passanti per l’origine sono della forma y = mx e imponendo che il punto (2,2) appartenga alla retta ricaviamo che 2 = 2m e cioè m = 1. L’ asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare che passa per il suo punto medio. Ricordiamo che il punto medio di un segmento ha come ascissa la semisomma delle ascisse e come ordinata la semisomma delle ordinate. Pertanto il punto medio del segmento di estremi (0,0) e (2,2) è il punto di coordinate (1,1). L’ asse del segmento, dovendo essere perpendicolare alla retta y = x avrà equazione del tipo y = −x + q. Infatti la condizione di perpendicolarità tra rette in un piano 86

cartesiano (m · m0 = −1) implica che il coefficiente angolare dell’asse x è −1. Imponendo che il punto (1,1) appartenga a tale retta ricaviamo 1 = −1 + q

⇒

q=2

Quindi l’asse del segmento ha equazione y = −x + 2 e concludiamo che la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 38 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

39.

4.69% 2.35% 55.09% 25.51% 1.41%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

25.51% 10.95% 63.54%

Se a e b sono numeri reali tali che a2 + b2 = 0 allora si può concludere che certamente è: A. B. C. D. E.

a>b ab < −1 a+b=1 a+b=0 ab > 0

Soluzione Basta osservare che l’equazione a2 + b2 = 0 è soddisfatta nel campo dei numeri reali solo dalla coppia a = 0, b = 0. Infatti se a fosse diverso da 0 o b fosse diverso da 0, la quantità a2 + b2 sarebbe strettamente maggiore di 0, in quanto nel campo dei numeri reali non esistono numeri il cui quadrato è negativo. Se, dunque, a e b sono entrambi nulli, anche la loro somma è nulla. Pertanto la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 39 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

40.

2.35% 4.85% 0.47% 61.35% 6.10%

La disequazione cos x + sin x ≥

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

61.35% 24.88% 13.77%

√ 2 è verificata nell’ intervallo 0 ≤ x ≤ 2π per:

A. ogni x B. x = − π4 C. almeno un x tale che π2 < x < π D. x = π4 E. nessun x 87

Soluzione Ricordiamo le ben note formule parametriche che consentono di esprimere cos x e sin x in funzione di t = tan 2x . Abbiamo cioè che 2t 1 − t2 sin x = 1 + t2 1 + t2 Usando queste formule, la disequazione assegnata si trasforma nella seguente disequazione di secondo grado nell’incognita t: √ 1 − t2 2t + ≥ 2 1 + t2 1 + t2 m √ 2 1 − t + 2t ≥ 2(1 + t2 ) cos x =

√

m 2

( 2 + 1)t − 2t +

√ 2−1≤0

Il discriminante di questo trinomio di secondo grado è dato da √ √ ∆ = 1 − ( 2 − 1)( 2 + 1) = 1 − (2 − 1) = 0 4 Di conseguenza il trinomio considerato non è mai strettamente minore di zero e risulta essere uguale a zero in corrispondenza di √ 1 t= √ = 2 − 1. ( 2 + 1) Ricordando che t = tan 2x , siamo ricondotti a risolvere l’equazione x √ tan = 2 − 1 2 che è soddisfatta per x = π4 . Deduciamo che l’unico valore nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 2π per il quale la √ disequazione cos x + sin x ≥ 2 è verificata è x = π4 e cioè la risposta esatta è la D. A conclusioni identiche si arriva esaminando il caso più generale basato sulla seguente identità: ! p A B A cos x + B sin x = A2 + B2 √ cos x + √ sin x A2 + B2 A2 + B2 I due fattori fratti godono della proprietà che la somma dei loro quadrati è unitaria; perciò possono essere identificati con il coseno e il seno di un opportuno angolo, precisamente dell’angolo B per ogni k intero ϕ = arctan + kπ A Nel nostro caso, dove ci interessa l’intervallo compreso fra 0 e π, possiamo assumere k = 0; inoltre, con A = B = 1 l’angolo risulta ϕ = π4 . Sostituendo i valori trovati per A, B e ϕ nella diseguaglianza data e, ricordando la formala del coseno della differenza di due angoli, otteniamo √ π √ 2 cos x − ≥ 2 4 Siccome il coseno ha un massimo che vale 1 quando il suo argomento è nullo, e questo accade per x = π4 , un valore che cade dentro all’intervallo specificato, il primo membro ha un massimo che √ vale esattamente 2, perciò la diseguaglianza data è verificata con il segno di uguaglianza sia pure solo per un valore di x; la risposta esatta, dunque, è la D. 88

Si può procedere anche per esclusione: la risposta A è falsa perché esiste almeno il valore x = 0 per il quale la disuguaglianza non è veri cata; la riposta B è falsa perché il valore di x indicato cade fuori dell'intervallo 0 ≤ x ≤ 2π; la risposta C è falsa perché nell'intervallo indicato il coseno è sempre negativo e il seno sempre positivo e, visto che l'uno e l'altro sono sempre minori di 1 in modulo, la loro somma può essere compresa solo nell'intervallo [−1, +1], fuori dal limite della disuguaglianza; la risposta D è veri cata per x = π4 , quando sia il coseno sia √ √ il seno valgono 1/ 2 e quindi la loro somma vale 2; la risposta E è falsa perché, appunto, esiste almeno il valore x = π4 che permette di soddisfare la disuguaglianza. NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 40 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

41.

5.16% 2.35% 8.45% 21.91% 5.48%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

21.91% 56.65% 21.44%

Rispetto ad un√sistema√di riferimento cartesiano ortogonale Oxy, è data la circonferenza di equazione 3x2 + 3y2 − 2x − 2y = 0. Allora il suo raggio è: q 2 A. 3 B. 3 √ C. 3 D. 1 E. 2

Soluzione Ricordiamo che l’equazione di una circonferenza di centro C = (x0 ,y0 ) e raggio r in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy si trova imponendo che la distanza di un suo punto generico (x,y) dal centro sia uguale al raggio e cioè (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 da cui, esplicitando i quadrati e riordinando, otteniamo x2 + y2 − 2x0 x − 2y0 y + x02 + y20 − r2 = 0. Poiché la circonferenza assegnata può essere scritta equivalentemente come segue: 2 2 x2 + y2 − √ x − √ y = 0 3 3 deduciamo che il suo centro è il punto di coordinate ( √1 , √1 ) e che deve essere soddsfatta l’ 3 3 equazione x02 + y20 − r2 = 0. 89

Sostituendo il valore delle coordinate del centro otteniamo 1 1 + − r2 = 0 3 3 e cioè

2 3

r2 = Pertanto la risposta esatta è la A. Risultati percentuali relativi al quesito 41 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

42.

13.62% 4.38% 6.57% 4.69% 5.63%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

13.62% 65.10% 21.28%

In un parallelogramma di perimetro 2p si ha che : A. B. C. D. E.

Soluzione Ricordiamo che i lati opposti di un parallelogramma hanno la stessa lunghezza. Ciò implica che la somma delle lunghezze di due lati consecutivi è pari alla metà del perimetro, cioè a p. D’altra parte ogni diagonale forma con due lati consecutivi del parallelogramma un triangolo. Poiché in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due, ogni diagonale deve avere lunghezza minore della somma delle lunghezze di due lati consecutivi, cioè deve avere lunghezza minore di p. Concludiamo che la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 42 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

2.50% 51.96% 5.48% 2.97% 9.55%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

51.96% 27.54% 20.50%

43.

Dato un esagono regolare di lato L, l’area del rettangolo che ha due lati coincidenti con due lati paralleli dell’esagono è uguale a: √ A. 2 2L √ 2 B. 3L C. quella del cerchio circoscritto all’ esagono D. 2L2 E. quella del cerchio inscritto all’ esagono

Soluzione Tracciando il rettangolo che ha due lati coincidenti con due lati paralleli dell’esagono si osserva che gli altri due lati sono basi di due triangoli isosceli, i cui lati uguali coincidono con i lati dell’esagono e quindi hanno lunghezza L. Si osserva inoltre che gli angoli interni dell’esagono misurano 120◦ e quindi che tali triangoli isosceli hanno l’angolo opposto alla base che misura 120◦ e gli angoli adiacenti alla base che misurano 30◦ . Tracciando l’altezza relativa alla base si formano due triangoli rettangoli i cui angoli misurano 30◦ e 60◦ . Ricordando che in un triangolo rettangolo i cateti sono uguali alla misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto, ricaviamo che il lato del rettangolo ha misura data da √ √ 3 o 2L · sin 60 = 2L · =L 3 2 Poiché l’area del rettangolo√si calcola moltiplicando la misura della base per la misura dell’altezza troviamo che essa misura 3L2 . Pertanto la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 43 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

44.

9.55% 15.18% 1.56% 8.14% 9.23%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

L’equazione p

x2 − x = 0

è verificata A. B. C. D. E.

solo per solo per solo per solo per ∀x ∈ R

x = −1 x≥0 x=0 x=1

15.18% 56.34% 28.48%

Soluzione Ricordiamo che la radice quadrata di un numero reale a ≥ 0 è quel numero relae y ≥ 0 tale che y2 = a. Dunque p x2 = |x| dove con |x| denotiamo il valore assoluto di x che è definito come segue    se x ≥ 0 x |x| =   −x sex < 0 Allora l’equazione assegnata è equivalente alla seguente |x| − x = 0 e quindi le soluzioni si trovano unendo le soluzioni dei due sistemi seguenti       x ≥ 0 x < 0 i)  ii)    x − x = 0 −x − x = 0 Poiché il sistema i) ha come soluzioni tutti i numeri reali x ≥ 0 e il sistema ii) non ammette nessuna soluzione, concludiamo che la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 44 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

45.

1.10% 35.05% 4.07% 10.33% 44.29%

Un numero razionale compreso tra A. B. C. D. E.

