CAPÍTULO XVIII EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON FUNCIONES CIRCULARES
Ejemplo 10 Encontrar el conjunto solución en el intervalo [0 ; 2 π ] de 2 sen x + 1 = 0 . Esta ecuación es equivalente a decir: “encontrar los puntos de corte con el eje x de la función y = 2 sen x + 1 ”.De la misma forma como en el Capítulo 17,: se buscan los valores de x tales que: 2 sen x + 1 = 0
⇔
sen x = −
1
⇔
2
⎧ 7 π 11π ⎫ x ∈⎨ , ⎬ 6 ⎭ ⎩ 6
Una forma equivalente que sirve para simbolizar los valores de x que cumplen con la condición dada es: sen x = −
sen −1 x =
1 2
⇔
⎛ 1⎞ x = sen −1 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2⎠
sen −1 x = arcsen x
:
1 sen x
⎛ 1⎞ x = arcsen ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 2⎠
⇔
1 sen x
= csc ( x )
6 6
Ejemplo 11 Encontrar el conjunto solución de 2 cos 2 x + 3 sen x = 0 . Restricciones para x: x puede tomar cualquier valor, ya que tanto el coseno y el seno están definidos para todos los reales. 2 cos 2 x + 3 sen x = 0 ⇔ 2 − 2 sen 2 x + 3 sen x = 0
( 2 sen x + 1)( 2 sen x − 4 ) 2
=0
⇔
sen x = −
1 2
ó
2 sen 2 x − 3 sen x − 2 = 0
⇔
sen x = 2
Usando la nueva notación, puede escribirse como: sen x = −
1 2
⎛ 1⎞ ⎧ ⇔ x = arcsen ⎜⎜ − ⎟⎟ ⇒ x ∈ ⎨ x 2 ⎝ ⎠ ⎩
x =
7π 6
+ 2 kπ ó x =
11π 6
⎫ + 2 kπ , k ∈ Z ⎬ ⎭
sen x = 4 ⇔ C.S. = ∅
El conjunto solución es entonces: C.S. =
346
⎧ x ∈ ⎨x ⎩
x =
7π 6
+ 2 kπ ó x =
11π 6
⎫ + 2 kπ , k ∈ Z ⎬ ⎭
G. MORA – M. M. REY – B. C. ROBLES