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

35.05% 5.16% 59.78%

√ √ 5 e 8 è:

2,52 1,98 3,01 √ √ ( 5)( 8)/2 √ √ ( 5 + 8)/2

Soluzione √ √ Cominciamo √ √ con l’osservare che le risposte D ed E non possono essere vere in quanto ( 5)( 8)/2 e ( 5 + 8)/2 non sono numeri razionali. La risposta C non può essere vera in quanto √ √ 8 < 9 = 3 < 3,01 La risposta B non può essere vera in quanto 1,98 < 2 = 92

√

√ 5

Esaminiamo la risposta A. Dovrebbe risultare √ √ 5 < 2,52 < 8 e ciò è vero come si vede elevando tutti i membri della disuguaglianza al quadrato (ricordiamo che la disuguaglianza si mantiene in quanto sono tutti numeri positivi) 5 < 6,3504 < 8 Concludiamo che la risposta esatta è la A. Risultati percentuali relativi al quesito 45 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

46.

34.59% 3.13% 4.23% 2.03% 37.72%

L’espressione

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

34.59% 18.31% 47.10%

π π 2 sin − cos 12 12

è anche uguale a: √

A. 1 − 23 B. 32 √

1 − 22

D. 12 E. 1 Soluzione Sviluppiamo l’espressione assegnata secondo la formula del quadrato di un binomio π π 2 π π π π − cos + cos2 − 2 sin cos sin = sin2 12 12 12 12 12 12 Poi utilizzando la prima relazione fondamentale della trigonometria: sin2 α + cos2 α = 1 e la formula di duplicazione del seno: sin 2α = 2 sin α cos α otteniamo che sin

π π 2 π − cos = 1 − sin 12 12 6 93

Poiché sin π6 = 21 ricaviamo che π 2 π 1 1 − cos sin =1− = 12 12 2 2 Pertanto la risposta corretta è la D. π = sin 1 π , avremmo potuto anche utilizzare le formule di In alternativa, osservando che sin 12 26 bisezione del seno e del coseno: r r α 1 − cos α 1 + cos α α sin = cos = 2 2 2 2 per calcolare esplicitamente π = sin 12

π = 12

cos

1 − cos

π 6

2 1 + cos π6 2

√

1 − 23 = 2

√ 2− 3 4

√

1 + 23 = 2

√ 2+ 3 4

Quindi l’ espressione assegnata si calcola come segue s s √ √ 2  2 π π 2 + 3   2 − 3  = sin − cos =  −  12 12 4 4  s √ √ √ √ 2− 3 2+ 3 2− 3 2+ 3 = + −2 · = 4 4 4 4 r 4−3 1 1 =1−2 =1− = 16 2 2 Risultati percentuali relativi al quesito 46 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

47.

8.29% 3.29% 2.82% 6.42% 7.04%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

6.42% 72.14% 21.44%

Una sfera è inscritta in un cubo; il rapporto tra il volume della sfera e quello del cubo è: A. B. C. D. E.

π 4 π 6 2π 3 4π 3 π 2

Soluzione Se una sfera è inscritta in un cubo, la lunghezza del suo diametro è pari allo spigolo del cubo. Ricordiamo che il volume della sfera di raggio r è dato dalla formula Vs =

4 3 πr 3

mentre il volume di un cubo il cui spigolo misura l è dato dalla formula Vc = l3 Dovendo essere l = 2r ricaviamo che 4π 4 πr3 Vs π = 3 3 = 3 = Vc (2r) 8 6

Pertanto la ripsosta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 47 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

48.

4.54% 19.87% 9.70% 12.99% 4.38%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

19.87% 48.51% 31.61%

Un triangolo equilatero è inscritto in una circonferenza; il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il perimetro del triangolo è: A. B. C. D. E.

4π 3 π 3 √ 3π 2 √ 2 3π 9 2π √ 3

Soluzione Detto r il raggio della √ circnferenza circoscritta al triangolo equilatero, si ricava che il lato del triangolo misura r 3. Infatti ogni lato del triangolo equilatero è una corda della circonferenza circoscritta e insiste su una angolo di 60◦ . Il teorema della corda implica che il lato del triangolo inscritto è pari alla misura del diametro per il seno dell’angolo su cui la corda insiste e cioè: √ √ 3 o 2r sin 60 = 2r =r 3 2 √ Allora ricordando che la circonferenza misura 2πr e il perimetro misura 3r 3, troviamo √ 2πr 2π 2 3π √ = √ = 9 3r 3 3 3 95

Quindi la risposta corretta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 48 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

49.

4.54% 6.26% 2.19% 7.51% 6.89%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

7.51% 72.61% 19.87%

L’equazione in campo reale x4 + 3x2 − 4 = 0 ha: A. B. C. D. E.

due soluzioni positive e nessuna soluzione negativa nessuna soluzione una soluzione positiva e una negativa due soluzioni negative e nessuna soluzione positiva due soluzioni positive e due soluzioni negative

Soluzione L’equazione assegnata è di tipo biquadratico, cioè il trinomio in x a primo membro può essere trasformato in un trinomio di secondo grado mediante una opportuna sostituzione. Nel caso in esame la sostituzione che va effettutata è la seguente: x2 = t In tal modo siamo ricondotti a studiare le (eventuali) soluzioni dell’equazione di secondo grado nell’incognita t t2 + 3t − 4 = 0 Si vede facilmente che le soluzioni sono date da t1 = −4

t2 = 1

(basta usare la nota formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado). Osserviamo poi che t1 = −4 non è accettabile, in quanto t = x2 nel campo reale è necessariamente una quantità non negativa. In corrispondenza della soluzione t2 = 1 troviamo √ x = ± 1 = ±1 e dunque la riposta corretta è la C. Risultati percentuali relativi al quesito 49 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

8.76% 3.91% 42.25% 1.72% 22.38%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

42.25% 20.97% 36.78%

L’equazione x2 − 3|x| + 2 = 0 ha:

50.

A. B. C. D. E.

quattro soluzioni tre soluzioni due soluzioni una sola soluzione nessuna soluzione

Soluzione Abbiamo già ricordato che il valore assoluto di x è definito come segue:    se x ≥ 0 x |x| =   −x se x < 0 Quindi le soluzioni dell’equazione assegnata si troveranno unendo le soluzioni dei due sistemi seguenti:       x ≥ 0 x < 0 i)  ii)    2  x − 3x + 2 = 0  x2 + 3x + 2 = 0 Risolvendo esplicitamente otteniamo che    x ≥ 0 i)  W  x = 2 x = 1

ii)

   x < 0 W    x = −1 x = −2

e concldiamo che la risposta esatta è la A. NOTA

In alternativa avremmo potuto osservare che |x|2 = x2

e dunque che l'equazione assegnata è equivalente alla seguente |x|2 − 3|x| + 2 = 0 che è risolta se |x| = 1

|x| = 2

Dalla de nizione di valore assoluto ricaviamo quindi che _ x = ±1 x = ±2 e cioè che la riposta esatta è la A. Risultati percentuali relativi al quesito 50 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

33.96% 2.03% 39.75% 4.23% 1.56%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

33.96% 18.47% 47.57%

SCIENZE FISICHE E CHIMICHE Commenti e soluzioni a cura di Roberto Piazza Introduzione Per i quesiti di questa sezione, dedicata alle Scienze Fisiche e Chimiche, si è cercato dove possibile di ricavare le soluzioni ricorrendo al ragionamento, più che alle nozioni ed alle formule di cui, per altro, nel sillabo della pagina 7 è richiesta una qualche conoscenza. Tuttavia ciò non è sempre possibile; infatti, poiché fisica e chimica sono scienze quantitative, è del tutto comprensibile che i quesiti richiedano talvolta un risultato numerico e, per i conti necessari, i candidati devono fare lo sforzo di richiamare alla mente qualche formula appresa durante i corsi delle scuole superiori. Sarebbe comunque un errore pensare che una preparazione puramente mnemonica, con un formulario di riferimento, sia premiante. I candidati considerino ben più importante aver assimilato i concetti fisici e chimici di base; nei loro futuri studi d’ingegneria questi sono destinati ad essere non solo strumenti per affrontare i problemi ma i fondamenti di un modo di pensare, elementi di un vero e proprio linguaggio, così come le note o gli accordi armonici lo sono per chi suona o compone musica. La sezione consiste di 20 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 22 000 candidati nella prova del 1 settembre 2005 è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella sezione di Scienze Fisiche e Chimiche compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse.

Punteggi assoluti per la sezione di Scienze fisiche e chimiche Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −5 e 20 punti, mentre il punteggio medio è approssimativamente intorno ai 2 punti (2,49 per la precisione).

51.

1 1/2 3 1/3 2

Soluzione Ricordiamo innanzitutto che, anche se il modulo |v| della velocità è costante, un moto circolare è un moto accelerato, perché la direzione di v cambia. Quanto vale questa accelerazione? Anche se non ce lo ricordiamo, proviamo a capire almeno come essa possa dipendere dal raggio R della circonferenza descritta dal corpo, dato che è quest’ultimo che il problema ci chiede di cambiare. Il modulo |a| dell’accelerazione (che è un’accelerazione centripeta, cioè diretta verso il centro della traiettoria circolare) può dipendere solo da due quantità, da R e, ovviamente, dal modulo della velocità. Come dimensioni, tuttavia, un’accelerazione è uno spazio diviso per un tempo al quadrato. È facile vedere che l’unica combinazione di R e |v| che dia queste dimensioni è |v|2 /R (convincetevene osservando che, nel Sistema Internazionale (SI) di misura, questa quantità si misura in m/s2 , come un’accelerazione). Quindi |a| dovrà essere ad essa proporzionale, magari tramite un coefficiente di proporzionalità, che so, 2 o 1/2: come vedremo, tuttavia, questo non ci interessa (per chi lo vuole proprio sapere, il coefficiente è in questo caso semplicemente uno). Allora se R viene raddoppiato, ma |v| deve rimanere costante, |a| si dimezza. Ovviamente, anche la forza che dobbiamo applicare al corpo per farlo muovere in questo modo, che è semplicemente il prodotto della sua massa m per l’accelerazione, deve dimezzarsi, e la risposta esatta è la B. Cercando di risolvere il problema senza ricordarci le formulette a memoria, abbiamo capito quanto può servire l'analisi dimensionale. In altri termini, per vedere come la soluzione di un problema dipenda dalle grandezze che abbiamo a disposizione per costruirla (nel nostro caso R ed v), dobbiamo innanzitutto combinarle in modo da ottenere le dimensioni giuste per la grandezza che cerchiamo. È vero che questo procedimento ci fornisce la risposta solo a meno di una costante moltiplicativa di proporzionalità, ma spesso ciò è su ciente per i nostri scopi! NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 51 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

2.03% 32.24% 1.56% 2.19% 26.13%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

32.24% 35.84% 31.92%

52.

Gli atomi che costituiscono un solido: A. B. C. D. E.

scorrono lâ&#x20AC;&#x2122;uno sullâ&#x20AC;&#x2122;altro ruotano con orbite fisse sono assolutamente immobili vibrano attorno alla loro posizione dâ&#x20AC;&#x2122;equilibrio si muovono di moto rettilineo uniforme

Soluzione Cominciamo a chiederci che cosa abbia di particolare un solido rispetto ad un liquido o ad gas, anchâ&#x20AC;&#x2122;essi composti di atomi o molecole. Gas e liquidi sono fluidi, cioĂ¨ â&#x20AC;&#x153;fluisconoâ&#x20AC;?. In pratica ciĂ˛ significa che un gas deve essere rinchiuso in un contenitore per non andarsene a spasso liberamente; lâ&#x20AC;&#x2122;acqua in un bicchiere, invece, mantiene il suo volume, ma se rovescio il bicchiere si versa e scorre. Un solido invece no, mantiene sia il suo volume che la sua forma: quindi, in qualche modo, gli atomi che lo compongono devono â&#x20AC;&#x153;tenere la posizioneâ&#x20AC;?. CiĂ˛ ci potrebbe far pensare che la risposta C sia quella giusta, ma câ&#x20AC;&#x2122;Ă¨ un aspetto di cui non abbiamo tenuto conto, legato al significato di quella cosa che chiamiamo â&#x20AC;&#x153;temperaturaâ&#x20AC;?. Riportando alla mente almeno un poâ&#x20AC;&#x2122; di quello che vi hanno insegnato alle superiori, ricorderete che la temperatura Ă¨ in qualche modo legata allâ&#x20AC;&#x2122;energia cinetica che possiedono gli atomi o le molecole di un corpo. In altri termini, ad ogni temperatura diversa dallo zero assoluto (che in ogni caso non si puĂ˛ raggiungere), atomi e molecole possiedono una certa energia cinetica, ossia si muovono. Come fanno a muoversi, senza tuttavia allontanarsi troppo dalla posizione di partenza (dato che devono â&#x20AC;&#x153;tenere la posizioneâ&#x20AC;?)? Il modo piĂš semplice Ă¨ quello di oscillare un poâ&#x20AC;&#x2122;, ossia vibrare attorno ad una posizione fissa, e di farlo tanto piĂš quanto piĂš alta Ă¨ la temperatura (fino a che, al di sopra di una certa temperatura, gli atomi si liberano del tutto, ossia il solido fonde e diventa un liquido). Quindi la risposta esatta Ă¨ la D. In linea di principio, anche la risposta B corrisponde ad un moto dove ciascun atomo non si al lontana troppo dalla posizione di equilibrio. Tuttavia, chiedetevi un po': quale forza tiene gli atomi vicino alla posizione di equilibrio? Il punto di equilibrio P, quello in cui si troverebbero gli atomi a temperatura nulla (sempre che non si tenga conto di certi e etti speciali che derivano dalla meccanica quantistica) deve essere un punto di minimo per l'energia potenziale Ep . Si puĂ˛ vedere senza troppa di coltĂ che ciĂ˛ corrisponde a dire che, vicino a P, il gra co di Ep ha la forma di una parabola con la concavitĂ rivolta verso l'alto. Da ciĂ˛ ne deriva che la forza di richiamo che agisce su un atomo Ă¨ proporzionale allo spostamento da P. Ma questa Ă¨ una forza elastica, ossia quella che sente una massa attaccata ad una molla. Quindi il moto dell'atomo o della molecola deve essere una vibrazione (un moto rotatorio richiederebbe una forza di richiamo diversa). Un po' piĂš delicato Ă¨ il caso della risposta E, perchĂŠ chi ha formulato il quesito ha dimenticato di precisare che il pezzo di solido che state considerando Ă¨ globalmente fermo (ossia, il suo centro di massa non si muove). Se cosĂŹ non fosse, tutti gli atomi del solido avrebbero anche un'altra componente del moto (uguale per tutti) NOTA

100

oltre a quella dovuta alle vibrazioni, ma il testo del problema non ci autorizza a dire che si tratti proprio di un moto rettilineo uniforme!

Risultati percentuali relativi al quesito 52 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

53.

2.97% 8.14% 24.41% 50.08% 2.50%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

50.08% 11.89% 38.03%

Soluzione Anche se non ricordiamo nulla sulla forza di gravità, facciamoci guidare ancora dall’intuizione, cercando di capire come questa debba dipendere dalle masse m1 ed m2 dei sacchetti. Ovviamente, dato che la quella gravitazionale è proprio una forza di attrazione che si genera tra alcune masse, questa deve essere tanto più intensa quando più grandi sono m1 ed m2 : deve essere cioè direttamente proporzionale sia ad m1 sia ad m2 , ossia a m1 m2 . Dato che all’inizio si ha m1 m2 = 15 × 15 = 225 e alla fine m1 m2 = 5 × 25 = 125, l’attrazione tra le due masse sarà ora solo i 125/225 = 5/9 di quella iniziale. La risposta esatta è quindi la B. Potreste anche cercare di vedere che la situazione iniziale è proprio quella per cui si ha la forza di attrazione massima. Per farlo, cercate di dimostrare che il prodotto di due numeri, la cui somma è costante, è massimo proprio quando i due numeri sono uguali. Non sapendo nulla di gravità, potreste però chiedervi se la forza sia linearmente proporzionale ad m1 , e non ad esempio al suo quadrato. Ma anche se così fosse, sarebbe proporzionale anche a m2 2 (perché mai ci dovrebbe essere una preferenza per una delle due masse?) e quindi ad (m1 m2 )2 . Quanto abbiamo appena detto sulla condizione di massimo non cambierebbe, ma il risultato sì. Comunque 25/81 non è tra le risposte proposte, e questo ci tranquillizza. . . NOTA

101

Risultati percentuali relativi al quesito 53 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

54.

9.55% 13.30% 40.85% 5.95% 2.19%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

13.30% 28.17% 58.53%

L’impulso di una forza costante può essere calcolato come: A. B. C. D. E.

Soluzione Siamo di fronte ad un quesito un po’ “nozionistico”, dato che se non sapete che cosa sia l’impulso, non c’è modo di venirne a capo. Comunque ve lo dico io, anzi, cercherò di spiegarvi perché si introduce l’impulso di una forza. Questo è un concetto molto importante in fisica, perché ci dice come cambia la quantità di moto, ossia il prodotto della massa per la velocità di un corpo, se questo è soggetto ad una forza. Più precisamente, la variazione della quantità di moto del corpo in un certo tempo è proprio pari all’impulso fornito nello stesso tempo dalle forze agenti. E adesso facciamoci ancora guidare dall’analisi dimensionale. Le dimensioni di una quantità di moto p sono quelle di una massa per una velocità, ossia una massa m per una lunghezza l diviso un tempo t, che si scrive [p] = [m][l][t]−1 . Dato che una forza F è una massa per un’accelerazione, si ha [F] = [m][l][t]−2 . Quindi l’unico modo per ottenere qualcosa che abbia le dimensioni di p è quello di moltiplicare la forza per il tempo per cui agisce, e la risposta esatta è la A. Per quando riguarda le altre risposte, la B ci darebbe il lavoro compiuto dalla forza e la D la potenza da essa fornita, che è anche il lavoro fatto diviso il tempo necessario per compierlo, ossia il lavoro per unità di tempo (provate a controllare). Le risposte C ed E non corrispondono invece ad alcuna grandezza sica signi cativa. E se la forza non fosse costante? Allora non sarebbe giusto moltiplicare semplicemente F per t, perché nel tempo la forza cambia. Dovremmo quindi considerare la forza istante per istante, scriverla come funzione del tempo F(t), ed integrare questa funzione dall'istante iniziale a quello nale. Ossia, dividere l'intervallo di tempo in tanti brevi intervalli all'interno dei quali F(t) può essere considerata costante, e poi sommare tutti gli impulsi in nitesimi. Ma questo lo lascio fare ai più bravi. NOTA

102

Risultati percentuali relativi al quesito 54 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

55.

21.60% 4.54% 3.29% 5.48% 29.42%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

21.60% 35.68% 42.72%

La quantità di moto di un pendolo oscillante: A. B. C. D. E.

è sempre diretta verso il punto di sospensione è massima in modulo nel punto più basso della traiettoria è sempre costante si conserva nel tempo costante in modulo, ma non in direzione

Soluzione. Abbiamo appena detto che la quantità di moto p è pari al prodotto mv della massa per la velocità del corpo (notate, è un vettore, ossia dipende non solo dal modulo, ma anche dalla direzione della velocità). Provate allora ad immaginare un pendolo che oscilla (magari quello dell’orologio a cucù della nonna) e pensate a come cambia la sua velocità. Ovviamente cambia, sia come valore (modulo) che come direzione, e non è certamente diretta come il filo a cui è sospesa la massa. Credo sia a tutti poi evidente che v è massima nel punto più basso della traiettoria, quindi lo stesso vale per p. Dunque, la risposta esatta è la B. Tra tutte le risposte sbagliate, la più sbagliata è sicuramente la C. Uno dei principi più importanti della meccanica (la II legge di Newton) è che, quando è presente una forza, la quantità di moto deve cambiare. E, senza forza peso, un pendolo non pendola. Oltretutto, non c'è neppure bisogno di sapere questo, dato che la risposta C è sostanzialmente identica alla D: ovviamente, per un quesito non ci possono essere due risposte esatte (sempre che chi l'ha formulato abbia fatto bene il proprio lavoro)! NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 55 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

5.01% 35.99% 11.42% 11.27% 12.36%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

103

35.99% 23.94% 40.06%

56.

La legge oraria di un moto rettilineo illustrata nel piano cartesiano Ots da un ramo di parabola con concavità verso l’alto indica: A. B. C. D. E.

un moto ad accelerazione uniformemente crescente un moto con velocità costante un moto con velocità positiva un moto con spostamento positivo un moto ad accelerazione costante

Soluzione Questo quesito richiede di ricordare qualche nozione elementare. Tracciare una “legge oraria” di un corpo che si muove lungo una retta significa disegnare un grafico in cui sull’asse delle ascisse ci sia il tempo t e sulle ordinate la sua posizione s, ossia tracciare la curva s(t) (se il corpo si muovesse su un piano o nello spazio le cose sarebbero più complicate, perché dovremmo anche disegnare come cambiano le altre coordinate). Ad un dato istante t0 , la velocità del corpo è data dalla pendenza della curva in t = t0 , ossia dalla derivata in t0 di s(t). L’accelerazione, che ci dice come cambia la velocità, è quindi legata alla curvatura di s(t), quindi è data dalla derivata seconda in t0 . Il problema ci dice che la traiettoria è una parabola, ossia una curva della forma: s(t) = at2 + bt + c ed il fatto che la concavità sia rivolta verso l’alto ci dice che a > 0. la derivata seconda di questa funzione è semplicemente d2 s(t) = 2a dt2 il che ci dice che l’accelerazione è costante e quindi che la risposta esatta è la E. Anche senza saper fare una derivata elementare, potevamo subito scartare la risposta B (perché la pendenza di una parabola cambia), la C (perché a sinistra del vertice della parabola la pendenza è negativa) e la D (perché nessuno ci ha detto che la parabola giace tutta nel semipiano superiore del gra co). NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 56 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

37.09% 2.35% 5.48% 6.42% 28.95%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

104

28.95% 19.72% 51.33%

57.

Una soluzione è definita come un sistema costituito: A. B. C. D. E.

Soluzione Cominciamo col dire che per “fase” intendiamo un pezzo di materia “macroscopicamente omogeneo”, ossia dove non riusciamo ad individuare regioni separate, distinguibili per diverse proprietà fisiche. Ad esempio, un sistema costituito da cubetti di ghiaccio in equilibrio con acqua a 0 ◦C è costituito (trascurando il vapore) da due fasi, una solida ed una liquida. Per soluzione intendiamo poi un sistema costituito da almeno due specie chimiche e che sia proprio in una singola fase (liquida, ma anche solida), per distinguerla da una miscela, dove i componenti sono in parte segregati in fasi distinte. Ad esempio, in condizioni normali acqua ed alcol formano soluzioni, mentre acqua ed olio miscele. La risposta corretta è dunque la E. Anche se una soluzione è per i chimici costituita sempre da una singola fase, non sempre un sistema di più componenti chimici che si presenta come una singola fase è una soluzione (ossia non vale l'inverso). Ad esempio il latte, pur presentandosi macroscopicamente come una singola fase, è costituito da microscopiche goccioline di sostanze grasse disperse in un mezzo acquoso. In altri termini, non è veramente disperso a livello molecolare, ma sotto forma di strutture molto più grandi delle molecole. Analogamente, un inchiostro è costituito da particelle solide piuttosto grosse disperse in un liquido. In questi casi, si parla più propriamente di sospensione (o dispersione). NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 57 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

9.23% 0.16% 23.00% 4.38% 13.93%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

105

13.93% 49.30% 36.78%

58.

0.9 1.33 0.33 0.67 0.25

Soluzione Che cosa intendiamo per efficienza (o rendimento) di una macchina termica come un motore a benzina o una turbina a vapore, ossia di un dispositivo che converte energia termica (calore) in lavoro? Semplicemente, un parametro che ci dica quanto è “buona” questa conversione: è naturale assumere che questo parametro η sia quindi dato dal rapporto tra il lavoro W che la macchina produce ed il calore Qc che ad essa forniamo per farla funzionare. Ovviamente, questo rapporto non può essere maggiore di uno (non possiamo creare energia!), ma in realtà il secondo principio della termodinamica pone dei limiti più stringenti, perché ci dice che una parte (vedremo poi quale, come minimo) Qf del calore che forniamo non verrà trasformata in lavoro, ma trasmessa sotto forma di calore ad una sorgente a temperatura minore di quella che alimenta la macchina. Quindi, dato che l’energia in totale si conserva, ossia: Qc = W + Qf il rendimento si può anche scrivere η=

W Qc − Qf Q =1− f Qc Qc Qc

Veniamo al problema proposto. L’informazione che ci viene data è che Qf = 3W. Quindi abbiamo Qc = W + 3W = 4W e pertanto: 3W η=1− = 0,25 4W che in effetti corrisponde alla risposta E. Risultati percentuali relativi al quesito 58 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

6.57% 3.13% 19.87% 6.73% 3.13%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

106

3.13% 60.56% 36.31%

59.

Un contenitore rigido contiene aria alla pressione atmosferica e alla temperatura di 27 ◦C. Viene scaldato finché la pressione dell’aria raddoppia. Quale temperatura ha raggiunto? A. B. C. D. E.

216 ◦C 54 ◦C 573 ◦C 327 ◦C non si può rispondere perché non è noto il volume iniziale

Soluzione L’aria a pressione atmosferica è un gas sufficientemente diluito da poter essere considerato quello che in fisica si chiama un “gas ideale”. Per i gas ideali, c’è un legame molto semplice tra pressione, volume e temperatura: fissata la massa (oppure il numero di molecole o di moli del gas, che è sostanzialmente lo stesso), il prodotto della pressione per il volume è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta, ossia PV = CT . Quanto valga la costante C non ci importa particolarmente (i più bravi ricorderanno che si può scrivere ad esempio C = nR, dove n è il numero di moli del gas e R è detta “costante dei gas”), ed il fatto che non sia presente tra i dati del problema ci dice che non deve servire per fare i conti. Ciò che conta è solo che, dato che il volume del gas non cambia, se la pressione raddoppia deve raddoppiare anche la temperatura. Naturalmente, insisto, espressa in kelvin (ossia tenendo conto che alla temperatura in celsius si devono aggiungere circa 273 K). Quindi, dato che la temperatura iniziale è T i ' (27 + 273) K = 300 K, quella finale sarà T f = 2T i ' 600 K ' 327 ◦C. La risposta esatta è quindi la D. La risposta B è quella che avreste ottenuto esprimendo la temperatura nella legge dei gas in gradi Celsius: come vedete, è ben diversa! La risposta E invece è sbagliata perché, come abbiamo visto, il valore del volume iniziale non conta nulla (sarebbe stato lo stesso per una lattina o un bidone, purché entrambi siano rigidi ). NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 59 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

3.13% 37.56% 0.78% 4.54% 14.87%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

107

4.54% 39.12% 56.34%

60.

La seguente reazione: As2 O3 + HCl = AsCl3 + H2 O, opportunamente bilanciata, si scrive: A. B. C. D. E.

As2 O3 + 6HCl = 2AsCl3 + 3H2 O As2 O3 + 3HCl = AsCl3 + 3H2 O As2 O3 + HCl = 2AsCl3 + H2 O As2 O3 + 9HCl = 2AsCl3 + 5H2 O As2 O3 + HCl = AsCl3 + H2 O

Soluzione Calcolare quali prodotti si ottengano in una reazione chimica a partire da certi reagenti non è sempre semplice. Ma, una volta che qualcuno l’ha scritta, calcolare se la reazione è correttamente bilanciata, è davvero semplice. Basta ricordare che (a meno che non avvengano reazioni nucleari) il numero totale di ciascun tipo di atomo presente non può cambiare. Ossia dobbiamo avere tanti atomi di arsenico (As), ossigeno (O), idrogeno (H) e cloro (Cl) alla fine quanti all’inizio. È facile controllare che questo avviene solo per la prima reazione considerata. La risposta esatta è quindi la A. Risultati percentuali relativi al quesito 60 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

61.

70.89% 2.82% 2.35% 0.31% 2.82%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

70.89% 20.81% 8.29%

Quale delle seguenti affermazioni è vera? La conducibilità termica di un materiale A. B. C. D. E.

si può misurare in si può misurare in si può misurare in si può misurare in si può misurare in

Wm−2 K−1 Nm−1 K−1 Js−1 m−2 K−1 Wm−1 K−1 Ws−1 m−2 K−1

Soluzione Quello di conducibilità termica non è un concetto che venga spesso approfondito alle scuole superiori, e quindi questo problema non era tra i più facili. Comunque proviamo a ragionarci insieme. Affermando che un materiale ha un’alta conducibilità termica κ intendiamo dire che “conduce in fretta” il calore. Per valutare κ, dobbiamo quindi dividere il calore trasferito (che è un’energia) per il tempo necessario a trasferirlo. Dato che un’energia diviso un tempo è una potenza, 108

ciò che quindi ci interessa è innanzitutto la potenza P trasferita, che si misura in watt (W). Ma non basta. Consideriamo un pezzo di questo materiale, ad esempio a forma di parallelepipedo di area di base A e di altezza h, e applichiamo una differenza di temperatura ∆T tra la faccia superiore e quella inferiore. Il calore trasferito sarà ovviamente tanto maggiore quanto più grande è l’area delle facce. Dato che vogliamo che κ sia una proprietà intrinseca del materiale e non dipenda dalla sua forma, conviene allora dividere P per l’area A. Non abbiamo ancora finito. Il calore si trasmette tanto più in fretta quanto maggiore è la differenza di temperatura tra le due facce, o meglio quanto maggiore è ∆T in rapporto allo spessore h che deve essere attraversato (la proporzionalità tra P e ∆T/h si dice legge di Fourier). Allora definiamo la conducibilità termica come: κ=

P Ph = A(∆T/h) A∆T

Da questa espressione, potete facilmente vedere come le dimensioni di κ siano quelle di una potenza diviso il prodotto di una lunghezza per una temperatura. Quindi nel SI si misurerà in Wm−1 K−1 , per cui la risposta esatta è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 61 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

62.

4.38% 3.29% 12.05% 5.79% 1.88%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

5.79% 72.61% 21.60%

Soluzione In uno dei precedenti problemi abbiamo visto che cosa sia il rendimento η di una macchina termica. Quello che non abbiamo detto è che il II principio della termodinamica impone anche che esista un preciso limite teorico massimo per η, che è quello di una “macchina di Carnot” (per altro una macchina ideale, non realizzabile in pratica), dato da: T ηmax = 1 − f Tc 109

dove T f e T c sono le temperature assolute (cioè misurate in kelvin) della sorgente fredda e di quella calda. In questo caso, ricordandoci sempre di esprimere le temperature in kelvin, abbiamo: ηmax ' 1 −

50 + 273 = 0,31 200 + 273

Quindi il nostro ingegnere, evidentemente, bara e la risposta esatta è la D. Le risposte B,E e soprattutto la C sono sicamente sbagliate. Ma, a mio modo di vedere, la risposta A è ancora peggiore. Come abbiamo sottolineato, la sica e l'ingegneria sono scienze quantitative. Dire che qualcosa è eccellente non vuole dire proprio nulla. Anche dire che è buono o cattivo non serve a nulla, se non si dice rispetto a che cosa. Ricordatelo sempre, se volete diventare degli ingegneri. NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 62 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

63.

3.91% 18.78% 4.07% 5.16% 4.54%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

5.16% 63.54% 31.30%

10 Ω 2Ω 12 Ω 18 Ω 4Ω

Soluzione Per risolvere questo problema, cominciamo col ricordare come si combinano, ossia a quale resistenza equivalente Re danno origine, dei resistori posti in serie o in parallelo. Due resistori R1 ed R2 in serie sono ovviamente attraversati dalla stessa corrente I mentre, utilizzando la legge di Ohm, le cadute di potenziale ai loro capi saranno ∆V1 = R1 I, ∆V2 = R2 I. La caduta di potenziale complessiva ∆V ai capi della combinazione in serie è allora: ∆V = R1 I + R2 I = Re I con Re = R1 + R2 , ossia le resistenze semplicemente si sommano. 110

Al contrario, due resistenze in parallelo hanno la stessa caduta di potenziale ∆V ai loro capi, mentre i valori della corrente che le attraversa sono dati, sempre per la legge di Ohm, da I1 = ∆V/R1 , I2 = ∆V/R2 . Per la corrente complessiva attraverso la combinazione, si ha allora: I=

∆V ∆V ∆V + = R1 R2 Re

−1 −1 con R−1 e = R1 + R2 , ossia il reciproco della resistenza equivalente è dato dalla somma dei reciproci di R1 ed R2 (notate che Re è sempre minore sia di R1 sia di R2 ). Nel caso del problema in considerazione, abbiamo innanzitutto due resistenze in parallelo, che danno una resistenza equivalente

! 1 1 −1 Re = + = 2Ω 3Ω 6Ω Questa è poi in serie ad una resistenza incognita R e, dato che la corrente che passa nel circuito è pari a I = 3 A e che la resistenza interna della batteria è trascurabile, dovremo avere (R + Re )I = V, dove V = 36 Ω è la tensione fornita dalla batteria. Da ciò si ottiene facilmente R = 10 Ω, che corrisponde alla risposta A. Risultati percentuali relativi al quesito 63 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

64.

32.24% 4.85% 14.55% 6.73% 3.91%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

32.24% 37.72% 30.05%

Un condensatore di capacità 100 µF è carico alla tensione di 2 kV; un induttore di induttanza 25 H è percorso da una corrente continua di 4 A. Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. L’energia accumulata nel condensatore è maggiore di quella accumulata nell’induttore B. Il confronto tra le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore non è possibile se non si conosce la geometria. C. Le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore non sono confrontabili perché sono di natura diversa. D. Le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore sono uguali E. L’energia accumulata nell’induttore è maggiore di quella accumulata nel condensatore

Soluzione Ricordiamo che la capacità di un condensatore è pari al rapporto tra la carica (uguale, ma di segno contrario) che si accumula sulle due armature divisa per la differenza di potenziale (la tensione) tra di esse applicata; quindi la capacità si misura in coulomb/volt, unità detta farad (F). Quando 111

viene caricato, un condensatore accumula al suo interno energia elettrostatica E, che dipenderà sia da V che da C. Dato che un’energia è una differenza di potenziale per una carica, è facile vedere con l’analisi dimensionale che essa dovrà essere proporzionale al prodotto della capacità per il quadrato della tensione. Per l’esattezza (come detto in precedenza, l’analisi dimensionale non ci può purtroppo fornire il coefficiente di proporzionalità), si ha infatti: 1 E = CV 2 2 Nel caso di un induttore invece, la corrente I che circola attraverso l’avvolgimento di filo conduttore che lo costituisce dà luogo ad un flusso magnetico di induzione Φ concatenato con le spire dell’induttore stesso; tale flusso è legato alla corrente dalla relazione Φ = LI; l’induttanza L, che ha per dimensioni quelle di un flusso concatenato diviso per una corrente, si misura nel SI in henry (H). Si può dimostrare che l’energia magnetica accumulata in questo caso vale: E=

1 2 LI 2

Notate la somiglianza con l’energia accumulata in un condensatore: qui, semplicemente, la corrente prende il posto della tensione e l’induttanza quello dalla capacità. Per il problema considerato si ha per il condensatore: E=

1 × (100 × 10−6 F) × (4 × 106 V 2 ) = 200 J 2

mentre per l’induttore: 1 × (25 H) × (16A2 ) = 200 J 2 Quindi le energie accumulate sono effettivamente uguali e la risposta esatta è la D. E=

Risultati percentuali relativi al quesito 64 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

65.

5.79% 2.50% 7.20% 1.41% 4.54%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

1.41% 78.56% 20.03%

Due conduttori, il primo di rame Cu (resistività ρ = 1,7 × 10−8 Ωm) ed il secondo di platino Pt (resistività ρ = 11,7 × 10−8 Ωm) hanno lunghezza uguale e sezione rispettivamente, 1 cm2 ed 8 cm2 . Quali delle seguenti affermazioni è corretta? A. B. C. D. E.

Soluzione Per ricordarci che cosa sia la resistività ρ, facciamo un ragionamento molto simile a quello svolto per conducibilità termica (di fatto, potremmo svolgere un ragionamento del tutto analogo per la conducibilità elettrica, che altro non è se non l’inverso di ρ). La resistenza R di un conduttore al passaggio di corrente dovrà essere ovviamente proporzionale alla sua lunghezza ` ed inoltre sarà tanto minore quanto maggiore è la sua sezione A (basta che pensiate alla corrente come al flusso d’acqua che passa in un tubo per capirlo). Possiamo allora scrivere: R=ρ

` A

dove il coefficiente di proporzionalità è proprio la resistività ρ. È facile vedere che le dimensioni di ρ sono quelle di una resistenza per una lunghezza. Pertanto nel SI questa si misura in Ωm. Il problema ci propone di confrontare la resistenza di due conduttori della stessa lunghezza, ma di materiale e sezione diversi. Dato che ` è costante, basta allora confrontare le quantità ρCu /ACu e ρPt /APt , dove i pedici Cu e Pt si riferiscono rispettivamente al rame e al platino. Poiché si ha: ρCu 1,7 × 10−8 Ωm = = 1,7 × 10−4 Ωm−1 ACu 10−4 m2 e

11,7 × 10−8 Ωm ρPt = ' 1,5 × 10−4 Ωm−1 APt 8 × 10−4 m2

la risposta esatta è la D. Tra l'altro, procedendo per esclusione, non c'era nemmeno bisogno di fare il conto perché, dato che abbiamo visto che la resistenza dipende sia dalla resistività che dalla sezione, le altre quattro risposte erano concettualmente sbagliate.

NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 65 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

66.

1.10% 6.10% 11.74% 32.86% 16.59%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

32.86% 31.61% 35.52%

Una quantità di carica Q viene depositata su un conduttore isolato costituito da una sfera piena dotata di una cavità sferica al suo interno. In condizioni statiche la carica si distribuirà: A. Sulle due superfici interna ed esterna, proporzionalmente alla loro superficie B. La carica non rimane sul conduttore ma viene immediatamente dispersa nell’atmosfera per effetto “corona”. C. Uniformemente sulla superficie interna della cavità D. Uniformemente nel volume del metallo E. Uniformemente sulla superficie esterna della sfera 113

Soluzione Per risolvere questo problema, basta ricordarsi di tre fatti elementari: 1. cariche uguali si respingono; 2. in un conduttore, le cariche sono libere di muoversi. 3. lâ&#x20AC;&#x2122;aria, in condizioni normali, Ă¨ un buon isolante (ossia non conduce cariche) Che cosa succederĂ allora alle cariche che abbiamo messo sulla sfera? Queste tenderanno ad allontanarsi il piĂš possibile lâ&#x20AC;&#x2122;una dallâ&#x20AC;&#x2122;altra e quindi non andranno sicuramente verso lâ&#x20AC;&#x2122;interno della sfera. Dato che comunque dalla sfera non possono uscire (fuori câ&#x20AC;&#x2122;Ă¨ aria, attraverso cui non possono passare, se non in condizioni molto particolari), la condizione migliore Ă¨ quella in cui vanno tutte a porsi sulla superficie esterna del conduttore, in modo da stare il piĂš lontano possibile. Quindi la risposta esatta Ă¨ la E. La risposta B era stata messa solo per fare abboccare (giusta punizione) chi, non sapendo che pesci pigliare, sceglie la soluzione che, contenendo parolone come e etto corona , sembra denotare grande profonditĂ di pensiero. Non Ă¨ cosĂŹ: qui l'e etto corona, che Ă¨ e ettivamente un fenomeno complesso, non c'entra per niente. Spesso le risposte piĂš semplici sono quelle giuste, anche se sembrano banali: nessuno vi vuole imbrogliare! NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 66 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

67.

13.93% 2.82% 7.98% 7.20% 31.46%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

31.46% 36.62% 31.92%

Quale di questi fenomeni relativi alla propagazione ondulatoria non puĂ˛ essere messa in luce utilizzando onde sonore? A. B. C. D. E.

Rifrazione Interferenza Polarizzazione Riflessione Diffrazione

Soluzione Per risolvere questo problema, facciamo un breve ripasso di tutti questi importanti fenomeni relativi al moto ondoso, cosa che ci servirĂ nei problemi che seguono. Il fenomeno piĂš semplice Ă¨ quello della riflessione, corrispondente al fatto che, quando unâ&#x20AC;&#x2122;onda raggiunge una superficie che separa due mezzi materiali, una parte di essa viene â&#x20AC;&#x153;rispedita indietroâ&#x20AC;?. 114

Ciò dipende dalla differenza di indice di rifrazione (vedi problema seguente) tra i due mezzi ed anche dall’angolo che la direzione lungo cui propaga l’onda fa con la superficie di separazione. Sempre rimanendo al problema del passaggio tra due mezzi, la rifrazione corrisponde invece al fatto che la parte di onda che riesce a passare devia, ossia “piega”, rispetto alla direzione lungo cui originariamente propagava. Questo perché la velocità con cui un’onda si propaga è diversa in mezzi diversi (vedi di nuovo problema seguente), insieme al fatto che la luce cerca sempre di metterci il meno tempo possibile per passare da un punto ad un altro (così, cerca di fare più strada nel mezzo dove viaggia più rapidamente e meno nell’altro). Riflessione e rifrazione sono fenomeni molto semplici: anzi, non c’è neppure bisogno di supporre che la luce o il suono siano onde per comprenderli, almeno qualitativamente. La natura ondulatoria della luce è invece essenziale per spiegare il fenomeno dell’interferenza. Dato che un’onda non è caratterizzata solo dalla sua ampiezza o dalla sua intensità, ma anche dalla sua fase, ciò che in sostanza avviene quando due onde si sovrappongono è che non si sommano semplicemente, ma possono dare origine ad un’intensità complessiva maggiore della somma dei due singoli contributi, o al contrario addirittura annullarsi a vicenda. Anche la diffrazione, che riguarda la deviazione dalla propagazione rettilinea di un’onda quando questa è costretta a passare attraverso una “strettoia” (ad esempio un buco o una fenditura), è un fenomeno strettamente ondulatorio. I fenomeni di riflessione, rifrazione, interferenza e diffrazione sono comuni a tutti i tipi di onde, quindi anche a quelle sonore. Per quanto riguarda la polarizzazione, le cose stanno in maniera diversa. Per capire di che cosa si tratti, dobbiamo introdurre un’importante distinzione, quella tra onde trasversali ed onde longitudinali. In un onda trasversale, come ad esempio le onde sulla superficie del mare, il mezzo “vibra” in direzione perpendicolare a quella lungo cui propaga l’onda. Se ad esempio gettiamo un sasso in uno stagno, si generano delle onde che si allargano circolarmente propagandosi in orizzontale, mentre ovviamente l’acqua oscilla lungo la verticale. La luce, ossia le onde elettromagnetiche, si comporta nello stesso modo (anche se qui ciò che vibra è un campo elettrico o magnetico). Le onde sonore, che sono onde di compressione, sono diverse. La direzione lungo cui l’aria si comprime o espande coincide con quella lungo cui l’onda si propaga (pensate ad una canna d’organo): per questo è detta onda longitudinale. Per le onde longitudinali, questa direzione è ben determinata, ma nel caso delle onde trasverse possiamo definire due direzioni perpendicolari a quella di propagazione, e a loro volta perpendicolari tra loro. Un’onda generica può vibrare lungo una di queste due direzioni indipendenti, o in generale essere scomposta in due componenti che vibrano lungo ciascuna di esse. Caratterizzare in questo modo la direzione lungo cui vibra un’onda trasversale significa assegnarne la polarizzazione. Per quanto abbiamo detto, è chiaro che ciò ha senso per le onde luminose, che sono trasversali, ma non per quelle sonore. La risposta esatta è quindi la C. Risultati percentuali relativi al quesito 67 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

7.36% 0.94% 49.77% 5.16% 9.08%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

115

49.77% 27.70% 22.54%

68.

Indicare come cambiano la velocità v e la lunghezza d’onda λ della luce quando questa passa dall’aria al vetro. A. B. C. D. E.

v aumenta e λ aumenta v diminuisce e λ aumenta v aumenta e λ non cambia v aumenta e λ diminuisce v diminuisce e λ diminuisce

Soluzione Uno dei principi di base della fisica moderna è che la velocità c della luce nel vuoto è la massima velocità con cui possa propagare un segnale (anzi, qualunque particella dotata di massa potrà solo avvicinarsi a c, senza raggiungerla). Ciò significa implicitamente che la velocità v della luce in un mezzo materiale sarà sempre inferiore a c. Per l’esattezza, si ha v = c/n, dove n ≥ 1, detto indice di rifrazione del mezzo, è uguale ad uno solo nel vuoto. Come è legata la velocità di un’onda alla sua lunghezza d’onda λ, cioè alla distanza tra due “creste” successive, e alla sua frequenza ν, cioè a quante oscillazioni si hanno in un secondo? Molto semplicemente, dato che la distanza lungo la quale l’oscillazione si propaga in un secondo è chiaramente pari alla lunghezza d’onda per il numero di oscillazioni che si compiono in un secondo, si ha c = λν. La frequenza però è di fatto il “ritmo” con cui la sorgente genera l’oscillazione: il mezzo materiale attraversato dalla luce non ne sa proprio nulla della sorgente che l’ha emessa (potrebbe essere una candela, un laser, o la luce che giunge da una stella lontana), e quindi non può certo cambiare la frequenza ν con cui questa emette. Ma allora, per il legame precedente tra v e λ, affinché si abbia v < c deve diminuire la lunghezza d’onda. Dunque, la risposta esatta è la E. Risultati percentuali relativi al quesito 68 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

69.

2.66% 25.35% 10.02% 7.04% 17.84%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

17.84% 37.09% 45.07%

Le macchie di olio nelle pozzanghere danno luogo a striscie colorate. Questo fenomeno è dovuto: A. B. C. D. E.

116

Soluzione Questo Ă¨ un fenomeno che probabilmente avrete tutti osservato, ma che non molti di voi avranno imparato a conoscere nei corsi scolastici. Cerchiamo quindi di farci guidare dal buon senso, riflettendo un poâ&#x20AC;&#x2122; sul contenuto delle diverse risposte, che si riferiscono a concetti che dovreste almeno avere fugacemente incontrato. Nelle risposte A ed E si parla di diffrazione, un fenomeno che, come abbiamo detto, Ă¨ dovuto alla presenza di ostacoli o costrizioni lungo il percorso di propagazione dellâ&#x20AC;&#x2122;onda. Nel problema che stiamo considerando la luce non Ă¨ tuttavia soggetta ad alcuna costrizione, quindi la diffrazione non câ&#x20AC;&#x2122;entra proprio per nulla. Possiamo poi sicuramente eliminare subito la risposta C: che cosa câ&#x20AC;&#x2122;entra il cielo ed il modo in cui diffonde la luce? Potremmo fare lâ&#x20AC;&#x2122;esperimento in una stanza, o addirittura in una scatola chiusa contenente una lampada ed una bacinella con acqua ricoperta da uno straterello dâ&#x20AC;&#x2122;olio: non cambierebbe assolutamente niente. La risposta B Ă¨ un poâ&#x20AC;&#x2122; piĂš sottile. Il fatto che lâ&#x20AC;&#x2122;olio (o meglio, lâ&#x20AC;&#x2122;interfaccia tra olio ed aria) e lâ&#x20AC;&#x2122;acqua (o meglio, lâ&#x20AC;&#x2122;interfaccia tra olio ed acqua) riflettano in modo diverso ha qualche effetto nel determinare lâ&#x20AC;&#x2122;intensitĂ dei colori che si osservano, ma non la loro distribuzione. Sicuramente, non puĂ˛ essere tutto ciĂ˛ che conta: Ă¨ ovvio che lâ&#x20AC;&#x2122;effetto deve dipendere dallo spessore dello strato di olio (se non fosse sottile, non si osserverebbe nulla)! Per sola esclusione, possiamo quindi concludere che la risposta esatta Ă¨ la D. Se poi volete avere una spiegazione qualitativa del perchĂŠ sia lâ&#x20AC;&#x2122;interferenza a generare questi colori, leggete la nota che segue. Quando un'onda elettromagnetica incide con un certo angolo Îą (rispetto alla verticale) sul lm considerato, questa subisce due ri essioni, la prima dovuta all'interfaccia tra aria ed olio, la seconda a quella tra olio ed acqua. Entrambe le ri essioni escono dal lm formando un angolo Îą uguale a quello di incidenza e quindi, sovrapponendosi, interferiscono. L'interferenza perĂ˛ Ă¨ connessa alla di erenza di fase con cui le due ri essioni arrivano all'osservatore, che a sua volta Ă¨ legata alla di erenza di cammino (o, piĂš precisamente di cammino ottico, che Ă¨ il prodotto del cammino geometrico per l'indice di rifrazione del mezza in cui l'onda propaga), misurato in termini di lunghezze d'onda. In altri termini, l'interferenza dipende anche dalla lunghezza d'onda. Come mostrato nella gura che segue, puĂ˛ allora succedere che, mentre per una lunghezza d'onda Îť1 (diciamo quella corrispondente al verde) l'interferenza Ă¨ costruttiva, per un'altra lunghezza d'onda Îť2 sia completamente distruttiva. In questo caso, per quel particolare angolo d'incidenza, il lm ci apparirĂ tendenzialmente verde (per un'altro angolo Îą puĂ˛ succedere ovviamente il contrario). I piĂš intraprendenti tra di voi possono cercare di calcolare per quale valore di Î˛ (angolo che si ottiene dalla legge di Snell per la rifrazione) si abbia e ettivamente un massimo o un minimo d'interferenza, ritrovando le formule mostrate in gura (dove r ed s sono degli interi). Chi abbia un po' di familiaritĂ con i problemi d'interferenza, potrebbe sospettare che mi sia sbagliato, invertendo le due condizioni (quella a sinistra sembrerebbe riferirsi ad un'interferenza distruttiva e viceversa). Non Ă¨ cosĂŹ: per capirlo, dovete tenere conto del fatto che, ri ettendosi da un mezzo ad indice di rifrazione minore ad uno con indice di rifrazione maggiore (quindi all'interfaccia aria/olio, e solo ad essa), la luce subisce uno sfasamento aggiuntivo di mezza lunghezza d'onda (ossia di Ď&#x20AC;). NOTA

117

Risultati percentuali relativi al quesito 69 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

70.

4.85% 13.46% 6.42% 7.82% 20.34%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

7.82% 47.10% 45.07%

60 cm 45 cm 30 cm 20 cm 90 cm

Soluzione Tutto ciò che ci serve per risolvere questo problema sono le leggi fondamentali di formazione di un’immagine da parte di una lente. Se un’oggetto si trova a distanza ò da una lente semplice, caratterizzata da una lunghezza focale f , la sua immagine si forma ad una distanza ì dalla lente tale che: 1 1 1 = + ì ò f Se ì > 0 (cioè se ò > f ) l’immagine è reale e si forma dalla parte opposta della lente rispetto all’oggetto ed è rovesciata. Altrimenti (cosa che corrisponde ad avere ì < 0) si dice immagine virtuale, un’immagine che il nostro occhio ricostruisce (dalla stessa parte dell’oggetto e non rovesciata), ma che non impressionerebbe una pellicola fotografica posta su quel piano. L’immagine

118

può risultare ingrandita o ridotta rispetto all’oggetto. L’ingrandimento, ossia il rapporto tra la dimensione dell’immagine e quella dell’oggetto, è semplicemente M = ì /ò Il problema ci dice che, nel caso considerato, l’immagine è reale (perché è rovesciata) e M = 1/2. Quindi abbiamo direttamente ì = ò /2 = 30 cm. Per la focale della lente si ha allora: 1 1 1 = + =⇒ f = 20 cm f 30 cm 60 cm e la risposta esatta è la D. La legge della lente ci fa capire anche che cosa si intenda per lunghezza focale. Se infatti allontaniamo sempre di più l'oggetto dalla lente, ossia quando ò → ∞, ottieniamo, al limite, ì = f e M = 0. Quindi l'immagine si riduce (almeno in ottica geometrica) ad un punto, che si forma a distanza f dalla lente, ossia nel fuoco. NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 70 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

3.13% 3.44% 24.57% 9.23% 5.16%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

119

9.23% 54.46% 36.31%

MATEMATICA 2 Commenti e soluzioni a cura di Gioconda Moscariello e Antonia Passarelli Introduzione La sezione di Matematica 2 si propone di valutare le competenze di matematica dei partecipanti al test, lasciando la verifica delle conoscenze alla precedente sezione di Matematica 1. Le due sezioni differiscono per numero dei quesiti, ma il tempo concesso per affrontarle è identico. Nell’intenzione degli estensori i quesiti delle due sezioni dovrebbero avere caratteristiche tali da tener conto del diverso scopo a cui sono rivolti, ma al di là del fatto che essi siano o meno riusciti nell’impresa, i metodi per affrontare i quesiti della Matematica 2 non sono molto dissimili da quelli richiesti per la Matematica 1, anche se in genere è richiesta una maggiore abilità nell’utilizzare le conoscenze richiamate nel sillabo della pagina 7. Questa sezione consiste di 10 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti.

Percentuale dei candidati per Punteggio Parziale ottenuto nella sezione di Matematica 2 Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −2,5 e 10 punti, mentre il punteggio medio è approssimativamente intorno ai 2 punti (2,17 per la precisione).

71.

Soluzione Con la posizione t = cos x, la disequazione assegnata si trasforma nella seguente disequazione di secondo grado nell’incognita t t2 − t − 2 ≥ 0, che è verificata per valori uguali alle radici o esterni all’intervallo delle radici (ricordiamo che il primo coefficiente ha segno concorde con il verso della disequazione). La formula di risoluzione di una equazione di secondo grado ci consente di determinare le radici come segue  √  1∓ 1+8 1∓3  −1 = = t=  +2 2 2 Pertanto la disequazione è soddisfatta o per t ≤ −1 o per t ≥ 2. Ricordiamo adesso che t = cos x e dunque la disequazione assegnata è verificata se cos x ≤ −1

oppure

cos x ≥ 2

Poiché la funzione cos x assume valori nell’intervallo [−1,1] vediamo che la disequazione cos x ≥ 2 non è verificata per nessun valore di x, mentre la disequazione cos x ≤ −1 è verificata solo se cos x = −1 e cioè se x = (2k + 1)π, quindi la risposta esatta è la B. In alternativa si può osservare che il primo membro della disuguaglianza data si può scomporre nella forma NOTA

cos2 x − cos x − 2 = (cos x − 2)(cos x + 1) quindi la disuguaglianza data diventa: (cos x − 2)(cos x + 1) ≥ 0 Siccome il primo fattore è sempre negativo per ogni valore di x, visto che il coseno oscilla fra i valori +1 e −1, mentre il secondo membro è sempre non negativo per ogni x, la possibilità che la disuguaglianza sia soddisfatta si ha solo se cos x = −1; questo fatto si veri ca per tutti i multipli dispari di π: x = (2k+1)π, quindi la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 71 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

17.21% 23.79% 5.48% 7.51% 1.72%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

121

23.79% 44.29% 31.92%

72.

9 cm2 36 cm2 24 cm2 72 cm2 16 cm2

Soluzione Poiché piegando il foglio di carta quadrato si vogliono ottenere due rettangoli uguali, esso dovrà essere piegato a metà lungo l’asse di uno qualsiasi dei lati, non lungo una diagonale, perché questa piega darebbe luogo a due triangoli sovrapposti. Il rettangolo ottenuto con la piega lungo l’asse di uno dei lati ha quindi due lati opposti lunghi quanto il lato del quadrato iniziale e gli altri due lati opposti pari a metà del lato del quadrato. Detto l il lato del quadrato il perimetro p di ciascun rettangolo è perciò pari p = 2l + 2 2l = 3l.Siccome detto perimetro è di 12 cm ne segue che il lato del quadrato iniziale era di 4 cm, quindi la sua area è di 16 cm2 e la risposta esatta è la E. Risultati percentuali relativi al quesito 72 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

73.

2.35% 12.68% 5.95% 0.94% 72.93%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

72.93% 5.16% 21.91%

Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, consideriamo i punti A = (1,0) e B = (0,2). Per quale scelta del punto C il triangolo ABC non è rettangolo? A. B. C. D. E.

C C C C C

= (0, − 1/2) = (−1,0) = (1,2) = (−4,0) = (0,0)

Soluzione Siano C1 = (0, −1/2), C2 = (−1, 0), C3 = (1, 2),C4 = (−4, 0) e C5 = (0, 0) i cinque punti da usare come terzo vertice del triangolo di cui A e B sono gli altri due vertici. I punti C3 e C5 possono essere subito scartati in quanto il triangolo AC5 B ha due lati sugli assi coordinati ( che sono ovviamente 122

perpendicolari) e dunque è rettangolo e il triangolo AC3 B è il simmetrico di AC5 B rispetto alla retta che contiene il segmento AB e dunque è anche esso rettangolo. Ricordiamo a questo punto che il coefficiente angolare della retta che passa per due punti assegnati di coordinate (x1 ,y1 ), (x2 ,y2 ) è dato dalla formula: y − y1 m= 2 x2 − x1 e che due rette di coefficienti angolari m e m0 sono perpendicolari se è soddisfatta la condizione mm0 = −1. Facilmente calcoliamo mAB = −2 1 2 Quindi il punto C1 deve essere scartato in quanto i lati AB e AC1 appartengono a rette perpendicolari. Poiché −2 1 mBC4 = = −4 2 anche il punto C4 deve essere scartato in quanto i lati AB e BC4 appartengono a rette perpendicolari. Infine poiché mBC2 = 2 mAC1 =

la retta che contiene BC2 non è perpendicolare alla retta che contiene AB e il segmento AC2 appartiene all’asse delle ascisse concludiamo che la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 73 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

74.

12.52% 66.82% 4.85% 7.20% 2.19%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

L’equazione |x − 1| = 1 − |x| ha A. B. C. D. E.

esattamente due soluzioni esattamente tre soluzioni esattamente quattro soluzioni infinite soluzioni nessuna soluzione

123

66.82% 6.42% 26.76%

Soluzione Ricordiamo che il valore assoluto di un numero reale y è definito come segue:    se y ≥ 0 y |y| =   −y se y < 0 Pertanto se x ∈ [0,1] si avrà che |x − 1| = 1 − x

|x| = x

Di conseguenza se x ∈ [0,1] l’equazione assegnata si può riscrivere come segue 1−x=1−x che è chiaramente una identità, cioè un’uguaglianza verificata per ogni x nell’intervallo [0,1]. La risposta esatta è quindi la D. Risultati percentuali relativi al quesito 74 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

40.53% 5.32% 5.63% 10.33% 11.27%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

√ 75.

Per quali x reali è verificata la disequazione

10.33% 26.92% 62.75%

x2 − 1 > 2x ?

A. x ≥ −1 B. x ≤ −1 C. −1 < x < 1 D. per nessun x reale E. x ≥ 1 Soluzione Le soluzioni della disequazione irrazionale assegnata sono date dall’unione delle soluzioni dei due sistemi seguenti:        x2 − 1 ≥ 0  x2 − 1 ≥ 0      x2 − 1 > 4x2 x < 0 √ Si ricordi che la funzione y → y è definita per y ∈ [0, +∞) , assume valori in [0, +∞) ed è crescente in tutto il suo insieme di definizione. Il primo sistema utilizza la monotonia della funzione radice quadrata nell’intervallo [0, +∞), il secondo utilizza il fatto che la funzione (quando è definita) è non negativa. Quindi   W W      x ≤ −1 x ≥ 1  x ≤ −1 x ≥ 1     3x2 + 1 < 0 x < 0 Il primo sistema non ammette soluzioni in quanto la seconda disequazione non è mai verificata. Il secondo sistema è risolto per x ≤ −1 e quindi la risposta giusta è la B. 124

√ Sempre ricordando che che la funzione y → y è de nita per y ∈ [0, +∞) , assume valori in [0, +∞), si può usare un approccio geometrico e si possono disegnare il primo membro e il secondo membro della disuguaglianza in esame. Il primo membro equivale a     x2 − 1 = y2   y ≥ 0 NOTA

e rappresenta la metà superiore dei due rami di iperbole x2 − y2 = −1. Il secondo membro rappresenta semplicemente la retta y = 2x. La disuguaglianza proposta richiede di discutere e di determinare per quali intervalli della variabile x le ordinate del primo membro sono superiori alle ordinate del secondo membro. Questi due luoghi di punti sono disegnati nella gura che segue dove sono evidenziati anche gli asintoti dell'iperbole formati dalle bisettrici dei quadranti. y x2 − y1 = −1,

y ≥ 0,

y = 2x x2 − y1 = −1,

x ≤ −1

y ≥ 0,

x≥1

La gura mostra chiaramente che solo le ordinate del ramo di iperbole che giace nel secondo quadrante sono sempre superiori alle ordinate della retta; quindi la risposta esatta è proprio la B come si è ricavato sopra ricorrendo alle discussione delle disequazioni.

Risultati percentuali relativi al quesito 75 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

2.82% 25.51% 9.70% 33.18% 10.49%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

125

25.51% 18.31% 56.18%

76.

48 4 240 8 10

Soluzione Visto che Aldo e bea possono sistemarsi in due soli modi diversi, restano i modi diversi in cui possono sistemarsi gli altri quattro amici negli altri quattro posti. Se si conosce la formula delle permutazioni di n persone, si sa che queste sono il fattoriale di n e, con n = 4, sono esattamente 24 = 4! = 1 × 2 × 3 × 4; e in totale, quindi le permutazioni dei sei amici con il vincolo imposto dalla vicinanza al finestrino di Aldo e Bea sono 48. Che le permutazioni di quattro persone su 4 sedili sedili siano 24 si può ricavare anche senza conoscere le formule apposite. Prendiamo la prima persona, Carlo: essa ha quattro sedili da scegliere per sedersi, quindi ci sono quattro modi diversi di disporsi; ma una volta seduto, Dario ha tre sedili liberi, e quindi ha tre modi diversi di disporsi; con ciò abbiamo già 12 modi diversi. Una volta seduto Dario, Ebe può scegliere fra due sedili ed ha due modi di disporsi, portando il numero totale a 24; Franco si può sedere nel solo posto rimasto libero e non ha nessuna scelta; i modi diversi di sedersi per i quattro amici sono proprio 24. La risposta corretta è pertanto la A. Risultati percentuali relativi al quesito 76 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

49.77% 5.48% 4.38% 10.64% 11.11%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

126

49.77% 18.62% 31.61%

77.

In un paese in cui ogni cittadino è tenuto a pagare in tasse il 25% del proprio reddito, un anno l’aliquota viene abbassata al 20%. Viene però contestualmente introdotta una tassa “una tantum” di 1000 € che ogni contribuente è tenuto a pagare. Si può dire che in quello stesso anno, in rapporto a questa operazione: A. i cittadini con un reddito superiore a 25 000 € hanno dovuto pagare un importo maggiorato di un quinto rispetto a quello che avrebbero dovuto pagare secondo le norme dell’anno precedente B. il peso fiscale è rimasto invariato per tutti C. solo i cittadini con un reddito superiore a 10 000 € sono stati avvantaggiati D. i cittadini con un reddito superiore a 25 000 € sono stati avvantaggiati E. solo i cittadini con un reddito inferiore a 20 000 € sono stati avvantaggiati

Soluzione Poniamo x il reddito di ciascun contribuente; prima della riforma egli pagava 0,25x di tasse, mentre dopo la riforma egli ne paga 0,20x + 1000€. Determiniamo allora il reddito per il quale le due tassazioni sono uguali risolvendo l’equazione di primo grado: 0,25x = 0,20x + 1000€ La soluzione è x = 20 000€; è facile controllare che i contribuenti con redditi inferiori pagano di più di prima, mentre quelli con redditi superiori pagano di meno. Visto che chi ha un reddito di 25 000€ha un reddito superiore a 20 000€, paga di meno e la risposta giusta pertanto è la D. Risultati percentuali relativi al quesito 77 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

78.

5.48% 1.72% 6.73% 50.70% 4.54%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

50.70% 30.83% 18.47%

Rispetto ad un riferimento cartesiano ortogonale Oxy del piano, l’equazione (x − 1)2 − y2 = 0 individua: A. B. C. D. E.

due rette incidenti una parabola due soli punti una circonferenza due rette parallele 127

Soluzione L’equazione data, grazie al prodotto notevole (a + b)(a − b) = a2 − b2 , si può scomporre in: (x − 1 + y)(x − 1 − y) = 0 Questa espressione descrive i luoghi dei punti che rendono nullo il primo o il secondo fattore; abbiamo quindi due luoghi da esaminare: x−1+y=0 x−1−y=0 Entrambe le equazioni rappresentano rette, precisamente due rette perpendicolari inclinate di ±45◦ rispetto all’asse delle ascisse e passanti per il punto di coordinate (1, 0). La risposta corretta a questo quesito è pertanto la A. Risultati percentuali relativi al quesito 78 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

79.

11.89% 21.28% 2.82% 34.90% 3.76%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

11.89% 25.35% 62.75%

Una quantità di liquido che riempie una sfera di raggio K viene travasata in cilindri aventi diametro di base K ed altezza K. Qual è il numero minimo di cilindri che occorrono per compiere questa operazione? A. B. C. D. E.

5 6 3 9 4

Soluzione La sfera ha un volume pari a Vs = 43 πK 3 mentre ogni cilindro, che ha il raggio di base pari a K/2, ha il volume Vc = π4 K 3 Il rapporto tra il volume della sfera e quello del cilindro è Vs 4/3 16 1 = = =5+ Vc 1/4 3 3 Ne segue che per travasare il liquido dalla sfera ai cilindri occorrono più di 5 cilindri, quindi il numero minimo di cilindri necessari ad eseguire il travaso è 6. La risposta esatta è pertanto la risposta B.

128

Risultati percentuali relativi al quesito 79 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

80.

5.48% 17.68% 20.03% 2.97% 13.46%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

17.68% 40.38% 41.94%

In un gruppo di 100 persone 51 parlano inglese, 36 francese, delle quali 12 sia inglese che francese. Quante di loro non parlano né inglese né francese? A. B. C. D. E.

49 15 29 13 25

Soluzione Siccome 12 persone parlano sia l’inglese sia il francese, vanno contante una sola volta ai fini di determinare coloro che non parlano né inglese né francese. Quindi 51 − 12 parlano solo inglese; 36−12 parlano solo francese e 12 parlano sia l’inglese che il francese; in totale 51−12+36−12+12 = 75 persone parlano o l’inglese o il france o entrambe; le rimanenti 25 persone non parlano né inglese né francese. La risposta esatta è pertanto la E. Risultati percentuali relativi al quesito 80 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

0.47% 2.03% 0.47% 60.25% 32.71%

Risposte giuste: Risposte nulle: Risposte errate:

129

32.71% 4.07% 63.22%

Conclusione A completamento di quanto è stato presentato per le singole sezioni del test non rimane che presentare quale è stato il risultato che i circa 22 000 partecipanti alla prova del 1o settembre 2005 hanno riportato complessivamente nell’intero test. Come in precedenza il risultato è presentato in figura in forma di distribuzione percentuale così che ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Test totale nel test compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. Complessivamente i test ha avuto una distribuzione di punteggi sugli 80 quesiti rappresentato nel diagramma seguente.

Percentuale dei candidati per Punteggio Totale ottenuto nell’intero Test Il Punteggio Test può variare teoricamente tra −20 e 80 punti, mentre il punteggio medio è compreso tra i 20 e i 24 punti (22,29 per la precisione). Si può notare che la distribuzione è quasi di tipo gaussiano con una lieve asimmetria e che, anche se minime, sono presenti percentuali di candidati che totalizzano zero punti o, addirittura, punteggi complessivi negativi; comunque in pratica nessuno totalizza punteggi inferiori a −5. Non è forse completamente inutile ribadire che, chi abbia effettuato una simulazione del test, dovrebbe fare uso di questo diagramma in modo da ricavarne una valutazione della preparazione di cui al momento è in possesso. Per fare ciò è sufficiente che individui, anche approssimativamente, a quale segmento della popolazione sarebbe appartenuto sulla base del Punteggio Test che ha totalizzato nella simulazione. Coloro che desiderino avere un quadro statistico più ampio e dettagliato possono avere ulteriori informazioni sulla prova 2005 a livello nazionale consultando la pubblicazione: “I Risultati delle prove di ingresso ? Anno 2005” scaricabile dal sito web CISIA www.cisiaonline.it/ e in particolare alla pagina http://www.cisiaonline.it/index.php?id=157&lang=it.

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